2018年秋高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项与递推公式学案新人教A版必修

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2.1 数列的概念与简单表示法 第2课时 数列的通项与递推公式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4等于( )A.45B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 【解析】 由a 2－a 1＝3－1＝2，a 3－a 2＝6－3＝3，a 4－a 3＝10－6＝4， a 5－a 4＝15－10＝5，归纳猜想得a n －a n －1＝n (n ≥2)， 所以a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2. 【答案】 B3．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163B.133C ．4D ．0【解析】 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋2 B ．a n ＝3n －2 C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1【解析】 因为a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0， 所以a n －a n －1＝3，a n －1－a n －2＝3， a n －2－a n －3＝3，…a 2－a 1＝3，以上各式相加，则有a n －a 1＝(n －1)×3， 所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1. 【答案】 C5．已知在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 由题意知：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3， a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6， a 9＝a 8－a 7＝3，a 10＝a 9－a 8＝－3，…故知{a n }是周期为6的数列， ∴a 2 016＝a 6＝－3. 【答案】 B 二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 016－a 2 015＝______________. 【解析】 由已知a 2 016－a 2 015－2 015＝0， ∴a 2 016－a 2 015＝2 015. 【答案】 2 0157．数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3，且a 1＝0，则此数列的第5项是________. 【解析】 因为a n ＝4a n －1＋3，所以a 2＝4×0＋3＝3，a 3＝4×3＋3＝15，a 4＝4×15＋3＝63，a 5＝4×63＋3＝255.【答案】 2558．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.【解析】 由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列， ∴a 1＝a 7＝12.【答案】 12三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n a n ＋3(n ∈N *)，求通项a n . 【解】 将a n ＋1＝3a na n ＋3两边同时取倒数得： 1a n ＋1＝a n ＋33a n， 则1a n ＋1＝1a n ＋13， 即1a n ＋1－1a n ＝13， ∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1＝n －13. ∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2(n ∈N *)． 10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，试求数列{a n }的最大项. 【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.[能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．6或7D ．5或6【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78nn ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，所以n ＝5或6.【答案】 D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n∈N *，则a 2 014＋a 2 015等于( )A ．4 B.32 C.76D.116【解析】 a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝73－1＝43；a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43－1＝13；a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋12＝56；a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝2×56－1＝23；a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23－1＝13；…∴从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列， ∴a 2 014＋a 2 015＝a 4＋a 5＝32.故选B.【答案】 B3．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数时，a n2，n 为偶数时(n ∈N *)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．【解析】 由题意可知，a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．【答案】 6404．已知数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1nn －(n ≥2)，求数列的通项公式．【解】 法一：由a n －a n －1＝1n n －＝1n －1－1n(n ≥2)， 则a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1， …a 3－a 2＝12－13， a 2－a 1＝1－12.将上式相加得a n －a 1＝1－1n(n ≥2)，又a 1＝1，∴a n ＝2－1n ，a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n(n ∈N *)． 法二：由已知得a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， 则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n －1－1n ＋1n －2－1n －1＋1n －3－1n －2＋…＋1－12＋1＝2－1n(n ≥2)， a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n(n ∈N *)．。

