小学各年级奥数集13

第十三章简易方程•倍数问题典型题训练1（难度等级★）例甲水池有水2800立方米，乙水池有水1200立方米。

甲水池要流出多少水给乙水池，才能使乙水池的水是甲水池的3倍？解设甲水池要流出x立方米的水给乙水池。

3（2800－x）＝1200＋x，x＝1800。

答：甲水池要流出1800立方米水给乙水池。

1．甲书架上有230本书，乙书架上有130本书。

要使甲书架上的书是乙书架上的3倍，应从乙书架上拿走多少本放到甲书架上？2．两袋大米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的大米第一袋刚好是第二袋的2倍。

两袋大米原来分别重多少千克？3．甲、乙两人的存款相等，某日甲取出60元、乙存入20元，此时，乙的存款是甲的3倍。

两人原有存款分别为多少元？4．有两桶油，第一桶油的重量是第二桶油的1.5倍。

如果从第一桶中倒出4千克油加入第二桶中，两桶油重量相等。

第一桶油和第二桶油原来分别有多少千克？典型题训练2（难度等级★★）例甲、乙两人共有10000元，甲用去2000元，乙用去500元，乙剩下的钱比甲剩下的钱的2倍多300元。

甲、乙两人原来分别有多少元？解设甲剩下x元，则乙剩下（2x＋300）元。

x＋2x＋300＝10000－2000－500，x＝2400，2x＋300＝5100。

2400＋2000＝4400（元），10000－4400＝5600（元）。

答：甲、乙两人原来分别有4400元和5600元。

1．有两条绳子，长绳的长度是短绳的2.5倍，如果从这两条绳子上各剪去30米，则长绳剩下的长度是短绳剩下长度的4.5倍。

短绳和长绳原来分别有多长？2．甲、乙两人加工零件，甲比乙每天多加工6个零件，乙中途休息了15天，40天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半。

甲、乙两人每天分别加工多少个零件？3．某市举行数学竞赛，得二等奖的人数比得一等奖的2倍少40人，得三等奖的人数比得二等奖的3倍多80人。

如果得三等奖人数比得一等奖的多560人，得一、二、三等奖的分别有多少人？4．甲停车点有222辆电动车，乙停车点有48辆电动车。

第十三讲猜猜凑凑有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案．猜，很难一次猜中；凑，也不一定凑得准．那不要紧，再猜再凑，对于比较简单的问题，最后总能凑出答案来．数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字叫“尝试法”．有时，它还是一种极为有效的方法，数学上的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的．猜，要大胆；凑，要细心．要知道猜的对不对，还要根据题目中的条件进行检验．例1小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的积，你知道小明想的三个数都是什么吗？解：猜——小明想的三个数是1、2、3．检验：1+2+3=61×2×3=6所以 1+2+3=1×2×3对了！解：猜——由△+□=3可猜△=1，□=2；又由△+○=4可猜△=1，○=3；检验：□+○=2+3=5，对了！所以△=1，□=2，○=3．例3 一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？解：猜——可以先从小数猜起．2个老人3个梨．检验：2个老人3个梨符合一人一梨多一梨的条件．但是不是符合另一个条件呢？先看：若一人分两个梨，2个老人就需要有4个梨，因为假设3个梨，这样就会还少4-3=1个梨，这不符合少两梨的条件．再猜：若是3个老人4个梨呢？显然这符合第一个条件．再看第二个条件是不是也符合呢？若是一个老人分2个梨，3个老人就需要有6个梨，假设有4个梨，这样就少6-4=2个梨，对了！所以最后答案就是3个老人4个梨．例4 100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，恰好分完．问大和尚、小和尚各多少人？解：这是一道古代的算题．猜——若是大和尚33人，就要分3×33=99个馒头，还剩100-99=1（个）馒头，分给3个小和尚，这样和尚总人数为33+3=36人，与已知有100个和尚不符，不对！大和尚的人数减少些．若是有30个大和尚，分3×30=90个馒头，还剩10个馒头，可以分给3×10=30个小和尚，这样和尚总数是30+30=60人．还必须减少大和尚的人数．若是有25个大和尚，分3×25=75个馒头，还剩100-75=25个馒头，可以分给3×25=75个小和尚．这样和尚总数是25+75=100人，对了．所以答案是大和尚25人，小和尚75人．例5 甲、乙、丙三个小朋友在操场跑步．甲2分钟跑一圈，乙3分钟跑一圈，丙5分钟跑一圈．如果他们三人同时从同一起点起跑，问多少分钟后他们三人再次相遇？解：猜与凑．先猜过6分钟后，甲跑了3圈，乙跑了2圈，他们在起跑点又相遇了．再看丙是否与他俩相遇呢？丙5分钟跑一圈，6分钟跑了1圈多一点，错过了，丙没能与甲、乙相遇在一起．若再过6分钟，即12分钟后，甲和乙又相遇了．但是丙还不能与甲、乙相遇；因为：12÷5=2（圈） (2)即丙跑了2圈又多一些．这样，已看出一个规律来了，能够估计出若起跑后经过5个6分钟，即6×5=30分钟，这时丙跑了30÷5=6圈整，这样丙就能够与甲、乙相遇了．例6 有人问孩子年龄，回答说：“比父亲的岁数的一半少9岁”．又问父亲年龄，回答说：“比孩子的岁数的3倍多3岁”．求父亲和孩子的年龄各是多少岁？解：猜猜凑凑——要找到对题中的两句话都适合的年龄．先猜父亲40岁，则儿子年龄是：40÷2-9=20-9=11（岁）检验父龄：11×3+3=33+3=36岁，不对！再猜父亲42岁，则儿子：42÷2-9=21-9=12（岁）检验父龄：12×3+3=36+3=39（岁），不对！再猜父亲44岁，则儿子：44÷2-9=22-9=13岁检验父龄：13×3+3=39+3=42岁，不对！再猜父亲46岁，则儿子：46÷2-9=23-9=14岁检验父龄：14×3+3=42+3=45岁，不对！再猜父亲48岁，则儿子：48÷2-9=24-9=15岁检验父龄：15×3+3=45+3=48岁，对了！所以答案是：父亲年龄48岁，儿子年龄15岁．习题十三1．林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1．请猜出林林心中想的这三个数各是几？2．一群老头去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人2梨少3梨，几个老头几个梨？3．图13－2中算式里的小动物各代表什么数？需要注意的是有规定：相同的动物代表相同的数字，不同的动物代表不同的数字．4．游泳池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽．一个男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍．”你知道游泳池中有几个男孩，有几个女孩吗？5．如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出4片树叶．如果在每页贴2片树叶就会空出6页．问这个小本子共多少页，树叶有多少片？6．小虎是趣味数学小组的成员．有人问小虎今年几岁，他编了一道有趣的数学题回答说：“爷爷、爸爸和我，三个人年龄的和是120岁，爷爷比爸爸大30岁，爷爷和爸爸的年龄之和刚好比我大100岁，你猜我今年几岁？”请猜出小虎、爸爸和爷爷各是多少岁？7．图13－4所示的方格中，已填好了数字5，请你把其余的空格填好．使每行每列的三个数之和都是7．（空格中只能填自然数）8．有21个装铅笔的盒子，其中7盒是满的，7盒是半满的，7盒是空的．现在要把这些铅笔连同盒子平均奖给三个学生，使每人分得的铅笔和盒子数都一样多，怎样分？提示：①总数是21个盒，每人应当平分7个盒．②7盒满的等于14盒半满的铅笔，再加本来就是半满的7盒，合计共有21个半满盒铅笔，平均分给三人，每人分得的铅笔应折合成7个半满盒．习题十三解答1．解：因为三个4之和是12，可见这三个数应该都与4相差不多．猜想，第一个是3，第二个数应当是4，第三个数应当是5．检验：3+4+5=12，对了！2．解：猜想是3个老头4个梨．这样，若每个人分2个梨时，就需要有2×3=6个梨，6-4=2，少2个梨，不对！若再凑一下数，减去1个梨，即只有3个梨，不就是少三个梨了吗！但是这样又不符合一人一个多一个的条件了．那么再猜若是4个老头5个梨，一人分2个，需要有2×4=8个梨，还少8-5=3个梨，对了！3．解：先看第一式：因5=1+4=2+3，所以先猜公鸡=1，鸭=4；再看第二式：因为鸭=4，只有母鸡=4才能使第二式成立，但是这不符合题目规定的条件，说明猜错了！再猜，公鸡=2，鸭=3，那么母鸡=5第二式也对了．再看第三式：这里母鸡和公鸡相加，即5+2=7，对了！4．解：先要仔细审题，搞清题意．这道题中有一个隐含的条件是：无论是那个男孩还是那个女孩，他们自己都看不见自己的帽子是什么颜色．明白了这点，就不难知道，当男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”时，实际上游泳池中的蓝帽比红帽多一个，也就是男孩比女孩多1人．由同样的道理可知，当女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍”时，实际上就是，假如女孩去掉1个人，男孩人数就是女孩的2倍．把题意搞清后，再用猜猜凑凑的方法，不难得到正确的答案：男孩4人，女孩3人．5．解：猜——如果小本子有10页，那么由第一个条件，就应该有10+4=14片树叶．再看看能不能满足第二个条件：若每页贴2片树叶，14片树叶需要14÷2=7页就够了，还空10-7=3页，不符合题目中空6页的条件．再猜——如果小本子有12页，树叶12+4=16片，当每页贴2片树叶时，只需要16÷2=8页就够了，还空12-8=4页，也不对！再猜——如果小本子有14页，则树叶14+4=18片，当每页贴2片树叶时，只需要18÷2=9页就够了，还空14-9=5页，也不对！再猜——如果小本子有16页，树叶16+4=20片时，只需要20÷2=10页就够了，还空16-10=6页，对了！所以本题答案是小本子16页，树叶20片．注意，在这道题的猜猜凑凑的过程中，得数越来越接近答案．6．解：猜，需要有一般的生活常识，猜的数要大致上符合人们的生活实际．先猜——爷爷80岁，爸爸30岁，小虎10岁，这样三个人年龄之和就是120岁，这符合第一个条件，看能不能满足第二个条件“爷爷比爸爸大80-30=50岁，不符合30的条件，不对！再猜——若是爷爷70岁，爸爸40岁呢？这样三个人的和还是120岁，但是70-40=30岁符合刚才的第二条．再看能不能符合第三个条件呢？70+40-10=100岁对了！爷爷和爸爸的年龄之和比小虎的年龄刚好大100岁．所以最后答案是爷爷70岁，爸爸40岁，小虎10岁．7．解：注意对这道题，猜要有个合理的顺序．显然第二列上，第一、二行的两个空格都应填1，同样第三行上，第一、三列的两个空格也都应填1．为了使每行每列的三个数之和都是7，最简单的填法是其余的4个空格都填3．这就是一种符合要求的填法．8．解：①经仔细审题，按题意画出下表：②经猜测、试填，同时联系第7题，可填得出符合条件的分配方法．注意：由第7、8两题联系起来可看出，猜和凑的过程和已经学过的知识相结合，就能较快地、较准确地猜出正确的答案了．。

