高中数学 常用逻辑用语《 学案导学设计》人教B版选修1-11.1.1

第一章 1.2第1课时一、选择题1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是()A．28是5的倍数或是7的倍数B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根C．函数y＝a x(a>1)是增函数D．函数y＝ln x是减函数[答案] B[解析]选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．2．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是()A．x＝0且y＝0B．x＝0或y＝0C．x≠0且y≠0 D．x≠0或y≠0[答案] A[解析]因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.3．下列命题是真命题的是()A．5>2且7>8B．3>4或3<4C．7－1≥7D．方程x2－3x＋4＝0有实根[答案] B[解析]虽然p3>4假，但q3<4真，所以p∨q为真命题．4．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是国际音乐日；②10的倍数一定是5的倍数；③2是偶数或3不是质数；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] C[解析] ①属p ∧q 型，用“且”．②是简单命题，无联结词．③属p ∨q 型，用“或”．④属p ∨q 型，用“或”．故选C.5．下列为假命题的是( )A ．3是7或9的约数B ．两非零向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．若x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0[答案] C[解析] 菱形的对角线互相垂直但不一定相等．6．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －3y ＝－x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1， ∴P (1，－1)，故选C.二、填空题7．若p 2是8的约数，q2是12的约数．则“p ∨q ”为________；“p ∧q ”为________．(填具体的语句内容)．[答案] 2是8的约数，或者是12的约数 2既是8的约数，又是12的约数8．用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空．命题“a 2＋1≥1”是________形式．[答案] “p ∨q ”[解析] a 2＋1≥1即为a 2＋1>1或a 2＋1＝1.三、解答题9．下列语句是命题吗？如果是命题，请指出命题的构成形式：(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或内切圆；(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )是奇函数并且是周期函数．[解析] (1)是p ∧q 形式命题．其中p 向量有大小，q 向量有方向．(2)是p∨q形式命题．其中p矩形有外接圆，q矩形有内切圆．(3)是p∧q形式命题．其中p正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，q正弦函数y＝sin x(x ∈R)是周期函数.一、选择题1．下列命题，其中假命题的个数为()①5>4或4<5；②9≥3；③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”．A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]①②③都是真命题，故选A.2．下列命题中既是p∧q的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形[答案] D[解析]有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形既是p∧q的命题，又是真命题．3．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．判断如下两个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是()A．①②B．①③C．②D．③[答案] C[解析]f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，排除选项A、B；f(x)＝cos(x－2)在(－∞，2)上不具有单调性，排除D，故选C.4．(2013～2014学年度东营高二检测)命题p：函数y＝log a(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真[答案] C[解析] 对于命题p ：当x ＝－1时，y ＝log a a ＝1，故命题p 为真；对于命题q ：将函数y ＝f (x )的图象向右平移3个单位，得到函数y ＝f (x －3)的图象，故函数y ＝f (x －3)的图象关于点(6,0)对称，∴命题q 为假，故选C.二、填空题5．(2013～2014学年度南京高二检测)命题p ：x 2＋2x －3>0，命题q ：(x －2)(x －3)<0.若p 且q 为真，则x 的取值范围是____________．[答案] (2,3)[解析] 由(x ＋3)(x －1)>0，得x >1或x <－3，∴p 真：x >1或x <－3.由(x －2)(x －3)<0，得2<x <3，∴q 真：2<x <3.若p 且q 为真，则⎩⎨⎧x >1或x <－32<x <3， ∴2<x <3.6．设有两个命题：①关于x 的不等式mx 2＋1>0的解集是R ；②函数f (x )＝log m x 是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m 的取值范围是________．[答案] m ＝0或m ≥1[解析] ①是真命题则m ≥0，②是真命题则 0<m <1，若①真②假，则m ＝0或m ≥1；若②真①假，则m 不存在，综上，m ＝0或m ≥1.三、解答题7．命题p ：二次函数y ＝(5－3)x 2＋(3－2)x ＋(2－5)的图象与x 轴相交，命题q ：二次函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴相交，判断由p 、q 组成的新命题p ∧q 的真假．[解析] p ：二次函数y ＝(5－3)x 2＋(3－2)x ＋(2－5)的图象与x 轴相交，易知图象过(1,0)，故p 为真．q ：二次函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴相交，而Δ＝－3<0，故q 为假，所以p ∧q 为假命题．8．已知a >0，设命题p 函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．[解析] ∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p a >1；又不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ<0且a >0，即a 2－4a <0，∴0<a <4，∴q 0<a <4.而命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，那么p 、q 中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p 真，q 假，则a ≥4；(2)若p 假，q 真，则0<a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．9．(2013～2014学年度黄冈高二检测)已知命题p ：函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域为R ， 命题q ：函数y ＝xa 2－2a －3在x ∈(0，＋∞)上是减函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 命题p ：函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域为R ，即ax 2－ax ＋1>0对一切实数x恒成立，其充要条件为a ＝0或⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a <0， ∴0≤a <4.命题q ：函数y ＝xa 2－2a －3在x ∈(0，＋∞)上是减函数，得a 2－2a －3<0，所以－1<a <3. 由题意知，命题p 、q 有且只有一个是真命题，当p 为真，q 为假时， ⎩⎨⎧ 0≤a <4a ≤－1或a ≥3，∴3≤a <4. 当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a ≥4－1<a <3⇒－1<a <0，综上可得，实数a的取值范围是－1<a<0或3≤a<4.。

