高一数学必修4向量的加减法练习题含解析

第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算2．2.1～2.2.2 向量加法、减法运算及其几何意义1．理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法的运算律及向量减法的三角形法则．2．理解向量模的性质．基础梳理一、向量加法运算1．向量加法的定义：我们把求两个向量a ，b 和的运算，叫做向量的加法，记作：a ＋b .(1)两个向量的和仍然是一个向量； (2)零向量与任一向量a 有a ＋0＝0＋a ＝a .2．向量加法的三角形法则：向量AB→与BC →相加时，AB →的终点作为BC →的起点，这时起点A 到终点C 的向量AC →就是这两个向量的和向量，即AB→＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法叫三角形法则． 向量加法的三角形法则：“首尾相接，首尾相连” . 3．向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)： 以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC→就是向量的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图：特殊情况：4．运算律．(1)向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．练习：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量a ，b 求和都适用？答案：三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．思考应用1．由物理上学习的位移的合成，你能否把三角形法则推广到n 多边形的情况？解析：三角形法则能够推广到n 个向量相加的情况：AB →＋BC →＋CD →＋DE→＝AE →(注意字母必须首尾顺次连接首尾)，位移的合成能够看成是向量加法三角形法则的物理模型．二、向量减法运算1．减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA→＝a －b . 即a －b 能够表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 向量减法的三角形法则：“起点相同，指向被减向量”．2．|a ＋b |、|a －b |、|a |＋|b |、|a |－|b |之间的关系．对于任意的两个向量a 与b ，有||||a －||b ≤||a ±b ≤||a ＋||b ． 注意：当a ，b 共线时(包括同向和反向)上式等号成立．思考应用2．前面讨论的是向量运算，我们还学过那些运算？体会它们的异同．解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量，通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确定的对象与之对应，这就是运算．运算能够协助我们解决很多的问题．自测自评1．下列等式准确的个数是(C )①a ＋0＝a ； ②b ＋a ＝a ＋b ； ③－(－a )＝a ； ④a ＋(－a )＝0； ⑤a ＋(－b )＝a －b .A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如右图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是(C )A.AB→＝DC → B.AD→＋AB →＝AC → C.BA→＋BC →＝AC → D.AD→＋CB →＝0 解析：∵BA→＋BC →＝BD →， ∴C 中的结论错误．故选C .3．化简OP→－QP →＋PS →＋SP →的结果等于(B ) A .QP→ B .OQ → C .SP → D .SQ → 4．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则(A ) A ．a 与b 方向相同 B ．a ＝b C ．a ＝－b D ．a 与b 方向相反基础提升1．化简PM→－PN →＋MN →所得结果是(C ) A.MP→ B.NP → C ．0 D .MN → 2．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →的坐标是(D )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：AB→＝MB →－MA →＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)， ∴12AB →＝(2，1)．故选D . 3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向(A ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反4．若O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0.则O 是△ABC 的(B )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：OA→＋OB →＋OC →＝0，∵OA →＋OB →是以OA →，OB →为邻边作平行四边形的对角线且过AB 的中点，设点D ，则OA→＋OB →＝2OD →，∴2OD→＋OC →＝0.∵D 为AB 的中点，同理E ，F 为AC ，BC 中点，∴满足条件的点O 为△ABC 三边中线交点，故为重心．5．向量(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于(C ) A .BC→ B .AB → C .AC → D .AM → 解析：(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(MB →＋BO →)＋OM→＝AC →＋MO →＋OM →＝AC →.故选C . 巩固提高6．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________．答案：37．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，求OD →.解析：∵BA→＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， ∴OD→－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， ∴OD→＝a －b ＋c . 8．若在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则FA→＋AB →＋2BO →＋ED→等于(B ) A.FE→ B.AC → C.DC → D.FC → 解析：FA→＋AB →＋2BO →＋ED →＝FE →＋ED →＝FD →＝AC →. 9．已知：△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE 綊12BC .证明：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，故AD →＝12AB →，AE→＝12AC →.DE →＝AE→－AD →＝12(AC →－AB →)＝12BC →.所以DE 綊12BC .掌握两个向量的减法运算能够转化为加法来实行．1．记住常用关系、常用数据：如△ABC 中AB→＋BC →＋CA →＝0；以向量a ，b 为邻边的平行四边形中，a ±b 表示的是两条对角线所在的向量．2．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．。

2017-2018学年 高一数学 必修4 向量的线性运算 向量的加法同步练习题一、选择题：1.在四边形ABCD 中，AC →=AB →＋AD →，则( )A.ABCD 一定为矩形B.ABCD 一定为菱形C.ABCD 一定为正方形D.ABCD 一定为平行四边形2.下列结论中，不正确的是( )A.0＋a=aB.AB →＋BA →=2AB →C.对于任意向量a ，b ，|a ＋b|≥0D.对于任意向量a ，b ，||a|-|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|3.已知△ABC 是正三角形，则在下列各等式中不成立的是( )A.|AB →＋BC →|=|BC →＋CA →|B.|AC →＋CB →|=|BA →＋BC →|C.|AB →＋AC →|=|CA →＋CB →|D.|AB →＋BC →＋AC →|=|CB →＋BA →＋CA →|二、填空题：4.在矩形ABCD 中，AC →等于___________________.5.如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，则EF →等于________.6.(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于________.7.AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →=_______.8.如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A=90°.则在下列各结论中，正确的结论个数为________.①|AB →＋AC →|=|BC →|；②|AB →＋BC →|=|CA →|；③|AB →＋CA →|=|BC →|；④|AB →|2＋|AC →|2=|BC →|29.向量a 、b 满足|a|=6，|b|=10，则|a ＋b|的最大值是________，最小值是________.三、解答题：10.如图所示，用两根绳子把重为10 N 的物体W 吊在水平杆AB 上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).11.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，求证：|BC →|2=|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.12.如图,平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，P 为平面内任意一点.求证：PA →＋PB →＋PC →＋PD →=4PO →.参考答案1.答案为：D ；2.答案为：B ；3.答案为：B ；解析：作出正三角形ABC ，AD 、CE 分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：|AB →＋AC →|=2|AD →|，|CA →＋CB →|=2|CE →|.又∵△ABC 为正三角形，∴|AD →|=|CE →|.故C 项正确.A 、D 两项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有B 项不正确.4.答案为：AD →＋DC → 或AB →＋BC → 或AB →＋AD →；5.答案为：AG →＋DH →；6.答案为：AC →；7.答案为：0；8.答案为：4个；解析：以AB →、AC →为邻边作平行四边形ABDC ，则ABDC 为矩形，而矩形的对角线相等，故①③均正确，另外两个可直接求解也是正确的.9.答案为：16，4；解析：(1)当a 、b 不共线时，如图(1)，作AB →=a ，BC →=b ，则AC →=a ＋b.由向量加法的几何意义知|a＋b|＜|a|＋|b|=16.当a 、b 共线同向时，如图(2)，作AB →=a ，BC →=b ，AC →=a ＋b ，由向量加法的几何意义可知|AC →|=|a ＋b|=|a|＋|b|=16.(2)当a 、b 共线反向时：如图(3)所示，作AB →=a ，BC →=b ，则AC →=a ＋b ，由向量加法的几何意义可知|a＋b|=|b|-|a|=10-6=4，∴|a ＋b|的最大值为16，最小值为4.(3)本题也可以直接利用||a|-|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|求解.10.解：设CE →，CF →分别表示A ，B 处所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →=CG →.因为∠ECG=180°-150°=30°，∠FCG=180°-120°=60°，所以|CE →|=|CG →|cos 30°=10×32=53(N)，|CF →|=|CG →|cos 60°=10×12=5(N). 故A 和B 处所受力的大小分别为5 3 N ，5 N.11.解：如图，由于∠BAC=90°，AD ⊥BC ，因此，若以DB ，DA 为邻边作矩形ADBE ，则|AB →|=|DE →|，且DB →＋DA →=DE →.所以|DB →＋DA →|2=|DE →|2=|AB →|2.同理|DC →＋DA →|2=|AC →|2，所以|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2=|AB →|2＋|AC →|2=|BC →|2，即|BC →|2=|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.12.证明：PO →=PA →＋AO →，①;PO →=PD →＋DO →，②;PO →=PB →＋BO →，③;PO →=PC →＋CO →，④∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，∴AO →=OC →=-CO →，BO →=OD →=-DO →.①＋②＋③＋④，得:4PO →=PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋(AO →＋CO →)＋(BO →＋DO →)=PA →＋PB →＋PC →＋PD →＋0＋0，∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →=4PO →.。

