自动控制原理前五章公式总结

《自动控制原理》总复习第一章自动控制的基本概念一、学习要点1.自动控制基本术语：自动控制、系统、自动控制系统、被控量、输入量、干扰量、受控对象、控制器、反馈、负反馈控制原理等。

2.控制系统的基本方式：①开环控制系统；②闭环控制系统；③复合控制系统。

3.自动控制系统的组成：由受控对象和控制器组成。

4.自动控制系统的类型：从不同的角度可以有不同的分法，常有：恒值系统与随动系统；线性系统与非线性系统；连续系统与离散系统；定常系统与时变系统等。

5.对自动控制系统的基本要求：稳、快、准。

6.典型输入信号：脉冲、阶跃、斜坡、抛物线、正弦。

二、基本要求1.对反馈控制系统的基本控制和方法有一个全面的、整体的了解。

2.掌握自动控制系统的基本概念、术语，了解自动控制系统的组成、分类，理解对自动控制系统稳、准、快三方面的基本要求。

3.了解控制系统的典型输入信号。

4.掌握由系统工作原理图画方框图的方法。

三、内容结构图四、知识结构图第二章 控制系统的数学模型一、学习要点1．数学模型的数学表达式形式（1）物理系统的微分方程描述；（2）数学工具—拉氏变换及反变换；（3）传递函数及典型环节的传递函数；（4）脉冲响应函数及应用。

2．数学模型的图形表示（1）结构图及其等效变换，梅逊公式的应用；（2）信号流图及梅逊公式的应用。

二、基本要求1、正确理解数学模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。

2、了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。

3、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构、运动模态与特征根的关系、零输入响应、零状态响应等概念有清楚的理解。

4、正确理解传递函数的定义、性质和意义。

熟练掌握由传递函数派生出来的系统开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数等概念。

（＃）5、掌握系统结构图和信号流图两种数学模型的定义和绘制方法，熟练掌握控制系统的结构图及结构图的简化，并能用梅逊公式求系统传递函数。

误差传递函数：()()()()()()s H s G s G s R s E s e 2111+==Φ 欠阻尼典型二阶系统的时间常数：()12122++=TS S T s G ζ=2222nn n S S ωζωω++ 超调量%100%21⨯=--ζζπσe P 超调时间dp t ωπ=，21ζωω-=n d 上升时间dr t ωϕπ-=，ζϕarccos = 调节时间⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆=5,32,4nns t ζωζω分别对应：阶跃信号 斜坡信号 抛物线信号 根轨迹：1：起于开环极点，终于开环零点2：分支数为极点数n ，零点数m 的大者3：渐近线：实轴夹角()mn k a -+=πϕ12 交点mn zp mi jn i i a--=∑∑==11σ4：实轴上的分布5：分离点：由∑∑==-=-ni inj j p d z d 1111确定d 分离角()l k π12+6：起始角：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∑∑==n j i j m j i j p p p z k 1112θϕπ 终止角：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∑∑==n j i j m j i j z p z z k 1112θϕπ 7：虚轴交点：由()()[]01Re =+ωωj H j G 和()()[]01Im =+ωωj H j G 求得*K伯德图 T n /1=ω奈氏曲线()()（每一项模的乘积）lim lim ∞→∞→=ωωωωj H j G ()()（每一项模的乘积）lim lim 0→→=ωωωωj H j G ()()ωωωj H j G ∠∞→lim ()()ωωωj H j G ∠→lim 0用伯德图()ωϕ的范围确定 系统稳定0=+-=-+P N N Z截止频率c ω：()()c c j H j G ωω=1 相位穿越频率g ω：()()180-=∠g g j H j G ωω 相位裕度()()c c j H j G ωωγ∠+=0180 幅值裕度()()g g g j H j G K ωω1=或g K h lg 20=超前校正1：求K 画图 2：计算相位裕度γ'和幅值裕度h '、超前相角εγγϕ+'-''=∆，ε对应取值5~10，10~15，15~20的切线率-20，-40，-60 3：由mmm a ϕϕϕϕsi n 1si n 1,-+=∆=求得a 4：由()cG a ω'''=-lg 20lg 10解出m cωω='' 5：由Ta m 1=ω求得T 注：也可由第4步已知cω''求得a 和T 滞后校正1：求K 画图 2：计算截止频率'c ω相位裕度γ' 3：由()()c c cωϕωγγ'''+'''='' 其中()6-='''c c ωϕ ()()()c cc c j H j G ωωωγ''''∠+='''180 求得c ω'' 4：由()c G a ω'''=-lg 20lg 20求得a 再由caTω''=1.01求得T超前校正和滞后校正均应画出()S G 0、()S G 、()S G c 的伯德图，最后应验证是否满足题设条件。

