2014年高二数学1-1考试题(5)

2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。

鹤岗一中2013--2014学年度上学期期末考试高二数学（文）参考公式：回归直线的方程是：y ^＝bx ＋a ，其中b ＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2=-=--=--∑∑2121xn xy x n yx ni ini ii ，a ＝y －－b x －；其中y ^i 是与x i 对应的回归估计值．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题0:p x R ∃∈，200220x x ++≤，则p ⌝为 （ ） A. 2000,220x R x x ∃∈++> B. 2000,220x R x x ∃∈++< C. 2000,220x R x x ∀∈++≤ D. 2000,220x R x x ∀∈++>2．双曲线的方程为221169x y -=，则其离心率为( )A.54 B.54 C.45± D.54± 3．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤11020y x y x ，则3z x y =+的最小值为( )A ．2B ．1C ． -1D ．-24．若下面的程序框图输出的S 是126，则①应为( )A ．5?n ≤ B. 6?n ≤ C ．7?n ≤ D. 8?n ≤(第4题) （第6题）5．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是（ ） A.21B.31C.41D.52 6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的结果是________．A.611 B.1223 C.1225 D.85 7．下图是甲、乙两名篮球运动员在以往几场篮球赛中得分的茎叶图，设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则 A ．x 甲<x 乙，m 甲> m 乙 B ．x 甲<x 乙，m 甲< m 乙 C ．x 甲>x 乙，m 甲> m 乙 D ．x 甲>x 乙，m 甲< m 乙（第7题） 8．在面积为9的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则能使PAB ∆的面积大于3的概率是（ ） A ．13 B ．23 C ．19 D ．899．若“0322>--x x ”是“a x >”的必要不充分条件，则a 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.-1的 10．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是（ ）（第10题） （第16题）A ．11B ．12C ．13D ．1411．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是( ) A.121 B.61 C.83 D.92 12.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ,左焦点为2F ,若椭圆上存在一点P ,满足线段1PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A.35 B.32 C.22 D.95 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

适用精选文件资料分享2014-2015 年高二数学期末（理）试卷及答案2014-2015 学年度第一学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（理）科试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项吻合题目要求。

）1 ．命题：“，”的否定形式是（）A ， B ，C ， D ，2 ．抛物线的焦点坐标为（）A B C D 3．若向量，向量，且满足向量 // ，则等于（） A B C D 4．“ ”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的 ( ) A 充分不用要条件 B 必需不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不用要条件 5 ．经过点，且与双曲线有同样渐近线的双曲线方程是（）A B C D 6．以下列图，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（）ABCD7 ．中,，点在双曲线上，则 = （）A B C D 8．以下列图，在棱长为 1 的正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（）ABCD9．已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作垂直于，若,则的面积为（）AB C D 10．假如命题“若，，则”是假命题，那么字母在空间所表示的几何图形可能是 () A 全部是直线 B 全部是平面 C 是直线，是平面 D 是平面，是直线 11 ．已知椭圆与双曲线有共同的焦点和，且满足是与的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率为( ) A B C D 12 ．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都拥有同样的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；比方将等轴双曲线绕原点逆时针转动，就会获得它的一条“共性双曲线” ；依据以上资料可推理得出双曲线的焦距为（）ABCD二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分。

） 13 ．命题“若，则是直角三角形”的否命题的真假性为 14 ．若“ ”是“ ”的充分不用要条件，则的取值范围为 15 ．已知是以为直角极点的等腰直角三角形，此中 , （）, 则 16 ．在平面直角坐标系中，已知此中 , 若直线上有且只有一点，使得，则称直线为“黄金直线”，点为“黄金点”。

