高中数学专题六

专题六：整体把握必修四2010年7月25日-2010年7月26日尚未开始∙课程视频∙课程计划表∙课程文本一∙课程文本二∙拓展材料∙专题六作业∙专题六作业∙专家声音∙专题评论课程视频、课程文本、拓展资料点击可展开/关闭课程计划表课程文本一专题6-1.doc专题六第一讲主持人：各位老师大家好，欢迎老师们继续参加高中数学的新课程远程研修。

这一讲开始是针对模块四的一系列研修。

前面说过了，模块四里我们将对三角函数向量、三角恒等变换作为我们的载体来分析模块四的各种各样要求。

为了使讨论更具体，我们也走访了山东威海、淄博的一些学校和北京的一些学校和老师们座谈，老师们就这个模块的教学提出了自己的问题和想法。

我们先来看老师们座谈中的一些说法。

定位有一些变化，从面上来看，三角函数定义、应用在第一章，恒等变变换是在第三章，以及解三角形放在第五章。

从面上看是这样的变化。

新层次的定位是不是这样理解，第一更加强调函数的本质，我们现在对函数的教学强调函数是现实与变量形成一种对应关系，所以放在第一章，它是有一个客观周期现象的函数模型，所以放在第一章位置。

而第二章强调学习的完整性，我们从三角函数来讲要讲背景，而且还要将应用，听清华老师说上课讲五到十分钟讲完以后大量练习，重结果，轻过程。

把背景和应用抹去了，倒形成了知识的缺失。

为什么要讲背景与应用？我的理解是要知道这些知识从那里来，这个提高学生的学习求职欲望，而且知道这个知识用到哪去。

第二个是在三角函数当中如何突出作用？这里根据学生的学习规律来展开，我们不断在构建周期性，要按照这个周期的过程来展开。

准备函数应用角范围突出，再一个是角第一和第十五级的运用关系。

角范围的突出，因为有锐角到钝角，角的大小就是这个点旋转的程度，这样大小会有一个形式。

再说说对函数应用这一块，因此函数的性质是从函数的图象来研究。

第三个问题三角横匾过程当中如何来提升计算能力。

我想这个和一个画家作画一样一定要有一个好的工具。

专题6：6.3.1平面向量基本定理（解析版）一、单选题1．在ABC中，50BD CD+=，则AD=（）A．1566AB AC+B．5166+AB ACC．1455AB AC+D．4155AB AC+【答案】A 【分析】由50BD CD+=，得56BD BC=，而A AB BDD=+，再利用向量的加减法进行求解【详解】因为50BD CD+=，所以56BD BC=，5515()6666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+．故选：A2．已知矩形ABCD中，13AE AB=，若AD a=，AB b=，则CE=（）A．23a b-+B．23a b--C．23a b+D．23a b-【答案】B 【分析】先由题中条件，得到13AE AB=，再由平面向量的线性运算，用AD和AB表示出CE，即可得出结果. 【详解】因为13AE AB =，所以13AE AB =， 所以()122333CE AE AC AB AB AD AB AD b a =-=-+=--=--.故选：B.3．如图，若,,,OA a OB b OC c B ===是线段AC 上靠近点C 的一个三等分点，且b ac λμ=+，则（ ）A ．21,33λμ== B ．13,44λμ== C ．31,44λμ== D ．12,33λμ== 【答案】D 【分析】由OB OA AB =+，结合,,A B C 的共线关系及向量的加减法的应用，即可得解. 【详解】2212()3333OB OA AB OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+, 即1233b a c =+，得12,33λμ==. 故选：D.4．在ABC 中AB a =，CB b =，则CA 等于（ ） A ．a b + B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得选项． 【详解】CA CB BA b AB b a =+=-=-，故选：C.5．如图所示，M ，N 分别是ABC 的边AB ，AC 上的点，且2AM MB =，2NC AN =，则向量MN =（ ）．A ．1233AB AC - B ．1233AB AC + C ．1233AC AB -D ．1233AC AB +【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，由平面向量的线性运算，利用题中条件直接计算， 即可得出结果. 【详解】因为2AM MB =，2NC AN =， 所以1233MN AN AM AC AB =-=-. 故选：C.6．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点.若,,AB a AD b ==则AC =（ ）A ．32a b -B ．2a b -C ．2a b -+D ．1122a b + 【答案】C 【分析】由AC AB BC =+，2BC BD =，BD AD AB =-即可求出. 【详解】可得()2222AC AB BC AB BD AB AD AB AB AD a b =+=+=+-=-+=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算和基本定理的应用，属于基础题.7．在ABC 中，D 是边AC 上的点，E 是直线BD 上一点，且4DC AD =，2BE BD =，若AE mAB nAC =+，则m -n =（ ） A ．75B ．75-C ．35D ．35【答案】B 【分析】运用共线向量的性质，结合平面向量基本定理、平面向量加法的几何性质进行求解即可. 【详解】∵4DC AD =，∴5AC AD =，∴222()25AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD AB AC =+=+=+-=-+=-+ ∴27155m n -=--=-·故选：B8．如图，D 是ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．12BC BA -+ B ．12BC BA --C ．12BC BA -D ．12BC BA +【答案】A 【分析】由平面向量的基本定理，及向量的加减法，即可用基底表示出CD . 【详解】因为D 是ABC 的边AB 的中点，所以12CD CB BD BC BA =+=-+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，及加法和数乘，属于基础题.9．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则FC =（ ） A ．