自动控制原理笔记齐**1稳定性取决于系统的固有特性给扰动后偏移越来越小则稳定偏移发散则不稳定数学表达稳定=脉冲函数t趋于无穷脉冲响应趋于0化简思路：输出相应=输入*传递函数拉变后输出拉变=1（脉冲函数拉变为1）*传递函数=传递函数将传递函数拆项后反拉氏变换脉冲响应归成指数和稳定情况1负实根稳定2有负实部共轭虚根可以化成指数和三角函数乘积稳定3共轭纯虚根变换后为三角函数不稳定4 原点常数不稳定5正实根不稳定6正实数共轭虚根不稳定口诀有负实部就稳定所以判断方法只需要判断是否有负实根就可以劳斯稳定性判据（确实系统是否稳定与稳定度）1稳定性的初步检查：特征方程所有系数同号且不缺项则稳定（必要条件）2正式判断步骤列Routh表前两行第一项和之后的不断进行（-行列式运算）/第二行第一个数字没有数字需要运算的地方0补齐判断若第一列均为正数则稳定否则不稳定且符号改变数为右半面s的根数特殊1若某行第一个数字为0但这行不全为0 可用小正数代替。

算完后取极限它本身算一个正数2一行全为0则用上一行构造辅助数列求导得出的系数最后解辅助数列根据是否稳定选出对的根想要有良好相应，常希望左半面系统特征根位置与虚轴有一定距离（稳定度）解具体问题思路：1写闭环传递函数2根据稳定度，对传递函数进行变换（闭环点全在a左则将s变成s1+a保证稳定度）过渡过程一个稳态到新稳态的变化过程单位阶跃信号tr上升时间0开始首次达到稳态时间（百分之10到百分之90）Tp 峰值时间超调量相应最大偏移量与终值之差的百分比太大会影响系统状态Ts调节时间保持在允许误差范围内，所需最短时间震荡次数延迟时间td 到终值一半的时间Tr tp （快慢）超调量（稳）Ts （综合性指标反应快慢）非阶跃无超调量ts只有稳态误差时域分析一阶系统。

第一章的概念1、典型的反馈控制系统基本组成框图:复合控制方式3、基本要求的提法：可以归结为稳定性（长期稳定性） 第二章要求：1、 掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；2、 牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；3、 明确传递函数与微分方程之间的关系；4、 能熟练地进行结构图等效变换；5、 明确结构图与信号流图之间的关系；6、 熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；例1某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数总复习、准确性（精度）和快速性（相对稳定性） C i （s ） C 2（s ） C 2（s ） G（S ）复合控制方C i (s) _ G,s)C 2(s)R i (s)1 - G 1G 2G 3G 4 R i (s)-G 1G 2G 31 - G 1G 2G 3G 4C(s) C(s) E(s) E(S) R(s)，N(s)，R(s)，N(s)例3： 例2某一个控制系统动态结构图如下，试分别求系统的传递函数:EG.7)► * kG 1（S ）G2（S ）C(s) _R(s) 1 G 1(s)G 2(s)H(s) C(s)-G 2 (s) N(s) 一 1 G,S )G 2(S )H(S )r(t) - u 1 (t) i (t) m「1(t ) R 115(t) = J 川dt)-i 2(t)]dtMy)J(t)R 2C(t)二 1 i 2(t)dtC2将上图汇总得到:R(s) +l i (s) +U i (s)l 2(s)U 1(s )*l 2(s)C(s)1 C 1sC(s)I i (s)U i (s)I2G)(b)例5如图RLC 电路，试列写网络传递函数U c (s)/U r (s).例6某一个控制系统的单位阶跃响应为:C(t) =1 -2e't • e ，，试求系统的传递函数、微分方程和脉冲响应。

解：传递函数：2〜、3s +2 八厶八、计 d c(t)丄小dc(t )丄小/八 cdr(t)丄“、 G(s)，微分万程： 2 3 2c(t)=3 2r(t)(s + 2)(s+1)dt 2 dt dt脉冲响应：c(t)二-e‘ 4e'2tk =1例4、一个控制系统动态结构图如下，试求系统的传递函数。