第十三讲概率初步日常生活中，我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面，明天会不会下雨，欧洲杯谁会夺冠等，这些事情我们称作随机事件，它们的结果都有不确定性，是无法预知的.尽管无法预知结果，但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小，例如：今天乌云密布，那么明天很有可能下雨；中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小；一次投掷10枚硬币，出现10个正面的可能性非常小.为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”，法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论，把对随机事件的研究上升到一门科学. （当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题一一掷骰子问题和比赛奖金分配问题）概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性，例如：投掷一枚硬币，正面和反面出1现的可能性相同，所以概率均为丄；投掷一个骰子，每种点数出现的可能性相同，所1 2 以概率均为-•6|概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值. 冷1 关于概率，大家要有一个正确的认识，投掷1枚硬币，正面出现的概率为 -，并1 2 不是说投掷2次一定会有1次正面，而是说每次扔都有可能性出现正面.2虽然投掷2次硬币，不见得正面会出现一半，但是，投掷次数越多，正面出现的比例越接近一半（例如无论谁投掷10000次硬币，正面出现的比例都会很接近0.5）.（这个特点在概率论中被称为大数定律）换言之，概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此，在17世纪概率刚创始的年代，人们提出了古典概率模型.古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型，它的想法非常简单，用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可.某一随机事件发生的概率它所部等可等可况的况数量12反”但概率都不是 -，因为这3种结果出现的可能性不同，给硬币编上A和B,那3么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1种情况（投掷2枚硬币共4种情况）.而例6和例2是相同的题目（把红球换成男生，白球换成女生即可）从这3个例子可以看出，在计算概率时，不能简单的看有几种最终结果，因为结果必须是“等可能”才行（例4的结果只有红球和白球两种，但概率显然不相等）•为了计算“等可能”的结果，一个简单方法是给每个物体编号，例如例4,假设红球是1号到10号，白球是11号，那么显然共有11种不同取法，其中有10种取到红球，所以概率是10.11等可能4.从10个红球、5. 投掷两枚硬币,1反的概率是-.46. 从3个红球、1个白球中，随意的取出1个球，取到红球的概率是1出现2个正面的概率是 -，出现1正1反的概率是41011 •1—，出现2232个白球中，随意取出2个球，取到2个红球的概率是 -.10例4比较简单，在例5中，从硬币的结果看，只有3种情况一一“2正、1正1反、例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相，请问：（1）女生恰好站在一起的概率是多少?（2）女生互不相邻的概率是多少？（3）男生互不相邻的概率是多少？「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗？练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖，请问：（1）关羽站在正中间的概率是多少？（2）关羽和张飞相邻的概率是多少？（3）关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少？例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球，3个黄球和4个黑球•从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率是多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率是多少？（3）这个球是绿球的概率是多少；不是绿球的概率是多少？「分析」首先计算一下取球的总的情况数，再计算问题要求的取球情况数.练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛，已知集训队中共有4 个男生、3个女生，请问：（1）选出3个男生的概率是多少？（2）选出2男1女的概率是多少？例题 3. 一次投掷两个骰子，请问：（1）两个骰子点数相同的概率是多少？（2）两个骰子点数和为5 的概率是多少？（3）两个骰子点数差是1 的概率是多少？「分析」骰子是一个正方体，每个面上的点数从 1 到6，可以按题目要求枚举一些情况，根据枚举结果总结规律计算最后答案．练习3、一次投掷3 枚硬币，请问：（1）出现3 个正面的概率是多少？（2）出现1 正2 反的概率是多少？例题4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1 个，现在从两个盒子中各取一个球，那么它们同色的概率是多少？不同色的概率是多少？「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种？其中有多少同色情况？练习4、一个不透明的袋子里装着2 个红球、3 个黄球和4 个黑球．从中任取两个球，请问：取出2 个黑球的概率是多少？取出1 红1 黄的概率是多少？取出1 黄1 黑的概率是多少？概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响，则称它们相互独立，例如： A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的；甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的；如果两个随机事件相互独立，那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积．例题5. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率分别为0.8和0.9，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？「分析」理解概率独立性，根据独立性解题即可．需要分步计算的概率问题有些随机事件，在发生时有先后顺序，这时在计算概率时需要分步计算，这时只要把每步的概率算出来，然后相乘即可，例如：一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球,1 然后从剩下的球中再取出一个，那么第一次抽到黑球的概率是石，第二次抽到黑球的概率是-，所以两次都抽到黑球的概率是1丄丄•3 2 3 6在分步拿球的问题中，大家还要注意“ 无放回拿球”和“有放回拿球” 的区别，它关系到每步的概率计算结果•例如：一个盒子中装有形状大小相•同的黑球和白球各2个，从中先取出1个球，然后把它放回去，再从盒子中111取出一个，那么两次都抽到黑球的概率是2 2 4 -例题6. 3个人进行抽签，已知3个签中只有一个写有“中奖”，3个人先后抽取，那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大？「分析」分步计算概率即可.小概率事件之买彩票彩票市场产生于16 世纪的意大利，从古罗马、古希腊开始，即有彩票开始发行．发展到今天，世界上已经有139 个国家和地区发行彩票，规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等．发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的．各国、各地区的集资目的多种多样，社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标．以合法形式、公平原则，重新分配社会的闲散资金，协调社会的矛盾和关系，使彩票具有了一种特殊的地位和价值．目前，彩票的种类随着社会的发展而发展．在不断追求提高彩票娱乐性的过程中，彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面．2011 年，全国彩票销售规模首次突破了2000 亿元，达到2215 亿元，彩票公益金筹集量达634亿元．1987 年到2011年，我国累计销售彩票达10951亿元，累计筹集彩票公益金3433 亿元．在我国有两个彩票发行机构，进而形成了以下彩票：福利彩票：福利彩票是指1987 年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票．福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票，近年来主要有即开型彩票（如刮刮乐）、乐透型彩票（如双色球、36选5）和数字型彩票（如3D）三种，后两种均是电脑型彩票.体育彩票：体育彩票是指由1994 年3 月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票．其种类主要有即开型彩票（如顶呱刮）、乐透型彩票（如大乐透、22 选）.截止到2013 年世界上中得彩票最大额为一个美国80 多岁的老太太，独中5.9 亿美元.作业1. 在一只口袋里装着4个红球，5个黄球和6 黑球．从口袋中任取一个球，请问：（1）这个球是红球的概率有多少？（2）这个球是黄球或者是黑球的概率有多少？（3）如果从口袋中任取两个球出来，取到两个红球的概率是多少？2. 小高与墨莫做游戏：由小高抛出3 枚硬币，如果抛出的结果中，有2 枚或2 枚以上的硬币正面朝上，小高就获胜；否则就墨莫获胜．请问这个游戏公平吗？3. 神射手和神枪手两人打靶，已知他们的命中率均为0.3，他们每人开一枪，那么他们都命中的概率是多少？都没命中的概率是多少？4. 连续抛掷2 个骰子．如果已知点数之和大于9，那么点数之和是12 的概率有多大？5. 6 名小朋友在操场上做游戏．他们被老师分成3组，每组2个人．请问：赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少？一样的，所以这个游戏是公平的 .例题:例1.答案：(1) 1 ; (2) ；( 3) 033详解：若没有任何要求共有 A 6种排法，（1）捆绑法：两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共A 55种排法，两个女生可互换位置，所以女生站一起的概率是1-；（2）总的情况去掉（1 ）问的情况的即可，所以3可以；（3）男生无法互不相邻，所以该问概率为 0.例2.答案：（1） 2; (2) 7;(3) 0、19 9详解：共有9个球每个球都有可能被取到（1）红球的数量是2个，所以取到红球的概 率是2 ; （2）排除法可得：2 7 1 - - ; （ 3）没有绿球，所以绿球出现的概率是 0.一定99 9不是绿球，概率是1 .例3.答案：（1） 1 ; (2) 1 ; (3)色69 18详解：（1）两个骰子点数共有 6 6 36种情况，其中相同的情况有 6种，所以概率为-6（2）和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1，共四种，概率为1 , （3）按第一个骰子的点9数分类，第一个骰子点数为 1~6时，第二骰子的点数依次有 1、2、2、2、2、1种情况所以概率为—•18例4.答案：1 ; 233详解：两个盒子各取一个球放在一起有3 X 3=9种取法，同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种，所以，同色概率为三分之一，不同色为1 --=-.3 3例5.答案：0.72; 0.02详解：他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积，即 0.8 0.9 0.72 ;都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积，即0.1 0.2 0.02 .例6.答案：一样大详解：先计算第一个人的中奖概率为 1 ,再计算第二个人中奖的概率， 首先第一个人要3 没有中奖概率为-，此时第二个人抽中的概率为-，所以，第二个人中奖的概率为3 2第十三讲概率初步1 21 --，该问用插空法也3 32 112丄丄，综上，两个人中奖的概率一样大.3 2 3练习：1. 答案：0.2; 0.4; 0.3简答：A4A5 0.2 ；（A： A2）A 0.4 ；（c3 A A3） A 0.3.2. 答案：上；兰35 35简答：共有七人选出3人的的选法总数是C；7 6 535种，（1）选出3男有43 2 1种选法，所以，概率为4 35 —；（2）2男有6种选法，1女有3种选法，2男135女共有18种选法，所以，概率为I8.353. 答案：-；38 8简答：（1）每枚硬币出现正面的概率为-,3个正面的概率是1111 , （2）2 2 2 2 8 投掷3枚硬币可能的情况有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共8种，其中1正2反的次数是3次，所以，概率为？.84. 答案：1；1；16 6 3简答：任取2球，取法总数为C9236种，其中2黑的取法有C426种，1红1黑取法有2X 3=6种，1黄1黑有3 X 4=12种，所以，概率为1, 1 , 1 .6 6 3作业：4 11 26. 答案：（1）；（2）；（3）15 15 35简答：（1）任取一个球，全部情况的数量是15，取到红球的数量是4,所以概率是 -；1511（2）取到黄球或黑球的数量是11,所以概率是；（3）任取两个球，全部情况的数152 2 2量是氏105，取到两个红球的数量是C26，所以概率是6 105 -357. 答案：公平1简答：每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是，按照这个游戏规则，小高获胜的2111111311概率是：c2 —————一 ___ ，墨莫获胜的概率是3222222882111 111 3 1 1C3-1 1 1 1 1 31 1，这个游戏对于小高和墨莫来说，获胜的概率都是2222228828.答案：0.09 ; 0.49简答：0.3 0.3 0.09 ；0.7 0.7 0.49 .19. 答案：—6简答：点数和大于9 的情况有 6 种：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6,16）.其中和为12的概率为二.610. 答案：1/5简答：赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5，所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5.古典概型中，第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”，下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法：1. A、B、C排成一排，共有6种排法，其中A占排头的方法共2种，所以A站排1头的概率是* 1 2 3 * 5.32 .从3个男生、2个女生中，随意选出2个人去参加数学竞赛，共有10种方法,3其中选出2个男生的方法数有3种，所以选出2个男生的概率是一.103. 3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法，其中女生互不相邻的站法3共72种，所以3男、2女站成一排，女生互不相邻的概率是-.5上面的例子都比较简单，因为计算概率所需要的两个数都非常好算，接来下我们再看几个例子，从这几个例子中，大家要能体会到古典概型的第二个重要条件一样的，所以这个游戏是公平的.。

