当前位置：文档之家 › 第三章 数学模型2-传递函数

第三章 数学模型2-传递函数

  • 格式：ppt
  • 大小：1.36 MB
  • 文档页数：44

下载文档原格式

  / 44

合集下载

传递函数

传递函数
本文深入探讨了控制系重要工具，能够反映系统输入与输出之间的关系。文中详细阐述了数学模型的多种表示形式，如微分方程、结构框图和信号流图等，并指出它们在经典控制理论和现代控制理论中的应用。此外，还介绍了建立数学模型的两大类方法：机理分析建模方法和实验建模方法。这些方法为我们理解和分析控制系统的行为提供了有力支持。然而，关于传递函数的具体类型和传递方式，本文并未直接给出五种常见类型，而是侧重于传递函数的基础概念和建模方法。在实际应用中，传递函数的类型和传递方式会根据系统的具体特性和需求而有所不同。

传递函数

传递函数

# 2—2 传递函数的概念

假定初始条件为零，上式的拉氏变换为：
[a0sn+a1sn--1+…+a n--1 s+an]C(s) =[b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm]R(s) 式中：C(s)=L[c(t)] , R(s)=L[r(t)] b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm 则:C(s)= ———————————— R(s) a0sn+a1sn--1+…an—1s+an b0sm+b1sm--1+…+bm--1s+bm B (s) 令:(s)= ——————————— = —— n n--1 a0s +a1s +…a n—1s+an A (s) 则:C(s)= (s)*R(s)
U (t ) Ri(t )
取拉氏变换得：
U ( s ) RI ( s ) U (s) Z R ( s) R I ( s)
R I(s)
i(t)
U(s)
R
②电感
di (t ) U (t ) L dt
i(t)
L U(t)
取拉氏变换得：
U ( s ) LSI ( s ) U ( s) Z L (s) LS I (s)
Yo ( s) k ( s ) 2 Yi ( s) m s fs k
建立微分方程的一般方法
例三、据如图所示电路，求系统的传递函数。
R1 解：根据电路图，列 写出相应的方程； Ur i1 C1 R2
i2
U c1
Uc
C2
U r R1i1 U c1 dUc1 1 (i1 i2 ) dt C1 U c1 R 2 i2 U c dUc 1 i2 dt C2

2.2 传递函数

2.2 传递函数

3、典型环节的形式
G (s) K
( s 1) (T s 1)
j 1 j i 1 n i
m
上式中 τi──分子各因子的时间常数 ； Tj──分母各因子的时间常数 ；
K ──时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。
五、传递函数的求取
1、解析法
建立微分方程，根据微分方程按定义求取
介绍一种方法：复阻抗法
i
U R
du iC dt
i
1 udt L
U (s) I (s) R
U (s) I (s) Z (s)
I ( s) CsU ( s) U ( s )
1 Cs
1 Cs
I (s)
U (s) Ls
R
Ls
1 , Ls 分别成为电阻、电容和电感的复阻抗 把 R, Cs
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之 一。利用传递函数，在系统的分析和综合中可解决如 下问题：
不必求解微分方程就可以研究初始条件为零的系统在输 入信号作用下的动态过程。 可以研究系统参数变化或结构变化对系统动态过程的影 响，因而使分析系统的问题大为简化。 可以把对系统性能的要求转化为对系统传递函数的要求， 使综合问题易于实现。
11/17/2013 8:53:46 PM
3
一、定义
零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，
记为G(s)，即：
L[ y (t )] Y ( s ) G( s) L[r (t )] R( s )
意义：
R( s )
G (s )
Y ( s)
Y (s) R(s)G(s)
1 1 Y ( s) G s) R s) （ （ Ts 1 s