A.阶跃函数 斜坡函数 抛物线函数 脉冲函数 正弦函数B.典型环节的传递函数 比例环节 惯性环节(非周期环节) 积分环节微分环节 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 延迟环节 C.环节间的连接串联并联反馈 开环传递函数=前向通道传递函数=负反馈闭环传递函数 正反馈闭环传递函数D.梅逊增益公式E.劳斯判据 劳斯表中第一列所有元素均大于零 s n a 0 a 2 a 4 a 6 …… s n-1a 1 a 3 a 5 a 7 ……s n-2 b 1 b 2 b 3 b 4 …… s n-3 c 1 c 2 c 3 c 4 …… … … …s 2 f 1 f 2s 1 g 1 s 0 h 1,,,,,,141713131512121311171603151402131201b b b a a c b b b a a c b b b a a c a a a a a b a a a a a b a a a a a b -=-=-=-=-=-=劳斯表中某一行的第一个元素为零而该行其它元素不为零，ε→0；劳斯表中某一行的元素全为零。

P(s)=2s 4+6s 2-8。

F.赫尔维茨判据 特征方程式的所有系数均大于零。

⎩⎨⎧≥<=000)(t A t t r ⎩⎨⎧≥<=000)(t At t t r ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=02100)(2t At t t r ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεt t z At t r 0000)(⎩⎨⎧≥<=0sin 00)(t t A t t r ωKs R s C s G ==)()()(1)()()(+==Ts K s R s C s G sT s R s C s G i 1)()()(==sT s R s C s G d ==)()()(2222)(n n n s s K s G ωζωω++=se s R s C s G τ-==)()()()()()( )()()()()()()()()(211121s G s G s G s X s C s X s X s R s X s R s C s G n n =⋅==-)()()( )()()()()()()(2121s G s G s G s R s C s C s C s R s C s G n n +++=+++== )()()()(s H s G s E s B =)()()(s G s E s C =)()(1)()()()(s H s G s G s R s C s +==Φ)()(1)()()()(s H s G s G s R s C s -==Φ∆∆=∑kk P TG.误差传递函数扰动信号的误差传递函数单位 输入形式 稳态误差e ss 0型 Ⅱ型 Ⅲ型 阶跃1(t) 1/1+Kp 0 0 斜坡t ·1(t) ∞ 1/Kv 0 加速度0.5t 2·1﹙t ﹚∞ ∞ 1/Ka I.二阶系统的时域响应：其闭环传递函数为 或 系统的特征方程为2)(22=++=n n s s s D ωζω特征根为1,221`-±-=ζωζωn n s上升时间t r其中 峰值时间t p最大超调量M p调整时间t sa.误差带范围为 ±5%b.误差带范围为± 2%振荡次数NJ.频率特性：还可表示为：G (jω)=p (ω)+jθ(ω) 为G (jω)的实部，称为实频特性； θ(ω)——为G (jω)的虚部，称为虚频特性。

自动控制原理重点知识点第一章 绪论P1 自动控制系统（由控制装置和被控对象组成）是指能够对被控制对象的工作状态进行自动控制的系统。

P5 自动控制系统分类：1、线性和非线性2、连续和离散3、自动调节和随动（跟踪） P7 控制系统的基本要求：稳定性高、响应速度快、精确度高。

第二章、 数学基础P13 拉普拉斯变换： δ（t ）→1；1（t ）→1s；21t s→.第三章、 控制系统的数学模型P25 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量之间的关系的数学表达式。

