2015年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．集合{}1,0,1,2,3,A =-，{}2,1,0,1B =--，则图中阴影部分表示的集合为_____. IBA A ．{}1,0,1-B ．{}2,3C ．{}2,2,3-D ．{}1,0,1,2,3-考点：Veen 图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有分析：由图象可知阴影部分对应的集合为()A C B ，然后根据集合的基本运算求解即可．解答：解：由Veen 图可知阴影部分对应的集合为()A C B ，{}1,0,1,2,3A =- ，{}2,1,0,1B =--，{}2,1,0,1C B x x x x x ∴=≠-≠-≠≠ ，即(){}2,3A C B = ，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，根据图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础． 2．i 为虚数单位，()()21i 1i z =- +，则z =______.答案：DA ．1B ．2CD ．考点： 复数求模．菁优网版权所有专题： 数系的扩充和复数． 分析： 通过设i z a b =+，可得i z a b =- ，利用()()21i 1i z =- +，可得1i z =-- ，进而可得结论．解答： 解：设i z a b =+，则i z a b =- ， ()()21i 1i z =- +，()()()()22221i 2i 1i 12i i 2i 2i 2i 22i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 11z --------∴=======---- ++++++， 1i z ∴=-+，∴=，故选：C ．点评： 本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．3．已知随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，若()30.023P ξ>=，则()13P ξ<=≤______.A ．0.046B ．0.623C ．0.977D ．0.954答案：D考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1N ，得到曲线关于2x =对称，根据曲线的对称性得到()()13123P P ξξ<=->≤，从而得到所求．解答：解：随机变量ξ服从正态分布()2,3N ，∴曲线关于2x =对称，()()131230.954P P ξξ∴=->=≤≤，故选：D ．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．4..执行如图所示的程序框图，结果是_____.A ．6581B ．1927C ．59D ．13答案：A考点：程序框图．菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，a ，S 的值，当i 4=时满足条件i 3>，退出循环，输出S 的值为6581． 解答：解：模拟执行程序框图，可得 0S =，i 0=i 1=13a =，13S =， 不满足条件i 3>，i 2=，29a =，59S =不满足条件i 3>，i 3=，427a =，1927S = 不满足条件i 3>，i 4=，881a =，6581S = 满足条件i 3>，退出循环，输出S 的值为6581． 故选：A ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i ，a ，S 的值是解题的关键，属于基础题．5．等差数列{}n a 中，35a =，4822a a =+，则的前20项和为____.A ．400B ．410C ．420D ．430答案：A考点：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合4822a a =+求得6a ，再结合35a =求得公差，进一步求得首项，代入等差数列的前n 项和公式得答案．解答：解：在等差数列{}n a 中，由4822a a =+，得6222a =，611a ∴=，又35a =，则631152633a a d --===-， 1325221a a d ∴=-=-⨯=． 则20201922014002S ⨯⨯=⨯=+． 故选：A ．点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题．6．M 为抛物线28y x =上一点，F 为抛物线的焦点，120MFO ∠=︒（O 为坐标原点），()2,0N -，则直线MN 的斜率为______.A ．13±B ．12± C ． D ． 答案：C考点：抛物线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用cos120FM FO FM FO ⋅∴︒= 计算可得(6,M ±，进而可得结论． 解答： 解：设21,8M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题可知()2,0F ， 21,8FM y y ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，()2,0FO =- ，221414cos120=12228y FM FO FM FO y -⋅∴︒==-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭+，解得y =±(6,M ∴±，又()2,0N - ，MN k ∴== 故选：C ．点评：本题考查抛物线中直线的斜率，注意解题方法的积累，属于中档题．7．已知函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()sin2g x x =，将函数()f x 的图象经过下列哪种可以与()g x 的图象重合______. A ．向左平移π12个单位 B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位 D ．向右平移π6个单位 答案：C考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位， 可得函数()πππcos 2cos 2sin 21232y x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 故选：C ．点评：本题主要考查()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.俯视图侧视图正视图A ．()2π13+B ．()4π13+C ．41π32⎛⎫ ⎪⎝⎭+ D ．