任丘一中2013-2014学年高二第一学期第一次阶段考试数学试题考试时间：9月12日 命题范围：必修3、选修1-1 命题人：李学武 李燕一．选择题（每题5分，共80分，每题只有一个符合题意的选项） 1.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）.Ａ．3 B ．9 C ．17 D ．512.线性回归方程a bx y+=ˆ表示的直线必经过的一个定点是 （ ）. Ａ．)y ,x ( B ．)0,x ( Ｃ．)y ,0( Ｄ．)0,0(3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）.Ａ．23与26B ．31与26C ．24与30D ．26与304. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 同时发生的概率是 （ ）.A.512 B.712 C.112 D.345.“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 6. .已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则 （ ）A. 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈≥B. 00:,sin 1p x R x ⌝∀∈≥C. 00:,sin 1p x R x ⌝∃∈>D. 00:,sin 1p x R x ⌝∀∈>7. 若地铁列车每10分钟一班，在车站停一分钟，则乘客到达站台立即上车的概率为（ ） A101 B 51 C 52 D 1098.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁1 2 42 03 5 63 0 1 14 1 20.3 0.1 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2视力频率组距 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要9．如果方程122=+y mx 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围( )A ．()1,0 B.()+∞,1 C. ()()+∞⋃,11,0 D.()+∞,0 10. 右图给出的是计算201...614121++++的值的一个流程图， 其中判断框内应填入的条件是（ ）.A ．21≤iB ．11≤iC ．21≥iD ．11≥i11. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a, b 的值分别为A.27.0；78B. 27.0；83C.2.7；78D.2.7；8312.在一次歌手大赛上，7位评委为某歌手打分如下：9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A.9.4 , 0.484B.9.4 ,0.016C.9.5 ,0.04D.9.5 ,0.016 13. 已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则非p 是非q 的( ) A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件14. 调研考试以后，班长算出了某班40人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么NM的值为 （ ）A.4041B.1C.4140D.2 15. 已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[e,4]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]16.在下列结论中，正确的是（ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件 ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二． 填空题（每题5分，共20分）17．某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n 的样本，则n= ． 18.经过两点()()2,3,1,6--B A 的椭圆的标准方程 19.命题“0322>--ax ax 不成立”是真命题，则实数a 的取值范围 20. 甲乙两袋中各有大小相同的两个红球、一个黄球，分别从两袋中取一个球，恰有一个红球的概率是 .三．解答题（21-25题每题10分） 21. 已知：p ：523,x ->q ：210,45x x >+-则p 是q 的什么条件？22．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。

