四年级奥数教程及训练-05枚举法解题(3页)

小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）知识要点我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。

我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。

这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。

解题指导11.枚举法在数字组合中的应用。

按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。

【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。

第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。

【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？解题指导22.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。

一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。

在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。

【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。

若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大。

【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。

用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。

2015年小学奥数计数专题——枚举法1．如图，有8张卡片，上面分别写着自然数l至8．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9．问有多少种不同的取法?2．从l至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法?3．现有1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法?4．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？5．有3个工厂共订300份《吉林日报》，每个工厂最少订99份，最多101份．问：共有多少种不同的订？6．在所有四位数中，各个数位上的数字之和等于34的数有多少个?7．有25本书，分成6份．如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法?8．小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁4种书，共10册．已知甲、乙、丙、丁这4种书每本价格分别为3元、5元、7元、11元，而且每种书至少买了一本．那么，共有多少种不同的购买方法?9．甲、乙、丙、丁4名同学排成一行．从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多少种?10．abcd代表一个四位数，其中a，b，c，d均为l，2，3，4中的某个数字，但彼此不同，例如2134．请写出所有满足关系a<b，b>e，c<d的四位数abcd来．11．一个两位数乘以5，所得的积的结果是一个三位数，且这个三位数的个位与百位数字的和恰好等于十位上的数字．问一共有多少个这样的数?12．3件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙3各穿一件．现有25个小球，首先发给甲1个球，乙2个球，丙3个球．规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿l号衣的人取他手中球数的1倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球．那么，甲穿的运动衣的号码是多少? 13．甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢；如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．那么一共有多少种可能的情况?14．用7张长2分米、宽1分米的长方形不干胶，贴在一张长7分米、宽2分米的木板上，将其盖住，共有多少种不同的拼贴方式?在这里，如果两种方案可以通过旋转而互相得到，那么就认为是同一种．15．用对角线把正八边形剖分成三角形，要求这些三角形的顶点是正八边形的顶点，那么共有多少种不同的方法?在这里，如果两种剖分方法可以通过恰当的旋转、反射，或者旋转加反射而互相得到，那么就认为是同一种．16．新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。

小学奥数枚举法题及答案【三篇】导读：本文小学奥数枚举法题及答案【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【篇一】枚举法问题在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。

一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。

你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。

在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。

他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。

因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。

【篇二】在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。

一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。

你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗? 答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。

在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。

课题第十五讲：用枚举法解应用题教学内容养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了．这种计数的方法就是枚举法．一般地，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的．这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。

运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏．为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。