建立方法：分析法和实践法。

简化的数学模型通常是一个线性微分方程。

P26 建立步骤：1、 根据系统或元器件的工作原理，确定系统和各元器件的输入/输出变量。

2、 从输入端开始，按信号的传递顺序，依照各变量所遵循的物理或化学定律，按技术要求忽略一些次要因素，并考虑相邻器件的彼此影响，列出微分方程式或微分方程组。

3、 消去中间变量，求得描述输入量与输出量得微分方程式。

4、 标准化，即将与输入变量有关的各项放在等号右侧，将与输出变量有关的各项放在等号左侧，并按降幂顺序排列。

P29 线性定常系统的传递函数定义为：在零初始条件下，输出量与输入量的拉普拉斯变换之比。

P31 传递函数的几点说明：1、 传递函数只适用于线性定常系统。

2、传递函数是真分式函数。

3、与外作用形式无关。

4、对于MIMO 系统没有统一的传递函数。

5、传递函数不能反映非零初始条件下系统的全部运动规律。

6、一定的传递函数有一定的零极点分布图与之对应。

7、传递函数的几种表示形式。

（略） P32典型环节及其传递函数： 1、比例环节（放大环节）：c （t ）=Kr （t ）； G （s ）=K 2、惯性环节：Td c d t()()c t r t +=； G （s ）=11T s +3、积分环节：c （t ）=()r t dt ⎰； G （s ）=1s4、振荡环节： ()()2222d c dc TTc t r t dtdtξ++=；()222221212nn nG s T s Ts s s ωξξωω==++++5、 微分环节：理想、一阶、二阶分别是()()()()()()()()222,,2dr t dr t dr t d r c t c t r t c t r t dtdtdtdtττξτ==+=++()()()22,1,21G s s G s s G s s s ττξτ==+=++P35结构图：1、 并联、串联。

A.阶跃函数斜坡函数抛物线函数脉冲函数正弦函数B.典型环节的传递函数比例环节惯性环节(非周期环节)积分环节微分环节二阶振荡环节(二阶惯性环节)延迟环节C.环节间的连接串联并联反馈开环传递函数=前向通道传递函数=负反馈闭环传递函数正反馈闭环传递函数D.梅逊增益公式E.劳斯判据劳斯表中第一列所有元素均大于零s n aa2a4a6……s n-1 a1a3a5a7……s n-2 b1b2b3b4……s n-3 c1c2c3c4……… … …s2 f1f2s1 g1s0 h1劳斯表中某一行的第一个元素为零而该行其它元素不为零，ε→0；劳斯表中某一行的元素全为零。

P(s)=2s4+6s2-8。

F.赫尔维茨判据特征方程式的所有系数均大于零。

G.误差传递函数扰动信号的误差传递函数I.二阶系统的时域响应：其闭环传递函数为或系统的特征方程为2222)()(nnnsssRsCωζωω++=121)()(22++=TssTsRsCζ特征根为 上升时间t r其中峰值时间t p最大超调量M p调整时间t sa.误差带范围为 ±5%b.误差带范围为± 2%振荡次数N J.频率特性： 还可表示为：G (jω)=p (ω)+jθ(ω) p (ω)——为G (jω)的实部，称为实频特性； θ(ω)——为G (jω)的虚部，称为虚频特性。

显然有： K.典型环节频率特性：1. 积分环节 积分环节的传递函数： 频率特性：幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： 2. 惯性环节 惯性环节的传递函数： 频率特性：幅频特性： 相频特性：实频特性：虚频特性： 对数幅频特性：对数相频特性： 3. 微分环节纯微分环节的传递函数G (s )=s频率特性： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： 4. 二阶振荡环节 二阶振荡环节的传递函数：频率特性： 幅频特性： 相频特性： 实频特性： 虚频特性： 对数幅频特性：5. 比例环节比例环节的传递函数： G (s )=K频率特性： 幅频特性： )()()(ωωωj R j C R C j G ss ==⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+===)()()()()()()(sin )()()(cos )()(22ωωθωϕωθωωωϕωωθωϕωωp arctgp A A A p s s G 1)(=211)(πωωωj e j j G -==ωω1)(=A 2)(πωϕ-=ωωωlg 20)(lg 20)(-==A L 11)(+=Ts s G T jarctg e T T j j G ωωωω⋅-+=+=2)(1111)(2222111T T j T ωωω+-+=2211)(T A ωω+=Tarctg ωωϕ-=)(2211)(T p ωω+=221)(T T ωωωθ+-=221lg 20)(lg 20)(T A L ωωω+-==Tarctg ωωϕ-=)(2)(πωωωje j j G ==ωω=)(A 2)(πωϕ=ωωωlg 20)(lg 20)(==A L 121)(22++=Ts s T s G ζ12)(1)(2++=ωζωωT j T j j G 2222)2()1(1)(T T A ζωωω+-=2212)(ωζωωϕT T arctg --=222222)2()1(1)(T T T p ζωωωω+--=2222)2()1(2)(T T T ζωωωζωθ+--=2222)2()1(lg 20)(lg 20)(T T A Lζωωωω+--==Kj G =)(ωK A =)(ω21ζωβπωβπ--=-=n d r t ζζβ21-=arctg 21ζωπωπ-==n d p t %1001exp )()()(2⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∞∞-=ζζπh h t h M p p ns t ζω3=ns t ζω4=πωωπ2/2s d d s d s t t T t N ===相频特性： 对数幅频特性： 6. 滞后环节 滞后环节的传递函数： 式中 —— 滞后时间 频率特性： 幅频特性： 相频特性： 对数幅频特性： L.增益裕量： 式中ωg 满足下式∠G (j ωg ) H (j ωg )= -180°增益裕量用分贝数来表示:Kg =-20lg|G (j ωg )H (j ωg )|dB 相角裕量：定义：使系统达到临界稳定状态，尚可增加的滞后相角 ，称为系统的相角裕度或相角裕量，表示为 M.由开环频率特性求取闭环频率特性开环传递函数G (s )，系统的闭环传递函数 系统的闭环频率特性N.闭环频域性能指标与时域性能指标 的关系二阶系统的闭环传递函数为系统的闭环频率特性为系统的闭环幅频特性为系统的闭环相频特性为 二阶系统的超调量Mp谐振峰值Mr 由此可看出，谐振峰值Mr 仅与阻尼比ζ有关，超调量Mp 也仅取决于阻尼比 ζ谐振频率ωr 与峰值时间tp 的关系由此可看出，当 ζ为常数时，谐振频率 ωr与峰值时间 tp 成反比，ωr 值愈大，tp 愈小，表示系统时间响应愈快. 低频段对数幅频特性 0)(=ωϕK A L lg 20)(lg 20)(==ωωse s G τ-=)(τωτωj ej G -=)(1)(=ωA )(3.57)()(C rad οωττωωϕ-=-=dBA L 0)(lg 20)(==ωω)()(1g g g j H j G K ωω=）ψ（ωγc 180+︒=)(1)()()()(s G s G s R s C s M +==)(1)()()()(ωωωωωj G j G j R j C j M +==2222)(nn n s s s ωζωωφ++=2222)()(n n n j j j ωωζωωωωφ++=22222)2()()(ωζωωωωωn n n M +-=222)(ωωωζωωϕ--=n n arctg %10021/⨯=--ζζπe M p 2121ζζ-=r M 22121ζζπω--=r p t ωυωlg 20lg 20)(-=K L d。