阶段性测试题五(选修1－1综合能力检测)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0，则¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 [答案] C[解析] p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个是假命题即可，不一定p ，q 都是假命题． 2．设p ：大于90°的角叫钝角，q ：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p 与q 的复合命题的真假是( )A ．“p ∨q ”假B ．“p ∧q ”真C ．“¬q ”真D ．“p ∨q ”真[答案] D[解析] p 假，q 真，故“p ∨q ”真．3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且抛物线y ＝x 2＋x －1的顶点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A.58 B ．－58C.74D ．－74[答案] A[解析] 抛物线y ＝x 2＋x －1的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－54＝(b ，c )，∴⎩⎨⎧b ＝－12，c ＝－54.∵a ，b ，c ，d 成等比数列，则有ad ＝bc ＝58，故选A.4．平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足|P A |＋|PB |＝6，则|P A |的取值范围是( )A ．[1,4]B ．[1,6]C ．[2,6]D ．[2,4][答案] D[解析] 因为|PA |＋|PB |＝6>2，所以P 点的轨迹为椭圆，所以3－1≤PA ≤3＋1，即|PA |∈[2,4]．5．已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)<f (1) C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定[答案] C[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2，因此f (x )＝x 2－4x ，f (－1)＝5，f (1)＝－3，即f (－1)>f (1)．6．若曲线C y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a 的值等于( )A ．－2B ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 曲线C 上任意点处切线的倾斜角都是锐角，所以y ′>0恒成立，即3x 2－4ax ＋2a >0恒成立，Δ＝16a 2－24a <0，解得0<a <32，因为a 为整数，所以a ＝1.7．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 5D ．2[答案] C[解析] x 2－λy 2＝1的渐近线方程为y ＝±1λx ，所以1λ＝2，所以λ＝14，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋4＝ 5.8．命题“∃x 0∈R ，12x 0－3>1”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，12x 0－3≤1B ．∀x 0∈R ，12x 0－3>1 C ．∀x 0∈R ，12x 0－3≤1 D ．∃x 0∈R ，120－3<1 [答案] C[解析] 特称命题的否定为全称命题，故选C.9．由线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22[答案] D[解析]因为y′＝e x，所以k＝e2，故切线方程为y－e2＝e2(x－2)，因此，切线与两标轴围成的三角形的面积为S＝12×e2×1＝e22D.10．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3C．4 D．5[答案] D[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.53B.43C．2 D.7 3[答案] A[解析]e＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|≤|PF1|＋|PF2||PF1|－|PF2|5|PF2|3|PF2|＝53.12．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析]二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．[答案]a＋b＋1<0[解析]实数系方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a＋b＋1<0.14．△ABC 的三边，a ，b ，c ，已知a >c >b ，且成等差数列，若A (－1,0)，B (1,0)，则动点C 的轨迹方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1(y ≠0，且x <0)[解析] 由题意得a ＋b ＝2c ＝4，根据椭圆的定义可知，其轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，因为a >c >b ，所以是椭圆的一部分．15．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，则－1,3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴a ＝－3，b ＝－9.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为______________(写出所有真命题的序号)． [答案] ③④[解析] ①中当k ＝|AB |时，点P 的轨迹是一条射线．②中点P 的轨迹是以AC 中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知p 5x 2－4x －1>0，q 1x 2＋4x －5>0，试判断¬p 是¬q 的什么条件？[解析] 由5x 2－4x －1>0，得x <－15或x >1，即p x <－15或x >1；由1x 2＋4x －5>0，得x <－5或x >1，即q x <－5或x >1，容易判断p 是q 的必要不充分条件，从而¬p 是¬q 的充分不必要条件．18．(本题满分12分)已知x ∈R ，求证：cos x ≥1－12x 2.[解析] 令F (x )＝cos x －1＋12x 2，则F ′(x )＝－sin x ＋x ， 当x ≥0时F ′(x )≥0，∴F (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又F (0)＝0，即x ∈[0，＋∞)时，恒有F (x )≥0， 即cos x ≥1－x22.又F (－x )＝cos(－x )－1＋(－x )22＝cos x －1＋x 22＝F (x )，∴F (x )是R 上的偶函数， ∴当x <0时，恒有F (x )≥0， 即cos x ≥1－x 22，综上所述，对一切x ∈R ，都有cos x ≥1－x22.19．(本题满分12分)设f (x )＝e x(ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． 求a 的值，并讨论f (x )的单调性． [解析] f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)， 由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0⇒a ＝－1. 