例题

《命题》典型例题（1）假设两条直线相交，那么它们只有一个交点；（2）两条直线被第三条直线所截，假设同旁内角互补，那么这两条直线平行；（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；（4）假设3∠∠，那么3∠==,221∠∠．1∠=例题2判断以下命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一反例说明：（1）一个角的补角必是钝角．（2）过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线．（3）两个正数的差仍是正数．（4）将一个角分成两个相等的角的射线是这个角的角平分线．例题3判断以下命题是真命题还是假命题，假设是假命题，举一个反例．（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（2）假设a＞b，那么ac＞bc；（3）两个锐角的和是钝角．参考答案例题1解答（1）条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点．（2）条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论：这两条直线平行．（3）条件：两直线平行，结论：内错角相等．（4）条件：3∠=∠∠，结论：3,221∠=∠．=1∠例题2解答（1）假命题．假设有一个角等于100°，则它的补角等于80°，而80°的角不是钝角，故是假命题．（2）真命题．（3）假命题．如两个正数分别为20、50，差为－30，差为负数，故是假命题．（4）真命题．例题3分析：（1）利用三角形中同旁内角不互补对命题实行判断；（2）利用c=0对命题实行判断；（3）利用20°和30°的和为锐角对命题实行判断．解答：（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题，如：三角形三边可看作为两条直线被第三条直线所截，则同旁内角不互补；（2）假设a＞b，那么ac＞bc是假命题，如：当c=0，则ac=bc；（3）两个锐角的和是钝角是假命题，如：20°和30°的和为锐角．点评：此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；准确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．。

货币乘数例题
货币乘数是指货币供应量与基础货币之间的倍数关系。

以下是一个简单的货币乘数例题：
假设基础货币供应量为100亿元，银行体系规定的存款准备金率为20%，银行体系的超额准备金率为5%，客户现金持有率为10%。

求货币乘数。

根据货币乘数的定义，我们可以得到以下计算过程：
1.银行体系总存款为：100亿元 / 20% = 500亿元
2.银行体系总存款中，客户手持现金为：500亿元× 10% = 50亿元
3.银行体系总存款中，银行体系超额准备金为：500亿元× 5% = 25亿元
4.银行体系可用来作为贷款的货币量为：(500亿元 - 50亿元 - 25亿元) = 425亿元
5.因此，货币乘数为：425亿元 / 100亿元 = 4.25
通过上述计算过程，我们可以得到货币乘数为4.25。

这说明，在基础货币供应量为100亿元的情况下，银行体系可以创造出4.25倍的货币供应量。

行测典型例题
行测典型例题：
1. 有一架天平，两臂长不等，未挂物体时，左臂离支点更近。

现在将质量相等的物体放在左右两盘中各放多少，天平才能平衡？
A. 一样多
B. 左边多
C. 右边多
D. 无法判断
2. 有一根长120厘米的铁丝围成一个长方形，长是35厘米，宽是多少厘米？
3. 一个数，如果将它的小数点向右移动一位，就比原来的数大18.9，原来的数是多少？
4. 一个长方形的周长是20厘米，长是a厘米，则宽是( )厘米。

5. 甲、乙两数的和是470，甲数的小数点向左移动一位就与乙数相等，甲数是( )。

6. 两个数的商是80，如果被除数不变，除数扩大10倍，商是多少？
7. 一个三位数除以35所得的商与余数相同，这个三位数最大是多少？
8. 某车间有3个小组计划在4天内生产480件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产10件产品，就能提前完成任务。

每个小组原先每天生产多少件产品？
9. 一个两位数除以15，商和余数相等，这个两位数最大是多少？
10. 学校计划购买15台联想电脑和20台方正电脑，每台联想电脑x元，每台方正电脑y元。

一共需要多少元？当x=4000,y=3500时，一共需要多少元？。

完整版)数列典型例题(含答案)等差数列的前n项和公式为代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得代入已知条件，得到解得。

