(精校版)2010年普通高等学校招生统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)及答案

2010年福建文一、选择题（共12小题；共60分）1. 若集合A=x∣ 1≤x≤3，B=x∣x>2，则A∩B等于 A. x∣ 2<x≤3B. x∣x≥1C. x∣ 2≤x<3D. x∣x>22. 计算1−2sin222.5∘的结果等于 A. 12B. 22C. 33D. 323. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于 A. 3B. 2C. 23D. 64. i是虚数单位，1+i1−i 4等于 A. iB. −iC. 1D. −15. 若x,y∈R，且x≥1,x−2y+3≥0,y≥x,则z=x+2y的最小值等于 A. 2B. 3C. 5D. 96. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A. 2B. 3C. 4D. 57. 函数f x=x2+2x−3,x≤0,−2+ln x,x>0,的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 38. 若向量a=x,3x∈R，则 " x=4 " 是 " ∣a∣=5 " 的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A. 91.5和91.5B. 91.5和92C. 91和91.5D. 92和9210. 将函数f x=sinωx+φ的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 A. 4B. 6C. 8D. 1211. 若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP⋅FP的最大值为 A. 2B. 3C. 6D. 812. 设非空集合S=x∣m≤x≤l满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S=1；②若m=−12，则14≤l≤1；③若l=12，则−22≤m≤0．其中正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共4小题；共20分）13. 若双曲线x24−y2b2=1b>0的渐近线方程为y=±12x，则b等于．14. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分步直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图所示（阴影区域及其边界），其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）．16. 观察下列等式：①cos2α=2cos2α−1；②cos4α=8cos4α−8cos2α+1；③cos6α=32cos6α−48cos4α+18cos2α−1；④cos8α=128cos8α−256cos6α+160cos4α−32cos2α+1；⑤cos10α=m cos10α−1280cos8α+1120cos6α+n cos4α+p cos2α−1．可以推测，m−n+p=．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知函数f x=13x3−x2+ax+b的图象在点P 0,f0处的切线方程为y=3x−2．（1）求实数a，b的值；（2）设g x=f x+mx−1是2,+∞上的增函数．（i）求实数m的最大值；（ii）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g x围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．18. 数列a--n中，a--1=13，前n项和S n满足S n+1−S n=13n+1（n∈N∗）．（1）求数列a--n的通项公式a-n以及前n项和S n；（2）若S1，t S1+S2，3S2+S3成等差数列，求实数t的值．19. 设平面向量a m=m,1，b n=2,n，其中m,n∈1,2,3,4．（1）请列出有序数组m,n的所有可能结果；（2）记“使得a m⊥ a m−b n成立的m,n”为事件A，求事件A发生的概率．20. 已知抛物线C:y2=2px p>0过点A1,−2．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA 与l的距离等于55?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1．过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．（1）证明：AD∥平面EFGH；（2）设AB=2AA1=2a．在长方体ABCD−A1B1C1D1内随机选取一点．记该点取自几何体A1ABFE−D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．22. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30∘且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?（2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. A2. B3. D 【解析】由主视图可以看出，正三棱柱底面边长为2，高为1，所以S侧=3×2×1=6．4. C5. B【解析】由z=x+2y，得y=−12x+12z，当直线经过直线x=1和y=x的交点A1,1时，截距z2取得最小值，故z min=1+2=3．6. C 【解析】当i=1时，a=1×2=2，s=0+2=2；当i=2时，a=2×22=8，s=2+8=10；当i=3时，a=3×23=24，s=10+24=34，i=3+1=4，结束循环，故输出的i=4．7. C 【解析】当x≤0时，令x2+2x−3=0，解得x=−3；当x>0时，令−2+ln x=0，解得x=e2．故函数f x有两个零点．8. A 【解析】若a=4,3，则∣a∣=5；而∣a∣=5时， x2+9=5，解得x=±4．9. A 【解析】由茎叶图可知8个数据分别为87，89，90，91，92，93，94，96．所以中位数为1 291+92=91.5；平均数为1887+89+90+91+92+93+94+96=91.5．10. B【解析】f x=sinωx+φ，平移后得到g x=sin ω x+π2+φ =sin ωx+φ+π2ω 与f x重合，故π2ω=2kπ,k∈Z，解得ω=4k,k∈Z．11. C 【解析】设P x,y，则y2=3−34x2，且OP=x,y，FP=x+1,y，则OP⋅FP=x x+1+y2=14x2+x+3=14x+22+2，由椭圆的几何性质，得−2≤x≤2，故当x=2时有最大值为6．12. D 【解析】由题意知，对于①，若m=1，则S=x∣1≤x≤l．当x∈x∣1≤x≤l时，x2∈x∣1≤x≤l，则l≥l2且l≥1，解得l=1，故①正确；对于②，若m=−12，则S= x∣∣−12≤x≤l．当x∈ x∣∣−12≤x≤l时，分类讨论：−12≤l<14时，当x=−12，x2=14∉S；l≥14时，0≤x2≤l2≤l，解得14≤l≤1．故②正确；对于③，若l=12，则S= x∣∣m≤x≤12．当x∈ x∣∣m≤x≤12时，分类讨论：m>0时，m2≤x2≤14，要使x2∈S，则m2≥m，解得m≥1 或m≤0（舍去）．m<−22时，m2>12．m2∉S；−22≤m≤0时，0≤x2≤12，则x2∈S．故③正确．第二部分13. 114. 60【解析】因为27n =2+3+42+3+4+6+4+1=920，所以n=60．15. ②③16. 962【解析】经观察，cosα的最高次的系数分别为21，23，25，27，故m=29=512；cos2α项的系数分别为1×2，−2×4，3×6，−4×8，故p=5×10=50；又每个展开式中的系数和为1（令α=0即得）；故512−1280+1120+n+50−1=1，n=−400．第三部分17. （1）由fʹx=x2−2x+a及题设得fʹ0=3,f0=−2,解得a=3，b=−2．（2）（i）由g x=13x3−x2+3x−2+mx−1，得gʹx=x2−2x+3−m.因为g x是2,+∞上的增函数，所以gʹx≥0在2,+∞上恒成立，即x2−2x+3−mx−1≥0在2,+∞上恒成立．设x−12=t．因为x∈2,+∞，所以t∈1,+∞，即不等式t+2−mt≥0在1,+∞上恒成立．所以m≤t2+2t在1,+∞上恒成立．令y=t2+2t，t∈1,+∞，可得y min=3，故m≤3，即m的最大值为3．（ii）由（i）得g x=1x3−x2+3x−2+3,将函数g x的图象向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φx=13x3+2x+3x,x∈−∞,0∪0,+∞.由于φ−x=−φx，所以φx为奇函数，故φx的图象关于坐标原点成中心对称．由此可得，函数g x的图象关于点Q1,13成中心对称．这也表明，存在点Q1,13，使得过点Q的直线若能与函数g x的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．18. （1）由S n+1−S n=1n+1,得a n+1=13n+1n∈N∗,又a1=13，故a n=1nn∈N∗.从而S n=13×1−13n1−13=121−13nn∈N∗.（2）由（1）可得S1=13,S2=49,S3=1327,从而由S1，t S1+S2，3S2+S3成等差数列可得1+3×4+13=2×1+4t,解得t=2．19. （1）有序数组m,n的所有可能结果为1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4,共16个．（2）由a m⋅ a m−b n=0,得m2−2m+1−n=0,整理得n=m−12.由于m,n∈1,2,3,4，则事件A包含的基本条件为2,1和3,4，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P A=2=1.20. （1）将1,−2代入y2=2px，得p=2．故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=−1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=−2x+t，由y=−2x+t,y2=4x,得y2+2y−2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8t≥0，解得t≥−12．另一方面，由直线OA与l的距离d=55，可得5=5，解得t=±1．因为−1∉ −12,+∞ ，1∈ −12,+∞ ，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y−1=0．21. （1）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD∥A1D1．又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH．∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴AD∥平面EFGH．（2）设BC=b，则长方体ABCD−A1B1C1D1的体积V=AB⋅AD⋅AA1=2a2b,几何体EB1F−HC1G的体积V1=12EB1⋅B1F ⋅B1C1=b2⋅EB-1⋅B1F.因为EB12+B1F2=a2,所以EB1⋅B1F≤EB12+B1F22=a22,当且仅当EB-1=B1F=22a时等号成立．从而V1≤a2b 4.故p=1−V1V≥1−a2b42a2b=78.22. （1）方法一：设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理得，S=200=900t−600t+400=900 t−132+300,故t=13时，S min=103，v=1031=303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC=20cos30∘=103，AC=20sin30∘=10．又AC=30t，OC=vt，此时，轮船航行时间t=1030=13，v=1031=303．即小艇以30海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小．（2）设小艇与轮船在B处相遇，由题意可知vt2=202+30t2−2⋅20⋅30t⋅cos90∘−30∘,化简得v2=400t2−600t+900=4001t−342+675.由于0<t≤12，即1t≥2，所以当1t=2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．（3）由（2）知v2=400t2−600t+900,设1t=u u>0，于是400u2−600u+900−v2=0. ⋯⋯①小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程①应有两个不等正根，即6002−1600900−v2>0,900−v2>0.解得153<v<30.所以v的取值范围是153,30．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）语文本试卷共8页，24小题，满分150分。

