2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二(下)第三次月考数学试卷(理科)

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．（5分）圆（x+2）2+y2＝5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2＝5B．x2+（y﹣2）2＝5C．（x+2）2+（y+2）2＝5D．x2+（y+2）2＝52．（5分）方程y＝﹣表示的曲线（）A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆3．（5分）两圆x2+y2﹣1＝0和x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．（5分）直线mx+ny+3＝0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y＝3倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．5．（5分）两条直线l1：2x+y+c＝0，l2：x﹣2y+1＝0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．不能确定6．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y＝0B．x﹣y＝0C．x+y﹣6＝0D．x﹣y+1＝0 7．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝18．（5分）过点（0，1）的直线与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．3D．9．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝110．（5分）点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1＝0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6）B．（2，3）C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）11．（5分）如图所示，已知M（1，0），N（﹣1，0），直线2x+y﹣b＝0与线段MN相交，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[]D．[0，2]12．（5分）函数y＝+的最小值是（）A．0B．C．13D．不存在二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．（5分）过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是．14．（5分）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．15．（5分）直线l与直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为．16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．18．（12分）直线l过点（1，4），且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．19．（12分）光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．21．（12分）如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；（3）求几何体ADEBC的体积V．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．（5分）圆（x+2）2+y2＝5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+y2＝5B．x2+（y﹣2）2＝5C．（x+2）2+（y+2）2＝5D．x2+（y+2）2＝5【解答】解：圆（x+2）2+y2＝5的圆心（﹣2，0），关于（0，0）对称的圆心坐标（2，0）所求圆的方程是（x﹣2）2+y2＝5．故选：A．2．（5分）方程y＝﹣表示的曲线（）A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆【解答】解：化简整理后为方程x2+y2＝25，但y≤0．所以曲线的方程表示的是半个圆．故选：D．3．（5分）两圆x2+y2﹣1＝0和x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆x2+y2﹣1＝0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1＝1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2＝3为半径的圆；∵|O1O2|＝∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1＝0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0相交故选：B．4．（5分）直线mx+ny+3＝0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y＝3倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．【解答】解：对于直线mx+ny+3＝0，令x＝0，得到y＝﹣，即﹣＝﹣3，解得：n＝1，∵x﹣y﹣3＝0的斜率为60°，∴直线mx+ny+3＝0的倾斜角为120°，即斜率为﹣，∴﹣＝﹣m＝﹣，即m＝．故选：D．5．（5分）两条直线l1：2x+y+c＝0，l2：x﹣2y+1＝0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．不能确定【解答】解：直线l1的斜率是：﹣2，直线l2的斜率是：，由﹣2×＝﹣1，得直线垂直，故选：B．6．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y＝0B．x﹣y＝0C．x+y﹣6＝0D．x﹣y+1＝0【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k＝＝﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣＝1×（x﹣），即x﹣y+1＝0，故选：D．7．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2＝1B．x2+（y+2）2＝1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1D．x2+（y﹣3）2＝1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b＝2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2＝1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．8．（5分）过点（0，1）的直线与圆x2+y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．3D．【解答】解：如图|AB|最小时，弦心距最大为1，．故选：B．9．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝4C．（x+4）2+（y﹣2）2＝1D．（x+2）2+（y﹣1）2＝1【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2＝4得（2x﹣4）2+（2y+2）2＝4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2＝1．故选：A．10．（5分）点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1＝0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6）B．（2，3）C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）【解答】解：设P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1＝0的对称点Q的坐标为Q（a，b），可得PQ的中点为M（，），直线l的斜率k＝，∵PQ与直线l相互垂直，且PQ的中点M在直线l上，∴，解得，可得Q的坐标为（﹣5，6）．故选：C．11．（5分）如图所示，已知M（1，0），N（﹣1，0），直线2x+y﹣b＝0与线段MN相交，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[]D．[0，2]【解答】解：由题意得：两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b＝0的两侧，∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，∴b∈[﹣2，2]．故选：A．12．（5分）函数y＝+的最小值是（）A．0B．C．13D．不存在【解答】解：y＝+＝+，+的几何意义是点A（x，0）到点B（0，1）与点C（2，﹣2）的距离之和，如下图：故函数y＝+的最小值是＝，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．（5分）过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是3x+y﹣6＝0．【解答】解：∵过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0），∴其方程为：，整理得3x+y﹣6＝0．故答案为：3x+y﹣6＝0．14．（5分）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．【解答】解：设直线l的方程为y＝，取y＝0，得x＝﹣6m．所以l和坐标轴围成面积为S＝．解得m＝±1．所以直线l的方程为，即x﹣6y±6＝0．15．（5分）直线l与直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为﹣．【解答】解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴1＝，且﹣1＝，解得，a＝﹣2，b＝4，∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为：＝﹣，故答案为﹣．16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝1．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6＝0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay＝1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．【解答】解：（1）过点（1，1），所以当x＝1，y＝1时，2+t﹣2+3﹣2t＝0，解得：t＝3；（2）直线在y轴上的截距为﹣3，所以过点（0，﹣3），故﹣3（t﹣2）+3﹣2t＝0，解得：t＝．18．（12分）直线l过点（1，4），且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．【解答】解设直线l的方程为+＝1，则，解得或则直线l的方程2x+y﹣6＝0或8x+y﹣12＝0．19．（12分）光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．【解答】解：如图所示，由题设，点B在原点O的左侧，根据物理学知识，直线BC一定过（﹣1，6）关于y轴的对称点（1，6），直线AB一定过（1，6）关于x轴的对称点（1，﹣6）且k AB＝k CD，∴k AB＝k CD＝＝﹣．∴AB方程为y﹣4＝﹣（x+3）．令y＝0，得x＝﹣，∴B（，0）CD方程为y﹣6＝﹣（x+1）．令x＝0，得y＝，∴C（0，）∴BC的方程为+＝1，故得BC的一般方程为：5x﹣2y+7＝0．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．【解答】证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB＝90°∴AC⊥BC，AC∩SC＝C，BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN＝60°在△CAN中，由勾股定理得．在Rt△AMN中，＝．在Rt△CNM中，故二面角M﹣AC﹣B的正切值为．（5分）21．（12分）如图△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；（3）求几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．∵G，F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE．又∵四边形ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB．∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．∴平面HGF∥平面ABC．∴GF∥平面ABC．（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB．又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．∴BE⊥AC．又∵CA2+CB2＝AB2，∴AC⊥BC．∴AC⊥平面BCE．从而平面EBC⊥平面ACD．（3）取AB的中点N，连接CN，∵AC＝BC，∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a．又平面ABED⊥平面ABC，∴CN⊥平面ABED．∵C﹣ABED是四棱锥，∴V C﹣ABED＝S ABED•CN＝a2•a＝a3．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．【解答】解：（1）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）＝x2+2x+b＝0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0令y＝0得x2+Dx+F＝0这与x2+2x+b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．令x＝0得y2+Ey+F＝0，方程有一个根为b，代入得出E＝﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b＝0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）＝0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0＝0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0＝0，解得假设成立，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．（5分）已知直线l的方程为y＝﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则l的方程为（）A．x+y﹣4＝0B．x﹣y﹣4＝0C．x+y+4＝0D．x﹣y+4＝0 3．（5分）已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．4．（5分）若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣35．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2＝0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或6．（5分）经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0 7．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0B．1C．2D．38．（5分）已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．5B．10C．D．9．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或210．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1＝0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y+2）2＝1C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝111．（5分）方程＝lgx的根的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定12．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．x＝1B．y＝1C．x﹣y+1＝0D．x﹣2y+3＝0二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是．14．（5分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．15．（5分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB 的方程是．16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n＝0和l2：2x+my﹣1＝0，（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．18．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．19．（12分）已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，直线l2：4x+3y+14＝0，直线l3：3x+4y+10＝0．求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求直线P A，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．21．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y＝0上，且截直线x﹣y＝0得的弦长为的圆的方程．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．（5分）已知直线l的方程为y＝﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：∵直线l的方程为y＝﹣x+1，∴斜率为﹣1，又倾斜角α∈[0，π），∴α＝135°．故选：D．2．（5分）已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则l的方程为（）A．x+y﹣4＝0B．x﹣y﹣4＝0C．x+y+4＝0D．x﹣y+4＝0【解答】解：∵直线l过点A（0，4），B（4，0）∴直线l的方程是：＝，整理，得y+x﹣4＝0．故选：A．3．（5分）已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线过点M（﹣，）、N（，﹣），∴直线MN的斜率为＝﹣1，由垂直关系可得直线l的斜率为1，∵直线l的倾斜角α满足tanα＝1，解得α＝，故选：C．4．（5分）若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a＝0得：﹣3+2+a＝0，∴a＝1，故选：B．5．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2＝0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2＝3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选：C．6．（5分）经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是（）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0【解答】解：易知点C为（﹣1，0），因为直线x+y＝0的斜率是﹣1，所以与直线x+y＝0垂直直线的斜率为1，所以要求直线方程是y＝x+1即x﹣y+1＝0．故选：C．7．（5分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9＝0的两个交点恰好关于y轴对称，可知k＝0，当k＝0时，直线y＝1与圆x2+y2﹣y﹣9＝0，的两个交点（﹣3，0）和（3，0）．故选：A．8．（5分）已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．5B．10C．D．【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，则OA的斜率k＝2，则切线斜率为﹣，则切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为＝．故选：D．9．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2B．﹣8C．2或﹣8D．8或2【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以＝，所以（x+3）2＝25．解得x＝2或﹣8．故选：C．10．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1＝0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y+2）2＝1C．（x+2）2+（y+2）2＝1D．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1＝0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2＝1故选：B．11．（5分）方程＝lgx的根的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定【解答】解：设f（x）＝，g（x）＝lg x，则方程根的个数就是f（x）与g（x）两个函数图象交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．由图可得函数f（x）＝与g（x）＝lg x仅有1个交点，所以方程仅有1个根．故选：B．12．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．x＝1B．y＝1C．x﹣y+1＝0D．x﹣2y+3＝0【解答】解：如图，把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1﹣2）2+22＝5＜9，所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，即当CM⊥l时弦长最短，∠ACB最小，设此时直线l的斜率为k，∵，由k•k CM＝﹣1，得：﹣2k＝﹣1，所以，．∴l的方程为：，即x﹣2y+3＝0．二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是x﹣y﹣3＝0．【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝7，所以圆心坐标为（4，1），又M（3，0），根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，则所求直线为过圆心和M的直线，设为y＝kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则过点M最长的弦所在的直线方程是y＝x﹣3，即x﹣y﹣3＝0．故答案为：x﹣y﹣3＝014．（5分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y+3）2＝29．