小学五年级下册数学奥数知识点讲解第2课不规则图形面积计算2试题附复习资料

第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。

例1：如下图（1），在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

(1)(2)解法一：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到图（2）。

这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。

所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。

解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图（3）所示。

阴影部分的面积是正方形面积的一半。

(3)(4)解法三：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图（4）所示。

阴影部分的面积是正方形的一半。

例2：如下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。

解：由容斥原理，S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCD=4π×AB2×2－AB2=4π×42×2－42=16×（2π－1）≈16×2214.3-=9.12（平方厘米）。

例3：如下图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米。

求阴影部分的面积。

EB解：S阴景=S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD=41×π×62＋41×π×42－6×4=41×π（36＋16）－24=13π－24=15（平方厘米）（取π=3）例4：如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方厘米，求BC长。

（3）3 个连续的自然数的和是 45，这三个自然数分别是（ ）、（ ）、（ ）。
例 8、判断。 （1）没有最大的自然数。 （ ） （2）最小的自然数是 1。 （ ） （3）任意 3 个连续的自然数，它们的和一定是 3 的倍数。 （ ） （4）自然数的个数是有限的。 （ ） （5）用 3、4、5 三张数字卡片组成三位数，一共可以组成 6 个不同的自然数。（ ）
自然数就是表示在生活中用来计数、编排次序、编码的数。每一个自然数都只有一个自 然数紧接在它的后面，自然数“n”后的一个自然数是“n+1”，最小的自然数是 0，没有最 大的自然数。
【典型例题】
例 1、想一想，填一填。
下面这个不规则的图形中完整的方格有（ ）块，大于或等于半格的方格有（ ）
块，所以这个图形的面积大约是（
例 6、四个自然数按从小到大的顺序排列，每相邻两个数的差是 3，如果第一个数是 a，那么
这四个数的和是（
）。
例 7、填空。
（1）在 1.57、2、2014、0、 99 、999.01 这些数中是自然数的有（ 100
）个。
（2）三个连续自然数的和是 42，这三个自然数分别是（
）。
（3）自然数有一个起点是（
）cm2，也可以这个图形看作一个三角形，那么三角
形的底是（
）cm，高是（
）cm，三角形的面积是（
）cm2，所以这个图形的
面积大约是（
）cm2。（每一小方格的面积是 1cm2）
随堂练习：想一想，填一填。（每一小方格的面积是 4cm2）
下面这个不规则的图形中完整的方格有（ ）块，大于或等于半格的方格有（ ）
【课后作业】 1、直接写得数。
5×2.4= 12.5+2.7+7.3-7.5= 2、解方程。 （1）3x÷4=2.4

本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3 【考点】不规则图形的面积 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的面积．图1的面积是： 4(93)9375⨯++⨯=(平方厘米)．图2的面积是： (94)39475+⨯+⨯=(平方厘米)． (方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：(49)(93)156+⨯+=(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(49)(93)9975+⨯+-⨯=(平方厘米)． 【答案】75平方厘米【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040例题精讲4-2-6.不规则图形的面积【解析】 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；302030403020304030203040图一 图二 图三方法一：如图一，3040203040120014002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法二：如图二，203040203060020002600⨯+⨯+=+=（）(平方米) 方法三：如图三，40302030303035009002600+⨯+-⨯=-=（）（）(平方米) 【答案】2600平方米【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．F【考点】不规则图形的面积 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD 的周长和面积可以求出．而正方形的边长1046GC DC DG AB DG =-=-=-=(厘米)，长方形的宽1064BE CE =-=-=(厘米)，所求图形的周长102624440=⨯+⨯++=(厘米) 面积1046676CEFG ABCD S S =+=⨯+⨯=正方形长方形(平方厘米)方法二：可以将线段GF 、DG 向外平移，得一个新的图形ABEH ，因为D G H F =，GF DH =，所以图形ABEH 的周长就是图形A B E F G D 的周长．而10AB BE ==(厘米)，所以图形ABEH 是边长为10厘米的正方形． 所求图形的周长=正方形ABEH 的周长10440=⨯=(厘米) 面积10106476ABEH DGFH S S =-=⨯-⨯=正方形长方形(平方厘米)【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积． 【答案】76【巩固】求图中五边形的面积．6453【解析】由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长633-=，斜边等于5，所以另一直角边为4，所以矩形的长为448+=，五边形面积16843422⨯-⨯⨯=．【答案】42【例2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛、口试【解析】如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为280300242000⨯÷=（）(平方厘米)．【答案】42000【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】先求出大三角形的两条直角边都是208160⨯=(厘米)，因此大三角形的面积为160160212800⨯÷=(平方厘米)；8个小三角形的面积为2020281600⨯÷⨯=(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800160014400+=(平方厘米)．【答案】14400【例3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【考点】不规则图形的面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1622][822]7321-÷⨯-÷=⨯=（）（）(平方米)方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜地的面积；每一块地的面积是：[1682168222]412844421⨯-⨯+⨯-⨯÷=-÷=（）（）(平方米)方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示：[16282]484421-⨯-÷=÷=（）（）(平方米) 【答案】21【例 4】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加21⨯平方厘米，所以这10张纸片盖住的面积是：3221924⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】24【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为2052082140-+⨯÷=()(平方厘米)． 【答案】140【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【考点】不规则图形的面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为1037-=(厘米)，面积为7102217+⨯÷=()(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

