2019届人教A版(文科数学)椭圆、双曲线、抛物线单元测试

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高考达标检测（四十二） 圆锥曲线的综合问题—-最值、范围、证明问题1．已知A ，B 分别是椭圆C :错误!＋错误!＝1（a >b 〉0)的长轴与短轴的一个端点，F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，D 是椭圆上的一点，△DF 1F 2的周长为6，｜AB ｜＝7.(1）求椭圆C 的方程；(2)若P 是圆x 2＋y 2＝7上任一点,过点P 作椭圆C 的切线，切点分别为M ，N ，求证：PM ⊥PN 。

解：（1）由△DF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6,由|AB |＝错误!，得a 2＋b 2＝7,又b 2＋c 2＝a 2，∴a ＝2，b ＝3，c ＝1。

故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1。

（2）证明:①当切线PM 的斜率不存在或为零时，此时取P (2，错误!）,显然直线PN :y ＝错误!与直线PM :x ＝2恰是椭圆的两条切线．由圆及椭圆的对称性，可知PM ⊥PN .②当切线PM ，PN 斜率存在且不为零时，设切线PM 的方程为y ＝k 1x ＋m ， PN 的方程为y ＝k 2x ＋t ，P （x 0，y 0）（x 0≠±2)，由错误!消去y ，得（4k 错误!＋3)x 2＋8k 1mx ＋4(m 2－3)＝0，∵PM 与椭圆C 相切,∴Δ＝64k 错误!m 2－16（4k 错误!＋3）（m 2－3）＝0，∴m 2＝4k 错误!＋3。

椭圆及其标准方程测评练习班级： 姓名：一、基础练习1．椭圆的两个焦点分别为()18,0F -、()28,0F ，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A ．22136100x y +=B ．22110036x y +=C ．221400336x y +=D ．2212012x y += 2．已知椭圆2221(0)25x y m m+=>的左焦点为1(4,0)F ，则m （ ） A ． B ． C ． D ．3.已知121022=-+-m x m y 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是________ 4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是______________．5．已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F △的周长等于为_____________6．若ABC ∆的两个顶点坐标分别为()3,0A -，()3,0B ，ABC ∆的周长为18。

则顶点C 满足的一个方程是（ ）A ．()2210369x y y +=≠B ．()2210936x y y +=≠ C ．()22103627y x y +=≠ D ．()22103627x y y +=≠二、拓展提高7．已知椭圆221259x y +=，12,F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则||ON 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于,A B 两点，则AF BF +的值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．9．已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，4(1,)3A ，则||||PA PF +的最小值为（ ）A ．103B ．113C ．4D ．133 10．已知椭圆22134x y +=的两个焦点1F ，2F ，M 是椭圆上一点，121MF MF -=，则12MF F ∆是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形11．已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A ．22162x y +=B ．22184x y +=C ．22182x y += D ．2212016x y +=。

高三数学（双曲线）复习检测试题 (附参考答案)一。

选择题1．双曲线22154x y -=-的离心率为( )A． B． C ．23 D ．322．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A221412x y -= B 221124x y -= C.221106x y -= D.221610x y -= 3.已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ）（A ）23（B ）23 （C ）26（D ）3324.设F 1和F 2为双曲线-42x y 2＝1两个焦点，点P 在双曲线上，满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．25C ．2D ．5 5.已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ） （A（B（C ）65 （D ）566.若椭圆154116252222=-=+y x y x 和双曲线的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为（ ） A.221B.84C.3D.21 7.已知点(2,0),(3,0)A B -,动点(,)P x y 满足26PA PB x ⋅=-,则点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线8.（北京3）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.（福建12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]10.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）（A ）43 （B ）53 （C （D 11.（全国Ⅱ11）设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12.如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+二。

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．（汇编年高考江西卷（文））已知点A(2,0),抛物线C:x 2
=4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|:|MN|=
（ ） A ．2: B ．1:2 C ．1: D ．1:3 2．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））已知04π
θ<<,则双曲线22
122:1cos sin x y C θθ-=与22
2222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 （ ）
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等 3．（汇编全国卷2文数）（12）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =（ ）。

2019高考数学真题汇编 椭圆 双曲线 抛物线一．选择题2019全国Ⅱ卷理8若抛物线px y 22=（p>0）是1322=+p y p x 的一个焦点，则P_______ A. 2 B. 3 C. 4 D.82019全国Ⅱ卷理11设F 为双曲线C ：12222=-by a x （a>0,b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222a y x =+交于P,Q 两点，若OF PQ =,则C 的离心率______A. 2B. 3C. 2D.52019全国Ⅲ卷理10双曲线C ：12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若PF PO =,则△PFO 的面积为______A. 423B. 223 C. 22 D.232019全国Ⅲ卷文10已知F 为双曲线C:15422=-y x 的一个焦点,P 点在C 上，O 为坐标原点，△OPF 的面积为______ A.23 B. 25 C. 27 D.29 2019全国Ⅰ卷理10已知椭圆C 的焦点1F (-1,0) ,2F (1,0),过1F 的直线与C 交于A,B 两点.若122,2BF AB B F AF ==则C 的方程为_________A. 1222=+y xB.12322=+y xC. 13422=+y xD.14522=+y x 2019全国Ⅰ卷文10 双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为0130，则C 的离心率为___A. 040sin 2B. 040cos 2C.050sin 1 D.050cos 1 2019天津理5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线12222=+by a x （a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且OF AB 4=(O 为原点）则双曲线的离心率____ A. 2 B. 3 C. 4 D.52019北京理4已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21则___ A. 222b a = B. 2243b a = C. b a 2= D.b a 432= 2019北京文5已知双曲线1222=-y ax （a>0）的离心率是5，则a=____ A. 6 B. 4 C. 2 D.21 2019浙江理2渐近线方程为0=±y x 的双曲线的离心率是_______B. 22 B. 1 C. 2 D.2二．填空题 2019浙江理15已知椭圆15922=+y x 的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率________2019北京文11设抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程___________ 2019全国一卷理16已知双曲线左右焦点分别为1F ,2F 率过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若0,211=∙=F F F 则C 的离心率___________.2019全国Ⅲ卷文15设F 1,F 2为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△F MF 21为等腰三角形，则M 的坐标为（ ） ()222210,0x y C a b a b-=>>：。