．用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321．所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数．．小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）?我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类．解第1类：用l枚邮票时有5角、8角2种；第2类：用2枚邮票时有1元、1元3角、1元6角3种；第3类：用3枚邮票时有1元8角、2元l角2种；第4类：用4枚邮票时只有2元6角1种．共有2+3+2+l=8（种）．答能付8种不同的邮资．（1）用3、4、7三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少？（2）用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）?．用一台天平和重l克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况．解取一个砝码可称l克、3克、9克的重量，有3种；取两个砝码可称；1+3= 4（克），1+9=10(克)，3+9=12(克)的重量，有3种；取全部三个砝码可称：1+3+9 =13(克)的重量，有1种．注意到1，3，9，4，10，12，13各不相同，故可称出不同的重量有3+3+1=7（种）．说明用树形图可以把解题过程显示出来．．课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数，第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人．到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的人应是第几号？根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求．条件：（1）排队编号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30．（2）第一次报数后单号全部站出来．（3）以后每次：从余下的第一人站出来起，隔一人站出来一人．问题：到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的是第几号？解次数出队号码第一次1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29第二次2,6,10,14,18,22,26,30第三次4,12,20,28第四次8,24第五次16从上表的列举中，我们毫无遗漏地排列，得出到第五次这些人全都站出来了，最后一人是第16号．(1)把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的分法？(2)有甲、乙、丙、丁、戊五个足球代表队进行比赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛多少场？．A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有种．解如图15 -1，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式，同理，A第一次传给C，也有5种不同方式，所以，不同的传球方式共有10种，．用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？各种长方形的长与宽之和都是48÷2=24(厘米)．解由于各种长方形的长、宽都是整厘米数，且不相等，并且和为24厘米，可以列表如下：长23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13宽 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11因为23×1< 22×2<…<14×10< 13×11，所以符合条件的最大长方形的面积是13×11=143(平方厘米)答围成的最大一个长方形的面积是143平方厘米．此题用列举法思维，达到了快速、简捷的解题目的．从以上各例可以看到，利用树形图或列表分析的方法解答应用题，往往是非常有效的，它能把抽象、复杂的事情清楚、直观地展现在我们面前，为解题提供思路，另外，我们还应体会到，用枚举法解应用题的关键是准确分类，为此，必须注意两点：l．分类要全，分类不全．就会造成遗漏．分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来．2．分类要清，因为如果分不清，使第1类中有第2类、第2类中有第3类，互相包含，那么就会有重复．这样结果也就很难正确了．（1）从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机，某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种走法？（2）A、B、C三个自然数的乘积是6，求A、B、C三个自然数分别可能是几？(A、B、C可以是不同的数，也可以是相同的数)最有魅力的23个问题1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，有个年轻的科学家正在演讲，大家都被他讲的内容深深吸引，安静地听他演讲，每个人的眼睛里都闪烁着激动的光芒．当他结束演讲的时候，刚才还静悄悄的大厅里，顿时爆发出雷鸣般的掌声，这个轰动了全场的人是谁呢？他讲的是什么令人激动的内容呢？他就是德国的希尔伯特．他提出了今后一百年里数学家应当努力解决的23个问题．这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这个时候，希尔伯特心里的石头才落了地．刚才，他还在担心自己演讲的内容听众会不会接受呢．和下面的听众一样，希尔伯特也非常激动，此时的他，心潮澎湃，看来，我选择这个伟大的演讲题目果然没有错！原来，在来参加这次会议之前，希尔伯特一直在犹豫演讲的题目：是讲我自己的数学研究成果呢？还是讲一讲我对今后数学发展的看法呢？他写了一封信给自己的好朋友——数学家闵可夫斯基，征求他的意见，闵可夫斯基回信写道：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来……这样的题材，将会使你的演讲在今后几十年里成为人们议论的话题，”这样，希尔伯特就下定决心了，他整理了自己的看法，一共提出了23个问题．从那以后，全世界几乎所有的数学家，都被他的23个问题吸引，这23个问题成为20世纪数学学科发展的缩影．