3142AB AD + B ．3142AB AD - C ．1324AB AD + D ．1324AB AD - 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理、平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和平行四边形的性质进行求解即可. 【详解】111111313()222222424FE EC AE BC AB BC BC AB B F C AB AD C =+=+=++=+=+故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的基本定理、平面向量共线定理、平面向量的加法的几何意义，属于基础题.10．ABC ∆中所在的平面上的点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+D ．1233AD AB AC =+【答案】D 【分析】已知2BD DC =，由向量的减法可得()2AD AB AC AD -=-，再化简运算即可. 【详解】解：因为2BD DC =， 所以()2AD AB AC AD -=-， 所以1233AD AB AC =+， 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.二、填空题11．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若125,3BC e DC e ==，则OC ＝________．(用12,e e 表示) 【答案】125322e e + 【分析】 根据OC ＝12AC ，利用向量的线性运算转化即可. 【详解】在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC ＝()()()121211115353222222AC AB AD DC BC e e e e =+=+=+=+, 故答案为：125322e e +.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.12．已知在ABC 中，点D ，E 分别在边上AB ，BC ，且AD DB =，2BE EC =，若(,)DE x AB y AC x y R =+∈，则x y +的值为__________. 【答案】12【分析】利用向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解. 【详解】()212112323263DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-+=-+， 因为(,)DE x AB y AC x y R =+∈， 所以16x =-，23y =，所以121632x y +=-+=，故答案为：1213．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM ＝λAB ＋μBC ，则λ＋μ＝________【答案】 23【分析】解直角三角形求得,BH BC 的长，根据12AM AH =，用,AB BC 表示AH ，由此得到AM 的表达式，从而求出,λμ的值，进而求得λμ+的值.【详解】.因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为BC ＝3，所以BH ＝BC ． 因为点M 为AH 的中点，所以＝＝ (＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中的AM 这个向量，就转化为了,AB BC 这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得,λμ的值.14．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.【答案】211【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+， 所以3411AP AB N m A →→→=+ 因为点,,P B N 三点共线，所以3+4111m =， 解得：211m =. 解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=， 所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+， 所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以211m =. 故答案为：211.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.三、解答题15．如图，设OA a =，OB b =，又43AP AB =，试用a ，b 表示OP ．【答案】1433OP a b =-+. 【分析】利用向量加减法的三角形法则，数乘的定义求解． 【详解】 解：AP OP OA =-，AB OB OA =-由已知43AP AB =可得：4()3OP OA OB OA -=-，所以44143333OP OA OA OB a b =-+=-+， 故1433OP a b =-+．【点睛】本题考查了平面向量基本定理，考查了学生的运算能力，属于基础题． 16．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =.（1）如图①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF ，DE ； （2）如图②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG.【答案】（1）12BF a b =-+ ，12DE a b =-；（2）1344AG a b =+. 【分析】(1)结合图形，由向量的加法运算可用基底表示出两向量.(2)结合图形由向量的减法运算用基底表示BD ，进而求出BG ，由向量的加法运算可求出AG . 【详解】解：（1）111222BF BC CF AD CD AD AB a b =+=+=-=-+， 1122DE DC CE AB AD a b =+=-=-.（2）BD AD AB b a =-=-，因为O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， 所以()3344BG BD b a ==-，所以()313444AG AB BG a b a a b =+=+-=+.。