2．2向量的减法1．问题导航(1)两个向量共线时，如何作出其差向量？(2)点O ，A ，B 为平面中的任意三点，则AB →＝OB →－OA →对吗？(3)在向量运算中a ＋b ＝c ＋d ，是否有a －c ＝d －b 成立？2．例题导读P 79例4.通过本例学习，学会作已知向量的和或差．P 80例5.通过本例学习，学会利用向量加减法的几何意义求向量的和或差的模．试一试：教材P 81习题2－2 A 组T 4你会吗？向量的减法向量的减法相反向量定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫作a 的相反向量，记作－a ，零向量的相反向量仍是零向量定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量几何意义：已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝b －a ，即b －a 可以表示为从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量性质：①－(－a )＝a ，②a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0，③如果a 与b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝01．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线．() (2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．()(3)相反向量是共线向量．()解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的任一向量共线，所以该说法错误．(2)正确．因为两个向量的差仍然是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．(3)正确．根据相反向量的定义知，该说法正确．答案：(1)×(2)√(3)√2．下列等式中，正确的个数是()①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．1B ．2 C ．3 D ．4 解析：选 C.由向量的加法及几何意义，可得：①a ＋b ＝b ＋a ，正确；由向量的减法及其几何意义，得a －b ＝－(b －a )，即②错误；0－a ＝－a ，③正确；根据相反向量的定义及性质得－(－a )＝a ，④正确；而a ＋(－a )＝0≠0，⑤错误．3.OC →－OA →＋CD →＝________．解析：OC →－OA →＋CD →＝(OC →－OA →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.答案：AD→4．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：因为a 与b 反向，所以|a －b |＝|a |＋|b |＝2.答案：21．相反向量满足的两个条件(1)两个向量的方向相反．(2)两个向量的长度相等．2．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法．(2)为向量的“移项”提供依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．3．对向量减法的三点说明(1)减法的几何意义a －b 的几何意义是：当向量a ，b 的起点相同时，从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．(2)与向量加法的关系a －b ＝a ＋(－b )，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(3)向量减法运算法则把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．已知向量作差向量如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .(链接教材P 79例4)[解]法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c .过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ，所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c .法三：如图③，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC →，则OC →＝a ＋b －c .方法归纳求两向量的差向量关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．1．(1)如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .(2)如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .解：(1)作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b－c .(2)以OB→，OC →为邻边作?OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .向量的减法运算化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)；(2)AB →－AD →－DC →；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．(链接教材P 81习题2－2A 组T 5)[解](1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →.(3)法一：原式＝AB →＋DC →＋CA →＋BD→＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.法二：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0.方法归纳(1)(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现．同时注意向量加法、减法法则的逆向运用．2．(1)在平行四边形ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是()A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ．b －a ＝dD ．c －a ＝b(2)化简下列各式：①OP →－OQ →＋PM →－QM →；②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)．解：(1)选B.根据向量加法的平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .c －a ＝AC →－AB →＝BC →＝AD →＝b ，故选B.(2)①OP →－OQ →＋PM →－QM →＝QP →＋PM →－QM →＝QM →－QM →＝0.②(AB →＋CD →)＋(BC →＋DE →)－(EF →－EA →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DE →)－(EF →－EA →)＝AC →＋CE →－AF →＝AE →－AF →＝FE →.用已知向量表示其他向量设O 是△ABC 内一点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a ，b ，c 表示DC →，OH →，BH →.[解]由题意可知四边形OADB 为平行四边形，所以OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .所以DC →＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )．又四边形ODHC 为平行四边形，所以OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b .所以BH →＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .若题中的条件不变，如何用向量a ，b ，c 表示出向量AH →？解：由例题解析可得OH →＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ，则AH →＝OH →－OA →＝c ＋a ＋b －a ＝b ＋c .方法归纳用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD→＋DA →＝0.3.(1)如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．(2)如图所示，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.解：(1)因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →＝a －b ＋c .故填a －b ＋c .(2)因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BE →＝AE →－AB →＝c －a ，CE →＝AE →－AC →＝c －b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则()A.AD →＋BE →＋CF →＝0B .BD →－CF →＋DF →＝0C .AD →＋CE →－CF →＝0D .BD →－BE →－FC →＝0[解析]因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →，所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立．BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立，AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立．BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立．[答案]A[错因与防范](1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错而导致错误．(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量知识与平面几何知识的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据．其次，要记准向量减法的几何意义，根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．4．(1)如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，则b ＋c －a 等于()A.OA →B ．OB→C.OD→D ．OA →＋b(2)如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________．解析：(1)法一：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →，所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →，所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →.因为DA →＝b ，所以AD →＝－DA →＝－b ，所以OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b .所以c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.(2)BE→－DC →＋ED →＝BE →＋CD →＋ED →＝BE →＋ED →＋CD →＝BD →＋CD →，因为BD →＋CD →＝0，所以BE →－DC →＋ED →＝0.答案：(1)A(2)01．若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于() A ．0B ．a ＋bC ．b －aD ．a －b解析：选D.CA →＝BA →－BC →＝a －b .故选D.2．如图，在四边形ABCD 中，设AB→＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝()A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c .3．已知a 、b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________．①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同；②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反；③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模；④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同．解析：当a 、b 方向相同时有|a |＋|b |＝|a ＋b |，||a |－|b ||＝|a －b |，当a 、b 方向相反时有||a |－|b ||＝|a ＋b |，|a |＋|b |＝|a －b |，因此①②④为真命题．答案：①②④,[学生用书单独成册]) [A.基础达标]1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D ．EF→＝－OF →－OE →解析：选B.根据向量的减法的定义可得EF →＝OF →－OE →. 2．下列式子不正确的是()A ．a ＋0＝aB ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →≠0D .AC→＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C .根据向量加法的三角形法则，A 正确；向量加法满足交换律，B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于()A .CB →B ．BC →C .CD →D ．DC →解析：选C .在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC →＝CD →.4.如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF→＋EF →＝() A .AB→B .AB →＋DC →C .DC →D ．AD→＋BC →解析：选B .因为EF →＝EA →＋AB →＋BF →，EF →＝ED →＋DC →＋CF →，又EA →与ED →互为相反向量，BF →与CF →互为相反向量，所以EA →＋ED →＝0，BF →＋CF →＝0.所以EF →＋EF →＝ED →＋DC →＋CF →＋EA →＋AB →＋BF →＝(ED →＋EA →)＋DC →＋AB →＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →.5．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是() A ．[3，8] B ．(3，8) C ．[3，13] D ．(3，13) 解析：选C .当AB →与AC →不共线时，有BC →＝AC →－AB →(如图所示)，由三角形三边的不等关系可知8－5<|BC →|<8＋5，即3<|BC →|<13，当AB →与AC →共线反向时，|BC →|＝13；当AB →与AC →共线同向时，|BC →|＝3，所以3≤|BC →|≤13.6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA→－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA→＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案：CA→7．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________．(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________．解析：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →)＋CM →＝AD →＋MC →＋CM →＝AD →.(2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝PQ →＋QO →－(QM →＋MO →)＝PO →－QO →＝PO →＋OQ →＝PQ →.答案：(1)AD →(2)PQ→8．四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →|＝________．解析：|AB →－AD →|＝|DB →|＝12＋12＝ 2.答案： 29.如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：(1)AC→；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →. 解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a .(2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB→＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.所以|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF.则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.所以|a －b ＋c |＝2.[B.能力提升]1．给出下列各式：①AB →＋CA →＋BC →；②AB →－CD →＋BD →－AC →；③AD →－OD →＋OA →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →. 对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是() A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A .①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0；③AD →－OD →＋OA →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0.2．平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA→＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状是()A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选B .因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →，所以OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，又A ，B ，C ，D 四点不共线，所以|BA →|＝|CD →|，且BA ∥CD ，故四边形ABCD 为平行四边形．3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________解析：因为菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2.答案：24．如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③BE →；④DE →－FE →＋CD →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 解析：因为四边形ACDF 是平行四边形，所以OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →，DE →－FE →＋CD →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →，CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →，CA →－CD →＝DA →，因为四边形ABDE 是平行四边形，所以AB →＋AE →＝AD →，综上知与OA →－OC →＋CD →相等的向量是①④.答案：①④5．在五边形ABCDE 中，设AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解：因为m －p ＋n －q －r ＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r )＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.延长AC 到M ，使|CM →|＝|AC →|，则CM →＝AC →，所以AC →＋AC →＝AC →＋CM →＝AM →.所以向量AM →为所求作的向量，如图所示．6．(选做题)如图，已知点O 是△ABC 的外心，H 为垂心，BD 为外接圆的直径．求证：(1)AH →＝DC →；(2)OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：(1)由题意，可得AH ⊥BC ，DC ⊥BC ，所以AH ∥DC.又DA ⊥AB ，CH ⊥AB ，所以DA ∥CH ，所以四边形AHCD 为平行四边形．所以AH →＝DC →.(2)在△OAH 中，OH→＝OA →＋AH →，而AH →＝DC →，所以OH →＝OA →＋DC →.又在△ODC 中，DC →＝DO →＋OC →，而DO →＝OB →，所以DC →＝OB →＋OC →.所以OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。

