弹塑性力学第五章

基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂直向下， 则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
-vzw （5-1） y
x
u x
式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚
v y
方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 下表面处位移最大。
利用式（a）的第一、第二和第四式， 得应变分量的表示式
x x 2w 2z
y y 2w 2z
xy 2 x 2 w yz
y
y
E
1 2
y
x
xy
E
2 1
xy
x
Ez 1
2
z 1
2
2w y2
2w x 2
xy
Ez 1
2w xy
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
第五章 薄板的小挠度弯曲
•
板是工程中常用的构件，当外荷载作用方
向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳
现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载
作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空
间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，
要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解
非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。

3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ

?总应变能u等于体积变化位能uv与形状变化位能uf之和uuuuuvuf弹性与塑性?由弹性理论单位体积变形位能等于应力分量与相应的应变分量乘积之和的一半主坐标系中1u??????????321000000tij??????????321000000tij233221152米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??由广义虎克定律弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系弹性与塑性13211?e133112222?e式中为泊松系数于是可得e12133?e2131223211??eu2133?221133221232221?e52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??单位体积变化位能uv确定弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系取应力球张量及应变球张量弹性与塑性??????????????m0000????????m0000由此得???mmt0???????mmt0mmmmmmmmvu2321311321m3321m52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??单位体积变化位能uv确定弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系将应力表示应变的虎克定律公式代入上式弹性与塑性331232133e1??em因此23132132121??e21321321231323?euv261232123213?e52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则的物理意义??单位体积形状变化位能uf确定弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系弹性与塑性vfuuu?222e1133221232221?e化简可得5826123212321??e63e61133221232221?223212321?61213232221???euf52米塞斯屈服准则52米塞斯屈服准则521米塞斯屈服准则522米塞斯屈服准则物理意义??对比式54与式58弹性与塑性力学基础力学基础第五章屈服准则与塑性应力应变关系第五章屈服准则与塑性应力应变关系545858弹性与塑性2s2132322212???1222???

硬化材料:
加卸载准则
理想塑性材料:
5.3 流动法则
流动规则用以确定塑性应变增量的方向或塑性应变增量张量的各个分量间的比 例关系。塑性理论规定塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g决定。在应力 空间中，各应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过该点的塑性势面相垂直。所 以流动规则也叫做正交定律。这一规则实质上是假设在应力空间中一点的塑性应变 增量的方向是惟一的，即只与该点的应力状态有关，与施加的 应力增量的方向无关，亦即
5.2 屈服准则
屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
f (ij , k) 0
k为状态参数，与硬化/软化参数有关
5.2 屈服准则
弹性 f (ij , k) 0 塑性 f (ij , k)=0 ? f (ij , k)>0
f f T f T k 0
k
5.2 屈服准则
➢压硬性 ➢等压屈服特性 ➢剪胀性 ➢应变软化特性 ➢与应力路径相关性
5.1 基本原理
塑性理论的基本概念：
1、屈服准则（Yield criterion ） 屈服面是应力空间内弹性状态与弹塑性状态之间的分界面。
2、硬化（软化）规律（Harding/Softening rule） 硬化规律是确定加载过程中屈服面位置和大小变化的规律。
3、流动准则（Flow rule） 流动准则用来确定塑性加载过程中塑性应变增量的方向。
不硬化
5.4 硬化规律
等向强化 是指屈服面以材料中所
作塑性功的大小为基础在尺寸上 扩张。
随动强化 假定屈服面的大小保持不变而仅 在屈服的方向上移动，当某个方向的屈服 应力升高时，其相反方向的屈服应力应该 降低。
在随动强化中，由于拉伸方向屈服应力的 增加导致压缩方向屈服应力的降低，所以在 对应的两个屈服应力之间总存 的差值，初 始各向同性的材料在屈服后将不再是各向同f (σ, Ro ) 0