2.1 数列的概念与简单表示法（一）[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．知识点一数列的概念1．数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}．3．数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性．思考1 数列的项和它的项数是否相同？答案数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.思考2 数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？答案数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．知识点二数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：①有穷数列——项数有限的数列．②无穷数列——项数无限的数列．(2)根据数列的每一项随序号变化的情况分类：①递增数列——从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；②递减数列——从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；③常数列——各项相等的数列；④摆动数列——从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．(3)根据其他原则，还可将数列分为有(无)数列、周期数列等．思考判断正误(1)数列1，2，3，4，…，2n是无穷数列( )(2)由所有的自然数构成的数列均为递增数列( ) 答案 (1)× (2)×解析 (1)中的数列是有穷数列，共有2n 个数．(2)中“由自然数构成的数列”是否递增，取决于这些自然数排列的顺序，未必全是递增的，如2，1，3，4，5……并不是递增数列． 知识点三 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．思考1 数列的通项公式有什么作用？答案 (1)可以求得这个数列的任一项，即可以根据通项公式写出数列；(2)可以确定这个数列是有穷数列还是无穷数列，还可以知道这个数列是递增(减)数列、摆动数列，还是常数列；(3)可以判断一个数是不是数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式a n ＝－58＋16n －n 2，则( ) A ．{a n }是递增数列 B ．{a n }是递减数列 C ．{a n }先增后减，有最大值 D ．{a n }先减后增，有最小值 答案 C解析 易于看出a n 是关于n 的二次函数，对称轴为n ＝8，故{a n }先增后减，有最大值．题型一 数列的概念与分类例1 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(94，3)B ．[94，3) C ．(1，3) D ．(2，3)答案 (1)C (2)D解析 (1)中，A 是递减数列，B 是摆动数列，D 是有穷数列，故选C. (2)中，结合函数的单调性，要证{a n }递增，则应有 ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 7＝（3－a ）×7－3<a 8＝a 8－6， 解得2<a <3，选D.反思与感悟 (1)有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．(2)数列的单调性：若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．跟踪训练1 已知下列数列： (1)2 000，2 004，2 008，2 012； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；(5)1，0，－1，…，sin n π2，…；(6)3，3，3，3，3，3.其中有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是______，摆动数列是________．(将正确答案的序号填在横线上) 答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6) (4)(5)题型二 观察法写数列的一个通项公式例2 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)－1，2，－3，4，…； (4)2，22，222，2 222，….解 (1)分子均为偶数，分母分别为1×3，3×5，5×7，7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2，∴a n ＝n 22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n·n . (4)由9，99，999，9 999，…的通项公式可知，所求通项公式为a n ＝29(10n－1)．反思与感悟 (1)用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：①先统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式． ③对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k或(－1)k ＋1处理符号．④对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决． (2)熟记一些基本数列的通项公式，如：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n. ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n . ③数列1，3，5，7，…的通项公式是a n ＝2n －1. ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n . ⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1.⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2.跟踪训练2 已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式． (1)1，3，7，15，31，…； (2)4，44，444，4 444，…；(3)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(4)2，－45，12，－411，27，－417，…；(5)1，2，1，2，1，2，…. 解 答案不唯一．(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为a n ＝2n－1.(2)各项乘94，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为a n ＝49(10n －1)．(3)所给数列有这样几个特点： ①符号正、负相间； ②整数部分构成奇数列；③分母为从2开始的自然数的平方； ④分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可． 由所给的几项可得数列的通项公式为：a n ＝(－1)n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n －1）＋n（n ＋1）2， 所以a n ＝(－1)n2n 3＋3n 2＋n －1（n ＋1）2. (4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为42，－45，48，－411，…，再把各分母分别加上1，数列又变为43，－46，49，－412，…，所以a n ＝4×（－1）n ＋13n －1.(5)a n ＝32＋(－1)n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或者可写成分段函数形式：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ∈N *，2，n 为偶数，n ∈N *. 题型三 通项公式的应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋2）(n ∈N *)，则(1)计算a 3＋a 4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解 (1)∵a n ＝1n （n ＋2），∴a 3＝13×5＝115，a 4＝14×6＝124， ∴a 3＋a 4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n }中的项，则1n （n ＋2）＝1120，∴n (n ＋2)＝120， ∴n 2＋2n －120＝0， ∴n ＝10或n ＝－12(舍)， 即1120是数列{a n }的第10项．反思与感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练3 已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0?解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍)．∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项．(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.1．下列数列的关系是( )(1)1，4，9，16，25；(2)25，16，9，4，1；(3)9，4，1，16，25.A．都是同一个数列B．都不相同C．(1)，(2)是同一数列D．(2)，(3)是同一数列答案 B解析三个数列中的数字相同，但排列的顺序不同，故三个数列均不相同．2．下列数列中，是有穷数列的是( )(1)1，1，1，1，…；(2)6，5，4，3，…；(3)110，18，16，14，12；(4)2，－2，2，－2.A．(2)，(3) B．(2)，(3)，(4)C．(1)，(2)，(3)，(4) D．(3)，(4)答案 D解析(1)，(2)是无穷数列，(3)，(4)是有穷数列．3．数列{a n}满足a n＋1＝a n＋1，则数列{a n}是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝1>0，∴{a n }为递增数列．4．数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n·n 2＋n2n ＋1B ．a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C ．a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1D ．a n ＝(－1)n·n （n ＋2）2n ＋1答案 D解析 数列的奇数项为负，偶数项为正，分母是3，5，7，9，可表示为2n ＋1，分子可调整为1×3，2×4，3×5，4×6，…故通项a n ＝(－1)nn （n ＋2）2n ＋1.5．已知数列1，3，5，7，…，2n －1，…，则35是它的( ) A ．第28项 B ．第24项 C ．第23项 D ．第22项 答案 C解析 数列的通项公式为a n ＝2n －1. 令2n －1＝35，∴n ＝23.6．已知数列{a n }的前4项分别为2，0，2，0，…，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数答案 B解析 将n ＝1，2，3，4代入各选择项，验证得a n ＝2sinn π2不能作为通项公式．1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些“数”的排列次序也有关．2．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1，1.4，1.41，1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．。