五年级奥数圆与扇形（二）教师版圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长,主要求面积．一般来说,弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”)板块二 曲线型面积计算【例 1】 如图,已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍,则角CAB 的度数是________．例题精讲圆与扇形DCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设半圆ADB 的半径为1,则半圆面积为21ππ122⨯=,扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯,所以,22ππ23603n ⨯⨯=,得到60n =,即角CAB 的度数是60度．【答案】60度【例 2】 如下图,直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7,分别以,B C 为圆心,2为半径画圆,已知图中阴影部分的面积是17,那么角A 是多少度(π3=)67CB【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△,三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=,根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【答案】60度【例 3】 如图,大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415,是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米,那么大圆半径是多少厘米？【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=,则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为4225 15ππ154÷=,而2251515422=⨯,所以大圆半径为7.5厘米．【答案】7.5【例 4】有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图),此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】由右图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和．将图中与BC弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补,可得到6个角的和是360︒,所以BC弧所对的圆心角是60︒,6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【答案】45【例 5】如图,边长为12厘米的正五边形,分别以正五边形的5个顶点为圆心,12厘米为半径作圆弧,请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14=)【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】如图,点C是在以B为中心的扇形上,所以AB CB=,同理CB AC=,则ABC∆是正三角形,同理,有CDE∆是正三角形．有60ACB ECD∠=∠=,正五边形的一个内角是1803605108-÷=,因此60210812ECA∠=⨯-=,也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分,这样相同的圆弧有5个,所以中间阴影部分的周长是()122 3.1412512.56cm360⨯⨯⨯⨯=．【答案】12.56【例 6】如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小,得：黑色部分面积________灰色部分面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半,所以每个小圆的面积等于大圆面积的14,则4个小圆的面积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分,未覆盖的部分为黑色部分,所以这两部分面积相等,即灰色部分与黑色部分面积相等．【答案】相等【例 7】 如图,大圆半径为小圆的直径,已知图中阴影部分面积为1S ,空白部分面积为2S ,那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线,小圆内部的阴影部分可以填到外侧来,这样,空白部分就是一个圆的内接正方形．设大圆半径为r ,则222S r =,2212S r r π=-,所以()12: 3.142:257:100S S =-=．移动图形是解这种题目的最好方法,一定要找出图形之间的关系．【答案】57:100【例 8】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料,从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3倍,半径也是3倍,小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==,小圆面积13649=⨯=,7个小圆总面积4728=⨯=,边角料面积36288=-=(平方厘米)．【答案】8【例 9】 如图,若图中的圆和半圆都两两相切,两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦,所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见,阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积,再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积),所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍,所以其面积为小圆的239=倍,那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭． 【答案】2.5【例 10】 如图所示,求阴影面积,图中是一个正六边形,面积为1040平方厘米,空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)CA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知,现在关键是小扇形面积如何求,有扇形面积公式2π360n R S =扇．可求得,需要知道半径和扇形弧的度数,由已知正六边形每边所对圆心角为60°,那么120AOC ∠=︒,又知四边形ABCO 是平行四边形,所以120ABC ∠=︒,这样就可求出扇形的面积和为21206π10628360⨯⨯⨯=(平方厘米),阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)．【答案】412【例 11】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,AC CD DB ==,M 是CD 的中点,H 是弦CD 的中点．若N 是OB 上一点,半圆的面积等于12平方厘米,则图中阴影部分的面积是 平方厘米．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】填空【解析】如下图所示,连接OC、OD、OH．本题中由于C、D是半圆的两个三等分点,M是CD的中点,H是弦CD的中点,可见这个图形是对称的,由对称性可知CD与AB平行．由此可得CHN∆的面积与CHO∆的面积相等,所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半,而扇形COD的面积又等于半圆面积的13,所以阴影部分面积等于半圆面积的16,为11226⨯=平方厘米．【答案】2【巩固】如图,C、D是以AB为直径的半圆的三等分点,O是圆心,且半径为6．求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【解析】如图,连接OC、OD、CD．由于C、D是半圆的三等分点,所以AOC∆和COD∆都是正三角形,那么CD与AO 是平行的．所以ACD∆的面积与OCD∆的面积相等,那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积,为21π618.846⨯⨯=．