二年级思维第9讲 简单数列求和(二)讲义

等比数列引入庄子曰“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”.如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为:1111,,,,248L从上述数列看到了什么规律？他的递推公式是什么？解读1、等比数列概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．即数列{}n a 的递推公式为1n na q a +=（常数）（*N n ∈）. 【注意】（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0；（2）从第二项开始，因此首项没有前一项； （3）1n na a +均为同一个常数，即比值相等； （4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列．2、等比数列的通项公式及推导等比数列的通项公式为：1*1n n a a q n N -=∈，．等比数列的公式的推导：累乘法等比数列通项公式的推导：2132121n n nn a q a a q a a q a a q a ---====L L，将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=， 即11n n a a q -=．由等差数列的通项公式易知：n mm n a a q -=．3、等差中项如果三个数x G y ，，组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =． 由等比数列的定义可知G yx G=，得2G xy =. 两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．4、等比数列的常用性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍为等比数列，公比仍为q ；（2）若*(,,,)p q m n m n p q N +=+∈，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；由等比数列的通项公式可知1111p q p q a a a q a q --⋅=⋅⋅⋅，1111m n m n a a a q a q --⋅=⋅⋅⋅，如果p q m n +=+，则p q m n a a a a ⋅=⋅若2m p q =+，则有2m p q a a a =⋅；（3）等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，L L 为等比数列，公比为mq ．由等比数列定义可知(1)1(1)1(1)1km m n kmk m n k ma a q q aa q-+--+-⋅==⋅*(N )k ∈. （4）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列； （5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列；（6）101a q >⎧⎨>⎩或{}1001n a a q <⎧⇔⎨<<⎩递增；1001a q >⎧⎨<<⎩或{}101n a a q <⎧⇔⎨>⎩递减；{}1n q a =⇔为常数列；{}0n q a <⇔为摆动数列．5、等比数列的前n 项和及推导过程等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩等比数列由等比数列的定义知公式的推导：方法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====L ，，，，，将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++L L ，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =．方法二：由前n 项定义知211111n n S a a q a q a q -=++++L ， 将上式两边同乘以q 得：n qS =231111n a q a q a q a q ++++L 两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-， 以下讨论同法一．方法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{},{}n n n na ab b ，数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．6、等比数列前n 项和的性质（1）公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成一个新数列，仍为等比数列，其公比为m q （也就是说：232m m m m m S S S S S --，，，L L 为等比数列，公比为m q ，可知12=m m S a a a +++L ，212212=m m mm m m m m m S S a a a a q a q a q ++-=+++⋅+⋅++L L ，222322122312=,m m m m m m m m n S S a a a a q a q a q ++-=+++⋅+⋅++⋅L L L(1)*(1)()(2,N )()k m km m km k m S S q m m S S +--=≥∈-（2）对于项数为*2()k k N ∈的等比数列，有=S qS 偶奇.探究图中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski ）三角形.在下图5个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前5项1、请写出这个数列的一个递推公式？答：如题图这5个三角形中黑色三角形个数分别为1,3,9,27,81，从第二项开始每一项都是前一项的3倍则所求数列递推通项公式是13n n a a +=.2、请写出这个数列的一个通项公式？答：如题图这5个三角形中黑色三角形个数分别为1,3,9,27,81，则所求数列的前5项都是3的指数幂，指数为序号建议.猜想这个数列的通项公式是1=3n n a -.典例精讲一．选择题（共16小题）1．（2018秋•龙岩期中）在等比数列{a n }中，a 4•a 8=16，则a 2•a 10=（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．242．（2018秋•龙岩期中）已知等比数列{a n }的公比q =−13，则a 1+a 3+a 5+a 7a 3+a 5+a 7+a 9等于（ ）A ．−13B ．﹣3C ．19D ．93．（2018秋•偃师市校级月考）等比数列{a n }中，16a 6=a 2，则公比q=（ ）A ．12B ．±12C ．2D ．±24．（2018秋•太原期中）已知等比数列{a n }中，a 1+a 2=12，a 1﹣a 3=34，则a 4=（ ）A ．﹣18B ．18C ．﹣4D ．45．（2018春•南昌期末）若实数x 为2与8的等比中项，则x=（ ） A ．16 B ．4C ．﹣4D ．±46．（2018春•南部县期末）在等比数列{a n}中，已知a2a4a6=8，则a3a5=（）A．3B．5C．4D．27．（2018春•金牛区校级期中）在等比数列{a n}中，若a1和a4033是函数f(x)=x+ 5x+k，(k＜0)的两个零点，则a2016a2017a2018的值为（）A．±5√5B．5√5C．−5√5D．258．（2018春•涪城区校级期中）若a，b为正实数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则（）A．