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2＝29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2＝29．15．（5分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB 的方程是x+3y＝0．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y＝0，故答案为x+3y＝0．16．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦的长为，则a＝1．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6＝0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay＝1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n＝0和l2：2x+my﹣1＝0，（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．【解答】解：（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程得：m2﹣8+n＝0 和2m﹣m﹣1＝0，解得m＝1，n＝7．（2）由l1∥l2得：，∴，或，所以当m＝4，n≠﹣2；或m＝﹣4，n≠2 时，l1∥l2．（3）当m＝0时直线l1：和l2：，此时，l1⊥l2，当m≠0时此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不垂直，所以当m＝0，n∈R时直线l1和l2垂直．18．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得＝5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23＝0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x＝﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2＝8，∴l：x＝﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得+42＝52，解得k＝．∴直线l的方程为x﹣y+＝0．即5x﹣12y+46＝0．综上，直线l的方程为x＝﹣2，或5x﹣12y+46＝0．19．（12分）已知直线l1：x﹣y﹣1＝0，直线l2：4x+3y+14＝0，直线l3：3x+4y+10＝0．求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．【解答】解：由题意，可设圆心为C（a，a﹣1），半径为r，则点C到直线l2的距离d1＝＝，点C到直线l3的距离是d2＝＝．由题意，得，解得a＝2，r＝5，∴所求圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝25．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，点P坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求直线P A，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）设切线的斜率为k，∵切线过点P（2，﹣1），∴切线方程为：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圆心坐标为（1，2），半径为，由点到直线的距离公式，得：＝，解得：k＝7或k＝﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0．（2）圆心C到P的距离为：＝．∴切线长为：＝2．（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．21．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y＝0上，且截直线x﹣y＝0得的弦长为的圆的方程．【解答】解：设圆心（t，3t），则由圆与x轴相切，可得半径r＝3|t|．∵圆心到直线的距离d＝＝t，∴由r2＝d2+（）2，解得t＝±1．∴圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），半径等于3．∴圆C的方程为（x+1）2+（y+3）2＝9 或（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）＝x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．【解答】解：（1）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）＝x2+2x+b＝0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0令y＝0得x2+Dx+F＝0这与x2+2x+b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．令x＝0得y2+Ey+F＝0，方程有一个根为b，代入得出E＝﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b＝0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）＝0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0＝0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0＝0，解得假设成立，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．。

黄陵中学2016~2017学年第二学期期中测试高二普通班理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i2．函数y=f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义是（）A．在点x0处的斜率B．曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率C．在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹锐角的正切值D．点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率3．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（）A．f（x）=x3B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣14．=（）A．2 B．4 C．πD．2π5．下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{a n}，那么a10的值为（）A．45 B．55 C．65 D．667．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数( )A．7 B．64 C．12 D．818．下列叙述正确的是（）A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|＞|b|，则a＞bC．若a＜b，则|a|＞|b| D．若|a|=|b|，则a=±b9．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件10．用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2﹣1（n∈N*）的过程中，在验证n=1时，左端计算所得的项为（）A．1 B．1+2 C．1+2+22D．1+2+22+2311．在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数z=i﹣1对应的点在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，则z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．312．设f（x）存在导函数且满足=﹣1，则曲线y=f（x）上的点（1，f（1））处的切线的斜率为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

高新部高二第三学月考试数 学（理科）一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为（ ）A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134.已知点P(-3,5),Q(2,1),向量()21,1m λλ=-+,若//PQ m ,则实数λ等于( ) A.113B.113-C.13D.13-5.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,若2a =,23c =,3cos 2A =,且b c <,则b =( ) A.3 B.2 C.22D.36.执行右图所示的程序框图,则输出的结果为( )A.7B.9C.10D.117.若3cos()45πα-=,则sin2α=( ) A.725 B.15 C.15-第6题(图)D.725-8 甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法为（ ） A ．72 B ．36 C ．52 D ．249. 某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（ ）A ．35种B ．16种C ．20种D ．25种10 将5名学生分到,,A B C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（ ）A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种11．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ (n ∈N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是（ ）A ．21B ．1C ．2D ．3二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()3sin ,021log ,06x x f x x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩,则(f f ⎡⎤=⎣⎦___________.14.52x ⎛- ⎝的展开式中的系数为_________.15.双曲线2222:1x y M a b-=(0,0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ,直线x a =与双曲线M 渐近线将于点P,若121sin 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为____________. 16.在平面直角坐标系xoy 中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P 为圆222x y +=上一动点,则||||PB PA的最大值是______.三.解答题(解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.) 17．（12分）若n xx )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１） 求n 的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使nn n 1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ⋅=+⋅⋅⋅++++对任意*N n ∈都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．20.(本小题满分12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴,,且一个焦点的坐标为).⑴求椭圆M 的方程;⑵设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点,以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB,其中点P 在椭圆M 上,O 为坐标原点,求点O 到直线l 的距离的最小值.21.(本小题满分12分)已知()ln x af x x e+=-.⑴若1x =是()f x 的极值点,讨论()f x 的单调性; ⑵当2a ≥-时,证明:()f x 在定义域内无零点.22(本小题满分10分)．设2<a <3，－4<b <－3，求a ＋b ，a －b ，a b ，ab ，b 2a的取值X 围．数学答案（理科）一.选择题二.填空题三.解答题17．解：（１）n = 7 （6分）（２）无常数项（6分）18．解：由01237,n n n C C C ++=(3 分)得11(1)372n n n ++-=（5分），得8n =．（8分）455585135(2)416T C x x==，该项的系数最大，为3516．（12分）19．解：假设存在等差数列n a d )1n (a 1-+=满足要求（2分）=+⋅⋅⋅++++nn 1n 2n 31n 20n 1C a C a C a C a ()()n n 2n 1n n n 1n 0n 1nC C 2C d C C C a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++（4分）=n 12a ⋅()1n n 11n 1n 11n 01n 2nd 2a C C C nd -----⋅+⋅=+⋅⋅⋅+++（8分） 依题意n 1n n 12n 2nd 2a ⋅=⋅+⋅-，()02d n a 21=-+对*N n ∈恒成立，（10分）,0a 1=∴2d =, 所求的等差数列存在，其通项公式为)1n (2an -=．（12分）20.⑴由已知设椭圆M 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则c =由c e a ==,得2a =,24a =,22b =,∴椭圆M 的方程为22142x y +=.…………4分 ⑵当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+. 则由22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222124240k x kmx m +++-=.()()()22222216412248240k m k m k m ∆=-+-=+->.①设点A ,B ,P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,()00,x y . ∵四边形OAPB 为平行四边形,∴0122412kmx x x k =+=-+,()0121222212my y y k x x m k =+=++=+,………………7分由于点P 在椭圆M 上,∴2200142x y +=,从而()()22222224211212k m m k k +=++,化简得22212m k =+,经检验满足①式.又点O 到直线l的距离为d ===. 当且仅当0k =时,等号成立.当直线l 斜率不存在时,由对称性知,点P 一定在x 轴上,从而点P 的坐标为()2,0-或()2,0,直线l 的方程为1x =±,∴点O 到直线l 的距离为1. ∴点O 到直线l . ………………12分()()()()()()()()()()11101011110101211011,100,14111,101,6x aa x x x f x e f e a xf x e x x e e f x f x x x e e f x f x x++---''=-=⇒-=⇒=-'=-'<<><=⇒>∴'><>=⇒<∴+∞21.分 由已知得分此时①当时，在上递增分②当时,在上递减分()()()()()()()()()()()()()()002222221002200000202ln ln 7ln 81100,1110,201,2102110ln 2,0,0x a x x a x x x x x x f x a e e f x x e x e g x x e g x e g x e g x x xg e g e g x x e x x e x x x x g x +-+-------+∞≥-≥∴=-≤-=-''''=-=--<∴+∞'''=->=-<∴∴-=⇒=-+='∴<<>定义域为，当时，分令分则在上递减又在上有唯一零点分当()()()()()0000,,0,g x x x x g x g x x ⇒'><⇒+∞在上递增 当在上递减()()()()020000max 0011ln 222020.112.12x g x g x x e x x x x a f x a f x -⎛⎫==-=-+-=-++<-= ⎪⎝⎭∴≥-<∴≥-当时，分当时，在定义域内无零点分22.解：∵2<a <3，－4<b <－3，∴－2<a ＋b <0.由－4<b <－3，知3<－b <4.∴5<a －b <7.由3<－b <4，知14<1－b <13.∴24<a －b <1.即－1<a b <－12. ∵3<－b <4，∴6<a (－b )<12. ∴－12<ab <－6.由3<－b <4，知9<(－b )2<16. 又13<1a <12，∴3<b2a <8.。

高二普通班第三学月考试文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后得到的曲线方程为( )A ．y ′＝3sin x ′B ．y ′＝3sin 2x ′C ．y ′＝3sin 12x ′D ．y ′＝13sin 2x ′2．(2016·重庆七校联盟)在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ4．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．极坐标方程4ρ·sin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12ty ＝5－32tB ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12ty ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t y ＝5－32tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝5＋32t7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x ，后所得图形的焦距( )A ．4B ．213C ．2 5D ．68．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( ) A ．27 B ．30 C ．7 2D ．3029．已知P 点的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝x 1－x 22y 1－y 22z 1－z 22，可知P 、Q 之间的距离为( ) A. 3 B ． 2 C. 5D ．2210．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋φsin φy ＝2sin φ－φcos φ.(φ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋θsin θy ＝4sin θ­θcos θ.(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－sin φy ＝21－cos φ.(φ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4θ－sin θy ＝41－cos θ.(θ为参数)12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A. AB ︵ B ．BC ︵ C. CD ︵D. DA ︵二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上) 13．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．14．(2016·东莞模拟)在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y t －12(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）、已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．12．（5分）△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形的解的情况是（）A．一解B．无解C．二解D．无法确定3．（5分）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2+b2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在5．（5分）江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A．10米B．100米C．30米D．20米6．（5分）如图，在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC 为（）A．500米B．1000米C．1200米D．1500米7．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．258．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a20等于（）A．﹣1B．1C．3D．79．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝9，a2+a4+a6＝15，则a3+a4＝（）A．5B．6C．7D．810．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b11．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜12．（5分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝﹣5n+2，则其前n项和S n＝．14．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a＝，b＝2，sin B+cos B＝，则角C的大小为．16．（5分）甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？三、解答题（70分，19题10分，其余12分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cos C﹣c cos B＝0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b＝13，c＝7，求△ABC的面积．18．（12分）若等差数列{a n}的公差d＜0，且a2•a4＝12，a2+a4＝8．（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前10项和S10的值．19．（10分）设{a n}是等差数列，b n＝（）a n．已知b1+b2+b3＝，b1b2b3＝．求等差数列的通项a n．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cos B ﹣sin B）cos C＝1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b．22．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a＝3，b＝5，sin A＝，∴由正弦定理得：sin B＝＝＝．故选：B．2．（5分）△ABC中，已知b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形的解的情况是（）A．一解B．无解C．二解D．无法确定【解答】解：∵b＞c，∴B＞C，∴B必为大于26°的角，故B可以为锐角，也可以是钝角，∴此三角形有二解，故选：C．3．（5分）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：设顶角为C，因为l＝5c，∴a＝b＝2c，由余弦定理得，故选：D．4．