2．1数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。

”，（一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。

（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。

有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

② 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。

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第2课时 数列的通项公式与递推公式[课时作业][A 组 基础巩固]1．数列{a n }的通项公式为a n ＝错误!则a 2a 3等于( ）A ．70B ．28C ．20D ．8答案：C2．数列1,3,6，10,15，…的递推公式是( )A.错误!B.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＝a n －1＋n n ≥2，n ∈N *C 。

错误!D 。

错误!解析:将数值代入选项验证即可．答案：B3．已知数列{a n }满足a 1＝2,a n ＝na n －1(n ≥2),则a 5等于（ ）A ．240B ．120C ．60D ．30解析：逐项代入可求．答案:A4．若数列{a n ｝中，a 1＝1,a n ＋1＝错误!，则数列{a n }的第4项是（) A 。

错误! B 。

错误!C.110D.125解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝错误!，∴a 2＝错误!＝错误!＝错误!,a 3＝错误!＝错误!＝错误!，a 4＝错误!＝错误!＝错误!,故选C.答案：C5．数列｛a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝2a n －1(n ∈N ＊)，则a 1 000＝( ）A．1 B．1 999C．1 000 D．－1解析：a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)，∴a1 000＝1。

高中数学第二章数列2-1数列的概念与简单表示法第二课时数列的通项公式与递推公式学案含解析新人教A版必修5[提出问题]某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位．问题1：写出前五排座位数．提示：20,22,24,26,28.问题2：第n排与第n＋1排座位数有何关系？提示：第n＋1排比第n排多2个座位．问题3：第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？提示：能．an＋1＝an＋2.[导入新知]如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．[化解疑难]1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项．2．有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)．[例1](n≤5，且n∈N*)．(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝.[解] (1)数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如下图①所示．(2)数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如下图②所示．[类题通法]通项公式法、列表法与图象法表示数列的优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算．公式法是常用的数学方法．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．[活学活用]一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．解：将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：。