传递函数

传递函数

0
Y ( s) 传递函数： G ( s) k X ( s)
比例环节又称为放大环节。k为放大系数。实例：分压器， 放大器，无间隙无变形齿轮传动等。
2019年2月7日星期四 2时47分5秒 11
积分环节
（二）积分环节： 时域方程：y (t ) k
x(t )dt, t 0
0
t
Y ( s) k 1 传递函数：G ( s) X ( s) s Ts
1 T ( 2 1)
2019年2月7日星期四 2时47分5秒
17
振荡环节分析
2 n 则 Y ( s) G( s) X ( s) 2 s(s 2 2 n s n )
若 0 1 ，传递函数有一对共轭复数。还可以写成： n2 1 X ( s ) G( s) 2 设输入为： 2 s s 2 n s n
ai , b j —为实常数，一般n≥m 式中：
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。 表示成零点、极点形式：
m
Y ( s ) bm Q ( s ) G (s) Kg X ( s ) an P ( s )
式中：
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
2时47分5秒 3
传递函数的基本概念
[关于传递函数的几点说明] 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分 方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。物理 性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函 数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数 的各种系统。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。 只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多 个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其 它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。 传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶 次年 n2 大于分子的阶次 m，此时称为n阶系统。 2019 月7日星期四

自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型

自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型

④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。

传递函数建模

传递函数建模

传递函数建模
传递函数建模是一种将系统的输入与输出之间的关系表示为传递函数的方法。

传递函数（Transfer Function）描述了输入信号与输出信号之间的数学关系，在控制系统中常用于分析系统的动态行为和进行系统设计。

传递函数建模的步骤如下：
1. 系统分析：首先对待建模的系统进行分析，了解系统的输入输出关系。

可以通过实验、观察或数学建模等方法来获取系统的输入输出数据。

2. 建立数学模型：根据系统的输入输出关系，建立系统的数学模型。

传递函数通常是用拉普拉斯变换表示的，可以将系统的输入输出关系表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的形式。

3. 参数估计：确定传递函数的参数。

有时候，系统的参数可以通过实验测量得到，或者通过理论分析进行估计。

4. 评估模型：对建立的传递函数模型进行评估，比较模型的输出与实际系统的输出之间的差异，调整模型的参数以提高模型的拟合度。

5. 使用模型：使用建立的传递函数模型进行系统分析和设计。

传递函数可以用于分析系统的稳定性、频率响应、阶跃响应等性能指标，同时也可以用于设计控制器或者滤波器。

总之，传递函数建模是一种对系统进行数学建模的方法，通过建立数学模型来描述输入输出关系，从而分析系统的动态行为和进行系统设计。

数学模型-传递函数

数学模型-传递函数

1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。

机械控制工程第二节 系统传递函数

机械控制工程第二节 系统传递函数

(t)
xo
(t)]
第三章 系统数学模型
cXo (s) kXi (s) kXo (s)
G(s) Xo(s) 1 Xi (s) Ts 1
图3－15 弹簧－阻尼系统
式中T＝c/k为惯性环节时间常数
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
5、振荡环节
特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个
（3－9）
机械工程控制基础
例3-13：
第三章 系统数学模型
由上图有： 拉氏变换后： 故传递函数为：
RC
duc (t dt
)
uc
(t
)
ur
(t
)
RCUc (s)s Uc (s) Ur (s)
G(s) Uc(s) 1 Ur (s) RCs 1
机械工程控制基础
例3-14：
c
dxo (t) dt
k[ xi
1
1
C2 i2 dt i2 R2 C1 (i1 i2 )dt
1
C2
i2dt uc
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
3、在零初始条件下，进行拉氏变换：
1 C1S
( I1
I2 )
I1R1
Ur
1 C2 S
I2
I2 R2
1 C1S
( I1
I2 )
1 C2 S
I2
Uc
4、消除中间变量，并整理得：
1、比例环节（又叫放大环节）
第三章 系统数学模型
特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现 象。
运动方程: c(t)=Kr(t) K——放大系数，通常都是有量纲的。
传递函数： G(s) C(s) K

