高中数学第二单元圆锥曲线与方程2_1_2椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1-1

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

2.1.2椭圆的几何性质（2）一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握椭圆的基本几何性质,对给定 的椭圆标准方程能熟练说出其几何性质,并 画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求椭圆的标 准方程.3.能根据椭圆的几何性质,解决有关问题. 二、预习案 （一）基础知识梳理1.椭圆的定义：①若P 为椭圆上任意一点，F 1,F 2为椭圆的两个焦点，则1PF PF +②若2a=21F F ,则轨迹为2.椭圆的几何性质（填写下表）3.椭圆类型的判断方法当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设)0,0(122>>=+n m ny m x 可以避免讨论和繁杂的记算，也可设为)0,0(122>>=+B A By Ax 这种形式在解题中更简便。

练习:说出下列椭圆的长轴长、短轴长、顶点、焦点和离心率. 1) 369422=+y x 2) 10042522=+y x三、课中案※ 典型例题例1：根据下列条件分别求椭圆的方程⑴和椭圆364922=+y x 有相同的焦点，且经过Q(2,-3)（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3，2)；求椭圆方程（3）已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点PP 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例2.一个椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,P 是椭圆上的一点,P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于510-,试求该椭圆的离心率及其方程.例3：椭圆22+ =194x y 的焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动， ①求证：当点P 横坐标为0时，∠F 1P F 2最大。

②当∠F 1P F 2为钝角时,点P 横坐标的变化范围是多少?例4：已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -，（m 是大于0的常数）（1）求椭圆方程；（2）设Q 是椭圆上的一点，且Q 到点)P 的最远距离为求m 的值变式 已知M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点,求证:2a c MF a c -≤≤+,其中1F 是椭圆的一个焦点. 小结:1、待定系数法是十分重要的数学方法.2、函数思想求最值3、椭圆2222 +=1x y a b 和()2222 +0x y k k a b=>具有相同的四、课后案1.椭圆221259x y +=的焦点12,,F F P 为椭圆上的点,已知1290FPF ∠=,则△12F PF 的面积为 _____2.设12,F F 是椭圆22134x y +=的两个焦点,P 是椭圆上一点,且121PF PF -=,则12cos F PF ∠=3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到求该椭圆的标准方程.4.中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于6,离心率等于35,则此椭圆的方程为5.椭圆的一个顶点()0,2,离心率为12e =,坐标轴为对称轴的椭圆方程为6.椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距是c ,若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ,求椭圆的离心率.。

2．1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．[知识链接]命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．[预习导引]1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程． 解 (1)方法一 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．由椭圆的定义知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝210，所以a ＝10.又因为c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1. 方法二 设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b2＝1a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10b 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)方法一 当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1； 当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a >b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. 方法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26.解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为2a ＝＋2＋02＋－2＋02＝10,2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16. 所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝26,2c ＝10， 所以a ＝13，c ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆标准方程为y 2169＋x 2144＝1. 要点二 椭圆定义的应用例2如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．解 在椭圆x25＋y24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3.规律方法在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把|PF 1|·|PF 2|看作一个整体来处理．跟踪演练2 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4， 所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32，即△PF 1F 2的面积是32.要点三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆(不包括与x 轴的两交点)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10； 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.又因为点A 不在x 轴上，所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． 规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A 不在x 轴上，因此y ≠0.跟踪演练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴|PB |＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA |＝10－r ， 即|PA |＋|PB |＝10(大于|AB |)． ∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6.∴a ＝5，c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段 答案 D解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6＝|F 1F 2|， ∴动点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8 答案 B解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25，即实数m 的取值范围是8<m <25.3．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 方程可化为x 21m＋y 21n＝1.若m >n >0⇒0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.4．已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ， 则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12.1.平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论，从而简化运算．。