21π32⎛⎫ ⎪⎝⎭+ 答案：A考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体为半球与四棱锥的组合体，利用体积公式，即可求出几何体的体积．解：几何体为半球与四棱锥的组合体，由题意，体积为()214112π12211=π123323⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++． 故选：A ．点评：本题考查几何体的体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．9．实数x ，y 满足10330390x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪-⎩+≥+≥+≤，若z ax y =+的最大值为23a +，则a 的取值范围是______.A ．[]3,1-B ．[]1,3-C ．(],1-∞D ．[)3,∞+答案：B考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由10390x y x y -=⎧⎨-=⎩++，解得23x y =⎧⎨=⎩， 即()2,3A ，若z ax y =+的最大值为23a +，即A 是函数取得最大值的最优解，由z ax y =+得y ax z =-+，即目标函数的斜率k a =-，要使是函数取得最大值的最优解，若0a =，y z =，满足条件，若0a ->，则满足1a -≤，即0a <，且1a -≤，此时10a -<≤，若0a ->，则满足3a --≥，即0a <，且3a ≤，此时03a <≤，综上13a -≤≤，故选：B ．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．异面直线l 与m 所成的角为π3，异面直线l 与n 所成的角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是_____. A ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B异面直线及其所成的角．菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，把直线m ，n 分别平移，可得异面直线m 与n 所成角的范围．解答：解：如图所示，把直线m ，n 分别平移，可得异面直线m 与n 所成角的范围是：ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：B ．点评：本题考查了异面直线的夹角、平移法，考查了空间想象能力与推理能力，属于中档题．11．函数()e x f x a -=+，()ln g x x =，若1x ，2x 都满足()()f x g x =，则_____.A ．12e x x ⋅>B ．121e x x <⋅<C ．1120e x x -<⋅<D ．112e 1x x -<⋅<答案：D考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：画出图象得出()()11f x g x =，()()22f x g x =，11x >，201x <<，利用图象得出范围12121e e ln 0x x x x ---<-=<，求解即可得出112e 1x x -<<．解答：解： 函数()e x f x a -=+，()ln g x x =，()()11f x g x = ，()()22f x g x =，11x >，201x <<11e ln x a x -∴=+，22e ln x a x -=-+，即12121e e ln 0x x x x ---<-=<，112e 1x x -<<，故选：D ．点评：本题考查了函数的性质，函数的零点的求解，学生运用函数图象解决问题的能力，观察变化的能力，属于中档题．12．关于曲线2233:1C x y =+，给出下列四个命题：A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 有且只有两条对称轴C ．曲线C 的周长1满足1≥．曲线C 上的点到原点的距离的最小值为12上述命题中，真命题的个数是______..A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点：曲线与方程．菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用；推理和证明．分析：利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．解答：解：把曲线C 中的(),x y 同时换成(),x y --，方程不变，∴曲线C 关于原点对称，即A 正确； 曲线方程为22331x y =+，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，∴曲线C 关于直线y x =对称，同理，y x =-，x ，y 轴是曲线的对称轴，即B 不正确；在第一象限内，因为点,⎝⎭在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方，且为凹函数如图： 由以上分析可知曲线C 周长1满足1≥ 曲线C上的点到原点的距离的最小值为,⎝⎭到原点的距离，为，即D 不正确． 故选：B ．点评：本题主要考查曲线方程的性质的判断和推理，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强难度较大．二、填空题13．设*n ∈N ，()3nx +展开式的所有项系数和为256，则其二项式系数的最大值为_____．（用数字作答） 答案：6考点：二项式系数的性质．菁优网版权所有专题：二项式定理．分析：由题意求得n ，再由二项式系数的性质求得其二项式系数的最大值．解答：解：由()3nx +展开式的所有项系数和为256，得4256n =，即4n =． ()()433n x x ∴=++，其展开式中有5项，其中二项式系数最大的是第3项，二项式系数的最大值为246C =．故答案为：6．点评：本题考查二项式系数的性质，考查了二项展开式的二项式系数和项的系数，是基础题． 14．向量a ，b 满足21a a b a b === ++，则b = ______.考点：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有专题：平面向量及应用．分析： 将已知等式平方，展开变形得到32a b ⋅=- ，22b a b =-⋅ ． 解答： 解：因为21a a b a b === ++，所以22221a a b a b === ++，展开整理得到32a b ⋅=- ，22b a b =-⋅ ，所以b点评：本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及向量模的求法；属于基础题．