【答案】18.84【例 12】如图,两个半径为1的半圆垂直相交,横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心,求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)O【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差,可以先分别求出两块阴影部分的面积,再计算它们的差,但是这样较为繁琐．由于是要求面积之差,可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形,再求剩余图形的面积．如右图所示,可知弓形BC 或CD 均与弓形AB 相同,所以不妨割去弓形BC ．剩下的图形中,容易看出来AB 与CD 是平行的,所以BCD ∆与ACD ∆的面积相等,所以剩余图形的面积与扇形ACD 的面积相等,而扇形ACD 的面积为260π10.5360⨯⨯=,所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5．【答案】0.5【例 13】 如图,两个正方形摆放在一起,其中大正方形边长为12,那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ,则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ,设AF 与CD 的交点为M ,由于四边形ACDF 是梯形,根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△,所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【答案】113.04【巩固】如右图,两个正方形边长分别是10和6,求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积,那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积,为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的,于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等,那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和,也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和,为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【答案】39【例 14】 如图,ABC 是等腰直角三角形,D 是半圆周的中点,BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==,那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)DD【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接PD 、AP 、BD ,如图,PD 平行于AB ,则在梯形ABDP 中,对角线交于M 点,那么ABD ∆与ABP ∆面积相等,则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=； 弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【答案】32.125【例 15】 图中给出了两个对齐摆放的正方形,并以小正方形中右上顶点为圆心,边长为半径作一个扇形,按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π 3.14=)A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接小正方形AC ,有图可见ACD ABC S S S S =+-△△阴影扇形∵211144222AC ⨯=⨯⨯ ∴232AC =同理272CE =,∴48AC CE ⨯=∴148242ACD S =⨯=△290π412.56360S =⨯=扇形,14482ABC S =⨯⨯=△∴2412.56828.56S =+-=阴影【答案】28.56【例 16】 如图,图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设最小圆的半径为r ,则三种半圆曲线的半径分别为4r ,3r 和r ．阴影部分的面积为：()()22222111π4π3ππ5π222r r r r r -++=,空白部分的面积为：()222π45π11πr r r -=,则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11． 【答案】5:11【例 17】 (西城实验考题)奥运会的会徽是五环图,一个五环图是由内圆直径为6厘米,外圆直径为8厘米的五个环组成,其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等,已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米,求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ⑴每个圆环的面积为：22π4π37π21.98⨯-⨯==(平方厘米)；⑵五个圆环的面积和为：21.985109.9⨯=(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.977.132.8-=(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.88 4.1÷=(平方厘米)．【答案】4.1【例 18】 已知正方形ABCD 的边长为10厘米,过它的四个顶点作一个大圆,过它的各边中点作一个小圆,再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么,图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 39.25 【答案】39.25【例 19】 如图,ABCD 是边长为a 的正方形,以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆,求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBADCBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形,不能直接通过面积公式求解,观察发现阴影部分是一个对称图形,我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图,这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形,我们可以求得,()4S S S =⨯-阴影半圆三角形21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【答案】12a【巩固】如图,正方形ABCD 的边长为4厘米,分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3)D BA DBA【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题可知,图中阴影部分是两个扇形重叠的部分,我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样,我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ,我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积,所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【答案】8【例 20】 (四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形,4cm AC =,2cm BC =,求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出,阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC 的面积之差,所以阴影部分的面积为：2214121ππ42 2.5π4 3.8522222⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2cm )． 【答案】3.85【例 21】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米,盖住桌面的总面积是144平方厘米,3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 根据容斥原理得1003242144S ⨯--⨯=阴影,所以100314424272S =⨯--⨯=阴影（平方厘米） 【答案】72【例 22】 如图所示,ABCD 是一边长为4cm 的正方形,E 是AD 的中点,而F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ,以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点,若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数),请问m n +之值为何？