第十三讲沙漏与金字塔- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -观察故事中的第4幅图，太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑，如图1所示，我们将图形抽象成三角形，如图2所示．观察一下，这个图形与生活中的什么东西比较像？对了，沙漏！今天，就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识．沙漏有一个必要条件：线段AB 平行于线段CD ，如图2所示．在沙漏中，我们总结出了如下性质：这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系，简称沙漏．例题1．如图所示，梯形ABCD 的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？ 分析：图中给出的是一个梯形，梯形的上底和下底是平行的，你能找到平行线间的沙漏吗？如何利用这个沙漏呢？练习1．如图所示，梯形的面积是48平方厘米，下底是上底的3倍，求阴影部分的面积．图2A C图1A BC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在沙漏模型中，各线段的长度有比例关系，各区域的面积也有比例关系．如图所示，如果沙漏形的上下底之比为a :b ，四个三角形的面积之比为a ²:ab :ab :b ²．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2．如图，平行四边形ABCD 的面积是90．已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点，求阴影部分的面积．分析：图中有没有沙漏形？它的上底与下底之比是多少？ 练习2．如图，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的中点．求△AOD 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -寻找沙漏的时候，一定把握住一点：平行线．题目中如果出现了平行线，那么只要找到平行线间的相交线就可以找到沙漏．同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点．小故事沙漏沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．西方沙漏由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成．利用上面的玻璃球的沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进行测量．一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球，该沙漏就可ABCD EOABCD EO以被颠倒以重新测量时间了．一般的沙漏有一个名义上的运行时间1小时．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3．如图所示，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积． 分析：图中有很多组平行线，那么这些平行线就构造出很多沙漏，你能找出这些沙漏吗？那么想求阴影部分的面积，该利用哪一个沙漏呢？练习3．如图所示，图中的两个正方形的边长分别是10和6，那么阴影部分的面积是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -我们发现，沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成，且相交线的交点在平行线之间．如果交点在两条平行线的同一侧，就会构成一种新的模型，我们形象的称之为金字塔模型．在金字塔模型中也有相应的比例关系．111222a b c a b c == 1122a b a b = 11112122a b ca ab bc ==++ 沙漏模型金字塔模型FB- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．如图，直角三角形ABC 中，AB =4，BC =6．又知BE :EC =1:3，求△CDE 的面积．练习4．如图，EF 与BC 平行，:1:2AF FB =．已知2AE =，3EF =，那么CE 的长度是多少？AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？例题5．如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，已知正方形ABCD 的面积为60平方厘米，求阴影部分的面积．分析：如图所示，假设阴影三角形的另外两个顶点是G 和H ．容易看出，三角形AGH 在三角形ABD 中，而三角形ABD 的面积是正方形ABCD 的一半，如果我们能够找到这两个三角形之间的面积关系，那么本题也就迎刃而解了．AFEBCD F例题6．已知三角形ADE的面积为3平方厘米，D是AB边的三等分点（靠近A点），且DE与BC平行，请求出三角形OBC的面积为多少平方厘米？分析：图中既有沙漏形，也有金字塔形．沙漏形的上底和下底分别是DE和BC，它们的比是多少？是不是需要用到金字塔形中的比例关系？AD EB OC埃及金字塔在非洲古国埃及的尼罗河畔，开罗城近郊的广裹沙漠中，巍然耸立着一群巨大的方锥形建筑物，这就是全球著名的古代世界八大奇观之首的埃及金字塔．它气势威严，历经沧桑，迄今已有四、五千年的历史．它又是古埃及高度文明的象征，是人类遥远历史的见证．金字塔以其形体极似汉字的“金”字，因此在中国称为“金字塔”．在欧洲则称为“庇拉米斯”，是古埃及语“高”的意思，可见高大是金字塔的特征．埃及金字塔是奴隶制帝王的陵墓，国王生前穷奢极欲，死后也仍想主宰天下．因此，在生前就不惜一切为自己修造所谓的“永久坚固的寓所”——金字塔，帝王希图永远保存自己的尸骨和尊严，于是从埃及第三王朝起便开始兴建金字塔．约在公元前2800-2300年之间，那是金字塔盛行的时代．在埃及有大、小金字塔70余座．第1座是埃及第三王朝国王杰赛尔的阶梯形金字塔，后来的角锥形金字塔，是在此基础上发展演变而来的．其中位于开罗郊区吉萨城附近的胡夫和哈夫拉两座金字塔，被列为世界古代八大奇观之首．这两座金字塔加上显示国王威严的狮身人面像，成为埃及金字塔风光的象征．胡夫金字塔规模最大，所以又称为“大金字塔”．它高146.5米，像一座40层高楼，拔地而起．在1889年巴黎埃菲尔铁塔(312.5米)修建之前，一直是世界上最高的建筑物．该塔占地80亩，边长2300多米，周长约1公里．全塔用230多万块大、小不同的巨石砌成，总体积250万立方米．平均每块石头重2.5吨，最重的一块约160吨．石块连接没有使用丝毫粘着物，但石块间丝隙皆无，使人赞叹!塔内有甫道、石阶、通风道和墓室．墓室分3层，位于塔底正中地下30米深处．胡夫大金字塔建筑之奇，至今仍是不解之谜．金字塔这样宏伟的建筑，有人认为是天外来客所建，但毕竟金字塔巍峨壮观地坐落在地球上，成为人类史上一座不朽的丰碑．它生动具体地告诉人们：古代埃及的奴隶们是怎样地在没有火药、没有机械的年代，利用双手及简单工具而创造出这一惊人的奇迹．金字塔至今作为世界奇观，傲对碧空，成为当今闻名世界的旅游胜地．作业1. 如图所示，DE 与BC平行，已知，，，则BC 的长度是多少？作业2. 如图所示，DE 与BC 平行，已知，，△ADE 的面积为32，则四边形DECB 面积是多少？作业3. 如图所示，梯形ABCD 的面积是50，下底长是上底长的1.5倍，阴影三角形的面积是多少？作业4. 如图所示，正方形ABCD 的边长是6，E 点是BC 的三等分点．△AOD 的面积是多少？作业5. 如图，平行四边形ABCD 的面积是12AC 与BE 的交点为F ，那么图中阴影部分面积是多少？5BD = 4AD = 16DE = 5BD = 4AD = ADE BCCADEBABCDBCE第十三讲 沙漏与金字塔例题1. 答案：16详解：上底与下底的长度比为1:2，设△OCD 面积是1份，则△AOD 与△BOC 的面积均为2份，△ABO 的面积为4份，共有9份，梯形面积为36，故一份所对应的面积为4．则△ABO 的面积为16．例题2. 答案：33详解：由沙漏模型知，:::2:3BE CD BO OD EO OC ===，设△OBE 的面积为4份，则△OBC 的面积为6份，△OCD 的面积为9份，△OBC 的面积与△OCD 的面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为30份，总面积为90，则一份对应的面积为3，阴影部分占了11份，面积为33．例题3. 答案：45详解：由条件知，:12:203:5GF BE ==，由沙漏模型知:3:5GO OE =，那么△GOF 与△EOF 的面积之比也是3:5．△OEF 的面积为512122458⨯÷⨯=．例题4. 答案：6.75详解：由金字塔模型知，::3:4DE AB CE CB ==，则3434DE =⨯=．又知道36 4.54CE =⨯=，可求出△CDE 的面积为3 4.52 6.75⨯÷=．例题5. 答案：10平方厘米详解：由条件知，1:2BE AD ==，则:1:2BG GD =，13BG BD =．同理，:1:2DF AB =，则:1:2DH HB =，13DH BD =．由此可得，13GH BD =．阴影部分面积为602310÷÷=平方厘米．例题6. 答案：13.5详解：由金字塔模型知，::1:3AD AB DE BC ==，设△ODE 的面积为1份，则△ODB 的面积为3份，△OEC 的面积为3份，△OBC 的面积为9份．又因为△ADE 与△DEC 等高，可知△ADE 的面积为2份，由此可知△OBC 的面积为32913.5÷⨯=平方厘米． 练习1.答案：27平方厘米简答：上底与下底之比为1:3．由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是1:3:3:9，那么阴影部分的面积是()481339927÷+++⨯=平方厘米． 练习2.答案：12简答：连结DE ，因为BE 与AD 之比是1:2，可如图所示设份数．可知△AOD 的面积是正方形面积的三分之一，是12．BC E练习3.答案：400 13简答：58AH ADHG BG==，那么△ABH与△BGH的面积之比也是5:8，△ABH的面积是△ABG面积的5 13．5400 101621313⨯÷⨯=．练习4.答案：简答：12AF AEFB EC==，可求出4CE=，6AC=．13EF AFBC AB==，可求出9BC=．作业1.答案：36．简答：由金字塔模型，::4:9AD AB DE BC==，16DE=，则36BC=．作业2.答案：130．简答：:4:9AD AB=，则:4:9AE AC=，△ADE是△ABC面积的1681，则△ABC的面积为162，四边形DEBC的面积为130．作业3.答案：18．简答：上底与下底的长度比为2:3，设△OCD面积是4份，则△AOD与△BOC的面积均为6份，△ABO的面积为9份，总面积为50，故一份所对应的面积为2．则△ABO的面积为18．作业4.答案：13.5．简答：由沙漏模型，::1:3BE AD BO OD==，△AOB与△AOD等高，面积比为1:3，因此△AOD的面积为3 66213.54⨯÷⨯=．作业5.答案：8．简答：AE:BC=2:3，设份数可知ABCD为30份，△AEF为4份，阴影部分占11份，面积为4.4．。

第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。

类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。

进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。

例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。

一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。

2.K进位制有K个不同的记数符号。

如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。

一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。

3.十进制和二进制的转化。

十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。

例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。

例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。

例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。

例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。

点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。

第13讲 代数法解题一、知识要点有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。

二、精讲精练【例题1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有54合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多少个？练习1：1、某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的43得优，男、女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？2、有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的52是红球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？3、六年级甲班比乙班少4人，甲班有31的人、乙班有41的人参加课外数学组，两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少人？【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少41，女生减少61，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？练习2：1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。

今年参加无线电小组的同学减少51，参加航模小组的人数减少101，这样，两个组的同学一样多。

去年两个小组各有多少人？2、原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增加85，乙书架上的书增加103，这样，两个书架上的书就一样多。

原来甲、乙两个书架各有图书多少本？【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的51比乙校参加人数的41少1人，甲、乙两校各有多少人参加？练习3：1、学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？2、某小有学生465人，其中女生的23比男生的45少20人，男、女生各有多少人？【例题4】甲书架上的书是乙书架上的65，两个书架上各借出154本后，甲书架上的书是乙书架上的74，甲、乙两书架上原有书各多少本？练习4：1、儿子今年的年龄是父亲的61，4年后儿子的年龄是父亲的41，父亲今年多少岁？2、某校六年级男生是女生人数的32，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生人数是女生的43。

