高中数学(人教版B版·必修5)配套练习：2.3等比数列 第3课时

一、选择题1．等比数列中，a 5a 14＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝( )A ．10B ．25C ．50D ．75【解析】 a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 5·a 14，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝(a 5·a 14)2＝25.【答案】 B2．(2013·威海高二检测)公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 设这三项为a 2，a 2＋d ，a 2＋4d ，因为构成等比数列，故(a 2＋d )2＝a 2·(a 2＋4d )，即d (d －2a 2)＝0，∴d ＝2a 2，∴a 2＋d ＝3a 2，∴q ＝a 2＋d a 2＝3a 2a 2＝3. 【答案】 C3．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列：①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}；④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a 3n a 3n －1＝(a n a n －1)3＝q 3，∴数列{a 3n }是等比数列；pa n pa n －1＝a n a n －1＝q ， ∴数列{pa n }也是等比数列；a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴数列{a n ·a n ＋1}也是等比数列；a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝a n －1q ＋a n q a n －1＋a n＝q ， ∴数列{a n ＋a n ＋1}也是等比数列．【答案】 D4．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9＝9，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{b n }前10项和为( )A ．10B ．12C ．8D ．2＋log 35【解析】 b 1＋b 2＋…＋b 10＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 2a 9)5＝5log 39＝10.【答案】 A5．(2013·营口高二检测)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2…a 30＝230，则a 3a 6…a 30等于( )A ．2B ．210C ．20D ．220【解析】 设{a n }的首项为a 1，公比为q ＝2.∴a 1a 2…a 30＝a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q 29＝a 301q15×29＝230. ∴a 101q5×29＝210. ∴a 3a 6a 9…a 30＝a 1q 2·a 1q 5·…·a 1q 29＝a 101q 5×31＝a 101q5×29·q 10＝220. 【答案】 D二、填空题6．在等比数列{a n }中，若a n <0且a 3a 5＋2a 4a 9＋a 7a 11＝100，则a 4＋a 9等于________．【解析】 ∵a 3·a 5＝a 24，a 7a 11＝a 29，∴a 3a 5＋2a 4a 9＋a 7a 11＝a 24＋2a 4a 9＋a 29＝(a 4＋a 9)2＝100，∴a 4＋a 9＝－10.【答案】 －107．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于________．【解析】设a1＝2，a5＝8，∴a3＝a1a5＝4，∴a2·a3·a4＝a23·a3＝a33＝43＝64.【答案】648．(2013·沈阳高二检测)已知数列{a n}是等比数列，则在下列数列：①{1a n}；②{C－a n}，C为常数；③{a2n}；④{a2n}；⑤{lg a n}中，一定成等比数列的个数是________．【解析】对于①，因为1a n＋11a n＝a na n＋1＝1q(常数)，所以{1a n}是等比数列．对于②，当a n＝1且C＝1时，{C－a n}不是等比数列．对于③，a2n＋1a2n＝(a n＋1a n)2＝q2(常数)，∴{a2n}是等比数列．对于④，a2(n＋1)a2n＝a2n q2a2n＝q2(常数)，∴{a2n}是等比数列．对于⑤，当a n<0时，lg a n无意义，∴{lg a n}不是等比数列．当a n>0时，{lg a n}是等差数列．故一定是等比数列的有3个．【答案】 3三、解答题9．已知数列{a n}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．【解】∵{a n}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64.又∵a3＋a7＝20，∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.①当a3＝4，a7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×(14)2＝1. 10．3个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这3个数．【解】 由题意，这3个数成等差数列，可设这3个数分别为a －d ，a ，a ＋d .∵a －d ＋a ＋a ＋d ＝6.∴a ＝2，即3个数分别为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时3个数为－4,2,8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时3个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则有22＝(2＋d )(2－d )，解得d ＝0(舍去)．综上可知，这3个数是－4,2,8.11．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }唯一，求a 的值．【解】 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2.由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2，故{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1.(2)设{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)·(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根．由{a n}唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a＝13.。

第二章 2.3 第3课时一、选择题1．已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510[答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2.∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.2．(2014·全国大纲理，10)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和、对数的运算性质．根据条件可知，等比数列的通项公式是a n ＝2×(52)n －4，设b n ＝lg a n ＝lg2＋(n －4)lg 52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S 8＝8(b 1＋b 8)2＝8(lg2－3lg 52＋lg2＋4lg 52)2＝4.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12，a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192[答案] B[解析] 公式q 3＝a 5a 2＝2439＝27，q ＝3，a 1＝a 2q ＝3，S 4＝3(1－34)1－3＝120.5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158[答案] C[解析] 显然q ≠1，∴9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴{1a n }是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－(12)51－12＝3116.6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝27，则S 9＝( ) A ．81 B ．72 C ．63 D ．54[答案] C[解析] ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∴9,18，S 9－27成等比数列， ∴182＝9(S 9－27)，∴S 9＝63.故选C ． 二、填空题7．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.[答案] 15[解析] 设数列{a n }的首项为a 1，则S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1，a 4＝a 1·(12)3＝18a 1，∴S 4a 4＝158a 118a 1＝15. 8．(2015·湖南理，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.[答案] 3n －1[解析] ∵3S 1,2S 2，S 3成等差数列，∴2×2(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3，∴a 3＝3a 2，∴q ＝3. 又∵等比数列{a n }，∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和． [解析] 解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1q n －1，由已知条件得 a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，① a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64， ∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去． 将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 24＝a 3·a 5＝64， ∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8. 