著名的“哥德巴赫猜想”就是第8个问题中的一部分，对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展，难怪有人说：“希尔伯特就像风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河，”今天，我们似乎还能听到那甜蜜笛声的召唤呢！一、填空题1．从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有____条路可走，2．有4个足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛____场；如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需比赛____场．3．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有____种不同的排法．4．从3，6，7，8这四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成____个不同的三位数，最大的三位数是____，最小的三位数是____．5．从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有____种不同的拿法．6．用1,0,3,5这四个数可以组成____个四位数．二、选择题7．有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7，8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是（）．(A) 21 (B) 42 (C) 24 (D) 188．两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握手（）．(A) 24次(B) 15次(C) 30次(D) 12次9．有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选用l面、2面或3面升上旗杆，组合出各种不同信号，一共可以组合不同信号（）．(A)5种(B)6种(C) 10种(D) 15种10．已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有（）．(A) 28个(B) 30个(C) 32个(D) 36个三、简答题11．有四张8角邮票与三张1元邮栗，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？一．填空题（每题6分，共48分）1．如图，一条直线上有四个点，那么这条直线上有______条线段，有______条射线．2．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲和乙必须站在两头，共有______种不同的站法．3．从分别写有2、3、4、5的四张卡片中任取两张，作两个一位数乘法，有______种不同的乘法算式，有______个不同的积，4．从7、4、2、O四张数字卡片中，挑选三张排成三位数，能排成______个不同的三位数，5．婷婷有3种不同颜色的上衣，5种不同颜色的裙子，那么她共有______种不同的穿法．6．由10元、50元、100元的人民币各一张，一共可以组成______种币值（组成的钱数）．7．如图，数出图中所有的正方形的个数是______个，8．在上题4×4的方格图中放A、B两枚棋子（棋子放在空格中），要求两枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有______种放法．二、选择题（每题8分，共24分）9．有4本不同的书，分别借给2名同学，每人借一本，不同的借法有( )种．(A)12 (B)6 (C) 10 (D)810.把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有( )种．(A)2种 (B)3种 (C)5种 (D)6种11.如图，甲地到乙地有三条路可通，从乙地到丙地有两条路可通，从丙地到丁地有三条路可通，从甲地到丁地有两条路可通．从甲地到丁地共有( )种不同的走法．(A) 20 (B) 10 (C) 36 (D) 24三、解答题（每题12分，共48分）12.甲、乙、丙三人约好每人报名参加数学、英语、美术、音乐四个课外小组中的一个，那么，报名的结果会出现多少种不同的情形？13.有8张卡片，上面分别写着自然数1至8，见下图．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？14.有正方体一个，它的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将这个正方体投掷两次．问：两次向上的一面数字之和为偶数的情况有多少种？15.小王有10张1元的人民币．5张2元的人民币，2张5元的人民币，要拿出10元买一本书，可以有多少种拿法？你最对了吗？答案：1.6，8．2.4种，甲一丙一丁一乙，甲一丁一丙一乙，乙一丙一丁一甲，乙一丁一丙一甲．3.12,6．枚举：2×3、2×4、2×5、3×4、3×5、4×5共六个乘法算式，交换两因数位置，又得到六个乘法算式．因此，共有12个乘法算式，有6个不同的积．4.18个，百位上可排7、4、2三个数，先考虑7排在百位上，共有六种情况（如图），同理，2排在百位上，4排在百位上也各有六种情况，所以不同的三位数共有6×3 = 18（个）．5.15．每种颜色的上衣可配5种不同颜色的裙子，则3种不同颜色的上衣配5种不同颜色的裙子，共有穿法为：5×3=15（种）．6.7种．10元、50元、100元、(10+50)= 60元、(10+100)= 110元、(50+100)=150元、(10+ 50+100)=160元．7.30．分四种情况计数：(1)边长为1个单位的正方形有16个；(2)边长为2个单位的正方形有9个；(3)边长为3个单位的正方形有4个；(4)边长为4个单位的正方形有1个．共有：16+9+4+1= 30（个）正方形．8.144．由于两枚棋子要一枚一枚地放，所以可分两步完成这件事，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中任意一个，有16种放法；第二步放棋子B，由于A棋子所在的行与列的方格中不能再放，故B只能放在剩下的9个方格中，有9种放法，根据乘法原理得：16×9=144（种）．所以，共有144种放法．9．A． 4×3 = 12（种）．10．D． 5件礼物分成三组，有两种不同的分组法：1，1，3或1，2，2．每种分组法有3种不同的排列，故有6种不同的分法．11．A．从甲到丁有以下路径：(1)甲→丁（有2种不同走法）；(2)甲→乙→丙→丁（有3×2×3=18种不同走法）．所以共有：2+18=20（种）不同的走法．12.64种，三人报名参加课外小组，彼此互不影响．甲报名，可报4个小组中的一个，有4种报名方法，同理，乙、。