(四十七)抛物线(对应学生用书第219页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)D[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．(2018·佛山模拟)已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为()A．4 B．3C．2 D．1B[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为|AF|＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为2＋42＝3.]3．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2 B．2 2C．2 3 D．4C[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|＝x0＋2＝42，得x0＝32，代入抛物线方程得，y20＝42×32＝24，所以|y0|＝26，所以S△POF ＝12|OF||y0|＝12×2×26＝2 3.]4．(2018·岳阳模拟)若直线y ＝2x ＋p 2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12pB [将直线方程代入抛物线方程，可得x 2－4px －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p ，∵直线过抛物线的焦点，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p ，故选B ．]5．(2018·汕头模拟)已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋1A [由抛物线方程y 2＝4x ，可得抛物线的焦点F (1,0)，又N (1,0)，∴N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ，交圆于Q ，交抛物线于P ，则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.故选A ．]二、填空题6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.6 [在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫±33p ，－p 2. 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.]7．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．x 2＝3y [设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .]8．如图8-7-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．图8-7-1 26 [由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝± 6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.[解] 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)．设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |，且AN ＝ 5. 3分 ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2).6分∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .8分 抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58， 准线方程为y ＝－58.10分 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58， 准线方程为y ＝58. 12分10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4. 3分由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . 5分(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42). 8分设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22).10分又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p ＞0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( )A ．y 2＝85xB ．y 2＝165xC ．y 2＝325xD ．y 2＝645x C [由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (易知k ＞0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝|－2|k 2＋1＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝255，解得k ＝2，由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x 2＋(y －2)2＝4得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝165，把⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x .故选C ．] 2．(2018·汕头模拟)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝________. 1 [∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ， ∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∴直线l 的方程为y ＝12，∴|AF |＝|BF |＝1.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.2分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2 FB →，所以y 1＝－2y 2.联立上述三式，消去y 1，y 2得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.5分 (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ．8分 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4. 12分。

内蒙古自治区新人教A 版数学高三单元测试19【抛物线】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-42. 将抛物线x y 42=沿向量a 平移得到抛物线x y y 442=-，则向量a 为A ．(－1,2)B ．(1,－2)C ．(－4,2)D ．(4,－2)3. 抛物线2y ax =的焦点坐标为A ．1(0,)aB ．(0,)4aC ．1(0,)4a D ．1(,0)4a4. 正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三角形的边长为（ ）A ．B ．C ．8D ．165. 在22y x = 上有一点P ，它到(1,3)A 的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．（－2，1）B ．（1，2）C ．(2，1）D ．（－1，2） 6. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ).A.24y x =±B.28y x =±C. 24y x = D. 28y x =7. 抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －10＝0的最小距离为（ ）A ．955B ．0C ．95D ．558. 两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(,0)16-B ．2(,0)5-C ．1(,0)5-D ．1(,0)59. 直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ≥，则|FA |的取值范围是（ ）A ．)23,41[B ．13(,442+ C ．]23,41( D ．]221,41(+10. 已知点(1,0),(1,0)A B -及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ）（A ）3 （B ）2 （C （D 二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 设点F 为24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则||||||FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r.12. 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为__ 。

人教A 版高中数学高三二轮（文）专题14椭圆双曲线、抛物线测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．592．已知k <4，则曲线22194x y +=和22194x y k k +=--有( ) A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴3．双曲线2214x y -=的顶点到渐近线的距离等于（ ）A B ．45 C ．25 D 4．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝25．若双曲线22221x y a b-= ）A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．2y x =±6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -= B ．22188x y -= C ．22148x y -= D ．22184x y -= 7．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2BCD 8．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 ( )A B C D ．56 9．已知直线l 与双曲线C:x 2-y 2=2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△A OB 的面积为（ ）A ．12B ．1 c ．2C ．4 10．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎡⎢⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题11．若双曲线221y x m -=，则实数m =__________． 12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．13．已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．14．过点M(2，－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．三、解答题15． 如图，已知椭圆2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上的顶点，直线AF 2交椭圆于另 一点B .(1)若∠F 1AB =90°，求椭圆的离心率；(2)若2AF ＝22F B ，1AF ·AB ＝32，求椭圆的方程． 16．如图，已知抛物线24C y x =：焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点（Ⅰ）若线段AB 的中点在直线2y =上，求直线l 的方程； （Ⅱ）若线段20AB =，求直线l 的方程.17．已知椭圆与抛物线y 2＝有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若2AP PB =，求△AOB 的面积．18．已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点．(1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线:=+l y kx 2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >(其中O 为原点)，求k 的取值范围．参考答案1．B【分析】由题可知，3a =，2b =，求出c ，即可求出椭圆的离心率．【详解】因为椭圆22194x y +=中3a =，2b =，所以c =得c e a ==， 故选：B ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．2．B【解析】k <4，∴曲线22194x y +=和22194x y k k+=--都是椭圆． 又9－4＝9－k －(4－k )，∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点．选B3．A【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】 双曲线2214x y -=的顶点为()2,0±. 渐近线方程为：12y x =±. 双曲线2214x y -==. 故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.4．B【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，准线方程为：x ＝－1，∴以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝4.选B.5．B【解析】=b y x a =±，计算得b a =方程为y =.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.6．B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程，解方程组求出,a b ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，（2）与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.7．A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2b d c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 8．C【解析】试题分析：因为已知实数4，m ，9构成一个等比数列，所以可得236,6,6m m m =∴==-.所以圆锥曲线为椭圆时即221x y m+=的方程为2216x y +=.所以222226,1,5a b c a b ==∴=-=.所以离心率c e a ===.当是双曲线时可求得离.故选C.考点：1.数列的思想.2.圆锥曲线的性质.3.离心率的计算.4.分类的思想.9．C【解析】试题分析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y =±x ，设A(x 1,x 1)，B(x 2,−x 2)， ∴AB 中点(x 1+x 22,x 1−x 22)，∴(x 1+x 22)2−(x 1−x 22)2=2⇒x 1x 2=2， ∴S ΔAOB =12|OA|⋅|OB|=12|√2x 1|⋅|√2x 2|=x 1x 2=2，故选C ．【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及其性质．10．C【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝1[,1)3c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围．本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围．11．2【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=，2m =.渐近线方程是y ==.12【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ，∵∠MAN=60°，∴|AP|=2b ，∴= 设双曲线C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tanθ=||||AP OP =． 又tan θ=b a，b b a =，解得a 2=3b 2， ∴3==． 答案：3点睛： 求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，再根据222b c a =-和c e a=转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）．13．6【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．14．1或2【解析】设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p，切线MA 的方程是y －y 1＝1x p (x －x 1)，即y ＝1x p x －122x p .又点M (2，－2p)位于直线MA 上，于是有－2p ＝1x p ×2－122x p，即x 12－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即12222x x p +＝()2121222x x x x p +-＝12，21682p p +＝12，解得p ＝1或p ＝2.15．（1（2）2232x y ＋＝1 【解析】试题分析：解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a c ，e ＝2c a =. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c B (x ，y )．由2AF ＝22F B ⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝32c， y ＝2b -，即B (32c ，2b-)．将B 点坐标代入22221x y a b+=，得42229441b ca b -+=， 即2291144c a +=， 解得a 2＝3c 2.①又由1AF ·AB ＝(－c ，－b )·(32c ，2b -)＝32⇒b 2－c 2＝1， 即有a 2－2c 2＝1.②由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为22132x y +=.考点：椭圆的性质和方程点评：解决的关键是根据椭圆的定义以及三角形的性质得到a,b,c 的关系式，同时结合向量的数量积来秋季诶得到其方程，属于基础题． 16．(Ⅰ)1y x =-;(Ⅱ)210x y ±-= 【解析】试题分析：（1）设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由点差法，可得2y 0k ＝4，又02y =，所以1k =．（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线联立组方程组，由弦长公式与志达定理，可求得参数m 的值.试题解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩由22112244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.【点睛】（1）对线圆锥曲线上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线AB 的斜率1212y y k x x -=-，AB 中点的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，22112244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，点代入曲线作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式．（2）对于弦长问题，我们常让直线与圆锥曲线方程组方程组，再利用志达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y，所以12AB x =-或12AB y =-（1）证明：因为()()1122,,,A x y B x y 在直线l 上，所以1122y kx my kx m =+⎧⎨=+⎩AB ∴=1122y kx my kx m=+⎧⎨=+⎩可得：AB ==12x ==-同理可证得12AB y y =-17．（1）22142xy +=；（2）8【解析】试题分析:(1)先求椭圆焦点得c ，再根据离心率列方程组可得a ＝2，b 2＝2 (2)将OP 视为底，根据三角形面积公式得S ＝12|OP |·|x 1－x 2|，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得|x 1－x 2|，最后根据2AP PB =解出k ，代入解得△AOB 的面积． 试题解析：解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝，又e ＝＝，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由＝2，得设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得 (2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－.将x 1＝－2x 2代入上式整理可得， 2＝，解得k 2＝.∴△AOB 的面积S ＝|OP |·|x 1－x 2| ＝＝·＝.18．（1）2213x y -=；（2）31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）求出椭圆的焦点和顶点，即得双曲线的顶点和焦点，从而易求得标准方程；（2）将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，21300k ⎧-≠⎨>⎩得k 的取值范围，设1122()()A x y B x y ，，，，，由韦达定理得则1212229,1313x x x x k k=---＋＝ 代入2OA OB >可求得k 的范围． 【详解】(1)设双曲线2C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则2234a c ＝，＝，再由222a b c ＋＝，得2 1.b ＝故2C 的方程为2213x y -=(2)将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，得()()()22221306236133610k k kk ⎧-≠⎪⎨=-+-=->⎪⎩22113k k ∴≠<且①设1122()()A x y B x y ，，，， 则1212229,1313x x x x k k=---＋＝(12121212(x x y y x x kx kx ∴＋＝＋ ()2212122371()231k k x x x x k +++=-＝＋ 又2OA OB >，得12122x x y y ＋＞，2237231k k +∴>-，即2239031k k -+>-，解得2133k <<② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线相交中的范围问题．应注意：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．。