2017-2018学年 高一数学 必修4 向量线性运算 向量减法运算课后练习题一、选择题：1.在四边形ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，则DC =( ).A.a －b ＋cB.b －(a ＋c )C.a ＋b ＋cD.b －a ＋c2.已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a ＋b |等于( ). A.1 B.2 C.5 D.63.当a ，b 满足下列何种条件时，等式|a ＋b |=|a |－|b |成立( ).A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.a 与b 同向且|a |≤|b |D.a 与b 反向且|a |≥|b |4.下列四式中不能化简为PQ 的是( ). A.AB ＋(PA ＋BQ ) B.(AB ＋PC )＋(BA －QC ) C.QC －QP ＋CQ D.PA ＋AB －BQ5.在边长为1的正三角形ABC 中，|AB －BC |的值为( ). A.1 B.2 C.23 D.3 二、填空题：6.化简下列各式：①AB －AC ＋BC ；②AB ＋CA ＋BD －CD ；③OA －OD －DA ；④NQ －PQ ＋MN －MP .结果为零向量的个数是________.7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA －BC －OA ＋OD ＋DA =________.8.设点O 是三角形ABC 所在平面上一点，若|OA |=|OB |=|OC |，则点O 是△ABC 的_____心.9.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA =a ，OB =b ，OC →=c ，则OD =________.三、解答题：10.如图，已知OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，OE=e，OF=f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋11.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB=a，BC=b，AC=c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.12.已知|a|=8，|b|=15.(1)求|a－b|的取值范围.(2)若|a－b|=17，则表示a，b的有向线段所在的直线所成的角是多少？参考答案1.答案为：A；解析：DC=DA＋AB＋BC=a－b＋c.2.答案为：D；解析：设OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作▱ OACB，则a－b=BA.∵|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，∴▱OACB中，OA=1，OB=2，BA=2，由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a＋b|=|OC|=6.3.答案为：D；解析：当a与b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|=|a|－|b|.4.答案为：D；5.答案为：D；6.答案为：4；7.答案为：CA；8.答案为：外心；9.答案为：a－b＋c；10.解:11.解：12.解：。