因为{a n }是实数列，所以a 6a 4＞0，故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4·a 6＝±16.公比q 的值为q ＝a 5a 4＝±2，当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝85.10．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝1，S 8＝17，求S n . [解析] 设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 4)1－q＝1a 1(1－q 8)1－q ＝17，两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16. ∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115(1－2n )1－2＝115(2n －1)；当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝－15[1－(－2)n ]1＋2＝115[(－2)n －1]．一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2B ．73C ．83D ．3[答案] B[解析] ∵S 6S 3＝3，∴S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝2，∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比，∴S 9－S 6S 3＝22，∴S 9＝4S 3＋S 6＝7S 3， ∴S 9S 6＝7S 33S 3＝73，∴选B ． 2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12[答案] C[解析] 当q ＝1时，满足题意．当q ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7a 1(1－q 3)1－q ＝21，解得q ＝－12，故选C ．3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9 C ．63 D ．7或63[答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列， ∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)， 即(21－S 10)2＝S 10(49－21)， ∴S 10＝7或63.4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n )[答案] C[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a 5a 2＝q 3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{a n a n ＋1}仍为等比数列，且公比为q 2＝14， 又a 1·a 2＝4×2＝8，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8[1－(14)n ]1－14＝323(1－4－n )．二、填空题5．等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.[答案] 13(4n －1)[解析] ∵a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3－1＝2， ∴公比q ＝2.又∵数列{a 2n }也是等比数列，首项为a 21＝1，公比为q 2＝4，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________.[答案] －65[解析] S n ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)， ∴S 22＝－4×11＝－44，S 11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21， ∴S 22－S 11＝－65. 三、解答题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2， ∴q ＝1不满足题意． ∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q，解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝－12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3，∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ]． 8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72a 1(1－q 6)1－q ＝632，解得q ＝2，a 1＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2. (2)b n ＝6n －61＋log 22n －2 ＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7， ∴数列{b n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7＝－56n ＋12n (n －1)×7＝72n 2－1192n .。

第二章 2.3 第3课时一、选择题1．已知等比数列{an}中，公比q 是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510[答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1q3＝18a1q ＋a1q2＝12，解得q ＝2或12. ∵q 为整数，∴q ＝2.∴a1＝2.∴S8＝21－281－2＝29－2＝510. 2．(2021·全国纲目理，10)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] C[解析] 本题考查了等比数列和等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和、对数的运算性质．按照条件可知，等比数列的通项公式是an ＝2×(52)n －4，设bn ＝lgan ＝lg2＋(n －4)lg 52，这是一个等差数列，所以它的前8项和是S8＝8b1＋b82＝8lg2－3lg 52＋lg2＋4lg 522＝4.3．已知等比数列的前n 项和Sn ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1[答案] B[解析] a1＝S1＝4＋a ，a2＝S2－S1＝42＋a －4－a ＝12，a3＝S3－S2＝43＋a －42－a ＝48，由已知得a22＝a1a3，∴144＝48(4＋a)，∴a ＝－1.4．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 公式q3＝a5a2＝2439＝27，q ＝3，a1＝a2q ＝3，S4＝31－341－3＝120.5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn 是{an}的前n 项和，且9S3＝S6，则数列{1an }的前5项和为( ) A ．158或5 B ．3116或5C ．3116D ．158[答案] C [解析] 显然q≠1，∴91－q31－q ＝1－q61－q，∴1＋q3＝9，∴q ＝2，∴{1an }是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T5＝1－1251－12＝3116.6．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝27，则S9＝( )A ．81B ．72C ．63D ．54[答案] C[解析] ∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴9,18，S9－27成等比数列，∴182＝9(S9－27)，∴S9＝63.故选C ．二、填空题7．设等比数列{an}的公比q ＝12，前n 项和为Sn ，则S4a4＝________.[答案] 15[解析] 设数列{an}的首项为a1，则S4＝a11－1241－12＝158a1，a4＝a1·(12)3＝18a1，∴S4a4＝158a118a1＝15.8．(2021·北京理，10)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q ＝______，前n 项和Sn ＝______.[答案] 2 2n ＋1－2[解析] 本题考查等比数列的通项公式求和公式及性质的应用问题．∵a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴40＝20q ，∴q ＝2，再按照a2＋a4＝a1q ＋a1q3＝20有a1＝2，所以an ＝2n ，利用求和公式可以获得Sn ＝2n ＋1－2.三、解答题9．在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求数列{an}的前8项和．[解析] 解法一：设数列{an}的公比为q ，按照通项公式an ＝a1qn －1，由已知条件得 a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24， ①a3·a5＝(a1q3)2＝64，∴a1q3＝±8.将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去．将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q ＝±2.当q ＝2时，得a1＝1，所以S8＝a11－q81－q ＝255；当q ＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝a11－q81－q ＝85.解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得a24＝a3·a5＝64，∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.因为{an}是实数列，所以a6a4＞0，故舍去a4＝－8，而a4＝8，a6＝32，从而a5＝±a4·a6＝±16.公比q 的值为q ＝a5a4＝±2，当q ＝2时，a1＝1，a9＝a6q3＝256，∴S8＝a1－a91－q ＝255；当q ＝－2时，a1＝－1，a9＝a6q3＝－256，∴S8＝a1－a91－q ＝85.一、选择题1．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S6S3＝3，则S9S6＝( )A ．