S 2S 1G HFE DC B AS图1S 2S 1G HF E DCB A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】国际小学数学竞赛【解析】 (法1)2248cm FCDE S =⨯=,21π44π4BCD S =⨯⨯=扇形2(cm ),21π2π4BFH S =⨯⨯=扇形2(cm ),而124ππ8FCDE BCD BFH S S S S S -=--=--扇形扇形3π8=-2(cm ),所以3m =,8n =,3811m n +=+=．(法2)如右上图,1S S +=BFEA BFH S S -=扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm ), 24444π4164πABCD BCD S S S S +=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm ),所以,12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm ),故3811m n +=+=．【答案】11【巩固】在图中,两个四分之一圆弧的半径分别是2和4,求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形,再扣除一个长方形中的不规则白色部分,而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分,那么它们的差应为大扇形减去小扇形,再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=． 【答案】1.42【例 23】 如图,矩形ABCD 中,AB =6厘米,BC =4厘米,扇形ABE 半径AE =6厘米,扇形CBF的半径CB =4厘米,求阴影部分的面积．(π取3)CB A【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：观察发现,阴影部分属于一个大的扇形,而这个扇形除了阴影部分之外,还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上,求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积,因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ,所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米),再从扇形ABE 中考虑,让扇形ABE 减去ABFD 的面积,则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【答案】15【巩固】求图中阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=． 【答案】41.04【巩固】如右图,正方形的边长为5厘米,则图中阴影部分的面积是 平方厘米,(π 3.14=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD分割出来的,分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便,我们发现如果能求出左下边空白部分的面积,就很容易求出阴影部分的面积了,我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积,那么我们的思路就很清楚了． 因为45ADB ∠=︒,所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360AD ⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米),那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米),又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米),所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．【答案】7.125【例 24】 如图所示,阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)33B A33A1.51.51.545︒45︒B33【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中A 、B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的A 、B 的面积．所以()()229271.5π 1.5343π3328498416A B S S +=-⨯÷+-⨯⨯÷=÷+÷=．【答案】2716【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)333【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 如右上图,虚线将阴影部分分成两部分,分别计算这两部分的面积,再相加即可得到阴影部分的面积．所分成的弓形的面积为：22131199π3π2242168⎡⎤⎛⎫⨯-⨯⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；另一部分的面积为：221199π33π8484⨯-⨯=-；所以阴影部分面积为：99992727πππ 1.92375 1.9216884168-+-==-=≈．【答案】1.92【例 25】 已知右图中正方形的边长为20厘米,中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心,求阴影部分的面积．(π3=)O3【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 图中两块阴影部分的面积相等,可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积,等于大正方形的面积减去一个90︒扇形的面积,再减去角上的小空白部分的面积,为：()()()2142020π202020100π4754S S S S ⎡⎤---÷=⨯-⨯-⨯-÷=⎡⎤⎣⎦⎣⎦圆正方形正方形扇形(平方厘米),所以阴影部分的面积为752150⨯=(平方厘米)．【答案】150【例 26】 一个长方形的长为9,宽为6,一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动,在长方形内这圆无法运动到的部分,面积的和是_____．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角,而圆在角处运动时的情况如左下图,圆无法运动到的部分是图中阴影部分,那么我们可以先求出阴影部分面积,四个角的情况都相似,我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积,所以我们可以得到：每个角阴影部分面积为290111π13604⨯-⨯⨯=；那么圆无法运动到的部分面积为 1414⨯=方法二：如果把四个角拼起来,则阴影如右上图所示,则阴影面积为222311⨯-⨯=【答案】1【例 27】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米,求阴影部分的面积．(π 3.14=)B【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形,所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出,阴影部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为62.8平方厘米,所以262.8 3.1420OA =÷=． 因此：22210AOB S OA OB OA =⨯÷=÷=△(平方厘米)．由于AOB ∆是等腰直角三角形,所以220240AB =⨯=．因此：扇形ABC 的面积24545ππ4015.7360360AB =⨯⨯=⨯⨯=(平方厘米)．所以,阴影部分的面积等于：15.710 5.7-=(平方厘米)．