第十三讲多次往返相遇与追及在这一讲中，我们重点学习直线上不断往返的行程问题．在学习新的内容之前，我们先来复习一下原来学过的简单相遇问题与追及问题．简单相遇与追及相遇问题是指两人同时从两个地点出发，向对方所在位置前进，经过一段时间后两人相遇．追及问题是指两人从两个地点出发，朝着同一个方向前进，经过一段时间后一个人追上了另一个人．简单的相遇问题与追及问题的线段图如下所示：相遇时，两人的路程和是A 、B 两地的距离；追及时，两人的路程差是A 、B 两地的距离．其实，一般来说，只要两个人运动方向相反，就是相遇问题（包括相向而行和相背而行）；只要两个人运动方向相同，就是追及问题（同向而行包括追上和超过）．解决行程问题，最基本的方法就是画线段图，寻找相同时间内的路程关系（包括路程和、路程差以及路程的倍数关系）．不同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，在相遇后两人继续前进，分别到达B 地、A 地后立即折回，这时两人第二次迎面相遇，我们画出线段图如下所示．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，经过的路程和是A 、B 两地距离（1个全长）；当两人第二次迎面相遇时，经过的路程和是3个全长；当两人第三次迎面相遇时，经过的路程和是5个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地 甲乙甲乙第二次相遇 第一次相遇例题1小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？再过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后多长时间，两人第四次迎面相遇？第四次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？在第一次迎面相遇和第二次迎面相遇之间，两人路程和又是多少？练习1阿瓜和阿呆分别从相距90千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时21千米，阿瓜骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）出发后过多长时间两人第二次迎面相遇？再过多长时间两人第五次迎面相遇？不同出发点的往返追及甲、乙两人从A 、B 两地同时出发相向而行，甲到达B 地后立即折回，直至第一次追上乙，我们画出线段图如右下所示：从线段图中可以发现：甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是1个全长；甲第二次追上乙时，甲和乙的路程差是3个全长；甲第三次追上乙时，甲和乙的路程差是5个全长；……即相邻两次追及之间，两人的路程差恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．．A 地甲乙 第一次追及 第二次追及例题2小高和墨莫分别从相距60千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？再过多长时间小高第三次追上墨莫？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从两地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？在第一次追上和第三次追上之间，两人路程差又是多少？练习2阿瓜和阿呆分别从相距80千米的A 、B 两地同时出发，在A 、B 之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时32千米，阿瓜骑车的速度是每小时12千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）再过多少小时阿呆第三次追上阿瓜？相同出发点的往返相遇甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人迎面相遇的线段图．从线段图中可以发现：当两人第一次迎面相遇时，甲和乙的路程和是2个全长；当两人第二次迎面相遇时，甲和乙的路程和是4个全长；当两人第三次迎面相遇时，甲和乙的路程和是6个全长；……即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．地例题3小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？第一次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，两人第五次迎面相遇？第五次迎面相遇的地点距离A 地多少千米？ 「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次相遇时，两人路程和是多少？第五次相遇时，两人路程和又是多少？练习3阿呆和阿瓜同时从A 地出发，在相距90千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时24千米，阿瓜骑车的速度是每小时21千米．请问：（1）出发后经过多长时间两人第二次迎面相遇？（2）出发后经过多长时间两人第五次迎面相遇？相同出发点的往返追及甲、乙两人从A 地同时出发同向而行，在A 、B 两地之间不断往返，我们画出两人追及的线段图．从线段图中可以发现，甲第一次追上乙时，甲和乙的路程差是2个全长；而从第一次追及到第二次追及，就跟前面所讨论的“不同出发点的往返追及”一样，路程差依然是2个全长．即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2．个全长．．．．例题4小高和墨莫同时从A 地出发，在相距60千米的A 、B 两地之间不断往返骑车．已知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米．请问：（1）出发后多长时间，小高第一次追上墨莫？第一次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？（2）出发后多长时间，小高第五次追上墨莫？第五次追上墨莫的地点距离A 地多少千米？「分析」应用我们上面总结的结论，两人从同地出发，第一次追上时，两人路程差是多少？第五次追上时，两人路程差又是多少？地追及练习4阿呆和阿瓜同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知阿呆骑车的速度是每小时30千米，阿瓜骑车的速度是每小时25千米．请问：（1）出发后多长时间阿呆第一次追上阿瓜？（2）出发后多长时间阿呆第三次追上阿瓜？例题5机器猫和机器狗从长为150米的跑道一端同时出发，在跑道上不断往返运动．已知机器猫的速度是每分钟20米，机器狗的速度是每分钟30米．那么在机器猫和机器狗出发后100分钟内，（1）它们共有多少次迎面相遇？（2）机器狗有多少次追上机器猫？「分析」想要算出100分钟内相遇多少次，就要知道它们相遇一次所用的时间．要算出追上多少次，就要知道追上一次所用的时间．例题6A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行，在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进（保持原速）各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远？若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？「分析」出发到第一次相遇、第一次相遇到第二次相遇，这两段时间有什么关系呢？好好思考一下，然后再画线段图分析．课堂内外文人的“反复”宋神宗熙宁二年（1069），王安石当宰相后，决心改革，推行新法，遭到大地主、大官僚的坚决反对，没几年就被罢了官．他在京城闭居无聊，决意回南京去看看妻儿．第二年春天，王安石由汴京南下扬州，又乘船西上回金陵（今苏省南京市），路过于京口（今江苏省镇江市）到了隔江相望的瓜洲时，船靠码头，不再走了．他站在船头上，极目西望，但见青山隐隐，江水滔滔，春风绿野，皓月当空，触景生情，更加怀念起金陵钟山（又名紫金山）的亲人来了．他走进船舶，拿出纸笔，略一思索，就写了一首题名《泊船瓜洲》的诗：京口瓜洲一水间，钟山只隔数重山．春风又到江南岸，明月何时照我还？写完后，王安石觉得“春风又到江南岸”的“到”字太死，看不出春风一到江南是什么景象，缺乏诗意，想了一会，就提笔把“到”字圈去，改为“过”字．后来细想一下，又觉得“过”字不妥．“过”字虽比“到”字生动一些，写出了春风的一掠而过的动态，但要用来表达自己想回金陵的急切之情，仍嫌不足．于是又圈去“过”字，改为“入”字、“满”字．这样改了十多次，王安石仍未找到自己最满意的字．他觉得有些头疼，就走出船舱，观赏风景，让脑子休息一下．王安石走到船头上，眺望江南，春风拂过，青草摇舞，麦浪起伏，更显得生机勃勃，景色如画．他觉得精神一爽，忽见春草碧绿，这个“绿”字，不正是我要找的那个字吗？一个“绿”字把整个江南生机勃勃、春意盎然的动人景象表达出来了．想到这里，王安石好不高兴，连忙奔进船舱，另外取出一张纸，把原诗中“春风又到江南岸”一句，改为“春风又绿江南岸”.为了突出他反复推敲来之不易的那个“绿”字，王安石特地把“绿”写得稍大一些，显得十分醒目．一个“绿”字使全诗大为生色，全诗都活了.这个“绿”字就成了后人所说的“诗眼”．后来许多谈炼字的文章，都以他为例．作业1.甲、乙两人分别从相距70千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第二次迎面相遇？（2）再过多少小时两人第四次迎面相遇？2.甲、乙两人分别从相距9千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时25千米，乙骑车的速度是每小时10千米．出发后多少小时，甲第三次追上乙，追及的地点距离A多少千米？3.甲、乙两人同时从A地出发，在相距6千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时30千米，乙骑车的速度是每小时24千米．请问：（1）经过多少小时甲第三次追上乙？（2）再过多少小时甲第四次追上乙？4.甲、乙两人同时从A地出发，在相距70千米的A、B两地之间不断往返骑车．已知甲骑车的速度是每小时15千米，乙骑车的速度是每小时20千米．请问：（1）经过多少小时两人第五次迎面相遇？（2）第五次迎面相遇地点距离A地多少千米？5.兔子和乌龟同时从A地出发，在相距500米的A、B两地之间不断往返骑车．已知兔子的速度是每分钟40米，乌龟的速度是每分钟60米．在出发的半小时内，他们一共迎面相遇多少次？第十三讲多次往返相遇与追及1.例题1答案：（1）2小时，4小时；（2）14小时，54千米详解：（1）第一次迎面相遇两人的路程和是1个全长，时间是()÷+=小602192时．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，时间应该是224⨯=小时．（2）从出发到第四次迎面相遇，两人的路程和是12227+++=个全长，时间是7214⨯=千米，⨯=小时．其中墨莫从B地出发走了149126-=千米．1266026÷=，所以相遇地点离A地606542.例题2答案：（1）5小时，20小时；（2）45小时，15千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是1个全长，时间是()÷-=小602195时，从第一次追上到第三次追上，两人的路程差是224+=个全长，时间是4520⨯=小时．（2）从出发到第五次追上，两人的路程差是2519⨯-=个全长，时间是⨯=千米，9545⨯=小时．其中墨莫从B地出发走的路程是459205-=千米．÷=，所以追及地点距离A点60451540560653.例题3答案：（1）4小时，36千米；（2）50小时，60千米详解：（1）第一次迎面相遇，两人的路程和是2个全长，相遇时间是()⨯=千米，相遇地点⨯÷+=小时，其中墨莫从A出发走了49366022194距A地36千米．（2）相邻两次相遇的路程和都是2个全长，从出发到第五次相遇两人相遇时间是4520÷=，⨯=千米，180603⨯=小时．墨莫从A出发走了209180所以相遇地点距A地60千米．4.例题4答案：（1）10小时，30千米；（2）50小时，30千米详解：（1）第一次追上，两人的路程差是2个全长，时间是()60221910⨯÷-=小时．此时墨莫从A出发走了91090÷=，追上地点⨯=千米，9060130距离A地603030-=千米．（2）相邻两次追及的路程差是2个全长，追上1次需要10小时，追上5次需要51050⨯=小时，此时墨莫走了509450⨯=千米，45060730÷=，追上地点距离A 地603030-=千米．5. 例题5答案：（1）16次；（2）3次详解：（1）从同一地点出发，相邻两次相遇的路程和为2个全长，需要()150220306⨯÷+=分钟；1006164÷=，所以一共有16次迎面相遇． （2）从同一地点出发，相邻两次追及的路程差为2个全长，需要()1502302030⨯÷-=分钟，10030310÷=，所以一共追上3次． 6. 例题6答案：120千米；距甲地10千米处详解：如图所示，第一次迎面相遇，A 、B 两车合走了1个全长，其中A 走了50千米．从第一次相遇到第二次迎面相遇，两车合走了2个全长，按倍数关系，A 车应该走100千米，图中粗线表示的距离是1003070-=千米．所以甲、乙两站相距5070120+=千米．从第二次到第三次相遇，A 要走100米，所以在距甲10米处第三次相遇．（或者是从出发到第三次相遇，两车合走5个全长，A 车共走550250⨯=千米，250120210÷=，距甲地10千米第三次相遇．）7. 练习1答案：6小时；12小时详解：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是3个全长，即390270⨯=千米，所以时间为()27021246÷+=小时；（2）从第二次相遇到第五次迎面相遇，路程和是6个全长，即690540⨯=千米，所以时间为()540212412÷+=小时．8. 练习2答案：4小时；16小时甲乙B详解：（1）从出发到第一次追上，路程差是1个全长，即80千米，所以时间为()8032124÷-=小时；（2）从第一次追上到第三次追上，路程差是4个全长，即320千米，所以时间为()320321216÷-=小时．9. 练习3答案：8小时；20小时简答：（1）从出发到第二次迎面相遇，路程和是4个全长，即490360⨯=千米，所以时间为()36021248÷+=小时；（2）从出发到第五次迎面相遇，路程和是10个全长，即1090900⨯=千米，所以时间为()900212420÷+=小时．10. 练习4答案：36小时；108小时简答：（1）从出发到第一次追上，路程差是2个全长，所以时间为()290302536⨯÷-=小时；（2）从出发到第三次追上，路程差是6个全长，所以时间为()6903025108⨯÷-=小时．11. 作业1答案：6；8简答：（1）从出发到两人第二次相遇，两人的路程和是3个全长，所以一共用时()70315206⨯÷+=小时；（2）从第二次相遇到第四次相遇之间，两人的路程和是4个全长，所以用时8小时．12. 作业2答案：3小时；3千米简答：第三次追及时，两人的路程差为9545⨯=千米；追及时间为()4525103÷-=小时；甲一共骑了32575⨯=千米；7598÷=⋅⋅⋅3，距离A 地3千米．13. 作业3答案：6；2简答：从出发到第三次追及，两人的路程差等于6个全长，用时()6630246⨯÷-=小时．从第三次追及到第四次追及期间，两人的路程差等于2个全长，用时2小时．14.作业4答案：20；20简答：从出发到第五次相遇，两人的路程和为10个全长，一共用时()÷=，⨯÷+=小时；此时甲一共骑行了300千米，30070420 7010152020距离A地20千米．15.作业5答案：3简答：从同一地点出发，第一次迎面相遇两人的路程和是2个全长，时间是()5002406010⨯÷+=分钟．相邻两次之间迎面相遇的时间都是10分钟，半小时内会有3次迎面相遇．。