小学奥数枚举法解题方法的介绍
有关小学奥数枚举法解题方法的介绍
甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。

到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。

问小强赛了几盘？
解：作表3-2。

甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√;乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√;丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√;丁与甲赛的那一盘也打上√。

丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。

根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。

答：小强赛了2盘。

第五讲枚举法一、课前热身：1、将由0、1、2、2四张数字卡组成的所有三位数，从大到小排列，第2个数是，2、如图所示，一个圆形托盘上放着三个相同的盘子，笑笑只将7个相同的苹果放在这一个盘子中，每个盘子中至少要放一个．那么笑笑有种放苹果的方法．（托盘旋转后相同的算同一种情况）二、典例精析：3、用1、2两个数字可以组成多少个不同的三位数？4、用5克、6克、7克3个砝码，可用天平称出种重量的物体．5、在1﹣9这九个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有种不同的取法．6、由1，3，5，7，9五个数组成甲组数，2，4，6，8四个数组成乙组数．由甲、乙两组数中各取一个数相加，共可得到个不同的和．7、已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形的面积有多少种可能情况？8、两个自然数的和是21，差小于6，这样的自然数有几组？把答案用（，）写下来．9、如图，蚂蚁从正方体的顶点A沿正方体的棱爬到顶点B，并且恰好经过正方体每个顶点一次，那么蚂蚁一共有种不同的爬法．10、把6本练习本分给星星、伟伟、皮皮，每人至少分1本，有多少种分法？三、竞赛真题：11、（2008•希望杯）由数字0，3，6组成的所有三位数的和．12、（2014•希望杯）在1﹣100 的自然数中，数字和是5 的倍数的数有个．13、（2015•华罗庚金杯）小明有多张面额为1元、2元、5元的人民币，他想用其中不多于10张的人民币购买一只价格为18元的风筝，要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有（）种．A．3 B．9 C．11 D．814、（2017•希望杯）有5根小木棒的长度分别为1cm，1cm，2cm，3cm，5cm．从中任取3根，不同的长度和有几种？15、（2009•希望杯）如图，从起点到终点，要求取走每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有种不同的走法．四、课后练习：16、小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？17、现在有1分、2分、5分的硬币各5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法？18、用1、2组成六位数（数字可以重复），要求任意连续三个数字不能完全相同，有几个这样的六位数？19、春节时，妈妈买了3个完全一样的福袋，小悦想把10枚相同的一元硬币放到这三个福袋里，如果每个福袋里至少放1枚，不考虑福袋的先后顺序的话，共有（）种放法．A．6 B．7 C．8 D．920、某管理员忘了自己小保险柜的密码数字，只记得是由：3个非零的且互不相同的数字组成，且这3个数字的和是9．为确保打开保险柜，至多要试多少次？。

小学奥数枚举法题及答案【三篇】【篇一】枚举法问题在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。

一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球；每隔一个球，取走一个球；……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。

你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗？答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。

在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。

他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。

因为在上一圈操作时，排在这498个黄球中最后一个位置上的黄球没有被取走，所以他再进行操作时，第一个被取走的就是那个红球，这时，他的操作停止，圆周上剩下249个黄球。

【篇二】在一个圆周上放了1个红球和1994个黄球。

一个同学从红球开始，按顺时针方向，每隔一个球，取走一个球;每隔一个球，取走一个球;……他一直这样操作下去，当他取到红球时就停止。

你知道这时圆周上还剩下多少个黄球吗?答案与解析：根据题中所说的操作方法，他在第一圈的操作中，取走的是排在黄球中第2、4、6、……1994位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下1994÷2=997个黄球。

在第二圈操作时，他取走了这997个黄球中，排在第1、3、5、7、……995、997位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下997—(997+1)÷2=498个黄球。

他又要继续第三圈操作了，他隔过红球，又取走了这498个黄球中，排在第1、3、5、……495、497的位置上的黄球，这时圆周上除了一个红球外，还剩下498÷2=249个黄球。

1、 枚举法解最值问题2、 最值原理3、 拆数问题体育比赛中的数学课前加油站5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位数是多少？最小的三位数是多少？5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位偶数是多少？最小的三位偶数是多少？最值问题初步本章知识前铺知识5数字0，1，2，3，4，5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是多少？模块1 枚举法解最值问题例题1：在五位数12345的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122345），这样得到的六位数最大可能是多少？练一练：在4位数3782的某一位数码后再插入一个该数码，能得到的五位数最大是多少？最小是多少？例题2：电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，不能不播，该电视连续剧最多可以播几天？例题3：一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。