（5分）在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2+b2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在【解答】解：∵c2＜a2+b2，即cos C＝＞0，∴∠C为锐角．∵a＜b＜c，∴∠C为最大角，则△ABC为锐角三角形．故选：B．5．（5分）江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A．10米B．100米C．30米D．20米【解答】解：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，设A处观测小船D的俯角为30°，连接BC、BDRt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30米Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝AB＝30米在△BCD中，BC＝30米，BD＝30米，∠CBD＝30°，由余弦定理可得：CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD cos30°＝900∴CD＝30米（负值舍去）故选：C．6．（5分）如图，在山根A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC 为（）A．500米B．1000米C．1200米D．1500米【解答】解：依题意，过S点作SE⊥AC于E，SH⊥AB于H，∵∠SAE＝30°，AS＝1000米，∴CD＝SE＝AS•sin30°＝500米，依题意，在Rt△HAS中，∠HAS＝45°﹣30°＝15°，∴HS＝AS•sin15°，在Rt△BHS中，∠HBS＝30°，∴BS＝2HS＝2000sin15°，在Rt△BSD中，BD＝BS•sin75°＝2000sin15°•sin75°＝2000sin15°•cos15°＝1000×sin30°＝500米．∴BC＝BD+CD＝1000米．故选：B．7．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1＝0，公差d≠0，又∵a k＝（k﹣1）d＝a1+a2+a3+…+a7＝7a4＝21d故k＝22故选：A．8．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，则a20等于（）A．﹣1B．1C．3D．7【解答】解：由已知得a1+a3+a5＝3a3＝105，a2+a4+a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝a4﹣a3＝﹣2．∴a20＝a3+17d＝35+（﹣2）×17＝1．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝9，a2+a4+a6＝15，则a3+a4＝（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝9，a2+a4+a6＝15，∴3a3＝9，3a4＝15，解得a3＝3，3a4＝5，则a3+a4＝8．故选：D．10．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．11．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜【解答】解：不妨令a＝3，b＝1，c＝﹣3，d＝﹣1，则，，∴A、B不正确；，＝﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．12．（5分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝﹣5n+2，则其前n项和S n＝﹣．【解答】解：a1＝﹣3，a n+1﹣a n＝﹣5（n+1）+2﹣（﹣5n+2）＝﹣5，∴{a n}是首项为﹣3，公差为﹣5的等差数列，∴S n＝na1+＝﹣3n﹣＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝30°．【解答】解：∵a＝2，b＝2，A＝60°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵b＜a，可得B＜60°，∴B＝30°．故答案为：30°．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a＝，b＝2，sin B+cos B＝，则角C的大小为．【解答】解：在△ABC中，∵sin B+cos B＝sin（B+）＝，∴B＝．再由正弦定理可得＝，即＝，sin A＝，∴A＝，或A ＝（舍去），∴C＝π﹣A﹣B＝，故答案为：．16．（5分）甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？【解答】解：设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，∵乙船速度追为an，则BC＝ant，AC＝ant，B＝120°．在三角形中利用正弦定理可得，即，求得sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，故∠DAC＝30°．故甲船应沿着北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题（70分，19题10分，其余12分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cos C﹣c cos B＝0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b＝13，c＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，c cos B＝（2a﹣b）cos C，∴由正弦定理，可得sin C cos B＝（2sin A﹣sin B）cos C，即sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos C，所以sin（B+C）＝2sin A cos C，∵△ABC中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A＞0，∴sin A＝2sin A cos C，即sin A（1﹣2cos C）＝0，可得cos C＝．又∵C是三角形的内角，∴C＝．（Ⅱ）∵C＝，a+b＝13，c＝7，∴由余弦定理可得：72＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝132﹣3ab，解得：ab＝40，＝ab sin C＝40×＝10．∴S△ABC18．（12分）若等差数列{a n}的公差d＜0，且a2•a4＝12，a2+a4＝8．（1）求数列{a n}的首项a1和公差d；（2）求数列{a n}的前10项和S10的值．【解答】解：（1）设a n＝a1+（n﹣1）d，则，解得a1＝8，d＝﹣2．（2）S10＝10a1+＝10×8+（﹣2）＝﹣10．19．（10分）设{a n}是等差数列，b n＝（）a n．已知b1+b2+b3＝，b1b2b3＝．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1+（n﹣1）d．∴，可得＝（）d为常数，即{b n}为等比数列，b1b3＝•＝＝b22．由b1b2b3＝，得b23＝，解得b2＝．代入已知条件整理得解这个方程组得b1＝2，b3＝或b1＝，b3＝2∴a1＝﹣1，d＝2或a1＝3，d＝﹣2．所以，当a1＝﹣1，d＝2时a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣3．当a1＝3，d＝﹣2时a n＝a1+（n﹣1）d＝5﹣2n．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，b2﹣a2＝c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【解答】解：（1）∵A＝，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2＝bc﹣c2，又b2﹣a2＝c2．∴bc﹣c2＝c2．∴b＝c．可得，∴a2＝b2﹣＝，即a＝．∴cos C＝＝＝．∵C∈（0，π），∴sin C＝＝．∴tan C＝＝2．或由A＝，b2﹣a2＝c2．可得：sin2B﹣sin2A＝sin2C，∴sin2B﹣＝sin2C，∴﹣cos2B＝sin2C，∴﹣sin＝sin2C，∴﹣sin＝sin2C，∴sin2C＝sin2C，sin C≠0，cos C≠0．∴tan C＝2．（2）∵＝×＝3，解得c＝2．∴＝3．21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cos B ﹣sin B）cos C＝1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b．【解答】解：（I）∵2cos2+（cos B﹣sin B）cos C＝1，∴1+cos A+（cos B﹣sin B）cos C＝1，可得：﹣cos A＝（cos B﹣sin B）cos C，∴cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C＝cos B cos C﹣sin B cos C，可得：﹣sin B sin C ＝﹣sin B cos C，∵B∈（0，π），sin B≠0，∴sin C＝cos C，即：tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（Ⅱ）∵c＝2，C＝，△ABC的面积为＝ab sin C＝ab，∴解得：ab＝4，①又∵由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣12，解得：a+b＝4，②∴①②联立可解得：a＝b＝2．22．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【解答】解：（1）依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA ＝α．（2分）在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）＝122+202﹣2×12×20×cos120°＝784．解得BC＝28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以＝．答：sinα的值为．（12分）。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=52．方程y=﹣表示的曲线（）A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆3．两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y=3倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．5．两条直线l1：2x+y+c=0，l2：x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．不能确定6．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=07．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=18．过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C．3 D．9．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=110．点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1=0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6） B．（2，3） C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）11．如图所示，已知M（1，0），N（﹣1，0），直线2x+y﹣b=0与线段MN相交，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[]D．[0，2]12．函数y=+的最小值是（）A．0 B． C．13 D．不存在二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是．14．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．15．直线l与直线y=1，x﹣y﹣7=0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为．16．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t=0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．18．直线l过点（1，4），且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．19．光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．21．如图△ABC中，AC=BC=AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED ⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；（3）求几何体ADEBC的体积V．22．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．圆（x+2）2+y2=5关于y=x对称的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5【考点】J6：关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心坐标与半径，找出圆心C关于直线y=x的对称点坐标，即为对称圆心坐标，半径不变，写出对称后圆的标准方程即可．【解答】解：圆C方程变形得：（x+2）2+y2=5，∴圆心C（﹣2，0），半径r=，则圆心C关于直线l：y=x对称点坐标为（0，﹣2），则圆C关于直线l对称圆的方程为x2+（y+2）2=5．故选D．2．方程y=﹣表示的曲线（）A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆【考点】KE：曲线与方程．【分析】化简整理后为方程x2+y2=25，但还需注意y≤0的隐含条件，判断即可．【解答】解：化简整理后为方程x2+y2=25，但y≤0．所以曲线的方程表示的是半个圆．故选：D．3．两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由已知中两圆的方程：x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，我们可以求出他们的圆心坐标及半径，进而求出圆心距|O1O2|，比较|O1O2|与R2﹣R1及R2+R1的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．【解答】解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选B．4．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线x﹣y=3倾斜角的2倍，则（）A．B．C．D．【考点】I2：直线的倾斜角；IE：直线的截距式方程．【分析】对于直线mx+ny+3=0，令x=0求出y的值，即为直线在y轴上的截距，根据截距为﹣3求出n的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求直线的斜率，即可求出m的值．【解答】解：对于直线mx+ny+3=0，令x=0，得到y=﹣，即﹣=﹣3，解得：n=1，∵x﹣y﹣3=0的斜率为60°，∴直线mx+ny+3=0的倾斜角为120°，即斜率为﹣，∴﹣=﹣m=﹣，即m=．故选D5．两条直线l1：2x+y+c=0，l2：x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．不能确定【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】分别求出两条直线的斜率，根据斜率的乘积是﹣1，判断直线的位置关【解答】解：直线l1的斜率是：﹣2，直线l2的斜率是：，由﹣2×=﹣1，得直线垂直，故选：B．6．已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】先求出线段AB的中点坐标，线段AB的斜率，可得直线l的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选D．7．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=1【考点】J1：圆的标准方程．【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在y轴上，排除C，即可．【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．8．过点（0，1）的直线与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B． C．3 D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】计算弦心距，再求半弦长，得出结论．【解答】解：如图|AB|最小时，弦心距最大为1，．故选B．9．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【考点】J3：轨迹方程．【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．10．点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1=0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6） B．（2，3） C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求对称点Q的坐标为（a，b），求出PQ的中点为M（，），直线l的斜率k=．再根据轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解出a、b之值，可得点Q的坐标．【解答】解：设P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1=0的对称点Q的坐标为Q （a，b），可得PQ的中点为M（，），直线l的斜率k=，∵PQ与直线l相互垂直，且PQ的中点M在直线l上，∴，解得，可得Q的坐标为（﹣5，6）．故选：C11．如图所示，已知M（1，0），N（﹣1，0），直线2x+y﹣b=0与线段MN相交，则b的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[]D．[0，2]【考点】I3：直线的斜率．【分析】由题意知，两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程2x+y﹣b=0中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围．【解答】解：由题意得：两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b=0的两侧，∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，∴b∈[﹣2，2]．故选：A．12．函数y=+的最小值是（）A．0 B． C．13 D．不存在【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】化简y=+=+，从而可得其几何意义是点A（x，0）到点B（0，1）与点C（2，﹣2）的距离之和，从而作图求解．【解答】解：y=+=+，+的几何意义是点A（x，0）到点B（0，1）与点C（2，﹣2）的距离之和，如下图：故函数y=+的最小值是=，故选B．二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线方程是3x+y﹣6=0．【考点】ID：直线的两点式方程．【分析】由过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0），知其方程为：，由此能求出结果．【解答】解：∵过点（1，3）且在x轴的截距为2的直线过点（1，3）和（2，0），∴其方程为：，整理得3x+y﹣6=0．故答案为：3x+y﹣6=0．14．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】设出直线方程的斜截式方程，求出直线在两条坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式求解直线在y轴上的截距，从而可得答案．【解答】解：设直线l的方程为y=，取y=0，得x=﹣6m．所以l和坐标轴围成面积为S=．解得m=±1．所以直线l的方程为，即x﹣6y±6=0．15．直线l与直线y=1，x﹣y﹣7=0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为﹣．【考点】I3：直线的斜率；IF：中点坐标公式．【分析】设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．【解答】解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴1=，且﹣1=，解得，a=﹣2，b=4，∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为：=﹣，故答案为﹣．16．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=1．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定；JF：圆方程的综合应用．【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t=0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】（1）将点（1，1）代入直线方程求出t的值即可；（2）将点（0，﹣3）代入直线方程求出t的值即可．【解答】解：（1）过点（1，1），所以当x=1，y=1时，2+t﹣2+3﹣2t=0，解得：t=3；（2）直线在y轴上的截距为﹣3，所以过点（0，﹣3），故﹣3（t﹣2）+3﹣2t=0，解得：t=．18．直线l过点（1，4），且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．【考点】IE：直线的截距式方程．【分析】设出直线方程，利用两坐标轴上的截距的积是18，求出a，b，可得直线方程【解答】解设直线l的方程为+=1，则，解得或则直线l的方程2x+y﹣6=0或8x+y﹣12=0．19．光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C 点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据物理学知识，直线BC一定过（﹣1，6）关于y轴的对称点（1，6），直线AB一定过（1，6）关于x轴的对称点（1，﹣6）且k AB=k CD，即可求出AB 方程，CD方程，求出点B，C坐标，可得直线BC的方程．【解答】解：如图所示，由题设，点B在原点O的左侧，根据物理学知识，直线BC一定过（﹣1，6）关于y轴的对称点（1，6），直线AB一定过（1，6）关于x轴的对称点（1，﹣6）且k AB=k CD，∴k AB=k CD==﹣．∴AB方程为y﹣4=﹣（x+3）．令y=0，得x=﹣，∴B（，0）CD方程为y﹣6=﹣（x+1）．令x=0，得y=，∴C（0，）∴BC的方程为+=1，故得BC的一般方程为：5x﹣2y+7=0．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°．（1）求证：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）欲证面MAP⊥面SAC，根据面面垂直的判定定理可知在平面MAP 内一直线与平面SAC垂直，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，而PM∥BC，从而PM⊥面SAC，满足定理所需条件；（2）易证面MAP⊥面SAC，则AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC ﹣B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，在△CAN中，由勾股定理求得AN，在Rt△AMN中求出MN，在Rt△CNM中，求出此角即可．