2B ．73C ．83 D ．3[答案] B[解析] ∵S6S3＝3，∴S6＝3S3，∴S6－S3S3＝2，∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴S9－S6S3＝22，∴S9＝4S3＋S6＝7S3，∴S9S6＝7S33S3＝73，∴选B ．2．等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q 的值为() A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12[答案] C[解析] 当q ＝1时，满足题意．当q≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1q2＝7a11－q31－q ＝21，解得q ＝－12，故选C ．3．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( )A ．7B ．9C ．63D ．7或63[答案] D[解析] 由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝( )A ．16(1－4－n)B ．16(1－2－n)C ．323(1－4－n)D ．323(1－2－n) [答案] C[解析] 本题主要考查等比数列的性质及求和运算．由a5a2＝q3＝142＝18知q ＝12，而新的数列{anan ＋1}仍为等比数列，且公比为q2＝14，又a1·a2＝4×2＝8，故a1a2＋a2a3＋…＋anan ＋1＝8[1－14n]1－14＝323(1－4－n)．二、填空题5．等比数列{an}中，若前n 项的和为Sn ＝2n －1，则a21＋a22＋…＋a2n ＝________.[答案] 13(4n －1)[解析] ∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，∴公比q ＝2.又∵数列{a2n }也是等比数列，首项为a21＝1，公比为q2＝4，∴a21＋a22＋…＋a2n ＝1×1－4n 1－4＝13(4n －1)． 6．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S22－S11＝________.[答案] －65[解析] Sn ＝－4－4－4＋…＋(－1)n －1(4n －3)，∴S22＝－4×11＝－44，S11＝－4×5＋(－1)10(4×11－3)＝21，∴S22－S11＝－65.三、解答题7．等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q ；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解析] (1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，∴q ＝1不满足题意． ∴2a11－q31－q ＝a1＋a11－q21－q， 解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝－12，又a1－a3＝a1－a1q2＝34a1＝3，∴a1＝4.∴Sn ＝4[1－－12n]1＋12＝83[1－(－12)n]．8．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn ，S3＝72，S6＝632.(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)令bn ＝6n －61＋log2an ，求数列{bn}的前n 项和Tn.[解析] (1)∵S6≠2S3，∴q≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a11－q31－q ＝72a11－q61－q ＝632，解得q ＝2，a1＝12.∴an ＝a1qn －1＝2n －2.(2)bn ＝6n －61＋log22n －2＝6n －61＋n －2＝7n －63.bn －bn －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7，∴数列{bn}是等差数列．又b1＝－56，∴Tn ＝nb1＋12n(n －1)×7＝－56n ＋12n(n －1)×7＝72n2－1192n.9．设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，已知S4＝1，S8＝17，求Sn.[解析] 设{an}公比为q ，由S4＝1，S8＝17，知q≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a11－q41－q ＝1a11－q81－q ＝17，两式相除并化简，得q4＋1＝17，即q4＝16.∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a1＝115，Sn ＝1151－2n 1－2＝115(2n －1)； 当q ＝－2时，a1＝－15，Sn ＝－15[1－－2n]1＋2＝115[(－2)n －1]．。

2020-2021学年高一数学人教B 版必修5同步课时作业2.3等比数列1.等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是( )A.4±B.4C.14±D.142.在等比数列{}n a 中，1118,,22n a q a ===，则n S =( )A.8B.15C.312D.31 3.在数列{}n a 中，对任意*n ∈N ，都有()1200n n n a a a +-=≠，则123422a a a a +=+( )A.1B.12 C.13D.144.“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，112,n n a a S +=-=，那么5a =( ) A.4-B.8-C.16-D.32-6.在等比数列{}n a 中，152521,8,a a a a a ==->，则n a =( )A.1(2)n --B.1(2)n ---C.(2)n -D.(2)n --7.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天它飞出去带回了五个伙伴，第2天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第6天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂( ) A.65只B.56只C.55只D.66只8.等比数列{}n a 的前n 项和()*21n n S a n =⋅+∈N ，其中a 是常数，则a =( )A.2-B.1-C.1D.29.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，点()()22252,log ,5,log M a N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为( )A.22n -B.122n +-C.21n -D.121n +- 10.已知数列{}n a 是公比为的等比数列，其前n 项和为n S ，则31S a =______________. 11.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3692S S S +=，则该数列的公比q =__________.12.已知数列{}n a 满足117,3423()n n a a a n n +==-+∈*N .数列{}n b 满足2n n b a n =-，则数列{}n b 的通项公式为_____________.13.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列.已知数列{}n n a b +的前n 项和()221n n S n n n *=-+-∈N ，则d q +的值是____________.14.已知等比数列{}n a 的公比12321,64,1q a a a a >=+是13,a a 的等差中项，数列{}n n a b +的前n 项和为2n S n n =+.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 的通项公式.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案以及解析1.答案：A解析：设4a 与8a 的等比中项是x .由等比数列的性质可得2648a a a =，则561248x a =±=±⨯=±.故选A. 2.答案：C解析：由等比数列的前n 项和公式可得1118312211212n n a a q S q -⨯-===--.故选C. 3.答案：D解析：由()1200n n n a a a +-=≠，得12,n na a +=∴数列{}n a 为等比数列，且公比2q =.122334221224a a q a a q q ++∴==++. 4.答案：A解析：由数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，可知{}n a 是常数列，所以充分性成立；当常数列的各项均为0时，不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选A. 5.答案：C解析：当2n ≥时，11,n n n n a S a S +-==，因此11n n n n n a a S S a +--=-=，整理得12n n a a +=.当1n =时，212a a ==-，不满足212a a =.故数列{}n a 从第二项起各项构成等比数列，公比为2，22a =-.那么352216a =-⨯=-.6.答案：A解析：设数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，则4118a q a q =-.又因为10,0a q ≠≠，所以38q =-，解得2q =-.又因为52a a >，所以250,0a a <>，从而10a >，即11a =.故1(2)n n a -=-.7.答案： D解析：设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂(1,2,,6)n a n =只，由题意可得1116,5,n n n a a a a --==+即16(2,3,4,,)56nn a n a -==，所以数列{}n a 为等比数列，即6n n a =，所以第6天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂666a =只. 8.答案：B解析：当1n =时，1121a S a ==+.当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=⋅+-⋅+，化为12n n a a -=⋅，对于上式1n =时也成立，21a a ∴+=，解得1a =-.故选B.9.答案：C解析：由题意可得2225log 211,log 514a a =-==-=，则252,16a a ==，数列{}n a的公比2q ==， 数列{}n a 的首项21212a a q ===，前 n 项和()1122112nnn S ⨯-==--.