于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2) ＝－e x (x ＋2)(x －1)，故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减， 在(－2,1)上单调递增．20．(本题满分12分)(2009·全国Ⅱ文，21)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．[解析] 本题考查函数、导数、不等式等基础知识，以及利用导数求函数的最值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )． 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值． f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a＝－43a 3＋4a 2＋24a ，f (0)＝24a .由假设知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f (2a )>0，f (0)>0，即⎩⎨⎧a >1，－43(a ＋3)(a －6)>0，24a >0.解得1<a <6.故a 的取值范围是(1,6)．21．(本题满分12分)一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2＝y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP →·OQ →＝－3，PQ →＝4RQ →，求直线与双曲线的方程．[解析] 由e ＝3，所以c 2＝3a 2，所以b 2＝2a 2，所以双曲线方程为2x 2－y 2＝2a 2，设直线l y ＝x ＋m ，R (0，m )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2，⇒x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.①又因为OP →·OQ →＝－3，PQ →＝4RQ →，则有x 1x 2＋y 1y 2＝－3，所以2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＋3＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 1＝4x 2，y 2－y 1＝4(y 2－m )，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2，3y 2＋y 1＝4m .③ 由①，③得x 2＝－m ，x 1＝3m ，m 2＝a 2，代入②得m 2＝1，a 2＝1，所以m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2，所以所求的直线与双曲线方程分别是y ＝x ±1，x 2－y 22＝1.22．(本题满分14分)已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )的图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围．(2)若f (x )在x ＝1时取得极值，且x ∈(－1,2)，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，由已知f ′(x )＝0有实数解，即3x 2－x ＋b ＝0有实数解， ∴Δ＝1－12b ≥0.故b ≤112.(2)由题意x ＝1是方程3x 2－x ＋b ＝0的一个根，设另一根为x 0，则⎩⎨⎧x 0＋1＝13，x 0×1＝b 3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－x －2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，∴当x ＝－23时，f (x )有极大值2227＋c .又f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，即当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值为f (2)＝2＋c . ∵对x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立， ∴c 2>2＋c ，c <－1或c >2.故c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

14年高二数学期末考试试题14年高二数学期末考试试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.双曲线的焦点坐标是()A.、B.、C.、D.、2.一个家庭有两个小孩，则基本事件空间是()A.{(男，男)，(女，女)}B.{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}C.{(男，女)，(女，男)}D.{(男，男)，(男，女)，(女，女)}3.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则PF1F2的面积等于()A.24B.36C.48D.964.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()A.A+B与C是互斥事件，也是对立事件B.B+C与D是互斥事件，也是对立事件C.A+C与B+D是互斥事件，但不是对立事件D.A与B+C+D是互斥事件，也是对立事件5、如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序until后面的条件应为()A.i10B.i8C.i=9D.i96.已知为不重合的两个平面，直线那么是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()A.11种B.20种C.21种D.12种8.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，当FA+FB+FC=，且|FA|+|FB|+|FC|=3时，此抛物线的方程为()A.B.C.D.9.如图，已知直线、是异面直线，，，且，，则直线与的夹角大小为()A.B.C.D.10.项式的展开式中的常数项为()(A)(B)(C)(D)11.已知双曲线的离心率.双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是()A.B.C.D.12.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.13B.C.D.23第Ⅱ卷(共90分)二.填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上).13.将二进制数1010101(2)化为十进制结果为;14有下列命题①命题xR，使得的否定是xR，都有②设p、q为简单命题，若q为假命题，则pq为真命题③2是5的充分不必要条件;④若函数为偶函数，则;其中所有正确的说法序号是.15.底面是正方形的四棱锥A-BCDE中，AE底面BCDE，且AE=CD=，G、H分别是BE、ED的中点，则GH到平面ABD的距离是________.16.线段是椭圆过的一动弦，且直线与直线交于点，则三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).17.(本小题满分10分)若将函数表示为，其中为实数，求的值18.(本小题满分12分)已知直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若，求点A的坐标;(2)若直线的倾斜角为，求线段AB的长.19.(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，，是棱的中点，。