【解答】证明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中点∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得．在Rt△AMN中，=．在Rt△CNM中，故二面角M﹣AC﹣B的正切值为．21．如图△ABC中，AC=BC=AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED ⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．（1）求证：GF∥平面ABC；（2）求证：平面EBC⊥平面ACD；（3）求几何体ADEBC的体积V．【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BE的中点H，连接HF，GH．通过证明GF所在的平面HGF，平面HGF∥平面ABC．然后说明GF∥平面ABC；（2）通过证明AC⊥平面BCE，AC⊂平面ACD，然后证明平面EBC⊥平面ACD；（3）取AB的中点N，连接CN，说明CN⊥平面ABED，求出底面面积，即可求解几何体ADEBC的体积V．【解答】解：（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．∵G，F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE．又∵四边形ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB．∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．∴平面HGF∥平面ABC．∴GF∥平面ABC．（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB．又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．∴BE⊥AC．又∵CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC．∴AC⊥平面BCE．从而平面EBC⊥平面ACD．（3）取AB的中点N，连接CN，∵AC=BC，∴CN⊥AB，且CN=AB=a．又平面ABED⊥平面ABC，∴CN⊥平面ABED．∵C﹣ABED是四棱锥，=S ABED•CN=a2•a=a3．∴V C﹣ABED22．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．【考点】3V：二次函数的图象；J1：圆的标准方程．【分析】（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b 不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．【解答】解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得假设成立，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．2017年6月30日。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件2．（5分）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅3．（5分）设函数f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）（|φ|＜），且图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数4．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）已知为单位向量，且与垂直，则的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°6．（5分）已知函数f（x）=log a（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若直线（m，n＞0）也经过点A，则3m+n的最小值为（）A．16 B．8 C．12 D．147．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A．1080 B．480 C．1560 D．3009．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是（）A．29 000元B．31 000元C．38 000元D．45 000元11．（5分）已知，是非零向量，它们之间有如下一种运算：⊗=||||sin ＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．给出下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=⊗+⊗；④⊥⇔⊗=||||；⑤若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f （x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a的值为．14．（5分）在△ABC中，sinA=，=6，则△ABC的面积为．15．（5分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为．16．（5分）将全体正整数a i，j从左向右排成一个直角三角形数阵：按照以上排列的规律，若定义，则log2=．三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（12分）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28．记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1 000项和．18．（12分）已知m≠0，向量=（m，3m），向量=（m+1，6），集合A={x|（x ﹣m2）（x+m﹣2）=0}．（1）判断“∥”是“||=”的什么条件（2）设命题p：若⊥，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．19．（12分）设函数f（x0）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．20．（12分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲22．（10分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2012•福建）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．2．（5分）（2015•石景山区一模）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（）A．{0}B．{2}C．{0，1，2}D．∅【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，∴A∩B={2}．故选B．3．（5分）（2014•郑州一模）设函数f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）（|φ|＜），且图象关于直线x=0对称，则（）A．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数B．y=f（x）的最小正周期为π，且在上为减函数C．y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D．y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]=2cos（2x+φ﹣），∵ω=2，∴T==π，又函数图象关于直线x=0对称，∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数的递减区间为[kπ，kπ+]（k∈Z），又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），∴函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数．故选B4．（5分）（2016秋•潮州期末）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：e=cos+isin=i，此复数在复平面中对应的点位于位于第二象限，故选：B．5．（5分）（2017春•黄陵县校级期中）已知为单位向量，且与垂直，则的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设与的夹角为θ，由为单位向量，且与垂直，则•（+2）=+2•=12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣；又θ∈[0°，120°]，的夹角为θ=120°．故选：C．6．（5分）（2017春•黄陵县校级期中）已知函数f（x）=log a（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若直线（m，n＞0）也经过点A，则3m+n 的最小值为（）A．16 B．8 C．12 D．14【解答】解：由题意，函数f（x）=log a（x+4）﹣1（a＞0且a≠1），令x+4=1，可得x=﹣3，带入可得y=﹣1∴图象恒过定点A（﹣3，﹣1）．∵直线（m，n＞0）也经过点A，∴，即．那么：3m+n=（3m+n）（）=≥2+5=8．（当且仅当n=m=2时，取等号）∴3m+n的最小值为8．故选B．7．（5分）（2017•龙泉驿区校级一模）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣C20•（1﹣p）2=，∴p=，∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣C30（）0（）3 ﹣••=1﹣﹣=，故选：C．8．（5分）（2017•清新区校级一模）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A．1080 B．480 C．1560 D．300【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有=20种不同的方法．若4个组的人数为2、2、1、1，则不同的分配方案有•=45种不同的方法．故所有的分组方法共有20+45=65种．再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65=1560种，故选：C．9．（5分）（2017•清新区校级一模）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．10．（5分）（2017•清新区校级一模）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是（）A．29 000元B．31 000元C．38 000元D．45 000元【解答】解：设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意，得．工厂的总利润z=12000x+7000y由约束条件得可行域如图，由，解得：，所以最优解为A（2，2），则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．故选：C．11．（5分）（2014•宜昌二模）已知，是非零向量，它们之间有如下一种运算：⊗=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．给出下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=⊗+⊗；④⊥⇔⊗=||||；⑤若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵，是非零向量，它们之间有如下一种运算：⊗=||||sin ＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角．对于①，⊗=||||sin＜，＞，⊗=||||sin＜，＞，∴⊗=⊗，∴①正确；对于②，λ（⊗）=λ||||sin＜，＞，（λ）⊗=|λ|||sin＜λ，＞，λ≥0时相等，λ＜0时，两式不相等，∴②不正确；对于③，（+）⊗=⊗+⊗，满足加法对乘法的结合律，∴③正确；对于④，⊥，∴sin＜，＞=1⇔⊗=||||；∴④正确；对于⑤，设和的起点均为O，终点为A、B，=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=2S△OAB=|x1y2﹣x2y1|．∴⑤正确；正确命题有4个．故选：C．12．（5分）（2016•吉林校级模拟）如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f（x）（当A、O、P三点共线时，记面积为0），则函数f （x）的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：由三角形的面积公式知，当0≤x≤a时，f（x）=•x••a=ax，故在[0，a]上的图象为线段，故排除B；当a＜x≤a时，f（x）=•（a﹣x）••a=a（a﹣x），故在（a，a]上的图象为线段，故排除C，D；故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2017•金凤区校级四模）执行如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a的值为30．【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行①第一次循环，i=1，a=5×1=5，判断q是否整除a；②由于q=6不整除a=5，进入第二次循环，得到i=2，a=5×2=10，判断q是否整除a；③由于q=6不整除a=10，进入第三次循环，得到i=3，a=5×3=15，判断q是否整除a；④由于q=6不整除a=15，进入第四次循环，得到i=4，a=5×4=20，判断q是否整除a；⑤由于q=6不整除a=20，进入第五次循环，得到i=5，a=5×5=25，判断q是否整除a；⑥由于q=6不整除a=25，进入第六次循环，得到i=6，a=5×6=30，判断q是否整除a；⑦由于q=6整除a=30，结束循环体并输出最后的a、i值因此输出的a=30且i=6．故答案为30．14．（5分）（2017春•黄陵县校级期中）在△ABC中，sinA=，=6，则△ABC的面积为4．【解答】解：∵sinA=，∴cosA=，∵=6，∴||•||•=6，∴||•||=10，∴S=||•||•sinA=×10×=4，△ABC故答案为：415．（5分）（2015秋•黄浦区校级期末）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为6．【解答】解：f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如图所示，则f（x）的最大值为y=x+2与y=10﹣x交点的纵坐标，即当x=4时，y=6．故答案为6．16．（5分）（2017春•黄陵县校级期中）将全体正整数a i，j从左向右排成一个直角三角形数阵：按照以上排列的规律，若定义，则log2=191．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）=a20，3表示第20行，第三个数，即为+3=193，∴f（20，3）=2193，∴=2191，∴log22191=191，故答案为：191三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17．（12分）（2017春•黄陵县校级期中）S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28．记b n=[lga n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{b n}的前1 000项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}公差为d，S7=7a1+×d=28，则d=1，∴a n=n，∴b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2；（Ⅱ）由题意可知：b n=，∴数列{b n}的前1000项和1×90+2×900+3×1=1893．数列{b n}的前1000项和1893．18．（12分）（2017•龙泉驿区校级一模）已知m≠0，向量=（m，3m），向量=（m+1，6），集合A={x|（x﹣m2）（x+m﹣2）=0}．（1）判断“∥”是“||=”的什么条件（2）设命题p：若⊥，则m=﹣19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．【解答】解：（1）若，则6m=3m（m+1），∴m=1（m=0舍去），此时，，若，则m=±1，故“”是“”的充分不必要条件．（2）若，则m（m+1）+18m=0，∴m=﹣19（m=0舍去），∴p为真命题．由（x﹣m2）（x+m﹣2）=0得x=m2，或x=2﹣m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，则m2=2﹣m，解得m=1或﹣2，∴q为假命题．∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢q为真命题．19．（12分）（2017春•黄陵县校级期中）设函数f（x0）=ae x lnx+，曲线y=f （x）在点（1，f（1）处的切线为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，由题意可得f（1）=2，f'（1）=e，故a=1，b=2…（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ，从而f（x）＞1等价于，设函数g（x）=xlnx，则g'（x）=1+lnx，所以当时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0，故g（x）在单调递减，在单调递增，从而g（x）在（0，+∞）的最小值为．…（8分）设函数，则h'（x）=e﹣x（1﹣x），所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从而h（x）在（0，+∞）的最大值为．综上：当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．…（12分）20．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．21．（12分）（2016•宁城县一模）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）＞0，即，所以．极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲22．（10分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss ；zlzhan ；sllwyn ；沂蒙松；742048；左杰；caoqz ；刘长柏；炫晨；lcb001；whgcn ；铭灏2016；刘老师；豫汝王世崇；sxs123（排名不分先后） 菁优网2017年7月5日赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DABFEDCF。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）2．（5分）圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则对应的参数θ的值是（）A．B．πC．πD．π3．（5分）直线（t为参数）的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣4．（5分）已知O为原点，当θ＝﹣时，参数方程（θ为参数）上的点为A，则直线OA的倾斜角为（）A．B．C．D．5．（5分）已知A（4sin θ，6cos θ），B（﹣4cos θ，6sin θ），当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线6．（5分）直线ρcos θ+2ρsin θ＝1不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（5分）点M的直角坐标为（，1，﹣2），则它的球坐标为（）A．（2，，）B．（2，，）C．（2，，）D．（2，，）8．（5分）在极坐标系中，直线θ＝（ρ∈R）截圆ρ＝2cos（θ﹣）所得弦长是（）A．1B．2C．3D．49．（5分）若点P的柱坐标为（2，，），则P到直线Oy的距离为（）A．1B．2C．D．10．（5分）设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin x′，则正弦曲线C的周期为（）A．B．πC．2πD．4π11．（5分）已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ+）＝4的距离的最小值是（）A．1B．C．D．12．（5分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）对于任意实数，直线y＝x+b与椭圆（0≤θ＜2π）恒有公共点，则b 的取值范围是．14．（5分）直线（t为参数）与圆（φ为参数）相切，则此直线的倾斜角α＝．15．（5分）已知直线l的参数方程（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+）．则圆的直角坐标方程为，直线l和圆C的位置关系为（填相交、相切、相离）．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化ρ＝cosθ﹣2sinθ为直角坐标形式并说明曲线的形状；（2）化曲线F的直角坐标方程：x2+y2﹣5﹣5x＝0为极坐标方程．18．（12分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（3，），半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．19．（12分）如图所示，已知点M是椭圆+＝1（a＞b＞0）上的第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．20．（12分）如图，正方体OABC﹣D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．21．（12分）已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．22．（12分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列点不在直线（t为参数）上的是（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）【解答】解：两式相加得直线的普通方程为x+y＝1，显然（﹣3，2）不符合方程x+y＝1．故选：D．2．（5分）圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则对应的参数θ的值是（）A．B．πC．πD．π【解答】解：根据题意，圆的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π），若Q（﹣2，2）是圆上一点，则有4cosθ＝﹣2，4sinθ＝2，解可得cosθ＝﹣，sinθ＝，则θ＝；故选：B．3．（5分）直线（t为参数）的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线的普通方程为：y＝﹣2x+8，∴直线（t为参数）的斜率为﹣2．故选：B．4．（5分）已知O为原点，当θ＝﹣时，参数方程（θ为参数）上的点为A，则直线OA的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：A点坐标为（，﹣），∴直线OA的斜率k＝﹣，∴直线OA的倾斜角为．故选：C．5．（5分）已知A（4sin θ，6cos θ），B（﹣4cos θ，6sin θ），当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：∵点M（x，y）是线段AB的中点，∴x＝2sinθ﹣2cosθ，y＝3cosθ+3sinθ消去参数θ得+＝1，∴轨迹为焦点在y轴上的椭圆+＝1，故选：C．6．