传递函数

传递函数

上海大学 机电工程与自动化学院
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。 微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。
2.4.1 比例环节
如果一个环节的输出与输入成正比例 成正比例， 不失真也 如果一个环节的输出与输入 成正比例 ， 既 不失真 也 不延 则称此环节为比例环节，也称放大环节。 时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为
N o (t ) z1 G (s) = = =K N i (t ) z 2
比例环节： 比例环节 ： 性的 、 (输入为转速、输出为 输入为转速、 )、 、 输入为转速
大 动
齿轮副的传动比
为 大
的 ，
速
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.2 惯性环节
凡运动方程为一节微分方程： 凡运动方程为一节微分方程：
上海大学 机电工程与自动化学院
K1 T= R
L T= R
2.4 典型环节的传递函数 典型环节的传递函数
2.4.3 微分环节
理想微分环节的输出量正比于输入量的微分， 理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即
因此， 因此，理想微分环节的传递函数为
微分环节的 时间常数
dxi (t ) xo (t ) = T dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益， 形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： 惯性环节的增益 ，
表征环节的惯 性，与环节结 构参数有关
dxo (t ) T + xo (t ) = K xi (t ) dt

传递函数

传递函数

极点和零点
系统传递函数G(s)的特征可由其极点和零点在 s复数平面上的分布来完全决定。用D(s)代表G(s)的分母多项 式，M(s)代表G(s)的分子多项式，则传递函数G(s)的极点规定为特征方程D(s)=0的根，传递函数G(s)的零点规 定为方程M(s)=0的根。极点（零点）的值可以是实数和复数，而当它们为复数时必以共轭对的形式出现，所以它 们在s复数平面上的分布必定是对称于实数轴（横轴）的。系统过渡过程的形态与其传递函数极点、零点（尤其是 极点）的分布位置有密切的关系。
传递函数
数学函数
01 基本释义
03 性质 05 应用
目录
02 常识 04 极点和零点 06 局限性
传递函数是指零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z变换）与激励（即输入）量的拉 普拉斯变换之比。记作G（s）=Y（s）/U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。传 递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法——频率响应法和根轨迹 法——都是建立在传递函数的基础之上。传递函数是研究经典控制理论的主要工具之一。
感谢观看
5.如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函 数.系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述；
6.用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型。
性质
1、传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 2、是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 3、只适用于线性定常系统。 4、传递函数是单变量系统描述，外部描述。 5、传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。 6、一般为复变量 S的有理分式，即 n ≧ m。且所有的系数均为实数。 7、如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。 8、如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。 9、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。

传递函数

传递函数

(t)
则在零初始条件下，对上式进行拉氏变换，可得系 统传递函数的一般形式：
G(s) Xo Xi
s s

b0 s m a0sn
b1sm1 a1sn1

bm1s bm (n m) an1s an
2.2.1 传递函数的性质
性质1 传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参 数所决定，与输入信号和输出信号无关。这种 函数关系在信号传递的过程中得以实现，故称 传递函数。
输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描述的
环节称为一阶惯性环节:

T xo (t) x0 (t) xi (t)
一阶惯性环节的传递函数为：
G(s)
1
Ts 1
式中 T-时间常数，表征环节惯性，和结构参数有关。
特点：含一个储能元件,当输入量突然变化时,由于物理状
态不能突变,输出量也就不能立即复现,而是按指数规律逐渐变
性质5
如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知 的输入，研究其输出，从而得出传递函数。
2.2.1 传递函数的性质
性质6 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位 脉冲输入时的输出响应。
Xi (s) L[ (t)] 1
xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) Xi (s)] L1[G(s)]
这样,任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所 组成，从而给建立数学模型，研究系统特性带来方 便，使问题简化。
2.2.3 典型环节及其传递函数
系统的传递函数可以写成：
b
c
K