选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件．●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明．【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C”，则“a∈B”是“a∈A”的（）A．充分而不必要条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：选B【例3】ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1 或a＜0【例4】设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件?【基础达标】1．不等式的解集为R的充要条件是（）A．B．C．D．2．p是q的充要条件的是（）A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解3．设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，|x|(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x>－1且x≠05．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是（）A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．p：x－4＝0，q：，则p是q的．7．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是．1~5：BDADD6．充分不必要条件7．0<x<1【能力提高】8．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．9．已知，求证的充要条件是．10．集合，若“a=1”是“”的充分条件，求b的取值范围．§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p，q，r，s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：p或q 记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q 记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p 记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”，使用逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了联结词“或”C．使用了联结词“非”D．使用了联结词“且”答案：B说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1，y=2．则x+y=3成立”中的x=1，y=2所用的联结词为且．【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员2．p：q：是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式；命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式．分析：x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．答：填p且q；p或q．【例4】命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有（）A．①③④B．③④C．③D．①③分析：②是简单命题，其余的均为复合命题．选A．【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)方程x2－2x＋3＝0没有实数根．分析：分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．解：(1)p或q；p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q；p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．(3)非p；p：x2－2x＋3＝0有实根(假)．非p为真．点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上．【基础达标】1．命题“方程x2－4＝0的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”2．以下判断正确的是（）A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，则命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，则命题“p且q”不一定是假命题3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真5．如果命题“p或q”是真命题，那么（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q的真值是相同的，即同真同假C．命题p与命题q中只有一个是真命题D．命题p与命题q中至少有一个是真命题6．下列命题中：；（2）集合是的子集；（1）11（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．其中为真命题的序号依次为．7．有下列四个命题：（1）40能被3或5整除；（2）不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；（3）对任意实数x，均有x＋1＞x；（4）方程x2－2x＋3＝0有两个不等的实根；其中假命题为_ ．(只填序号)1~5：BBBBD6．①②7．(4)【能力提高】8．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：3是无理数，q：3是实数；（2）p：4＞6，q：4＋6≠10．解：(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．9．已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．（1）p：2是偶数，q：2是质数；（2）p：0的倒数还是0，q：0 的相反数还是0．(1)p或q：2是偶数或质数，真命题p且q：2是偶数且是质数，真命题非p：2不是偶数，假命题．(2)p或q：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题．p且q：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题．非p：0的倒数不是0，真命题．10．写出命题“5>2且4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式．§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【例2】下列命题中真命题的个数是（）(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2+1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数A．0B．1C．2D．3答案：C【例3】下列特称命题中假命题的个数是（）(1)∃x∈R，使2x2+x+1=0；(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(3)∃x∈R，x2≤0A．0B．1C．2D．3答案：C【例4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（）(1)所有能被3整除的数能被6整除；(2)所有实数的绝对值是正数；(3)∀x∈Z，x2的个位数不是2A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【例5】命题：∃x∈N，x3 ≤x2的否定是．命题：∀x∈R，x2－x+1> 0的否定是_．【例6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是．答案：所有四边形的对角线互相垂直或平分．【例7】写出下列命题的否定．（1）所有自然数的平方是正数；（2）任何实数x都是5x－12=0的根；（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y>0；（4）有些质数是奇数．解：（1）存在自然数的平方是负数或0；（2）存在实数x，它不是5x－12=0 的根；（3）存在实数x，同时存在实数y，使x+y≤0；（4）任何质数都不是奇数．点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词．【基础达标】1．下列命题为真命题的是（）A．所有的质数都是奇数B．有些三角形不是锐角三角形C．实数的平方都是正数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°2．下列命题中假命题的个数是（）（1）有的梯形是等腰梯形；（2）有的菱形是正方形；（3）每个正方形都是平行四边形；（4）每个矩形都是正方形．A．0 B．1C．3 D．43．命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是（）A．原函数与反函数的图象关于直线y=－x对称B．原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D．存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4．命题“对任意的x∈R，x3－x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2+1≤0B．存在x∈R，x3－x2+1≤0C．存在x∈R，x3－x2+1>0D．对任意的x∈R，x3－x2+1>05．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．⌝p：∃x∈R，sin x≥1B．⌝p：∀x∈R，sin x≥1C．⌝p：∃x∈R，sin x>1D．⌝p：∀x∈R，sin x>16．命题“”的否定为．7．命题“”的否定为．1～5：BBCCC【能力提高】8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）能被4整除的整数能被2整除；（2）任何大于2 的偶数可表示为两个素数之和；（3）有些数的平方小于0．9．判断以下命题的真假：(1)∀x∈R，－x2+x－1<0；①真；②真；③真；④假10．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，并判断否命题的真假．（1）直线与x轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于180°（1）全称命题：否命题为有些直线与x轴没有交点真命题（2）全称命题：否命题为有些正方形不是菱形假命题（3）全称命题：否命题为有些梯形对角线不相等真命题（4）特称命题：否命题为所有三角形内角和小于或等于180度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定．会判断充要条件，并能证明．【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．【例2】“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是．【例3】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【基础达标】1．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠BD．若A∪B＝B，则A∩B＝A2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．0个3．下列说法：（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．其中正确的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．x∈R，(1－x)(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．－1＜x＜1B．x＜1C．x＜－1D．x＜1 且x≠－15．下列说法正确的是（）A．x≥3是x＞5的充分而不必要条件B．x≠±1 是|x|≠1的充要条件C．若⌝p⇒⌝q，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形6．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．7．命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式．命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式．I1．A2．C3．C4．D5．B6．必要非充分条件7．p或q；p且q【能力提高】8．写出“∃x∈R，使得”的否命题．9．写出“∀x> 0，x2+x+2≥0”的否命题．10．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．。