在一般情况下,屈服条件和所考虑的应力状态有关
f (ij) 0
屈服函数. 表示在一个六维应力空间内的 超曲面.
超曲面上的任一点(称为应力点)都表示一个屈服应力
状态. 所以又称 屈服面.
对于各向同性材料,坐标轴的转动不应当影响 材料的屈服,因而可以取三个应力主轴为坐标 轴.屈服函数改写为
f(1,2,3)0
第一类边值问题 在全部边界上给定体力和面力，求在平衡状态下的 应力场和位移场，称这类问题为应力边值问题。
边界称为自由边界，属应力边界的特殊情况。如果边界上有集中力， 应转换为作用在微小面积上的均布面力；集中力偶则应转换为作用 在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题 给定物体力和在物体表面各点的位移，求在平衡状 态下的应力场和位移场，称这类问题为位移边值问题。
当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程，6个几何 方程以及6个本构方程。但在此情况下多引进了一个参数
d ，不过也增加了一个屈服条件 f (ij) 0
只有在应力满足屈服条件时，d 才不等于零。
在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题 的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即
球形应力状态只引起弹性体积变化,而不影响材料的屈服.
屈服函数只包含应力偏量,即
f (sij) 0
这样,屈服函数为应力偏量的函数,而且可以在 主应力1，2，3所构成的空间,即主应力空间 内来讨论.
4 德鲁克公设与伊留申公设
Drucker公设:
对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。
由此可见，弹性力学的基本方程组一般地反映物体内部的应 力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件具体 给定了每一个边值问题的特定规律。因此，每一个具体问题 反映在各自的边界条件上。所以，弹性力学问题的基本方程 组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。

(1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量 来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量 来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3)混合法：即以一部分位移分量和一部分应力分量作为 基本未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜 于求解混合边值问题。
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性

k , ki i , jj ij , j i
或
在弹性状态时，上式右端等于零，可得 到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上 式右端作为已知项，又可以解出第二次近似 解。重复以上过程，可得出所要求精度内接 近实际的解。在小变形情况下，可以证明解 能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已 能给出较为满意的结果。
六、幂次强化材料 设梁的材料为幂次强化材料，其单向拉 压时的应力-应变关系服从幂规律 σ = B ε n signε 0 ≤ n ≤ 1 。单 式中 B 和 n 为常数，由实验测定， 拉时 n n σ = Φ(ε ) = Bε = B(κy )
M = 4∫ Φ(κy ) b( y ) ydy = 4 Bκ n ∫ b( y ) y n +1dy
§5-1 §5-2 §5-3
弹塑性力学中的边值问题 梁的纯弯曲 梁的横力弯曲
§5-1
弹塑性力学中的边值问题
塑性本构关系有全量和增量两种理论， 这两种理论的边值问题的提法及解法 全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 f i ，在应力边界 ST 上 给定面力 f i ，在位移边界 Su 上给定 ui ，要求 物体内部各点的应力σ ij 、应变 ε ij 、位移 ui 。 确定这些未知量的基本方程组有： 1） σ ij ,i + f j = 0
d 2v ε ε x = ε = = − y 2 , ε y = ε z = − , γ xy = γ yz = γ zx = 0 dx ρ 2 y
满足应变协调方程 。 在弹性区的边界处 y = ys , σ = σ s ，由
d 2v σ x = Eε = − Ey 2 dx
所以梁轴的挠曲方程为 故
εs ys = κ
Eε s y y =σs Eε = Eκy == ys ys

平衡方程
1
几何方程
2 1 3
2018/7/31
变形协调方程
22
第五章 简单弹塑性力学问题
二、考虑加载路径对桁架变形的影响——比例加载
P 3 2 1 A 2 2 P 2 2 A 2 2 P 1 2 3 A 2 2
塑性极限荷载
得
由于此时三根杆都已屈服，变形已不再受到任何约束，桁架进入 无限制塑性变形阶段 ，结构丧失进一步承载的能力，所以，又表示桁 架的 极限承载能力 。从上式可以发现， Ps 与材料的弹性模量无关。这 表明，如果采用理想刚塑性模型，则求出的 Ps 仍是一样的。这就为结 构的极限分析带来了极大的方便。
2018/7/31 5
第五章 简单弹塑性力学问题
【解】1、弹性阶段－弹性解和弹性极限荷载（ 0＜P≤ Pe ）
N1 N3
N1 cos N 2 N3 cos P
平衡关系
N3 N1 N2 1 , 2 , 3 A A A
1 3 2 1 cos 2 P / A
第五章 简单弹塑性力学问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
第五章 简单弹塑性力学问题
引
言
简单桁架问题 梁的弹塑性弯曲问题 平面问题
2018/7/31
2
第五章 简单弹塑性力学问题
引 言
从本章开始，我们将应用前几章的基础理论和一般性原 理，解决工程实践中遇到的弹塑性力学问题。已经知道，经 过抽象化处理后，一个实际的弹塑性力学问题在数学上总是 归结为一个偏微分方程组的边值问题。因此，需要在严格的 边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数 学上的困难，所以在一般情况下，很难求得问题的解析解或 精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。 本章将通过几个简单的问题，说明弹塑性力学问题的理 论求解方法。