考试用时150分钟一、本大题四小题，每小题3分，共12分。

的一组是1.下列词语中加点的字，每对读音都不相同．．．A．皎洁/打搅业绩．/污渍．纤．维/纤夫．．B．效．仿/发酵．空旷．/粗犷．盛．开/盛．饭C．隐瞒．/蛮．横挑衅．/抚恤．埋．伏/埋．怨D．市侩．/反馈．濒．临/频．繁辟．谣/精辟．2．下面语段中画线的词语，使用不恰当的一项是中国历代文人视为至宝的笔、墨、纸、砚，是中国传统文化的代表性符号。

它们虽然有着不同的发展轨迹，但殊途同归。

它们在艺术创作中淋漓尽致地表现了中国古代书画艺术的神韵，记录了岁月的斗转星移，体现了古代文人的生活情趣。

今天他们并没有因为现在高科技手段的甚嚣尘上而销声匿迹，而是继续在书画艺术中展示着华夏民族的质朴和灵动。

A．殊途同归 B.斗转星移 C.甚嚣尘上 D.销声匿迹的一项是3.下列句子中，没有语病．．．．A.以“城市，让生活更美好”为主题的上海世博会，让肤色不同、语言不同的人们在这样一个巨大的平台上共同寻找答案。

B.“低碳生活”这一理念，经过我国改革开放以来经济建设的成功和失败的实践，无可争辩地证实了这一理念的正确。

C．刘老先生热心支持家乡的教育、慈善等公益事业。

他这次返乡，主动提出要与部分福利院参加高考的孤儿合影留念。

D．成千上万的亚运志愿者都在忙碌着，他们在共同努力，完成举办一次令亚洲乃至全世界都瞩目的文明亚运的理想。

4.依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是作品的独创性亦陈作品的原创性，具体表现在两个方面：一是作者的直接创作活动产生了作品。

二是作品表现出作者的个性特点。

不同的人对同一题材的创作也是常见的现象。

作品的独特性是针对作品的表达形式而言，并不延及作品的主题思想，也不涉及未加提炼，加工的社会生活本身，。

○1只要是独立创作的作品，即使使用了相同的材料，也会产生出与他人作品不同的表达特征○2作者运用自己独到的眼光，技巧，独立地选择了自己满意的色彩，旋律，动作，语言等，形成对自己的思想，观点，感情的表达形式。

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类） 第I 卷（选择题共50 分）、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 cos13° -cos43° sin13° 的结果等于6.如图，若「i 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH // A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH // FG C. 是棱柱目要求的。

1.计算 sin43y 2=4x 2. 以抛物线 2 2A.x +y +2x=0 C. x +y -x=03. 设等差数列｛ a n ) A.6 B. 74.函数f C 」2D V2的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为2 2B.x +y +x=0 2 2D. x +y -2x=0前n 项和为S n .若a 1= -11,a 4+a 6= -6，则当C.8D.9J?-I-2X -37X <0（X ）= L _2+ln 凡•的零点个数为B. 1C.2S n 取最小值时，n 等于「嚳]A. 05.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输岀的i 值等于A.2B.3C.4D.5D.3B.四边形EFGH D. |是棱台7若点 O 和点F （-2, 0）分别为双曲线2 X22 - y =1 (a>0)的中心和左 a焦占 八A. [3- 2.3,'：)B. [3+2^：=)C. f )D.[-,-:=)4是矩形点P 为双曲线右支上的任意一点，则 的取值范围为JC > 1,/ x- 2y + 3 > 0,8.设不等式组 所表示的平面区域是僞，平面区域02与。

1关于直线3x-4y-9对称。

对于。

1中的任意点A 与J 中的任意点B ，I AB I 的最小值等于28 12 A.B. 4C.D. 2559. 对于复数a,b,c,d ，若集合S= ｛a,b,c,d ｝具有性质"对任意 x,y ^s ,必有x,y ^S ”，则当 d 二 1,《护=1,5 时，b+c+d 等于 A. 1 B. -1 C. 0 D. i10. 对于具有相同定义域 D 的函数f (x )和g (x ),若存在函数h (x ) =kx+b ( k,b 为常数)，对任给的正数€m ，存在相应的xo ^D ，使得当x^D 且x>xo 时，总有1°<应(忑)-呂⑴v 阻则称直线l : y=kx+b 为曲线 y=f (x )与y=g (x )的"分渐近线”。

2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A ．12 B. 3 C. 2 D. 2 2.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A. x 2+y 2+2x=0B. x 2+y 2+x=0C. x 2+y 2-x=0D. x 2+y 2-2x=03.设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于A.6B. 7C.8D.94.函数f （x ）= 的零点个数为A. 0B. 1C.2D.35.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A.2B.3C.4D.56.如图，若 是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1 D 1，则下列结论中不正确的是A. EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台7.若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线2221x y a -=（a>0）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则op fp 的取值范围为 A. [3-, +∞） B. [3+ +∞） C. [74-, +∞） D. [74, +∞）8.设不等式组所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3x-4y-9对称。

对于1Ω中的任意点A 与2Ω中的任意点B ，∣AB ∣的最小值等于 A. 285 B. 4 C. 125 D. 2 9.对于复数a,b,c,d ，若集合S=｛a,b,c,d ｝具有性质“对任意x,y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当时，b+c+d 等于A. 1B. -1C. 0D. i10.对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k,b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的x 0∈D ，使得当x ∈D 且x>x 0时，总有则称直线l ：y=kx+b 为曲线y=f （x ）与y=g （x ）的“分渐近线”。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分，考试时间120分钟．命题人：厦门外国语学校 吴育文注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为样本平均数; 柱体体积公式 Sh V =其中S 为底面面积,h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式24R S π= ，334R V π=其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设a ∈R ，若2i i a -()（i 为虚数单位）为正实数，则a =A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为A ．20(sin cos )x x dx π-⎰B ．402(sin cos )x x dx π-⎰C ．20(cos sin )x x dx π-⎰D ．402(cos sin )x x dx π-⎰4．下列向量中与向量)3,2(-=a 平行的是 A ．（-4，6） B ．（4，6） C ．（-3，2） D ．（3，2） 5．函数)1lg()(2x x x f +=是A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 6．设函数)(x f y =在区间),0(+∞内是减函数，则)6(sin πf a =，)4(sinπf b =，)3(sinπf c =的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 7．设n S 为等差数列｛n a ｝的前n 项和，且1073=+a a ，则=9SA ．45B ．50C ．55D ．90 8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是A ．20%B ．25%C ．6%D ．80% 9．将函数x y sin =的图像按向量)1,1(=a 平移得到的图像对应的一个函数解析式是A ．)1sin(1++-=x yB ．)1sin(1++=x yC ．)1sin(1-+-=x yD ．)1sin(1-+=x y10．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，，）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，_频率 分数0.0050.010 0.020 0.015 0.025 0.030 0.035 40 50 60 70 80 90 100组距7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A ．48 B ．96 C ．144 D ．192第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 .12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依次记为),(11y x ，),(22y x ，，(,)n n x y ,，则程序运行结束时输出的最后一个数组为 .13．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ．14．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥-,083,03,02y x y x y x 则3x －y 的最小值是________.15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义 )4)(2(!!--=n n n n ，若n 为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。