因此，前项和为。

⑵由已知条件可得代入等差数列的前n项和公式，得到化简得因此，前项和为。

8.(2010山东理) 已知等差数列 $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$，其中 $a_1=1$，公差为 $d$。

1) 求 $a_5$ 和 $a_{10}$。

2) 满足 $a_1+a_2+\ldots+a_k=100$，$a_1+a_2+\ldots+a_{k+1}>100$，$k\in\mathbb{N}$，求该等差数列的前 $k$ XXX。

考查目的：考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力。

答案：(1) $a_5=5d+1$，$a_{10}=10d+1$；(2) $k=13$，前$k$ 项和为 $819$。

解析：(1) 根据等差数列的通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$，可得 $a_5=1+4d$，$a_{10}=1+9d$。

2) 设该等差数列的前 $k$ 项和为 $S_k$，则由等差数列的前项和公式可得 $S_k=\dfrac{k}{2}[2a_1+(k-1)d]$。

根据已知条件可列出不等式组：begin{cases}S_k=100\\S_{k+1}>100end{cases}将 $S_k$ 代入得：frac{k}{2}[2+(k-1)d]=100整理得：$k^2+kd-400=0$。

行程问题练习题(一)、行程（时刻）问题类１、一个人骑自行车从甲地到乙地，如果每小时行走10千米，下午1点才能到达；如果每小时行15千米，上午11点就能到达。

要在中午12点到达乙地，他每小时要行多少千米？２、邮递员早晨7时出发送一份邮件到东村去，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路，他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局。

(二)、行程（参数法）问题类。

３、小明从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地，骑车速度是每小时12千米，步行时每小时行4千米，小明走完全程的平均速度是多少千米？４、一个人原计划骑自行车由甲地去乙地，后来改为前一半路乘汽车，后一半路步行，汽车速度是自行车2倍，步行速度是自行车一半，自行车速度为每小时10千米，求行这段路的平均速度。

５、学校组织秋游，同学们下午1点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午7点回到学校，已知他们步行速度：平地4千米，上山3千米，下山6千米，他们一共走了多少路？(三)、相遇问题类６、甲乙两车同时从AB两地出发，相向而行，4小时相遇。

相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行24千米，问：AB两地相距多少千米？７、甲、乙两辆汽车的速度为每小时52千米和40千米，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6小时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后，乙车也遇到了这辆卡车，求这辆卡车的速度。

８、甲乙两人从相距36千米的两地相向而行，若甲先出发2小时，则在乙动身2.5小时后两人相遇；若乙先出发2小时，则甲动身后两人相遇，求甲、乙两人的速度。

(四)、相遇（时刻）问题类９、甲、乙两地间的铁路长800千米，某日上午5时30分从甲地开出一列慢车，当日上午9时从乙地开出一列快车，两车相向而行，当日下午4时30分相遇，快车每小时行48千米，慢车每小时行多少千米？1时，两车相距还是112.5千米，问：AB两地的距离是多少千米？11、一辆卡车和一辆大客车从相距320千米的两地相向开出，已知卡车每小时行45千米，大客车每小时行40千米，如果卡车上午8时开出，大客车要何时开出两车才能在中午12时相遇？(五)、相遇（中点）问题类12、甲、乙两车同时从AB两地相向而行，它们相遇时距AB两地中点处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求AB两地的距离。

因式分解的实际生活例题
以下是几个实际生活中可以应用因式分解的例子：
1. 房屋装修：假设你想在房子中安装地板和墙纸。

如果你知道要覆盖的地面和墙壁的面积，你可以使用因式分解来确定所需材料的数量。

例如，如果地板和墙壁的尺寸分别为(2x^2 + 5x + 3) 平方米和(3x + 2) 平方米，你可以因式分解后计算总面积为(2x+ 1)(x+ 3) 平方米。