A≥G B．A＞G C．A≤G D．A＜G9．（2018春•金牛区校级期中）若等比数列{a n}的前n项和S n=2×3n−1+a，则a等于（）A．3B．2C．−23D．−1310．（2018春•金牛区校级期中）若某等比数列前12项的和为21，前18项的和为49，则该等比数列前6项的和为（）A．7B．9C．63D．7或6311．（2018春•东湖区校级期中）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3S 6=3，则S 6S 9=（ ） A ．2 B ．83C ．37D ．312．（2018•聊城二模）已知等比数列{a n }的公比为3，a 1=2，前n 项和S n =242，则n=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．613．（2018•洛阳一模）已知等比数列{a n }，a 2=14，a 5=132，则数列{log 2a n }的前10项之和是（ ） A ．45 B ．﹣35 C ．55 D ．﹣5514．（2018•呼和浩特二模）已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=6，a 4+a 5=48，则数列{a n }前8项的和S n =（ ） A ．510 B ．126 C ．256 D ．51215．（2018•泰安二模）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2=a 1+2a 3，a 4=1，则S 4=（ ）A ．78B ．158C ．14D ．1516．（2018•迎泽区校级一模）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2015＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2015＞0D．若a4＞0，则S2014＞0二．填空题（共5小题）17．（2018春•保定期末）在正项等比数列{a n}中，1a1+1a2=1，1a3+1a4=2，则公比q=．18．（2018•江苏模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=12，且a2a8=2a5+3，则a9=．19．（2017秋•龙岗区期末）设f（n）=2+24+27+210+⋅⋅⋅+23n+1（n∈N*），则f（n）=．20．（2018•浦东新区二模）已知{a n}是等比数列，它的前n项和为S n，且a3=4，a4=﹣8，则S5=21．（2016春•无锡校级期末）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4 S2=4，则S8S4=．三．解答题（共3小题）22．（2016•衡水校级一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且首项a1≠3，a n+1=S n+3n （n∈N*）．（1）求证：{S n﹣3n}是等比数列；（2）若{a n}为递增数列，求a1的取值范围．23．（2018秋•洋县校级月考）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）求数列{a n}的前n项和．24．（2018秋•长汀县校级月考）已知等比数列{a n}中，a1=1，a4=8．（⋅）求数列{a n}的通项公式；（⋅）若等差数列{b n}满足b1=a1，b2=a2，求数列{b n}的前10项和．归纳总结1、等比数列概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．即数列{}n a 的递推公式为1n na q a +=（常数）（*N n ∈）. 【注意】（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0；（2）从第二项开始，因此首项没有前一项； （3）1n na a +均为同一个常数，即比值相等； （4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列．2、等比数列的通项公式及推导等比数列的通项公式为：1*1n n a a q n N -=∈，．等比数列的公式的推导：累乘法等比数列通项公式的推导：2132121n n nn a q a a q a a q a a q a ---====L L ，将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等差数列的通项公式易知：n mm n a a q -=．3、等差中项如果三个数x G y ，，组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =． 两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．4、等比数列的常用性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍为等比数列，公比仍为q ；（2）若*(,,,)p q m n m n p q N +=+∈，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2m p q a a a =⋅；（3）等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，L L 为等比数列，公比为mq ．（4）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列；（5）若{}n a 与{}n b均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列；（6）101a q >⎧⎨>⎩或{}1001na a q <⎧⇔⎨<<⎩递增；1001a q >⎧⎨<<⎩或{}101n a a q <⎧⇔⎨>⎩递减；{}1n q a =⇔为常数列；{}0n q a <⇔为摆动数列．5、等比数列的前n 项和及推导过程等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩等比数列由等比数列的定义知公式的推导：方法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====L ，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++L L ， 即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立；当1q =时，1n S na =．方法二：由前n 项定义知211111n n S a a q a q a q -=++++L ， 将上式两边同乘以q 得：n qS =231111n a q a q a q a q ++++L 两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-， 以下讨论同法一．方法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{},{}n n n na ab b ，数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．6、等比数列前n 项和的性质（1）公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成一个新数列，仍为等比数列，其公比为m q （也就是说：232m m m m m S S S S S --，，，L L 为等比数列，公比为mq ，（2）对于项数为*2(N )k k ∈的等比数列，有=S qS 偶奇.。