M2013～2014学年第一学期期末试卷高二数学参考答案与评分标准2014.1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．45︒ 2．1x =- 3．3- 4．cos sin x x x - 5． 56．1(ln ,)2+∞ 7．3 8．（1，11） 9．②③④ 10．2213628y x -= 11．6π 12．15 13．9514． 4二、解答题：本大题共6小题，计90分． 15．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得圆心(2,2)C ， ……………… 2分半径R AC ==， ……………… 4分 所以圆C 的方程为22(2)(2)10x y -+-=． ……………… 6分 （Ⅱ）显然直线l 不可能垂直x 轴，设直线l 的方程为(2)y k x =+，因为直线l 与圆C 有且只有一个公共点，所以圆心到直线的距离d == ……………… 9分解得3k =或13k =-． ……………… 12分 所以直线l 的方程为360x y -+=或320x y ++=． ……………… 14分 16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）∵ABC ∠为直角，即AB ⊥BC ，又P A ⊥BC ，PAAB A =，∴BC ⊥ 平面P AB ． ……………… 3分 ∵AD ⊂平面P AB ，∴AD ⊥ BC ．……………… 4分 ∵P A = AB ，点D 为PB 中点，∴AD ⊥ PB ． ……………… 5分 又∵PBBC B =，∴AD ⊥平面PBC ．……… 7分（Ⅱ）取BE 中点M ，连DM ，AM ，∵点D 为PB 中点，∴DM ∥PE ， 又∵DM ⊄平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，∴DM ∥平面PEF ． ……………… 9分 又12AF ME FC EC ==， ∴AM ∥FE ，又∵AM ⊄平面PEF ，FE ⊂平面PEF ， ∴AM ∥平面PEF ． ……………… 11分又∵DM AM M =，DM ，AM ⊂平面DAM ，∴平面DAM ∥平面PEF ． ……… 13分∵AD ⊂平面DAM ，∴AD ∥平面PEF ． ……………… 14分 17．(本小题满分14分)解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r h xa h-=， ……………… 2分 ∴()ah rh a r hx a a--==． ∴圆柱体积为V （r ）22()(0)a r hr x r r a aππ-==<<． ……………… 5分即23()()h V r ar r a π=-，∴2()(23)hV r ar r aπ'=-，由()0V r '=得23r a =， ……………… 7分……………… 10分∴圆柱的最大体积为224()327a V ha π=． ……………… 12分 此时23r a =，13x h =． 答：圆柱的最大体积为2427ha π，此时底面半径为23a ，高为13h ． ……………… 14分18．(本小题满分16分)证明：（Ⅰ）如图，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，设AD 长度为1， 则可得(0,0)A ，(0,1)D ，(1,0)E ，(2,0)F ，(3,1)C ． …………………2分所以直线AC 方程为13y x =，①直线DF 方程为112y x =-+，② ………………… 4分由①②解得交点62(,)55G ． ………………… 6分∴EG 斜率2EG k =，又DF 斜率12DF k =-， ∴1EG DF k k ⋅=-，即有EG ⊥DF ． ………………… 8分 （Ⅱ）设点11(,)E x y '，则EE '中点M 111(,)22x y +， 由题意得 111111,23211,13y x y x +⎧=⋅⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪-⎩ ………………… 11分x解得43(,)55E '． ………………… 14分∵314()1525=-⋅+，∴点E '在直线DF 上． ………………… 16分19．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）由题意得22222111,,a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩ ………………… 2分解得2244,3a b ==． ………………… 4分∴椭圆C 的方程为223144x y +=． ………………… 5分 （Ⅱ）如图，B 点坐标为(1,1)-，假设存在这样的点P 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++， 直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=--． 令3x =，得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-． 所以PMN ∆的面积PMNS ∆2000020||(3)1||(3)2|1|M N x y x y y x x +-=--=-．……………… 9分又AB =AB 方程为0x y +=， 故点P 到直线AB的距离为d =，所以PAB ∆的面积PAB S ∆001||2AB d x y =⋅=+． ………………… 12分 当PMN S ∆=PAB S ∆时，得200020||(3)|1|x y x x +-=-00||x y +， ∵00||0x y +≠，∴2200(3)|1|x x -=-， ………………… 14分 解得053x =，从而0y =， 故存在点P 使得PAB ∆和PMN ∆的面积相等，点P坐标为5(,3． …… 16分 20．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）由题意知0x >，()1a f x x'=-， 若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，不存在极值． …… 1分 若0a >，则由()0f x '=得x a =，且当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，即有()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；故当x a =时有极小值()1ln f a a a a =--． ………………… 4分 （Ⅱ）当a 0<时，由（Ⅰ）知函数()f x 在(0,1]上单调递增， 又函数1y x=在(0,1]上单调递减， 不妨设1201x x <<≤，则12()()f x f x <，1211x x >， ∴1221|()()|()()f x f x f x f x --=，12121111||x x x x -=-， 所以不等式121211|()()|4||f x f x x x -<-等价于21()()f x f x -<1244x x -，………………… 8分 即212144()()f x f x x x +<+． 设44()()1ln g x f x x a x x x=+=--+， 则“121211|()()|4||f x f x x x -<-对任意12,(0,1]x x ∈且12x x ≠恒成立”等价于“函数()g x 在区间(0,1]上是减函数” ． ………………… 11分∵22244()1a x ax g x x x x --'=--=，∴240x ax --≤在(0,1]x ∈时恒成立，即4a x x -≥在(0,1]x ∈上恒成立，所以a 不小于函数4y x x -=在(0,1]x ∈上的最大值．∵2410y x'+>=在(0,1]上恒成立，∴函数4y x x-=在(0,1]上是增函数，∴当1x =时，有max 4()3x x -=-． ……………… 14分∴3a -≥．又a 0<，所以[3,0)a ∈-． ………………… 16分数学附加题部分【必做题】第21题、第22题、第23题、第24题，每题10分，共计40分． 21.（本小题满分10分）解：∵6cos3y x '=， ………………… 3分∴当4x π=时，y '=-， ………………… 5分 又当4x π=时，y =切点为(4π， ………………… 7分∴所求切线方程为)4y x π=--，即y =-++ ……… 10分 22.（本小题满分10分）解：设(,)P x y ，由224PA PB -=得2222(1)(1)4x y x y ++---=， ………………… 2分 即20x y +-=． ………………… 4分 由2220,4x y x y +-=⎧⎨+=⎩得0,2x y =⎧⎨=⎩或2,0x y =⎧⎨=⎩． ………………… 8分 ∴所求点P 的坐标为(0,2)和(2,0)． ………………… 10分 23.（本小题满分10分）解：以1,,AB AC AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则各点的坐标为(2,0,0)B ，1(0,0,4)A ，1(0,2,4)C ，(1,1,0)D ． ………………… 1分（Ⅰ）1(2,0,4)A B =-，1(0,2,4)AC =． ………………… 2分∴114cos ,5A B AC <=-，故异面直线1A B 和1AC 所成角的余弦值为45． ………………… 5分 （Ⅱ）1(2,0,4)AB =，(1,1,0)AD =，设平面C 1AD 的法向量为(,,)n x y z =，则1,0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2400y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1(1,1,)2n =-． ………………… 7分设直线1AB 与平面C 1AD 所成角为θ，则111||sin|cos ,|||||AB n AB n AB n θ⋅=<>=． ∴直线1AB 与平面1C AD ………………… 10分 24.（本小题满分10分）证明：由题意设221212(,),(,)22x x A x B x p p ，12x x <，0(,2)M x p -.由22x py =得212y x p =，则xy p'=， …………………2分∴ ,MA MB 的斜率分别为12,MA MB x xk k p p== ，故MA 的方程为102()x y p x x p +=-，MB 的方程为202()xy p x x p+=-． ………4分所以21110222202(),22()2x x p x x p p x x p x x pp ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ ，即2221110222222042(),42()x p x x x x p x x x ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩①② 由①-②得，2222121210202222x x x x x x x x -=--+， …………………7分即22012122()x x x x x -=-， ∵120x x -≠，∴0122x x x =+.所以A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列. …………………10分。