1. 化简(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α2. 已知α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于( )A.π3 B ．－π3C ．±π3D ．±π63. 化简2sin2x ·sin x ＋cos3x4. 在矩形ABCD 中，3=，1=，则向量)(++的长等于（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）45.下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：mb ma b a m -=-)(② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有na ma a n m -=-)(③ 若)(R m mb ma ∈=，则有b a =④ 若)0,,(≠∈=a R n m na ma ，则n m =其中正确命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．若a 与b 的方向相反，且>a b ，则a+b 的方向与a 的方向 ；此时+a b-b ．7．已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则下列各式：①1122EF =-c b ；②12BE =+a b ；③1122CF =-+a b ；④AD BE CF ++=0 ．其中正确的等式的个数为8．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA OB OC ++=0，则O 是△ABC 的 。

（填重心 、垂心、内心、外心之一）9．若8,5,AB AC ==则BC 的取值范围是10．如图，D 、E 、F 是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则DB AF -=B 组11．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =_______。

（用a b 、表示） 12．化简：()()AB CD AC BD ---= ．13．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB =2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB =a ,AD =b ,试用a ，b 表示BC 和MN ．1.解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2cos α＝tan α2.2. 解析：选 B. sin β－sin α＝sin γ＞0，cos α－cos β＝cos γ＞0，则(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，且β＞α，即cos(α－β)＝12(0＜α＜β＜π2)，则α－β＝－π3，故选B.3. 解析：原式＝2sin2x sin x ＋cos(2x ＋x )＝2sin2x ·sin x ＋cos2x cos x －sin2x ·sin x＝cos2x ·cos x ＋sin2x ·sin x＝cos(2x －x )＝cos x .4. 答案: D 。

2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法5分钟训练（预习类训练,可用于课前）1.如图2-2-1所示，在圆O中，向量OB、OC、AO是( )图2-2-1A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量思路解析:指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的,所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等.答案:C2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_______________________.(2)把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l上的点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_______________________.(3)把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l上的点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_______________________.思路解析:向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应为一个圆.(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P，则终点应为直线l上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为直线l上的任意一点.答案:(1)一个圆(2)直线l上与P的距离相等的两个点(3)直线l3.如图2-2-2，试作出向量a与b的和a+b.图2-2-2思路解析:作两个向量的和，可用三角形法则.利用向量加法的三角形法则来解，当两个向量共线时同样适用，第三个可用平行四边形法则.OA=a，再作AB=b，则OB=a+b.解:如下图所示，首先作10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.如图2-2-3，正方形ABCD的边长为1，则|AB+BC+DC+AD|为( )图2-2-3A.1B.2C.3D.22思路解析:|AB+BC+DC+AD|=|2AC|=2|AC|=22.答案:D2.如图2-2-4所示，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )图2-2-4A.AB+BC=CAB.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DC思路解析:由三角形法则和平行四边形法则可知，AB+BC=AC，A错；BA+ AC =BC，B错；CA+AD=CD，D错.只有C是正确的.答案:C3.已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向( )A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反思路解析:已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同，如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.答案:A4.如图2-2-5所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a+b+c+d.图2-2-5思路解析:利用向量的多边形法则.OA=a，AB=b，BC=c，CD=d，解:如下图所示,在空间中任取一点O，作OD=a+b+c+d.则志鸿教育乐园道破天机父亲心血来潮，测试儿子：“宝贝，你晓得什么话能一语道破天机吗？”“爸爸，”儿子很快回答，“天气预报！”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.已知平行四边形ABCD，设(AB+CD)+(BC+DA)=a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有( )①a∥b②a+b=a③a+b=b④|a+b|＜|a|+|b|A.①③B.②③C.②④D.①②AB+CD=0，BC+DA=0，所以a为零向量，思路解析:在平行四边形ABCD中，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确.答案:A2.向量a、b都是非零向量，下列说法中不正确的是( )A.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同B.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同C.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同D.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同思路解析:向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b的方向应该和模较大的向量方向相同，即和b的方向相同，所以C错.答案:C3.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则下列说法正确的是( )A.a∥b，且a与b方向相同B.a、b是共线向量,且a与b方向相反C.a=-bD.a、b无论什么关系均可思路解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.答案:A4.在平行四边形ABCD中，下列式子:AD=AB+BD;②AD=AC+CD;③AD+AB=AC;①AB+BC=AC;⑤AD=AB+BC+CD;⑥AD=DC+CA. ④其中不正确的个数是( )A.1B.2C.4D.6DC+CA=DA，所以⑥错，其他各项都是正确的.思路解析:答案:A5.如图2-2-6所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列结论正确的是( )图2-2-6A.AB=CD，BC=ADB.AD+OD=DAC.AO+OD=AC+CDD.AB+BC+CD=DAAO+OD=AD，AC+CD=AD，思路解析:因为AO+OD=AC+CD.所以答案:C6.已知向量a、b，试比较|a+b|与|a|+|b|的大小.思路解析:因为向量包含长度和方向，所以在比较和向量长度的大小时，要考虑其方向. 解:(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|.当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.。

数学·必修4(人教A 版)2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法、减法运算及其几何意义基础提升1．化简PM→－PN →＋MN →所得结果是( ) A.MP→ B.NP → C ．0 D.MN →答案：C2．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB→－AC →|的值为( )A ．0B ．1 C. 3 D ．2答案：B3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )A ．与向量a 方向相同B ．与向量a 方向相反C ．与向量b 方向相同D ．与向量b 方向相反答案：A4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD→＝λAO →，则λ＝________.答案：25．向量(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A.BC→ B.AB → C.AC → D.AM →解析：(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(MB →＋BO →)＋OM→＝AC →＋MO →＋OM →＝AC →.故选C.答案：C巩固提高6．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________.答案：37．如图，已知O 为平行四边行ABCD 内一点，OA→＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，求OD →.解析：∵BA→＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，∴OD →－OC →＝OA→－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →，∴OD →＝a －b ＋c .8．在正六边形ABCDEF 中，AE →＝m ，AD →＝n ，则BA→＝__________.解析：在正六边形ABCDEF 中，BA →＝DE →＝AE →－AD →＝m －n . 答案：m －n9．已知：△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE 綊12BC .证明：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，故AD →＝12AB →，AE →＝12AC →. DE →＝AE →－AD →＝12(AC →－AB →)＝12BC →. 所以DE 綊12BC .。