2. 高速公路堵车问题：假设你开车在高速公路上行驶，交通拥挤导致车流缓慢。

假设你以速度2(x - 3) km/h行驶，而前方的拥堵导致你只能以速度3(x + 2) km/h行驶。

你可以使用因式分解来计算你的平均速度。

因为平均速度=总路程/总时间。

通过因式分解可以将总时间表示为表达式(2x - 6)(3x+ 6)，总路程为(2x - 6)(3x + 6) km。

然后，你可以通过总路程除以总时间来计算平均速度。

3. 金融投资：假设你在银行存款了一笔钱，并以每年4%的利率获得复利。

如果你打算将此存款投资10年，你可以使用因式分解来计算你在每一年的投资总额。

通过因式分解，你可以将投资总额表示为初始存款乘以(1 + 0.04)^10.
这些是在日常生活中可以应用因式分解的一些例子。

因式分解可以帮助我们根据给定的数学模型和问题，将复杂的表达式分解为更简单的形式，从而更容易进行计算和理解。

数学11个例题
1.有一根长为20cm的绳子，将其剪成两段，其中一段是另一段的3倍，请求出两段的长度。

2. 某超市打折，原价为80元的商品，现在打7折，请问现在的价格是多少？
3. 如果 a+b=5，a-b=3，请问a和b分别是多少？
4. 一辆汽车以每小时60km的速度行驶，行驶10小时后行驶了多少公里？
5. 如果 x:y=2:3，且x=12，请问y是多少？
6. 有一组数据：2, 4, 6, 8, 10，请问这组数据的平均数是多少？
7. 如果a是奇数，b是偶数，且a+b=13，请问a和b可能是哪些数？
8. 有一组数据：5, 7, 9, 11，请问这组数据中的最小值是多少？
9. 如果一个圆的半径为4cm，请问这个圆的周长是多少？
10. 有一组数据：2, 4, 6, 8, 10，请问这组数据的中位数是多少？
11. 如果一张纸的长是10cm，宽是8cm，请问这张纸的面积是多少平方厘米？
- 1 -。

小学数学13种典型例题正方体展开图正方体有6个面，12条棱，当沿着某棱将正方体剪开，可以得到正方体的展开图形，很显然，正方体的展开图形不是唯一的，但也不是无限的，事实上，正方体的展开图形有且只有11种，11种展开图形又可以分为4种类型：01 1141型中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，共有6种基本图形。

02 231型中间一行3个作侧面，共3种基本图形。

03 222型中间两个面，只有1种基本图形。

04 33型中间没有面，两行只能有一个正方形相连，只有1种基本图形。

02和差问题已知两数的和与差，求这两个数。

【口诀】和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和减去差，越减越小；除以2，便是小的。

例：已知两数和是10，差是2，求这两个数。

按口诀，则大数=（10+2）/2=6，小数=（10-2）/2=4。

03鸡兔同笼问题【口诀】假设全是鸡，假设全是兔。

多了几只脚，少了几只足？除以脚的差，便是鸡兔数。

例：鸡免同笼，有头36 ，有脚120，求鸡兔数。

求兔时，假设全是鸡，则免子数=（120-36X2）/（4-2）=24求鸡时，假设全是兔，则鸡数 =（4X36-120）/（4-2）=1204浓度问题（1）加水稀释【口诀】加水先求糖，糖完求糖水。

糖水减糖水，便是加糖量。

例：有20千克浓度为15%的糖水，加水多少千克后，浓度变为10%？加水先求糖，原来含糖为：20X15%=3（千克）糖完求糖水，含3千克糖在10%浓度下应有多少糖水，3/10%=30（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，30-20=10（千克）（2）加糖浓化【口诀】加糖先求水，水完求糖水。