（5分）直线ρcos θ+2ρsin θ＝1不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：直线ρcos θ+2ρsin θ＝1化为直角坐标方程：x+2y＝1，即y＝﹣x+．可知：此直线不经过第三象限．故选：C．7．（5分）点M的直角坐标为（，1，﹣2），则它的球坐标为（）A．（2，，）B．（2，，）C．（2，，）D．（2，，）【解答】解：设M的球坐标为M（r，φ，θ），则r＝＝2，2cosφ＝﹣2，∴φ＝，2sinφsinθ＝1，∴θ＝，∴M的球坐标为（2，，）．故选：A．8．（5分）在极坐标系中，直线θ＝（ρ∈R）截圆ρ＝2cos（θ﹣）所得弦长是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：把直线θ＝（ρ∈R）代入圆ρ＝2cos（θ﹣）的方程，可得所得弦长＝2cos0＝2．故选：B．9．（5分）若点P的柱坐标为（2，，），则P到直线Oy的距离为（）A．1B．2C．D．【解答】解：P点的直角坐标为（，1，），∴P到直线Oy的距离为d＝＝．故选：D．10．（5分）设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin x′，则正弦曲线C的周期为（）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：根据题意，伸缩变换为，若y′＝sin x′，则有3y＝sin x，即C的方程为y＝sin x，其周期T＝＝4π；故选：D．11．（5分）已知点A是曲线ρ＝2cosθ上任意一点，则点A到直线ρsin（θ+）＝4的距离的最小值是（）A．1B．C．D．【解答】解：ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ，化为：x2+y2＝2x，配方为（x﹣1）2+y2＝1，可得圆心C（1，0），半径r＝1．直线ρsin（θ+）＝4展开可得：ρsinθ+cosθ＝4，可得直角坐标方程：x+y﹣8＝0．则点A到直线ρsin（θ+）＝4的距离的最小值＝﹣1＝．故选：C．12．（5分）极坐标方程的图形是（）A．B．C．D．【解答】解：将原极坐标方程，化为：ρ＝sinθ+cosθρ2＝ρsinθ+ρcosθ化成直角坐标方程为：x2+y2﹣y﹣x＝0，它表示圆心在第一象限，半径为1的圆．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）对于任意实数，直线y＝x+b与椭圆（0≤θ＜2π）恒有公共点，则b 的取值范围是[﹣2，2]．【解答】解：∵椭圆（0≤θ＜2π），∴椭圆的直角坐标方程为＝1，把y＝x+b代入＝1，得5x2+2bx+b2﹣16＝0△＝4b2﹣20（b2﹣16）≥0解之得：﹣2≤b≤2．∴b的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）直线（t为参数）与圆（φ为参数）相切，则此直线的倾斜角α＝或．【解答】解：直线（t为参数）可化为y＝x tanα（α≠kπ+）；∵直线（t为参数）与圆（φ为参数）相切，∴圆心（4，0）到直线y＝x tanα的距离与半径2相等；即：＝2，解得，tanα＝±，则此直线的斜率为±，则此直线的倾斜角α为或．故答案为：或．15．（5分）已知直线l的参数方程（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+）．则圆的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，直线l和圆C的位置关系为相交（填相交、相切、相离）．【解答】解：（1）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x+1．圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+）．即ρ＝2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2＝2（ρsinθ+ρcosθ），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（2）圆心C（1，1）到直线l的距离d＝＝＜＝r，∴直线l和圆C相交．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2；相交．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π）），则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为2．【解答】解：直线l的参数方程为（参数t∈R）的普通方程为x+y＝6，即x+y﹣6＝0，圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π））的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，圆心坐标C（0，2），半径R＝2，则圆心到直线l的距离d＝＝2，故答案为：（0，2），2．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）化ρ＝cosθ﹣2sinθ为直角坐标形式并说明曲线的形状；（2）化曲线F的直角坐标方程：x2+y2﹣5﹣5x＝0为极坐标方程．【解答】解：（1）ρ＝cosθ﹣2sinθ两边同乘以ρ，得：ρ2＝ρcosθ﹣2ρsinθ，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线坐标方程为x2+y2＝x﹣2y，即x2+y2﹣x+2y＝0，即（x﹣）2+（y+1）2＝（）2，表示的是以为圆心，半径为的圆．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得；x2+y2﹣5﹣5x＝0的极坐标方程为：ρ2﹣5ρ﹣5ρcosθ＝0．18．（12分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（3，），半径为1．Q点在圆周上运动，O为极点．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设M（ρ，θ）为圆C上任意一点，如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝||，根据余弦定理，得1＝ρ2+9﹣2•ρ•3•cos（），化简整理，得ρ2﹣6•ρcos（）+8＝0为圆C的极坐标方程．（2）设Q（ρ1，θ1），则有﹣6•ρ1cos（）+8＝0，①设P（ρ，θ），则OQ：QP＝ρ1：（ρ﹣ρ1）＝2：3，解得ρ1＝ρ，又θ1＝θ，即，代入①得ρ2﹣6•ρcos（θ﹣）+8＝0，整理得ρ2﹣15ρcos（）+50＝0为P点的轨迹方程．19．（12分）如图所示，已知点M是椭圆+＝1（a＞b＞0）上的第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值．【解答】解：方法一：M是椭圆+＝1（a＞b＞0）上在第一象限的点，由椭圆+＝1（a＞b＞0）的参数方程为（φ为参数），故可设M（a cosφ，b sinφ），其中0＜φ＜，因此，S四边形MAOB＝S△MAO+S△MOB＝OA•y M+OB•x M＝ab（sinφ+cosφ）＝ab sin（φ+）．所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最大值为ab．方法二：设M（x M，y M），x M＞0，y M＞0，则y M＝b，S四边形MAOB＝S△MAO+S△MOB＝OA•y M+OB•x M＝ab+bx M＝b（+x M）≤b＝ab．当且仅当x M＝y M＝时取等号．20．（12分）如图，正方体OABC﹣D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．【解答】解：设点C的柱坐标为（ρ1，θ1，z1），则ρ1＝|OC|＝3，，z1＝0，∴C的柱坐标为；设点B′的柱坐标为（ρ2，θ2，z2），则，，∴B′的柱坐标为；如图，取OB的中点E，连接PE，设点P的柱坐标为（ρ3，θ3，z3），则，点P的柱坐标为．21．（12分）已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．【解答】解：将曲线C 1，C2化为直角坐标方程得：，表示一条直线．曲线，即，表示一个圆，半径为．圆心到直线的距离，∴曲线C1与C2相离．22．（12分）已知圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆C相交的弦长．【解答】解：（Ⅰ）由ρ＝2cosθ⇒ρ2＝2ρcosθ⇒x2+y2﹣2x＝0⇒（x﹣1）2+y2＝1，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）的普通方程为x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）圆心到直线距离为：d＝＝．∴弦长|AB|＝2＝．。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．（5分）已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（5分）已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则l的方程为（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y+4=0 D．x﹣y+4=03．（5分）已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l的倾斜角是（）A．B． C．D．4．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣35．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或6．（5分）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=07．（5分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．5 B．10 C．D．9．（5分）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或210．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=111．（5分）方程=lgx的根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定12．（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A、B两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．x=1 B．y=1 C．x﹣y+1=0 D．x﹣2y+3=0二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是．14．（5分）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．15．（5分）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是．16．（5分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．18．（12分）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．19．（12分）已知直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：4x+3y+14=0，直线l3：3x+4y+10=0．求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．20．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，点P坐标为（2，﹣1），过点P 作圆C的切线，切点为A，B．（1）求直线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．21．（12分）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y=0上，且截直线x﹣y=0得的弦长为的圆的方程．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．（5分）（2016春•滨州期末）已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：∵直线l的方程为y=﹣x+1，∴斜率为﹣1，又倾斜角α∈[0，π），∴α=135°．故选：D．2．（5分）（2017春•黄陵县校级月考）已知点A（0，4），B（4，0）在直线l上，则l的方程为（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y﹣4=0 C．x+y+4=0 D．x﹣y+4=0【解答】解：∵直线l过点A（0，4），B（4，0）∴直线l的方程是：=，整理，得y+x﹣4=0．故选：A．3．（5分）（2010秋•潮南区期末）已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l的倾斜角是（）A．B． C．D．【解答】解：∵直线过点M（﹣，）、N（，﹣），∴直线MN的斜率为=﹣1，由垂直关系可得直线l的斜率为1，∵直线l的倾斜角α满足tanα=1，解得α=，故选：C．4．（5分）（2011•安徽）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．5．（5分）（2008•陕西）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切，则实数m等于（）A．或B．或C．或D．或【解答】解：圆的方程（x﹣1）2+y2=3，圆心（1，0）到直线的距离等于半径或者故选C．6．（5分）（2008•广东）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0 B．x+y﹣1=0 C．x﹣y+1=0 D．x﹣y﹣1=0【解答】解：易知点C为（﹣1，0），因为直线x+y=0的斜率是﹣1，所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1，所以要求直线方程是y=x+1即x﹣y+1=0．故选C．7．（5分）（2017春•黄陵县校级月考）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，可知k=0，当k=0时，直线y=1与圆x2+y2﹣y﹣9=0，的两个交点（﹣3，0）和（3，0）．故选：A．8．（5分）（2014秋•平阳县校级期末）已知圆O：x2+y2=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．5 B．10 C．D．【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，则OA的斜率k=2，则切线斜率为﹣，则切线方程为：y﹣2=﹣（x﹣1），即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以，所求面积为=．故选：D9．（5分）（2013秋•金台区期末）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．10．（5分）（2009•宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1故选B11．（5分）（2017春•黄陵县校级月考）方程=lgx的根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【解答】解：设f（x）=，g（x）=lg x，则方程根的个数就是f（x）与g（x）两个函数图象交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象．由图可得函数f（x）=与g（x）=lg x仅有1个交点，所以方程仅有1个根．故选B．12．（5分）（2017春•鸡泽县校级期中）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．x=1 B．y=1 C．x﹣y+1=0 D．x﹣2y+3=0【解答】解：如图，把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1﹣2）2+22=5＜9，所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，即当CM⊥l时弦长最短，∠ACB最小，设此时直线l的斜率为k，∵，由k•k CM=﹣1，得：﹣2k=﹣1，所以，．∴l的方程为：，即x﹣2y+3=0．二、填空题（每小题5分，共20分.将你认为正确的答案填写在空格上）13．（5分）（2010•江岸区校级二模）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是x﹣y﹣3=0．【解答】解：把圆的方程x2+y2﹣8x﹣2y+10=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y﹣1）2=7，所以圆心坐标为（4，1），又M（3，0），根据题意可知：过点M最长的弦为圆的直径，则所求直线为过圆心和M的直线，设为y=kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则过点M最长的弦所在的直线方程是y=x﹣3，即x﹣y﹣3=0．故答案为：x﹣y﹣3=014．（5分）（2016春•浦东新区期末）已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．15．（5分）（2007•天津）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y=0．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故答案为x+3y=0．16．（5分）（2009•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=1．【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为，圆心（0，﹣a），公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+|由图可知，解之得a=1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17．（10分）（2012秋•营口期末）已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，（1）若l1与l2交于点p（m，﹣1），求m，n的值；（2）若l1∥l2，试确定m，n需要满足的条件；（3）若l1⊥l2，试确定m，n需要满足的条件．【解答】解：（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程得：m2﹣8+n=0 和2m﹣m ﹣1=0，解得m=1，n=7．（2）由l1∥l2得：，∴，或，所以当m=4，n≠﹣2；或m=﹣4，n≠2 时，l1∥l2．（3）当m=0时直线l1：和l2：，此时，l1⊥l2，当m≠0时此时两直线的斜率之积等于，显然l1与l2不垂直，所以当m=0，n∈R时直线l1和l2垂直．18．（12分）（2013秋•太和县校级期末）已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1）的距离之比等于5，得=5.，化简得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0．即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（﹣2，3）的直线l：x=﹣2，此时过点A（﹣2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2=8，∴l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设过点A（﹣2，3）的直线l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得+42=52，解得k=．∴直线l的方程为x﹣y+=0．即5x﹣12y+46=0．综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0．19．（12分）（2013春•石家庄期末）已知直线l1：x﹣y﹣1=0，直线l2：4x+3y+14=0，直线l3：3x+4y+10=0．求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．【解答】解：由题意，可设圆心为C（a，a﹣1），半径为r，则点C到直线l2的距离d1==，点C到直线l3的距离是d2==．由题意，得，解得a=2，r=5，∴所求圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=25．20．（12分）（2014春•贵州校级期中）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，点P 坐标为（2，﹣1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．（1）求直线PA，PB的方程；（2）求过P点的圆的切线长；（3）求直线AB的方程．【解答】解：（1）设切线的斜率为k，∵切线过点P（2，﹣1），∴切线方程为：y+1=k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1=0，又圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2的圆心坐标为（1，2），半径为，由点到直线的距离公式，得：=，解得：k=7或k=﹣1，则所求的切线方程为：x+y﹣1=0和7x﹣y﹣15=0．（2）圆心C到P的距离为：=．∴切线长为：=2．（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=8…①由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2=﹣6，可得x﹣3y+3=0．21．（12分）（2015秋•文昌校级期末）求与x轴相切，圆心C在直线3x﹣y=0上，且截直线x﹣y=0得的弦长为的圆的方程．【解答】解：设圆心（t，3t），则由圆与x轴相切，可得半径r=3|t|．∵圆心到直线的距离d==t，∴由r2=d2+（）2，解得t=±1．∴圆心为（1，3）或（﹣1，﹣3），半径等于3．∴圆C的方程为（x+1）2+（y+3）2=9 或（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．22．（12分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b （x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．【解答】解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得假设成立，（﹣2，1）和（0，1）均在圆C上，因此圆C过定点（﹣2，1）和（0，1）．:caoqz；海燕；gongjy；qiss；wzj123；maths；zlzhan；sxs123；sllwyn；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年6月22日。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，其面积S△ABC=3，则BC=（）A．5 B．或C． D．2．关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，） B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）3．过抛物线y2=12x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．16 B．12 C．10 D．84．已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题5．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）7．已知命题p：＜1，q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣2，+∞）8．直线y=﹣x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．4﹣29．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥111．