传递函数

传递函数
R ＋ i (t ) u r (t ) C u c (t ) L ＋
－
－
第二节 传递函数
解：由图列微分方程
2u R L d du ur 解： 输入量： c c + u = u 得 c r RC dt + LC + 2 dt i uc 输出量： C 拉氏变换： ur
+ uc -
RCsUc(s) + LCs2 Uc (s) + U c (s ) 根据基尔霍夫定律：
第二节 传递函数
式中： K 0 — 为放大系数 传递函数性质： S = S1 , S2 · · · , Sn — 传递函数的极点 （ 4 ）传递函数是在零初始条件下定义的， （1）传递函数只适用于线性定常系统。 S = 不能反映非零初始条件下系统的运 Z1 , Z2 · · · , Zm — 传递函数的零点 动过程。 传递函数分母多项式就是相应微分方 （2）传递函数取决于系统的结构和参数， 将传递函数中的分子与分母多项式分 程的特征多项式，传递函数的极点就是微 与外施信号的大小和形式无关。 别用因式连乘的形式来表示，即 分方程的特征根。 （3）传递函数一般为复变量S 的有理分式。 K0 (s –z1 ) (s –z2 ) · · · (s – z m ) G (s ) = (s – s 1 ) ( s – s 2 பைடு நூலகம் · · · (s –sn ) n>=m
根据传递函数的定义有
C ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 G( s ) R( s) an s n an1s n1 a1s a0
第二节 传递函数
二、传递函数的求取 传递函数以般有三种方法求取：1、直接计算法， 2、阻抗法，3、动态结构图法（下一节在讲）。 1、2两种一起讲 例题1、求图示RLC电路的传递函数。

2.3传递函数

2.3传递函数

20
三、传递函数的物理意义

如果系统输入为 r (t ) (t ) ，那么R(s)=1, 此时的输出即为脉冲响应，用g(t)表示。 那么
g (t ) L [C(s)] L [G(s) R(s)] L [G(s)]

由此可知系统的传递函数就是该系统脉 冲响应的拉氏变换。因此说传递函数可 以表征系统的动态性能。
8
四、正弦函数
正弦函数也称谐波函数，表达式为
r (t )


0
0 ASint
t 0 t 0
用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的 正弦输入的稳态响应。正弦输入的拉氏变换为
R ( s ) L[r (t )]

ASinte
st
dt


0
A (e jt e jt )e st dt 2j
15
根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传 递函数为
C ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 N ( s ) G(s) n n 1 R ( s ) a n s a n 1s D( s) a1s a0 (2 15)
19
3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输 出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映 系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有 相同的传递函数。若传递函数已知，针对不同的输 入，可以求出系统的输出响应： C (s) G(s) R(s) 再通过反拉氏变换求出 c(t ) 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 5.传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此 传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性 能。

传递函数-控制系统的复域数学模型

传递函数-控制系统的复域数学模型

称为传递函数零极点增益模型
G(s)
K
(1
s
1)(
2 2
s
2
22s 1)
(i s 1)
(T1s 1)(T22s2 2T2s 1) (Tj s 1)
称为传递函数时间常数模型
2、传递函数的性质
1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是 固有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之 间的一种关系式。
这说明此时系统的g(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们 都可以用来表征系统的动态特性。
5) 闭环传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统特征方程。
3、传递函数的求解
1）利用微分方程求传递函数 2）利用复数阻抗求电路传递函数
例 图示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路
解：此电路的电压平衡方程式 （微分方程）：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b0x(t)
式中：x(t)—输入，y(t) —输出
ai ,bj (i 0 ~ n, j 0 ~ m) 为常系数
将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）
(ansn an1sn1 a1s a0)Y(s) (bmsm bm1sm1 b1s b0)X (s)
2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关 3) 传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn。（ m 、n分
别为分子、分母的最 高阶次。）
4) 若输入为单位脉冲函数，即r(t)=(t)，则R(s)=L[r(t)]=1， 则 g(t) L-1[R(s)G(s)] L-1[G(s)]
LC
d 2 uo(t) dt 2