点拨数学有数2010年的福建高考题的第20题（压轴题）一改以往理科函数题以对数函数，或分式函数，或指数函数面貌出现的状况，而是以最朴素的三次函数出现，考查了导数的运用，定积分知识，三次函数性质，源于教材又高于教材，返璞归真，又蕴含新意，而恰恰是这样的问题，难倒了许多考生.题目：（2010年普通高等学校招生统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）20题）（Ⅰ）已知函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C．(ⅰ)求函数f(x)的单调区间；（ⅱ）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2，f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，f(x3)），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则S1S2为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明.1.命题组给出的解答.解析：（Ⅰ）由f′(x)=3x2-1=(3姨x+1)(3姨x-1)，令f′(x)＞0，得到x＞13姨或x＜-13姨，令f′(x)＜0有-13姨＜x＜13姨，便可得原函数的单调递增区间为(-∞，-13姨)和（13姨，+∞）；单调递减区间为（-13姨，13姨）.-2（ⅱ）分析：本题要证明S1S2为定值，而P1是曲线上不在原点的任意点，随着P1的变化，点P2和P3随之变化，但不论怎么变化S12的值是不变的，也就是变化中蕴涵不变性（量），这是问题的本质.由于三个点，变量太多，所以减少变量是求简的思路：x1表示x2和x3，求出S1和S2，便可减少变量，这是我们求解前的思路和期望，事实也正是我们所愿.解析：曲线C在点P1处的切线方程为：y=(3x21-1)(x-x1)+x31-x1，即y=(3x21-1)x-2x31．由y=(3x21-1)x-2x21, y=x3-xx,得x3-x=(3x21-1)x-2x31,即（x-x1）2(x+2x1)=0，解得x=x1或x=-2x1，故x2=-2x1．S1=-2x1x1乙(x3-3x12x+2x31)dx=(14x4-32x21x2+2x21x)｜=27x41.进而有，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=-2x2和S2=274x42.又x2=-2x1≠0，所以S2=27×164x41≠0，因此有S1 2=1.（Ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图像为曲线C′，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于-b的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2，g(x2)），曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则S1S2为定值.证明如下：证明1：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心（-b3a，g(-b3a)）平移至坐标原点，因而不妨设g（x）=ax3+hx，且x1≠0.类似（Ⅰ）（ⅱ）的计算可得：S1=274ax41，S2=27×164ax41≠0，故=S1S2=116.证明2：由g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)得g′(x)=3ax2+2bx+c，所以曲线C′在点（x1，g(x1)）处的切线方程为y=(3ax21+2bx1+c)x-2ax31-bx21+d.由y=ax3+bx2+cx+d,y=(3ax21+2bx1+c)x-2ax31-bx21+dx,得(x-x1)2[a(x+2x1)+b]=0，∴x=x1或x=-ba-2x1，即x2=-ba-2x1，故S1=x1x2乙[ax3+bx2-(3ax21+2bx1)x+2ax31+bx21]dx=(3ax1+b)412a3.用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=-ba-2x2和S2=(3ax2+b)412a3.x1x1值得玩味的三次函数问题■童其林yxOP1x1x2x 3P3P224高中2010年第9期数学有数点拨又x2=-b-2x1且x1≠-b，所以S2=(3ax2+b)=(-6ax1-2b)412a3=16(3ax1+b)412a3≠0,故S1S2=116.说明：以上两种方法是命题组给出的，几乎没有考生用方法1证明，原因是三次函数的对称中心不熟悉.用方法2证明，运算量太大，很少有考生成功.2.不同于命题组的解法.对于（Ⅰ）（ii）的解法关键是求出x1与x2的关系，可以用点差法.设P1(x1,x31-x1)，P2(x2,x32-x2)，则直线P1P2的斜率为k=x32-x2-x31+x121=(x2-x1)(x22+x2x1+x21)-(x2-x1)21=x22+x2x1+x21-1，另一方面过P1的切线斜率又等于3x21-1，因此x22+x2x1+x21-1=3x21-1圯x22+x2x1-2x21=0圯(x2+2x1)(x2-x1) =0圯x2=-2x1，x2=x1（舍去），∴x2=-2x1.同理，可得x3=-2x2.由S1=-2x1x1乙(x3-3x21x+2x31)dx，可设S1=mx41，同理S2=mx42，因此有S12=x1x2乙乙4=1.说明：通过S1具有的样子，假设其可能的结果，避免了烦琐的运算，是一种聪明的方法.（Ⅱ）另证：对于曲线y=ax3+bx2+cx+d，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑y=ax3+bx2+cx的情形，y′=3ax2+2bx+c，P1(x1,ax31+bx21+cx1)，f′(x1)=3ax12+ 2bx1+c，因此过点P1的切线方程为：y=(3ax12+2bx1+c)x-2ax13-bx12，联立y=(3ax12+2bx1+c)x-2ax13-bx12,y=ax3+bx2+cx乙,得到：ax3+bx2-(3ax12+2bx1)x+bx12+2ax13=0，从而(x-x1)2(ax+b+2ax1)=0，∴x=x1或x=-ba -2x1，即x2=-ba-2x1.以下同证明2.说明：本法类似于上面的证明1，原函数经过上下平移，变成y=ax3+bx2+cx，简化了运算.3.一个一箭双雕的解法.本题（Ⅱ）是（Ⅰ）（ii）的一般情况，（Ⅰ）（ii）是（Ⅱ）的特殊情况，所以解决了问题（Ⅱ），（Ⅰ）（ii）便得到了解决.这是一般化方法的成功运用.让我们来看看下面对（Ⅰ）（ii）和（Ⅱ）的漂亮解法：不妨先证明（Ⅱ）：记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图像为曲线C′，若对于任意不等于-b的实数x1，曲线C′与其在点P1（x1，g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2，g(x2)），曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则S12为定值.证明：g′(x)=3ax2+2bx+c，依题意，kP1P2=3ax12+2bx1+c=g(x1)-g(x2)12=a(x1x2+x21+x22)+b(x1+x2)+c…①，同样由kP2P3=3ax22+2bx2+c=g(x2)-g(x3)x2-x3=a(x2x3+x22+x23)+b(x2+x3)+ c…②，由①可得a(x1-x2)(2x1+x2)+b(x1-x2)=0，由②可得a(x2-x3)(2x2+x3)+b(x2-x3)=0.∵x1,x2,x3互不相等，∴a(2x1+x2)+b=0且a(2x2+x3)+b=0，∴2(x1-x2)=-(x2-x3).∴P1P2与曲线C′围成面积为：S1=(x1-x2)(g(x1)+g(x2))2-x2x1乙g(x)dx=(x1-x2)(a·x21x2+x1x22-x31-x324+b·2x1x2-x21-x226）=(x1-x2)3(a·x1+x2+b）=(x1-x2)3·a(3x1+3x2)-2a(2x1+x2)12=a(x1-x2)4.同理S2=(x2-x3)3(a·x2+x34+b6）=a12(x1-x2)4，∴S1S2= 1为定值.由此可知（Ⅰ）（ii）的结果也是定值，而且S1S2=116.说明：如此一箭双雕，令人叫绝.这是对特殊与一般的本质认识，显然本解法技巧性强，变量之间的关系处理得非常灵活，不是谁都能完成的.当然通过的（Ⅱ）其他方法，也可以推出（Ⅰ）（ii）.题目如此设计，是为了遵循人们认识事物的规律，更好地从特殊发现一般，但有些高人偏能一开始便抓住本质，可喜可贺也！另外，面积S1的表达只要把上述（Ⅰ）（ii）中的图像，向上平移，使点P1和P2都在x轴上方，则S1为梯形面积与曲边梯形面积之差，S2也如此.4.出现的错误分析.（Ⅰ）(i)中出现了各种错误有：一是把f′(x)=3x2-1=0解错，得到x=±13或x=±3姨；二是把f′(x)=3x2-1＞0解错，得到x＞3姨或x＞13姨，三是把原函数的单调递增区间表述为(-∞,-13姨)∪(13姨,+∞)，等等.有些错误莫名其妙，有些可能是笔误，更多的是基础知识不牢的缘故.由此告诉我们，平时就应该养成良好的学习习惯，比如准确掌握知识的习惯，准确表述的习惯，及时验算的习惯等.（Ⅰ）（ii）中出现的错误主要是求不出x1与x2的关系，有的得到了x22+x2x1-2x12=0，仍无法解出方程，很是可惜.有的是在求面积S1的时候运算不准确，更多的是空白，没有思路，不敢碰.（Ⅱ）中首先是类比，很多同学照抄，忽略了要排除点（-b3a，g(-b3a)），结果把很关键的部分丢弃.当然认25高中2010年第9期点拨数学有数真类比可以发现（Ⅰ）（ii）中排除的x1，其实就是函数对称中心的横坐标.为什么这个点要排除呢？原因是过对称中心的点的切线与原函数只有一个交点，比如我们熟悉的函数y=x3的对称中心是（0，0），而过（0，0）的切线方程是y=0，与原函数只有一个交点，这时不可能有面积S1与S2，所以要排除.当然发现了要排除对称中心，还是不容易把g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)对称中心求出来，因为教材中的三次函数并没有涉及到这个问题.但运用现有的知识还是可以实现目标的.其实，就是求不出g(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心，也可以把（Ⅱ）的类比写成：记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图像为曲线C′，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：对异于g(x)对称中心的点P1，曲线C′与其在点P1（x1，g(x1)）处的切线交于另一点P2（x2，g(x2)），曲线C′与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3，g(x3)），线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则S1S2为定值.如此，也排除了不适合的点.5.三次函数对称中心的探求.探求求函数g(x)=ax3+bx2+cx+d的对称中心，一是从特殊到一般，归纳得到；二是利用导数和极值；三是配方；四是平移.特殊到一般：y=x3的对称中心是（0，0）；y=(x-h)3的对称中心是（h，0）；y=(ax-h)3的对称中心是（ha,0），而y=(ax-h)3=a3x3-3a2hx2+3ah2x-h3，对称中心的横坐标是x=--3a2h3a2，因此g(x)=ax3+bx2+cx+d对称中心的横坐标为x=-b.说明：这样得出结论，显然不够严密，但在时间紧、任务重，而且在不要求证明的情况下，不失为一种明智的选择———总比没有方法强.利用导数和极值：不妨考虑g′(x)=3ax3+2bx2+c与x轴有两个交点的情形，这时（x1，g(x1)）与（x2，g(x2)）是两个极值点，其中点横坐标x0=x1+x2=-b就是对称中心的横坐标，由此可得出y=g（x）的对称中心就是(-b3a ，g(-b3a)).配方：y=(x+b)3+(c-b2)(x+b)+27a2d+2b3-9abc27a2，∴对称中心为(-b3a,27a2d+2b3-9abc27a2)．说明：通过配立方，转化成f(x)=a(x-b)3+c(x-b)+d 的形式，再平移得奇函数g(x)=f(x-b)+d=ax3+cx，从而求出三次函数f(x)图像的对称中心．事实上，我们可以证明这样一个定理：三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点(-b，f(-b)).证明：假设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为（m，n）.按向量≠a=（-m，-n）将函数的图像平移，则所得的函数y=f(x+m)-n是奇函数，∴-y=f(-x+m)-n，∴f(x+m)+f(-x+m)-2n=0，化简得(3ma+b)x2+am3+bm2+ cm+d-n=0.上式对x∈R恒成立，所以3ma+b=0圯m=-b，n=am3+bm2+cm+d=f(m)=f(-b).说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为(-b3a，f(-b3a)).6.难度分析.本题设置了多个障碍，首先是（Ⅰ）（ii）中的参数太多，不知道谁表达谁好，也就是说确定解题方向本身就有难度；二是一旦确定了解题方向，运算量又太大，比如求出x1与x2的关系就是一个难度；三是类比也设置了难点，也就是说类比的时候要找到隐蔽的条件：点P1不过中心.还有就是在得到x2=-2x1时，x2与x3也有类似关系，这里也算是一个跳跃，一个要跨越的障碍，如果重新用求出x1与x2的方法，再求x2与x3的关系或再重新计算S2便显得多余，费时费力.很多同学放弃（Ⅰ）（ii）和（Ⅱ）的解答，主要是没有思路或者被复杂的运算吓着了.7.建议和启示.如果在（Ⅰ）（ii）中能特别注明“x1是f(x)的对称中心的横坐标”，则第（Ⅱ）问的类比会正确一些，得分率高一些，也显得人文一些，而且能给同学们求g(x)的对称中心提供施展的舞台———可以考查同学们利用现有知识探求未知的能力.本题对运算能力、类比概括能力的要求较高，对同学们的研究能力、探索能力是一个考验，在运动变化中发现不变量、不变关系，对于考查同学们的运动变化思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想是一个很好的探索.从题目本身的创新来看，笔者总感觉猜题押题是不能解决问题的，也就是说题海战术并不奏效———这也是命题者的初衷吧，提高同学们的数学素养，夯实基础，实施素质教育才是根本.在今后的教学中，一是要适当拓展教材内容，如三次函数的奇偶性、对称性等问题；二是要重视研究性学习和研究性复习，提高同学们的探究能力；三是作为压轴题要交给同学们一些方法，尽量完成第（Ⅰ）问，努力完成自己认为有把握的其他问题，如果思索了一些时间，还无眉目，对一些同学而言就应该果断放弃，不做无用功，把时间用在更有把握的问题上，或把时间用来检验，等等.责任编校徐国坚26高中2010年第9期。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学 (理工农医类)满分150分、考试时间l20分钟.一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于A.12B.3C.2D. 22．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=03．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.6B.7C.8D.94．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为A.0B.1C.2D.35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A.2 B.3 C.4 D.56．如图,若Ω是长方体1111ABCD-A B C D 被平面EFGH 截去几何体11EFGH B C 后得到的几何体,其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1B B 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确．．．的是 A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱台7．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)a x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为A. )+∞B. [3)++∞C. 7[-,)4+∞D. 7[,)4+∞8．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于A.285B.4C. 125D.29．对于复数a,b,c,d ,若集合{}S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ∈,必有xy S ∈”,则当22a=1b =1c =b ⎧⎪⎨⎪⎩时,b+c+d 等于 A.1 B.-1 C.0 D.i10．对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数m,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有0()()0()()<m f x h x mh x g x <-<⎧⎨<-⎩,则称直线l:y=kx+b 为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为D={}x|x>1的四组函数如下:①2f(x)=x, ; ②-xf(x)=10+2,2x-3g(x)=x; ③2x +1f(x)=x ,xlnx+1g(x)=lnx; ④22x f(x)=x+1,-xg(x)=2x-1-e )（.其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是A. ①④B. ②③C.②④D.③④二、填空题：11．在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = .12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 .13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。