如图，是一程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若抛物线y2=﹣2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为．14．过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为．15．已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，若∠F1PF2=60°，则e=．16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为a3；④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，]．其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．20．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面MBD；（2）求二面角P﹣BD﹣A的余弦值．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在锐角△ABC中，AB=3，AC=4，其面积S△ABC=3，则BC=（）A．5 B．或C． D．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将AB，AC，以及已知面积代入求出sinA的值，进而求出cosA的值，利用余弦定理即可确定出BC的长．=3，【解答】解：∵锐角△ABC中，AB=3，AC=4，其面积S△ABC∴AB•AC•sinA=3，即sinA=，∴cosA==，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=9+16﹣12=13，则BC=．故选：D．2．关于实数x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，） B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】根据根与系数的关系，求出b与c的值；再求不等式cx2﹣bx﹣1＞0的解集即可．【解答】解：关于x的不等式﹣x2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞2}，∴对应方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根为﹣3和2，由根与系数的关系，得，解得b=﹣1，c=6；∴关于x的不等式cx2﹣bx﹣1＞0可化为6x2+x﹣1＞0，解得x＜﹣或x＞；∴该不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．故选：C．3．过抛物线y2=12x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．16 B．12 C．10 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设过抛物线y2=12x的焦点的直线方程为x=my+3，代入y2=12x，利用韦达定理，求出m，即可求出|AB|．【解答】解：设过抛物线y2=12x的焦点的直线方程为x=my+3，代入y2=12x，可得y2﹣12my﹣36=0，∴y1+y2=12m，y1y2=﹣36，∴x1+x2=12m2+6=6，∴m=0，∴x=3，∴|AB|=2×6=12．故选：B．4．已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=，则下列判断中正确的是（）A．p是真命题B．q是假命题C．￢p是假命题D．￢q是假命题【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用配方法可得2x2+2x+≥0判断命题p为假命题，由两角和的正弦公式判断命题q为真命题，则答案可求．【解答】解：∵2x2+2x+=，∴命题p：∀x∈R，2x2+2x+＜0为假命题；∵sinx0﹣cosx0=sin（），∴命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0=为真命题．∴￢q是假命题．故选：D．5．一动圆P过定点M（﹣4，0），且与已知圆N：（x﹣4）2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心P的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P，半径为r，已知圆圆心为N，半径为4 由题意知：PM=r，PN=r+4，所以|PN﹣PM|=4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，P在以M、C为焦点的双曲线上，且2a=4，2c=8，∴b=2，∴动圆圆心M的轨迹方程为：．故选：C．6．已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（ ） A ．（﹣1，1，0） B ．（1，﹣1，0） C ．（0，﹣1，1） D ．（﹣1，0，1）【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论．【解答】解：不妨设向量为=（x ，y ，z ），A ．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．B ．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．C ．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．D ．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件． 故选：B7．已知命题p ：＜1，q ：x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，﹣1]B ．[﹣2，﹣1]C ．[﹣3，﹣1]D ．[﹣2，+∞）【考点】2L ：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求解命题P ，通过讨论a 的取值，从而解出不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0，判断所得解能否使p 是q 的充分不必要条件，或限制a 后能使p 是q 的充分不必要条件，综合以上求得的a 的范围求并集即可．【解答】解：命题p ：可得，，即：x ＜1或x ＞2，命题q ：x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0，即（x +a ）（x ﹣1）＞0，若﹣a=1，即a=﹣1，不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0的解是x ≠1，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＞1，即a ＜﹣1，不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞﹣a ，或x ＜1，由x ＜1或x ＞2，得到﹣a ＜2，符合p 是q 的充分不必要条件；若﹣a ＜1，即a ＞﹣1，不等式（x +a ）（x ﹣1）＞0的解是x ＞1，或x ＜﹣a ，∵p是q的充分不必要条件，q：x＜1或x＞2，不满足P是q的充分条件；综上得a的取值范围是（﹣2，﹣1]．故选：A．8．直线y=﹣x与椭圆C：=1（a＞b＞0）交于A、B两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．﹣1 D．4﹣2【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；KG：直线与圆锥曲线的关系．【分析】以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B 两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y=﹣x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．∴故选C．9．“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【考点】J9：直线与圆的位置关系；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．故选A．10．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则﹣1≥x≥1 B．若1≥x≥﹣1，则x2≥1C．若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1 D．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1【考点】21：四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≤﹣1或x≥1，则x2≥1“，故选：C11．如图，是一程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】E7：循环结构．【分析】首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S的值．【解答】解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+K=3第2次循环：S=K=5第3次循环：S=K=7第4次循环：S=K=9第5次循环：S=K=11此时，K＞10输出S=故选B．12．正四面体ABCD的体积为V，M是正四面体ABCD内部的点，若“”的事件为X，则概率P（X）为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】首先确定点M的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率．【解答】解：分别取DA、DB、DC上的点E、F、G，并使DE=3EA，DF=3FB，DG=3GC，并连结EF、FG、GE，则平面EFG∥平面ABC．当点M在正四面体DEFG内部运动时，满足“”，故P（X）=．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若抛物线y2=﹣2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6）．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】依题意，知抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，设M（﹣9，m），利用抛物线的定义，将它到焦点的距离转化为它到其焦点的距离，从而可得答案．【解答】解：∵抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x=，设M（﹣9，m），∵点M到焦点的距离为10，∴由抛物线的定义知：﹣（﹣9）=10，解得：p=2，∴抛物线方程为：y2=﹣4x；将M（﹣9，m）点的坐标代入抛物线方程得：m2=﹣4×（﹣9）=36，∴m=±6，∴M点的坐标为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6），故答案为（﹣9，6）或（﹣9，﹣6）．14．过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】用点斜式求出直线AB 的方程，应用联立方程组求得A 、B 的坐标，再将△OAB 的面积分割成S △OAB =S △OFA +S △OFB ，即可求得△OAB 的面积的值． 【解答】解析：椭圆+=1的右焦点F 2（1，0），故直线AB 的方程y=2（x ﹣1），由，消去y ，整理得3x 2﹣5x=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＜x 2，则x 1，x 2是方程3x 2﹣5x=0的两个实根，解得x 1=0，x 2=，故A （0，﹣2），B （，），故S △OAB =S △OFA +S △OFB =×（|﹣2|+）×1=．故答案：15．已知离心率为e 的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2=60°，则e=．【考点】KC ：双曲线的简单性质；K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF 1|，|PF 2|，结合∠F 1PF 2=60°，利用余弦定理和离心率公式，建立方程，即可求出e ．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2， 焦距为2c ，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，且不妨设m ＞n ， 由m +n=2a 1，m ﹣n=2a 2得m=a 1+a 2，n=a 1﹣a 2． 又∠F 1PF 2=60°，∴4c 2=m 2+n 2﹣mn=a 12+3a 22，，由椭圆的离心率为，则，解得e=，故答案为：．16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：①平面A′FG⊥平面ABC；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′﹣DEF的体积最大值为a3；④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；⑤二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，]．其中正确的命题是①②③④（写出所有正确命题的编号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；MT：二面角的平面角及求法．【分析】①由已知可得四边形ADEF是菱形，再利用菱形对角线的性质、线面面面垂直的判定与性质定理即可得出；②由三角形中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣DEF的体积达到最大，再利用体积计算公式即可得出；④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得点A′在面ABC上的射影在线段AF上；⑤在旋转过程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，π]，即可判断出．【解答】解：①由已知可得四边形ADEF是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正确；②由三角形中位线定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正确；③当面A′DE⊥面ABC时，三棱锥A′﹣DEF的体积达到最大，最大值为=，③正确；④由平面A′FG⊥平面ABC，可知点A′在面ABC上的射影在线段AF上，∴④正确；⑤在旋转过程中二面角A′﹣DE﹣F大小的范围是[0，π]，∴⑤不正确．故答案为：①②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．【考点】KB：双曲线的标准方程；2E：复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）命题q为真命题，由已知得，可求实数k的取值范围；（Ⅱ）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p 假q真”即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得，解得1＜k＜4∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（Ⅱ）当命题p为真时，由k2﹣8k﹣20≤0解得﹣2≤k≤10…由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题…当命题p为真、命题q为假时，则，解得﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…当命题p为假、命题q为真时，则，k无解．…∴实数k的取值范围是﹣2≤k≤1或4≤k≤10．…18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，根据a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，可得=（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，可得=3a2=﹣15，解得a2，进而得到d．即可得出a n．（2）由（1）可得：S n=﹣n2﹣2n．可得b n==﹣=﹣，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，∴=（a1+1）（a4+1），又S3=﹣15，∴=﹣15，∴a2=﹣5．∴（﹣5+1）2=（﹣5﹣d+1）（﹣5+2d+1），解得d=0或d=﹣2．d=0时，公比为1，舍去．∴d=﹣2．∴a n=a2﹣2（n﹣2）=﹣5﹣2（n﹣2）=﹣2n﹣1．（2）由（1）可得：S n==﹣n2﹣2n．∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+++…++=﹣=﹣+．19．如图1，在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，现把平行四边形ABB1A1沿CC1折起如图2所示，连接B1C，B1A，B1A1．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，证明C1C⊥平面OAB1；（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C﹣AB1﹣A1B的余弦值．【解答】证明：（1）取CC1的中点O，连接OA，OB1，AC1，∵在平行四边形ABB1A1中，∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴△ACC1，△B1CC1，为正三角形，则AO⊥CC1，OB1⊥C1C，又∵AO∩OB1=O，∴C1C⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1∴AB1⊥CC1；（2）∵∠ABB1=60°，AB=4，AA1=2，C，C1分别为AB，A1B1的中点，∴AC=2，OA=，OB1=，若AB1=，则OA2+OB12=AB12，则三角形AOB1为直角三角形，则AO⊥OB1，以O为原点，以0C，0B1，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B1（0，，0），C1（﹣1，0，0），A（0，0，），则=（﹣2，0，0），则==（﹣2，0，0），=（0，，﹣），=（﹣1，0，﹣），设平面AB 1C 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=﹣，则=（﹣，1，1），设平面A 1B 1A 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则x=0，y=1，即=（0，1，1），则cos ＜，＞===由于二面角C ﹣AB 1﹣A 1是钝二面角，∴二面角C ﹣AB 1﹣A 1的余弦值是﹣．20．如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正三角形PAD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点． （1）求证：PA ∥平面MBD ； （2）求二面角P ﹣BD ﹣A 的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC、BD交于点O，连接OM，推导出PA∥OM，由此能证明PA∥平面BMD．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC、BD交于点O，连接OM．则AO=OC，又PM=MC，∴PA∥OM．∵PA⊄平面BMD，OM⊂平面BMD，∴PA∥平面BMD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，2，2），B（4，0，0），D（0，4，0），=（﹣4，2，2），=（﹣4，4，0），设平面BPD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），平面ABD的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣BD﹣A的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣BD﹣A的余弦值为．21．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）依题意得=，•2a•2b=4，又a2=b2+c2，由此解得a，b．即可得出．（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．分析如下：方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．又点M异于顶点A、B，可得﹣2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．可得•＞0，即可证明．方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差．|BQ|2﹣|MN|2=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2，两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，可得=，化简后可得|BQ|2﹣|MN|2＜0，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题意得=，•2a•2b=4，又a2=b2+c2，由此解得a=2，b=．所以椭圆E的方程为=1．（Ⅱ）点B在以MN为直径的圆内．证明如下：方法1：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x0，y0）．∵M点在椭圆上，∴y02=（4﹣x02）．①又点M异于顶点A、B，∴﹣2＜x0＜2．由P、A、M三点共线可以得P．从而=（x0﹣2，y0），=．∴•=2x0﹣4+=（x02﹣4+3y02）．②将①代入②，化简得•=（2﹣x0）．∵2﹣x0＞0，∴•＞0，于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内．方法2：由（Ⅰ）得A（﹣2，0），B（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），则﹣2＜x1＜2，﹣2＜x2＜2，又MN的中点Q的坐标为，依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差|BQ|2﹣|MN|2=+﹣ [（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2]=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2③直线AP的方程为y=（x+2），直线BP的方程为y=（x﹣2），而两直线AP与BP的交点P在直线x=4上，∴=，即y2=④又点M在椭圆上，则=1，即y12=（4﹣x12）⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得|BQ|2﹣|MN|2=（2﹣x1）（x2﹣2）＜0．22．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K7：抛物线的标准方程．【分析】（1）由已知求得p，则抛物线方程可求；（2）设出椭圆方程，由已知列关于a，b，c的方程组，求得a，b的值，得到椭圆方程，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在时，设正方形第三个顶点坐标为P（0，y0），设出直线方程y=k（x﹣1）（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合求得k值．【解答】解：（1）由题意知，，则p=2，∴抛物线方程为y2=4x；（2）设椭圆方程为，则，解得a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为．若l垂直于x轴，得M（1，﹣），N（1，），，不符合；若l不垂直于x轴，设正方形第三个顶点坐标为P（0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）令l：y=k（x﹣1）（k≠0），代入，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．∴，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，则线段MN的中垂线方程为，∴P（0，）．由，得x1x2+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=0．即（y0≠0），∴，又，∴，解得k=．∴直线l的方程为．2017年5月26日。