但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?练一练：19个苹果要分给一群小朋友，每个小朋友所分得的苹果都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果，问：这群小朋友最多有几位？24个苹果分给4个小朋友，每个小朋友分得的苹果数量不同，求分得苹果最多的小朋友最多能分多少个？模块2 最值原理例题4:周长100米的长方形中，面积最大是多少平方米?面积为100平方米的长方形中，周长最小是多少米？练一练：用24根长1cm的小棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？如果用22根呢？例题5: 用1，2，3，4，5，6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求积最大时，算式是什么？最小时算式是什么？例题6：用1-9九个数组成三个三位数，要使这三个三位数的乘积最大，下面的空怎么填？□□□×□□□×□□□练一练：请将2，3，4，5，6，8填入算式“□□□×□□□”的方格中，要使得算式结果最大，要怎么填？例题7：3个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？3个自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？若干个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？例题8：若a+b=24，则（1）求a×b的最大值（2）求（a+4）×2b的最大值（3）求（a+7）×（2b+1）的最大值练一练：已知a+b=15，求（2a+1）×b的最大值。

四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。

“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。

但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。

同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。

这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。

二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。

A的最小值是______。

（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。

即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。

三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。

由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。

根据上面式子，考虑到a不能超过23。

（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。

当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。

显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。

课题第十五讲：用枚举法解应用题教学内容养鸡场的工人，小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿，边拿边数，筐里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数清了．这种计数的方法就是枚举法．一般地，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的．这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法。

运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏．为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。