☆2个D o坏了，一个抽屉只牡放个.剰一于敝半进去了把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有先拿4亍吧，别让 爸植右见.不黨又 得挨揍. /第十三讲 简单抽屉原理厂臭小子！敢脩 人寂沐西乍☆苹果•这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理.一般地，我们有如下结论：抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果.但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进1 9 9个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果.类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果.事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99 9 11个苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个.但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果.我们把“抽屉原理I”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理.抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位.如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了 __________ 苹果.如果把97片培根放在8个盘子，那么一定有盘子至少放了 __________ 培根.如果把98只羊放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了 __________ 羊.构分呢？因为只有这样做才能使得放入同一个抽屉的苹果尽量少，求出的结果才是至少个•虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果尽量少—这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形.这一原则不仅体现在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常有用.一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条•至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？分析：如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了.一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球, 才能保证其中有6个相同颜色的彩球？一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个•现在闭着眼睛从中摸球，请问：(1)至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？(2)至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？分析：仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗•小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）分析：结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？练习3〉袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只•现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问:（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张.现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？分析：本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个•要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4枚棋子的顺序）分析：摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多可能摸了几次?首先发现•鸽巢原理在组合学中占据着非常重要的地位，它常被用来证明一些关于存在性的数学 问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用•使用鸽巢原理解题的关键是巧妙构造鸽巢或抽 屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则•鸽巢原理的应用在几何图形中:例：在边长为2的等边三角形内任意选择 5个点，存在2个点，其间距离至多为 1. 分析：由题意，可以构造出 4个抽屉，每个抽屉满足在其中的距离至多为1•根据抽屉原理，在4个抽屉里分别放置 4个点，不论第5个点如何放置，都满足两点之间的距离最多为1.国王让阿凡提在8 8的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒.结果每个格子里至少放一粒米, 无论怎么放都至少有 3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒?分析：至少有3个格子里的米粒一样多的反面是最多只有 2个格子的米粒数一样多，想想 这时格子里至少有多少个米粒？故 小 鸽巢原理鸽巢原理 又名抽屉原理 或狄利克雷原理，它由德国数学家狄利克雷(Divichlet ，1805— 1855)事例题6二桃杀三士作业1.口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个•小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球.他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？2.小钱的存钱罐中有4种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、20个.小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根.在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的廷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）#4.盒子里一共有4种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件,才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜. 能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同? 3个？至少有多少名学生，才解答：17•最不利情况是没有5条相同品种的鱼，这时最多每个品种都有4条鱼，一共4 4 16条•只要比16条多，就能保证有5条相同品种的鱼了•因此至少捞出17条鱼.2. 例题2答案：(1) 19; ( 2) 15.解答：(1)如果取出的球没有三种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种，红球和黄球最多，全都取出共有10 8 18个球•只要多于18个，就能保证有三种颜色的球了，因此至少取出19个.(2)如果取出的球中红球和黄球不同时出现，最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出，并且红球和黄球中的一种也都取出，红球比黄球多，应将红球全部取出，此时共取出 3 1 10 14个球，因此至少取出15个球，才能保证红球黄球同时出现.3. 例题3答案：(1) 13; ( 2) 14.解答：(1)如果没有颜色相同的两双袜子，这时每种颜色的袜子至多3只，一共至多1 2 3 3 3 12只.因此至少摸出13只才能保证有两双颜色相同的袜子.(2)如果没有颜色不同的两双袜子，那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的，这时最多有9 1111 13只袜子•因此至少摸出14只才能保证有两双颜色不同的袜子.4. 例题4答案：33.解答：反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张.”最不利的情况就要使取的牌尽量多，我们应该将其中两种花色尽量多取、剩下两种花色都取2张，包括2张大小王牌，最多能取13 2 2 2 2 32张牌•因此至少取出33张才能保证满足要求.5. 例题5答案：11.解答：摸出的棋子的颜色情况有五种：4白、3白1黑、2白2黑、1白3黑、4黑•根据最不利原则，如果没有三次摸出棋子颜色情况相同，最多是每种情况各摸出2次，一共2 5 10次•只要摸的次数比10次多，就能保证至少有三次摸出棋子颜色情况相同•因此至少摸11次.6. 例题6答案：1055.简答：如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有1 1 2 2 3 3 L 32 32 1056个米粒•如果少于1056个米粒，就必然有三个格子里的米粒数一样多，因此至多有1055个米粒.7. 练习1答案：36.简答：如果不满足条件，最多可以取出7 5 35个彩球，因此取出36个彩球就能保证有6个颜色相同的.8. 练习2答案：61；31.简答：第一个问题，如果不满足条件，拿的都不是苹果味的，最多拿光了桔子味的和菠萝味的，一共30 30 60颗.因此至少拿61颗，才能保证拿到苹果味的.第二个问题，如果拿的不到两种口味，最多一种口味，最多可以拿30颗，因此至少拿31颗才能保证拿到两种口味.9. 练习3答案：(1) 10; ( 2) 13.简答：(1 )至少摸出3 3 3 1 10只袜子.(2)至少摸出10 1 2 1 13只袜子.答案：219.简答：如果不满足条件，其中两种颜色的珠子尽量多，另外八种颜色的珠子都不到10个，这时最多100 100 2 9 218个珠子•因此至少拿219个珠子，才能保证有三种颜色的珠子都至少10个.11. 作业1答案：16.简答：如果不满足要求，最多摸出三种颜色的球，最多有 5 3 15个•因此至少摸出16个球就能满足要求.12. 作业2答案：21; 36.简答：第一个问题，如果不满足要求，就只摸出一种面值的，最多20个，因此至少摸出21才能满足要求.第二个问题，如果不满足要求，5分硬币和1角硬币缺一种，最多有5 10 20 35个硬币，因此至少摸出36 个硬币才能满足要求.13. 作业3答案：16; 15.简答：与例题5方法相同•第一个问题，至少取出 3 5 1 16根才能满足要求•第二个问题，至少取出10 1 4 1 15根才能满足要求.14. 作业4答案：28.简答：与例题4方法相同，至少摸出11 12 2 2 1 28个零件才能满足要求.15. 作业5答案：41 •简答：从5种菜中选择2种不同的菜，有10种方式•如果不满足要求，最多选出 4 10 40名学生，因此选出41名学生即可满足要求.。

四秋第13讲 速算与巧算（一）一、教学目标速算与巧算是小学数学竞赛永恒的话题，每个杯赛都会有1-2道题目考察学生的运算能力，主要集中在整数的巧算，极少涉及小数。

掌握速算与巧算的技巧，往往能够在极短的时间内解决运算问题。

巧算的方法主要有：提取公因式、凑整、拆分、分组、换元，同学们需根据具体情况具体分析，选择合适的方法。

二、例题精选加减凑整：【例1】 计算：1、699999+69999+6999+699+692、1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9【巩固1】计算：1、199+298+397+496+595+202、987654-151-269-149-31+346【例2】 计算：10020092000920000920009++++L L 14243个【巩固2】计算：98+998+9998+......+99 (98)乘除凑整：【例3】 计算：（1）125428525⨯⨯⨯⨯⨯ （2）2100425÷÷10个9【巩固3】计算：（1）125258÷÷⨯ （2）456⨯⨯÷⨯⨯36825（）乘法分配律：【例4】 计算：（1）2748+5227⨯⨯ （2）329+2999⨯ （3）10199⨯【巩固4】计算：（1）3426+2666⨯⨯ （2）13250+25870⨯⨯ （3）9835⨯重叠数：【例5】 计算：123123123321321321321123⨯-⨯位值原理：【例6】 用7、8、9可以组成6个各位数字不相同的三位数，那么这6个数的和是多少？三、回家作业【作业1】计算：458+356+289+244-58+711【作业2】计算：11+12+13+14+21+22+23+24+31+32+33+34++91+92+93+94L【作业3】计算：197+1997+19997+......+199 (97)【作业4】计算：67200254335467_______⨯+⨯+⨯=【作业5】计算：82198219821919818119811981191983⨯-⨯10个9。

⼩学⽣三年级频道为⼤家整理的⼩学⽣三年级奥数试题集，供⼤家学习参考。

⼀、填空题1、如果○○●=△，□○○=●●●●，△●●●=□□□。

那么□= 个●，○= 个●，△= 个●。

2、光明⼩学买了2张桌⼦和5把椅⼦，共付110元，每张桌⼦的价钱是每把椅⼦价钱的3倍，每张桌⼦元。

3、⼀条长2000⽶的公路两旁每隔10⽶种⼀棵杨树，每两棵杨树之间等距离种3棵枫树，这条公路两旁⼀共种枫树棵。

4、⼀个数的8倍加上14，等于这个数的10倍，这个数是。

5、按规律在括号内填数：（1）1，2，3，5，8，，；（2）1，2，4，7，11，16，，；6、电*共有28排座位，第⼀排有20个座位，以后每排⽐前排多2个座位，最后⼀排有（）个座位，这个电*共有个座位。

⼆、选择题。

1、计算：1000－81－19－82－18－83－17－84－16－85－15－84－16－83－17－82－18－81－19，得数是（）A、100B、200C、300D、4002、计算：101+98+99+103+104，利⽤算式最简便计算。

（）A、98×5+3+1+5+6B、100×5+1－2－1+3+4C、99×5+2－1+4+5D、104×5－3－6－5－1三、简便计算5000－2－4－6―…―98－100四、应⽤题。

1、合唱队中⼥⽣⽐男⽣多25⼈，如果再调⾛5名男⽣，那么⼥⽣⼈数正好是男⽣的4倍，合唱队中⼥⽣有多少⼈？2、今天是星期⽇，从今天算起，第60天是星期⼏？3、某建筑⼯地堆放着⼀些钢管，最上⾯⼀层有4根，最下⾯⼀层有40根，⽽且下⾯的每⼀层⽐上⾯的⼀层多2根，这些钢管⼀共多少根？4、某⾷堂新买了7桶油，且每桶油质量均相等，若从每桶油中各拿出40千克油，则剩下的油只有原来3桶那么多。

请问，原来每桶油重多少千克？5、买⼀枝钢笔、⼀枝圆珠笔、⼀枝铅笔共⽤94⾓，其中买圆珠笔和买铅笔的钱合起来⽐买钢笔的钱少6⾓，买⼀枝钢笔花了多少钱？6、四年级有三个班，⼀班和⼆班的平均⼈数是46⼈，三班⽐⼆班少5⼈，⼀班⽐三班多1⼈，问：三个班各有多少⼈？7、⼩明参加了期终六门学科的测试，在数学成绩公布之前，五门学科平均成绩是88分，数学成绩公布后，平均成绩是90分，⼩明期终数学成绩是多少分？8、每个铁环的直径是4厘⽶,把五个⼤⼩相同的铁环套在⼀起，它的长度是多少？⼗个这样的铁环套在⼀起有多长？（环厚4毫⽶）⼆年级数学竞赛题（⼆）班级__________ 姓名 __________⼀、填空。