高新高三第三次质量检测理科数学试题一、单选题（60分）1．已知集合{}|,{|ln 1}P x y x N Q x x =∈=<，则P Q ⋂=（ ）A. {}012，， B. {}12， C. 02]（， D. ()0e ， 2．若复数521iz i +=-,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为( ) A. []21,2,320x x x ∀∈-+> B. []21,2,320x x x ∀∉-+> C. []20001,2,320x x x ∃-+> D. []20001,2,320x x x ∃∉-+>4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A. B.C. D.5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ）A ．15B ．310 C. 25 D ．356.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）A．．7.记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞ 8. 如图,半径为1的圆O 中,,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．9．在等差数列{}n a 中，10110,0a a ，且1110a a >,则使{}n a 的前n 项和Sn 0<成立的中最大的自然数为 ( ) A. 11 B. 10 C. 19 D. 2010．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ）A. ,,a b c 依次成等差数列B.C. 222,,a b c 依次成等差数列D. 333,,a b c 依次成等差数列11．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*,m n N ∈都有m n m n a a a mn +=++，则122017111a a a +++ 等于（） A.20162017 B. 20172018 C. 40342018 D. 4024201712．如图，在AOB ∆中,90AOB ∠=︒，1,OA OB ==EFG ∆三个顶点分别在AOB ∆的三边上运动，则EFG ∆面积的最小值为（ ）A.B.C.D. 二、填空题13．已知复数z 满足()()211i z i i ++=-（i 为虚数单位），则z =__________．14．已知点()1,2P ，点(),M x y 满足0{20 10x y x y x y -≤+≥+-≤，则OM 在OP方向上的投影的最大值是__________．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，满足123MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．16．已知()12f x x x=+-，若关于x 的方程()231331xxf k ⎛⎫ ⎪-=- ⎪-⎝⎭有两个不同的实数解，则实数k 的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高一（下）第三次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知直线的方程是y+2＝﹣x﹣1，则（）A．直线经过点（2，﹣1），斜率为﹣1B．直线经过点（1，﹣2），斜率为﹣1C．直线经过点（﹣2，﹣1），斜率为1D．直线经过点（﹣1，﹣2），斜率为﹣12．（5分）直线y＝ax+b和y＝bx+a在同一直角坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．3．（5分）与直线y＝2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）A．y＝x+4B．y＝2x+4C．y＝﹣2x+4D．y＝﹣x+4 4．（5分）以点P（2，﹣3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2＝4B．（x+2）2+（y﹣3）2＝9C．（x﹣2）2+（y+3）2＝4D．（x﹣2）2+（y+3）2＝95．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣5＝0，则过点P（1，2）的最短弦所在直线l的方程是（）A．3x+2y﹣7＝0B．2x+y﹣4＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．x﹣2y+3＝0 6．（5分）将直线2x﹣y+λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切，则实数λ的值为（）A．﹣3或7B．﹣2或8C．0或10D．1或117．（5分）已知直线mx+ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A．4和3B．﹣4和3C．﹣4和﹣3D．4和﹣38．（5分）和直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．﹣3x+4y﹣5＝0D．﹣3x+4y+5＝0 9．（5分）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6C．3D．210．（5分）与圆x2+（y+5）2＝9相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）条．A．2B．3C．4D．611．（5分）直线x﹣2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9交于E，F两点，则△EOF（O 是原点）的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）从直线x﹣y+3＝0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．﹣1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）点P（3，4，5）关于原点的对称点是．14．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），则边BC上的中线长为．15．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，点P（0，5），则过P作圆C的切线有且只有条．16．（5分）与直线x+y﹣2＝0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是．三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，70分）17．（10分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．18．（12分）在三棱柱ABO﹣A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2，若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．19．（12分）光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．20．（12分）如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A（1，2），B（4，0），一条河所在的直线方程为l：x+2y﹣10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B 两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？21．（12分）已知△ABC的顶点A为（3，﹣1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y﹣59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10＝0，则BC边所在直线的方程为：．22．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高一（下）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知直线的方程是y+2＝﹣x﹣1，则（）A．直线经过点（2，﹣1），斜率为﹣1B．直线经过点（1，﹣2），斜率为﹣1C．直线经过点（﹣2，﹣1），斜率为1D．直线经过点（﹣1，﹣2），斜率为﹣1【解答】解：直线的方程是y+2＝﹣x﹣1，化为点斜式即：y+2＝﹣（x+1 ），故直线经过点（﹣1，﹣2），斜率为﹣1，故选：D．2．（5分）直线y＝ax+b和y＝bx+a在同一直角坐标系中的图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项错误；B、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y＝bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项不正确；C、对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，则b＜0，y＝bx+a也要经过第二、四象限，所以C选项错误；D、对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y＝bx+a经过第一、三象限，所以D选项正确．故选：D．3．（5分）与直线y＝2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）A．y＝x+4B．y＝2x+4C．y＝﹣2x+4D．y＝﹣x+4【解答】解：直线y＝2x+1的斜率k＝2，则与直线y＝2x+1垂直的直线斜率k＝﹣∵y轴上的截距为4，∴直线过点（0，4）即直线方程为y﹣4＝﹣（x﹣0），即y＝x+4故选：D．4．（5分）以点P（2，﹣3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2＝4B．（x+2）2+（y﹣3）2＝9C．（x﹣2）2+（y+3）2＝4D．（x﹣2）2+（y+3）2＝9【解答】解：设圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝r2，∵圆与y轴相切，∴半径r等于圆心P到y轴的距离，即r＝2因此，圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝4，故选：C．5．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣5＝0，则过点P（1，2）的最短弦所在直线l的方程是（）A．3x+2y﹣7＝0B．2x+y﹣4＝0C．x﹣2y﹣3＝0D．x﹣2y+3＝0【解答】解：根据题意：弦最短时，则圆心与点P的连线与直线l垂直∴圆心为：O（2，0）∴由点斜式整理得直线方程为：x﹣2y+3＝0故选：D．6．（5分）将直线2x﹣y+λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y＝0相切，则实数λ的值为（）A．﹣3或7B．﹣2或8C．0或10D．1或11【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2＝5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x﹣y+λ＝0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ＝0，因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d＝＝r＝，化简得|λ﹣2|＝5，即λ﹣2＝5或λ﹣2＝﹣5，解得λ＝﹣3或7故选：A．7．（5分）已知直线mx+ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A．4和3B．﹣4和3C．﹣4和﹣3D．4和﹣3【解答】解：由题意得＝，n＝﹣3，直线mx+ny+1＝0平行于直线4x+3y+5＝0，∴＝≠，∴m＝﹣4．故选：C．8．（5分）和直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．﹣3x+4y﹣5＝0D．﹣3x+4y+5＝0【解答】解：和直线3x﹣4y+5＝0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5＝0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b＝0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5＝0．故选：B．9．（5分）如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6C．3D．2【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4＝0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|＝2，故选：A．10．（5分）与圆x2+（y+5）2＝9相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）条．A．2B．3C．4D．6【解答】解：若直线过原点，设直线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，则由圆心（0，﹣5）到直线的距离d＝，解得k＝，此时有两条切线，若直线不过原点，设直线方程为，即x+y﹣a＝0，则由圆心到直线的距离d＝，即|a+5|＝，解得a＝±﹣5，此时有两条切线，综上共有4条满足条件的切线，故选：C．11．（5分）直线x﹣2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9交于E，F两点，则△EOF（O 是原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9的圆心为（2，﹣3）∴（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3＝0的距离d＝＝弦长|EF|＝原点到直线的距离d＝∴△EOF的面积为故选：D．12．（5分）从直线x﹣y+3＝0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．﹣1【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，圆心为C（2，2），半径为1，如图，直线x﹣y+3＝0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7＝0引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，|PC|＝．∴切线长的最小值为．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）点P（3，4，5）关于原点的对称点是（﹣3，﹣4，﹣5）．【解答】解：∵点P（3，4，5）与P′（x，y，z）的中点为坐标原点，∴P′点的坐标为（﹣3，﹣4，﹣5）．故答案为：（﹣3，﹣4，﹣5）．14．（5分）已知△ABC的三个顶点为A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），则边BC上的中线长为2．【解答】解：∵A（1，﹣2，5），B（﹣1，0，1），C（3，﹣4，5），∴BC的中点为D（1，﹣2，3），∴|AD|＝＝2．故答案为：2．15．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4，点P（0，5），则过P作圆C的切线有且只有两条．【解答】解：由圆的方程得：C（1，﹣2），r＝2，∵|PC|＝＝5＞r＝2，∴点P在圆C外，则过P作圆C的切线有两条．故答案为：两16．（5分）与直线x+y﹣2＝0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2＝18，其圆心到直线x+y﹣2＝0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y＝x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2．三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，70分）17．（10分）已知直线2x+（t﹣2）y+3﹣2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：（1）过点（1，1）；（2）直线在y轴上的截距为﹣3．【解答】解：（1）过点（1，1），所以当x＝1，y＝1时，2+t﹣2+3﹣2t＝0，解得：t＝3；（2）直线在y轴上的截距为﹣3，所以过点（0，﹣3），故﹣3（t﹣2）+3﹣2t＝0，解得：t＝．18．（12分）在三棱柱ABO﹣A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2，若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．【解答】解：如图：由题意三棱柱ABO﹣A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2，C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．可知：就是三角形BCB′的底边BB′上的高，由题意BO⊥平面AOO′A′，作CF⊥AO于F，F为AO的中点．BC＝＝＝，B′C＝＝＝，可得三角形BCB′是等腰三角形，底边BB′上的高为|EC|最小值：．19．（12分）光线从A（﹣3，4）点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过D（﹣1，6）点，求直线BC的方程．【解答】解：如图所示，由题设，点B在原点O的左侧，根据物理学知识，直线BC一定过（﹣1，6）关于y轴的对称点（1，6），直线AB一定过（1，6）关于x轴的对称点（1，﹣6）且k AB＝k CD，∴k AB＝k CD＝＝﹣．∴AB方程为y﹣4＝﹣（x+3）．令y＝0，得x＝﹣，∴B（，0）CD方程为y﹣6＝﹣（x+1）．令x＝0，得y＝，∴C（0，）∴BC的方程为+＝1，故得BC的一般方程为：5x﹣2y+7＝0．20．（12分）如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A（1，2），B（4，0），一条河所在的直线方程为l：x+2y﹣10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B 两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？【解答】解：过A作直线l的对称点A′，连A′B交l于P，∵|AP′|+|P′B|＝|A′P′|+|BP′|＞|A′B|，∴P点即为所求．设A′（a，b），则，即，解得a＝3，b＝6，即A′（3，6），∴直线A′B的方程为，即6x+y﹣24＝0，由，解得x＝，y＝，即P（，），故供水站P应建在P（，），才能使管道最省．21．（12分）已知△ABC的顶点A为（3，﹣1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y﹣59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x﹣4y+10＝0，则BC边所在直线的方程为：2x+9y ﹣65＝0．【解答】解：设点B坐标为（m，n），∵B在∠B的平分线BD所在直线上，∴n＝（m+10）解得：B（m，（m+10））从而AB中点（（m+3），（m+6））∵AB的中点在中线6x+10y﹣59＝0 上∴3（m+3）+（m+6）﹣59＝0，解之得m＝10由此可得：B的坐标为（10，5）∴AB斜率k AB＝＝由＝，得＝，解之得k BC＝﹣∴直线BC方程的方程为：y﹣5＝﹣（x﹣10），化简得2x+9y﹣65＝0．22．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．【解答】解：点A为y＝0与x﹣2y+1＝0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB＝＝1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y＝0，∴k AC＝﹣1．∴直线AC的方程是y＝﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1＝0垂直，∴k BC＝﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2＝﹣2（x﹣1）．由y＝﹣x﹣1，y＝﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（5分）若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）A．2B．﹣1C．5D．2．（5分）下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0B．命题“若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0C．“”是“”的必要而不充分条件D．命题“cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题是真命题3．（5分）下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“∃x0∈R，x02＞1”的否定是“∀x∈R，x2＞1”C．命题“x≤1是x2+2x﹣3≤0的必要不充分条件”为假命题D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题5．（5分）（1﹣）（1+x）5的展开式中项x3的系数为（）A．7B．8C．10D．56．（5分）如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）＝sin x和余弦曲线g（x）＝cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝ax7+bx+﹣2，若f（2006）＝10，则f（﹣2006）的值为（）A．10B．﹣10C．﹣14D．无法确定8．（5分）函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，若f（a）≥f （2），则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤﹣2或a≥2C．a≥﹣2D．﹣2≤a≤2 9．（5分）若0＜a＜1，且函数f（x）＝|log a x|，则下列各式中成立的是（）A．f（2）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（2）＞f（）C．f（）＞f（2）＞f（）D．f（）＞f（）＞f（2）10．（5分）已知函数y＝﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知点P在曲线y＝上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）12．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若∠OFP＝120°，S△POF＝（）A．B．2C．或D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）曲线y＝4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是．14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（3，100），且P（ξ≤5）＝0.84，则P（1≤ξ≤5）＝．15．（5分）在（x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为（用数字作答）．