2019高考数学一轮复习专题：椭圆双曲线抛物线(含答案)椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的定义椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的集合P={M|MF1+MF2=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数。

当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，P点的轨迹是线段；当2a<|F1F2|时，P点不存在。

2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)。

椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,-b)，B2(0,b)或A1(0,-a)，A2(0,a)，B1(-b,0)，B2(b,0)。

椭圆的长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b，焦距为2c，离心率为e=c/a，其中c^2=a^2-b^2.3.应用题1) 2017·浙江高考题：椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率是5/3.解析：根据标准方程，a=3，b=2，则c=5，离心率e=c/a=5/3.2) 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(m>0)的焦距为8，则m的值为3或41.解析：根据椭圆的性质，c^2=a^2-b^2，焦距为2c=8，则c=4，a^2=16+b^2.代入m>0的条件，解得b=2√(m+1)，a=4，代入c^2=a^2-b^2，解得m=3或41.解析：当焦点在x轴上时，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m^2}=1$，根据离心率的定义$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}$，所以$\frac{m^2}{4}=1-e^2$，代入得到 $m=\sqrt{4-4e^2}$。

专题25：抛物线的定义与方程一、单选题1．已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，()3,1A ，则APF 周长的最小值为（ ） A．2+B ．4+C ．3D ．62．已知A ，B 分别为抛物线21:4C y x =与圆222:70+-+=C x y 上的动点，抛物线的焦点为F ，P ，Q 为平面两点，当AF AB +取到最小值时，点A 与P 重合，当-AF AB 取到最大时，点A 与Q 重合，则直线的PQ 的斜率为（ ）A ．3B ．12C ．1D ．33．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PAPF的最大值是（ ）A ．2 BC D 4．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MNAB 的最大值是A ．1B C D ．25．已知点P 是曲线24y x =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则PH PQ +的最小值为（ ） A．1B 1C 1D 16．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．()93,44,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[]3,5 7．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PNQM+的最小值为A ．36B ．42C ．49D ．50二、多选题8．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线”三、填空题9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________.10．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，直线(1)(0)y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D ，则·AB CD 的值是__________．11．F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，Q 是圆22(2)(1)1x y -+-=上的点，则PQ PF+最小值是__________．12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，Q 是线段PF 上的点，且2PQ QF =，则直线OQ 的斜率的最大值为______.13．如图，过抛物线214y x =的焦点的直线交抛物线与圆()2211x y +-=于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅= ______.14．如图，过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为A 1，B 1，已知△AA 1F 与△BB 1F 的面积分别为9和1，则△A 1B 1F 的面积为________.15．抛物线C: 24y x =的焦点为F ,设过点F 的直线l 交抛物线与,A B 两点，且43AF =,则BF =______. 16．已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-，焦点为,,,F A B C 为抛物线上不同的三点，,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=，则直线AC 的方程为_________．四、双空题17．己知圆()22:116,C x y P ++=是圆C 上任意点，若1,0A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是_______﹔若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是:△一个点△圆△椭圆△双曲线△抛物线，其中可能的结果有__________．18．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A (-2，1)，B (-2，4)，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E ：y 2=4x 上的动点，Q 在直线x =-1上的射影为H ，则12++PB PQ QH 的最小值为___________.参考答案1．B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，过P 做PQ l ⊥，垂足为Q ，设APF 周长为c ，c PA PF AF PA PF PA PF =++=+=+由抛物线的定义可知：PF PQ =，因此c PQ AP =++当,,P A Q 在同一条直线上时，c 有最小值，即PA l ⊥时，min 3(1)4c =--=故选：B 2．D【分析】根据AF AB +取到最小值时，点A 与P 重合，利用抛物线的定义得到2PC l ⊥，从而得到点P 的坐标，连接2FC ，由抛物线的定义得到Q 为2FC 与抛物线1C 的交点求解. 【解析】如图所示：222:70+-+=C x y，即(221x y +-=，圆心为(2C ，抛物线21:4C y x =的焦点为()1,0F ，记1C 的准线为l ，过点A 作1AD l ⊥，过2C 作22C D l ⊥，1121AF AB AD AB AD AC +=+≥+-，当21,,A C D 共线时，点B 在2AC 上，此时(2,P ， 连接2FC ，()222111AF AB AF AC AF AC FC -≤--=-+≤+，此时Q 为2FC 与抛物线1C 的交点，)2:1FC y x =--，由)214y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为Q 在第一象限，所以12Q ⎛ ⎝，所以22PQ k =-，故选：D【点评】 本题关键是抛物线定义的灵活应用. 3．B【分析】设直线PA 的倾斜角为θ，设PP '垂直于准线于P '，由抛物线的性质可得PP PF '=，则1cos PAPA PF PP θ=='，当直线P A 与抛物线相切时，cos θ最小，PAPF 取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P 的坐标，然后进行计算得到结果.【解析】设直线PA 的倾斜角为θ，设PP '垂直于准线于P '，由抛物线的性质可得PP PF '=，所以则1cos PAPA PFPP θ=='， 当cos θ最小时，则PAPF 值最大，所以当直线P A 与抛物线相切时，θ最大，即cos θ最小， 由题意可得()1,0A -，设切线P A 的方程为：1x my =-，214x my y x=-⎧⎨=⎩，整理可得2440y my -+=， 216160m ∆=-=，可得1m =±，将1m =±代入2440y my -+=，可得2y =±，所以1x =， 即P 的横坐标为1，即P 的坐标()1,2±，所以PA ==，()112PP '=--=，所以PA PF 的最大值为：2= 故选：B ．【点评】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 4．A【分析】设||,||AF a BF b ==，由抛物线定义，梯形的中位线定理，得2||MN a b =+，再根据余弦定理得222AB a b ab =+-，结合基本不等式求得AB 的范围，从而得到MN AB的最大值.【解析】设||,||AF a BF b ==，连接,AF BF ，过A 作准线l 的垂线，垂足为Q ，过B 作准线l 的垂线，垂足为P ，由抛物线的定义得：||||,||||AF AQ BF BP ==， 则2||||||MN AQ BP a b =+=+. 则在ABF ∆中，由余弦定理可得：22222||||2||||cos AB AF BF AF BF AFB a b ab =+-⋅∠=+-， 而2222222()()()3()344a b a b AB a b ab a b ab a b ++=+-=+-≥+-⋅=， 因此=2a bAB MN +≥，即1MN AB ≤（当且仅当a =b 时取等号）. 故选：A【点评】本题考查了抛物线的基本性质，综合运用了余弦定理，基本不等式知识，属于较难题. 5．D【分析】先将所求问题转化为求x y e =上任意一点到抛物线焦点F 的距离的最小，再利用导数求最值即可得到答案.【解析】如图，设抛物线的焦点为F ，则(1,0)F ，由抛物线的定义知||1||PH PF +=，所以||1||||1PH PQ PF PQ QF +=-+≥-，当且仅当,,Q P F 三点共线时，等号成立，设(,)x Q x e ，则222||(1)x QF x e =-+，令22()(1)x f x x e =-+，则'2()2(1)2x f x x e =-+，由复合函数单调性知，'()f x 在R 上单调递增，且'(0)0f =，所以当0x >时，'()f x '(0)0f >=，当0x <时，'()f x '(0)0f <=， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，所以()min (0)2f x f ==min ||QF =，所以PH PQ +1.故选：D【点评】本题考查抛物线中的最值问题，涉及到抛物线的定义，两点间的距离公式，导数求函数的最值，是一道较为综合的题目，属于有一定难度的题. 6．