2014年高二数学【理】上学期期末考试题及答案鹤岗一中2014-2015学年度上学期期末考试高二数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。

） 1、若复数满足，则的虚部为（） A. B. C. D. 2、在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( ) A．(1)(2) B．(1)(3) C．(2)(3) D．(2)(4) 3、把红、蓝、黑、白4张纸牌分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（） A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 以上都不对 4、按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是( ) A．3 B．4 C．5 D．7 5、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图 (如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,536、曲线C的方程为，其中是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，那么 ( ) A. B. C. D.7、为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( ) A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32 C．5,6,7,8,9 D．5,15,25,35,458、以下命题中正确命题的个数是（）个 1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化； 2）调查剧院中观众观后感，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样； 3）事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小； 4）气象局预报说，明天本地降水概率为70%，则明天本地有70%的区域下雨，30%区域不下雨； 5）同时掷两个骰子，则向上的点数之和是5的概率是 . A. 0 B. 1 C. 2 D. 39、如下图是牡一中高二学年每天购买烤肠数量的茎叶图，第1天到第14天的购买数量依次记为右图是统计茎叶图中烤肠数量在一定范围内购买次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是（） 7 9 8 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4 A. B． C． D．10、某工厂对一批产品进行了抽样检测．下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是( ) A．90 B．75 C．60 D．45 11、在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( ) A . B. C. D. 12、已知函数，若是从0,1,2三数中任取一个，是从1,2,3,4四数中任取一个，那么恒成立的概率为（） A. B. C. D.二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现奇数点，事件为出现2点，已知，则出现奇数点或2点的概率为________． 14、方程，若，则方程没有实根的概率为 15、已知，则的概率是16、已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；②对于任意的，圆与圆始终相切；③ 分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4．④直线与圆一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为_________________. 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分）从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动． 1)求所选2人中恰有一名男生的概率； 2)求所选2人中至少有一名女生的概率． 18、(本题满分10分) 18.已知函数（I）当时，解关于的不等式；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围.19、（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入 (单位：千元)与月储蓄 (单位：千元)的数据资料，算得，，，。

`新安江中学2014学年第一学期期中试卷高二年级数学试卷命题：方艳 审校：邵文娟本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

所有答案均答在答卷上，答在试卷上的无效，试卷满分100分。

参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S c h 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； h S S S S V ）（下上下上台体++=31；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每个小题只有一个正确答案，每题3分，共30分） 1．过点P ),2(m -和Q )4,(m 的直线斜率为1，那么m 的值为（ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或42．设a b 、为两条不同的直线，αβ、为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b 、与α所成的角相等，则//a b B ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥ C ．若a α⊥，//a β，则αβ⊥ D ．若//a α，//b β，则//a b 3．(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β 的位置关系式（ ）A ．平行B ．垂直C ．所成的二面角为锐角D ．所成的二面角为钝角 4．已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则22(x 1)(y 1)-+-的最小值为( )A.45B.25C.D.5．如图，三棱锥V ABC -的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且=VA VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为（ ）A．2 B．3 C． D．6．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A. 16B. C. 13D.7．已知直线l :ax y 2a 0+--=在x 轴和y 轴上截距相等，则a 的值是（ ）A.1B.-1C.-2或-1D.-2或18.已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线， A ，B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )．A ．4B ．3C ．9.当曲线1y =与直线240kx y k --+=有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．5(0,)12 B ．13(,]34 C ．53(,]124D ．5(,)12+∞10.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为32，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设=BP x ，则当[]5,1∈x 时，函数)(x f y =的值域为（ ） A ．]66,62[ B.]18,62[ C . ]18,63[ D.]66,63[第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共7小题；每小题4分，共28分）11. 已知圆锥的底面半径为2cm ，高为12cm ，则圆锥的侧面积是 2cm 12. 已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为13.求已知圆22x y 2x 10+--=关于直线2x y 30-+=对称的圆的方程 14.直线x 2ay 10+-=与直线(a 1)x ay 10-++=平行，则a =15．222(x 3)(y 5)r (r 0)-++=>若上有且仅有两个点到直线4x 3y 20--=的距离为1， 则半径长r 的取值范围16．正方体1111ABCD A BC D -中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1//A F 平面1D AE ,若正方体1111ABCD ABC D -的棱长是2,则 F 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长是________.17．已知直线)0(4)1(:2≥=+-m m y m mx l 和圆01648:22=++-+y x y x C .有以下几个结论： ①直线l 的倾斜角不是钝角；②直线l 必过第一、三、四象限； ③直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧；④直线l 与圆C 相交的最大弦长为554； 其中正确的是________________.（写出所有正确说法的序号）三、解答题：（本答题共4题，共42分）18．（8分）已知直线l 经过直线3x 4y 20+-=与直线2x 3y 20+-=的交点P ，且垂直于直线x 2y 10--=（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标围成的三角形的面积S19．（12分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：（1）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（2）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（3）若点E 为棱1CC 的中点，求AE 与面ABC 所成角的正弦值.20．（10分）如图,ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(1)求二面角D BE F --的余弦值；(2)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.21.（12分）已知圆C 过点)3,1(A ，)2,2(B ，并且直线023:=-y x m 平分圆的面积． （1）求圆C 的方程；（2）若过点)1,0(D ，且斜率为k 的直线l 与圆C 有两个不同的公共点N M ,． ①求实数k 的取值范围； ②若12=⋅，求k 的值．。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