2.1 数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与简单表示法(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？(2)数列的项与项数一样吗？(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？[新知初探]1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{a n}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，….2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,1,1，…是无穷数列( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列( ) (3)有些数列没有通项公式( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项解析：选C ∵a n ＝n －2n 2，令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 3．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8解析：选C 由a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.4．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x ＝________.解析：通过观察数列各项的大小关系，发现从第三项起，每项的值都等于前两项值之和，因此x ＝5＋8＝13.答案：13数列的概念及分类[典例] A ．1，13，132，133，…B ．sinπ13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，… C ．－1，－12，－13，－14，…D ．1,2,3,4，…，30[解析] 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sinπ13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列．[答案] C1．有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．2．数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足a n <a n ＋1，则是递增数列；若满足a n >a n ＋1，则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1，则是常数列；若a n 与a n ＋1的大小不确定时，则是摆动数列．给出以下数列： ①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000； ③8,8,8,8，…；④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③由数列的前几项求通项公式[典例] (1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….[解析] (1)数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.[答案] a n ＝n ＋23n ＋2(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴a n ＝1n ＋1n ＋3.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎨⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.由数列的前几项求通项公式的解题策略(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为nn ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1).判定数列中项的问题[典例] n 2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．已知数列{a n }的通项公式，判断某一个数是否是数列{a n }的项，即令通项公式等于该数，解关于n 的方程，若解得n 为正整数k ，则该数为数列{a n }的第k 项，若关于n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{a n }中的项．数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项解析：选B 把该数列的第一项1写成11，再将该数列分组，第一组一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此89应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第128项．层级一 学业水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋1n 是递增数列D ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1＋－1n n是摆动数列 解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列．3．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．32解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n －2n B ．a n ＝n －1n C ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 5．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.6．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7， ∴25是该数列的第7项． 答案：77．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 解析：a ＝a ＋b 2＋a －b2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2. 答案：a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2 8．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：99．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，________，512，13，…； (2)53，________，1715，2624，3735，…； (3)2,1，________，12，…；(4)32，94，________，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ________ 512 412于是应填612，而分子恰为10减序号，故应填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填108， 通项公式为a n ＝n ＋12＋1n ＋12－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，________，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为a n＝n ＋12n .10．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，∴a 2＝2a 1＋a ，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a1＋a 1＋2a 1＋a＝4a 1＋3a ，同理：a 4＝8a1＋7a，观察规律：a n ＝2n －1·a1＋2n －1－1a.层级二 应试能力达标1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( )A.nn ＋2B.nn ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝nn ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. 2．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 2＋n (n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n －12n －1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D A 项中a 1＝32，B 项中a 1＝14，C 项中a 1＝13，D 项中a 1＝1，因此首先排除A 、B 、C ，故选D.3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( ) A ．3n －1 B ．3n C ．3n ＋1D ．3(n ＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．数列1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…其通项公式为________． 解析：1＝12， 1＋2＋1＝4＝22， 1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …观察归纳出通项公式为a n ＝n 2. 答案：a n ＝n 26．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME ­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R)，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵a n ＝p n＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎨⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－255256，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<1－33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎨⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.第二课时 数列的通项公式与递推公式(1)什么叫数列的递推公式？(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？[新知初探] 数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项( )(2)有些数列可能不存在最大项( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法( ) (4)所有的数列都有递推公式( )解析：(1)正确．只需将项数n 代入即可求得任意项． (2)正确．对于无穷递增数列，是不存在最大项的． (3)正确．递推公式也是给出数列的一种重要方法．(4)错误．不是所有的数列都有递推公式．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．符合递推关系式a n ＝2a n －1的数列是( ) A ．1,2,3,4，… B ．1，2，2,22，… C.2，2，2，2，…D ．0，2，2,22，…解析：选B B 中从第二项起，后一项是前一项的2倍，符合递推公式a n ＝2a n －1. 3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5D ．19解析：选D 由a n ＋1＝a n ＋2－a n ，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1， 则a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12，a 5＝a 3＋a 4＝19.4．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n(n ≥2)，则a 16＝________.解析：a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列为3的周期数列，∴a 1＝a 16＝12.答案：12由递推公式求数列的项[典例] 数列a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项． [解] 由a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，得a n ＋2＝a 2n ＋1－－1na n，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－－11a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－－12a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－－13a 3＝332＋110＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109.由递推公式求数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式． (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [活学活用]已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 017＝________.解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 017＝672×3＋1，所以a 2 017＝a 1＝67.答案：67由递推公式求通项公式题点一：累加法求通项公式1．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N *，求数列的通项公式a n . 解：∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋1，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1n －1n；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n(n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，∴a n ＝－1n.题点二：累乘法求通项公式2．设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .解：∵a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ，a n ＝a na n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n. 又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a na n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．数列的最大、最小项问题[典例] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．[解] 法一：a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝9－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)即⎩⎪⎨⎪⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，(n >1)解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119. (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n }这一条件．(2)可以利用不等式组⎩⎨⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，(n >1)找到数列的最小项．[活学活用]定义：F (x ，y )＝y x (x >0，y >0)，已知数列{a n }满足：a n ＝F n ，2F 2，n(n ∈N *)，若对任意正整数n ，都有a n ≥a k (k ∈N *)成立，则a k 的值为( )A.12 B ．2 C.89D.98解析：选C 由题得a n ＝F n ，2F 2，n ＝2nn2且a k ＝(a n )min ，由指数函数y ＝2x 与二次函数y ＝x 2图象的对比可得a n ＝2n n 2先减后增，故a n ＝2n n 2有最小值，而a 1＝2>a 2＝1>a 3＝89<a 4＝1，所以(a n )min ＝a 3＝89，则a k ＝89，故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34D.58解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.2．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．R B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]解析：选C ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．已知数列{a n }满足要求a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a 5等于( ) A ．15 B ．16 C ．31D ．32解析：选C ∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，a 5＝2×15＋1＝31.5．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝a b n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析：选C ∵b n ＝a b n －1，∴b 2＝a b 1＝a 2＝3，b 3＝a b 2＝a 3＝5，b 4＝a b 3＝a 5＝9，b 5＝a b 4＝a 9＝17，b 6＝a b 5＝a 17＝33.6．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n，得a n ＝________.解析：由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得n －1个等式，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n. 答案：23n7．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________． 解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 答案：－98．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.解析：∵⎩⎨⎧ 2＝b ＋m ，4＝b 2＋m ，∴⎩⎨⎧b ＝－1，m ＝3. ∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 答案：29．根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． 解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝2，a 2＝3，a 3＝5，a 4＝9.猜想a n ＝2n －1＋1.10．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ∈N 且n ≥2时，(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1，求通项公式a n .解：当n ≥2，∵(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1， ∴a na n －1＝2n －32n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝15·37·59·…·2n －52n －1·2n －32n ＋1＝1·32n －12n ＋1. ∴a n a 1＝32n －12n ＋1，∴a n ＝32n －12n ＋1，当n ＝1时符合上式，∴a n ＝32n －12n ＋1，n ∈N *.层级二 应试能力达标1．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选A 由a n ＋1＝4a n ＋34⇒a n ＋1－a n ＝34，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13，故选A. 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n ＋lg n解析：选A 由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n－a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg2×32×43×…×nn －1＝2＋lg n .3．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，4] C ．(－∞，5)D ．(－∞，6)解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立．注意到当n ∈N *时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，则a 2 015＋a 2 016等于( )A ．4B ．1 C.76D.116解析：选B a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝73－1＝43； a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43－1＝13； a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋12＝56； a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝2×56－1＝23； a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23－1＝13； 即从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列． ∴a 2 015＋a 2 016＝a 5＋a 3＝1.故选B.5．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________. 解析：由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1⇒a n a n －1＝n ＋1n －1，则a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×31×42×…×10199＝5 050. 答案：5 050 6．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎨⎧ a n 2，a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．解析：若a 5为奇数，则3a 5＋1＝1，a 5＝0(舍去)． 若a 5为偶数，则a 52＝1，a 5＝2. 若a 4为奇数，则3a 4＋1＝2，a 4＝13(舍去)． 若a 4为偶数，则a 42＝2，a 4＝4.若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4. 若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8. 若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)． 若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16. 若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5.若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32. 答案：4,5,327．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 22n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．解：存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝3223＝98，a 4＝4224＝1，a 5＝5225＝2532，….∵当n ≥3时，a n ＋1a n ＝n ＋122n ＋1×2n n 2＝n ＋122n 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2<1， ∴a n ＋1<a n ，即n ≥3时，{a n }是递减数列．又∵a 1<a 3，a 2<a 3，∴a n ≤a 3＝98. ∴当n ＝3时，a 3＝98为这个数列的最大项．8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋1＋1＋…＋1n －1个1＝n ＋1. ∴1a n＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ≥2)． 又∵n ＝1时，a 1＝12，符合上式， ∴a n ＝1n ＋1.。