故选C.10.答案：7解析：由题意，数列{}n a 是公比为2的等比数列，则()2131231111227a S a a a a a a ++++===. 11.答案：解析：当1q =时，1n S na =，而36111993692S S a a a S S +=+==≠，故不符合题意；当1q ≠时，()()()3691111112111a q a q a q qqq---+=⨯---，得369222q q q --=-，96320q q q ∴--=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去），q ∴=12.答案：23n n b -=解析：1342n n a a n +=-+，12236n n a n a n +∴--=-，即()()12132n n a n a n +-+=-.13n n b b +∴=.又11712233b a =-=-=， ∴数列{}n b 是首项为13，公比为3的等比数列.121333n n n b --∴=⋅=.13.答案：4解析：设数列{}n a 的首项为1a ，数列{}n b 的首项为1b ，易知1q ≠，则{}n n a b +的前n 项和()1211(1)212n n b q n n d S na d n q --=++=+-211121211n n b b d a n q n n q q ⎛⎫--+=-+- ⎪--⎝⎭，1,22d q ∴==，即22d q ==，， 4d q ∴+=.14.答案：(1)由12364a a a =可知32264,4a a =∴=. 又()2213221a a a a a q q+=+=+⋅，即22520q q -+=， 解得2q =或12q =(舍去). 2422n n n a -∴=⋅=.(2)数列{}n n a b +的前 n 项和2n S n n =+.当1n =时，1112S a b =+=；当2n ≥时，221(1)(1)n S n n n n -=-+-=-，12n n n n a b S S n -+=-=；经检验1n =也满足上式.22n n b n ∴=-.15.答案：（1）因为2n n S a n =-，所以令1n =，得1121a a =-，解得11a =，由于2n n S a n =-，所以112(1)n n S a n ++=-+，所以112(1)2n n n n S S a n a n ++-=-+-+，即121n n a a +=+， 所以()1121121n n n a a a ++=++=+，又1120a +=≠， 所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.故11222n n n a -+=⋅=，故数列{}n a 的通项公式是21n n a =-.（2）111111n n n n n n n a b a a a a a ++++=+==()()()()()()1112121221212121n n n nn n n +++---=---- 1112121n n +=---， 1212112121n n T b b b ⎛⎫=+++=-+⎪--⎝⎭231111121212121n n +⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭1223111112121212121n =-+-++------111112121n n ++=---.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

数学人教B 必修5第二章2.3 等比数列习题课——等比数列习题课1．了解分期付款的含义，理解复利的实质．2．掌握有关分期付款的还贷问题．3．掌握数列求和的常用方法——错位相减法．题型一 错位相减法【例1】求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．分析：数列中含字母参数，应注意分类讨论，利用错位相减法．反思：对含参类求和问题要养成分类讨论的习惯．题型二 分期付款问题【例2】陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷．陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付多少元？(不满百元凑足百元，lg 1.01＝0.004 3，lg 1.061＝0.025 8，lg 1.07＝0.029 4)分析：解答本题可以陈老师的欠款为主线计算．也可假设陈老师是每个月将一固定数目的金额以相同的条件存入银行，最后一次还清贷款．反思：解题关键点是掌握分期付款问题的两种常用处理办法：(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n 项，并由此归纳迭代出数列的通项的一般表达式；(2)以贷款和存款及增值两条线索分别计算，并由它们的相对平衡(或大小)建立方程(或不等式)．题型三 转化为等比数列问题【例3】设数列{a n }的前n 项和S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ∈N ＋，求数列{a n }的通项公式． 分析：解答本题可充分利用S n 与a n 的关系式，将问题转化为等比数列问题来求解． 反思：(1)将一个数列问题转化为等比(差)数列来求解，这是求解有关数列通项公式与前n 项和公式的基本思想．(2)已知数列{a n }的首项a 1，且a n ＋1＝ma n ＋k (m ，k 为常数)．①当m ≠1时，可得a n ＋1－c ＝m (a n －c )，则有a n ＋1－ma n ＝c (1－m )，c ＝k 1－m，转化为等比数列求解．②当m ＝1时，a n ＋1－a n ＝k ，利用等差数列求解．1设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )． A ．－11 B ．－8C ．5D ．112已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n ) 3已知在等比数列{a m }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )． A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 24若等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋r ，则r 的值是________．5已知x ≠0，x ≠1，y ≠1，则(x ＋1y )＋(x 2＋1y 2)＋…＋(x n ＋1y n )的值为________． 6已知数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .答案：典型例题·领悟【例1】解：当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2. 当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②，得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ，∴(1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a. ∵1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2. 【例2】解：解法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ，a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ，……a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a .由题意可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0，a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1. 又因为lg(1.01)6＝6 lg 1.01＝0.025 8，所以1.016＝1.061，所以a ＝1.061×1021.061－1≈1 800. 答：每月应支付1 800元．解法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a (1.016－1)×102. 由S 1＝S 2，得a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1. 以下解法同解法一，得a ≈1 800.答：每月应支付1 800元．【例3】解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，∴a 1＝2. 当n ≥2时，由S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，① 得S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23.② 由①－②，得a n ＝43(a n －a n －1)－13(2n ＋1－2n )． 整理得：a n ＋2n ＝4(a n －1＋2n －1)，∴{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列．∴a n ＋2n ＝4×4n －1，∴a n ＝4n －2n .随堂练习·巩固1．A 由8a 2＋a 5＝0，得a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，∴q ＝－2. ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 2．C 3．C4．－15．x (1－x n )1－x ＋y n －1y n ＋1－y n 当x ≠0，x ≠1，y ≠1时， (x ＋1y )＋(x 2＋1y 2)＋…＋(x n ＋1y n ) ＝(x ＋x 2＋…＋x n )＋(1y ＋1y 2＋…＋1y n )＝x (1－x n)1－x ＋1y (1－1y n )1－1y＝x (1－x n )1－x ＋y n －1y n ＋1－y n . 6．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)＝6a 2，∴a 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由已知得T n ＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1，∴2T n ＝1·2＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，解得T n ＝(n －1)·2n ＋1.。