小学六年级奥数教案—13立体图形我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。

这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。

例1左下图中共有多少个面？多少条棱？例2右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

例3右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？例4有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。

例5右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。

）练习131.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？2.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。

求被涂成红色的表面积。

3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。

在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？最少有几个？4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。

求原来长方体的体积。

5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成1×1×1的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。

那么，可组成的长方体的体积最大是多少？6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）。

求挖洞后木块的体积及表面积。

7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图）。

用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？小学六年级奥数教案—14立体图形二本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。

第十三讲变倍问题大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法．对于基本和差倍问题，可以根据已知条件直接画出线段图．而对于有些较复杂的和差倍问题，我们往往需要先分析题目中的隐藏条件，找到各个数量之间的和差倍关系，然后再通过画线段图等方法求解．之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系，这时“1”份的量较容易确定．如果已知条件涉及多个量的倍数关系，或是两个量之间的倍数关系发生了变化，这时选择哪个量作为“1”份量就是解题的关键了．如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合适的数设为多份．例题1学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，是红花的4倍，是蓝花的3倍，已知蓝花比红花多20盆．请问：学校门口一共有多少盆花？「分析」黄花盆数是红花的4倍，是蓝花的3倍．红花、蓝花都与黄花有倍数关系，我们应该把黄花设为几份呢？练习1暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅跟门厅．纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景，绿色的纸鹤排列成一个“家”字．其中粉色的纸鹤比较多，既是黄色纸鹤的3倍，又是绿色纸鹤的5倍，如果绿色和黄色的纸鹤一共240个，那么萱萱的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤？例题2雷老师和刘老师运动归来，非常饿，于是各吃了几碗面，此时刘老师吃的面是雷老师的3倍，过了会儿，雷老师觉得不过瘾，又吃了3碗，于是刘老师吃的面只有雷老师的2倍了，请问刘老师吃了几碗面？「分析」雷老师又吃了3碗，雷老师吃的数量发生了变化，但是刘老师吃的数量没变，我们把不变的量设为多少呢？在例题2中刘老师吃的面一直没有变化，我们把它叫作不变量．．．．不变量往往是解决问题的关键．这道题用的是“不变量设多份”的方法，也就是说根据题目的特点，把题中的不变量统一成一个便于计算的份数．只要这个份数设得好，解题就会很轻松了．练习2小矮人和绿巨人比身高，绿巨人的身高是小矮人的3倍．后来小矮人从巫婆那里获得了生长剂，结果长了30厘米，而绿巨人却没有再长高，此时绿巨人的身高只有小矮人的2倍．请问小矮人和绿巨人原来分别有多高？给来给去和不变，同增同减差不变．把不变量设为多份是解决变倍问题时常用的突破口．例题3有两个箱子，红色箱子装的是红球，绿色箱子装的是绿球．红球的数量是绿球数量的3倍．从红色箱子中拿出10个球放入绿色箱子中，这时红色箱子球的数量是绿色箱子球的数量的2倍．那么现在红色、绿色两个箱子各有多少个球？「分析」从红色箱子中拿出10个放入绿色箱子里，两个箱子里的球数都发生了变化，那到底有没有不变量，什么不变呢？我们又该把这个不变量设为几份呢？练习3阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖．那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的5倍；如果阿瓜帮阿呆搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的4倍．请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？例题4高思学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书，小学部的捐书量是初中部的6倍，若两个部门各增加30本，则小学部的捐书量是初中部的4倍，两个部门原来各捐书多少本？「分析」两个部门各增加30本，那么两个部门的捐书量都发生了变化，但什么没有变呢？我们把它设为几份容易计算呢？练习4熊大和熊二比赛吃蜂窝，一开始熊大吃的个数是熊二的4倍，熊大和熊二之后又分别吃了10个，此时熊大吃的个数只有熊二的2倍．请问最后熊大和熊二分别吃了多少个蜂窝？例题5王老师和麦兜比赛抢包子，一开始王老师包子的总个数是麦兜的3倍，麦兜趁王老师不注意，从王老师的手里抢走了100个包子，结果麦兜包子的总个数变成了王老师的2倍．请问王老师和麦兜原来分别有多少的包子？「分析」先找不变量，要仔细读题，注意倍数关系，千万别弄反哦！例题6阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖．如果阿呆帮阿瓜搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的5倍；如果阿瓜帮阿呆搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的2倍．请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？「分析」无论是阿呆帮阿瓜搬，还是阿瓜帮阿呆搬，砖的总数都是不变的．我们能不能用之前的方法把不变的总数设为多份呢？课堂内外最高级别的不变量一、光速不变理论真空中的光速对任何观察者来说都是相同的．光速不变原理，在狭义相对论中，指的是无论在何种惯性系（惯性参照系）中观察，光在真空中的传播速度都是一个常数，不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变．这个数值是299,792,458 米/秒．二、能量守恒定律能量守恒定律是在5个国家、由各种不同职业的10余位科学家从不同侧面各自独立发现的．其中迈尔（德国医生）、焦耳（英国物理学家）、亥姆霍兹（德国物理学家、生理学家）是主要贡献者．能量守恒定律：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．作业1.风老师、雨老师、云老师比赛吃包子，风老师吃的包子个数是雨老师的5倍，还是云老师的3倍．其中云老师比雨老师多吃了100个包子．请问风老师吃了多少个包子？2.李师傅有大小两种型号的零件，其中大型号的零件个数是小型号的3倍，李师傅使用了10个小型号的零件，使得大型号的零件个数变成了小型号的4倍．请问李师傅原来有多少个小型号的零件？3.河马和犀牛是好朋友，他们经常派家里养的信鸽给对方送信．河马家信鸽的数量是犀牛家的3倍，但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼，结果等它回来时，已经有10只信鸽飞到了犀牛家，这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的2倍了．请问犀牛家原本养了多少只信鸽？4.花园里开着一些红花和黄花．红花的朵数是黄花的3倍．秋天到了，花儿凋谢了．红花和黄花各自减少了60朵．这时剩余的红花朵数是黄花的6倍．请问还剩下多少朵红花？5.兄弟两人分压岁钱，一开始哥哥的钱是弟弟的3倍，后来哥哥给了弟弟20元，结果弟弟的钱是哥哥的2倍．请问两人一共有多少元压岁钱？第十三讲变倍问题1.例题1答案：380盆详解：设黄花的盆数是“12”，红花的盆数就是“3”，蓝花的盆数就是“4”，蓝花比红花多20盆，即“1”为20盆．学校一共有花“19”，即1920380⨯=盆．2.例题2答案：18碗详解：刘老师是不变量，设刘老师吃的面是“6”，则雷老师一开始吃了“2”，后来吃了“3”，即“1”为3碗，所以刘老师吃了“6”3618=⨯=碗．3.例题3答案：红箱子80个球，绿箱子40个球详解：给来给去和不变，设两个箱的球一共有“12”，则原来绿箱子有球“3”，红箱子有球“9”，后来绿箱子有球“4”，红箱子有球“8”，绿箱子的球增加了“1”即10个球，所以现在绿箱子有球“4”10440=⨯=个．=⨯=个，红箱子有球“8”108804.例题4答案：小学部270本，初中部45本详解：同增同减差不变，设小学部的捐书量与初中部捐书量之差为“15”，则原来初中部捐书“3”，小学部捐书“18”，后来初中部捐书“5”，小学部捐书“20”，初中部和小学部都是增加了“2”即30本书，所以“1”为15本．初中部原来捐书“3”31545=⨯=本，小学部原来捐书“18”=⨯=本．18152705.例题5答案：王老师180个，麦兜60个详解：给来给去和不变，设包子的总个数是“12”，则原来麦兜的包子个数是“3”，王老师的包子个数是“9”，后来王老师的包子个数是“4”，麦兜的包子个数是“8”，麦兜增加了“5”即抢来的100个包子，所以“1”为20个．那么王老师原来有包子“9”920180=⨯=个，麦兜原来有“3”32060=⨯=个．6.例题6答案：阿呆搬90块，阿瓜搬30块详解：给来给去和不变，设阿呆和阿瓜一共搬了“6”，如果阿呆帮阿瓜搬，则阿瓜搬了“1”，阿呆搬了“5”；如果阿瓜帮阿呆搬，则阿瓜搬了“2”，阿呆搬了“4”．阿呆帮阿瓜搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的多10块，而阿瓜帮阿呆搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的少10块，所以阿呆减少的“1”相当于20块．而当阿呆帮阿瓜搬时，阿瓜搬了“1”12020=⨯=块，阿呆搬了“5”520100=⨯=块．原计划阿瓜搬201030-=块．+=块，阿呆搬10010907.练习1答案：690个详解：设粉色纸鹤数量是“15”，则黄色纸鹤是“5”，绿色纸鹤是“3”，绿色和黄色纸鹤一共240个，即“8”为240个，所以“1”为30个．三种颜色的纸鹤一共有“23”，即2330690⨯=个．8.练习2答案：小矮人60厘米，绿巨人180厘米详解：绿巨人是不变量，设绿巨人身高是“6”，则小矮人一开始身高“2”，后来身高“3”，即“1”为30厘米，所以原来小矮人身高“2”23060=⨯==⨯=厘米，绿巨人身高“6”630180厘米．9.练习3答案：阿呆250块，阿瓜50块简答：给来给去和不变，设两个人所搬的砖一共有“30”，则原计划阿瓜搬砖“5”，阿呆搬砖“25”，后来阿瓜搬砖“6”，阿呆搬砖“24”，阿瓜的砖增加了“1”即10块，所以原计划阿瓜搬砖“5”=⨯=块，阿呆搬砖“25”1025250=⨯=块．1055010.练习4答案：熊大30个，熊二15个简答：同增同减差不变，设熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“3”，则原来熊二吃蜂窝数量为“1”，熊大吃蜂窝数量为“4”，后来熊二吃蜂窝数量为“3”，熊大吃蜂窝数量为“6”，熊大和熊二都是增加了“2”即10个蜂窝，所以“1”为5个．后来熊二吃蜂窝数量为“3”3515=⨯=个，熊大吃蜂窝数量为“6”6530=⨯=个．11.作业1答案：750个简答：设风老师吃的包子是“15”，则雨老师吃的是“3”，云老师吃的是“5”，云老师比雨老师多吃“2”，即100个包子，所以“1”100250=⨯=个包子．=÷=个．风老师吃了“15”155075012.作业2答案：40个简答：设大型号零件的个数是“12”，所以小型号零件原来的个数是“4”，后来是“3”，减少的“1”，即10个．李师傅原来有“4”41040=⨯=个小型号的零件．13.作业3答案：30只简答：由于信鸽的总数量不变，所以设信鸽的总数量是“12”，一开始犀牛家的信鸽数量是“3”，河马家的信鸽数量是“9”，后来犀牛家的信鸽数量是“4”，河马家的信鸽数量是“8”．犀牛家的信鸽数量增加“1”，即10只，所以“1”=10只．犀牛家原来有“3”31030=⨯=只信鸽．14.作业4答案：240朵简答：由于红花和黄花相差的数量是不变的，所以设红花的朵数与黄花的朵数之差是“10”，一开始黄花有“5”，红花有“15”，剩下的黄花有“2”，剩下的红花有“12”．红花和黄花分别减少了“3”，即60朵，所以“1”即20朵．剩下的红花有“12”2012240=⨯=朵．15.作业5答案：48元简答：由于哥哥和弟弟压岁钱的总数不变，所以设压岁钱的总数是“12”份，一开始弟弟有“3”，哥哥有“9”，后来哥哥有“4”，弟弟有“8”．弟弟增加的“5”，即20元，所以“1”2054=÷=元．两人一共有“12”41248=⨯=元压岁钱．。