15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，145m S -=，93m S =，1189m S -=，则m =_______．答案：5考点：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和1m m m a S S -=-求出公比q ，利用等比数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，求出m 的值． 解答：解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比是q ，因为145m S -=,93m S =,1189m S =+，所以148m m m a S S -=-=，1196m m m a S S =-=++， 则12m ma q a ==+， 所以()1111248124512m m a a --⎧⋅=⎪⎨-=⎪⎩-，解得5m =， 故答案为：5．点评：本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式的应用，以及方程思想，属于基础题．16．F 是双曲线22:14y x Γ-=的右焦点，Γ的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ= ，则λ=______．答案：4 考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设(),P m n ，0m >，代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P 的坐标，再设Q 的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q 的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求．解答：解：设(),P m n ，0m >， 则2214n m -=， 双曲线的渐近线方程为2y x =±，设P 到直线2y x =的距离为2，2=， 由于P 在直线的下方，则2m n -=解得m =，n =即P ⎝⎭， 设(),2Q s s -，由)0F， 由于F ，P ，Q 共线，可得则FP FQ k k =，解得s =，即有,Q ⎝，,FP ⎛= ⎝⎭，PQ ⎛= ⎝⎭ ， 由于FP PQ λ= ，则=4λ．故答案为：4．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：17．在ABC △中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，22222c a b -=．（I ）证明2cos 2cosC A a b -=（Ⅱ）若1a =,1tan 3A =，求ABC △的面积s ． 考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用余弦定理把cos A 和cos C 的表达式代入等号左边整理，结合已知条件证明出结论．（Ⅱ）利用正弦定理把（Ⅰ）中的结论中边转化成角的正弦整理可求得tan C ，进而求得C ，再利用正弦定理求得c ，利用余弦定理求得b ，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．解答：（Ⅰ）证明：因为22222c a b -=， 所以2222222222cos 2cosC 2c 22222b c a a b c a b c c A A a a bc ab ab----=⋅-⋅-⋅+++ 2222222222=b c a a b c c a b b b b----==++． （Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及()sin sin B A C =+得2sin cos 2sinAcosC sinAcosC C A -=，即sin cos =3sin cos C A A C ，又sin cosC 0A ≠，所以tan 3tan 1C A ==，故45C =︒．再由正弦定理及sin A =sin sin a C c A= 于是()22228b c a =-=，b =， 从而1sin 12S ab C ==．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．熟练综合运用正弦定理和余弦定理公式是解决三角形问题的关键．18．某项比赛规则是：先进行个人赛，每支参赛队的成绩前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同队员之间进行且三场比赛同时进行．根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场获胜的概率为23，负的概率为13，且各场比赛互不影响．已知甲乙队各5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示：（I ）计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；（Ⅱ）求甲队在团体赛中至少2名队员获胜的概率．332906488635乙对甲对考点：众数、中位数、平均数；茎叶图；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据平均数和方差的公式计算即可；（Ⅱ）根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率得到结果．解答：解：（Ⅰ）由茎叶图可知， 8583869690==885x 甲++++，8884839293==885x 乙++++；()()()()()2222221=8588838886889688908821.25S ⎡⎤-----=⎣⎦甲++++， ()()()()()2222221=8888848883889288938816.45S ⎡⎤-----=⎣⎦乙++++． （Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A 、B 、C ，由题意可知()23P A =，()()13P B P C ==，且A 、B 、C 相互独立， 设甲队至少2名队员获胜的事件为E ，则()()()()E ABC ABC ABC ABC = ． ()21121121211111113333333333327P E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯--⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++． 点评：本题茎叶图，平均数，方差，互斥事件、相互独立事件的概率计算，互斥事件一般涉及分类讨论，注意要全面分析，做到不重不漏，属于中档题．