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1 命题1．了解命题的概念．（难点)2．理解命题的构成,并能指出命题的条件和结论．（重点)3．能判断一些简单命题的真假．（难点）[基础·初探］教材整理命题阅读教材P3,完成下列问题．1．命题:能判断真假的语句叫命题,命题一般用小写英文字母表示,如：p，q，r,…。

2．一个命题要么是真，要么是假．判断下列语句是命题的是________（填序号）．①求证错误!是无理数；②x2＋2x＋1≥0；③你是高二学生吗？④并非所有的人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数．【解析】判断一个语句是否为命题,关键符合两点：①陈述句，②能判断真假．【答案】②④⑤［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流：疑问1:________________________________________________________解惑:________________________________________________________疑问2:________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]命题的判断①一个数不是正数就是负数;②0是自然数吗？③22 016是一个很大的数;④4是集合｛2,3,4｝的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.【精彩点拨】判断语句是否为命题，要看是否符合两条：（1)是否为陈述句．（2）能否判断真假．【自主解答】②是疑问句，不是命题;③是陈述句，但“很大”无法说明到底多大,不能判断真假，不是命题；⑤是祈使句，不是命题；①是命题，为假命题，因为0既不是正数，也不是负数；④是命题,为真命题．【答案】①④判断一个语句是不是命题，关键是把握好以下两点：（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．（2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．[再练一题］1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．（1)函数f(x)＝3x(x∈R）是指数函数；(2）x2－3x＋2＝0；(3)函数y＝cos x是周期函数吗?(4)集合{a，b,c}有3个子集．【解】(1）是命题，满足指数函数的定义，为真命题．（2)不是命题，不能判断真假．（3)不是命题，是疑问句，不能判断真假．（4）是命题．因为集合｛a，b，c}有23＝8个子集，所以集合{a，b，c｝有3个子集为假命题．命题真假的判断x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是________．【精彩点拨】【自主解答】①中Δ＝4－4(－k）＝4＋4k＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确,所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题．【答案】①②④1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的,不存在模棱两可的情况．2．如果要判断一个命题为真命题,需要依据条件进行严格的推理论证,而要判断一个命题为假命题时,只要举出一个反例即可．[再练一题］2．判断下列命题的真假．（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；（2）若x∈N，则x3＞x2成立；（3)若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．【解】（1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2。