第十三讲画图显示法在有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来；可是只要画个图就能显示清楚了.同学们要学会这种画图方法.例1 小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方差几岁？解：先画个图看看：①表示小明比小英小5岁，②表示小方比小明大2岁，由图可见，小英比小方大3岁.注意：画这个图时，由题意应以小明为基准.例2 小初、小美、小英三个人分糖块.小美比小英多3块，小初比小美多2块.已知糖块总数是50块，那么每人各分到多少块？解：依题意画图，可以先画小英，见下图中①，再画小美，它比小英多3块，见下图中②，接着再画小初，它又比小美多2块，见下图中③，至此，图已画完，下面借助此图进行分析推理.由图可见，小初比小英多3+2=5块，由图还可以看出，50-（3+5）=42（块）就是小英糖数的3倍，所以小英的一份是：42÷3=14（块）；由此可求出小美的一份是14+3=17（块）；小初的一份是17+2=19（块）.例3 小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分；若买5本，就差1角.问小健有多少钱？解：依题意画出右图，由图易见一本的价钱是：2+10=12（分），所以小健有的钱是12×4+2=50（分）或12×5-10=50（分），即5角.例4 妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁.问小铃和妈妈各多少岁？解：依题画下图：由上图可见，40岁是小铃年龄的3+1=4倍，所以小铃的年龄是：40÷4=10（岁）；而妈妈的年龄则是：10×3=30（岁）.例5 父亲今年40岁，小哲10岁.问几年以后父亲年龄是小哲年龄的2倍？解：按题意画下图：先画阴影部分，小哲（10岁）占1格，父亲（40岁）占4格，年龄差（40-10=30（岁））是3格，再画图表示二人年龄的增长，注意应从上往下画.不难得出当二人年龄各增加2格时，即20年后（父亲是6格，小哲是3格）父亲年龄是小哲年龄的2倍.习题十三1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱？王强和李明各有多少钱？2.大、小二数之和为10，之差为2，求大、小二数各多少？3.小军、小方和小雄共有12本小人书，小军比小方多2本，小方比小雄多2本，问他们三人各几本？4.今年弟弟8岁，哥哥14岁.问当两人的年龄和是30岁时，两人各几岁？5.两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水？6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，称得重为5千克；把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，问原来水有多少千克？7.一筐鲜鱼，连筐共重56千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐还重17千克.原来这筐鲜鱼重多少千克？8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有15米；小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米.请问，这口枯井有多少米深？习题十三解答1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.依题意，“两人钱合在一起，刚好买这本书”.就是说，如图所示，实线段（表示李明的钱）按图线可以向上移到短的虚线处（表示王强缺的钱）接起来刚好等书价.也就是说一本书的书价是：2角5分+3角1分=5角6分.王强有3角1分，李明有2角5分.2.解：画线段图用长线段表示大数，用短线段表示小数，用差线段表示两数之差，见图：由图显见，若在虚线处再加上一段“差线段”，那就显然得到了两条等长的长线段.这就表示，和加差等于两个大数，即（和+差）÷2=大数.反之，如果去掉那段“差线段”，则得到两条等长的短线段.这就表示，和减差等于两个小数，即（和-差）÷2=小数.注意，此题就叫“和差问题”，以上两式就叫和差问题公式.把题给的具体数值代入这两个公式，可得：大数=（10+2）÷2=6，小数=（10-2）÷2=4.3.解：画线段图如下：与上题类比，采用添加差线段的方法可得：（12+2×3）÷3=6（本）（小军）；6-2=4（本）（小方）；4-2=2（本）（小雄）；同样也可采用去掉差线段的方法得：（12-2×3）÷3=2（本）（小雄）；2+2=4（本）（小方）；4+2=6（本）（小军）.4.解：此题叫年龄问题，它的特点是年龄差保持不变.此题可归纳为和差问题：哥弟年龄之差为14-8=6（岁），和为30岁，求哥弟各几岁？（30+6）÷2=18（岁）（哥）（30-6）÷2=12（岁）（弟）.5.解：此题的实质也是和差问题.和为30斤，差：3×2=6（斤），由和差问题公式得：（30+6）÷2=18斤（大桶）；（30-6）÷2=12斤（小桶）.6.解：画线段图如下：由图可见，线段③-线段②=2倍小线段，即一条小线段表示（9-5）÷2=2（千克），即原来瓶中水重是2千克.7.解：画线段图如下：由图可以看出总重减去最后剩下的（包括筐重和鱼）等于第一次和第二次卖出的鲜鱼总数.又知第一次卖出的是第二次卖出的2倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的3倍，即得第二次卖出鱼的总量为（56-17）÷3=13千克.原来鲜鱼总数为13×4=52千克.8.解：画示意图如下：小秋第二次把绳子对折量，井外留1米长的双股绳相当实际绳长2米，比第一次单股绳测时，井外少了15-2=13（米），因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为13米.。

年级五年级学科奥数版本通用版课程标题数的整除（一）在做整数除法的时候，如果能够除尽，我们称除数能整除被除数。

比如21÷7＝3，那么7能整除21，或者说21能被7整除。

用数学符号表示整除关系为：7|21小学阶段对整除的学习只限于整除的数字特征和整除的简单性质这两部分。

一、自然数的末位能被2（或5）整除，那么这个自然数能被2（或5）整除。

自然数的末两位能被4（或25）整除，那么这个自然数能被4（或25）整除。

自然数的末三位能被8（或125）整除，那么这个自然数能被8（或125）整除。

（将一个自然数看做两个数的和，例如看3825能否被25整除，只需看3800和25是否分别能被25整除即可）以上性质可按照规律写出无数条。

二、自然数的数字和能被3（或9）整除，那么这个自然数能被3（或9）整除。

（例如看abcdef能否被3或9整除，可将abcdef进行变形，abcdef＝100000a＋10000b ＋1000c＋100d＋10e＋f＝99999a＋a＋9999b＋b＋999c＋c＋99d＋d＋9e＋e＋f＝（99999a＋9999b＋999c＋99d＋9e）＋（a＋b＋c＋d＋e＋f），所以看abcdef能否被3或9整除，只需看后一项（a＋b＋c＋d＋e＋f）能否被3或9整除即可）三、自然数划掉末三位，再减去被划掉的末三位得到的差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么这个自然数能被7或11或13整除。

（例如看abcdef能否被7或11或13整除，设def＝A，abc＝B，则abcdef＝1000B＋A ＝1000B＋B＋A－B＝1001B＋A－B＝7×11×13＋A－B）例1 八位数2（）0（）1（）1（）能被3和4整除，在四个括号中填入满足条件的相同数字。

分析与解：能被4整除，那么末两位能被4整除。

个位只能是2或6。

能被3整除，那么数字和是3的倍数。

22021212符合条件，26061616不符合条件。

《数学小学三年级奥数专题》第13讲周期问题一、知识要点在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。

像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解答。

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

二、精讲精练【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？练习1：1、如图，算出第20个图形是什么？○△△□□□○△△□□□○△△……2、“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2001个字是什么？【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？练习2：1、2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？2、2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？练习3：1、23个3相乘，积的个位数字是几？2、100个2相乘，积的个位数字是几？【例题4】有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？练习4：1、一列数按“294736294736294……”排列，那么前40个数字之和是多少？2、有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？【例题5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。

如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？练习5：1、校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季，共摆了112盆花。

如果第一盆花是菊花，那么共摆了多少盆月季花？2、同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少人？三、课后作业1、把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？2、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？3、50个7相乘，积的个位数字是几？4、有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？5、一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。

年级三年级学科奥数版本通用版课程标题找规律：数列规律、图形规律（一）这一讲我们将一起研究找规律的问题，找规律是解决数学问题的一种重要手段，而找规律既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力。

因此，学习本讲的知识有助于养成全面、由浅入深、由简到繁地观察、思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察，发现规律并利用规律来解决问题的方法。

接下来，我们从两方面训练找规律的能力：数列规律和图形规律。

找数列规律常见的几类方法：1. 观察数列中每一个数自身的特征（如奇偶性、整除性、是否为质数等）2. 相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列、等比数列、斐波那契数列、复合数列等）3. 间隔数之间的差或商的变化特征4. 有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列。

例1. 按规律填上括号里的数。

2，5，8，11，（），17，20。

【分析与解】不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3。

因此，括号中应填的数是14，即：11＋3＝14。

例2. 按规律填上括号里的数。

1，3，6，10，（），21，28，36，（）。

【分析与解】这一列数有如下的规律：第1项：1＝1第2项：3＝1＋2第3项：6＝1＋2＋3第4项：10＝1＋2＋3＋4第5项：（）第6项：21＝1＋2＋3＋4＋5＋6第7项：28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7第8项；36＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和。

因此，第5项为15，即：15＝1＋2＋3＋4＋5；第9项为45，即：45＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9。

例3. 按规律填上括号里的数。

1，1，2，3，5，8，（），21，34…【分析与解】可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列。