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是矩形，截面1A BC 是等边三角形．（I ）求证：AB=AC ；（Ⅱ）若AB AC ⊥，平面1A BC ⊥底面ABC ，求二面角11B B C A --的余弦值．C'CB'B A'A考点：二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I ）取BC 中点O ，连OA ，1OA ．证明：BC ⊥平面1AOA ，可得BC OA ⊥，即可证明AB AC =； （Ⅱ）分别以OA ，OB ，1OA 为正方向建立空间直角坐标系O xOy -，求出平面1BB C 的法向量、平面11A B C 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角11B B C A --的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，1OA ．因为侧面11BCC B 是矩形，所以1BC BB ⊥，1BC AA ⊥，因为截面1A BC 是等边三角形，所以1BC OA ⊥，于是BC ⊥平面1AOA ，BC OA ⊥，因此：AB AC =．… （Ⅱ）解：设2BC =，则1OA AB AC ⊥，AB AC =得1OA =．因为平面1A BC ⊥底面ABC ，1OA BC ⊥，所以1OA ⊥底面ABC ．如图，分别以OA ，OB ，1OA 为正方向建立空间直角坐标系O xOy -． ()1,0,0A ，()0,1,0B，(10,0,A ，()0,1,0C -，()0,2,0CB =，(111,0,BB AA ==-，(10,1,CA = ，()111,1,0A B AB ==- ．设平面1BB C 的法向量()π,,x y z = ，则200y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取)π=0,1 ．同理可得平面111A B C的法向量()1n =- ．cos π,n ∴= 11B B C A --的余弦值为． …C'点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的余弦值，考查向量法的运用，正确运用向量法是关键． 20．已知椭圆 ()2222:10y x C a b a b=>>+，直线l 与椭圆C 有唯一公共点M ，为坐标原点），当点M坐标为12⎫⎪⎭时，l240y -=+． （I ）求椭圆C 方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率为K ，M 在椭圆C 上移动时，作OH l ⊥于H （O 为坐标原点），求HOM ∠最大时k 的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）将M 点坐标代入椭圆方程，同时联立直线l 与椭圆方程，计算即得结论；（ II ）通过设直线l 并与椭圆方程联立，利用=0△，进而可得2OM 、2OH 的表达式，化简即得结论． 解答：解：（Ⅰ）由题意可得：223114a b =+，（*）240y -=+代入椭圆C ，有：()2222222341640a b x x a a b --=++，令=0△得：223416a b =+，（**）联立（*）、（**），解得：24a =，21b =，∴椭圆C 的方程为：2214x y =+； （ II ）设直线:l y kx m =+，()00,M x y ．将直线l 的方程代入椭圆C 得：()222148440k x kmx m -=+++，令=0△，得2241m k =+，且22024414m x k -=+， 22211614k OM k∴=++， 又222221411m k OH k k ==+++，()()()()2222214cos 1161k HOM k k ⎛⎫ ⎪∴∠= ⎪⎝⎭+++， ()()()()22222252025141164444k k k k = ++++≤， ()()()22221416251161k k ∴+≥++，等号当且仅当214k =时成立， HOM ∴∠取最大时12k =±． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知()2e x f x x b =-+，曲线()y f x =与直线1y ax =+相切于点()()1,1f（I ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >时，()()e 2e 13cos 4sin 0x x x x ⎡⎤--->⎣⎦++．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出()f x 的导数，求得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a ，b 的值；（ II ）由（Ⅰ）得，()2e x f x x =-，首先证明：当0x >时，()()e 2f x x -≥+1．运用导数和单调性可证；因0x >，则()e 2e 1x x x x --+≥（当且仅当1x =时等号成立）．再证明：当0x >时，4sin 3cos x x x>+．通过令()4sin 3cos x p x x x=-+，求出导数，判断单调性，即可得证． 解答：解：（Ⅰ）()'e 2x f x x =-．由题设得()'1e 2a f ==-，()11e a f a b ==-++．故e 2a =-，0b =．（ II ）由（Ⅰ）得，()2e x f x x =-，下面证明：当0x >时，()()e 21f x x -≥+．设()()()e 21g x f x x =---，0x >．则()()'e 2e 2x g x x =---，设()()'h x g x =，则()'e 2x h x =-，当()0,ln2x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，当()ln2,x ∈∞+时，()'0h x >，()h x 单调递增．又()03e 0h =->，()10h =，0ln 21<<，()ln20h <，所以()00,1x ∃∈,()00h x =，所以当()00,x x ∈或()1,x ∈∞+时，()g'0x >；当()0,1x x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()00,x 和()1,∞+单调递增，在()0,1x 单调递减，又()()010g g ==，所以()()2e e 210x g x x x =----≥．因0x >，则()e 2e 1x x x x--+≥（当且仅当1x =时等号成立）．①，以下证明：当0x >时，4sin 3cos x x x>+． 令()4sin 3cos x p x x x =-+，则()()()()()()43cos 1cos 1cos 5'103cos 23cos 2x x x p x x x --=-=+≥++， （当且仅当2πx k =,Z k ∈时等号成立）．