一元二次方程的根与系数的关系

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8一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

若

21,xx

是关于x

的一元二次方程)0(02

acbxax

的两个根，则方程的两个根

21,xx

和系数cba,,有如下关系：

ac

xx

ab

xx

2121,.

【例1】先阅读，再填空解题：

⑴方程x2

－x－12＝0的根是：x

1＝3，x

2＝4，则x

1＋x

2＝1，x

1·x

2＝12；

⑵方程2x2

－7x＋3＝0的根是：x

1＝1

2，x

2＝3，则x

1＋x

2＝7

2，x

1·x

2＝3

2；

⑶方程x2

－3x＋1＝0的根是：x

1＝，x

2＝．

则x

1＋x

2＝，x

1·x

2＝；

⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：

如果关于x的一元二次方程mx2

＋nx＋p＝0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为

x

1、x

2，那么x

1＋x

2、x

1·x

2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．

⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①22

1221xxxx；②

22

1211

xx

【例2】不解方程，求下列方程两根的积与和．

⑴2

5100xx⑵2

2710xx

⑶2

3125xx⑷

137xxx一元二次方程根与系数的关系

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8【例3】（1）设方程2

4730xx的两个根为

1x

、

2x

，不解方程求下列各式的值

①

12(3)(3)xx；②21

1211xx

xx

；③

12xx

（2）已知

、

是方程2

520xx

的两根，求



的值．

（3）设

1x、

2x是方程

22

2120xkxk的两个不同的实根，且

12118xx，

则k的值是__________．

【例4】若方程2

10xpx

的一个根为12，则它的另一根等于__________，p等于

_________

【例5】（1）已知关于x的一元二次方程22

(21)0xmxm有两个实数根

1x和

2x．

①求实数m的取值范围；

②当22

120xx时，求m的值．

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8（2）已知一元二次方程2

1 代数：一元二次方程根与系数的关系

一、一元二次方程的根与系数关系：

二、一元二次方程的根与系数关系的应用

应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数.

应用3，不解方程，利用定理求出关于x1,x2的对称式的值.

.,11,,,11,,213231212132312221等等如xxxxxxxxxxxx

应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数.

应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系.

应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.

应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.

三、相关练习

1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.

xx1.025.0.12 xx21231.22

22322.32xx )(4)(.42222222babaabxxba

2．已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

已知方程7x2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k的值.

3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两个根的

（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x1-x2，（5）1221xxxx

4．设x1、x2是方程3x2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.

221122221221)2()1(xxxxxxxx （3）（2x1+5）（2x2+5） （4）x1-x2

5．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313

6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.

7．已知方程2x2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.

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根与系数关系

1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；

2、熟练应用根与系数的关系.

结论：

【知识梳理】

1、 一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。

2、 一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42

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（1）当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即x1＝242bbaca，x2＝242bbaca。

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等实数根即x1＝x2＝2ba。

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]

如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21,xx，那么abxx21,acxx21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商。

➢ 韦达定理的逆定理：

如果实数21,xx满足acxxabxx2121，，那么21,xx是一元二次方程02cbxax的两个根。

利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确。

➢ 韦达定理的两个重要推论：

推论1：如果方程02qpxx的两个根是21,xx，那么pxx21，qxx21。

推论2：以两个数21,xx为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212xxxxxx。

➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：

(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

21。2。4 一元二次方程的根与系数的关系

A基础知识详解————————--——-—

☆知识点 一元二次方程根与系数的关系

关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2= -ab ，x1x2=

ac 。

常用变形 x12+x22=(x1+x2）2-2x1x2; (x1+1)(x2+1）=x1x2+(x1+x2）+1;

21221214)(xxxxxx;

2111xx=2121xxxx；2112xxxx=21212212)(xxxxxx。

逆用 如果已知某一元二次方程的两根为x1，x2，则该一元二次方程可表示为x2-（x1+x2)x+x1x2=0或（x—x1)（x-x2）=0。

特别提醒 根与系数关系存在的基础是方程有解，即△≥0。

○随堂例题

例1 设a,b是方程x2+x—2018=0的两个不相等的实数根．

（1)a+b= ；ab= ；

（2）求代数式a2+2a+b的值．

自主解答:（1)∵a，b是方程x2+x—2016=0的两个不相等的实数根，

∴a+b=-1；ab=-2016；

（2）∵a是方程x2+x-2018=0的实数根，

∴a2+a—2018=0，∴a2=-a+2018，

∴a2+2a+b=-a+2018+2a+b=a+b+2018，

∵a、b是方程x2+x-2018=0的两个实数根,

∴a+b=—1，

∴a2+2a+b=—1+2018=2017．

【一中名师点拨】（1）直接利用根与系数的关系求解；（2）要先变形，利用根与系数的关系已经方程的解来求解。

○随堂训练

1.已知x1、x2是方程2x2+3x—4=0的两根，那么x1+ x2=

23 ；x1·x2= 2 ；11x+21x= 43 ;2221xx=

47 ;21xx= 423。