等比数列(二)课时目标 1.进一步稳固等比数列的定义和通项公式质灵巧解决问题．.2.掌握等比数列的性质，能用性1．一般地，假如m，n， k， l 为正整数，且m＋ n＝ k＋ l，则有 ____________ ，特别地，当 m＋ n＝ 2k 时， a m·a n＝ ______.2．在等比数列 {a n} 中，每隔仍为 ______数列．k 项 (k∈ N＋) 拿出一项，按本来的次序摆列，所得的新数列3．假如{a n} ，{b n} 均为等比数列，且公比分别为1b nq1，q2，那么数列 { a n} ，{a n·b n} ，{ a n} ，{|a n|} 还是等比数列，且公比分别为1 ，q1q2，q2， |q1|. q1q1一、选择题1．在等比数列 {a n} 中， a1＝ 1，公比 |q| ≠若1. a m＝ a1a2a3a4a5，则 m 等于 ()A． 9 B ．10C． 11D． 122．已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝ x2－ 2x＋3的极点是 (b，c)，则 ad 等于 () A． 3 B ．2C． 1D．－2a ＋ c等3．若 a， b， c 成等比数列， m 是 a，b 的等差中项， n 是 b，c 的等差中项，则m n 于 ()A． 4 B ．3C． 2 D ．14．已知各项为正数的等比数列 {a n} 中， a1a2a3＝ 5， a7a8a9＝ 10，则 a4a5a6等于 ()A． 52B． 7C． 6D．4 25．在由正数构成的等比数列{a n} 中，若 a4a5a6＝ 3，log3 a1＋ log3a2＋ log 3a8＋ log 3a9的值为()434A. B .C． 2D．33346．在正项等比数列 {a n} 中， a n＋1<a n， a2·a8＝ 6，a4＋ a6＝5，则a5等于 ()a75623A. 6B. 5C.3D.2二、填空题7．在等比数列 {a n} 中， a1＝ 1， a5＝ 16，则 a3＝ ________.8．已知等差数列 {a n} 的公差为2，若 a1， a3， a4成等比数列，则a2＝ ________.9．在 1 与 2 之间插入 6 个正数，使这 8 个数成等比数列，则插入的 6 个数的积为 ________．10．已知数列－ 1，a1，a2，－ 4 成等差数列，－ 1，b1，b2，b3，－ 4 成等比数列，则a2－a1b2的值是 ________．三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为 18，求这四个数．12．设 {a n} 、 {b n} 是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋ b n，证明数列 {c n} 不是等比数列．能力提高13．若互不相等的实数则 a 等于 ()a、 b、 c 成等差数列，c、 a、 b 成等比数列，且a＋ 3b＋ c＝ 10，A． 4 B ．2C．－ 2D．－414．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适合摆列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是 a1和 q，依照题目条件成立对于 a1和 q 的方程 (组 )，而后解方程(组 )，求得 a1和 q 的值，再解决其余问题．2．假如证明数列不是等比数列，能够经过拥有三个连续项不可等比数列来证明，即存在a n0， a n0＋ 1， a n0＋ 2，使a2n0＋ 1≠a n0·a n0＋ 2. 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也特别重要．2．3.1 等比数列 (二 )答案知识梳理1． a m ·a n ＝ a k ·a la 2k 2.等比作业设计1． C [ 在等比数列 {a n } 中，∵ a 1＝1，∴ a m ＝a 1 a 2a 3a 4a 5＝ a 51q 10＝ q 10.m － 1 m － 1∵ a m ＝a 1 q ＝ q，∴ m － 1＝10，∴ m ＝ 11.]2． B [ ∵ y ＝(x － 1) 2＋ 2，∴ b ＝ 1， c ＝ 2.又∵ a ， b ， c ， d 成等比数列，∴ ad ＝ bc ＝2.]3．C [设等比数列公比为a ＋b ，n ＝ b ＋c ，则 a＋ c ＝ 2a ＋ 2c ＝ 2q.由题意知： m ＝ 22m n a ＋ b b ＋ c 1＋q＋2q＝ 2.] 1＋ q4．A [∵ a 1a 2a 3＝a 32＝ 5，∴ a 2＝ 35.∵ a 7a 8a 9＝ a 38＝ 10，∴ a 8＝ 310.∴ a 25＝a 2a 8＝ 3 50＝5013，11又∵数列 {a n } 各项为正数，∴ a 5＝ 50 6 ∴ a 4a 5a 6＝ a 53＝ 50 2 ＝5 2.]15．A [∵ a 4a 6＝ a 52，∴a 4a 5a 6＝ a 53＝ 3，得 a 5＝ 33 .∵ a 1a 9＝ a 2a 8＝ a 52，∴ log 3a 1＋ log 3a 2 ＋log 3 a 84＋ log 3a 9＝ log 3 (a 1a 2a 8 a 9)＝ log 3a 45＝ log 3 33 ＝ 4.] 36．D[ 设公比为 q ，则由等比数列 {a n } 各项为正数且a n ＋ 1<a n 知 0<q<1，262a 5 16 2 3由 a 2·a 8＝ 6，得 a 5＝ 6.∴ a 5＝ 6，a 4＋ a 6＝ q ＋ 6q ＝ 5.解得 q ＝ 6 ，∴a 7 ＝q 2＝ ( 2 ) ＝ 2.] 7． 4 分析由题意知， q 4＝a 5＝ 16，∴ q 2＝ 4， a 3＝ a 1q 2＝ 4.a 18．－ 6分析由题意知， a 3＝ a 1＋ 4， a 4＝ a 1＋ 6.∵ a 1， a 3， a 4 成等比数列，∴ a 32＝ a 1a 4，∴ (a 1＋ 4)2＝ (a 1＋ 6)a 1，解得 a 1＝－ 8，∴ a 2＝－ 6. 9． 8新高中人教B版数学必修五课时作业：2.3.1等比数列(2)(含答案)分析设这 8 个数构成的等比数列为{a n} ，则 a1＝ 1， a8＝ 2.插入的 6 个数的积为a2a3a4a5a6 a7＝ (a2a7) ·(a3a6 ) ·(a4 a5)＝ (a1a8)3＝ 23＝ 8.110.2分析∵－ 1，a1，a2，－ 4 成等差数列，设公差为d，1则 a2－ a1＝ d＝3[( －4) －( －1)]＝－ 1，∵－ 1， b1， b2， b3，－ 4 成等比数列，∴b22＝(－ 1) ×(－ 4)＝ 4，∴ b2＝±2.若设公比为q，则 b2＝ (－ 1)q2，∴ b2<0.a2－ a1－11∴ b2＝－ 2，∴b2＝－2＝2.11．解设这四个数分别为x， y,18－ y,21－x，则由题意得y2＝－，－＝ y＋－75，x＝ 3x＝4解得或45.y＝6y＝4故所求的四个数为3,6,12,18 或7545，279，44， . 4412．证明设 {a n} 、 {b n} 的公比分别为p、 q， p≠0， q≠0， p≠q，c n＝ a n＋ b n.要证 {c n} 不是等比数列，只要证 c22≠c1·c3成立刻可．222222事实上， c2＝ (a1p＋ b1q)＝a1p＋b1q ＋ 2a1b1pq，c1c3＝ (a1＋b1 )(a1p2＋ b1q2)＝a21p2＋ b21q2＋ a1b1(p2＋ q2)．因为 c1c3－ c22＝ a1b1(p－ q)2≠0，所以 c22≠c1·c3，故 {c n} 不是等比数列．2b＝ a＋ c，①13．D [依题意有a2＝ bc，②a＋ 3b＋ c＝ 10，③①代入③求得 b＝ 2.新高中人教B 版数学必修五课时作业：2.3.1等比数列(2)(含答案)a ＋ c ＝ 4，进而a 2＋ 2a －8＝ 0，a 2＝ 2c解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 4.当 a ＝2 时， c ＝2，即 a ＝b ＝ c 与已知不符，∴ a ＝－ 4.]a314．解设三个数为 q ，a ， aq ，∴ a ＝－ 8，即 a ＝－ 2，∴三个数为－ 2，－ 2，－ 2q.q22(1)若－ 2 为－ q 和－ 2q的等差中项，则q ＋ 2q ＝ 4，∴ q 2－ 2q ＋ 1＝ 0， q ＝ 1，与已知矛盾；21(2)若－ 2q 为－ q 与－ 2的等差中项，则q ＋ 1＝ 2q ，2q 2－ q － 1＝ 0， q ＝－12或 q ＝ 1(舍去 )，∴三个数为 4,1，－ 2；22(3)若－ q 为－2q与－ 2 的等差中项，则 q ＋ 1＝ q ，∴ q 2＋ q － 2＝ 0，∴ q ＝－ 2 或 q ＝ 1(舍去 )，∴三个数为 4,1，－ 2.综合 (1)(2)(3) 可知，这三个数排成的等差数列为 4,1，－ 2 或－ 2,1,4.。

2.3.2 等比数列的前n 项和1．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为( ) A ．2－128 B ．2－129 C ．2－1210 D ．2－12112．等比数列的前n 项和Sn ＝k·3n ＋1，则k 的值为( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．33．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数为________．4．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝81，则公比q 等于__________． 答案：1．B 设其公比为q ，∴a1＝1，a4＝a1q3＝18. ∴q ＝12.∴S10＝1×(1－1210)1－12＝2－129.2．B 当n ＝1时，a1＝S1＝3k ＋1；当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝k ·3n －k ·3n －1＝2k ·3n －1.令3k ＋1＝2k 得k ＝－1.3．192 设底层为a1盏，作为首项，共381盏，由S7＝a1(1－127)1－12＝381，解得a1＝192.4．2 先求出S6－S3＝72.又因为S3·q3＝S6－S3＝72，所以q3＝8，q ＝2.课堂巩固1．已知各项为正的等比数列的前5项的和为3，前15项的和为39，则该数列的前10项的和为( )A ．3 2B ．313C ．12D ．152．等比数列{an}中，公比q≠1，它的前n 项和为M ，数列{2an }的前n 项和为N ，则MN 的值为( ) A ．2a21qn B.12a1qn －1 C.12a21qn －1 D ．2a21qn －1 3．(北京高考，文10)若数列{an}满足：a1＝1，an ＋1＝2an(n ∈N ＋)，则a5＝__________；前8项的和S8＝__________.(用数字作答)4．(浙江高考，文16)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n 项积为Tn ，则T4，__________，__________，T16T12成等比数列．5．已知等比数列{an}的前n 项和是2，紧接着后面的2n 项和是12，再紧接着后面的3n 项和是S ，求S 的值．6．已知数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零．等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)若b1＋b2＋…＋bk ＝85，求正整数k 的值．答案：1．C 这里，我们不妨利用等比数列的一个常用性质求解． 