2010年普通高校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试试题(生物部分)相对原了质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Fe 56 Zn 65 Ba 137第I卷(选择题共108分)本卷共18小题．每小题6分。

共108分。

在每小题给出的四个选项中．只有一个选项符台题目要求。

1、结核杆菌感染人体并侵入细胞后会引起结核病，体内接触该靶细胞并导致其裂解的免疫细胞是A浆细胞 B T淋巴细胞 C B淋巴细胞D效应T细胞答案：D解析：本题主要考查细胞免疫的基础知识。

人教版必修三课本37页最后一段叙述如下：T细胞接受抗原刺激后，就会分化形成效应T细胞，效应T细胞就会与被抗原入侵的宿主细胞密切接触，并使靶细胞裂解死亡。

2、下列有关造血干细胞中物质运输的途径，可能存在的是A吸收的葡萄糖：细胞膜一细胞质基质一线粒体B合成的细胞膜蛋白：高尔基体一核糖体一细胞膜C．转录的mRNA：细胞核一细胞质基质一高尔基体D合成的DNA聚合酶：核糖体一细胞质基质一细胞核答案：D解析：本题主要考查各种有机化合物在细胞内合成有运输的过程。

A项吸收葡萄糖通过细胞膜计入细胞质基质，被分解成【H】和丙酮酸，然后丙酮酸进入线粒体继续被分解成二氧化碳和水。

B项膜蛋白与分泌蛋白一样，都是在粗面型内质网上的核糖体合成后进入内质网，然后经过高尔基体的加工和分装，通过具膜小泡运输到细胞表面。

C项在细胞核内经过转录形成的mRNA，通过核孔出来与核糖体结合，准备开始翻译。

D项DNA聚合酶是由于游离核糖体合成后，到细胞质基质经核孔进入细胞核。

3、下列关于低温诱导染色体加倍实验的叙述，正确的是A原理：低温抑制染色体着丝点分裂，使子染色体不能分别移向两极B解离：盐酸酒精混合液和卡诺氏液都可以使洋葱根尖解离C染色：改良苯酚品红溶液和醋酸洋红溶液都可以使染色体着色D观察：显徽镜下可以看到大多数细胞的染色体数目发生改变答案：C解析：本题主要考查《2010年福建省考试说明》生物知识表中所列出的16个实验。

页脚内容12010年高考福建理科数学试题及答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于A ．12B 3C 2D 3 2．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于 A ．6B ．7C ．8D ．94．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于 A ．2 B ．3 C ．4D ．5页脚内容26．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不 正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP uuu r uu u rg 的取值范围为A ．[3- 23 +∞）B ．[3+ 3 +∞）C ．[74-， +∞）D ．[74， +∞）8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。