所以()p x 在()0,∞+单调递增，当0x >时，()()4sin 003cos x p x x p x =->=+ =0， 即4sin 3cos x x x>+．② 由①②得当0x >时，()e 2e 14sin 3cos x x x x x-->++， 又()3cos 0x x >+，故()()e 2e 13cos 4sin 0x x x x x ⎡⎤--->⎣⎦++．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查单调性的运用，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数的方法，属于中档题．22．如图，C 是圆O 的直径AB 上一点，CD AB ⊥，与圆O 相交于点D ，与弦AF 交于点E ，与BF 的延长线相交于点G ．GT 与圆相切于点T ．（I ）证明：2CD CE CG =⋅；（Ⅱ）若1AC CO ==，3CD CE =，求GT ．G考点：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有专题：综合题；推理和证明．分析：（I ）延长DC 与圆O 交于点M ，利用相交弦定理，三角形相似的性质，即可证明：2CD CE CG =⋅； （Ⅱ）由（Ⅰ）得3CG CD =，利用切割线定理求GT ．解答：（Ⅰ）证明：延长DC 与圆O 交于点M ，因为CD AB ⊥，所以2CD CD CM AC BC =⋅=⋅， 因为Rt Rt ACE GBC △∽△，所以AC CG CE BC=， 即AC BC CE CG ⋅=⋅，故2CD CE CG =⋅．…（Ⅱ）解：因为1AC CO ==，所以23CD AC BC =⋅=，又3CD CE =，由（Ⅰ）得3CG CD =，()()()()2222824GT GM GD CG CM CG CD CG CD CG CD CG CD CD =⋅=⋅-=⋅-=-==++ ，故GT =…SGBA点评：本题考查相交弦定理，三角形相似的性质，考查切割线定理，考查相似分析解决问题的能力，属于中档题．23．已知半圆()()22:24C x y y 0-=+≥，直线:220l x y --=．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）写出C 与l 的极坐标方程；（Ⅱ）记A 为C 直径的右端点，C 与l 交于点M ，且M 为圆弧AB 的中点，求OB ．考点：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有专题：三角函数的求值；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）将x xos ρθ=,sin y ρθ=分别代入半圆C 与直线l 的方程中，整理得出它们的极坐标方程； （Ⅱ）由题意求出点B 的极角α的正切值tan α，利用三角函数的关系求出cos α，即可计算OB 的值． 解答：解：（Ⅰ）将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入半圆()()22:240C x y y -=+≥中， ()()22cos 2sin 4ρθρθ-=+，化简得C 的极坐标方程为π:4cos 02C x θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤； 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入直线l :220x y --=中，得l 的极坐标方程为l :cos 2sin 20ρθρθ--=；…（Ⅱ）根据题意，1经过半圆C 的圆心()2,0C ，设点B 的极角为α，则1tan 2α=， sin 1cos 2αα∴=， 即1sin cos 2αα=， 2221215sin cos cos cos cos 144ααααα∴===++， 24cos 5α∴=； 又π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos α∴ ∴由C 的极坐标方程得4cos 4OB ρα==== … 点评：本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化和应用问题，也考查了三角函数的求值问题，是综合性题目．24．设()12f x ax x =-++,()0a >． （I ）若1a =，时，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()2f x ≥，求a 的最小值．考点：绝对值三角不等式．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）分类讨论化简()f x 的解析式，由()f x 的单调性及()()325f f -==，得()5f x ≤ 的解集．（Ⅱ）由()()()()11,2113,2111,a x x f x a x x a a x x a ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩+≤+++≤的单调性，以及()f x 的图象连续不断，可得要是()2f x ≥，当且仅当()22f -≥，且12f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥，由此求得a 的最小值． 解答：解：（Ⅰ）若1a =，()21,23,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤+，由()f x 的单调性及()()325f f -==，得()5f x ≤ 的解集为{}32x x -≤≤．（Ⅱ）()()()()11,2113,2111,a x x f x a x x a a x x a ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩+≤+++≤， 当(],2x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当1,x a ⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭+时，()f x 单调递增， 又()f x 的图象连续不断，所以()2f x ≥，当且仅当()2212f a -=+≥，且1122f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭+≥， 求得12a ≥，故a 的最小值为12． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的单调性的应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