．用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？根据百位上数字的不同，我们可将它们分成三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321．所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数．．小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）?我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类．解第1类：用l枚邮票时有5角、8角2种；第2类：用2枚邮票时有1元、1元3角、1元6角3种；第3类：用3枚邮票时有1元8角、2元l角2种；第4类：用4枚邮票时只有2元6角1种．共有2+3+2+l=8（种）．答能付8种不同的邮资．（1）用3、4、7三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的三位数是多少？最大的三位数是多少？（2）用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值（组成的钱数）?．用一台天平和重l克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况．解取一个砝码可称l克、3克、9克的重量，有3种；取两个砝码可称；1+3= 4（克），1+9=10(克)，3+9=12(克)的重量，有3种；取全部三个砝码可称：1+3+9 =13(克)的重量，有1种．注意到1，3，9，4，10，12，13各不相同，故可称出不同的重量有3+3+1=7（种）．说明用树形图可以把解题过程显示出来．．课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数，第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人．到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的人应是第几号？根据题目的特点，先用排列法把题中的条件、问题排列出来，再用枚举法完成题目的要求．条件：（1）排队编号：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30．（2）第一次报数后单号全部站出来．（3）以后每次：从余下的第一人站出来起，隔一人站出来一人．问题：到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的是第几号？解次数出队号码第一次1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29第二次2,6,10,14,18,22,26,30第三次4,12,20,28第四次8,24第五次16从上表的列举中，我们毫无遗漏地排列，得出到第五次这些人全都站出来了，最后一人是第16号．(1)把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的分法？(2)有甲、乙、丙、丁、戊五个足球代表队进行比赛，每个队都要和其他队赛一场，总共要赛多少场？．A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有种．解如图15 -1，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式，同理，A第一次传给C，也有5种不同方式，所以，不同的传球方式共有10种，．用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？各种长方形的长与宽之和都是48÷2=24(厘米)．解由于各种长方形的长、宽都是整厘米数，且不相等，并且和为24厘米，可以列表如下：长23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13宽 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11因为23×1< 22×2<…<14×10< 13×11，所以符合条件的最大长方形的面积是13×11=143(平方厘米)答围成的最大一个长方形的面积是143平方厘米．此题用列举法思维，达到了快速、简捷的解题目的．从以上各例可以看到，利用树形图或列表分析的方法解答应用题，往往是非常有效的，它能把抽象、复杂的事情清楚、直观地展现在我们面前，为解题提供思路，另外，我们还应体会到，用枚举法解应用题的关键是准确分类，为此，必须注意两点：l．分类要全，分类不全．就会造成遗漏．分类确定之后，要把每一类中每一个符合条件的对象都列举出来．2．分类要清，因为如果分不清，使第1类中有第2类、第2类中有第3类，互相包含，那么就会有重复．这样结果也就很难正确了．（1）从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机，某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种走法？（2）A、B、C三个自然数的乘积是6，求A、B、C三个自然数分别可能是几？(A、B、C可以是不同的数，也可以是相同的数)最有魅力的23个问题1900年8月8日，在巴黎第二届国际数学家大会上，有个年轻的科学家正在演讲，大家都被他讲的内容深深吸引，安静地听他演讲，每个人的眼睛里都闪烁着激动的光芒．当他结束演讲的时候，刚才还静悄悄的大厅里，顿时爆发出雷鸣般的掌声，这个轰动了全场的人是谁呢？他讲的是什么令人激动的内容呢？他就是德国的希尔伯特．他提出了今后一百年里数学家应当努力解决的23个问题．这就是著名的“希尔伯特23个问题”．这个时候，希尔伯特心里的石头才落了地．刚才，他还在担心自己演讲的内容听众会不会接受呢．和下面的听众一样，希尔伯特也非常激动，此时的他，心潮澎湃，看来，我选择这个伟大的演讲题目果然没有错！原来，在来参加这次会议之前，希尔伯特一直在犹豫演讲的题目：是讲我自己的数学研究成果呢？还是讲一讲我对今后数学发展的看法呢？他写了一封信给自己的好朋友——数学家闵可夫斯基，征求他的意见，闵可夫斯基回信写道：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来……这样的题材，将会使你的演讲在今后几十年里成为人们议论的话题，”这样，希尔伯特就下定决心了，他整理了自己的看法，一共提出了23个问题．从那以后，全世界几乎所有的数学家，都被他的23个问题吸引，这23个问题成为20世纪数学学科发展的缩影．