2010年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•福建）计算sin137°cos13°+cos103°cos43°的值等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先根据诱导公式将sin137°cos13°+cos103°cos43°转化为sin43°cos13°﹣sin13°cos43°，再根据两角差的正弦公式得到答案．【解答】解：∵sin137°cos13°+cos103°cos43°=sin（180°﹣43°）cos13°+cos（90°+13°）cos43°=sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin（43°﹣13°）=sin30°=故选A．【点评】本题主要考查诱导公式与两角和与差的正弦公式．这种题型经常在选择题中出现，应给与重视．2．（5分）（2010•福建）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．【分析】先求抛物线y2=4x的焦点坐标，即可求出过坐标原点的圆的方程【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选D．【点评】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题．3．（5分）（2010•福建）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，S n取最小值．故选A．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．4．（5分）（2010•福建）函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．【解答】解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：B．【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．5．（5分）（2010•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 的值，并输出满足条件S＞11时，变量i的值．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环循环前/0 1/第一圈 2 2 2 是第二圈8 10 3 是第三圈24 34 4 否此时i值为4故选C【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）（2010•福建）如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平行线等分线段定理．【分析】根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EF⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．【点评】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．7．（5分）（2010•福建）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出，进而求得的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得．【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．8．（5分）（2010•福建）设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域是Ω2与Ω1关于直线3x﹣4y﹣9=0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）A．B．4 C．D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域Ω1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值．【解答】解：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离最小，故|AB|的最小值为，故选B．【点评】利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解．9．（5分）（2010•福建）对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．i【考点】复数的基本概念；集合的含义．【专题】压轴题．【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．【解答】解：由题意，可取a=1，b=﹣1，c2=﹣1，c=i，d=﹣i，或c=﹣i，d=i，所以b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1，故选B．【点评】本题属创新题，考查复数与集合的基础知识；一般结论对于特殊值一定成立．10．（5分）（2010•福建）对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在函数h（x）=kx+b（k，b为常数）对任给的正数m，存在相应的x0∈D使得当x∈D且x＞x0时，总有，则称直线l：y=ka+b为曲线y=f（x）和y=g（x）的“分渐进线”．给出定义域均为D={x|x＞1}的四组函数如下：①f（x）=x2，g（x）=②f（x）=10﹣x+2，g（x）=③f（x）=，g（x）=④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x）其中，曲线y=f（x）和y=g（x）存在“分渐近线”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④【考点】极限及其运算；数列的应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0进行作答，是一道好题，思维灵活，要透过现象看本质．【解答】解：f（x）和g（x）存在分渐近线的充要条件是x→∞时，f（x）﹣g（x）→0．对于①f（x）=x2，g（x）=，当x＞1时便不符合，所以①不存在；对于②f（x）=10﹣x+2，g（x）=肯定存在分渐近线，因为当时，f（x）﹣g（x）→0；对于③f（x）=，g（x）=，，设λ（x）=x﹣lnx，＞0，且lnx＜x，所以当x→∞时x﹣lnx越来愈大，从而f（x）﹣g（x）会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④f（x）=，g（x）=2（x﹣1﹣e﹣x），当x→+∞时，，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C故选C【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2010•福建）在等比数列{a n}中，若公比q=4，前3项的和等于21，则该数列的通项公式a n=4n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式，把q代入前3项的和，进而求得a1则数列的通项公式可得．【解答】解：由题意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通项a n=4n﹣1．故答案为：4n﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题．12．（4分）（2010•福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，可知三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，再求解面积即可．【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为3×2×1=6，所以其表面积为．【点评】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．13．（4分）（2010•福建）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于0.128．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则必有必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确；又有每个问题的回答结果相互独立，结合相互独立事件的概率乘法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128．【点评】本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力．14．（4分）（2010•福建）已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案．【解答】解：∵函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，∴由题意知，ω=2，因为，所以，由三角函数图象知：f（x）的最小值为，最大值为，所以f（x）的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想．15．（4分）（2010•福建）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2﹣x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k﹣1，2k）．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的．【解答】解：①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2），正确；②取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…从而f（x）∈[0，+∞），正确；③f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即存在x1，x2，﹣=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是①②④．【点评】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）（2010•福建）将甲、乙两颗骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出的点数．（Ⅰ）若点P（a，b）落在不等式组表示的平面域的事件记为A，求事件A的概率；（Ⅱ）若点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，求m的值及最大概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率．【专题】计算题；数形结合．【分析】（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6，画出图形，满足条件的事件A可以列举出有6个整点，根据古典概型概率公式得到结果．（Ⅱ）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，由x，y∈[1，6]，画出图形，直线x+y=m过（1，6）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件总数为6×6=36，如图a所示，满足条件的事件A有（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（3，1）6个整点．故．（Ⅱ）点P（a，b）落在x+y=m（m为常数）的直线上，且使此事件的概率最大，只需基本事件最多，注意到x，y∈[1，6]，如图b所示，直线x+y=m过（1，6）（正方形一条对角线）时适合，求得x+y=7，此时有6个整点，最大．【点评】本题考查古典概型，在解题时要利用图形判断出满足条件的事件数，本题利用数形结合的知识，是一个综合题．17．（13分）（2010•福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）先设出椭圆C的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得．（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线OA与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得．【解答】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t2﹣12=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．18．（13分）（2010•福建）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC﹣A1B1C1内的概率为P．当点C在圆周上运动时，记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求cosθ的值．【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；平面与圆柱面的截线．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）欲证平面A1ACC1⊥平面B1BCC1，关键是找线面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理知BC⊥平面A1ACC1；（2）根据AC2+BC2=AB2为定值可求出V1的最大值，从而得到P=的最大值，P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面A1ACC1的一个法向量与平面B1OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，因为AB是圆O直径，所以BC⊥AC，又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1，而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为=AC•BC•r，又因为AC2+BC2=AB2=4r2，所以=2r2，当且仅当时等号成立，从而V1≤2r3，而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，故P=，当且仅当，即OC⊥AB时等号成立，所以P的最大值是．P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OB为y轴的正半轴，OC为x轴正半轴，OO1为z轴的正半轴，则C（r，0，0），B（0，r，0），B1（0，r，2r），因为BC⊥平面A1ACC1，所以是平面A1ACC1的一个法向量，设平面B1OC的法向量，由，故，取z=1得平面B1OC的一个法向量为，因为0°＜θ≤90°，所以===．【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．19．（13分）（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；数形结合．【分析】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC，即：vt2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=再由二次函数法求解最值．（2）根据题意，要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，然后是距离最短，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，再解得相应角．【解答】解：（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC即：v2t2=400+900t2﹣1200tcos60°=900t2﹣600t+400=当t=时，取得最小值，此时，v=30（2）要用时最小，则首先速度最高，即为：30海里/小时，则由（1）可得：OC2=AC2+OA2﹣2×AC×OAcos∠OAC 即：（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60°解得：t=，此时∠BOD=30°此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．【点评】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了余弦定理，二次函数法求最值，还考查了数形结合的思想．20．（14分）（2010•福建）已知函数f（x）=x3﹣x，其图象记为曲线C．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1，f（x1））处的切线交于另一点P2（x2，f（x2）），曲线C与其在点P2（x2，f（x2））处的切线交于另一点P3（x3，f（x3）），线段P1P2，P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则为定值．【考点】利用导数研究函数的单调性；定积分；合情推理的含义与作用．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；（2）先求出点P1与点P2的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S1，利用同样的方法求出面积S2即可．【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣x得f′（x）=3x2﹣1=，当和时，f′（x）＞0；当，时，f′（x）＜0，因此，f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（2）曲线C与其在点P1处的切线方程为y=（3x12﹣1）（x﹣x1）+x13﹣x1，即即y=（3x12﹣1）x﹣2x13，由解得x=x1或x=﹣2x1故x2=﹣2x1，进而有S1=|（x3﹣3x13x+2x13）dx|=，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=﹣2x2和，又x2=﹣2x1≠0，所以S2≠0，因此有【点评】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．21．（14分）（2010•福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知矩阵M=，，且，（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|．（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤【考点】复合变换与二阶矩阵的乘法；简单曲线的极坐标方程；绝对值不等式的解法．【专题】压轴题；选作题．【分析】选作题1：（Ⅰ）由矩阵MN的表达式，把他们相乘使左边等于右边既可求解实数a，b，c，d的值．（Ⅱ）矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线，可选直线y=3x上的两点做矩阵M所对应的线性变换下的像，即可确定原直线的像．选做题2：（Ⅰ）由极坐标转化为直线坐标方程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t的几何意义求解．选做题3：（Ⅰ）首先把函数的参数表达式≤3，解不等式求出a的值．（Ⅱ）由上题解得的当a=2时，f（x）=|x﹣2|，可设函数g（x）=f（x）+f（x+5），求出g（x）的函数表达式使其≥m对一切实数x恒成立．求解M的范围．【解答】（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），由，，得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x．（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x2+y2﹣2y=0，即=5．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得=5，即t2﹣3t+4=0，由于﹣4×4=2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，又直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以，解得a=2．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，设g（x）=f（x）+f（x+5），于是g（x）=|x﹣2|+|x+3|=，所以，当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．实数m的取值范围是m≤5．【点评】选作题1主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．计算量小属于较容易的题．选作题2主要考查坐标系与参数方程的关系，考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．选修3：本小题涉及不等式，主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．。