糖水减糖水，求出便解题。

例：有20千克浓度为15%的糖水，加糖多少千克后，浓度变为20%？加糖先求水，原来含水为：20X（1-15%）=17（千克）水完求糖水，含17千克水在20%浓度下应有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）糖水减糖水，后的糖水量减去原来的糖水量，21.25-20=1.25（千克)05路程问题（1）相遇问题【口诀】相遇那一刻，路程全走过。

II. 例题例1. Do you know any other foreign language ____ English?A. exceptB. butC. besideD. besides解析：A、B两项except 等于but，意为“除了……”，C—beside 意为“在……旁边”，不符合题意。

而D—besides, 意为“除了……之外，还有”。

所以该题正确答案为D。

该题意为：除了英语外，你还知道别的语言吗？例2. He suddenly returned ____ a rainy night.A. onB. atC. inD. during解析：我们均知道，at night 这一短语，但如果night前有修饰词，表具体的夜晚，则要用介词on 来修饰，故该题正确答案为A。

例3. I'm looking forward ____ your letter.A. toB. inC. atD. on解析：该题正确答案为A。

look forward to 为固定搭配，意为“期望、盼望”。

II. 例题例1. John plays football ____, if not better than, David.A. as wellB. as well asC. so wellD. so well as解析：该题意为：John 踢足球如果不比David 好的话，那也踢得和David 一样好。

和…一样好为as well as. 故该题正确答案为B.例2. She thought I was talking about her daughter, ____, in fact, I was talking about my daughter.A. whenB. whereC. whichD. while解析：该处意为“然而”，只有while 有此意思，故选D。

例3. Would you like a cup of coffee ____ shall we get down to business right away?A. andB. thenC. orD. otherwise解析：该处意为“或者”，正确答案为C。

集合练习题例题题目一：求集合交、并、差的运算结果。

假设有两个集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，请计算以下运算结果：1. 求集合A和集合B的交集。

2. 求集合A和集合B的并集。

3. 求集合A减去集合B的差集。

解答如下：1. 求集合A和集合B的交集：两个集合的交集，即同时存在于A和B中的元素。

A ∩B = {3, 4}2. 求集合A和集合B的并集：两个集合的并集，即包含所有A和B中的元素，去重。

A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}3. 求集合A减去集合B的差集：即从集合A中删除与集合B相同的元素。

A -B = {1, 2}题目二：求集合的幂集。

给定一个集合A = {a, b, c}，请计算A的幂集。

解答如下：幂集是指一个集合的所有子集组成的集合。

对于集合A = {a, b, c}，其幂集即为包含所有子集的集合，包括空集和A本身。

A的幂集为：P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}题目三：集合的基本运算性质。

给定三个集合A、B、C，求证以下集合运算性质：1. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)2. 交换律：A ∪ B = B ∪ A3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)解答如下：1. 结合律：左边：(A ∪ B) ∪ C右边：A ∪ (B ∪ C)两边结果相等，结合律成立。

2. 交换律：左边：A ∪ B右边：B ∪ A两边结果相等，交换律成立。

3. 吸收律：左边：A ∩ (A ∪ B)右边：A两边结果相等，吸收律成立。

4. 分配律：左边：A ∪ (B ∩ C)右边：(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)两边结果相等，分配律成立。

通过以上的证明，我们可以得出结合律、交换律、吸收律和分配律等集合运算性质成立。

公因数公倍数典型例题公因数和公倍数是数学中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

下面我们来看几个典型的例题。

例题一：求两个数的最大公因数和最小公倍数。

问题描述：求48和60的最大公因数和最小公倍数。

解答：首先，我们可以列出48和60的所有因数，然后找出它们的公因数，再从中找出最大的一个作为最大公因数。

48的因数为1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，而60的因数为1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。

它们的公因数有1、2、3、4、6、12，所以48和60的最大公因数为12。

接下来，我们可以列出48和60的所有倍数，然后找出它们的公倍数，再从中找出最小的一个作为最小公倍数。

48的倍数为48、96、144、192、240、288、336、384、432、480，而60的倍数为60、120、180、240、300、360、420、480。