简单数列求和知识要点本讲的主要内容：1.数列的概念。

2.数列求和公式。

基本方法与要求：世界著名的德国数学家高斯（1777年~1855年），幼年时代，曾很快算出1+2+3+4+......+99+100的结果，高斯的算法是：1+100=101,2+99=101，......，50+51=101。

把1~100采用上述方式两两配对相加，共配对50对，它们的和都等于101，因而1+2+3+4+......+99+100=101×50=5050。

1， 2， 3， 4， (99)100这列数中的规律是相邻两数的差相等。

按照一定的次序排列的一列数叫数列。

排在数列最前面的一项称为首项，最后一项称为末项，从第二项起，任一项与前一项的差称为公差。

高斯的解法表明：数列和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差×（项数-1）学习数列要注意经常观察、分析和推敲推敲，这些都有助于学生数学能力的提高和实践创新能力的培养。

☜精选例题【例1】：计算：（1）1+2+3+4+5+6+7+8（2）2+4+6+8+10+12（3）3+6+9+12+15☝思路点拨：（1）先根据数的规律，看相邻两个数的差是否相等，从第二项起，任意一项与前一项的差是1，即公差为1，首项为1，末项为8，项数为8，根据数列和公式可以求得它们的和。

（2）根据这一数列的变化规律，可以发现后一项总比前一项多2，即公差是2，首项是2，末项是12，项数是6，根据数列求和公式可以求得它们的和。

（3）根据这一数列的变化规律，可以发现后一项总比前一项多3，即公差是3，首项是3，末项是15，项数是5，根据数列求和公式可以求得它们的和。

☝标准答案：（1）原式=（1+8）×8÷2=36（2）原式=（2+12）×6÷2=42（3）原式=（3+15）×5÷2=45✌活学巧用1.计算：（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9（2）0+2+4+6+8+10+12（3）2+4+6+8+10+12+14+162.计算：（1）0+3+6+9+12+15+18（2）3+5+7+9+11+13+15+17（3）0+5+10+15+20【例2】：（1）求首项是2，末项是14，公差是2的这个数列的和是多少？（2）求首项是2，公差是3的数列的前8项的和是多少？思路点拨：（1）根据题意可寻址它们排列的变化规律及项数，2，4，6，8，10，12，14，即项数是7，再根据数列求和公式求解。

掌握小学数学中的数列求和数列求和是小学数学中的基础概念，也是后续学习数学的重要基础。

通过掌握数列求和的方法和技巧，学生可以更加深入地理解数学运算的规律，提高数学思维和解题能力。

本文将介绍小学数学中的数列求和的概念、方法和应用。

一、数列求和的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数，在小学数学中常常以字母表示。

数列中的每个数称为项，用数学符号表示为an，其中n表示项的位置。

求和就是将数列中的每个项相加的运算，用数学符号表示为Σ(an)。

二、等差数列求和的方法等差数列是指数列中的每两个相邻的数之间的差值相等的数列，常用的等差数列求和方法有以下两种：1. 数列之和的公式当已知等差数列的首项a1、末项an和项数n时，就可以使用数列之和的公式来求得该等差数列的和。

公式如下：S(n) = 1/2 * n * (a1 + an)其中，S(n)表示等差数列的和。

2. 首尾项求和的方法另一种求等差数列之和的方法是将首项和末项对应相加再乘以项数的一半。

具体步骤如下：（1）计算首项a1和末项an；（2）计算项数n；（3）使用公式S(n) = 1/2 * n * (a1 + an)计算等差数列的和。

三、等比数列求和的方法等比数列是指数列中的每两个相邻的数之比相等的数列，常用的等比数列求和方法有以下两种：1. 数列之和的公式当已知等比数列的首项a1、公比q和项数n时，就可以使用数列之和的公式来求得该等比数列的和。

公式如下：S(n) = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，S(n)表示等比数列的和。

2. 迭加法另一种求等比数列之和的方法是迭加法，即将每一项逐个相加求和，具体步骤如下：（1）计算首项a1和公比q；（2）计算项数n；（3）使用迭加法将数列中的每一项相加求和。

四、数列求和的应用数列求和不仅在小学数学中有重要意义，在日常生活和其他学科中也有广泛应用。

以下是数列求和的一些应用案例：1. 等差数列求和应用于日常计算。

小学数学认识简单的数列的递推和求和数列是数学中重要的概念之一，它在小学数学中也有着重要的地位。

在小学的数学课堂上，老师会教给我们怎样认识简单的数列，并且学习数列的递推和求和。

本文将介绍小学数学中有关数列的基本知识，包括数列的定义、递推和求和方法。

一、数列的定义数列是由一列有序的数按照一定的规律排列而成的。

数列中的每个数称为数列的项，用字母表示时通常用An表示第n项，其中n表示项的位置。

例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个数列，其中1是第1项，3是第2项，5是第3项，以此类推。

二、数列的递推数列的递推是指通过已知的前一项或前几项来推导后一项的方法。

简单的数列递推通常可以通过观察规律或运用简单的算法来得到。

下面是几种常见的数列递推方法：1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。

我们可以通过前两项的差值来推导后面的项。

设第一项为a，公差为d，则等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。

2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。

通过计算前两项的比值，我们可以得到等比数列的通项公式。

设第一项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为An=a*r^(n-1)。

3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项均为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和。

斐波那契数列的通项公式为An=An-1+An-2。

三、数列的求和数列的求和是指将数列中的所有项加起来得到的结果。

常见的数列求和方法有两种：等差数列求和和等比数列求和。

1. 等差数列求和对于等差数列，我们可以利用以下公式来求和：Sn = (a1+an)*n/2，其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示第一项，an表示第n项，n 表示项数。

例如，对于数列1, 3, 5, 7, 9，当n=5时，利用等差数列求和公式可以得到Sn = (1+9)*5/2 = 25。

2. 等比数列求和对于等比数列，我们可以利用以下公式来求和：Sn = a*(1-r^n)/(1-r)，其中，Sn表示数列的前n项和，a表示第一项，r表示公比，n表示项数。