传递函数

传递函数
Gc((ts))==KRC(((1ss))–=e -TsTKt +)1
第三节 传递函数
单位阶跃响应曲线
r(t) c(t)
1
0.632
r(t) c(t)
0T
t
特点: 输出量不能瞬时完成与输入量 完全一致的变化.
第三节 传递函数
惯性环节实例
(a(b) ) 运R算C电放路大构器成构的成惯的性惯环性节环节
第三节 传递函数
二、 典型环节的传递函数及其 动态响应
一般可将自动控制系统的数学模型看 作由若干个典型环节所组成。研究和掌握 这些典型环节的特性将有助于对系统性能 的了解。
第三节 传递函数
1．比例环节
比例微环分节方方程框: 图 C(t)R=(SK) r(t)K C(S) 特点: 输K出—不比失例真环,不节延系迟数,成比例地
+C
ur R0 - ∞
Ud + +
-
uc
M
θ
G(Gs)(s=) –= RSK1CS
第三节 传递函数
4．微分环节
理想微分环节数学模型：
c (t) = T
dr(t) dt
G(s)
=
C(s) R(s)
=
Ts
T — 微分时间常数
微分环节方框图
R(S)
C(S)
Ts
单位阶跃响应函数： C(t) =Tδ(t)
第三节 传递函数
根据RC基sU尔c(霍s)夫+ 定LC律s2：Uc (s)- + Uc (s) = Ur (s) -
u传ir==递GRC函(·sddi数)ut+=c为LUU:crdd((itss))
+ uc = LCs2

机械工程控制基础课件第二节 系统传递函数

机械工程控制基础课件第二节 系统传递函数

1
1
C2 i2 dt i2 R2 C1 (i1 i2 )dt
1
C2
i2dt uc
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
3、在零初始条件下，进行拉氏变换：
1 C1S
( I1
I2 )
I1R1
Ur
1 C2 S
I2
I2 R2
1 C1S
( I1
I2 )
1 C2 S
I2
Uc
4、消除中间变量，并整理得：
-
+K
r (t )
c (t )
R3
输入为r(t)，输出为c(t)
ic
(t)
i1 (t)
r(t) R1
图3－14 积分运算电路
R(s)
1
R1Cs
C(s)
运动方程：
1
1
1
c(t) C ic (t)dt R1C r(t)dt T r(t)dt
传递函数： G(s) C(s) 1 K
四、传递函数的零极点形式
第三章 系统数学模型 （3－5）
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3－7：求图示系统的传递函数
图3－9 电网络系统
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
u u 1、确定系统的输入与输出：输入为 r ，输出为 c
2、列写原始微分方程
1
C1
(i1 i2 )dt i1R1 ur
特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。
一般不能单独存在，能反映系统的变化趋势，可 以强化系统的阻尼，加强系统的噪声。
R(s)
C(s) S
运动方程(s) KS （3－7）
R(s)

控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)

控制工程基础4-第2章 (数学模型-2：传递函数)
第三节 传递函数
拉氏变换可以简化线性微分方 程的求解。还可将线性定常微分方 程转换为复数S域内的数学模型— 传递函数。
一、传递函数的概念
二、典型环节的传递函数
一、 传递函数概念
输入
输入拉氏 变换
设一控制系统 r(t) c(t) 系统 G(S)
R(S)
输出 输出拉氏 变换
C(S)
传递函数的定义：
零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系 统输入量拉氏变换之比。
R(s)
G1(s)+G2(s)
C(s)
+ G2(s) C2(s)
n C1(s)=R(s)G1(s) C2(s)=R(s)G2(s) G (s)=Σ Gi (s) n个环节的并联 i=1 C(s)=C1(s)+C2(s) =R(s)G1(s)+R(s)G2(s) C(s) =G (s)+G (s) G(s)= R(s) 1 等效 2
2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。
3） 传递函数为复变量S 的有理分式。
4） 传递函数是在零初始条件下定义 的，不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。
二、 基本环节的传递函数
不同的物理系统，其结构差别很 大。但若从系统的数学模型来看，一 般可将自动控制系统的数学模型看作 由若干个典型环节所组成。研究和掌 握这些典型环节的特性将有助于对系 统性能的了解。
结构图特点
• 结构图是方块图与微分方程（传函）的结合。一方面它直观反映了整 个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定 量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来） • 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能， 但不能反映非零条件下的动态性能 • 结构图最重要的作用：计算整个系统的传函 • 对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性。但得到 的系统传函是确定唯一的. • 结构图中方块≠实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至 整个系统