第五章 第二节一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] 设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1.[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2不等价． 2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(2014·山东青岛期中)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b[答案] A[解析] 由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b|b |表示与b 反向的单位向量，则a 与b 反向．而当a ＝－13b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D 都不正确，故选A.[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[答案] B[解析] 由条件知，PC →＝2PQ →－P A →＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →＝(－4,14)， ∴BC →＝BP →＋PC →＝(－6,21)．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(文)(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2[答案] B[解析] 如图，设AB →＝λAC →，则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．(理)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG → C.EO → D ．FO →[答案] D[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.二、填空题7．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[分析] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. [点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________.[答案]1049[解析] 由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，②由①②联立解得⎩⎨⎧λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝______.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3. (理)在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则4x ＋y 的最小值为________．[答案] 94[解析] 如图所示，由题意知AD →＝12(AB →＋AC →)，AE →＝12AD →，又M ，E ，N 三点共线，所以AE →＝λAM →＋(1－λ)AN →(其中0<λ<1)， 又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，所以14(AB →＋AC →)＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧4λx ＝1，4(1－λ)y ＝1，解得x ＝14λ，y ＝14(1－λ)，令1λ＝t ，∴t >1， 则4x ＋y ＝1λ＋14(1－λ)＝t ＋t4(t －1)＝(t －1)＋14(t －1)＋54≥94，当且仅当t ＝32，即λ＝23时取得等号．三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)由条件得cos π4＝(a －b )·(a ＋t b )|a －b ||a ＋t b |，∵|a －b |＝(a －b )2＝6，|a ＋t b |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2，(a －b )·(a ＋t b )＝5－t ，∴5－t 65＋t 2＝22，且t <5∴t 2＋5t －5＝0，∴存在t ＝－5±352满足条件.一、选择题11．平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB →－BC →)·(AD →－CD →)＝0，则三角形ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形[答案] B[解析] (AB →－BC →)·(AD →－CD →) ＝(AB →－BC →)·(AD →＋DC →)＝(AB →－BC →)·AC →＝(AB →－BC →)·(AB →＋BC →) ＝|AB →|2－|BC →|2＝0，故|AB →|＝|BC →|，即△ABC 是等腰三角形．12．如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12 B ．⎝⎛⎭⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13 D ．⎝⎛⎭⎫23，12[答案] C[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点， ∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12a －b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ，∵BE →与BF →共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 13．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则“0≤x ≤12，0≤y ≤23”的概率是( )A.13 B ．23C.14 D ．12[答案] A[解析] 根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.14．(文)(2014·浙江十校联考)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )[答案] B[解析] 由于d (a ，b )＝|a －b |，所以对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，由图示可知，向量a －t b 的模的最小值是a －b 的模，故a －b 与b 垂直，故选B.(理)(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 [答案] D[解析] 由新定义知，max{x ，y }是x 与y 中的较大值，min{x ，y }是x ，y 中的较小值，据此可知A 、B 是比较|a ＋b |与|a －b |中的较小值与|a |与|b |中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a ，b 〉有关，故A 、B 错；当〈a ，b 〉为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时|a ＋b |2>|a |2＋|b |2. 当〈a ，b 〉为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时|a ＋b |2<|a |2＋|b |2<|a －b |2. 当〈a ，b 〉＝90°时，|a ＋b |＝|a －b |，此时|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2. 故选D. 二、填空题15．(2013·广东江门质检)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值是________．[答案] －1[解析] ∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →与BD →共线， ∵AB →＝2a ＋p b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， ∴存在实数λ，使2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a 与b 不共线，∴λ＝1，p ＝－1.16．(2014·广雅中学月考)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则n m＝________.[答案] －4[解析] MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1，∴n m ＝－4.三、解答题17．(2014·福建三明检测)已知向量a ＝(sin α，－2)，b ＝(1，cos α)，其中α∈(0，π2)．(1)向量a ，b 能平行吗？请说明理由．(2)若a ⊥b ，求sin α和cos α的值．(3)在(2)的条件下，若cos β＝1010，β∈(0，π2)，求α＋β的值． [解析] (1)向量a ，b 不能平行．若平行，需sin αcos α＋2＝0，即sin2α＝－4，而－4∉[－1,1]，∴向量a ，b 不能平行．(2)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin α－2cos α＝0，即sin α＝2cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15， ∴sin 2α＝45.又α∈(0，π2)， ∴sin α＝255，cos α＝55. (3)由(2)知sin α＝255，cos α＝55，cos β＝1010，β∈(0，π2)，得sin β＝31010. 则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. 又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝3π4. 18．(2014·宁阳一中检测)如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2，∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在λ、μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2， 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，∴⎩⎨⎧ λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，即AP PM ＝4 1.。

2017-2018学年 高一数学 必修4 向量的线性运算 向量的加法课后练习题一、选择题：1.a 、b 为非零向量，且|a ＋b |=|a |＋|b |，则( )A.a ∥b ，且a 与b 方向相同B.a 、b 是方向相反的向量C.a =－bD.a 、b 无论什么关系均可2.已知菱形的两邻边OA =a ，OB =b, 其对角线交点为D ，则OD 等于( ) A.21a ＋b B.21b ＋a C.21(a ＋b ) D.a ＋b 3.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ＋AB B.PM ＋MN ＋MP C.BC ＋CA ＋AB ＋CD D.MP ＋GM ＋PQ ＋QG4.在平行四边形ABCD 中，若|BC ＋BA |=|BC ＋AB |，则四边形ABCD 是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定5.已知P 为△ABC 所在平面内一点，当PA ＋PB =PC 成立时，点P 位于( )A.△ABC 的AB 边上B.△ABC 的BC 边上C.△ABC 的内部D.△ABC 的外部二、填空题：6.化简(AB ＋MB )＋BC ＋OM ＋BO ＋CA =__________.7.在矩形ABCD 中，若AB=3，BC=2，则|AB ＋BC |=__________.8.当非零向量a ，b 满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角.三、解答题:9.已知|OA |=|a |=3，|OB |=|b |=3，∠AOB=60°，求|a ＋b |.10.如图所示，在▱ABCD的对角线BD的延长线上取点E、F，使BE=DF.求证：四边形AECF是平行四边形.OA(j=1,2，…，11.如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，a i=A i A i＋1(i=1,2，…，7)，b j=j8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.参考答案1.答案为：A ；解析：只有a ∥b ，且a 与b 方向相同时才有|a ＋b |=|a |＋|b |成立.故A 项正确.2.答案为：C ；解析：作出图形，OA ＋OB =OC =a ＋b ，∴OD =21(a ＋b ).3.答案为：D;4.答案为：B;解析：∵|BC ＋BA |=|BD |，|BC ＋AB |=|AB ＋BC |=|AC |，∴|BD |=|AC |，∴▱ABCD 是矩形.5.答案为：D;解析：如图＋=，则P 在△ABC 的外部.6.答案为：0;7.答案为：13;8.答案为：|a |=|b |;解析：以a ，b 为邻边构成的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，此时|a |=|b |.9.解:10.证明:11.解：。