2．1.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2
25＋
y2
16
＝1，C2：
y2
25
＋
x2
16
＝1.
思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？
思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？
梳理
思考 观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
梳理 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e ＝c a
，叫做椭圆的____________．
(2)性质：离心率e 的取值范围是________，当e 越接近于1，椭圆越________，当e 越接近于________，椭圆就越接近于圆．
类型一 椭圆的几何性质
例1 求椭圆9x 2
＋16y 2
＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 引申探究
已知椭圆方程为4x 2
＋9y 2
＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2
＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦
点坐标及顶点坐标．。

2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】 已知椭圆x 2+（m+3）y 2=m （m ＞0）的离心率e=23，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解析：椭圆的方程可化为：322++m my m x =1 ∵m -3)2(3++=+m m m m m ＞0，∴m＞3+m m 即a 2=m ，b 2=3+m m ， c=3)2(22++=-m m m b a 由e=23得32++m m =23， ∴m=1.∴椭圆的标准方程为x 2+412y =1. ∴a=1，b=21，c=23. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1（-23，0），F 2（23，0）四个顶点分别为A 1（-1，0），A 2（1，0），B 1（0，21-），B 2（0，21）. 二、求椭圆的离心率【例2】 2006山东潍坊一模，8 在Rt△ABC 中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为（ ） A.36- B.2-1 C.236- D.263- 解析:设另一个焦点为C′，则有AC+AC′=2a，BC+BC′=2a，又∵BC=2，BC′=1-AC′， ∴⎩⎨⎧='-+='+aC A a C A 212,21，解得AC′=22，a=422+， c=222C A AC '+=2211+=46， ∴离心率e=ac =36-，故选A. 答案：A温馨提示本题考查椭圆的定义、离心率公式及相关运算能力.三、离心率的应用【例3】 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=32,求椭圆的方程. 解:∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA ＝32, ∴点A 不是长轴的端点（是短轴的端点）.∴｜OF ｜＝c ，｜AF ｜＝a ＝３. ∴3c ＝32.∴c ＝2，b 2＝32-22＝５. ∴椭圆的方程是5922y x +＝１或9522y x +＝１. 温馨提示△OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b 、c ，斜边的长为a ，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练 1求椭圆25x 2+y 2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解:把已知方程化成标准方程：252y +x 2=1， 这里a=5,b=1,所以c=125-=26.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F 1(0，-26)、F 2(0，26)，椭圆的四个顶点是A 1(0，-5)、A 2(0，5)、B 1(-1，0)和B 2(1，0).变式提升 1已知点P （3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P 点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标（P 点除外）？这几个点的坐标是什么？解:根据椭圆关于两坐标轴对称及P 点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是（3，-6）、（-3，-6）、（-3，6）.类题演练 2 设椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过点F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到准线l 1的距离，则椭圆的离心率是__________________. 答案：21 变式提升2 椭圆2222b y a x +=1和2222by a x +=k （k ＞0）具有（ ） A.相同的长轴长 B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点答案：C类题演练 3已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上，离心率e=31，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程. 解：∵e=31，∴22a b =1-e 2=98. ∴可设所求椭圆方程为ty t x 8922+=1（t ＞0）， ∴c 2=9t-8t=t ，c=t ，M （t ，4）.∵M 在椭圆上，∴849)(22+t =t ， ∴t=49. 故所求椭圆的方程是1848122y x +=1. 变式提升 3若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（ ）A.43B.32C.21D.41 答案：C。