第一章常用逻辑用语本章概览内容提要1.正确认识“四种命题”的概念，掌握四种命题的基本形式及相互之间的构成关系和真假关系，能较为熟练地由一种命题出发，准确地写出其他三种命题，能区别否命题与命题的否定，理解等价命题的概念，掌握命题及其逆否命题间的等价性，并善于运用这一性质去解决命题的证明与真假判断问题，初步掌握反证法的思想和反证法的应用.2.理解“充分条件”“必要条件”“充要条件”的概念，掌握充要条件的判定方法，能从不同的角度揭示充要关系.3.理解“或”“且”“非”等逻辑联结词的意义，掌握简单命题、复合命题的概念，熟悉表示命题的常用符号，能较熟练地运用逻辑联结词将简单命题构造成复合命题，并能根据复合命题的真值表判断复合命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的意义，掌握它们的常用词及其否定方法，并能够准确使用它们解决有关问题.学法指导1.这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题”“否命题”“逆否命题”只要求做一般性了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件.2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例加以了解，能够正确表述相关的数学内容.3.对于量词，重在理解它们的含义，不要求它们的形式化定义.4.在使用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，体会运用常用逻辑用语表示数学内容的准确性、简洁性.避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表.5.在数学中逻辑用语的作用是至关重要的，数学内容的表达，四种命题间的关系，以及命题成立的条件(充分条件、必要条件、充要条件)，都离不开逻辑用语.6.正确地使用逻辑用语是现代社会公民应具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思想清晰明了，说理有据.。

第一章 1.3 第1课时一、选择题1．(2013·福建理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝3时，A ＝{1,3}，故A ⊆B ，若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，故为充分不必要条件．2．(2014·浙江文)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ，当四边形ABCD 中，AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上可知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．3．(2014·广东文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 [答案] A[解析] 由正弦定理，得a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sin B ，故选A.4．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x ≥0C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－13或x ≥3 [答案] C[解析] x ＝－1、3、5时，2x 2－5x －3≥0成立，而2x 2－5x －3≥0成立，x 不一定等于－1、3、5.5．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ，但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”，由不等式的性质可知，a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ，∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，又因为x >12⇒2x 2＋x －1>0， 而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A. 二、填空题7．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．[答案] (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件8．若x ∈R ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．[答案] a >0且b 2－4ac <0 a <0且b 2－4ac <0三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.一、选择题1．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]命题p：(x－1)(y－2)＝0⇒x＝1或y＝2.命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2.由q⇒p成立，而由p⇒/q成立．2．b＝c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点，若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.3．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0<a<1，则p是q成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ；当⎩⎨⎧a >0Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R .综上所述，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 时，0≤a <1，故选B.4．△ABC 中，sin A ＝sin B 是∠A ＝∠B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 在△ ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；若A ＝B ，则sin A ＝sin B ，故选C.二、填空题5．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的____________条件．[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.6．直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直的充要条件是________．[答案] m ＝－2或3[解析] l 1⊥l 2⇔2(m ＋1)(m －3)＋(m －3)·2＝0⇔m 2－m －6＝0⇔m ＝－2或3.三、解答题7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x >1，q ：x 2>1；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形．[解析] (1)由x >1⇒x 2>1，所以p ⇒q .∵x 2>1，∴x >1或x <－1，∴q ⇒/ p ，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)△ABC 有两个角相等，则△ABC 是等腰三角形，不一定是正三角形，所以p ⇒/ q ；若△ABC 是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．8．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0<a <4.[证明] 要使ax 2－ax ＋1>0对任意实数x 都成立需考虑两种情况：①当a ＝0时，原不等式化为1>0，恒成立，符合题意；②当a >0时，使Δ＝a 2－4a <0，即0<a <4.综上所述0≤a <4.显然0<a <4是ax 2－ax ＋1>0对任意实数x 都成立的必要条件．9．(2013～2014学年度宿州高二检测)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[解析] 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 由p 是q 的充分不必要条件，即A B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 经检验知当a ＝0和a ＝12时均符合题意． 故所求实数a 的取值范围是[0，12]．。

1.2.2“非”（否定）
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1．命题p的否定⌝p
(1)“非”命题的表示及读法：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“⌝p”，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有“非”的命题的真假判定：
思考1对一个命题p
提示：对一个命题p进行否定，否定的是此命题的结论．
2．存在性命题的否定
提示：存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反，只需判断出原存在性命题的真假即可作出判断．
3．全称命题的否定
思考
提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．
思考4省略全称量词的全称命题如何进行否定？
提示：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将⌝q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，⌝q也是假命题，这与q，⌝q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不
是正数．”为了避免出错，可用真值表加以验证．。