一元二次方程根与系数的关系及应用题一、 根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。
4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。
若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。
如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是 ；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求： （1）11αβ+；（2）()()33++βα的值； （3）22αβ+； （4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有 个。
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的解也是数学中的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系。
一元二次方程的一般形式为： ax^2 + bx + c = 0 （其中，a、b、c为实数且a ≠ 0）这个方程中的根可以通过求解方程来得到。
一元二次方程的解可以分为三种情况，具体取决于判别式的值（Δ=b^2 - 4ac）。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这是最常见的情况，我们可以通过求解公式 x = (-b ± √Δ) / (2a) 来找到这两个根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这被称为方程的重根，解可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根。
在这种情况下，方程的解为复数根，我们可以用公式 x = (-b ± i√|Δ|) / (2a) 求得复数根，其中i是虚数单位。
根据以上三种情况，我们可以看出方程的根与系数之间的关系：1. 根与系数的和：根与系数的和是一个常数，可以通过视方程的一元一次项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的和可以表示为 -b / a。
这是因为根的和可以通过展开方程 (x-α)(x-β) =0 和整理可得的公式(α + β) = -b / a 来求得。
2. 根与系数的积：根与系数的积也是一个常数，可以通过方程的常数项来确定。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的两个实根的积可以表示为 c / a。
这是因为根的积可以通过展开方程 (x-α)(x-β) = 0 和整理可得的公式(αβ) = c / a 来求得。
3. 系数的平方与根的乘积：系数的平方与根的乘积也是一个常数，它等于方程的常数项除以方程的二次项系数的平方。
即(α + β)(αβ) = c / a^2。
通过以上的分析，我们可以得出一元二次方程的根与系数之间的关系，并利用这些关系来推断方程的性质和求解方程。
当今教科书指出：一元二次方程的根与系数的关系属选学内容，只供学习有余力的学生学习。
但是一元二次方程的根与系数的关系这个知识点的应用却是相当的广泛，习题的内容之多，题目的形式灵活多样，在中考及平时的考试中所占分值却很重，而大部分同学对这个内容却学得不好。
在此简单讲解一下一元二次方程的根与系数的关系的相关知识及相关应用，望对同学们有所帮助。
一元二次方程的根与系数的关系（以前的教科书叫韦达定理）：如果方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比。
一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的，下面是证明的过程：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根，，，故有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
该知识点的使用方法：先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后确定二次项系数、一次项系数及常数项（特别是要注意这些系数的符号），最后再根据根与系数的关系，求出相关值。
一、根与系数的关系的直接应用例1：不解方程，求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。
解：将原方程化为一般形式得：2x2+4x-1=0确定a，b，c的值为a=2，b=4，c=-1于是x1+x2=- c/a=-2，x1x2=c/a=-1/2。
二、根与系数的关系的几种变形例2： x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22 （2）| x1-x2| （3）x12+3x22-3x2解：由根与系数关系可知 x1+x2=3/2， x1x2 =-5/2（1） x12+x22=（x1+x2）2 -2x1x2=（2） | x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=√19/2（3）由2x2-3x-5=0可得：2x2-3x=5故：原式= （x12+x22）+（2x22-3x2）= +5 = 12三、由根与系数的关系求字母的值例3：已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。
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4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。
○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。
解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。
