10-6 第二类曲面积分

第10章课后习题详解 曲线积分与曲面积分例题分析★★1. 计算ds y x L⎰+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。

知识点：第一类曲线积分.思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分.解： 如图L OA =AB +BO +则=+⎰ds y x L)(⎰+OA(⎰+AB⎰+BOds y x ))(10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1，2121)0()(1021==+=+∴⎰⎰x dx x ds y x OA10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=， 2221)(1010==⋅=+∴⎰⎰x dx ds y x AB注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(12121)0()(1021==+=+∴⎰⎰y dy y ds y x BO2121221)(+=++=+⎰ds y x L. 注：1)⎰⎰+=+BAABds y x ds y x )()(，⎰⎰+=+OBBOds y x ds y x )()(对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大. 2)对AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对x （或对y ）的定积分.★★2.计算⎰L yds ，其中L 为圆周4)2(222a a y x =-+.知识点：第一类曲线积分.思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a rθθθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()(θθ2sin sin a r y ==∴22020222212212sin 2sin a a d aad a yds Lππθθθθππ=⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰.★3. 计算曲线积分⎰Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,应于t 从0到2的一段弧.知识点：第一类曲线积分.思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=∴原式=dt e dt e e tt t-⎰⎰=+⋅2222t 2331e 1)1(2323220---=-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分⎰Γ++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线。

第二类曲面积分计算方法曲面积分是计算曲面上某一物理量总量的一种数学方法，可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

在第一类曲面积分中，被积函数与曲面切向量的点积构成的积分称为第一类曲面积分；而在第二类曲面积分中，被积函数是曲面上的一种标量函数或矢量场，用来描述场量沿曲面的流量，即曲面流量。

下面将介绍第二类曲面积分的计算方法。

第二类曲面积分的计算需要首先确定曲面的参数方程，根据参数方程求得曲面切向量和曲面元素面积。

然后根据被积函数，将其寻找最合适的表示方式，可以是标量函数或者矢量场。

最后根据积分的定义，将函数乘以曲面元素面积并对整个曲面进行积分，即可求得第二类曲面积分的结果。

对于标量函数的第二类曲面积分，需要将被积函数表示为曲面法向量和曲面切向量的点积形式。

例如，对于一个平面区域上的标量场函数 f(x,y)，其第二类曲面积分的计算可以表示为：∫∫f(x,y)·dS其中，dS表示曲面元素面积，可以表示为：dS = ||r_x × r_y||dxdy其中，r_x 和 r_y 分别是曲面参数方程的偏导数。

对于矢量场的第二类曲面积分，需要先将矢量场表示为矢量形式，然后将其与曲面法向量进行点积。

例如，对于一个平面区域上的矢量场 F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))，其第二类曲面积分的计算可以表示为：∫∫F(x,y)·n·dS其中，n表示曲面法向量，可以表示为：n = r_x × r_y同样，曲面元素面积 dS 可以表示为：dS = ||r_x × r_y||dxdy这样就能够得到矢量场的第二类曲面积分计算公式。

在实际问题中，第二类曲面积分的应用非常广泛，例如在流体力学、电磁学、热力学等领域中，均需要涉及到曲面积分的计算。

因此，掌握曲面积分的物理意义和计算方法，对于工程、科学和应用数学领域的从业人员具有重要的指导意义。

§11.3 第二类曲面积分一、第二类曲面积分的定义二、第二类曲面积分的计算三、第二类曲面积分的性质一、第二类曲面积分的定义• 曲面分两类莫比乌斯带上侧和下侧内侧和外侧左侧和右侧其方向可用法向量•指定了侧的双侧曲面叫做有向曲面反映双侧曲面单侧曲面引例1) 分割：任意分Σ为n 片小曲面nS S S ∆∆∆,,,21 2) 近似：任取k k k k S ∆ζηξ∈),,(3) 求和：4) 取极限：{})(max 1k nk S D ∆λ≤≤=其中设稳定不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . ∑n VkS ∆nkS ∆则对有向曲面的面元△S ,==α∆∆cos )(S S yz 定义(称为△S 在yz 面的投影),)(yz σ∆,)(yz σ∆-,0时（称为前侧）当0cos >α时（称为后侧）当0cos <α时当0cos ≡α有向曲面面元投影的规定==β∆∆cos )(S S zx (称为△S 在zx 面的投影),)(zx σ∆,)(zx σ∆-,0时（称为右侧）当0cos >β时（称为左侧）当0cos <β时当0cos ≡β==γ∆∆cos )(S S xy (称为△S 在xy 面的投影),)(xy σ∆,)(xy σ∆-,0时（称为上侧）当0cos >γ时（称为下侧）当0cos <γ时当0cos ≡γ其中分别为△S 在相应坐标面上投影的面积xy zx yz )(,)(,)(σ∆σ∆σ∆设向曲面 的单位法向量为积分定义[]∑=→++=nk kk k k k k k k k k kkkS R Q P 1cos ),,(cos ),,(cos ),,(lim∆γζηξβζηξαζηξλ⎰⎰⋅∑Sz y x n z y x V d ),,(),,(0⎰⎰++∑y x z y x R z x z y x Q z y z y x P d d ),,(d d ),,(d d ),,([]⎰⎰++∑γβαS z y x R z y x Q z y x P d cos ),,(cos ),,(cos ),,([]∑=→++=nk xy k k k k xz k k k k yz k kkkS R S Q S P 1))(,,())(,,())(,,(lim∆ζηξ∆ζηξ∆ζηξλ[]∑=→±=nk yzk kkkkx P 1)(,),,(lim σ∆ζηζηλ⎰⎰±yzD z y z y z y x P d d ],),,([[]∑=→±nk zxk k k k k y Q 10)(),,(,lim σ∆ζξζξλ⎰⎰±zxD x z z x z y x Q d d ]),,(,[[]∑=→±n k xyk k k k k z R 1)(),(,,limσ∆ηξηξλ⎰⎰±xyD y x y x z y x R d d )],(,,[记作记作记作第二类曲面积分记作),(:z y x x =∑yzDz y ∈),(zxDx z ∈),(),(:x z y y =∑),(:y x z z =∑xyD y x ∈),(第一类面积分向量型第一类面积分二重积分（前+后-）（右+左-）（上+下-）。