现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和。

即2＝1＋1，3＝2＋1，5＝2＋3，8＝3＋5。

第十三讲简单抽屉原理- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 把10个苹果放进9个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．这个看上去很显然的现象，在数学中我们把它称作抽屉原理．一般地，我们有如下结论： 抽屉原理I把一些苹果随意放入若干个抽屉，如果苹果个数多于抽屉个数，那么一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．以9个抽屉为例：把9个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数不多于抽屉个数，如果苹果平均放进抽屉中，则每个抽屉都只放了1个苹果．但如果把10个苹果放进9个抽屉，这时苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．因为即使每个抽屉都放1个苹果时，也只能放进199⨯=个苹果，剩下的1个苹果再放进任何一个抽屉，都会使该抽屉中有2个苹果．类似的，把99个苹果放进9个抽屉，苹果个数多于抽屉个数，一定能找到一个抽屉，里面至少有2个苹果．事实上，我们还可以发现：如果这99个苹果平均放进9个抽屉中，每个抽屉里放99911÷=个苹果，如果放得不平均，则肯定有某个抽屉里的苹果多于11个．但如果把100个苹果放进9个抽屉，即使每个抽屉都放11个苹果，只能放99个苹果，剩下1个苹果再放进抽屉中，一定会使得某个抽屉至少有12个苹果．我们把“抽屉原理I ”加以推广，就可以得到一个更全面的抽屉原理．抽屉原理II把m 个苹果放入n 个抽屉（m 大于n ），结果有两种可能：（1）如果m n ÷没有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷”个苹果；（2）如果m n ÷有余数，那么就一定有抽屉至少放了“m n ÷的商再加1”个苹果． 抽屉原理也称“鸽巢原理”或“狄利克莱原理”，是19世纪德国数学家狄利克莱最早提出的，在组合数学中有着非常重要的地位．回想刚才得出抽屉原理的过程，在计算时我们都使用了平均分配的思想．为什么要平如果把96个苹果放入8个抽屉，那么一定有抽屉至少放了________个苹果．如果把97片培根放在8个盘子，那么一定有盘子至少放了________片培根．如果把98只羊放在8个笼子里，那么一定有笼子至少放了________只羊．练 一 练均分呢？因为只有这样做才能使得放入同一个抽屉的苹果尽量少，求出的结果才是至少．．几个．虽然我们算的是分到同一个抽屉的苹果，但考虑的时候却是让同一抽屉中的苹果尽量少——这种从反面考虑的分析方法又叫做“最不利原则”，即考虑最坏的情形．这一原则不仅体现在抽屉原理中，它还在解决很多与“至多”、“至少”相关的问题时非常有用． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分析：如果没有满足“有5条相同品种的鱼”的要求，最“倒霉”的情况是什么？换句话说，当结论不成立时，最多可能有多少条鱼？只要比这个“最多的”还要多，结论就肯定成立了．分析：仍旧考虑问题的反面，当本题中的结论不成立时，最多能取出多少个球？练习2爷爷给小明买了一盒糖，这些糖分为苹果味、桔子味和菠萝味三种口味，每种口味各30颗．小明特别喜欢吃苹果味的，他闭着眼睛，至少需要摸出多少颗糖，才能保证一定能拿到1颗苹果味的？至少需要摸出多少颗糖，才能保证能拿到两种口味的糖？一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有10个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个．现在闭着眼睛从中摸球，请问：（1）至少要取出多少个球，才能保证取出的球至少有三种颜色？（2）至少要取出多少个球，才能保证其中必有红球和黄球？例题2练习1一个布袋里有7种不同颜色的彩球，每种颜色的彩球都有很多，那么至少要拿出多少个彩球，才能保证其中有6个相同颜色的彩球？ 一个鱼缸里有4个品种的鱼，每种鱼都有很多条．至少要捞出多少条鱼，才能保证其中有5条相同品种的鱼？例题1例题3将1只白袜子、2只黑袜子、3只红袜子、8只黄袜子和9只绿袜子放入一个布袋里．请问：（1）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）一次至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？（两只袜子颜色相同即为一双）分析：结论的反面是什么？在不满足结论的情况下，最多能摸出多少只袜子？练习3袋子里白袜子、黑袜子、红袜子各10只．现在闭着眼睛从袋子中摸袜子，请问：（1）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色相同的两双袜子？（2）至少要摸出多少只袜子才能保证一定有颜色不同的两双袜子？例题4一副扑克牌共54张，其中有2张王牌，还有黑桃、红心、草花和方块4种花色的牌各13张．现在要从中随意取出一些牌，如果要保证在取出来的牌中至少包含三种花色，并且这三种花色的牌至少都有3张，那么最少要取出多少张牌？分析：本题中我们要保证“至少包含三种花色”和“这三种花色的牌至少都有3张”这两个条件，如果不能同时保证这两个条件，那么最多可能取出多少张牌？练习4口袋中装有4种不同颜色的珠子，每种都是100个．要想保证从袋中摸出3种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？例题5大头把一副围棋子混装在一个盒子中（围棋子有黑、白两种颜色），然后每次从盒子中摸出4枚棋子，那么他至少要闭着眼睛摸几次，才能保证其中有三次摸出棋子的颜色情况是相同的？（不必考虑每次摸出的4枚棋子的顺序）分析：摸出的4枚棋子的颜色情况都有哪几种？如果结论不成立，最多可能摸了几次？分析：至少有3个格子里的米粒一样多的反面是最多只有2个格子的米粒数一样多，想想这时格子里至少有多少个米粒？国王让阿凡提在88 的国际象棋棋盘的每个格子里放米粒．结果每个格子里至少放一粒米，无论怎么放都至少有3个格子里的米粒一样多，那么至多有多少个米粒？例题6 鸽巢原理鸽巢原理又名抽屉原理或狄利克雷原理，它由德国数学家狄利克雷(Divichlet ，1805—1855)首先发现．鸽巢原理在组合学中占据着非常重要的地位，它常被用来证明一些关于存在性的数学问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用．使用鸽巢原理解题的关键是巧妙构造鸽巢或抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则．鸽巢原理的应用在几何图形中：例：在边长为2的等边三角形内任意选择5个点，存在2个点，其间距离至多为1．分析：由题意，可以构造出4个抽屉，每个抽屉满足在其中的距离至多为1．根据抽屉原理，在4个抽屉里分别放置4个点，不论第5个点如何放置，都满足两点之间的距离最多为1．小 故 事课堂内外二桃杀三士《晏子春秋》里有一个“二桃杀三士”的故事．齐景公养着三名勇士，他们名叫田开疆、公孙接和古冶子．这三名勇士都力大无比，武功超群，为齐景公立下过不少功劳．但他们也刚愎自用，目中无人，得罪了齐国的宰相晏婴．晏子便劝齐景公杀掉他们，并献上一计：以齐景公的名义赏赐三名勇士两个桃子，让他们自己评功，按功劳的大小吃桃．三名勇士都认为自己的功劳很大，应该单独吃一个桃子．于是公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃；田开疆讲了自己的杀敌功，拿起了另一桃．两人正准备要吃桃子，古冶子说出了自己更大的功劳．公孙接、田开疆都觉得自己的功劳确实不如古冶子大，感到羞愧难当，赶忙让出桃子．并且觉得自己功劳不如人家，却抢着要吃桃子，实在丢人，是好汉就没有脸再活下去，于是都拔剑自刎了．古冶子见了，后悔不迭．仰天长叹道：“如果放弃桃子而隐瞒功劳，则有失勇士尊严；为了维护自己而羞辱同伴，又有损哥们义气．如今两个伙伴都为此而死了，我独自活着，算什么勇士！”说罢，也拔剑自杀了．晏子采用借“桃”杀人的办法，不费吹灰之力，便达到了他预定的目的，可说是善于运用权谋．汉朝的一位无名氏在一首诗中曾不无讽刺的写道：“……一朝被谗言，二桃杀三士．谁能为此谋，相国务晏子！”值得指出的是，在晏子的权谋之中，包含了一个重要的数学原理──抽屉原理．在“二桃杀三士”的故事中，把两个桃子看作两个抽屉，把三名勇士放进去，至少有两名勇士在同一个抽屉里，即有两人必须合吃一个桃子．如果勇士们宁死也不肯忍受同吃一个桃子的羞耻，那么悲剧的结局就无法避免．作业1.口袋里装有红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个．小华闭着眼睛从口袋里往外摸球，每次摸出1个球．他至少要摸出多少个球，才能保证摸出的球中每种颜色的球都有？2.小钱的存钱罐中有4种硬币：1分、2分、5分、1角，这四种硬币分别有5个、10个、15个、20个．小钱闭着眼睛向外摸硬币，他至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中至少有两种不同的面值？至少摸出多少个硬币，才能保证摸出的硬币中既有5分硬币也有1角硬币？3.如果筷子颜色有黑色、白色、黄色、红色、蓝色五种，每种各有10根．在黑暗中取出一些筷子，为了搭配出两双颜色相同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？为了搭配出两双颜色不同的筷子，最少要取多少根才能保证达到要求？（两根颜色相同的筷子搭配成一双筷子）4.盒子里一共有4种不同形状的零件，分别有9、10、11和12个，至少要从中摸出多少个零件，才能保证有3种不同形状的零件，并且这三种零件中每种至少有3个？5.中午放学，食堂里有五种菜供学生们选择，每人只能选两种不同的菜．至少有多少名学生，才能保证其中至少有5名学生选择的菜完全相同？第十三讲 简单抽屉原理1. 例题1答案：17解答：17．最不利情况是没有5条相同品种的鱼，这时最多每个品种都有4条鱼，一共4416⨯=条．只要比16条多，就能保证有5条相同品种的鱼了．因此至少捞出17条鱼．2. 例题2答案：（1）19；（2）15．解答：（1）如果取出的球没有三种颜色，最不利的情况是尽量多地取出其中的某两种，红球和黄球最多，全都取出共有10818+=个球．只要多于18个，就能保证有三种颜色的球了，因此至少取出19个．（2）如果取出的球中红球和黄球不同时出现，最不利的情况是首先蓝球和绿球都取出，并且红球和黄球中的一种也都取出，红球比黄球多，应将红球全部取出，此时共取出311014++=个球，因此至少取出15个球，才能保证红球黄球同时出现．3. 例题3答案：（1）13；（2）14．解答：（1）如果没有颜色相同的两双袜子，这时每种颜色的袜子至多3只，一共至多1233312++++=只．因此至少摸出13只才能保证有两双颜色相同的袜子．（2）如果没有颜色不同的两双袜子，那么最不利情况是成双成对的袜子都是同一种颜色的，这时最多有9111113++++=只袜子．因此至少摸出14只才能保证有两双颜色不同的袜子．4. 例题4答案：33．解答：反过来考虑，就是“最多只有2种花色的牌不少于3张，其余花色都不到3张．”最不利的情况就要使取的牌尽量多，我们应该将其中两种花色尽量多取、剩下两种花色都取2张，包括2张大小王牌，最多能取13222232⨯+⨯+=张牌．因此至少取出33张才能保证满足要求．5. 例题5答案：11．解答：摸出的棋子的颜色情况有五种：4白、3白1黑、2白2黑、1白3黑、4黑．根据最不利原则，如果没有三次摸出棋子颜色情况相同，最多是每种情况各摸出2次，一共2510⨯=次．只要摸的次数比10次多，就能保证至少有三次摸出棋子颜色情况相同．因此至少摸11次．6. 例题6答案：1055．简答：如果不满足条件，最多只有两个格子中的米粒数一样多，则64个格子里至少有11223332321056++++++++=个米粒．如果少于1056个米粒，就必然有三个格子里的米粒数一样多，因此至多有1055个米粒．7. 练习1答案：36． 简答：如果不满足条件，最多可以取出7535⨯=个彩球，因此取出36个彩球就能保证有6个颜色相同的． 8. 练习2答案：61；31．简答：第一个问题，如果不满足条件，拿的都不是苹果味的，最多拿光了桔子味的和菠萝味的，一共303060+=颗．因此至少拿61颗，才能保证拿到苹果味的．第二个问题，如果拿的不到两种口味，最多一种口味，最多可以拿30颗，因此至少拿31颗才能保证拿到两种口味．9. 练习3答案：（1）10；（2）13．简答：（1）至少摸出333110+++=只袜子．（2）至少摸出1012113+⨯+=只袜子．10. 练习4答案：219．简答：如果不满足条件，其中两种颜色的珠子尽量多，另外八种颜色的珠子都不到10个，这时最多可以有++⨯=个珠子．因此至少拿219个珠子，才能保证有三种颜色的珠子都至少10个．1001002921811.作业1答案：16．⨯=个．因此至少摸出16个球就能满足要求．简答：如果不满足要求，最多摸出三种颜色的球，最多有531512.作业2答案：21；36．简答：第一个问题，如果不满足要求，就只摸出一种面值的，最多20个，因此至少摸出21才能满足要求．第++=个硬币，因此至少摸出36二个问题，如果不满足要求，5分硬币和1角硬币缺一种，最多有5102035个硬币才能满足要求．13.作业3答案：16；15．⨯+=根才能满足要求．第二个问题，至少取出简答：与例题5方法相同．第一个问题，至少取出35116+⨯+=根才能满足要求．101411514.作业4答案：28．++++=个零件才能满足要求．简答：与例题4方法相同，至少摸出11122212815.作业5⨯=名学答案：41．简答：从5种菜中选择2种不同的菜，有10种方式．如果不满足要求，最多选出41040生，因此选出41名学生即可满足要求．。