2.2.2 椭圆的几何性质1．掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a 、b 、c 的几何意义． (重点)2．会用椭圆的几何意义解决相关问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的简单几何性质阅读教材P 43～P 44第5自然段，完成下列问题.【答案】 a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0) －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 2b2a 2c 坐标轴 原点1．椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )A ．81B ．9C ．18D ．45【解析】 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 【答案】 C2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．14D ．4【解析】 方程化为x 2＋y 21m＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m＝2×2，∴m＝14. 【答案】 C 教材整理2 离心率阅读教材P 44“离心率”～P 44“例1”，完成下列问题．1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比________叫做椭圆的________． 【答案】 e ＝c a离心率2．性质：离心率e 的范围是________．当e 越趋近于1时，椭圆________；当e 越趋近于________时，椭圆就越趋近于圆．【答案】 (0,1) 越扁 01．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．【解析】 ∵a 2＝16，b 2＝8， ∴e ＝1－816＝22. 【答案】222．已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．【解析】 ∵AF 1→·AF 2→＝0， ∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭圆定义知：3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.【答案】3－1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型](3,0)，则椭圆的标准方程为( )A.x 29＋y 216＝1 B ．x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 29＝1 【精彩点拨】 根据椭圆的几何性质解题． 【自主解答】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4.因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 【答案】 B1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．[再练一题]1．已知椭圆方程为9x 2＋16y 2＝144，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【解】 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1.∴a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7.∴椭圆的长轴长与短轴长分别为8和6，离心率e ＝c a ＝74. 焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)；四个顶点的坐标为A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3).(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【精彩点拨】 (1)椭圆的焦点位置确定吗？(2)基本量a 、b 、c 分别为多少？怎样求出？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝ca ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，∵e ＝c a ＝1－b 2a 2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.1．用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．3．在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a等构造方程(组)加以求解．[再练一题]2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________． 【解析】 2a ＝10，c ＝4，∴a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝9. 焦点在x 轴上，故标准方程为x 225＋y 29＝1.【答案】x 225＋y 29＝1 [探究共研型]探究 已知椭圆x 2a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .【提示】 由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝b a， 故AB 所在的直线方程为y －b ＝b ax ， 即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2. 又b 2＝a 2－c 2，整理得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14c a＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【精彩点拨】 能否由已知条件构造关于c a的方程． 【自主解答】 由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2， 即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a－5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.求e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下： (1)若已知a ，c 可直接代入e ＝ca求得； (2)若已知a ，b ，则使用e ＝1－b 2a2求解； (3)若已知b ，c ，则求a ，再利用(1)或(2)求解；(4)若已知a ，b ，c 的关系，可转化为关于离心率e 的方程(不等式)求值(范围)．[再练一题]3．若过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．【解析】 由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|. 设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3.即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33. 【答案】33[构建·体系]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的短轴长与y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝15，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9【解析】 由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，且2a ＝10，a ＝5,2b ＝6，b ＝3，故a 2＝25，b 2＝9.【答案】 D2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B ．x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D ．x 24＋y 23＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为ca＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. 【答案】 D3．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．【解析】 根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去)．所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.【答案】 454．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________.【导学号：15460031】【解析】 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.【答案】x 220＋y 225＝1 5．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)焦距为8，在y 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直． 【解】 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时， 因为a ＝3，e ＝63，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a 2－b 2a ＝63，所以a 2＝27.所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得c ＝4，b ＝4，则a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的标准方程为y 232＋x 216＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是( )A.x 2100＋y 236＝1 B ．x 2100＋y 264＝1 C.x 225＋y 216＝1 D ．x 225＋y 29＝1 【解析】 由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35，解得c ＝3，a＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，故选C.【答案】 C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )A.12 B ．13 C.14D ．22【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12. 【答案】 A3．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )A.513 B ．－513C.21313D ．－21313【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 23＝1，解得y 0＝±32，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝132.由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－322×132×132＝－513.【答案】 B5．如图2­2­4，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )图2­2­4A.15 B ．25 C.55D ．255【答案】 D 二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.【答案】 127．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB＝y 2－y 1x 2－x 1，k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21，b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a2.【答案】 －b 2a28．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.【答案】 [1,2] 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.(2)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵2c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.10．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b2a ＝b2－b23b＝223.[能力提升]1．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A.22B ．2－1C ．2－ 2D ．2－12【解析】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得|PF 2|＝b 2a ＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．【答案】 A3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．【解析】 由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ， 则离心率e ＝12.【答案】 124．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x －922＋15，由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值为15.。