2-3 复数域数学模型-传递函数

2-3 复数域数学模型-传递函数

传递函数的三大表达形式： 传递函数的三大表达形式：
b 0 s m + b 1 s m − 1 + L L b m -1 s + b m G (s) = a 0 s n + a 1 s n − 1 + L L a n -1 s + a n = b 0 ( s − z 1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) = K* a 0 ( s − p 1 )( s − p 2 ) L ( s − p n )
u
∏
sν
m
i =1 n −ν
(s -z i ) (s -p i )
∏
i= 1
=
Κ ∏ ( τ a i s + 1 ) ∏ ( τ b2i s 2 + 2 ς b iτ b i s + 1 )
i =1
η
sν
∏
i= 1
ρ
i =1
(T c i s + 1 ) ∏ (T d2i s 2 + 2 ς d i T d i s + 1 )
∏ (s-z )
s
ν
i =1 n −ν i
m
b0 K = 为根轨迹增益 a0
*
∏ (s-p )
i i=1
零极点形式
根轨迹增益形式 首1形式
传递函数的第三种表达形式
各项提取b 各项提取 m
b 0s m + b1s m −1 + LL b m-1s + b m 因式分解 G(s) = a 0s n + a1s n −1 + LL a n-1s + a n
本节课的学习思路：从多个方 本节课的学习思路： 位来观察我们将要研究的对象—传 位来观察我们将要研究的对象 传 递函数， 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章 做准备。 第四章和第五章)做准备 第四章和第五章 做准备。

传 递 函 数

传 递 函 数
控制系统的传递函数主要具有以下性质。
（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换将原来的线 性常系数微分方程从时域变换至复频域而得到的，故仅用于描述线性定常系统。
（2）传递函数是在零初始条件下定义的，因此它表示了在系统内部没有任何能量 储存条件下的系统描述。如果系统内部有能量储存，传递函数中将会出现系统在
1.1 传递函数的定义
传递函数的概念是在用拉氏变换求解线性微分方程的基础上提出的，它是
经典控制理论中应用最广泛的一种动态数学模型。
设描述n阶线性定常系统的微分方程为
dnc(t) dn1c(t)
dc(t)
a0 dtn a1 dtn1 an1 dt anc(t)
b0
d m r (t ) dt m
记作
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
G(s) 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，即为线性定
常系统的传递函数。
【定义 2-1】 线性定常系统中，在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入
R(s) L (t) 1
所以，系统在单位脉冲输入信号 (t)作用下输出量的拉氏变换为 C(s) G(s)
故有：
g(t) L1 C(s) L1 G(s)
可见，传递函数 G(s) 的拉氏反变换是系统在单位脉冲输入信号 (t) 作
用下的输出量，它完全描述了系统的动态特性，所以是系统的数学模型，通常 也称为脉冲响应函数。
b1
d m 1r (t ) dt m1
bm1
dr(t) dt
bm r (t )
式中 c(t) ——系统输出量；
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