2010年福建理一、选择题（共10小题；共50分）1. 计算sin43∘cos13∘−cos43∘sin13∘的结果等于 A. 12B. 33C. 22D. 322. 以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 A. x2+y2+2x=0B. x2+y2+x=0C. x2+y2−x=0D. x2+y2−2x=03. 设等差数列a n前n项和为S n．若a1=−11，a4+a6=−6，则当S n取最小值时，n等于 A. 6B. 7C. 8D. 94. 函数f x=x2+2x−3,x≤0,−2+ln x,x>0,的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 35. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A. 2B. 3C. 4D. 56. 如图，若Ω是长方体ABCD−A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是 A. EH∥FGB. 四边形EFGH是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台7. 若点O和点F−2,0分别为双曲线x2a2−y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP⋅FP的取值范围为 A. 3−23,+∞B. 3+23,+∞C. −74,+∞ D. 74,+∞8. 设不等式组x≥1,x−2y+3≥0,y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x−4y−9=0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，∣AB∣的最小值等于 A. 285B. 4 C. 125D. 29. 对于复数a，b，c，d，若集合S=a,b,c,d具有性质"对任意x,y∈S，必有xy∈S "，则当a=1b2=1c2=b时，b+c+d等于 A. 1B. −1C. 0D. i10. 对于具有相同定义域D的函数f x和g x，若存在函数 x=kx+b（k,b为常数），对任给的正数m，存在相应的x0∈D，使得当x∈D且x>x0时，总有0<f x− x<m,0< x−g x<m,则称直线l:y=kx+b为曲线y=f x与y=g x的 " 分渐近线 "．给出定义域均为D=x∣x>1的四组函数如下：①f x=x2，g x=x；②f x=10−x+2，g x=2x−3x；③f x=x2+1x ，g x=x ln x+1ln x；④f x=2x2x+1，g x=2x−1−e−x．其中，曲线y=f x与y=g x存在 " 分渐近线 " 的是 A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④二、填空题（共5小题；共25分）11. 在等比数列a n中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式为a n=．12. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于．13. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．ω>0和g x=2cos2x+φ+1的图象的对称轴完全相同．若14. 已知函数f x=3sin ωx−π6，则f x的取值范围是．x∈0,π215. 已知定义域为0,+∞的函数f x满足，1对任意x∈0,+∞，恒有f2x=2f x成立；2当x∈1,2时，f x=2−x，给出结论如下：①对任意m∈Z，有f2m=0；②函数f x的值域为0,+∞；③存在n∈Z，使得f2n+1=9；④"函数f x在区间a,b上单调递减"的充要条件是"存在k∈Z，使得a,b⊆2k,2k+1 "．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共8小题；共104分）16. 设S是不等式x2−x−6≤0的解集，整数m,n∈S．（1）记使得“m+n=0成立的有序数组m,n”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．17. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A2,3，且点F2,0为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4 ?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．18. 如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC−A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC−A1B1C1内的概率为p．（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ0∘<θ≤90∘，当p取最大值时，求cosθ的值．19. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30∘且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．20. （1）已知函数f x=x3−x，其图象记为曲线C．（i）求函数f x的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1 x1,f x1处的切线交于另一点P2 x2,f x2，曲线C与其在点P2 x2,f x2处的切线交于另一点P3 x3,f x3，线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则S1S2为定值；（2）对于一般的三次函数g x=ax3+bx2+cx+d a≠0，请给出类似于（1）（ii）的正确命题，并予以证明．21. 已知矩阵M=1ab1，N=c20d，且MN=20−20．（1）求实数a，b，c，d的值；（2）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3−22t,y=5−22t,（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为3,，求∣PA∣+∣PB∣．23. 已知函数f x=∣x−a∣．（1）若不等式f x≤3的解集为x∣−1≤x≤5，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f x+f x+5≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．答案第一部分1. A2. D3. A 【解析】设等差数列a n的公差为d，则a1=−11,a4+a6=2a5=−6,进而a5=−3,d=2.因此a6=−1<0，a7=1>0，当n=6时，S n取最小值．4. C 【解析】当x≤0时，令x2+2x−3=0，解得x=−3；当x>0时，令−2+ln x=0，解得x=e2．故函数f x有两个零点．5. C【解析】当i=1时，a=1×2=2，s=0+2=2；当i=2时，a=2×22=8，s=2+8=10；当i=3时，a=3×23=24，s=10+24=34，i=3+1=4，结束循环，故输出的i=4．6. D7. B 【解析】由22=a2+1，解得a=3．设P x,y，且x≥，则OP⋅FP=x+2x+y2=x2+2x+x23−1=43x+342−74,于是当x=3时，OP⋅FP有最小值3+23．8. B 【解析】可行域是以D1,1、E1,2、C3,3为端点的三角形区域．要求∣AB∣的最小值，可转化为求D、E、F三点到直线3x−4y−9=0距离最小值的2倍．经分析，D1,1到直线3x−4y−9=0的距离d=∣3×1−4×1−9∣5=2最小，故∣AB∣的最小值是4．9. B 【解析】S=a,b,c,d且a=1,b2=1,c2=b,所以a=1,b=−1,c=±i.又因为任意x,y∈S，必有xy∈S，当c=i时，d=−i；当c=−i时，d=i．所以b+c+d=−1．10. C【解析】根据题意，可以知道lim x→+∞f xx=limx→+∞g xx=k,以及在此基础上lim x→+∞f x−kx=limx→+∞g x−kx=b是f x与g x存在“分渐近线”的必要条件．由第一个条件可以排除①；由第二个条件可以排除③．事实上，可以计算出对于②，“分渐近线”的方程为y=2，如图：对于④，“分渐近线”的方程为y=2x−2，如图：第二部分11. 4n−1【解析】由题意得S3=a11−431−4=21，所以a1=1，a n=1×4n−1=4n−1．12. 6+23【解析】提示：由三视图知，该三棱柱底面边长为2，高为1．13. 0.12814. −32,3【解析】由两个三角函数图象的对称轴完全相同知其周期相同，即ω=2，又因为x∈0,π2，所以2x−π6∈ −π6,5π6，当2x−π6=−π6时，f x min=−32；当2x−π6=π2时，f x max=3．15. ①②④【解析】由题意得f2m=2f2m−1=2m−1f2=2m−12−2=0，所以①正确；对∀x∈0,+∞，f x=2a f b,b∈1,2，由题意得f x∈0,+∞，所以②正确；因为f2n+1=2n f2n+12n =2n2−2n+12n=2n−1=9无解，所以③不正确；因为f2m t=2m f t,t∈a,b，所以函数f x在a,b内单调性与其在2m a,2m b的单调性一致，所以④正确．第三部分16. （1）由x2−x−6≤0得−2≤x≤3，即S=x∣−2≤x≤3，由于整数m,n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件为−2,2,2,−2,−1,1,1,−1,0,0.（2）由于m的所有不同取值为−2,−1,0,1,2,3，所以ξ=m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有Pξ=0=16,Pξ=1=26=13,Pξ=4=26=13,Pξ=9=16,故ξ的分布列为ξ0149P 16131316所以Eξ=0×1+1×1+4×1+9×1=19.17. （1）依题意，可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，且可知左焦点为Fʹ−2,0，从而有c=2,2a=∣AF∣+∣AFʹ∣=3+5=8,解得c=2,a=4,又a2=b2+c2，所以b2=12,故椭圆C的方程为x 216+y212=1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=32x+t，由y=3x+t,x2 16+y212=1,得3x2+3tx+t2−12=0,因为直线l与椭圆有公共点，所以有Δ=3t2−4×3t2−12≥0,解得−43≤t≤43,另一方面，由直线OA与l的距离等于4可得∣t∣4+1=4,解得t=±213,由于±213∉ −43,43,所以符合题意的直线l不存在．18. （1）因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC．因为AB是圆O直径，C在圆O上，所以BC⊥AC．又AC∩AA1=A，所以BC⊥平面A1ACC1．而BC⊂平面B1BCC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1．（2）（i）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V1=12AC⋅BC⋅2r=AC⋅BC⋅r,又因为AC2+BC2=AB2=4r2,所以AC⋅BC≤AC2+BC2=2r2,当且仅当AC=BC=2r时等号成立，从而V1≤2r3.而圆柱的体积V=πr2⋅2r=2πr3,则有p=V1≤2r33=1,因此，当且仅当AC=BC=2r，即OC⊥AB时，p的最大值是1π．（ii）由（i）可知，p取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O−xyz（如图），则C r,0,0,B0,r,0,B10,r,2r,因为BC⊥平面A1ACC1，所以BC=r,−r,0是平面A1ACC1的一个法向量．设平面B 1OC 的法向量为n = x ,y ,z ，由n ⊥OC ,n ⊥OB 1 ,得rx =0,ry +2rz =0,取z =1得平面B 1OC 的一个法向量为n = 0,−2,1 .因为0∘<θ≤90∘，所以cos θ=∣∣cos n ,BC ∣∣=∣∣∣∣n ⋅BC ∣n ∣⋅∣∣BC ∣∣∣∣∣∣=∣∣2r 5× 2r ∣∣= 105.19. （1）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S= 900t 2+400−2×30t ×20×cos 90∘−30∘ = 900t 2−600t +400= 900 t −12+300.故当t =13时，S min =10 3,此时v =10 313=30 3.即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． （2）设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2=400+900t 2−2×20×30t ×cos 90∘−30∘ ,故v 2=900−600+4002, 因为0<v ≤30，所以900−600t +400t2≤900, 整理得2−3≤0, 解得t ≥2又t =23时，v =30.故v =30时，t 取得最小值，且最小值为23．此时，在△OAB 中，有OA =OB =AB =20,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30∘，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 20. （1）（i ）由f x =x 3−x 得fʹ x =3x 2−1=3 x −3 x + 3. 当x ∈ −∞,− 33 和 33,+∞ 时，fʹ x >0；当x ∈ −33, 33时，fʹ x <0．因此，f x 的单调递增区间为 −∞,− 33 和 33,+∞ ，单调递减区间为 − 33, 33． （ii ）曲线C 在点P 1处的切线方程为y = 3x 12−1 x −x 1 +x 13−x 1,即y = 3x 12−1 x −2x 13. 由y = 3x 12−1 x −2x 13,y =x 3−x ,得x 3−x = 3x 12−1 x −2x 13,即x −x 1 2 x +2x 1 =0,解得x =x 1 或 x =−2x 1,故x 2=−2x 1．进而有S 1=∣∣∣∣ x 3−3x 12x +2x 13 −2x 1x 1d x ∣∣∣∣=∣∣∣ 14x 4−32x 12x 2+2x 13x ∣x 1−2x 1∣∣∣=274x 14.用x 2代替x 1，重复上述计算过程，可得x 3=−2x 2 和 S 2=274x 24.又x 2=−2x 1≠0，所以S 12=1, 为定值．（2）记函数g x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的图象为曲线Cʹ，类似于（1）（ii ）的正确命题为：若对于任意不等于0的实数x 1，曲线Cʹ与其在点P 1 x 1,g x 1 处的切线交于另一点P 2 x 2,g x 2 ，曲线Cʹ与其在点P 2 x 2,g x 2 处的切线交于另一点P 3 x 3,g x 3 ，线段P 1P 2，P 2P 3与曲线Cʹ所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则S1S 2为定值．证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y =g x 的对称中心 −b 3a,g −b 3a平移至坐标原点，因而不妨设g x =ax 3+ x ，且x 1≠0． 类似（1）（ii ）的计算可得S1=27ax14,S2=27×16ax14≠0.故S1S2=116，为定值．21. （1）由题设得c+0=2,2+ad=0,bc+0=−2,2b+d=0,解得a=−1,b=−1,c=2,d=2.（2）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两点0,0，1,3，由1−1−110=0,1−1−1113=2,得点0,0，1,3在矩阵M所对应的线性变换下的像是0,0，−2,2，从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=−x．22. （1）由ρ=25sinθ,得x2+y2−25y=0,即x2+ y−52=5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3−2t2+2t2=5,即t2−32t+4=0,由于Δ=322−4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=32,t1⋅t2=4.又直线l过点P 3,5,故由上式及t的几何意义得∣PA∣+∣PB∣=∣t1∣+∣t2∣=t1+t2=3 2.23. （1）由f x≤3得∣x−a∣≤3，解得a−3≤x≤a+3，又已知不等式f x≤3的解集为x∣−1≤x≤5，所以a−3=−1,a+3=5,解得a=2．（2）当a=2时，f x=∣x−2∣，设g x=f x+f x+5,于是g x=∣x−2∣+∣x+3∣=−2x−1,x<−3, 5,−3≤x≤2, 2x+1,x>2.所以，当x<−3时，g x>5；当−3≤x≤2时，g x=5；当x>2时，g x>5．综上可得，g x的最小值为5．从而若f x+f x+5≥m，即g x≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为−∞,5．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）一、选择题： 1、【答案】A【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。

βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。

【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==-2、【答案】D【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。

px y 22=的焦点为)0,2(pF ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。

【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。

3、【答案】A【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。

d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。

【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n .4、【答案】C【命题意图】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。

【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x ex x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。

5、【答案】C 【命题意图】本题考查学生对程序框图的理解。

选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。

【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C 6、【答案】D【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。

灵活，全面地考查了xye 2-4 -3考生对知识的理解。

【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(新课标卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题．其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差s其中x 为样本平均数 柱体体积公式V ＝Sh其中S 为底面面积，h 为高 锥体体积公式V ＝13Sh 其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式 S ＝4πR 2，V ＝43πR 2 其中R 为球的半径第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2} D ．{0,1,2} 答案：D ∵A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B ＝{0,1,2}． 2．已知复数z，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( ) A.14 B.12C ．1D ．2 答案：A z·z ＝|z|2而|z|＝221＝24＝12，∴|z|2＝14，∴z·z ＝14. 3．曲线y ＝2x +x在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 答案：A ∵y ′＝22(2)x x x ++－＝22(2)x +，∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为2)21(22=+-.∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.4．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )答案：C 法一：P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C 项． 法二：(排除法)当t ＝0时，P )到x ，排除A 、D 两项，当t ＝π4时， P (2,0)到x 轴的距离为0，排除B.故选C 项． 5．已知命题：p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4 答案：C 对于p 1：y ′＝2x ln2－(12)x ln 12＝ln2(2x ＋2－x )，∴y ′＞0，∴函数为增函数， ∴p 1为真．对于p 2：y ′＝2x ln2＋(12)x ln 12＝ln2[2x －(12x ]，y ′＜0不一定成立，∴p 2为假，∴q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真．6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案：BE (X )＝1 000×0.9×0＋1 000×0.1×2＝200.7．如果执行下面的框图，输入N ＝5，则输出的数等于 ()A.54 B.45 C.65 D.56答案：D 由框图可知，输出的S 为 S ＝112⨯＋123⨯＋134⨯＋145⨯＋156⨯＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.8．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝( )A ．{x |x ＜－2或x ＞4}B ．{x |x ＜0或x ＞4}C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2 答案：B ∵f (x )为偶函数，∴f (x －2)＝f (|x －2|)，∴f (x －2)＞0等价于f (|x －2|)＞0＝f (2)，又∵f (x )＝x 3－8(x ≥0)为增函数， ∴|x －2|＞2.解得x ＞4或x ＜0.9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+－＝( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2答案：A ∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35.∵sin211tancos 221tansin 221cos2αααααα++=－－＝2cossin(cossin )2222cos sin(cos sin )(cos sin )222222αααααααααα++=+－－＝2231()1sin 1sin 54cos cos sin 225ααααα+++==－－－＝－12. 10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2 答案：B 如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有r ＝DBS 表＝4πr 2＝4π×2712a ＝73πa 2. 11．已知函数f (x )＝|lg |,010,16,10.2x x x x <≤⎧⎪⎨+>⎪⎩－若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案：C 由图知a ，b ，c 有两个在(0,10]上，假设a ，b ∈(0,10]，并有一个大于1一个小于1，不妨设a ＜1，b ＞1，则f (a )＝|lg a |＝－lg a ＝lg1a，f (b )＝|lg b |＝lg b ，∴1a＝b .∴a ·b ·c ＝c ，由图知c ∈(10,12)．12已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.23x －26y ＝1B.24x －25y ＝1C.26x －23y ＝1D.25x －24y ＝1答案：B 由c ＝3，设双曲线方程为22x a －229y a －＝1，k AB ＝k NF ＝015312++＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则212x a －2129y a －＝1， ①222x a －2229y a－＝1， ② ①－②，得12122()()x x x x a +－－12122()()9y y y y a +－－＝0.又N (－12，－15)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30. ∴122()x x a －24－＝122()9y y a －30－－.∴1212y y x x －－＝22(9)5a a 4－＝1. ∴a 2＝4.∴双曲线方程为24x －25y ＝1. 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分1⎰f(x)d x.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1⎰f(x)d x 的近似值为__________．答案：1N N解析：由题意可知01,01,x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩它所围成的区域面积为S ＝1，结合积分的几何意义和几何模型可知，1()f x dx S⎰＝1N N ，即10⎰f(x)d x ＝1NN.14．正视图为一个三角形的几何体可以是__________．(写出三种)答案：三棱锥、圆锥、四棱锥(答案不唯一)15．过点A(4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为__________．答案： (x －3)2＋y 2＝2解析：法一：设圆C 方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2， 圆心(a ，b)到直线x －y －1＝0的距离 d＝r ， ①又圆C 过点A(4,1)，B(2,1)，∴(4－a)2＋(1－b)2＝r 2， ② (2－a)2＋(1－b)2＝r 2， ③由①②③，得a ＝3，b ＝0，r，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二：∵圆过A 、B 两点，∴圆心C 在线段AB 的中垂线上．而k AB ＝1142－－＝0 AB 中点M(3,1)，∴AB 中垂线方程为x ＝3.又∵圆C 与直线x －y －1＝0，相切于点B(2,1)，所以圆心在过点B 且与x －y －1＝0垂直的直线x ＋y －3＝0上．由330x x y =⎧⎨+=⎩－得圆心C(3,0)，∴r ＝|CA|∴圆的方程为：(x －3)2＋y 2＝2.16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3，则∠BAC ＝__________. 答案：60°解析：S △ADC ＝12×2×DC×2＝3解得DC ＝1)，∴BD －1，BC ＝1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋1)2－2×2×1)×cos 120°＝6，∴AB .在△ACD 中，AC 2＝4＋－1)]2－2×2×1)×cos 60°＝24－∴AC 1)，则cos ∠BAC ＝222AB +AC BC 2AB AC ⋅－12，∴∠BAC ＝60°.三、解答题：共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析： (1)由已知，当n≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1. 而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n －1. ① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n ＋1. ②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n·22n ＋1， 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]． 18．（12分）如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．解析：以H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1) 证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m ＜0，n ＞0)，则D(0，m,0)，E(12，2m，0)．可得PE ＝(12，m2，－n)，BC ＝(m ，－1,0)．因为PE ·BC＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC. (2) 解：由已知条件可得m＝－3，n ＝1，故C(－3，0,0)，D(0，－3，0)， E(12，－6，0)，P(0,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则10,0,20,0.HE x y HP z ⎧⎧⋅==⎪⎪⎨⎨⋅=⎪⎪⎩=⎩n n 即 因此可以取n ＝(10)．由PA ＝(1,0，－1)，可得|cos 〈PA ，n 〉|，所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为4. 19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝2n(ad bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)－解析： (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%. (2)K 2＝2500(4027030160)20030070430⨯⨯⨯⨯⨯⨯－≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）设F 1，F 2分别是椭圆E ：22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E 的方程．解析：得|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 两点坐标满足方程组2222,1.y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝2222a c a b +－，x 1x 2＝22222()a c b a b+－. 因为直线AB 斜率为1，所以|AB |x 2－x 1|＝得43a ＝2224ab a b +，故a 2＝2b 2. 所以E 的离心率e ＝ca＝2a =. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝122x x +＝22223a c a b =+－－c ，y 0＝x 0＋c ＝3c. 由|P A |＝|PB |得k PN ＝－1. 即001y x +＝－1， 得c ＝3，从而a ＝，b ＝3.故椭圆E 的方程为22189x y +＝1. 21．（12分）(理)设函数f(x)＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围． 解析： (1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，0)上单调减少，在(0，＋∞)上单调增加． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ， 从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0， 于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x ＞1＋x (x ≠0)可得e －x ＞1－x (x ≠0)．从而当a ＞12时，f ′(x )＜e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0.综合得a 的取值范围为(－∞，12]． 方法二，分离参数法：当0≥x 时，0)(≥x f ，由012≥---ax x e x，即x e ax x--≤12，（1）当0=x 时，R a ∈,（2）当0≠x 时，21x x e a x --≤，令21)(x xe x g x --=，则322)(xx e xe x g x x ++-=' 令22)(++-=x e xe x h xx，则,1)(+-='xxe xe x h 令,1)(+-=xxe xe x m 则0)(>='x xe x m ，∴)(x m 为增函数，则0)0()(=>m x m ，∴0)(>'x h ，∴)(x h 为增函数，则0)0()(=>h x h ，∴0)(>'x g ，)(x g 为增函数，则)0()(g x g >，∴)0(g a ≤ 可是)0(g 不存在，只能求极限，由洛比达法则得，212lim )2()1(lim )()1(lim )(lim 00200==''-=''--=++++→→→→x x x x x x x e x e x x e x g ，故21≤a 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE×CD. 解析： (1)因为，所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ， 故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以 △BDC ∽△ECB ， 故BC CDBE BC=，即BC 2＝BE ×CD .23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)． (1)当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析： (1)当α＝3π时，C 1的普通方程为y(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221),1,y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩－解得C 1与C 2的交点为)0,1(，(12，－2)． (2)C 1的普通方程为0sin cos sin =--αααy xA 点坐标为)sin cos ,(sin 2ααα- 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)． P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆． 24．（10分）选修4－5：不等式选讲设函数1|42|)(+-=x x f(1)画出函数)(x f y =的图像；(2)若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围．解析：(1)由于⎩⎨⎧≥-<+-=2322,52)(x x x x x f 则函数)(x f y =的图像如图所示．(2)由函数)(x f y =与函数ax y =的图像可知，当且仅当21≥a 或2-<a 时，函数)(x f y =与函数ax y =的图像有交点．故不等式ax x f ≤)(的解集非空时，a 的取值范围为),21[)2,(+∞⋃--∞。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试相对原子质量：H1 C12 N14 O16 S32 Fe56 Zn65 Ba137第I 卷（选择题 共108分）本卷共18小题，每小题6份，共108分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选择符合题目要求。