16．（5分）若规定E＝{a 1，a2，…，a10}的子集{，，…，a k}为E的第k个子集，其中，则E的第211个子集是．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8在x＝1及x＝2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线f（x）在x＝0处的切线方程．18．（12分）用反证法证明：如果，那么x2+2x﹣1≠0．19．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB＝3，AD＝2，求二面角E﹣AG﹣C的大小．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若对于任意x∈R，都有f（x）≥k﹣g（x）恒成立，求k的取值范围．21．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a＝﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．22．（10分）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.）1．【解答】解：复数z的共轭复数，可得z＝2﹣i，则|z|＝＝．故选：D．2．【解答】解：对于A，“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1≥0，命题A错误；对于B，“若x＝3，则x2﹣2x﹣3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0，命题B 正确；对于C，时，，充分性成立；时，α＝kπ+或α＝kπ+，k∈Z，必要性不成立；是充分不必要条件，命题B错误；对于D，命题“cos x＝cos y，则x＝y”是假命题，则它的逆否命题也是假命题，∴命题D错误．故选：B．3．【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，∴①错误；对于②，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均减少3个单位，∴②错误；对于③，线性回归方程必经过样本中心点，∴③正确；对于④，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，∴④错误．综上，错误的命题个数是3．故选：D．4．【解答】解：对于A，命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A对于B，命题“∃x0∈R，x02＞1”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；对于C，x≤1时，x2+2x﹣3≤0不一定成立，即充分性不成立；x2+2x﹣3≤0时，﹣3≤x≤1，即x≤1成立，必要性成立，所以“x≤1是x2+2x﹣3≤0的必要不充分条件”，故C错误；对于D，命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为“若cos x＝cos y，则x＝y”，它是假命题，故D正确．故选：D．5．【解答】解：（1﹣）（1+x）5＝（1﹣）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），所以展开式中含x3的项的系数为：10﹣5＝5．故选：D．6．【解答】解根据题意，可得曲线y＝sin x与y＝cos x围成的区域，其面积为（sin x﹣cos x）dx＝（﹣cos x﹣sin x）＝1﹣（﹣）＝1+；又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选：B．7．【解答】解：∵函数f（x）＝ax7+bx+﹣2，f（2006）＝10，∴f（2016）＝a×20167+b×2016+﹣2＝10，∴a×20167+b×2016+＝12，∴f（﹣2016）＝﹣2＝﹣（a×20167+b×2016+）﹣2＝﹣12﹣2＝﹣14．故选：C．8．【解答】解：∵函数y＝f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是减函数，∴函数在区间（0，+∞）上是增函数∵f（a）≥f（2），∴a≤﹣2或a≥2故选：B．9．【解答】解：∵0＜a＜1∴f（2）＝|log a2|＝|﹣log a||＝log af（）＝|log a|＝log af（）＝|log a|＝log a，∵0＜a＜1，函数f（x）＝log a x，在（0，+∞）上是减函数，∴f（）＞f（）＞f（2）故选：D．10．【解答】解：由函数y＝﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y＝f（x）的图象可能是B，故选：B．11．【解答】解：因为y＝上的导数为y′＝﹣＝﹣，∵e x+e﹣x≥2＝2，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴π≤α＜π．即α的取值范围是[π，π）．故选：D．12．【解答】解：由抛物线方程y2＝4x得：抛物线的焦点F（1，0），由∠OFP＝120°，可得FP所在直线的斜率为，∴直线FP所在直线方程为y＝（x﹣1），联立，解得或x＝3．结合题意可得x P＝3，∴，∴S△POF＝×|0F|×2＝．故选：A．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．【解答】解：∵y＝4x﹣x3，∴f'（x）＝4﹣3x2，当x＝﹣1时，f'（﹣1）＝1得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线方程为：y+3＝1×（x+1），即x﹣y﹣2＝0．故答案为：x﹣y﹣2＝0．14．【解答】解：P（3≤ξ≤5）＝P（ξ≤5）﹣P（ξ≤3）＝0.84﹣0.5＝0.34，∴P（1≤ξ≤5）＝2P（3≤ξ≤5）＝0.68．故答案为：0.68．15．【解答】解：，令所以r＝2，所以x2的系数为（﹣2）2C52＝40．故答案为4016．【解答】解：∵27＝128＜211，而28＝256＞211，∴E的第211个子集包含a8，此时211﹣128＝83，∵26＝64＜83，27＝128＞83，∴E的第211个子集包含a7，此时83﹣64＝19，∵24＝16＜19，25＝32＞19，∴E的第211个子集包含a5，此时19﹣16＝3∵21＜3，22＝4＞3，∴E的第211个子集包含a2，此时3﹣2＝1，20＝1，∴E的第211个子集包含a1．∴E的第211个子集是{a1，a2，a5，a7，a8}；故答案为：{a1，a2，a5，a7，a8}．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，∴f′（x）＝6x2+6ax+3b，∵函数f（x）在x＝1及x＝2取得极值，∴f′（1）＝0，f′（2）＝0．即，解得a＝﹣3，b＝4；（2）由（1）得f（x）＝2x3﹣9x2+12x+8，f′（x）＝6x2﹣18x+12，∴f（0）＝0，f′（0）＝12．∴切线的斜率k＝12．切点为（0，8）由直线方程的点斜式得切线方程为：y﹣8＝12x，即12x﹣y+8＝0．18．【解答】证明：假设x2+2x﹣1＝0，则x＝﹣1±，要证：，只需证：，只需证：上式显然成立，故有．而﹣1﹣，综上，﹣1+，﹣1﹣，都与已知相矛盾，因此假设不成立，也即原命题成立．19．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP，…（2分）又BP⊂平面ABP，…（3分）所以BE⊥BP，又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°…（4分）（Ⅱ）以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A（0，0，3）E（2，0，0），，，故，，，…（6分）设＝（x1，y1，z1）是平面AEG的一个法向量．由，得，取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量＝（3，﹣，2）．…（8分）设＝（x2，y2，z2）是平面ACG的一个法向量．由，得，取z2＝﹣2，可得平面ACG的一个法向量＝（3，﹣，﹣2）．…（10分）所以cos＜＞＝＝．因此二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）＝2，g（0）＝2，f′（0）＝4，g′（0）＝4，而f′（x）＝2x+a，g′（x）＝e x（cx+d+c），故b＝2，d＝2，a＝4，d+c＝4，从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）＝x2+4x+2，g（x）＝2e x（x+1），由f（x）≥k﹣g（x）恒成立得f（x）+g（x）≥k恒成立，设F（x）＝f（x）+g（x）＝2e x（x+1）+x2+4x+2，则F′（x）＝2e x（x+2）+2x+4＝2（x+2）（e x+1），由F′（x）＞0得x＞﹣2，由F′（x）＜0得x＜﹣2，即当x＝﹣2时，F（x）取得极小值，同时也是最小值，此时F（﹣2）＝2e﹣2（﹣2+1）+（﹣2）2+4×（﹣2）+2＝﹣2e﹣2﹣2，则k≤﹣2e﹣2﹣2．21．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2＝1；a＝﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d＝＝，φ满足tanφ＝，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|＝|5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．22．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x＝的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x＝，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．。

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）设复数z满足z+i＝3﹣i，则＝（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）函数的定义域是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．165．（5分）观察如表：则f[g（3）﹣f（﹣1）]＝（）A．3B．4C．﹣3D．56．（5分）观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A．B．C．D．7．（5分）下面几种推理中是演绎推理的是（）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为a n＝2n+3C．由正三角形的性质得出正四面体的性质D．半径为r的圆的面积S＝π•r2，则单位圆的面积S＝π8．（5分）已知函数f（x）＝lg，若f（a）＝b，则f（﹣a）等于（）A．b B．﹣b C．D．9．（5分）双曲线（mn≠0）离心率为，其中一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．18D．2710．（5分）如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠P AB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是（）A．双曲线的一支B．抛物线的一部分C．圆D．椭圆11．（5分）设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A．B．2C．1D．条件不够，不能确定12．（5分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的图象如图，则函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，1）C．（﹣2，4）D．（1，+∞）二、填空题（20分）13．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是．14．（5分）在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后，变为曲线C′：（x′﹣5）2+（y′+6）2＝1．则曲线C的周长为．15．（5分）函数y＝ax3﹣1在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知F1、F2是某等轴双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则以F1、F2为焦点且经过点P的椭圆的离心率是．三、解答题（70分）17．（10分）解答下面两个问题：（Ⅰ）已知复数，其共轭复数为，求；（Ⅱ）复数z 1＝2a+1+（1+a2）i，z2＝1﹣a+（3﹣a）i，a∈R，若是实数，求a的值．18．（12分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么数学就没有什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩如表（1）求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程＝x+a（精确到0.1），若某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的五位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛，求选出的学生的数学成绩至少有一位高于120﹣分的概率．（参考公式：＝，＝﹣b）（参考数据：902+852+742+682+632＝29394）90×130+85×125+74×110+68×95+63×90＝42595）19．（12分）已知函数（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若，且关于x的方程在[1，4]恰有两个不相等的实数根，求b 的取值范围．20．（12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用的试验，其中甲班为实验班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用试题测试的平均成绩（均取整数）如表所示：现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀．（1）试分析估计两个班级的优秀率；（2）由以上统计列出2×2列联表．21．（12分）设函数f（x）＝ln（x+1）+a（x2﹣x），a≥0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．22．（12分）已知函数，．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）在x∈[1，e2]时的最值（参考数据：e2≈7.4）；（Ⅱ）若∀x∈（0，+∞），有f（x）+g（x）≤0恒成立，求实数a的值．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高新部高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．【解答】解：∵复数z满足z+i＝3﹣i，∴z＝3﹣2i，∴＝3+2i，故选：C．3．【解答】解：∵函数，∴2x﹣1＞0，且x＞1．解得x＞1，故函数的定义域为{x|x＞1}，故选：B．4．【解答】解：第1次判断后S＝1，k＝1，第2次判断后S＝2，k＝2，第3次判断后S＝8，k＝3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．5．【解答】解：由题意，得：g（3）＝﹣4，f（﹣1）＝﹣1，g（3）﹣f（﹣1）＝﹣4+1＝﹣3，∴f[g（3）﹣f（﹣1）]＝f（﹣3）＝5．故选：D．6．【解答】解：观察已知的8个图象，每一行每一列变化都得有两个阴影的、三个不同形状的，根据这些规律观察四个答案，发现A符合要求．故选：A．7．【解答】解：选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，选项B，是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，选项C：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，选项D半径为r圆的面积S＝πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S＝π中，半径为r圆的面积S＝πr2，是大前提单位圆的半径为1，是小前提单位圆的面积S＝π为结论．故选：D．8．【解答】解：由＞0，得﹣1＜x＜1，f（﹣x）＝lg＝lg＝lg lg，∴f（x）是奇函数，∴f（﹣a）＝﹣f（a）＝﹣b．故选：B．9．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝12x的焦点为（3，0），则双曲线的一个焦点也为（3，0），对于双曲线有c2＝m+n＝9，且m＞0，n＞0，又由双曲线（mn≠0）离心率为，则有＝，即＝3，解可得m＝3，n＝6，故mn＝18；故选：C．10．【解答】解：由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成45°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆．故选：D．11．【解答】解：根据题意，设A的坐标（﹣m，0），D的坐标为（﹣m，n），则B（m，0），D（m，n）；则|DB|＝，在椭圆中，c＝m，2a＝|AD|+|BD|＝n+，其离心率e1＝＝，在双曲线中，c＝m，2a＝|DB|﹣|AD|＝﹣n，其离心率e2＝＝，椭圆和双曲线的离心率之积e1×e2＝×＝＝1；故选：C．12．【解答】解：∵f（x）＝x3+bx2+cx+d，∴f′（x）＝3x2+2bx+c，∴，由图可知f′（﹣2）＝f（3）＝0，∴解得，∵y＝log2（x2+bx+）═log2（x2﹣x﹣6），令g（x）＝x2﹣x﹣6＝（x+2）•（x﹣3）．本题即求当g（x）＞0时，g（x）的减区间．由二次函数的性质可得当g（x）＞0时，g（x）的减区间为（﹣∞，﹣2），故选：A．二、填空题（20分）13．【解答】解：由题意可知∴p＝∴焦点坐标为故答案为14．【解答】解：根据题意，曲线C经过伸缩变换后，变为曲线C′：（x′﹣5）2+（y′+6）2＝1，则有（2x﹣5）2+（2y+6）2＝1，即曲线C的方程为：（x﹣）2+（y+3）2＝，为半径为的圆，其周长l＝2π（）＝π，故答案为：π．15．【解答】解：y′＝3ax2，若函数在R递减，则3ax2≤0，故a≤0，而a＝0时，y＝﹣1，函数不是减函数，故a＜0，故答案为：（﹣∞，0）．16．【解答】解：由题意可设双曲线方程为x2﹣y2＝1，∴a2＝b2＝1，c2＝a2+b2＝2，可得|F1F2|＝2，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝8，又∵P为双曲线x2﹣y2＝1上一点，∴||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，∴（|PF1|﹣|PF2|）2＝4，因此（|PF1|+|PF2|）2＝2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2＝12∴|PF1|+|PF2|的值为2，∴以F1，F2为焦点且经过P的椭圆的离心率为＝．故答案为：．三、解答题（70分）17．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴．∴．，∴＝；（Ⅱ）∵是实数，∴a2+a﹣2＝0，解得a＝1，或a＝﹣2，故a＝1，或a＝﹣2．18．【解答】解：（1）根据表中数据计算＝×（90+85+74+68+63）＝76，＝×（130+125+110+95+90）＝110，＝902+852+742+682+632＝29394，x i y i＝90×130+85×125+74×110+68×95+63×90＝42595，＝＝＝≈1.5，＝﹣＝110﹣1.5×76＝﹣4；∴x、y的线性回归方程是＝1.5x﹣4，当x＝80时，＝1.5×80﹣4＝116，即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116；（2）抽取的五位学生中成绩高于120分的有2人，记为A、B，另外3名记为c、d、e，从这5人中随机抽取2人，基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10种，选出的学生的数学成绩至少有一位高于120分的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共7种，故所求的概率为P＝．19．【解答】解：（1）f'（x）＝﹣（x＞0），依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤在x＞0恒成立，即a≤[（﹣1）2﹣1]min，x＞0，当x＝1时，（﹣1）2﹣1取最小值﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；（2）a＝﹣，f（x）＝﹣x+b，∴x2﹣x+lnx﹣b＝0设g（x）＝x2﹣x+lnx﹣b（x＞0）则g'（x）＝，列表：∴g（x）极小值＝g（2）＝ln2﹣b﹣2，g（x）极大值＝g（1）＝﹣b﹣，又g（4）＝2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣．20．【解答】解：（1）由题意，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，∴甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．（2）根据题意做出列联表21．【解答】解：（1）函数的定义域是（﹣1，+∞），a＝1时，f（x）＝ln（x+1）+x2﹣x，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞﹣，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣，得：f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，0）递减，在（0，+∞）递增，∴x＝﹣时，f（x）取得极大值f（﹣）＝﹣ln2，x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝0；（2）f′（x）＝，令g（x）＝2ax2+ax+1﹣a＝2a（x+）2+1﹣，①若1﹣≥0，即0≤a≤，则g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，从而f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，而f（0）＝0，∴0≤a≤符合题意；②若1﹣＜0，即a＞，由于g（﹣1）＝1＞0，g（1）＝2a+1＞0，则g（x）在（﹣1，+∞）有2个零点，从而函数f（x）在（﹣1，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜﹣＜x2，（i）当≤a≤1时，∵g（0）≥0，可知x≥0时，f′（x）≥0恒成立，x＞0时，f（x）＞f（0）＝0成立，（ii）a＞1时，g（0）＜0，可知f（x）在（0，x2）递减，∵f（0）＝0，故不能满足题意，综上a∈[0，1]．22．【解答】解：（Ⅰ）∵当a＝2时，，∴，x＞0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，得﹣1＜x＜2，当2＜x＜e2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在[1，2]为增函数，在[2，e2]为减函数．∴f（x）max＝f（2）＝2ln2．．（Ⅱ）令h（x）＝f（x）+g（x）＝alnx﹣x+1，则，（1）当a≤0时，h（x）在（0，+∞）上为减函数，而h（1）＝0，∴h（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立，因此a≤0不满足条件．（2）当a＞0时，h（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（a）＝alna﹣a+1．∵h（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）max≤0．即alna﹣a+1≤0．令g（a）＝alna﹣a+1，（a＞0），则g'（a）＝lna，∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴g（a）min＝g（1）＝0，故a＝1．。