它们的公倍数有240和480，所以48和60的最小公倍数为240。

例题二：利用公因数求未知数的值。

问题描述：某数的最大公因数是24，最小公倍数是120，求这个数是多少。

解答：假设这个数为x，根据最大公因数和最小公倍数的定义，我们可以得到以下等式：x的因数可以整除24，x的倍数可以被120整除。

因此，x的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，x的倍数为120、240、360、480、600、720、840、960、1080、1200。

从中我们可以找到24是x的因数，而120是x的倍数。

因此，这个数为24的倍数，同时也是120的因数，即x=24。

通过以上例题，我们可以看到公因数和公倍数在解决实际问题中的重要性。

它们不仅可以用于求解最大公因数和最小公倍数，还可以用于解决一些未知数的问题。

因此，我们在学习数学的过程中要重视公因数和公倍数的学习，掌握它们的求解方法和应用技巧，提高自己的数学应用能力。

向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。

实际比计划多生产百分之几？向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。

计划比实际少生产百分之几？一筐苹果比一筐梨重 20％，那么一筐梨就比一筐苹果轻 20％一种电子产品，原价每台 5000 元，现在降低到 3000 元。

降价百分之几？一项工程，原计划 10 天完成，实际 8 天就完成了任务，实际每天比原计划多修百分之几？益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。

如果按营业额的 3％缴纳营业税，去年应缴纳营业税多少万元？王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。

按规定，买摩托车要缴纳 10％的车辆购置税。

王叔叔买这辆摩托车一共要花多少钱？李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行，到期后应得利息多少元？根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按 5％的税率缴纳利息税。

例 1 中纳税后李明实得利息多少元？方明将 1500 元存入银行，定期二年，年利率是 4.50％。

两年后方明取款时要按 5％缴纳利息税，到期后方明实得利息多少元？一本书现价 6.4 元，比原价便宜 1.6 元。

这本书是打几折出售的？“国庆”商场促销，一套西服打八五折出售是 1020 元，这套西服原价多少元？一台液晶电视 6000 元，若打七五折出售，可降价 2000 元？一批电冰箱，原来每台售价 2000 元，现促销打九折出售，有一顾客购买时，要求再打九折，如果能够成交，售价是多少元？商店以 40 元的价钱卖出一件商品，亏了 20％。

这件商品原价多少元，亏了多少元？某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20％，另一件亏本 20％。

这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的 60％。

甲、乙两绳各长多少米？体育馆内排球的个数是篮球的 75％，篮球比排球多 6 个。

有关溶解度‎的计算典型例题[例1]已知15℃时碘化钾的‎溶解度为1‎40g，计算在该温‎度下250‎g水中最多‎能溶解多少‎克碘化钾？[分析]：15℃时碘化钾的‎溶解度为1‎40g，这表明在该‎温度下10‎0g水最多‎能溶解14‎0g碘化钾‎。

那么，250g水‎最多能溶解‎多少克碘化‎钾，可通过关系‎式法列比例‎求得，亦可用基本‎公式法求解‎。

解法1：关系式法设：15℃时，250g水‎里最多能溶‎解x克碘化‎钾。

关系式：m质+m剂=m液15℃时 140g 100g? x250g[解答]：15℃时，250g水‎最多能溶解‎350g碘‎化钾。

解法2：基本公式法‎已知： s=140g m剂=250g求： m质=？[解答]：解之，得：m质=350g[例2] 把20℃的282g‎硝酸钾饱和‎溶液加热，升温到60‎℃，需要加入多‎少克硝酸钾‎才能使溶液‎重新达到饱‎和？（已知20℃时硝酸钾的‎溶解度为3‎1.6g，60℃时为110‎g）。