σs
E
不变， ，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态， 不变， （3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件： 条件： 条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）： 应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量： 塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−

§5-4 弹性体的变形能和外力势能
2、应力的功和形变势能（内力势能）
（7）.形变势能 U 的性质
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
3、弹性体上的外力功和外力势能
（取u = v = 0或者无变形状态时的外力功和势能为零点） 外力克服弹性力做功，转化为弹性势能， 就好像外力克服重力做功，转化为物体的重力势能。
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
2、应力的功和形变势能（内力势能）
（4）弹性体的应变能（平面问题）
（5）应变能密度的应变表示（平面应力为例）
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
2、应力的功和形变势能（内力势能）
（6）应变能密度与应力的导数关系
3.形变势能 U 的性质 （7）应变能密度的位移表示（平面应力为例） 将变形几何方程 代入 应变能密度表达式
第五章 弹性体的能量法
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
1.几点提示
弹性系统的组成：
弹性体 荷载系统：体力+边界面力 支承系统：以指定位移边界为例
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
1.几点提示
弹性静力学，物体点点平衡。 所以：外部荷载（体力，面力）必然是无限缓慢地加上去的。 只有这样，才能保证物体中每个微元实时处于平衡状态。 而外力是恒力
（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看 成是作用于微小单元上的“外力”。
§5-4 弹性体的变形能和外力势能
2、应力的功和形变势能
（2）应变能密度的一般形式（在我们这门弹性力学的范围内）
平面问题应变能密度
（3）应变能密度是坐标的函数 对于一个弹性体来讲，每一点都有自己的应变能密度，如果这些应变 能密度是连续的，那么它们就是坐标的函数。

利用 2 ij ij ，以上各式易改写为张量形式
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik
这六个方程的几何意义是被分割后的微分单元体在受力 变形后能重新拼合成连续体，即不会出现“撕裂”或 “套叠”等现象。如图（这里略）
(5.17)
F cos 2 1 2 A (1 2cos3 ) F 1 3 A (1 2cos3 )
(5.18)
由式(5.18)可见 3 1 ，当F增加时，杆3将首先屈服。 显然，当 3 s 时，桁架开始初始屈服，由式（5.18)可 求得桁架初始屈服时对应的荷载值 Fe
3.本构方程 1）弹性阶段，即
f ( ij ) 0或f ( ij ) 0, df 0
本构方程可表示为两种可相互转换的形式：（1）应力表 示应变；（2）应变表示应力
或
1 ij ij kk ij E E
(5.4)
ij kk ij 2G ij
为
1

因此，有变形协调关系
1 2 3 cos
2
(5.16)
1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载
当荷载F足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架 处于弹性阶段。由2 3 E 3
联立式(5.14)、(5.15)和(5.17)并求解，得
5.5 叠加原理（线弹性体）
考虑同一边界条件下作用在同一固体上的两组荷载情况:第 ' ' 一组体力 X i 和面力 X i' ,第二组为体力 X i''和面力 .设它 X i' ' ' 们引起的应力场、应变场和位移场分别为 ij、ij、ui ， '' '' '' 和 ij、ij、ui ，则在线弹性和小变形情况下两组荷载共同 作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用 时引起的相应场之和，即

2
ε = 0.707σ s
1 τ= 3
σs ε2 + γ2
1 3
γ = 0.408σ s
附一： 附一：
理想弹塑性材料的 Prandtl
理想弹塑性力学模型
— Reuss 理论
σ σs
Eε σ = σ s
ε ≤ εs ε > εs
εs εp εe ε
在塑性区， 在塑性区，应变增量由弹性和塑 性两部分组成。 性两部分组成。
简 单 的 弹 塑 性 问 题(二) 二
薄壁圆筒的拉扭联合变形 增量理论 全量理论
不可压缩（v=0.5）理想弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， 不可压缩（v=0.5）理想弹塑性材料的薄壁圆管受轴向拉力和扭矩作用， 使用Mises条件。 使用Mises条件。 条件 应力路径：（1）先拉至 ε s = ：（1 应力路径：（ （2）先扭后拉。 先扭后拉。
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
dσ σ 2 dε dε = + 3G σ s2
σ = 0 .707 σ s τ = 0 .408 σ s
σ 2 + 3τ 2 = σ s2