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧•由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用2预备知识2. 1第二型曲面积分的概念2.1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 )的速度为v v v vv(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x,y,z)j R(x, y,z)k,刀是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面刀一侧流向另一侧的流量若为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量v v v vn cos i cos j cosk则v v vS v cos S v n.若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量(1) 分割将任意分成小块S i(i 1,2…,n), S同时代表其面积•M i( i, i, i) S 以点M j处的流速v i v(M i)和单位法向量^分别代替(2) 近似S i 上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过S i指定侧的流量的近似值：v vS i v i n i (i 1,2,…,n).(3) 求和n v vV i n i S ii 1(4) 取极限n v v设T| i吧｛ S的直径｝,则=常。

第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法,分项投影法,高斯公式，Stokes公式，积1数学知识面广,掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前,体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2.1。

1流量问题（物理背景）设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，而流速v 是常向量量cos cos cos n i j k αβ=++为曲面，流速v 不是常向量,则用下面的方法计算流量任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积。

，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i 上其他各点处的流速和单位法向量,得到流过i 定侧的流量的近似值： （3）求和 （4)取极限2.1。

2定义.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.S xy i i i S xoy S z ∆在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,.S xy i i xoy S ∆他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)i i i ξηζ。

若lim1T ni P →=∑,(,)i iiξηζyziS ∆0lim1T ni Q →=+∑,(,)i iiξηζzxi S∆0lim1T ni R →=+∑,(,)i iiξηζxyiS ∆存在，或者2v 在定向的光滑曲面取相反侧的曲面，则v 在S -上的且成立SSv ndS v ndS -⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰.注意这个等式两边的n 是方向相反的线性性)若i Sdzdx R dxdy +⎰⎰(1,2,k i =…，)存在，1()k i ii c Q dzdx =+∑2k ⋯，，，）是常数性质3（曲面可加性)若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且 存在，则有2.3第二型曲面积分的数量表达式记{cos ,cos ,cos }{,,}dS n dS dS dS dS dydz dzdx dxdy αβγ=⋅==，称dS 为曲面 从而SSA ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰.即(,,)S SA x y z ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰，dydz 是dS 在yoz 面上的投影；dzdx 是dS 在zox 面上的投影;dxdy 在dS 在xoy 面上的投S⎰⎰S⎰⎰S⎰⎰cos i xyi S γi 与z 轴正向的交角，它是定义在xyi S 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以γ是锐角.又由S 是光滑的,所以cos γ在闭区域xy i S 上连续。

第二类曲面积分的计算方法Ξ柴春红　何率天　(空军第一航空学院数学教研室　河南信阳　464000)摘要　利用两类曲面积分的联系、分面投影法、合一投影法和高斯公式解答一个第二类曲面积分的题目关键词　曲面积分 中图分类号　O172.2第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)是高等数学学习中的难点,许多学员对求解这一类型题感到相当困难1下面针对一道例题(同济大学出版的高等数学(第四版)第202页例3)给出四种不同的求解方法。

例题　计算曲面积分κ∑(z 2+x )d y d z -z d x d y ,其中∑是旋转抛物面z =12(x 2+y 2)介于平面z =0及z =2之间的部分的下侧。

方法一　利用两类曲面积分的联系κ∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y =κ∑(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S (1)其中cos α,cos β,cos γ是有向曲面∑上点(x ,y ,z )处的法向量的方向余弦。

解 n ={x ,y ,-1}, n 0={cos α,cos β,cos γ}=x1+x 2+y 2,y1+x 2+y 2,-11+x 2+y 2κ∑(z 2+x )d y d z -z d x d y =κ∑(z 2+x )·x1+x 2+y2-z ·-11+x 2+y 2d S =κ∑z 2x +x 2+z1+x 2+y2d S =κ∑x 2+z1+x 2+y2d S =κDx 2+12(x 2+y 2)1+x 2+y 2·1+x 2+y 2d x d y =κDx 2+12(x 2+y 2)d x d y =∫2π0d θ∫20r 2cos 2θ+r 22rdr =8π方法二　分面投影法如果∑由z =z (x ,y )给出,则κ∑R (x ,y ,z )d x d y =±κDxyR [x ,y ,z (x ,y )]d x d y(2)如果∑由x =y (y ,z )给出,则κ∑P (x ,y ,z )d y d z =±κDyzP[x (y ,z ),y ,z )]d y d z(3)如果∑由y =y (z ,x )给出,则κ∑Q (x ,y ,z )d z d x =±κDz xQ [x ,y (z ,x ),z ]d z d x (4)等式右端的符号这样决定:如果积分曲面∑是由方程z =z (x ,y )(x =x (y ,z ),y =y (z ,x ))23高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA THEMA TICS Vol.7,No.2Mar.,2004Ξ收稿日期:2002-09-13所给出的曲面上(前、右)侧,应取正号;反之,如果积分曲面∑是由方程z =z (x ,y )(x =x (y ,z ),y =y (z ,x ))所给出的曲面下(后,左)侧,应取负号。