一、学习目的：1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二、教学过程：（Ⅰ）基础知识详析(一)直线的方程1．点斜式：)(11x x k y y -=-；2． 截距式：b kx y +=； 3．两点式：121121x x x x y y y y --=--；4． 截距式：1=+b ya x ； 5．一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0． (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）．在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交．设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1．(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件．⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值．特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数．⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题． ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解． ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域．⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解． 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形． ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的．⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到． 3．线性规划问题一般用图解法． (四)圆的有关问题 1．圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ． 特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+． 2．圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=． 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形． 3．圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： 222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（Ⅱ）高考数学直线与圆题选 一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B ．2．（安徽卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是A．1) B．11) C．(11) D．1) 解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A ． 3．（福建卷）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D ．4．（广东卷）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ． [7,8]5．（湖北卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =A ．－2B ．－1C ．1D ．4 解析：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C6．（湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[,124ππ] B ．[5,1212ππ] C ．[,]63ππ D ．[0,]2π解析：圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)x y -+-=， ∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴2()4()1a ab b ++≤0，∴ 2()2ab--≤，()a k b=-，∴ 22k ≤l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B ． 7．（湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是A ．36B ． 18C ． 26D ． 258．（江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0 D ．y ＝0【正确解答】直线ax+by=022(1)(1x y -+=与相切，1=，由排除法， 选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事．【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解．9．（全国卷I ）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A ．12 B ．35 C．2D ．010．（山东卷）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是A ．80B ．85C ．90D ．95解：画出可行域：易得A （5．5，4．5）且当直线z ＝10x ＋10y 过A 点时， z 取得最大值，此时z ＝90，选C11．（山东卷）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤÷.72,2,10x y x y x 则x －2x ÷3y 的最小值A ．24B ．14C ．13D ．11．512．(陕西卷)设直线过点(0,a ),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4解析：设直线过点(0，a )，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y x a =+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴=，∴ a 的值±2，选B ． 13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元．月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为A ．12112200a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩B ．11122200a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩C ．12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩D ．12112200a x a y c b x b y c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，选C ． 14．（天津卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．915．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C ．22D ．2【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的()0,2B 面积．解析：由题知可行域为ABC ∆， 42204=⨯-=∆ABC S ，故选择B ．16．(重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 +4x +2y +25=0相切的直线的方程为 A ．y =-3x 或y =31x B ． y =-3x 或y =-31xC ．y =-3x 或y =-31xD ． y =3x 或y =31x17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)3x y ++-= C ．22(2)(1)9x y -++= D ．22(2)(1)3x y ++-= 解：r＝3，故选C二、填空题（共18题）18．（北京卷）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________．解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA＝（1，3），OBC （1，1），OC|OP|的最大值19．（福建卷）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是____________．解析：已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 2x y +的最大值是4．20．（湖北卷）已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为 ．解：圆的方程可化为22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得|5|1|5|1313a a +=⇒+=，所以a 的值为－18或8． 21．（湖北卷）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．22．（湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 ．解析：由⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22y x +的最小值是5．23．（江苏卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为【正确解答】 画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为1824．（江西卷）已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；B ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）25．（全国卷I ）设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-1232312y y x y x ，则z 的最大值为_____________．解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足2z y x =-的最大值是点C ，代入得最大值等于11．26．（全国II ）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ．27．(上海卷)已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：d ； 28．(上海卷)已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____． 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233a -=-，则a =2． 29．(上海卷)已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是_________．解析：实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则2y x -的最大值是0．30．（四川卷）设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最小值为 ;解析：设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，在直角坐标系中画出可行域△ABC ，其中A(1，21)，B(1，8)，C(4，2)，所以2z x y =-的最小值为－6．31．（天津卷）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB的长为a =____________．32．（天津卷）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，则这个圆的方程为 ．解析：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)3y x x =≥相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为22(1)(1x y -+=．33．(重庆卷)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2．若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________．解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤ 在坐标系中画出可行域。