写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章 有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号 为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。 对于第一单元，在第1、2节点处的节点力 为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43

σθ
r
r b2 p a2 1 + 2 σ s 1 + ln − 2 2 a b −a r = σ sρ 2 a 2 p b2 2b 2 − b 2 − a 2 1 + r 2

ρ ＝b
b p l = σ s ln a
r σ r = σ s ln b
σ θ = σ s 1 + ln
r b
p=
σs
ρ 1 − 2 + 2 ln 2 b a
ρ2
塑性极限压力
σθ
σs σr
p
a
b
12
讨论： 讨论：
Mises 条件 条件:
(σ r − σ θ )2 + (σ θ
14
四、残余应力
结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。 结构经历弹塑性变形历史后零外载对应的应力。 初次加载( 时的应力： 初次加载 p*>pe ) 时的应力：σij 卸除的应力： 卸除的应力：σij e 残余应力： 残余应力：σij r
σ ij = σ ij − σ
r
e ij
15
σr = −
2. 弹塑性分析
弹性区：ρ≤ r ≤ b 弹性区： σ r = C 1 + C 2 r −2 σ θ = C 1 − C 2 r −2
边界条件： σ 边界条件：
r r=b
ρ: 弹塑性分界面的半径。 弹塑性分界面的半径。 σs
σθ a b
σr
=0
p
屈服条件： 屈服条件： σθ – σr）r=ρ = σs （

a≤r≤ ρ
ρ ≤r≤b

（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1

O es C e F 0.5ss D
051es 49.5es –21es –19.8es E
1.2ss
5.3 应变的表示法
变形后长度
• 工程应变： e ln l0
l0
(5.19) 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用s-e曲线不能真正代表加载和变形的状态。
颈缩阶段： 应变；应力
B
Ce
D
5.2 应力应变简化模型
例2：应力路径：01.5ss 0 –1.2ss 0
解： s D 0.5s s :
s E 1.2s s : sF 0:
eD
eC
0.5s s
E
49es;
eE
eD
0.7s s
E'
21e s
eF
eE
1.2s s
E
19.8e s
应变路径：
s
1.5ss
B
ss A
| s | (| de p |) (5.16)
2). 随动强化模型
塑性应变按绝 对值进行累积
拉伸和压缩的弹性范围不变
| s H (e p ) | s s (5.17)
例：线性强化的情形
| s ce p | s s
(5.18)
s
B
A
ss O
O’ e
ss’
ss’’
B’
B’’
等向强化：OABB’’ 随动强化：OABB’
1.5s s
E
49.5e s
1.5ss ss A
s D 0.5s s :
eD
eC
0.5s s
E
49es;
s E s s : sF 0:

E Ev ij ij ij e 1 v 1 2v 1 v
其中
e ii
6
塑性阶段，应力满足屈服函数 根据增量理论有
f ij 0 ，在此条件下，
1 1 d x dsx ds x , d xy d xy d xy 2G G 1 1 d y ds y ds y , d yz d yz d yz 2G G 1 1 d z dsz ds z , d zx d zx d zx 2G G
或者
ij, j Fbi 0
(i, j x, y, z )
3
几何方程
应变位移关系导出的应变协调方程
2 x y
2
u u v x , xy x y x v v w y , yz y z y w w u z , zx z x z
上式称为拉梅-纳维方程
16
e 2 u Fbx 0 x e 2 v Fby 0 y e 2 w Fbz 0 z
方程组是基本方程的综合（包括平衡方程、几何方程及 本构方程）、方程组含有三个未知函数。此外，边界条 件也要用位移表示，当给定位移边界条件时，问题自然 简单。如给定应力边界条件，则需将边界条件加以变换， 改用位移表示。
14
弹性力学问题的基本解法 解的惟一性
位移法--位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来
u v ve u x 2G , xy G x 1 2v y x v v w ve y 2G y 1 2v , yz G z y ve w w u z 2G , zx G z 1 2v x z 代入平衡方程