2014年春季学期高二年级模块（选修1-1，1-2）修习考试数 学 试 卷（文科）参考答案11、21,230x x x ∀>--≠ 12、 313、tan tan()tan()tan 333ππαααα-+= 14、221169y x -=15、[,)42ππ16、 917、 ② ③三、解答题（65分）18、解：若命题P 为真：则“0a =”或“0a >且240a a ∆=-<”，解得04a ≤< …....3分若命题Q 为真：则140a ∆=-≥，解得14a ≤…………………………………………………………………6分 因为P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，所以P ，Q 有且仅有一个为真一个为假。

当P 为假命题Q 为真命题时，即P Q ⌝∧为真命题。

则：0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或 解得0a < ………………………………………………………………………………9分 当P 为真命题Q 为假命题时，即P Q ∧⌝为真命题。

则：0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩ 解得144a << 故实数a 的取值范围是0a <或144a <<……………………………………………………………12分19、解：（1）2()4(2)(2)f x x x x '=-=+- ，令()0f x '=，得2,2x x ==- ……….2分；单调递减区间为(2,2)-…………6分（2）由（1）()f x 的极大值是28(2)3f -=，()f x 的极小值是4(2)3f =-…………10分∵4(3)7(2)3f f -=>-= 28(2)(6)523f f -=<= ∴min 4()(2),()3f x f f x ==-无最大值。

…………………………………………………………12分 20、解：设汽车以x /km h 行驶，行车的总费用为213081308013026(3)56,[40,100]3609x y x x x x x ⨯⨯=++⨯=+∈…………………..6分可得210400269y x '=-+ 令0y '= 解得60x =，347y ≈；…………………………………………..10分 当40x =时，376y ≈；当100x =时，393y ≈………………………………………………………………….12分 因此，当60x =时，行车总费用最少.答：最经济的车速约为60/kmh ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约为347元….14分 21、解：（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线的方程为22221x y m n-=，(m,n>0）则473a m -=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：7,36,2a mb n ==∴== ∴椭圆方程为2214936x y +=， 双曲线的方程为22194x y -=……………………………………………6分 （2）不妨设12,F F 分别是左，右焦点，P 是第一像限的一个交点， 则1212146PF PF PF PF +=-=12104PF PF ∴==………….8分22212121244cos 25PF PF c F PF PF PF +-∴∠==⋅ 123sin 5F PF ∴∠=∴121212113sin 10412225F PF S PF PF F PF ∆=⋅∠=⨯⨯⨯= ……………………13分 22、解：（1）过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，由题意可知21||||=-PN PM而0≥y ，y PN =∴||，21)21(22+=-+∴y y x 化简得)0(22≥=y y x为所求的方程。

2013—2014 学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1-12 BCADA DDBAC AB二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分． 13. 2x-y-3>0； 14.2n-115.362 16.（文）a<3 （理）42a三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。