由题意可知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列， 即(S10－3)2＝3(39－S10)．解得S10＝12，或S12＝－9(舍去)．2．C {an}是公比为q 的等比数列，数列{2an }是首项为2a1，公比为1q 的等比数列，代入等比数列的前n 项和公式得M N ＝12a21qn －1.3．16 255 ∵an ＋1＝2an ，a1＝1，∴an ＋1an ＝2. ∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列． ∴an ＝a1·qn －1＝2n －1.∴a5＝24＝16，S8＝a1(1－q8)1－q ＝1－281－2＝255.4.T8T4 T12T8 ∵b1b2b3b4＝T4，T8T4＝b5b6b7b8＝b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4q4＝T4·q16，T12T8＝T4·q32，T16T12＝T4·q48，故T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列． 5.解：∵Sn ＝2，若公比为1，则S3n －Sn ＝4，不是12， ∴q ≠1.由题意得Sn ＝a1(1－qn)1－q ＝2.①S3n －Sn ＝a1qn(1－q2n)1－q＝12.②②÷①得q2n ＋qn －6＝0，即qn ＝2或qn ＝－3.S ＝a3n ＋1(1－q3n)1－q ＝a1(1－qn)1－q q3n(1＋qn ＋q2n)＝2q3n(1＋qn ＋q2n)．当qn ＝2时，S ＝112；当qn ＝－3时，S ＝－378.6．解：(1)设数列{an}的公差为d ， ∵a1，a2，a6成等比数列， ∴a22＝a1·a6.∴(1＋d)2＝1×(1＋5d)．∴d2＝3d. ∵d ≠0，∴d ＝3.∴an ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(2)数列{bn}的首项为1，公比为q ＝a2a1＝4. ∵b1＋b2＋…＋bk ＝1－4k 1－4＝4k －13，∴4k －13＝85.∴4k ＝256. ∴k ＝4.∴正整数k 的值为4.1．(辽宁高考，理6)设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S6S3＝3，则S9S6等于( ) A ．2 B.73 C.83 D ．31．答案：B 设其公比为q ，由已知可得S6S3＝1－q61－q3＝1＋q3＝3，∴q3＝2.S9S6＝1－q91－q6＝1－231－22＝73.另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则可设S6＝3，S3＝1，则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7， ∴S9S6＝73.2.各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sn ＝2，S3n ＝14，则S4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．162．答案：B 若q ＝1，由Sn ＝na1＝2，知S3n ＝3na1＝6≠14，故q ≠1. 则⎩⎪⎨⎪⎧Sn ＝a1(1－qn)1－q ＝2，S3n ＝a1(1－q3n)1－q＝14.解得qn ＝2，a11－q＝－2.所以S4n ＝a11－q(1－q4n)＝(－2)×(1－24)＝30.3．数列{an}中，an>0，a1＝1且3a2n ＋1＋2an ＋1an －a2n ＝0，则a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1的值为( )A.98[1－(13)2n －1]B.98[1－(13)n]C.98[1－(19)2n －1]D.98[1－(19)n] 3．答案：D 由3a2n ＋1＋2an ＋1an －a2n ＝0，得3(an ＋1an )2＋2an ＋1an －1＝0， 解得an ＋1an ＝13或an ＋1an ＝－1， 因为an>0，所以an ＋1an ＝q ＝13.数列{an}为等比数列，且首项为1，公比为13，故a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1是其中的奇数项前n 项之和， a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1＝[1－(19)n]1－19＝98[1－(19)n]．4．某人从2004年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期后存款均自动转存为新一年定期，到2010年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为________．4. 答案：ar [(1＋r)7－(1＋r)] 年1月1日，2008年1月1日，…，2004年1月1日存入钱的本息分别为：a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加即可． 5．等比数列{an}中，若前n 项和Sn ＝2n －1，则a21＋a22＋…＋a2n ＝________.5. 答案：13(4n －1) 当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，当n ＝1时，a1＝S1＝21－1＝1适合上式，∴{an}的通项公式an ＝2n －1.∴a2n ＝4n －1，即数列{a2n }构成以1为首项，4为公比的等比数列．∴前n 项和Tn ＝a21＋a22＋…＋a2n ＝1·(4n －1)4－1＝13(4n －1)．6．等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，则该数列的公比为________．6．答案：1或－2 ∵a1＋a2＋a3＝3a1，即a1q2＋a1q －2a1＝0且a1≠0，∴q2＋q －2＝0.∴q ＝1或q ＝－2.7．(辽宁高考，文17)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q ； (2)若a1－a3＝3，求Sn.7．答案：解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q ＋a1q2)，∵a1≠0，∴2q2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a1－a1(－12)2＝3，故a1＝4， ∴Sn ＝4·[1－(－12)n]1－(－12)＝83[1－(－12)n]．8．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．(1)当它第10次着地时，经过的路程共是多少？ (2)当它第几次着地时，经过的路程共是293.75 m?8．答案：解：(1)球第1次着地时经过了100 m ，从这时到球第2次着地时共经过了2×1002 m ，从这时到球第3次着地时共过了2×10022 m ……到球第10次着地时总共经过的距离为100＋2×1002＋2×10022＋…＋2×10029＝100＋100(1＋12＋…＋128)＝100＋100(1－129)1－12≈300(m)．(2)设第n ＋1次着地时，经过的路程是293.75 m ；由题意得100＋100(1－12n )1－12＝293.75.利用计算器计算得n ＝5.则第6次着地时经过的路程是293.75 m.9．(山东高考，文20)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，Sn)均在函数y ＝bx ＋r(b>0且b≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记bn ＝n ＋14an (n ∈N ＋)，求数列{bn}的前n 项和Tn. 9．答案：解：(1)由题意，Sn ＝bn ＋r ， 当n ≥2时，Sn －1＝bn －1＋r ， 所以an ＝Sn －Sn －1＝bn －1(b －1)． 由于b>0且b ≠1，所以n ≥2时，{an}是以b 为公比的等比数列． 又a1＝b ＋r ，a2＝b(b －1)， a2a1＝b ，即b(b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知，n ∈N ＋，an ＝(b －1)bn －1＝2n －1， 所以bn ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.Tn ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12Tn ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12Tn ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故Tn ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.。

2.3 等比数列 2.3.1 等比数列5分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.给出下列命题：（1）若cbb a -=-，则-a ，b ，-c 成等比数列（abc≠0）；（2）{2a n+1}(n ∈N *)是等比数列；（3）若b 2=ac ，则a 、b 、c 成等比数列；（4）若a n+1=a n q （q 为常数），则{a n }是等比数列.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析：（1）显然正确；（2）中若a=0则不正确;（3）中若a=b=c=0也不行;（4）中若q=0不行.故选B. 答案：B2.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：用列举法将符合条件的数列一一列出：1,2,4；1,3,9；2,4,8；4,2,1；9,3,1；8,4,2. 答案：C3.在等比数列{a n }中,a 3=34，a 5=38，则a 10=___________.解析：根据等比数列的定义，灵活运用结论：a m =a n q m-n ，可得：35a a =q 2=2, ∴q=±2，a 10=a 5·q 5=±32323824±=∙，或者利用通项公式也可. 答案：±3232 4.设{a n }是正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 2a 3…a 30=230，那么a 3a 6a 9…a 30=____________. 解析：因为数列｛a n ｝中，公比q=2，设a 2a 5a 8…a 29=x ，而a 1a 4a 7…a 28，a 2a 5a 8…a 29，a 3a 6a 9…a 30成等比数列，且公比为q 10=210, 又a 1a 2a 3…a 30=230，即x 3=230，解得x=a 2a 5a 8…a 29=210， 所以，a 3a 6a …a 30=220. 