数学苏教版高一必修4_第2章2.2.1向量的加法_向量的减法_作业 含解析[学业水平训练]1．化简：(1)AB→＋CD →＋(BC →＋DB →＋BC →)＝________； (2)AM→－BO →＋MO →＋OA →＝________． 解析：(1)AB→＋CD →＋(BC →＋DB →＋BC →)＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DB →)＋BC →＝AC →＋(CB →＋BC →)＝AC→＋0＝AC →. (2)AM→－BO →＋MO →＋OA →＝AM →＋MO →＋OA →－BO →＝AO →＋OA →－BO →＝0－BO →＝OB →. 答案：(1)AC→ (2)OB → 2．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝4，则|a ＋b |的取值范围是________．解析：||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.答案：[1，7]3．设a ＝(AB→＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为________．(填序号)①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＜|a |＋|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.解析：a ＝0，则①③⑤正确．答案：①③⑤4．正方形ABCD 的边长为1，则|AB→＋BC →＋DC →＋AD →|为________． 解析：|AB→＋BC →＋DC →＋AD →|＝2|AC →|＝2 2. 答案：2 25．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是________．(填序号)①AB→＝DC →；②AD →＋AB →＝AC →； ③AB→＝AD →＋BD →； ④AD →＋CB →＝0. 解析：对于①，∵AB 綊DC ，∴AB→＝DC →，即①正确；对于②，由向量加法的平行四边形法则可判断②正确；对于④，∵AD→与CB →方向相反，且模相等，∴AD →＋CB →＝0，即④正确；对于③，AB→＝AD →＋DB →，即③不正确． 答案：③6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，且|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________．解析：|a －b |＝|BA →|＝|OA →|2＋|OB →|2＝52＋122＝13. 答案：137．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB→＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.证明：法一：∵b ＋c ＝DA→＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →，OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA→＋a ，即b ＋c －a ＝OA →. 法二：∵c －a ＝OC→－AB →＝OC →－DC →＝OD →，OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA→. 8．在水流速度为4 3 km/h 的河中，如果船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船航行速度的大小与方向．解：如图所示，设AB→表示水流速度，AC →表示船实际航行速度，连结BC ，作AD 綊BC ，连结DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，所以AD→为所求的船的航速．因为AD →＋AB →＝AC →，|AB →|＝43，|AC →|＝12，所以tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝33，所以∠ACB ＝30° ＝∠CAD .所以|AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°. 所以船的航行速度大小为8 3 km/h ，方向与水流速度方向成120°的角．[高考水平训练]1．若|AB→|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________． 解析：BC→＝AC →－AB →. 当AB→与AC →共线且方向相同时|BC →|有最小值3. 当AB→与AC →共线且方向相反时|BC →|有最大值13. 答案：[3，13]2．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形的形状是__________．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴OA→＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形3．已知△OAB 中，OA→＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．解：由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →、OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23， ∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. 4．三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现有甲、乙、丙三人玩此游戏．若甲、乙两人的力相同，均为a 牛，试探究丙需要多大拉力，使小球静止．若甲、乙两人的力不等，则小球有可能静止吗？解：设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a ，b ，c ，根据题意，可知a ，b ，c 三个向量两两夹角为120°，可先计算a ＋b .由于|a |＝|b |，易求|a ＋b |＝|c |，且a ＋b 平分a ，b 所成的角，即方向与c 相反． 要使小球不动，则c ＝－(a ＋b )．若甲、乙两人的力不等，根据向量加法的平行四边形法则，a ＋b 的方向不可能与c 相反，也就是说a ＋b 与c 不可能是相反向量，所以小球不可能静止．。

向量的加法与减法1．在平行四边形ABCD中，A B＋D C－D B等于2．设a＝(A B＋C D)＋(B C＋D A)，b是任一非零向量，有下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.其中，正确的结论为3．下面给出了四个式子：①A B＋B C＋C A；②O A＋O C＋B O＋C O；③A B－A C＋B D－C D；④N Q＋Q P＋M N－M P.其中等于0的有4．平面上有三点A，B，C，设m＝A B＋B C，n＝A B－B C，若m，n的长度恰好相等，下列结论正确的是（1）．A，B，C三点必在同一直线上（2）．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角（3）．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°（4）△ABC必为等腰直角三角形5．在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|A B＋F E＋C D|＝______.6．O P－Q P＋P S＋S P化简后的结果为__________．7．已知三个不全共线的非零向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，则a，b，c的首尾相连可构成的图形形状是________．8．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.9．如图，在正五边形ABCDE中，若A B＝a，B C＝b，C D＝c，D E＝d，E A＝e，求作向量a－c＋b－d－e.答案：1.解析：A B＋D C－D B＝A B＋D C＋B D＝A B＋B D＋D C＝A C.答案：A C2.解析：因为a＝0，所以①③⑤正确．答案①③⑤3.解析：①A B＋B C＋C A＝A C＋C A＝0；②O A＋O C＋B O＋C O＝(C O＋O A)＋(B O＋O C)＝C A＋B C＝C A－C B＝B A；③A B－A C＋B D－C D＝C B＋B C＝0；④N Q＋Q P＋M N－M P＝N P＋P N＝0.答案：①③④4.解析：由|m|＝|n|，知A，B，C为一矩形的三顶点，且△ABC中∠B为直角．答案：（3）5.解析：∵A B＋F E＋C D＝A B＋B C＋C D＝A D，∴|A B＋F E＋C D|＝|A D|＝2.答案：26.解析：O P－Q P＋P S＋S P＝(O P＋P Q)＋(P S－P S)＝O Q＋0＝O Q.答案：O Q7.解析：如图，作向量A B＝a，B C＝b，则A C＝A B＋B C＝a＋b.∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴A C与c是相反向量，即a，b，c的首尾相连可构成一个三角形．答案：三角形8.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：0 29.解：a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(A B＋B C)－(C D＋D E＋E A)＝A C－C A＝A C＋A C.如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则C F＝A C.所以A F＝A C＋A C，即为所求作的向量a－c＋b－d－e.。