【答案】5.7【例 28】 如图,等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心,EF 为圆弧,组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形,AEF 是扇形,所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度,则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等,即11010502S =⨯⨯=扇形,则圆的面积为508400⨯=【答案】400【例 29】 如图,直角三角形ABC 中,AB 是圆的直径,且20AB =,阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC 长．(π 3.14=)乙甲A【考点】圆与扇形【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形,单独对待它们无法运用面积公式进行处理,而解题的关键就是如何把它们联系起来,我们发现把两块阴影加上中间的一块,则变成1个半圆和1个直角三角形,这个时候我们就可以利用面积公式来求解了． 因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=,则直角三角形的面积为157-7=150,可得BC =2⨯150÷20=15． 【答案】15【巩固】三角形ABC 是直角三角形,阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ,8cm AB =,求BC 的长度．I IAB C I【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ,根据差不变原理,直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ,则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm ), BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【答案】12.53【巩固】 如图,三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米,AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图中半圆的直径为AB ,所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628,又②-①28=,所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【答案】32.8【例 30】 图中的长方形的长与宽的比为8:3,求阴影部分的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】十三分,入学测试题 【解析】 如下图,设半圆的圆心为O ,连接OC ．从图中可以看出,20OC =,20416OB =-=,根据勾股定理可得12BC =． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积,为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．【答案】244【例 31】 如图,求阴影部分的面积．(π取3)【考点】圆与扇形 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图,图中阴影部分为月牙儿状,月牙儿形状与扇形和弓形都不相同,目前我们还不能直接求出 它们的面积,那么我们应该怎么来解决呢？首先,我们分析下月牙儿状是怎么产生的,观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分,再分析可以知道,两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分,那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅ =6【答案】6【例 32】如图,直角三角形的三条边长度为6,8,10,它的内部放了一个半圆,图中阴影部分的面积为多少？68【考点】圆与扇形【难度】4星【题型】解答【解析】S S S=-阴影直角三角形半圆,设半圆半径为r,直角三角形面积用r表示为：6108 22r rr ⨯⨯+=又因为三角形直角边都已知,所以它的面积为168242⨯⨯=,所以824r=,3r=所以1249π=24 4.5π2S=-⨯-阴影【答案】24 4.5π-【例 33】大圆半径为R,小圆半径为r,两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点,半径R 为边长作一个正方形：再以O为顶点,以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米,求环形面积．(圆周率取3.14)【考点】圆与扇形【难度】3星【题型】解答【关键词】华校第一学期,期中测试,第6题【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积,但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积,也就是2250R r-=平方厘米,那么环形的面积为：2222πππ()π50=157R r R r-=-=⨯(平方厘米)．【答案】157【巩固】图中阴影部分的面积是225cm,求圆环的面积．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设大圆半径为R ,小圆半径为r ,依题有222522R r -=,即2250R r -=．则圆环面积为：22222πππ()50π157(cm )R r R r -=-==．【答案】157【例 34】 已知图中正方形的面积是20平方厘米,则图中里外两个圆的面积之和是 ．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】101中学,考题 【解析】 设图中大圆的半径为r ,正方形的边长为a ,则小圆的直径等于正方形的边长,所以小圆的半径为2a,大圆的直径2r 等于正方形的对角线长,即222(2)r a a =+,得222a r =．所以,大圆的面积与正方形的面积之比为：22π:π:2r a =,所以大圆面积为：202π10π÷⨯=；小圆的面积与正方形的面积之比为：22π():π:42aa =,所以小圆的面积为：204π5π÷⨯=；两个圆的面积之和为：10π5π15π15 3.1447.1+==⨯=(平方厘米)．【答案】47.1【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米,则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中大圆的半径为r ,正方形的边长为a ,则小圆的直径等于正方形的边长,所以小圆的半径为2a,大圆的直径2r 等于正方形的对角线长,即222(2)r a a =+,得222ar =．所以,大圆的面积与小圆的面积之比为：222222π:π()::2:12424a a a a r r ===, 即大圆的面积是小圆面积的2倍,大圆的面积为30260⨯=(平方厘米)．【答案】60【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a ,小正方形的面积是 ．【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设图中小正方形的边长为b ,由于圆的直径等于大正方形的边长,所以圆的直径为a ,而从图中可以看出,圆的直径等于小正方形的对角线长,所以22222ab b b =+=,故2212b a =,即小正方形的面积为212a ．【答案】212a【巩固】一些正方形内接于一些同心圆,如图所示．已知最小圆的半径为1cm ,请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取22π7=)【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】台湾小学数学竞赛选拔,复赛 【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积,也就是2π1222π2⨯-⨯÷=-．内圆的直径为中部正方形的边长,即为2,中部正方形的对角线等于中圆的直径,于是中圈阴影部分面积是22π(22)4222π4⨯+÷-⨯=-． 中圆的直径的平方即为外部正方形的面积,即为22228+=,外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方,即为8216⨯=,所以外圈阴影部分的面积是π16484π8⨯÷-=-．所以阴影部分的面积是227π1471487-=⨯-=(平方厘米)．【答案】8【例 35】 图中大正方形边长为6,将其每条边进行三等分,连出四条虚线,再将虚线的中点连出一个正方形(如图),在这个正方形中画出一个最大的圆,则圆的面积是多少？(π 3.14=)。