2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文新人教A版

(4)cos2x
1 3．(2017· 课标全国Ⅰ，文)曲线 y＝x ＋x在点(1，2)处的切线
2
方程为________．
答案 解析 为 y′| y＝x＋1 1 因为 y′＝2x－x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率
1 x＝1＝2×1－12＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 y＝x
＋1.
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)f′(x)与 f′(x0)(x0 为常数)表示的意义相同． (2)在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切 线意义是相同的．
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (5)若 f(x)＝a3＋2ax－x2，则 f′(x)＝3a2＋2x.
第三章 导数及应用
第1课时
导数的概念及运算
…2018考纲下载… 1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光 滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数 的几何意义，理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx， ex，ax，lnx，logax的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求 导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导 数．
π 4．设正弦函数 y＝sinx 在 x＝0 和 x＝ 2 附近的平均变化率 为 k1，k2，则 k1，k2 的大小关系为( A．k1>k2 C．k1＝k2
答案 解析 A ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
) B．k1<k2 D．不确定
π k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
导数的几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率， 即曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处的切线的斜率 k＝f′(x0)，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指点P为切点,斜率为k=f'(x0) 的切线,是唯一的一条切线;曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线 经过点P.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有 多条.
考点1
考点2
-15-
考点 1
导数的运算
例 1 分别求下列函数的导数:
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)
导函数
f '(x)=0 f'(x)= αxα-1 f'(x)= cos x f'(x)= -sin x f'(x)=axln a(a>0,且a≠1) f'(x)= ex
f'(x)= ������l1n������(a>0,且 a≠1)
f(x)=ln x
1
f'(x)= ������
例3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若
曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln22
D.-ln22
思考已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是什么?
关闭
函数 f(x)=ex+a·e-x 的导函数是 f'(x)=ex-a·e-x.又 f'(x)是奇函数,所以
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
(1)定义:称函数
y=f(x)在
x=x0
处的瞬时变化率 lim
Δ ������ →0
������ ������

(2015·天津)已知函数 f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中
a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解：f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(lnx＋1)，∴f′(1)＝a＝3.故选 C.
(2015·陕西)函数 y＝xex 在其极值点处的切线方
(logax)′＝____________； (ax)′＝____________.
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.
(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；
当 g(x)＝c(c 为常数)时，即[cf(x)]′＝____________.
②常用的导数运算法则：
法则 1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)． 法则 2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
法则 3：uv（ （xx） ）′＝u′（x）v（vx2）（－x）u（x）v′（x）(v(x)≠0)．
5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求 闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．
7．会用导数解决实际问题． 8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定 积分的概念． 9．了解微积分基本定理的含义．
处的切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相

第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
本节主要包括 2 个知识点： 1.导数的运算； 2.导数的几何意义.
突破点(一) 导数的运算
突破点(二) 导数的几何意义
01234
全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 导数的运算
抓牢双基·自学区 完成情况
[基本知识]
1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
法二：f(x)＝(x＋1)2(x－3)＝x3－x2－5x－3，则 f′(x)＝3x2 －2x－5.
(2)因为 f′(x)＝ln x＋1，所以 f′(1)＝0＋1＝1，所以 f′(1)
＋f(4)＝1＋4ln 4＝1＋8ln 2.故选 B.
(3)因为 f(x)＝sin xcos φ－cos xsin φ－10<φ<π2，所以 f′(x)
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较 为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导
含待定系数 如含f′(x0)，a，b等的形式，先将待定系数 看成常数，再求导
复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
f′(x)＝ _c_o_s__x__
基本初等函数 f(x)＝xα (α∈Q *)
f(x)＝cos x
导函数
f′(x)＝ _α_x_α_－_1 _
f′(x)＝ _－__s_i_n_x_
f′(x)＝ ex
f(x)＝ax (a>0，a≠1)
1 f′(x)＝ x
f(x)＝logax (a>0，a≠1)
f′(x)＝ __a_xl_n__a_ f′(x)＝

(1)证明 函数 f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=2x-2+������������
=
2������2-2������+������ ������
=
2
������-12 ���2��� +������-12.
当 m≥12时,对 x∈(0,+∞),f'(x)≥0,且 f'(x)在(0,+∞)上的任意子
0,
1 2������
内单调递增,
可得当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,x∈
1,
1 2������
时,f'(x)>0.
所以 f(x)在(0,1)内单调递减,在
1,
1 2������
内单调递增,所以 f(x)在
x=1 处取得极小值,不符合题意.
考点1
考点2
考点3
-5-
③当 a=12时,21������=1,f'(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递
2 3
= 247.
(2)∵f(x)+g(x)≥-x3+(a+2)x,
∴a(ln x-x)≥2x-x2.
由 y=x-ln x 的导数 y'=1-1������,可得函数 y 在(1,+∞)内单调递增, 在(0,1)内单调递减.
考点1
考点2
考点3
-13-
故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0, 即 ln x<x,即有 a≤������������2-l-n2������������. 设 φ(x)=������������2-l-n2������������,