答案：22010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在等比数列{a n }中，公比为q ，若a m =xa n ，则x 等于( )A.qB.q n-mC.q m-nD.1解析：因为：a m =a 1q m-1,a n =a 1q n-1∴a 1q m-1=xa 1q n-1，∴x=q m-n ，可以把这个公式当作结论记住. 答案：C2.已知-1,a 1,a 2,-4成等差数列，-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列，则212b a a -等于( ) A.41 B.21- C.21 D.21或21-解析：∵-1，a 1,a 2，-4成等差数列，∴d=3141414+-=--a a =-1. ∵-1,b 1,b 2,b 3,-4成等比数列，∴b 22=(-1)×(-4)=4.∴b 2=±2. 又∵b 2=（-1）×q 2＜0，∴b 2＜0.∴b 2=-2.∴2121212=--=-b a a . 答案：C3.公比为q 的等比数列{a n }，前n 项和为S n ，则在下列等式中一定正确的是( ) （1）a 1a 2a 3a 6=a 34 （2）a 6=(q-1)S 5+a 1 （3）(a 1+a 2)(a 3+a 4)=(a 2+a 3)2 A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（1）（2）（3） 解析：对于（1），由等比数列的通项公式可知不正确；对于（2），由等比数列前n 项和公式容易得知其正确性；对于（3），(a 1+a 2)(a 3+a 4)=a 1a 3+a 1a 4+a 2a 3+a 2a 4=a 22+2a 2a 3+a 32=(a 2+a 3)2，由此可知其正确性.综上所述，选B. 答案：B4.在下面所示的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c 的值为( )1 20.51 a b c A.1 B.2 C.89D.4 解析：根据题意填写表格，得 12 34 0.5123 2 41 21 43 181 41 83 21 161 81 163 41 所以，a+b+c=21+83+41=89. 答案：C5.判断下列数列是否为等比数列，若是求出其公比来. （1）1,3,9,27,81, …；（2）81,27,9,3,1, …；（3）1,1,3,9,27,81, …解：根据等比数列的定义知：数列（1）与（2）都是等比数列，在求它们的公比时要注意比值的顺序；（3）不是等比数列。

§2.3 等比数列1．等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列；(2)通项公式法：a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列； (3)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列； (4)前n 项和法：若S n ＝A (q n －1)，(A ≠0，q ≠0且q ≠1)则{a n }是等比数列，其中A ＝a 11－q.例如：等比数列{a n }的前n 项和是S n ＝32－n －t ，则t 的值是________． 解析 ∵{a n }是等比数列，∴S n ＝32－n －t ＝9·⎝⎛⎭⎫13n －t ＝9⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1， ∴t ＝9. 答案 92．等比数列的通项公式 (1)通项公式a n ＝a 1q n －1 (其中a 1为等比数列{a n }的首项，q 为其公比)． (2)等比数列与函数的关系由通项公式a n ＝a 1q n －1，可得a n ＝a 1qq n ，当q >0，且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q q x 是一个不为零的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q q x 的图象上的一些离散点．例如：已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1，且b n >0，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则a 6与b 6的大小关系是__________．解析 ∵b n >0，∴b 1>0，q >0.点(n ，b n )分布在函数y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q q x的图象上．点(n ，a n )分布在函数y ＝dx ＋(a 1－d )的图象上．当q >1时，它们的图象如图1所示； 当0<q <1时，它们的图象如图2所示； 其中直线方程是y ＝dx ＋(a 1－d )，曲线方程是y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q q x.直线x ＝6与直线y ＝dx ＋(a 1－d )的交点为(6，a 6)，与曲线y ＝⎝⎛⎭⎫b 1q ·q x的交点为(6，b 6)． 无论q >1还是0<q <1都有a 6>b 6. 答案 a 6>b 63．等比数列的前n 项和 等比数列前n 项和公式为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).注意：等比数列前n 项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当公比q 不确定时，要注意对q 分q ＝1和q ≠1进行讨论．例如：1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝____________________.(其中a ≠0)答案 ⎩⎪⎨⎪⎧n ， (a ＝1)1－a n 1－a， (a ≠1)4．等比数列的常用性质在等比数列{a n }中，(1)对任意的正整数m ，n ，有a n ＝a m q n －m .(2)对于任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m ·a n ＝a p ·a q .(3)当⎩⎨⎧ a 1>0q >1或⎩⎨⎧a 1<00<q <1时，{a n }是递增数列；当⎩⎨⎧a 1>00<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }为常数列； 当q <0时，{a n }为摆动数列．(4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，S (m ＋1)k －S mk ，…成等比数列(q ≠－1或k 为奇数)．(5)若S n 表示等比数列的前n 项和，公比为q ，则有 S m ＋n ＝S m ＋q m S n .例如：在等比数列{a n }中，a 5＝7，a 8＝56，则通项a n ＝____________. 解析 a 8＝a 5q 3， ∴q 3＝8，q ＝2，∴a n ＝a 5q n －5＝7×2n －5.答案 7×2n －5一、等比数列的判断与证明方法链接：证明数列是等比数列常用的方法：①定义法：a n ＋1a n＝q (常数)；②等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)；③通项法：a n ＝a 1q n －1 (a 1q ≠0，n ∈N *)要证明一个数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可．例如：a 1a 3≠a 22.例1 已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． (1)证明 假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)解 因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由上可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．综上，λ＝－18时，{b n }不是等比数列； λ≠－18时，{b n }是等比数列． 二、等比数列基本量运算方法链接：在等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式中共有五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量．例2 设数列{a n }为等比数列，且a 1>0，它的前n 项和为80，且其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6 560.求此数列的通项公式．分析 因为前n 项和与2n 项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a 1与公比q 之间的关系，进而确定a n .解 设数列的公比为q ，由S n ＝80，S 2n ＝6 560，得q ≠1，否则S 2n ＝2S n .∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q 2n)1－q＝6 560. ②②①，得q n ＝81. 将q n ＝81代入①得，a 1＝q －1.③又∵a 1>0，∴q >1.∴数列{a n }是递增数列．从而，a 1q n －1＝54，∴a 1q n ＝54q ，∴81a 1＝54q .④ ③④联立，解得q ＝3，a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1.三、等比数列的性质及应用方法链接：对于等比数列，还有以下的常用结论：(1)如果数列{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }仍是等比数列；(2)如果{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，那么数列{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列；(3)在等比数列{a n }中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列．如a 1，a 4，a 7，a 10，…； (4)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，一般地：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列(q ≠－1或n 为奇数)；(5)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S m ＋n ＝S n ＋q n S m .解等比数列问题时，熟练运用上述性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度．例3 在等比数列{a n }中，(1)若q ＝12，S 99＝77，求a 3＋a 6＋…＋a 99的值；(2)若{a n }的前m 项和为2，其后2m 项和为12，求再后3m 项的和．解 (1)S 99＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝7(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝77∴a 3＋a 6＋…＋a 99＝11.