2.2.1课时作业1．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，则|a ＋b |为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2答案 B2．下列各式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →≠0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③ 答案 B3．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →答案 C4．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可 答案 A5.如图，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 答案 B6．在Rt △ABC 中，若∠A ＝90°，|AC →|＝2，|AB →|＝3，则AC →＋AB →的模等于( ) A.13 B ．2 2 C ．3D ．5 答案 A解析 由题意知|AB →＋AC →|＝|AB →|2＋|AC →|2＝22＋32＝13，应选A. 7．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( )A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →答案 C8．已知O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．垂心 B ．重心 C ．内心D ．外心答案 B9．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋CD →＋BC →＝______．答案 OD →10．已知正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|等于________． 答案 2 2解析 |AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|2AC →|＝2 2.11．若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．答案 82 北偏东45°解析 如图，a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →. ∵|a |＝8，|b |＝8，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴|a ＋b |＝|OB →|＝8 2.方向是北偏东45°.12．如图(1)，已知向量a 、b 、c ，求作向量a ＋b ＋c .解析 如图(2)，在平面内任取一点D ，作DA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，作DB →、DC →，则DB →＝a＋b ，DC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c .∴向量DC →即为所作向量．13．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，试判断四边形的形状．解析 由向量加法的三角形法则，得AC →＝AB →＋BC →. ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝BC →，即AD ∥BC 且|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形． 14.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC. 求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →. 因为PB →和QC →大小相等、方向相反， 所以PB →＋QC →＝0.故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.2.2.2课时作业1．给出下列3个向量等式：①AB →＋CA →＋BC →＝0；②AB →－AC →－BC →＝0；③AC →－BC →－AB →＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C 解析 ①③对．2．如右图，▱ABCD 中，下列等式中错误的是( ) A.AD →＝AB →＋BD → B.AD →＝AC →＋CD → C.AD →＝AB →＋BC →＋CD →D.AD →＝DC →＋CA → 答案 D解析 DC →＋CA →＝DA →.3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →答案 B4．下列命题中，正确的是( )A ．差向量的方向是由被减向量的终点指向减向量的终点B ．若a 、b 是任意两个向量，则|a |－|b |＝|a －b |C ．与a 方向相反的向量叫做a 的相反向量D ．从一个向量减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量 答案 D5．在下列各等式中，正确的个数为( )①a －b ＝b －a; ②a ＋b －c ＝a －c ＋b ；③b －(－a )＝b ＋a; ④0－a ＝－a ；⑤|a －b |＝|b ＋a |; ⑥|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．5 B ．4 C ．3 D ．1答案 C6．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 答案 D7．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c答案 A8．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)答案 C解析 BC →＝AC →－AB →(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13.9．已知△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形，则在下列各等式中不成立的为( ) A ．|AC →－AB →|＝|AC →＋AB →| B ．|AC →－AB →|＝|CB →| C ．|AB →－AC →|2＝|AB →|2＋|BC →|2 D ．|BC →＋CA →|2＋|AC →|2＝|BC →|2答案 C10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________． 答案 CA →11．判断正误．(1)设非零向量a 、b ，则|a ＋b |＝|a －b |⇔a ⊥b .(2)AB →＋BC →＋CA →＝0⇔A 、B 、C 是某个三角形三个顶点． 答案 (1)正确 (2)不正确12．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，求|a －b ＋c |.答案 |a －b ＋c |＝213．如图四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ， 求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明 EF →＝12(EB →＋EC →)＝12(EA →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)(∵EA →＋ED →＝0) 14．设平面内有四边形ABCD 和O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．解析 ∵a ＋c ＝b ＋d ，即OA →＋OC →＝OB →＋OD →. ∴OA →－OB →＝OD →－OC →.即BA →＝CD →.∴BA 綊CD. 故四边形ABCD 是平行四边形． ►重点班·选做题15．任给向量a ，b ，则下列各项中正确的是( ) A ．|a ＋b |＝|a |＋|b | B ．|a －b |＝|a |－|b | C ．|a －b |≤|a |－|b | D ．|a －b |≤|a |＋|b |答案 D16．已知|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1，则|a －b |＝( ) A ．1 B. 3 C.32D ．2答案 B分析 根据向量的平行四边形法则，以a 和b 为邻边表示向量a ＋b 和a －b ，再根据向量模的关系判断平行四边形的形状求解．解析 如右图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，当|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝1时，平行四边形ABDC 为菱形．又|a ＋b|＝1， ∴△ABD 为正三角形．∴∠ABD ＝60°.容易得出|a －b|＝|CB →|＝2|OB →|＝2|AB|2－|AO|2＝2·12－（12）2＝ 3.。