(17) (10分)已知过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4①，y 1＋y 2＝8＋p2②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p ＞0得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，得抛物线G 的方程为x 2＝4y . (5分) (2)设l ：y ＝k (x ＋4) (k ≠0)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4），得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4.∴b ∈(2，＋∞)． （10分）（18）(12分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取最小值时x 的值．18．(1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2xy＝(a ＋b )2， 故a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2x ＋y， 当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝b y时上式取等号． （6分）(2)由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥（2＋3）22x ＋（1－2x ）＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即f (x )min ＝25. （12分）（19）(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos A cos B ＝ba且sin C ＝cos A .(1)求角A ， B ，C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(2x ＋A )＋cos2x －C2，求函数f (x )的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．19．解：(1)由cos A cos B ＝b a 结合正弦定理得cos A cos B ＝sin Bsin A，则sin2A ＝sin2B ，则有A ＝B 或A ＋B ＝π2，①当A ＝B 时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝sin2A ＝2sin A cos A 得sin A ＝12或cos A ＝0(舍)，∴A ＝B ＝π6，C ＝2π3，②当A ＋B ＝π2时，由sin C ＝cos A 得cos A ＝1(舍)．综上，A ＝B ＝π6，C ＝2π3， （6分）(2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x －π3)＝sin(2x ＋π6)＋cos(－π2＋2x ＋π6)＝2sin(2x ＋π6).由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为(k π－π3，k π＋π6)(k ∈Z )，相邻两对称轴间的距离为π2.（12分）(20) (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋S n ·a n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值． 解：(1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)， ∴a 1＝a ， 当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)， S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)， 两式相减得，a n ＝a ·a n －1，即a na n －1＝a .即{a n }是等比数列， a n ＝a ·a n －1＝a n . （6分）(2)由(1)知b n ＝(a n )2＋a （a n －1）a －1a n ， 即b n ＝（2a －1）a 2n －aa na －1.①若{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，而b 1＝2a 2，b 2＝a 3(2a ＋1)，b 3＝a 4(2a 2＋a ＋1)． 故[a 3(2a ＋1)]2＝2a 2·a 4(2a 2＋a ＋1)，解得a ＝12.将a ＝12代入①得b n ＝12n 成立． ∴a ＝12. （12分）（21）(12分)设A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点，P （1，32）为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x )(x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．解：(1)依题意，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，将1，32代入，得c 2＝1，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. （6分）(2)证明：由(1)知A (－2，0)，B (2，0)，设M (x 0，y 0)，则－2＜x 0＜2，y 20＝34(4－x 20)，由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2，BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝2，6y 0x 0＋2，BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)＞0，即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角． （12分）（22）（文）(12分) 己知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x(a <2，e 为自然对数的底数)． (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若存在x ∈[－2，2]，使得f (x )≥3a 2e 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2－x ＋1)e x，切点为(1，e)， 于是有f ′(x )＝(x 2＋x )e x，k ＝f ′(1)＝2e ，所以切线方程为y ＝2e x －e. （6分）(2)f ′(x )＝x (x －a ＋2)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝a －2<0或x ＝0， ①当－2≤a －2<0，即0≤a <2时，x －2 (－2，a －2)a －2(a －2，0)0 (0，2) 2 f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以f (a －2)＝ea －2(4－a )，f (2)＝e 2(4－a )，当0≤a <2时，有f (2)≥f (a －2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以0≤a ≤1.②当a －2<－2，即a <0时， 所以f (－2)＝e －2(4＋3a )，f (2)＝e 2(4－a )，因为e －2(4＋3a )<e 2(4－a )，所x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值以f (2)>f (－2)，若存在x ∈[－2，2]使得f (x )≥3a 2e 2，只需e 2(4－a )≥3a 2e 2，解得－43≤a ≤1，所以－43≤a <0.综上所述，有－43≤a ≤1. （12分）（22）(理) (12分)如图所示,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AB=BC=2AA 1,∠ABC=90°,D 是BC 的中点. (1)求证:A 1B ∥平面ADC 1;(2)求二面角C 1AD C 的余弦值;(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E,使AE 与DC 1成60° 角? 若存在,确定E 点位置,若不存在,说明理由. (1)证明:连接A 1C,交AC 1于点O,连接OD.由ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形,O 为A 1C 的中点. 又D 为BC 的中点,所以OD 为△A 1BC 的中位线, 所以A 1B ∥OD.因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B ⊄平面ADC 1,所以A 1B ∥平面ADC 1. （4分） (2)解:由于ABC A 1B 1C 1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA 、BC 、BB 1两两垂直.如图所示建立空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,1),D(0,1,0). 所以=(-2,1,0),=(-2,2,1).设平面ADC 1的法向量为n=(x,y,z),则有 所以取y=1,得n=（,1,-1）.易知平面ADC 的一个法向量为v=(0,0,1). 由于二面角C 1AD C 是锐角且 cos<n,v>==-.所以二面角C 1AD C 的余弦值为. （8分）(3)解:假设存在满足条件的点E.因为E 在线段A 1B 1上,A 1(2,0,1),B 1(0,0,1),故可设E(λ,0,1),其中0≤λ≤2. 所以=(λ-2,0,1),=(0,1,1).因为AE 与DC 1成60°角,所以=. 即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角. （12分）。

无锡市第一中学高二数学期中试卷附加题
班级_______姓名_________学号_______
一、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
1．给出下列四个条件：① 棱柱一侧棱垂直底面；② 棱柱一条侧棱与底面两边垂直； ③ 棱柱一个侧面与底面一边垂直；④ 棱柱的一个侧面是矩形且与底面垂直， 则能判断该棱柱为直棱柱的条件是___________．（写出所有可能的序号）
2．点(0,0,0)N 与平面2360x y z ++-=内一点M 的距离的最小值为_______．
3．已知实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为N ， 设(3,3)M ，则线段MN 长度的最大值为_________．
4．如图，1212,,,A A B B 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点， 直线12A B 与直线1B F 交于点T ，线段OT 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为
二、解答题：（本题共20分）
5．已知椭圆的中心在原点，左焦点为(F ，右顶点为(2,0)D ，设点1(1,)2
A ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；
（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值．。