(2)涉及{a n }的前6m 项，把每m 项之和依次记作：A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，则它们成等比数列公比记作q .且A 1＝2，A 2＋A 3＝12，∴A 2＋A 3＝2q ＋2q 2＝12， ∴q ＝2或q ＝－3当q ＝2时，A 4＋A 5＋A 6＝A 1(q 3＋q 4＋q 5) ＝2×(23＋24＋25)＝112；当q ＝－3时，A 4＋A 5＋A 6＝A 1(q 3＋q 4＋q 5) ＝2×[(－3)3＋(－3)4＋(－3)5]＝－378. ∴后3m 项的和为112和－378. 四、错位相减求前n 项和方法链接：等比数列{a n }的前n 项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握．该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题．例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， a 1也满足上式．故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列．设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴q ＝14.故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n . 两式相减得3T n ＝－1－2×(4＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]， ∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5]．五、等差中项与等比中项的运用方法链接：一个等比数列，除可以按定义设为a 1，a 1q ，a 1q 2，…之外，若已知连续三项，常可设为aq，a ，aq ，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解．例5 互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．解 设三个数为aq ，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，∴三个数为－2q ，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q ，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为 4,1，－2或－2,1,4.六、等差数列与等比数列的公共项问题方法链接：1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等差数列．公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数．2．一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．例6 设A n 为数列{a n }的前n 项和，A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n＝4n ＋3 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)将数列{a n }、{b n }的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d n }，证明数列{d n }的通项公式为d n ＝32n ＋1 (n ∈N *)．(1)解 由已知A n ＝32(a n －1) (n ∈N *)．当n ＝1时，a 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3.当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝32(a n －a n －1)，由此解得a n ＝3a n －1，即a na n －1＝3 (n ≥2)．所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 故a n ＝3n (n ∈N *)．(2)证明 由计算可知a 1，a 2不是数列{b n }中的项．因为a 3＝27＝4×6＋3，所以d 1＝27是数列{b n }中的第6项．设a k ＝3k 是数列{b n }中的第m 项，则3k ＝4m ＋3 (k ，m ∈N *)，因为a k ＋1＝3k ＋1＝3·3k ＝3(4m ＋3)＝4(3m ＋2)＋1， 所以a k ＋1不是数列{b n }中的项．而a k ＋2＝3k ＋2＝9·3k ＝9(4m ＋3)＝4(9m ＋6)＋3， 所以a k ＋2是数列{b n }中的项．由以上讨论可知d 1＝a 3，d 2＝a 5，d 3＝a 7，…，d n ＝a 2n ＋1. 所以数列{d n }的通项公式是d n ＝a 2n ＋1＝32n ＋1 (n ∈N *)．1．求和时项数不清而致错例1 求1＋2＋22＋…＋2n 的和．[错解] 1＋2＋22＋ (2)＝1－2n 1－2＝2n －1.[点拨] 错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n ，项数应为n ＋1项．[正解] 这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n ＋1项的和，所以，1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n ＋11－2＝2n ＋1－1.温馨点评 数列求和时，弄清项数是关键，等比数列前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q(q ≠1)中的n 指的就是数列的项数．2．利用等比数列求和公式忽视q ＝1的情形而致错例2 已知等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，求数列{a n }的通项公式． [错解] 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12 解得q ＝－12. 所以a n ＝a 3q n －3＝4·⎝⎛⎭⎫－12n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. [点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q ＝1这一特殊情况．[正解] 当q ＝1时，a 3＝4，a 1＝a 2＝a 3＝4， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4. 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12 解得：q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5.3．忽略题目中的隐含条件而致错例3 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值． [错解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1.∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列． ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 当b 2＝2时，a 2－a 1b 2＝－12＝－12，当b 2＝－2时，a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.∴a 2－a 1b 2＝±12.[点拨] 注意b 2的符号已经确定，且b 2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．[正解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.例 已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p . 解 方法一 因为{c n ＋1－pc n }是等比数列， 所以当n ≥2时，有(c n ＋1－pc n )2＝(c n ＋2－pc n ＋1)(c n －pc n －1)， 将c n ＝2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －1)] 即[(2－p )2n ＋(3－p )3n ]2＝[(2－p )2n ＋1＋(3－p )3n ＋1][(2－p )2n －1＋(3－p )·3n －1]，整理得16(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0.解得p ＝2或p ＝3.方法二 由c n ＝2n ＋3n ，得c 1＝5，c 2＝13，c 3＝35，c 4＝97. 因而数列{c n ＋1－pc n }的前三项依次为 13－5p,35－13p,97－35p .由题意得：(35－13p )2＝(13－5p )(97－35p ) 整理得：p 2－5p ＋6＝0，∴p ＝2或p ＝3.当p ＝2时，c n ＋1－pc n ＝(2n ＋1＋3n ＋1)－2(2n ＋3n )＝3n ，∴c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n＝3n ＋13n ＝3.∴此时{c n ＋1－pc n }是等比数列．同理p ＝3时数列{c n ＋1－pc n }也是等比数列， ∴p ＝2或p ＝3.方法三 {c n ＋1－pc n }是等比数列 ⇔c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n＝常数． ∵c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n ＝(2－p )2n ＋1＋(3－p )3n ＋1(2－p )2n ＋(3－p )3n ＝2[(2－p )2n ＋(3－p )3n ]＋(3－p )3n (2－p )2n ＋(3－p )3n＝2＋(3－p )3n(2－p )2n ＋(3－p )3n＝2＋3－p (2－p )⎝⎛⎭⎫23n ＋(3－p )为使c n ＋2－pc n ＋1c n ＋1－pc n 为常数，也就是使2＋3－p(2－p )⎝⎛⎭⎫23n ＋(3－p )为常数.∴p －2＝0或p －3＝0，∴p ＝2或p ＝3.1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)． 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列． 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，n ∈N *.赏析 本题主要考查数列的通项及求和的有关知识，考查运算能力和综合解题能力．。