A【分析】根据重心坐标公式求出R 的横坐标为()3R P Q x x x =-+，纵坐标为()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，用m 、k 求出表示出R 的坐标，结合抛物线的方程，求出k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得133P Q RPQ R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+， 设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky my x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+， 故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-， 将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-，则()()228228360k m k ∆=+=->，得2102k ≤<，则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A.【点评】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题． 7．B【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得124x x =，则229910PN QM PC QC +=++，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果.【解析】设抛物线方程为22y px =由抛物线过定点()2,4得28p =，抛物线方程28y x =，焦点为()22,0C ， 圆的标准方程为()2221,x y -+=∴圆心为()2,0，半径1r =，由于直线过焦点，可设直线方程为()2y k x =-，设()()1122,,,,P x y Q x y()()22248408y k x kx k x k y x⎧=-⇒-++=⎨=⎩，124x x ∴= 又()()22229199910PN QM PC QC PC QC +=+++=++()()12122921093030123042x x x x =++++=++≥=+=，12x x =时等号成立，9PN QM ∴+的最小值为42，故选B.【点评】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式a b +≥“一正二定三相等”. 8．BCD【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P 的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．【解析】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1， 即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线， 其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点， 即两者是没有交会的轨迹，故B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点， 把26y x =+代入抛物线24y x =， 消去y 并整理得2590x x ++= 因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确； 把112y x =+代入抛物线24y x =， 消去y 并整理得21240x x -+=， 因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解， 所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确． 故选：BCD ．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题． 9．53【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4=AD ，即可得到答案．【解析】焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ， 则BCE ACD ∆∆∽，所以13BC BE BF AC AD AF ===， 记BC x =，则3AC x =， 因为||3||AF FB =，所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==， 因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点， 所以24AD FG ==，所以342AF x ==，即84,33x BE ==即线段AB 的中点到y 轴的距离为11523AD BE -+-=． 故答案为：53．【点评】方法点睛：.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．10．1 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212(1)(1)(11)(11)AB CD AF DF x x x x ⋅=--=+-+-= ,由()1y k x =-与24y x =联立方程消y 得222212(24)0,1k x k x k x x -++== ,因此 1.AB CD ⋅= 11．2 【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ，根据抛物线的定义知PQ PF PQ d +=+ ，由圆的几何性质及平面几何体知识可得，PQ d +的最小值是圆心到准线的距离与半径的差，即312PQ PF PQ d +=+≥-= ，故答案为2 .12【分析】要求直线OQ 的斜率的最大值,由直线的斜率公式可知应求点Q 的横、纵坐标的关系,由题可设点200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,进而根据2133OQ OP OF =+求得OQ ,再由均值不等式求得最值.【解析】由题可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,显然,当00y <时,0OQk <；当00y >时,0OQ k >,要求OQ k 的最大值,设00y >,因为2PQ QF =,所以2PQ QF =,即()2OQ OP OF OQ -=-,所以200221,33363y y p OQ OP OF p ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以2223236OQyky py pp yp==≤=++当且仅当222y p=时等号成立,即OQk,故答案为【点评】本题考查与抛物线有关的最值问题,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力与转化思想.13．1【分析】设过抛物线的焦点F的直线1y kx=+，与214y x=联立，结合抛物线的第一定义和韦达定理及圆的性质，求出AB CD⋅的乘积【解析】抛物线的焦点为()0,1F，准线为1y=-，可设直线方程为1y kx=+，直线1y kx=+，与214y x=联立得：()224210y k y--+=，可得1A Dy y=,111A AAB AF y y=-=+-=,111D DCD DF y y=-=+-=,1AB CD∴⋅=答案为1.【点评】抛物线的弦长问题通常转化为到准线距离,本题既考查了直线与圆，又考查了直线与抛物线的应用问题14．6【解析】【分析】直线:2pAB x my=+代入抛物线方程，利用韦达定理，计算11,AA F BB FS S∆∆，相乘化简可得求()42194pm+=，由三角形面积公式可得116A B FS p∆==.【解析】设直线:2p AB x my =+， 代入抛物线方程，消元可得2220y pmy p --=，设()()1122,A x y B x y ，则21212,2y y p y y pm =-+=，121111111119222222AA F y p p S AA y x y y p ∆⎛⎫=⨯=+=+= ⎪⎝⎭， 122122221111222222BB Fy p p S BB y x y y p ∆⎛⎫=⨯=+=+= ⎪⎝⎭， ()()11221222121221444AA F BB Fy y p S S y y y y p ∆∆⎡⎤∴⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()4222222142444p p p m p p p ⎡⎤=++⨯+⨯⎢⎥⎣⎦()42194p m =+=，111262A B F p S y y p ∆∴=-===，故答案为6.【点评】解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 15．4 【解析】设点A 、B 的横坐标分别为A x 、B x ，由焦半径公式得43AF =11,33A A A x x y =+⇒==±，3A y =时，3113AB AF k k ===- ，AB的方程为)1y x =- ，与24y x =联立可得，231030x x -+= ，解得=3B x ，所以314BF =+= ，同理，A y =4BF =，故答案为4 .16．210x y --= 【解析】试题分析:由题设可得，设，则，由0FA FB FC ++=可得，即，又，故由,,FA FB FC 成等差数列可得，由此可得．而，且，即的中点坐标为由此可得.故由点斜式方程可得，应填答案.考点：抛物线的几何性质及向量等差数列等知识的综合运用． 【易错点晴】抛物线是平面解析几何中的重要圆锥曲线之一，也是高中数学中的重要知识点和历届高考必考的考点之一.本题以抛物线的焦点弦满足的向量等式,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=为背景，考查是抛物线的定义和平面向量的坐标运算及分析问题解决问题的综合能力.解答时先设三点的坐标，再借助向量等式建立坐标之间的关系，从而使得问题获解.17．22143x y += △△△【解析】由圆()22:116,C x y ++=则圆心()1,0C -，半径r =4;因为线段AP的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，如图（1）示：所以4QA QP PC QC QC ==-=-， 所以42QA QC AC +=>=，符合椭圆的定义，所以点Q 的轨迹是以()()1,01,0A C -、为焦点，长轴为4 的椭圆，故22,1,3a c b ===,所以点Q 的轨迹方程是22143x y +=；（1）若点A 在圆C 内不同于点C 处，如图（1）所示，则有42QA QC AC +=>=，符合椭圆的定义，故点Q 的轨迹是以()()1,01,0A C -、为焦点，长轴为4 的椭圆，所以△正确；（2）若点A 与C 重合，如图（2）所示，则有122QP QA PC ===，符合圆的定义，故点Q 的轨迹是以()1,0C -为圆心，2为半径 的圆，所以△正确；（3）若点A 在圆C 上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP 的垂直平分线必过点C,故Q 与C 重合故点Q 的轨迹一个点，所以△正确；（4）若点A 在圆C 外，如图（4）所示，则4QA QP PC QC QC ==+=+，所以4QA QC AC -=<，故点Q 的轨迹是以()()1,01,0A C -、为焦点，实轴长为4的双曲线的一支，所以△不正确；（5）点A 不论在什么位置，点Q 的轨迹都不可能是抛物线，故△不正确.故答案为：22143x y +=；△△△.【点评】求动点轨迹方程的方法： （1）定义法；（2）参数法；（3）轨交法. 18．()2224x y ++=【分析】（1）利用直译法直接求出P 点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将12PB 转化为P 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12++PB PQ QH 的最小值． 【解析】设P （x ，y ），由阿氏圆的定义可得第 21 页 共 22 页||1||2PA PB =，即2222(2)(1)1,(2)(4)4x y x y ++-=++-化简得()2224x y ++= ||1||2PA PB =，则1||||2PA PB = 设(1,0),F 则由抛物线的定义可得||||QH QF =12PB PQ QH PA PQ QF AF ∴++=++≥= 当且仅当,,,A P Q F 四点共线时取等号，12PBPQ QH ∴++ 故答案为：()2224x y ++=【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．第22页共22页。