高中数学第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法求数列通项公式的十种方法素材新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法求数列通项公式的十种方法素材新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.1数列的概念与简单表示法求数列通项公式的方法总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ --———————-这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑二、累乘法1.适用于： 1()n n a f n a += -—-———-——-这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。

课时数列的性质和递推关系高效测评新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法第2课时数列的性质和递推关系高效测评新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时数列的性质和递推关系高效测评新人教A版必修5一、选择题(每小题5分，共20分)1．符合递推关系式a n＝错误!a n－1的数列是( ）A．1，2，3，4，…B．1,错误!,2,2错误!，…C．错误!，2，错误!,2，… D．0，错误!,2，2错误!，…解析：逐个验证，故选B.答案：B2．已知a n＝3n－2,则数列{a n｝的图象是（）A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点解析：∵a n＝3n－2，n∈N＊,∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．答案：D3．在数列{a n｝中，a n＝n，则{a n}是( ）A．递增数列B．递减数列C．常数列D．以上都不是解析：∵a n＋1－a n＝(n＋1)－n＝1〉0，∴数列｛a n｝是递增数列．答案: A4．在递减数列｛a n}中,a n＝kn（k为常数），则实数k的取值范围是（)A．R B．（0，＋∞)C．(－∞，0) D．（－∞，0］解析：∵｛a n}是递减数列，∴a n＋1－a n＝k（n＋1)－kn＝k<0.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若数列{a n｝为递减数列，则{a n}的通项公式可能为________(填写序号）．①a n＝－2n＋1；②a n＝－n2＋3n＋1;③a n＝错误!;④a n＝(－1)n。