• 考点二 导数的几何意义(多维探究)
• 命题角度一 求切线方程
• 【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数， 当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点 (1，－3)处的切线方程是________．
• (2)(2017·扬州中学质检)已知函数f(x)＝xln x， 若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切， 则直线l的方程为________．
第1讲 导数的概念及运算
考试要求 1.导数的概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意 义，B 级要求；3.根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝1x，y＝x2， y＝x3，y＝ x的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求；5.求简单复合 函数(仅限于形如 y＝f(ax＋b))的导数，B 级要求．
• 4．(2017·镇江期末)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2) 处的切线方程为________．
• 解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率 k＝＝－y′5(x|x－＝00＝)，－即5e50x＝＋－y＋5，2＝∴0.切线方程为y－(－2)
• 答案 5x＋y＋2＝0
• 5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图 象 在 点 (1 ， f(1)) 处 的 切 线 过 点 (2,7) ， 则 a ＝ ________.
• 规 f上(x律，)在方又点法在P(切x0(线，1)上y导0)．数处切f的′线切(x有0线)的可的几能斜何和率意曲，义线切就还点是有既函其在数他曲y的线＝ 公共点．
• (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲 线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先 设出切点坐标．

（ ＝
1＋ΔΔxx（－11）＋（Δx＋1＋1）Δx＋1）＝
1＋1Δx＋1＝12.
【答案】
1 2
★状元笔记★ 导数定义探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变 化率ΔΔyx当 Δx→0 时极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量 Δy，再 算比值ΔΔyx＝f（x＋ΔxΔ）x－f（x），再求极限 y′＝Δlxi→m0ΔΔyx.
3．(2017·课标全国Ⅰ，文)曲线 y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线 方程为________．
答案 y＝x＋1 解析 因为 y′＝2x－x12，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率 为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 y＝x ＋1.
4．设正弦函数 y＝sinx 在 x＝0 和 x＝π2 附近的平均变化率
的一条切线，则 m 的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．3
答案 B 解析 因为直线 y＝－x＋m 是曲线 y＝x2－3lnx 的切线，所以 令 y′＝2x－3x＝－1，得 x＝1 或 x＝－32(舍去)，即切点为(1，1)， 又切点(1，1)在直线 y＝－x＋m 上，所以 m＝2，故选 B.
6．有一机器人的运动方程为 s＝t2＋3t (t 是时间，s 是位移)， 则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为________．
即 f′(x0)＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
(2)当把上式中的 x0 看做变量 x 时，f′(x)即为 f(x)的导函数，
简称导数，即 y′＝f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x）
Δx
.
导数的几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k＝f′(x0)，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

解析：选 C.法一：在 x＝4 时的瞬时变化率为 f（4＋Δx）－f（4） Δy lim ＝ lim ＝ lim (Δx＋1)＝1，故选 C. Δ x Δ x Δx→0 Δx→0 Δx→0 法二：f′(x)＝2x－7. f′(4)＝2×4－7＝1.故选 C.
函数 y＝f (x )的图象如图，则导函数 f ′(x )的大致图象为 ( )
f（x） f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (3) (g(x)≠0)． 2 ′＝ g （ x ） [ g （ x ） ]
将原油精炼为汽油的过程中，需要对原油进行冷却和加 热，已知在第 x 小时，原油的温度 ( ℃ ) 为 f (x ) ＝ x 2 － 7x ＋ 15(0≤x ≤8)，则第 4 小时，原油温度的瞬时变化率为 ( A．－3 C ．1 B． 3 D．－1 )
1－xln x D．y′＝ xex （ln x）′ex－（ex）′ln x 解析：选 D.y′＝ （ ex ） 2
解析：选 B.法一：由原图知可设 y＝f(x)＝kx＋b(k＜0)． f（x＋Δx）－f（x） 则 f′(x)＝ lim Δx Δ x →0 k（x＋Δx）＋b－kx－b ＝ lim ＝k＜0，故选 B. Δx Δx→0 法二：可设 f(x)＝kx＋b(k＜0)． 则 f′(x)＝k＜0.故选 B.
令 x＝2，得 f′(2)＝－12. 再令 x＝5，得 f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
) B．4 D．8
解析：选 C.f′(x)＝6x＋2f′(2)，
ln x 2．y＝ x 的导数为( e 1－ln x A．y′＝ xex x－ln x C．y′＝ xex
) 1－ln x B．y′＝ ex
(2)导数的几何意义 函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 斜率 处的切线的____________ ． (3)函数 f(x)的导函数

评析 本题主要考查导数的运算及其几何意义,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思 想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.
考点二 导数的运算
1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为
.
答案 e 解析 本题主要考查导数的运算.
x- x ,∴y'=-sin
2
x- 12 ,∴y'|x=0=- 12 ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- 12 ,∴切线方程为y-1=- 12 (x
-0),即x+2y-2=0.
方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代
入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.
3.(2018课标Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线 方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案 D 本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. ∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a-1=0,得a=1,∴f(x)=x3+x,∴f '(x)=3x2+1,∴f '(0)=1,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 解后反思 求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标. (2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组). (3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.