椭圆的简单几何性质同步练习一、选择题1.已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m +y2=1(m>1)和双曲线x2n−y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m，n变化而变化2.已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为()A. x+2y−3=0B. 2x+y−3=0C. x+y−2=0D. 2x−y+1=03.若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为()A. 3x+4y−13=0B. 3x−4y−5=0C. 4x+3y−15=0D. 4x−3y−9=04.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2−6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A. (−3,0)B. (−4,0)C. (−10,0)D. (−5,0)5.我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为()A. 5，4B. √3，1C. 5，3D. √72，16. 如图，F 1F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的左右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2的面积为√3的正三角形，则b 2的值为（ ）A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√37. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0(O为坐标原点)，若|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则椭圆的离心率为( )A. √6−√3B. √6−√32C. √6−√5D. √6−√528. 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. (0,1)B. (0,12]C. (0,√22) D. [√22,1)9. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e1e 2的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 4√33D. 2√3310. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k=（ ）A. 1B. √2C. √3D. 211. 已知F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（ ）A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=112. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,−1)，则弦长|AB|=( )A. 5√2B. 2√5C. 5√22D. √1013. 若椭圆C ：x 28+y 24=1的右焦点为F ，且与直线l ：x −√3y +2=0交于P ，Q 两点，则△PQF 的周长为（ ）A. 6√2B. 8√2C. 6D. 814. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 2二、填空题15. 已知抛物线C ：x 2=−2py(p >0)的焦点F 与y 28+x 24=1的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长|AB|=________． 16. 设M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，以M 为圆心的圆与x 轴相切，切点为椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P ，Q ，若△PMQ 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为________． 17. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为_________． 18. 设F 1，F 2分别为椭圆x 23+y 2=1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的坐标是_________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）19. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)四个顶点中的三个是边长为2√3的等边三角形的顶点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2b 23相切且交椭圆E 于两点M,N ，求线段|MN|的最大值．20.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别为A(−a,0),B(a,0)，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(−1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．22.已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>√3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MN恒过定点．答案和解析1.【答案】B【解答】解：由题意，不妨设P 是双曲线右支上的一点，|PF 1|=x ，|PF 2|=y ，则x +y =2√m ，x −y =2√n ， ∴x 2+y 2=2(m +n)， ∵两曲线有相同的焦点， ∴m −1=n +1， ∴m =n +2， ∴x 2+y 2=4(n +1)， 即|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， ∴△F 1PF 2是直角三角形， 故选B ．2.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 则x 124+y 122=1，①，x 224+y 222=1，②①−②，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)2=0．∴y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2．又∵M 为AB 中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2． ∴直线AB 的斜率为y 1−y 2x1−x 2=−12．∴直线AB 的方程为y −1=−12(x −1)，即2y +x −3=0． 故选：A ．3.【答案】A【解答】解：设弦的两端点为A(x 1,y 1)， B(x 2,y 2)， P 为AB 中点得{x 1+x 2=6y 1+y 2=2，由A ， B 在椭圆上有{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1,两式相减得x12−x2216+y12−y224=0，即(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)4=0，即3(x1−x2)8+y1−y22=0，即y1−y2x1−x2=−34，则斜率k=−34，且过点P(3,1)，有y−1=−34(x−3)，整理得3x+4y−13=0．故选A．4.【答案】D【解答】解：∵圆的标准方程为(x−3)2+y2=1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c=3．又b=4，∴a=√b2+c2=5．∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为(−5,0)．故选D．5.【答案】D【解析】解：由题意可得|OF2|=√b2−c2=12，|OF0|=c=√3|OF2|=√32，解得b=1，又a2=b2+c2=1+34=74，得a=√72，即a=√72，b=1．6.【答案】B 【解答】解：∵△POF2的面积为√3的正三角形，S=12×c×√32c=√34c2∴√34c2=√3，解得c=2．∴P(1,√3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=2√3．故选B．7.【答案】A【解答】解：设焦点坐标F 1(−c,0)，F 2(c,0)，|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2c ， |PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ， 所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2a(√2−1)，|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a(√2−1)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，设线段PF 1的中点为M ，则OM ⊥PF 1, 则|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴PF 1⊥PF 2，则|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴(2√2a(√2−1))2+(2a(√2−1))2=4c 2， 可得c 2=(9−6√2)a 2，解得e 2=9−6√2， 则椭圆的离心率为√6−√3． 故选A ．8.【答案】C【解答】 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，椭圆上任一点P(x,y)，由MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0的点M 总在椭圆内，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0，得x 2+y 2>c 2恒成立，代入椭圆方程化简得y 2<b 4a 2−b 2，又−b <y <b ，所以b 2<b 4a 2−b 2，化简得a 2<2b 2=2a 2−2c 2，得a 2>2c 2，可得e =ca<√22， 又0<e <1，∴0<e <√22， 故选C ．9.【答案】D【解答】解：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为第一象限的点，如图： 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义知|PF 1|+|PF 2|=2a 1，|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2，|PF 2|=a 1−a 2． 设|F 1F 2|=2c ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=π3，由余弦定理得，4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3，化简得a 12+3a 22=4c 2，即1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e 12e 22，∴1e1e 2≤2√33， 当且仅当e 1=√22,e 2=√62时，等号成立，则1e1e 2的最大值为2√33， 故选D ．10.【答案】B【解答】 解：椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2， 可得：b =1，ca =√32，解得：a =2，c =√3，b =1， 椭圆方程为x 24+y 2=1，过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴y 1=−3y 2， 设直线AB 方程为y =k(x −√3)， 代入x 24+y 2=1，消去x ，可得(14k 2+1)y 2+√32k y −14=0， ∴y 1+y 2=−√32k 1+14k2=−2√3k1+4k 2，y 1y 2=−141+14k2=−k 24k 2+1，−2y 2=−2√3k 1+4k2，−3y 22=−k 24k 2+1，解得：k =√2． 故选：B ．11.【答案】C【解答】解：F 1(−1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，可得c =1， 过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|=3， 令椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1中x =1，得y =±√b 2−b 2a 2，可得2√b 2−b 2a2=3， 化简得4a 4−17a 2+4=0， 解得a =2，则b =√3， 所求的椭圆方程为：x 24+y 23=1．故选：C ．12.【答案】A【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 代入椭圆方程得x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b 2=1②，相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， ∴x 1+x 2a 2+y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y 2b 2=0．∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=−2，k AB =−1−01−3=12．∴2a 2+12×−2b 2=0，化为a 2=2b 2，又c =3=√a 2−b 2，解得a 2=18，b 2=9． ∴椭圆E 的方程为x 218+y 29=1．AB 的斜率为12，且过(1,−1)，∴直线AB 的方程为y +1=12(x −1)，即y =12x −32，代入椭圆方程，得3x 2−6x −27=0． ∴x 1+x 2=2.x 1x 2=−9．∴|AB|=√1+14⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=5√2． 故选：A ．13.【答案】B【解析】解：∵直线l 过椭圆C 的左焦点F′(−2,0)， 直线l ：x −√3y +2=0经过左焦点F′， ∴△PQF 的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|=4a =8√2，14.【答案】C【解析】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，⇒mn =4， 又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3． 故选：C ．设|MF 1|=m ，|MF 2|=n ，由数量积及∠F 1MF 2的大小可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得b 的值．本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．15.【答案】10【解答】解：由题意可得F(0,−2)，则p =4，抛物线方程为x 2=−8y ． 设直线AB 方程为y =kx −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，其中y 1=−x 128，y 2=−x 228．由y =−x28得y′=−x4，所以在点A处的切线方程为y−y1=−x14(x−x1)，化简得y=−x14x+x128，①同理可得在点B处的切线方程为y=−x24x+x228.②联立①②得x M=x1+x22，又∵M的横坐标为2，∴x1+x2=4．将AB方程代入抛物线得x2+8kx−16=0，∴x1+x2=−8k=4，∴k=−12，∴y1+y2=k(x1+x2)−4=−12×4−4=−6，∴|AB|=p−y1−y2=10．故答案为10．16.【答案】√33【解答】解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，可得|PQ|=2√33c，再由题意可得M(c,b2a )，则圆M为(x−c)2+(y−b2a)2=b4a2，取x=0，可得y1=b2a −√b4−a2c2a，y2=b2a+√b4−a2c2a，∴2√b4−a2c2a =2√33c，即3(e2)2−10e2+3=0，解得：e=√33．故答案为：√33．17.【答案】6【解答】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，因为FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+3(1−x 024)=x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=−2，因为−2≤x 0≤2，所以当x 0=2时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值224+2+3=6， 故答案为6． 18.【答案】(0,1)或(0,−1)【解答】解：设A(m,n)．由F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得B (m+6√25,n 5)． 又A ，B 均在椭圆上，所以有{m 23+n 2=1,(m+6√25)23+(n 5)2=1,解得{m =0,n =1或{m =0,n =−1, 所以点A 的坐标为(0,1)或(0,−1)．19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， 所以a =√3b,b =√3，即a =3，所以椭圆E 的方程为x 29+y 23=1，(Ⅱ)圆O:x 2+y 2=2，因为直线y =kx +m 与圆O:x 2+y 2=2相切， 所以√1+k 2=√2，即m 2=2(1+k 2)； 联立{x 29+y 23=1y =kx +m得(1+3k 2)x 2+6kmx +3(m 2−3)=0，Δ>0， 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，所以x 1+x 2=−6km 1+3k 2,x 1·x 2=3(m 2−3)1+3k 2,由弦长公式得|MN|=√1+k 2·|x 1−x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2·√12(9k 2+3−m 2)1+3k 2， 将m 2=2(1+k 2)代入：|MN|=√6·√(2+2k 2)(7k 2+1)1+3k 2≤√6·(2+2k 2)+(7k 2+1)21+3k 2=3√62， 当且仅当2+2k 2=7k 2+1，即k 2=15时等号成立，故弦长|MN|最大值为3√62． 20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)为椭圆上的点，则x 02a 2+y 02b 2=1，整理得：y 02=−b 2a 2(x 02−a 2)， 又k 1=y 0x 0+a ，k 2=y 0x 0−a ，∴k 1k 2=y 02x 02−a 2=−12， 联立两个方程则k 1k 2=−b 2a 2=−12， 解得e =c a =√1−b2a 2=√22． (2)由(1)知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．由题意，设直线l 的方程为：x =my −1，代入椭圆的方程有：(m 2+2)y 2−2my −1=0，则Δ=(−2m )2+4(m 2+2)=8(m 2+1)>0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，则△OMN 的面积S =12|OD |·|y 1−y 2| =12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12×√8m 2+8m 2+2=√2·√m 2+1m 2+2， 令√m 2+1=t ，(t ≥1)，则有m 2=t 2−1，代入上式有S =√2·√m 2+1m 2+2=√2t t 2+1=√2t+1t ≤√22， 当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 面积的最大值为√22． 21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c =1，由椭圆C 上的点到F 的最大距离为a +c =3，则a =2， b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可设直线MN 的方程为：y =√3(x −1)，联立方程组{y =√3(x −1)3x 2+4y 2=12消去x 得：5y 2+2√3y −9=0． y 1+y 2=−2√35，y 1⋅y 2=−95，⇒(y 1−y 2)2=(−2√35)2−4×(−95)=19225． ∴△OMN 的面积S =12×OF ×|y 1−y 2|=12×1×8√35=4√35 22.【答案】解：(1)∵{2c =2a 2=c 2+3, ∴{a =2c =1, 所以b 2=a 2−c 2=3∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)连结BM ，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则k AM ⋅k BM =y 1x 1+2⋅y 1x 1−2=y 12x 12−4，∵点M(x 1,y 1)在椭圆上，∴k AM ⋅k BM =y 12x 12−4=3−34x 12x 12−4=−34，∵k BN =3k AM ，∴k BN ⋅k BM =−94，①当MN 斜率不存在时，设MN:x =m ，不妨设M 在x 轴上方， ∴M(m,√12−3m 24),N(m,−√12−3m 24)， ∵k BN ⋅k BM =−94， ∴m =1；②当MN 斜率存在时，设MN:y =kx +t ，由{y =kx +t 3x 2+4y 2−12=0，整理，得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8kt 3+4k 2,x 1⋅x 2=4t 2−123+4k 2， ∵k BN ⋅k BM =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+t)⋅(kx 1+t)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−94，∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=−k或t=−2k，当t=−k时，y=kx−k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；当t=−2k，y=kx−2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，∴直线恒过定点(1,0)．。