A.阶跃函数 斜坡函数 抛物线函数 脉冲函数 正弦函数B.典型环节的传递函数 比例环节 惯性环节(非周期环节) 积分环节微分环节 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 延迟环节 C.环节间的连接串联并联反馈 开环传递函数=前向通道传递函数=负反馈闭环传递函数正反馈闭环传递函数D.梅逊增益公式E.劳斯判据 劳斯表中第一列所有元素均大于零 s n a 0 a 2 a 4 a 6 …… s n-1 a 1 a 3 a 5 a 7 ……s n-2 b 1 b 2 b 3 b 4 …… s n-3c 1 c 2 c 3 c 4 …… … … …s 2 f 1 f 2s 1 g 1 s 0 h 1,,,,,,141713131512121311171603151402131201b b b a a c b b b a a c b b b a a c a a a a a b a a a a a b a a a a a b -=-=-=-=-=-=劳斯表中某一行的第一个元素为零而该行其它元素不为零，ε→0； 劳斯表中某一行的元素全为零。

P(s)=2s 4+6s 2-8。

F.赫尔维茨判据 特征方程式的所有系数均大于零。

⎩⎨⎧≥<=00)(t A t t r ⎩⎨⎧≥<=000)(t At t t r ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=02100)(2t At t t r ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεt t z At t r 0000)(⎩⎨⎧≥<=0sin 00)(t t A t t r ωKs R s C s G ==)()()(1)()()(+==Ts K s R s C s G s T s R s C s G i 1)()()(==sT s R s C s G d ==)()()(2222)(n n ns s K s G ωζωω++=se s R s C s G τ-==)()()()()()( )()()()()()()()()(211121s G s G s G s X s C s X s X s R s X s R s C s G n n =⋅==-)()()( )()()()()()()(2121s G s G s G s R s C s C s C s R s C s G n n +++=+++== )()()()(s H s G s E s B =)()()(s G s E s C =)()(1)()()()(s H s G s G s R s C s +==Φ)()(1)()()()(s H s G s G s R s C s -==Φ∆∆=∑kk P TG.误差传递函数扰动信号的误差传递函数I.二阶系统的时域响应： 其闭环传递函数为 或 系统的特征方程为2)(22=++=nn s s s D ωζω特征根为1,221`-±-=ζωζωn n s上升时间t r其中 峰值时间t p最大超调量M p调整时间t sa.误差带范围为 ±5%b.误差带范围为± 2%振荡次数NJ.频率特性：还可表示为：G (jω)=p (ω)+jθ(ω) 为G (jω)的实部，称为实频特性； 为G (jω)的虚部，称为虚频特性。