第2课时数列的通项与递推公式学习目标：1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会求数列中的最大(小)项(易错点)．[自主预习·探新知]1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前n项)；②从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．思考：所有数列都有递推公式吗？[提示]不一定．例如2精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…没有递推公式．2．数列递推公式与通项公式的关系n n n－1[提示]不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．[基础自测]1．思考辨析(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( )(2)有些数列可能不存在最大项．( )(3)递推公式是表示数列的一种方法．( )(4)所有的数列都有递推公式．( )[答案](1)√(2)√(3)√(4)×提示：并不是所有的数列都有递推公式，如3的精确值就没有递推公式．2．符合递推关系式a n＝2a n－1的数列是( )A．1,2,3,4，…B．1, 2，2,22，…C.2，2, 2，2，… D．0, 2，2,22，…B3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( )【导学号：91432124】A ．－3B ．－11C ．－5D ．19D [a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D.]4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 5＝________.85 [a 2＝1＋1a 1＝1＋1＝2， a 3＝1＋1a 2＝1＋12＝32，a 4＝1＋1a 3＝1＋23＝53， a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.] [合 作 探 究·攻 重 难]由递推关系写出数列的项已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项. 【导学号：91432125】[解] (1)∵a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)， 且a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8. (2)∵b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8， ∴b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.故{b n }的前4项依次为b 1＝12，b 2＝23，b 3＝35，b 4＝58.根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如－1.1．已知数列{a n }的第1项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项．[解] ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.数列的最大(小)项的求法已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问数列{a n}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由.【导学号：91432126】思路探究：①a n ＋1－a n 等于多少？②n 为何值时，a n ＋1－a n >0？a n ＋1－a n <0?[解] 法一：(单调性法)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n·－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n <a n ＋1； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＝a n ＋1； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n >a n ＋1；故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119.法二：(最大项法)设a k 是数列{a n }的最大项．则⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1a k ≥a k ＋1，即⎩⎨⎧k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k≥k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k －1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1011kk ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1011k ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋10≥11k 11k ＋11≥10k ＋20，得9≤k ≤10，∴k ＝9或10，即数列{a n }中的最大项为a 9＝a 10＝1010119.小项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项二是设2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3，∴数列中有两项是负数．(2)法一：∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.法二：设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋n ＋2－n ＋＋4，n 2－5n ＋n －2－n －＋4，解这个不等式组，得2≤n ≤3， ∴n ＝2或3，∴a 2＝a 3且最小． ∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.由递推公式求数列的通项公式[探究问题]1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{a n }，满足a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2，你能归纳出数列{a n }的通项公式吗？提示：由a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2得a 2＝a 1＋2＝22，a 3＝a 2＋2＝24，a 4＝a 3＋2＝26，a 5＝a 4＋2＝28，…，由以上各项归纳可知a n ＝20＋(n －1)·2＝2n ＋18. 即a n ＝2n ＋18(n ∈N *，n ≤30)．2．对于任意数列{a n }，等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，你能求出它的通项a n 吗？提示：等式a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋＝1＋2(n －1)＝2n －1.3．若数列{a n }中的各项均不为0，等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立吗？若数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1a n＝2，则它的通项a n 是什么？提示：等式a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立． 按照a n ＋1a n ＝2可得a 2a 1＝2，a 3a 2＝2，a 4a 3＝2，…，a na n －1＝2(n ≥2)，将这些式子两边分别相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝2·2·…·2. 则a na 1＝2n －1，所以a n ＝3·2n －1(n ∈N *)．(1)已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n n ＋，n ∈N *，求通项公式a n ；(2)设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .【导学号：91432127】思路探究：(1)先将a n ＋1＝a n ＋1nn ＋变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．(2)先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)变形为a n a n －1＝n －1n，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．[解] (1)∵a n ＋1－a n ＝1nn ＋，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； …a n －a n －1＝1n －n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n，∴a n ＝－1n(n ≥2)．又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴a n ＝－1n(n ∈N *)．(2)∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n， a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n.又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n(n ∈N *)．母题探究：1.(变条件)将例题(2)中的条件“a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n ≥2)”变为“a 1＝2，a n＋1＝3a n (n ∈N *)”写出数列的前5项，猜想a n 并加以证明．[解] 由a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，得：a 2＝3a 1＝3×2，a 3＝3a 2＝3×3×2＝32×2， a 4＝3a 3＝3×32×2＝33×2， a 5＝3a 4＝3×33×2＝34×2，…，猜想：a n ＝2×3n －1，证明如下：由a n ＋1＝3a n 得a n ＋1a n＝3. 因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a na n －1＝3. 将上面的n －1个式子相乘可得a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝3n －1. 即a na 1＝3n －1，所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.2．将例题(1)中的条件“a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋，n ∈N *”变为“a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2)”求数列{a n }的通项公式．[解] ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1.n或n (1)累加法：当f n 时，常用a n －1＋a n －2＋…＋a 2－a 1＋求通项公式a n n 时，常用·a n －1a ·…·a 2a ·a 1求通项公式.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [只有③正确．①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列．]2．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )【导学号：91432128】A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)C [A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．] 3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 018等于( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1B [∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 018＝x 2＝－12.]4．数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )【导学号：91432129】A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50C [a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋ 2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1,44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象(图略)，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44.]5．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，求a n .[解] (1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n， ∴a n －a n －1＝lnnn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……，a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＝ln n ，∴a n＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．。