著名的“哥德巴赫猜想”就是第8个问题中的一部分，对这些问题的研究有力地推动了20世纪数学的发展，难怪有人说：“希尔伯特就像风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河，”今天，我们似乎还能听到那甜蜜笛声的召唤呢！一、填空题1．从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有____条路可走，2．有4个足球队参加“希望杯”足球比赛，每两个队都必须比赛一场，共比赛____场；如果进行淘汰赛，最后决出冠军共需比赛____场．3．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有____种不同的排法．4．从3，6，7，8这四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成____个不同的三位数，最大的三位数是____，最小的三位数是____．5．从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有____种不同的拿法．6．用1,0,3,5这四个数可以组成____个四位数．二、选择题7．有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7，8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是（）．(A) 21 (B) 42 (C) 24 (D) 188．两人见面要握一次手，照这样规定，6人见面共握手（）．(A) 24次(B) 15次(C) 30次(D) 12次9．有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选用l面、2面或3面升上旗杆，组合出各种不同信号，一共可以组合不同信号（）．(A)5种(B)6种(C) 10种(D) 15种10．已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有（）．(A) 28个(B) 30个(C) 32个(D) 36个三、简答题11．有四张8角邮票与三张1元邮栗，用这些邮票中的一张或若干张能得出多少种不同的邮资？一．填空题（每题6分，共48分）1．如图，一条直线上有四个点，那么这条直线上有______条线段，有______条射线．2．甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲和乙必须站在两头，共有______种不同的站法．3．从分别写有2、3、4、5的四张卡片中任取两张，作两个一位数乘法，有______种不同的乘法算式，有______个不同的积，4．从7、4、2、O四张数字卡片中，挑选三张排成三位数，能排成______个不同的三位数，5．婷婷有3种不同颜色的上衣，5种不同颜色的裙子，那么她共有______种不同的穿法．6．由10元、50元、100元的人民币各一张，一共可以组成______种币值（组成的钱数）．7．如图，数出图中所有的正方形的个数是______个，8．在上题4×4的方格图中放A、B两枚棋子（棋子放在空格中），要求两枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有______种放法．二、选择题（每题8分，共24分）9．有4本不同的书，分别借给2名同学，每人借一本，不同的借法有( )种．(A)12 (B)6 (C) 10 (D)810.把5件相同的礼物分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有( )种．(A)2种 (B)3种 (C)5种 (D)6种11.如图，甲地到乙地有三条路可通，从乙地到丙地有两条路可通，从丙地到丁地有三条路可通，从甲地到丁地有两条路可通．从甲地到丁地共有( )种不同的走法．(A) 20 (B) 10 (C) 36 (D) 24三、解答题（每题12分，共48分）12.甲、乙、丙三人约好每人报名参加数学、英语、美术、音乐四个课外小组中的一个，那么，报名的结果会出现多少种不同的情形？13.有8张卡片，上面分别写着自然数1至8，见下图．从中取出3张，要使这3张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？14.有正方体一个，它的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，将这个正方体投掷两次．问：两次向上的一面数字之和为偶数的情况有多少种？15.小王有10张1元的人民币．5张2元的人民币，2张5元的人民币，要拿出10元买一本书，可以有多少种拿法？你最对了吗？答案：1.6，8．2.4种，甲一丙一丁一乙，甲一丁一丙一乙，乙一丙一丁一甲，乙一丁一丙一甲．3.12,6．枚举：2×3、2×4、2×5、3×4、3×5、4×5共六个乘法算式，交换两因数位置，又得到六个乘法算式．因此，共有12个乘法算式，有6个不同的积．4.18个，百位上可排7、4、2三个数，先考虑7排在百位上，共有六种情况（如图），同理，2排在百位上，4排在百位上也各有六种情况，所以不同的三位数共有6×3 = 18（个）．5.15．每种颜色的上衣可配5种不同颜色的裙子，则3种不同颜色的上衣配5种不同颜色的裙子，共有穿法为：5×3=15（种）．6.7种．10元、50元、100元、(10+50)= 60元、(10+100)= 110元、(50+100)=150元、(10+ 50+100)=160元．7.30．分四种情况计数：(1)边长为1个单位的正方形有16个；(2)边长为2个单位的正方形有9个；(3)边长为3个单位的正方形有4个；(4)边长为4个单位的正方形有1个．共有：16+9+4+1= 30（个）正方形．8.144．由于两枚棋子要一枚一枚地放，所以可分两步完成这件事，第一步放棋子A，A可以放在16个方格中任意一个，有16种放法；第二步放棋子B，由于A棋子所在的行与列的方格中不能再放，故B只能放在剩下的9个方格中，有9种放法，根据乘法原理得：16×9=144（种）．所以，共有144种放法．9．A． 4×3 = 12（种）．10．D． 5件礼物分成三组，有两种不同的分组法：1，1，3或1，2，2．每种分组法有3种不同的排列，故有6种不同的分法．11．A．从甲到丁有以下路径：(1)甲→丁（有2种不同走法）；(2)甲→乙→丙→丁（有3×2×3=18种不同走法）．所以共有：2+18=20（种）不同的走法．12.64种，三人报名参加课外小组，彼此互不影响．甲报名，可报4个小组中的一个，有4种报名方法，同理，乙、。