零、极点分布图
传递函数的零、极 点分布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面 上的图形。 零点用“O”表示
极点用“×”表示
单位脉冲响应
单位脉冲函数 xr (t ) (t )
系统输出
X r (s) L[ (t )] 1
xc (t )
X c ( s) G( s) X c ( s) L[ g (t )] X r ( s)
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
拉氏变换的计算
指数函数
三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
高等函数初等函数
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（尤拉公式）
幂函数的拉氏变换
阶跃函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
!传递ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的直接计算法
d (i ) dti
si
特征方程
M ( s) N ( s)
G( s)
M (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 ... an1s an
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数） 传递函数 脉冲响应函数
系统动态特性
可见：
①
传递函数是单位脉冲响应函数在拉氏变换下的象 函数。
②
零初始条件下线性定常系统输出拉氏变换和输入 拉氏变换的比。
结论
传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系 来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入－ 输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定， 则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。
自动控制原理
第三章 线性系统的数学模型
本章知识点： 线性系统的输入－输出时间函数描述 传递函数的定义与物理意义 典型环节的数学模型 框图及化简方法
线性系统的输入-输出传递函数描述
拉普拉斯变换复习(复习） 传递函数定义
拉氏变换及其反变换
拉氏变换的定义 拉氏变换的计算 拉氏变换求解方程
传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数 仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入 形式无关。
注意
适用于线性定常系统 只适合于单输入单输出系统的描述 无法描述系统内部中间变量的变化情况
传递函数原则上不能反映系统在非零初始条 件下的全部运动规律
传递函数中的各项系数和相应微分方程中的 各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。
bm K 系统的放大系数或增益 当s=0时 G(0) an
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为 零。K ——系统处于静态时，输出与输入的比值。
零点和极点
b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G( s) a0 s m a1s n1 ... an1s an
传递函数的定义 在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于 稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导 数也均为0 )下，线性定常系统输出量的拉氏变换 与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。
G( s) L[ xc (t )] X c ( s) L[ xr (t )] X r ( s)
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理 位移定理
延时定理
卷积定理
初值定理
终值定理
线性定理
叠加定理
比例定理
微分定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F ( s) B( s) K ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) A( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
多项式极点
p1 , p2 ,..., pn
多项式零点
z1 , z2 ,..., zm
拉氏变换求解线性微分方程 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
微分方程式的解
a、
A、B、
指数函数 正弦函数
b0 ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) G( s) a0 ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点。
N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点。 ！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
LCs U0 (s) RCsU0 (s) U0 (s) Ui (s)
2
（LCs RCs 1）Uc (s) Ur (s)
2
U 0 ( s) 1 2 U i (s) LCs RCs 1
R(s)
G(s)
C(s)
C ( s) G( s) R( s )
零初始条件下
• 运算阻抗法
延时定理
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
卷积定理
其它方法
变量置换法
拉氏反变换方法 部分分式法的求取拉氏反变换
B(s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm F ( s) ,m n n n 1 A(s) a0 s a1s .... an1s bn
U 0 ( s) 1 Cs G ( s) U i ( s ) R Ls 1 Cs 1 LCs 2 RCs 1
系统传递函数的一般形式
d n xc (t ) d n 1 xc (t ) dxc (t ) a0 a ... a an xc (t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m xr (t ) d m1 xr (t ) d xr (t ) b0 b1 ... bm1 bm xr (t ) m m 1 dt dt dt
初始条件为零时 微分方程拉氏变换
(a0 s n a1s n1 ... an1s an ) X c (s) (b0 s m b1s m1 ... bm1s bm ) X r (s)
系统的传递函数 X c (s) b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G( s) X r (s) a0 s n a1s n1 ... an1s an
课堂小结
掌握拉氏变换求解微分方程的方法
牢固掌握系统传递函数的定义
谢谢大家！
系统(或环节) X (s) r 的输入量 系统(或环节) 的输出量
X c ( s)
X c (s) X r (s)G(s)
例：RLC电路
微分方程：
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC RC u0 (t ) ui (t ) 2 dt dt
设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：
外部条件 起始条件
Aeat Bsin(t+)
微分方程式的各系数
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地 包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始 条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。
拉氏变换 拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1. f(t)实函数； 2. 当t<0时 ， f(t)=0； 3. 当t0时，f(t)的积分 0 f (t )e st dt在s的某一域内收敛 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。