6.下列关于有机物的正确说法是A ．聚乙烯可发生加成反应B 。

石油干馏可得到汽油、，煤油等。

C ．淀粉、蛋白质完全水解的产物互为同分异构体D 。

乙酸乙酯、油脂与NaOH 溶液反应均有醇生成。

7. A N 表示阿伏伽德罗常数，下列判断正确的是A ．在18182g O 中含有A N 个氧原子B ．标准状况下，22.4L 空气含有A N 个单质分子C ．1 mol 参加反应转移电子数一定为2A ND ．含A N 个N a +的2N a O 溶解于1L 水中，N a +的物质的量浓度为1m o l L - 8. 下列有关化学研究的正确说法是A ．同时改变两个变量来研究反映速率的变化，能更快得出有关规律B ．对于同一个化学反应，无论是一步完成还是分几步完成，其反应的焓变相同C ．依据丁大尔现象可将分散系分为溶液、胶体与浊液D ．从HF 、HCl 、r H B 、HI 酸性递增的事实，推出F 、Cl 、Br 、I 的非金属递增的规律9.下表各组物质中，满足下图物质一步转化关系的选项是10.下列关于电解质溶液的正确判断是A. 在pH = 12的溶液中，K +、C L -、3H C O -、N a +可以常量共存 B. 在pH ＝ 0的溶液中，N a +、3N O -、23S O -、K +可以常量共存C. 由0.1 mol ·1L -一元碱BOH 溶液的pH ＝10,可推知BOH 溶液存在BOH ＝B O H +-+ D. 由0.1 mol ·1L -一元碱HA 溶液的pH ＝3, 可推知NaA 溶液存在2AH O H A O H--++11.铅蓄电池的工作原理为：22442222P b P b O H S O P b S O H O ++=+研读 右图，下列判断不正确的是A. K 闭合时，d 电极反应式：24224224P b S O H O eP b O HS O -+-+-=++B. 当电路中转移0.2mol 电子时，I 中消耗的24H S O 为0.2 molC. K 闭合时，II 中24S O -向c 电极迁移D. K 闭合一段时间后，II 可单独作为原电池，d 电极为正极12.化合物Bilirubin 在一定波长的光照射下发生分解反应，反应物尝试随反应时间变化如右图所示，计算反应4~8 min 间的平均反应速率和推测反应16 min 反应物的浓度，结果应是A. 2.511m in m o l L μ-- 和2.01m o l L μ- B. 2.511m in m o l L μ-- 和2.51m o l L μ- C. 3.011m in m o l L μ-- 和3.01m o l L μ- D. 5.011m in m o l L μ-- 和3.01m o l L μ-J 、L 、M 、R 、T 是原子序数依次增大的短周期主族元素，J 、R 在周期表中的相对位置如右表；J元素最低负化合价的绝对值与其原子最外层电子数相等；M是地壳中含量最多的金属元素。

2010年高考福建理科数学试题及答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．计算sin 43°cos 13°-cos 43°sin 13°的结果等于A ．12B 3C ．2 D 32．以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A ．2220x y x ++=B ．220x y x ++=C ．220x y x +-=D ．2220x y x +-=3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a -=-，则当n S 取最小值时，n 等于A ．6B ．7C ．8D ．94．函数2230()2ln 0x x x f x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，，，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，若Ω是长方体1111ABCD A B C D -被平面EFGH 截去几何体 11EFGHB C 后得到的几何体，其中E 为线段11A B 上异于1B 的点， F 为线段1BB 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不 正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台7．若点O 和点(20)F -，分别为双曲线2221x y a-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP uuu r uu u rg 的取值范围为A ．[3- +∞） B ．[3+ +∞） C ．[74-， +∞） D ．[74， +∞）8．设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科综合能力测试二、选择题(本题包括8小题。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对的得6分，选错的得0分)13. (2010福建理综·13)中国已投产运行的1000kV 特高压输电是目前世界上电压最高的输电工程。

假设甲、乙两地原采用500kV 的超高压输电，输电线上损耗的电功率为P 。

在保持输送电功率和输电线电阻都不变的条件下，现改用1000kV 特高压输电，若不考虑其他因素的影响，则输电线上损耗的电功率将变为 A ．4P B ．2PC ．2PD ．4P 【答案】A【解析】由P =U I 可知输出电压由500kV 升高到1000kV 时，电路中的电流将减为原来的一半；由P 额= I 2R 线可知电路中损耗的功率变为原来的14，选项A 正确。

14. (2010福建理综·14)火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。

假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期T 1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T 2，火星质量与地球质量之比为p ，火星半径与地球半径之比为q ，则T 1与T 2之比为A ．3pq B ．31pq C ．3p qD ．3q p 【答案】D【解析】探测器绕火星表面飞行时，万有引力提供向心力，则有：2111122114M m G m R R T π=→T 1 =2π311R GM 飞船绕地球表面飞行时，万有引力提供向心力，则有：2222222224M m G m R R T π=→T 2=2π322R GM 则有：3112221()T R M T R M =⋅=3q p ，选项D 正确。

15. (2010福建理综·15)一列简谐横波在t =0时刻的波形如图中的实线所示，t =0.02s 时刻的波形如图中虚线所示。

若该波的周期T 大于0.02s ，则该波的传播速度可能是A ．2m/sB ．3m/sC ．4m/sD ．5m/s【答案】B【解析】解法一：质点振动法⑴若向右传播，在0时刻x =4m 处的质点往上振动，设经历Δt 时间时质点运动到波峰的位置，有：Δt =(14+n )T → T =40.084141t n n ∆=++ 当n =0时，T =0.08s ＞0.02s ，符合要求，此时υ =0.080.08Tλ=m/s = 1m/s 当n =1时，T =0.016s ＜0.02s ，不符合要求。