向量减法运算及其几何意义一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．两个方向相同的向量之差等于0B ．两个相等向量之差等于0C ．两个相反向量之差等于0D ．两个平行向量之差等于0答案：B解析：根据向量减法的几何意义知只有两个相等向量之差等于0其他选项都是不正确的．2．化简以下各式：(1)AB →＋BC →＋CA →；(2)AB →－AC →＋BD →－CD →；(3)OA →－OD →＋AD →；(4)NQ →＋QP →＋MN →－MP →则等于0的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：对于(1)：AB →＋BC →＋CA →＝0；对于(2)：AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝0；对于(3)：OA →－OD →＋AD →＝(OA →＋AD →)－OD →＝OD →－OD →＝0；对于(4)：NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(MN →＋NQ →＋QP →)－MP →＝03．边长为1的正三角形ABC 中|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2C 32D 3 答案：D解析：延长CB 至D 使BC ＝BD ＝1则－BC →＝BD →故|AB →－BC →|＝|AB →＋BD →|＝|AD →|二、填空题7．小王从宿舍要到东边100米的教室去但他先到宿舍西边50米的收发室拿了一个包裹这时他需要向________边走________米才能到教室．答案：东 150解析：以向东为正方向则100－(－50)＝150所以他要向东走150米才能到教室．8．对于向量ab 当且仅当________时有|a －b |＝||a |－|b ||答案：a 与b 同向解析：当ab 不同向时根据向量减法的几何意义知一定有|a －b |>||a |－|b ||所以只有两向量共线且同向时才有|a －b |＝||a |－|b ||9．如图在四边形ABCD 中设AB →＝a AD →＝b BC →＝c 则DC →用ab c 表示为________．答案：a －b ＋c解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b三、解答题 10如图所示四边形ABCD 为平行四边形设AB →＝a AD →＝b(1)求当a 与b 满足什么条件时|a ＋b |＝|a －b |；(2)求当a 与b 满足什么条件时四边形ABCD 为菱形正方形．解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形∴|a ＋b |＝|AB →＋AD →|＝|AC →||a －b |＝|AB →－AD →|＝|DB →|又|a ＋b |＝|a －b |∴|AC →|＝|DB →|∴▱ABCD 的对角线长相等∴▱ABCD 为矩形∴当a 与b 垂直时|a ＋b |＝|a －b |(2)欲使ABCD 为菱形需|a |＝|b |当|a |＝|b |且a 与b 垂直时平行四边形为正方形．11．如图已知正方形ABCD 的边长等于1AB →＝a BC →＝b AC →＝c 试作向量并分别求模．(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c解：(1)如图由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →又AC →＝c ∴延长AC 到E 使|CE →|＝|AC →|则a ＋b ＋c ＝AE →且|AE →|＝2 2(2)作BF →＝AC →连接CF 则DB →＋BF →＝DF →而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2能力提升12．下列各式中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →－DC →)－CB →B AD →－(CD →＋DC →)C ．－(CD →＋MC →)－(DA →＋DM →)D ．－BM →－DA →＋MB →答案：D解析：因为(AB →－DC →)－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BD →＝AD →；AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →；－(CD →＋MC →)－(DA →＋DM →)＝－MD →－DA →－DM →＝DM →＋AD →－DM →＝AD →；－BM →－DA →＋MB →＝MB →＋AD →＋MB →＝AD →＋2MB →13．探究不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的等号成立的条件．解：若向量a 、b 至少有一个零向量不等式两端的等号都成立．若向量a 、b 皆为非零向量则当向量a 、b 反向时不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的右端等号成立；当向量a 、b 同向时不等式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |的左端等号成立．。

高一向量同步练习2（向量加、减法）一、选择题1、命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ” （ ）A.总成立B.当a ≠0时成立C.当b ≠0时成立D.当c ≠0时成立2、下列四式不能化简为AD 的是 （ ）A.（AB +CD ）+BCB.（AD +MB ）+（BC +CM ）C. MB +-AD BMD. OC OA -+CD3、p ：a 与b 方向相反； q ：a 与b 互为相反向量； r ：|a |=|b |. 则 （ ）A.p 是q 的必要条件，q 是r 的必要条件B.p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件C.p 是q 的必要条件，q 是r 的充分条件D.p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件4、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） A.AM +MB +BC B.3AM +AC C. AB +BC +AC D.AM + BM +CM5、在平行四边形ABCD 中，BC +DC +BA 等于 （ ） A.BC B.DA C.AB D.AC6、在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则AF —DB = （ ） A.FD B.FE C.FC D.BE二、填空题1、已知OA =a ，OB =b ，且|a |=|b |=4，∠AOB=600，则|a +b |= ，|a b -|= ； a +b 与a 的夹角是 ；a b -与a 的夹角是 ；△AOB 的面积是 。

2、不共线向量a ，b 满足 时，使得a +b 平分a ，b 间的夹角。

3、已知向量|a |=2,|b |=8,则|a +b |的最大值是 ，|a b -|的最小值是 。

4、如图5—5，在ABCD 中，已知a AB =，b DB =，则=AD _______，=AC _______。

5、已知为与的和向量，且=，则=______，=________。

6、已知a 、b 是非零向量，若||||||b a b a +=-，则a 、b 应满足条件________。

课时提升作业十七向量减法运算及其几何意义(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.在平行四边形ABCD中,+-等于( )A. B. C. D.【解析】选C.在平行四边形ABCD中,=,=,所以+-=(-)+=2.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A.=+B.=-C.=-+D.=--【解析】选B.=+=-=-=--.3.已知O是平面上一点,=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则( )A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0【解析】选B.易知-=,-=,而在平行四边形ABCD 中有=,所以-=-,即b-a=c-d,也即a-b+c-d=0. 【误区警示】本题容易出现平行四边形的性质应用不充分的问题,此类问题要把握好图形的性质.二、填空题(每小题4分,共8分)4.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,则|+|=________.【解题指南】先通过向量运算得出要求的向量,再根据菱形性质求模. 【解析】因为+=+=,∠DAB=60°,AB=AD,所以△ABD为等边三角形.又因为||=2,所以OB=1.在Rt△AOB中,||==,所以||=2||=2.答案:25.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量有________.①;②;③;④-+;⑤+;⑥-;⑦+.【解析】因为四边形ACDF是平行四边形,所以-+=+=,-+=++=, +=+=,-=.因为四边形ABDE是平行四边形,所以+=.综上知与-+相等的向量是①④.答案:①④【补偿训练】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++=________.【解析】由题图知--++=-+=.答案:三、解答题6.(10分)如图,在正五边形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e.【解析】a-c+b-d-e=(a+b)-(c+d+e)=(+)-(++)=-=+.如图,连接AC,并延长至点F,使CF=AC,则=.所以=+,即为所求作的向量a-c+b-d-e.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知||=8,||=5,则||的取值范围为( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)【解题指南】利用向量模的不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|求范围.【解析】选C.因=-,当,同向时,||=8-5=3;当,反向时,=8+5=13;而当,不平行时,3<||<13,综上可知,3≤||≤13.2.下列各式中不能化简为的是( )A.(-)-B.-(+)C.-(+)-(+)D.--+【解析】选 D.因为(-)-=++=+=;-(+)=-0=;-(+)-(+)=---=+-= ;--+=++=+2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+=________.【解析】-+=++=+,因为+=0,所以-+=0.答案:04.在△ABC中,||=||=||=1,则|-|=________.【解析】如图,在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,-=+=+=.易求得AD=,即||=.所以|-|=.答案:三、解答题5.(10分)三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P上,使物体P沿a方向做匀速运动,设=a,=b,=c,判断△ABC的形状.【解析】由题意得:|a|=|b|=|c|,由于合力作用后做匀速运动,故合力为0,即a+b+c=0.所以a+c=-b.如图,作平行四边形APCD,所以四边形APCD为菱形.=a+c=-b,所以∠APC=120°,同理:∠APB=∠BPC=120°,又因为|a|=|b|=|c|,所以AC=AB=BC,所以△ABC为等边三角形.。