双曲线的定义及其标准方程同步练习一．选择题1．已知动点P（x，y）满足﹣＝2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．双曲线的左支D．双曲线的右支2．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|﹣|PF2|＝a（a为大于零的常数），则动点P的轨迹为（）A．双曲线B．射线C．线段D．双曲线的一支或射线3．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（）A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1．则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．已知双曲线C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则C的方程为（）A．B．C．D．5．已知定点F1（﹣4，0），F2（4，0），N是圆O：x2+y2＝4上的任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆6．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则||•||＝（）A．2B．4C．6D．87．设双曲线的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|：|PF2|＝3：4，则△PF1F2的面积等于（）A．18B．24C．36D．48二．填空题8．已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.9．已知双曲线的方程是﹣＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小（O为坐标原点）为．10．设点P在双曲线上．若F1、F2为双曲线的两个焦点，且PF1：PF2＝1：3，则△F1PF2的周长为．11．已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝．12．已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．13．已知A是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△F1PF2的重心，若＝λ，||＝，||+||＝8，则双曲线的标准方程为．14．已知双曲线方程为﹣x2＝1，点A的坐标为是圆（x﹣2）2+y2＝1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值是．三．解答题15．已知﹣＝﹣1，当k为何值时：（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在x轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线．16．根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）a＝4且经过点A；（2）与双曲线＝1有公共焦点，且过点（3，2）；（3）双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上．17．已知动圆P与圆C1：（x+5）2+y2＝49和圆C2：（x﹣5）2+y2＝1，分别求满足下列条件的动圆圆心P的轨迹方程．（1）圆P与圆C1，圆C2都外切；（2）圆P与圆C1，圆C2都内切；（3）圆P与圆C1外切，圆C2内切．18．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，A（0，），当△APF周长最小时，则点P的纵坐标为多少？。

