一元二次方程根与系数的关系(1)

一元二次方程根与系数的关系专题练习

一、求特定代数式的值：

例1：已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：

(1)12xx＋； (2)12xx； (3)2212xx＋； (4)122133xxxx； (5)2121232xxxx

二、求方程的根

例2：若关于x的方程02352mxx的一个根是－5，求另一个根及m的值.

三、求参数的值

例3：(2018·十堰)已知关于x的一元二次方程011222kkxkx有实数根.

(1)求k的取值范围；

(2)若此方程的两实数根1x，2x满足112221xx，求k的值.

例4：已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若12,xx是原方程的两根，且12||22xx－,求m的值，并求出此时方程的两根.

例5：(2017•鄂州)关于的方程有两个不相等的实数根.

(1)求实数的取值范围；

(2)设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数，使得125xx？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由.

例6：(2014·孝感)已知关于x的方程22(23)10xkxk有两个不相等的实数根1x、2x．

(1)求k的取值范围；

(2)试说明10x，20x；(3分)

(3)若抛物线22(23)1yxkxk与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且23OAOBOAOB，求k的值．

x032)12(22kkxkxk21,xxkk例7：已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－4k－3=0有两个实数根x1,x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若x1＋2x2=－1,求k的值.

【折等边三角形】

(2016·孝感)如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN,MN，延长MN交BC于点G．

一元二次方程根与系数的关系训练题

一、填空题

1.如果x1、x2是一元二次方程02x6x2的两个实数根，则x1+x2=_________.

2.一元二次方程03xx2两根的倒数和等于__________.

3.关于x的方程0qpxx2的根为21x,21x21，则p=______，q=____.

4.若x1、x2是方程07x5x2的两根，那么_______________xx2221，.________)x(x221

5.已知21x,x为方程01x3x2的两实根，则.__________20x3x221

6.方程02x5x2与方程06x2x2的所有实数根的和为___________.

二、选择题

7.已知a、b是关于x的一元二次方程01nxx2的两实数根，则式子baab的值是（ ）

A.2n2 B.2n2 C.2n2 D.2n2

8.以3和—2为根的一元二次方程是（ ）

A.06xx2 B.06xx2 C.06xx2 D.06xx2

9.设方程0mx5x32的两根分别为21x,x，且0xx621，那么m的值等于（ ）

A.32 B.—2 C.92 D.—92

10.已知0)2m2()x1(mx2两根之和等于两根之积，则m的值为（ ）

A.1 B.—1 C.2 D.—2

. . 一元二次方程根与系数的关系 （附答案）

评卷人 得 分

一．选择题（共6小题）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）

A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）

A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1

3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．不能确定

4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（ ）

A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．

6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

评卷人 得 分

二．填空题（共1小题）

7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为 ．

评卷人 得 分

. . 三．解答题（共8小题）

8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L的长．

9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．

（1）若该方程的一个根为1，求a的值；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3，求m的值．

《一元二次方程根与系数的关系》教案

教学目标：

1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：

一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：

一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：

通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）

【师生活动】：

教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。

【设计意图】：

本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】：

1、方程：X2+3X–4=0

（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。

（2）解得方程的根X1=______ ，X2=______ 。

（3）则X1+X2=_______， 方程中 （）二次项系数一次项系数

(4) X1·X2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项 2、方程3 X2+X-2=0

（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。