第六讲枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯都是好的。

像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。

问题.小明有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要按照一定的规则进行。

先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。

再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。

最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。

由此可见，共有7种不同的拿法。

在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了适当分类。

合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。

练习与作业
1.用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大的三位数是什么？最小的三位数是什么？
2.用0、l、3、6可以组成多少个四位数？
3.有四张卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出2张卡片并排放在一起，可以组成多少个两位数？
4.用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数，这些四位数一共有多少个？
5.在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？。

四年级奥数第五讲枚举法解应用题【知识要点和基本方法】一般地，根据问题要求，一一枚举问题的解答，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情况，一一枚举各种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析问题、解决问题的方法，称之为枚举法，我们也可以通俗地称枚举法为举例子。

枚举法是一种常见的数学方法，当然枚举法也存在一些问题，那就是容易遗漏掉一些情况，所以应用枚举法的时候选择什么样的标准尤其重要。

【例题精选】例1.用数字1，2，3可以组成多少个不同的数字？分别是哪几个数？分析：根据百位上数字的不同，我们可以把它们分为三类：第1类：百位上的数字为1，有123，132；第2类：百位上的数字为2，有213，231；第3类：百位上的数字为3，有312，321。

所以可以组成123，132，213，231，312，321，共6个三位数。

课堂练习题：用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？例2.小明有面值为5角、8角的邮票各两枚。

他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）分析：我们可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，把它们分成四类——一枚、二枚、三枚、四枚。

一枚:5角二枚:10角,13角三枚:18角,21角四枚:26角课堂练习题：10元钱买6角邮票和8角邮票共14张，问两种邮票各多少张？例3.用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在一个盘内时，可称出不同的重量有多少种？分析：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的重量，一一列举这三种情况。

1个:1克,3克,9克2个:4克,10克,12克3个:13克同学们可以思考一下:如果砝码可以放天平的两边,又能称出多少不同的重量?例4.课外小组组织30人做游戏，按1－30号排队报数。

第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。

枚举法解题
例1、营业员有1个5分币，4个2分币，8个1分币，她要找给顾客9分钱，有几种找法？
练习1、沃沃有一些邮票，1张8角票，1张5角票，4张2角票，10张1角票。

他要从中拿出共8角的邮票寄信，共有几种不同的选取方法？
例2、从1—10中每次取出两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？练习2、新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物，卡卡想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？
例3、袋中有3个红球，4个黄球，和5个白球，沃沃从中任意拿出6个球，他拿出球的情况有几种可能？
例4、已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能情况？哪种形状的长方形面积最大？
练习4、一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？
课后余味轩
1、有2张5元币，4张2元币，8张1元币，要拿出12元钱，有几种拿法？
2、从甲地到乙地，有2条直达铁路，从乙地到丙地有4条直达公路，从甲地经过乙地到达丙地共有多少种不同的走法？
3、用3、5、7、8四张数字卡片，排成一个四位数，共有几种排法？
4、在10—31之间有多少个数是3的倍数？。

我们在课堂上遇到的数学问题一般都可以列出算式，然后求出结果。

但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。

所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

当可能的结果较少时，可以直接枚举；当可能的结果较多时，就需要分段或分类枚举。

分类一定要包括所有可能情况，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。

树形图是枚举法中一种重要方法，由于这种方法形象直观，条理清楚，不易出现重复与遗漏，因而经常被采用。

【例l】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如257、1459等等，这类数中最大的自然数是分析与解答满足题意的自然数较多，我们只要找出最大的就行了：最高位是1且满足题意的数有：10112358，112358，12358，1347等最高位是2且满足题意的数有：202246，21347，2246，2358等显然只有10112358的数位最多，故这类自然数中最大的有10112358。

【例2】四个装药用的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那么错的情况共有种。

分析与解答四个瓶中恰好有三个贴错了，那么其中有一个没有贴错，贴错的情况所以恰有三个贴错了的情况共2×4：8种。

[例3] 小明有1枚5分硬币，4枚2分硬币，8枚1分硬币，要拿出8 分钱，你能找出几种拿法?分析与解答为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，‘‘找’’就要按照一定的规则进行。

先找只拿一种硬币的拿法，有两种：①1+1+1+1+1+1+l+1=8(分)②2+2+2+2=8(分)再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：①1+1+1+1+1+1+2=8(分)②1+1+1+1+2+2=8(分)③l+l+2+2+2=8(分)④1+1+1+5=8(分)最后找拿三种不同的硬币的拿法，只有一种：①1+2+5=8(分)由此可见，共有7种不同的拿法。