椭圆、双曲线综合能力测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 23＋y 22＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±1,0) D ．(0，±1)2．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C.152 D.153．平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．线段C ．射线D ．不存在4．设P 是椭圆x 2169＋y 225＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于 ( )A ．22B ．21C ．20D ．135．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.147．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．88．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆9．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( ) A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]11．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝2412．(2010·辽宁文，9)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,32)的双曲线方程为__________． 14．双曲线x 24－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为______． 15．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为e ＝22，则实数m 的值等于________．17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 216＋y 225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．18．(本题满分12分)方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析] 根据焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的特点，先将条件方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知动圆M 与⊙O 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙O 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．20．(本题满分12分)如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过A 作斜率为1的直线交椭圆于B 点，P 点在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的方程；(2)若P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．21．(本题满分12分)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，其中c ＝a 2＋b 2，求双曲线的离心率．22．(本题满分14分)若椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．1[答案] C[解析] ∵a 2＝3，b 2＝2，∴c 2＝1.又焦点在x 轴上，故选C.2[答案] A[解析] ∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝25，∴c ＝5.3[答案] D[解析] 设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．4[答案] A[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22.5[答案] D[解析] 将x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，易知双曲线的焦点在y 轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)，所以椭圆的a ＝4，c ＝23，因此b 2＝16－12＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6[答案] A[解析] 双曲线mx 2＋y 2＝1的方程可化为：y 2－x 2－1m ＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m，由2b ＝4a ， ∴2－1m ＝4，∴m ＝－14. 7[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴|AB |＝8 2.8[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D.9[答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． 若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则 (m －5)(m 2－m －6)<0，∴m <－2或3<m <5，故选A.10[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20，又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10.故选C.11[答案] D[解析] ∵椭圆x 216＋y 264＝1的焦点(0，±43)为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y ＝－x ， ∴双曲线方程为y 2－x 2＝24.12[答案] D[分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a ，b ，c 三者关系转化出离心率[解析] 设F (－c,0) B (0，b )则K FB ＝b c与直线FB 垂直的渐近线方程为y ＝－b ax ∴b c ＝a b，即b 2＝ac 又b 2＝c 2－a 2，∴有c 2－a 2＝ac两边同除以a 2得e 2－e －1＝0∴e ＝1±52∵e ＞1，∴e ＝1＋52，选D. 13[答案] y 22－8x 29＝1 [解析] 设双曲线方程为：x 29－y 216＝λ(λ≠0) 又点(－3,32)在双曲线上，∴λ＝－18. 故双曲线方程为y 22－8x 29＝1. 14[答案] 3[解析] 双曲线x 24－y 23＝1的一条渐近线方程为：y ＝32x ，焦点F (7，0)到该渐近线的距离为：3×73＋4＝ 3. 15[答案] 10或52[解析] 若m <5，则e ＝22＝5－m 5，解得m ＝52；若m >5，则e ＝22＝m －5m，解得m ＝10.16．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．16[答案] 2 3[解析] 由题意可知12×c ×32c ＝3，∴c ＝2， 故P (1，3)在椭圆x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1上，即1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17[解析] (1)∵椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为(0，±3)， ∴所求双曲线方程设为：y 2a 2－x 29－a 2＝1， 又点(－2，10)在双曲线上，∴10a 2－49－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为y 25－x 24＝1. (2)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)， ∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1， 又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 18[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. 又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎨⎧sin α>00<－cos α<sin α， ∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )．故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )． 19[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|MO 1|＝1＋r ，|MO 2|＝2＋r ，∴|MO 2|－|MO 1|＝2＋r －1－r ＝1<|O 1O 2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支，双曲线方程为：4y 2－43x 2＝1.(y ≥34) 20[解析] (1)A (0，－b )，l 的方程为y ＋b ＝x ，P (0,1)，则B (1＋b,1)， AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0，b ＋1)，又∵AB →·AP →＝9，∴(1＋b,1＋b )·(0，b ＋1)＝9，即(b ＋1)2＝9，∴b ＝2，∴点B (3,1)在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，∴a 2＝12， 所求的椭圆方程为x 212＋y 24＝1. (2)P (0，t )，A (0，－b )，B (t ＋b ，t )，AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )，AB →·AP →＝9，∴(t ＋b )2＝9，∴b ＝3－t ，B (3，t )，代入椭圆9a 2＋t 2(3－t )2＝1，∴a 2＝3(t －3)23－2t， ∵a 2>b 2，∴3(t －3)23－2t>(3－t )2，∴0<t <32. 21[解析] 由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52，即双曲线的离心率为1＋52. 22[解析] 令x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，而椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a， ∴b ＝c ；而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求的椭圆方程为：x 210＋y 25＝1.。