分析：溶剂量不变‎，当饱和溶液‎的温度升高‎时，由于溶解度‎的增大，使溶液由饱‎和变为不饱‎和。

如果要在高‎温时使溶液‎重新达到饱‎和，则需加入一‎定量的溶质‎。

所加溶质的‎量可用质量‎关系式通过‎比例进行计‎算，也可用公式‎法求得。

解答1 关系式法设：所需加的硝‎酸钾为x克‎。

关系式： m质+m剂=m液20℃→60℃添加量20℃ 31.6g 100g 131.6g 110g-31.6g=78.4g282gx每有131‎.6g硝酸钾‎饱和溶液从‎20℃升到60℃时，需要加入7‎8.4g硝酸钾‎才能使溶液‎在60℃时亦达饱和‎，那么282‎g20℃的硝酸钾饱‎和溶液升温‎到60℃，应加入多少‎克硝酸钾才‎能使溶液重‎新达到饱和‎，可通过比例‎求得。

答：应加入16‎8g硝酸钾‎。

解答2：公式法根据上述的‎比例式，可导出如下‎的计算公式‎。

设：应添加硝酸‎钾晶体为x‎克。

答：(略)[例3]已知30℃时硝酸钾的‎溶解度为4‎5.8g。

解方程式例题以下是八道方程式例题，以及它们的解答过程：1. 例题一：方程：2x + 5 = 15解：将5从等式的两边减去，得到2x = 10，然后两边都除以2，得到x = 5。

2. 例题二：方程：3(x - 2) = 9解：展开括号得3x - 6 = 9，接着将-6从等式的两边加上，得到3x = 15，最后两边都除以3，得到x = 5。

3. 例题三：方程：x^2 - 4 = 0解：移项得x^2 = 4，方程两边开平方得x = ±2。

4. 例题四：方程：√(x + 3) = 2解：平方两边得x + 3 = 4，然后移项得x = 1。

5. 例题五：方程：2/(x - 1) = 1解：去分母得2 = x - 1，将1从等式的两边加上，得到x = 3。

需检验x - 1 ≠0，即x ≠1，满足条件，所以解为x = 3。

6. 例题六：方程：x^2 - 2x - 3 = 0解：因式分解得(x - 3)(x + 1) = 0，解得x = 3 或x = -1。

7. 例题七：方程：3x - 4y = 72x + y = 10解：通过消元法或代入法求解。

例如，通过消元法，将第二个方程乘以4得到8x + 4y = 40，与第一个方程相加得到11x = 47，从而x = 47/11。

将x的值代入任一方程求y，例如代入第一个方程得y = (7 - 3×47/11) / -4 = 13/22。

8. 例题八：方程：sin(x) = 1/2解：在0到2π的范围内，正弦函数等于1/2的解有x = π/6 和x = 5π/6。

因为正弦函数是周期函数，所以解集为{x | x = 2kπ±π/6, k ∈Z}。

请注意，这些例题涵盖了不同类型和难度的方程，包括线性方程、二次方程、分式方程、三角函数方程等。

解答时需要注意方程的定义域和约束条件，以及解法的正确性。

第一部分 随机事件及其概率例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。

1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为A B C ）； 2）“三个事件都发生”（表示为A B C ）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C⋃⋃）；4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为A B C A B C A B C++）；5）“三个事件至少有两个发生”（表示为A B B C A C ⋃⋃或A B CA B C A B C A B C+++）6）“三个事件至多有两个发生”（表示为A B C 或A B C⋃⋃）。

例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。

解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B=“指定其中一个盒子装一只球”。

1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有nN 种。

假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有nN C 种，所以，事件A 的样本点数为nNC !n ，即事件A 的概率为nn NNn CA P !)(=2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1nC 种，其次，剩余的1N-个盒子中，1n -只球的放法有1(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1n C 1(1)n N --，即事件B 的概率为11(1)()n n nC N P B N--=注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。

设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日全不相同”，它等价于“n 个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：nnn C A P 365!)(365=，所以nnn C A P 365!1)(365-=。