第1课时　数列的概念及简单表示法学习目标：1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．数列的概念及一般形式思考1：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？[提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．2．数列的分类类别 含义 有穷数列 项数有限的数列 按项的 个数　无穷数列 项数无限的数列递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列按项的 变化趋 势 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })解析式 数列的通项公式值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？ [提示]　如图，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．[基础自测]1．思考辨析(1)数列1,1,1，…是无穷数列．( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( ) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　提示：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 24　[a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24.]3．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项.【导学号：91432112】3　[令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3.] 4．数列1,2, ，，，…中的第26项为________． 710132　[因为a 1＝1＝，a 2＝2＝，1914a 3＝，a 4＝，a 5＝，所以a n ＝，710133n －2所以a 26＝＝＝2.]3×26－27619[合 作 探 究·攻 重 难]数列的概念及分类　已知下列数列：①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016； ②1，，，…，，…；121412n －1③1，－，，…，，…；2335 －1 n －1·n 2n －1④1,0，－1，…，sin，…；n π2⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．][规律方法]　1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．[跟踪训练] 1．给出下列数列：(1)2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180.(2)无穷多个构成数列， ， ， ，….33333(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________.【导学号：91432113】(1)　(2)(3)　(1)　(2)　(3)　[(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列．]由数列的前几项求通项公式　写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，，－，；121314(2)，3，，；31521(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9； (4)3,5,3,5.思路探究：①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？[解]　(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数， 正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为a n＝(－1)n ·.1n(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可3915213×13×33×53×7分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝＝.3 2n －1 6n －3(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1(1－110)(1－1102)(1－1103)(1－1104)－. 110n (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为a n ＝Error!.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一3＋52个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n .[规律方法]　1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．[跟踪训练]2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1，2，3，4，…；12233445(4)1,11,111,1 111，….【导学号：91432114】[解]　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N *)．(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N *)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为，故所求n n ＋1的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋＝(n ∈N *)．nn ＋1n 2＋2nn ＋1(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,919191919999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1，所以原数列的一个通项公式为a n ＝(10n －1)(n ∈N *)．19数列通项公式的应用[探究问题]1．数列，，，，，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中12347815163132255256的一项？为什么？提示：由数列各项的特点可归纳出其通项公式为a n ＝，当n ＝7时，a 7＝＝，2n －12n 27－127127128若为该数列中的一项，则＝，解得n ＝8，所以是该数列中的第8项． 2552562n －12n 2552562552562．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋2n ＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．提示：由数列与函数的关系可知，数列{an }的图象是分布在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．　已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究：(1)将n ＝4，n ＝6分别代入a n 求出数值即可；。

2．1数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。

”，（一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。

（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。

有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

② 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。