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．(汇编年高考重庆文)设11229(,),(4,),(,)5
A x y
B
C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是 “128x x +=”的( A )
（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要
2．(汇编全国1理)已知双曲线)0( 1222>=-a y a
x 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 （A ）2
3 （B ）23 （C ）26 （D ）332。

抛物线11．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4解析：选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义可知5＝n ＋1，即n ＝4.2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y2p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．3．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆解析：选B 把5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|化为(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|5，由于点(1,2)不在直线3x ＋4y －1＝0上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线．4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝32x 0，则△POF 的面积为( )A ．1B ．2C ．22D ．24解析：选D 由题意知，F 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，因为点P (x 0，y 0)为C 上一点，|PF |＝32x 0，则12＋x 0＝32x 0，解得x 0＝1，所以P (1，±2)，则△POF 的面积为：12×12×2＝24. 5．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或6解析：选B |AF |＋|BF |＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p |＝1⇒p ＝1或3. 6．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12.7．(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p >0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3.答案：38．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：29．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4.答案：410．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：1411.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)， 所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43(x －1)得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45.12．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. 证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p (x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p .当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ；当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2ptan 2θ＋p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2psin 2θ. ∴|AB |＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.(3)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P (x ，y )，则|PA |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13， 因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增， 所以当x ＝0时，|PA |min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。