正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发.1. 基本不等式,)a b a b R ++≥∈，2()(,)4a b ab a b R +≤∈，222(,)a b ab a b R +≥∈，222a b ab +≤ (,)a b R ∈，222()22a b a b ++≥． 2. 正弦定理和余弦定理 略一、面积的范围问题例1在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos cos sin A B B A b a B++=．（1）求a ； （2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值． 解：（1）原式化为22222222a c b b c a cabc abc a+-+-+=，解得1a =（2）因为1cos 3A =，所以222sin 13bc A b c =+-=，所以34bc ≤（当且仅当2b c ==，从而1sin 24ABC S bc A ∆=≤（当且仅当2b c ==，即ABC ∆面积的最大值为4． 【评注】解三角形问题是高考考查三角函数常见的题目，在解答次类题目的时候，主要是利用三个基础知识（正余弦定理、三角形面积公式、三角形内角和定理）和两种转化方式（角化边、边化角），所以解题时必须认真体会，灵活运用，尤其注意余弦定理中基本 不等式的应用。

二、周长的范围问题例2在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c =，3C π=．（1）当2sin 2sin(2)sin A B C C ++=时，求ABC ∆的面积； （2）求ABC ∆周长的最大值； 解（1）由()2sin2sin2sin A B C C ++=得()()4sin cos sin sin A A B A A B +-=+得2sin cos sin cos A A B A =，当cos 0A =时，2A π=，3B π=，3a =3b =， 当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =，由正弦定理2b a =，联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，解得a =b =故三角形的面积为1sin 23ABC S ab C ∆==；（2）由余弦定理及已知条件可得：224a b ab +-=，由22()()43434a b a b ab ++=+≤+得4a b +≤，故ABC ∆周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形取到．【评注】除了利用余弦定理、基本不等式、方程与不等式思想外，还可以利用正弦定理将a 和b 用角A 、B 表示，利用消元思想，转化为三角函数求值域问题处理。

专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-sin1080=)2820 1．（2023春·北京东城·高一北京市第一六六中学校考阶段练习）sin210=（ ）1210cos120tan 45+= 根据诱导公式，填适当的式子，使为第二象限角，且sin θcos165=（-24sin(α-是ABC的高一校考开学考试）已知ABC为锐角三角形，则下列不等关系中cos cosA>sin cosA>高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）（多选）已知cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 秋·高一课时练习）求证：当2=或3时，tan(cos(2k 2π1203=πsin(2α-秋·高一课时练习）)tan2022,sin2022位于(2)若()0,πθ∈,且()25fθ=-,求cos sinθθ-的值．专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-()3cos390cos36030cos302=+==.辽宁葫芦岛·高一统考期末）17sin4π的值为（sin1080=.()sin1080sin33600sin00=⨯+==；cos高一课时练习）已知12cot5θ=-，且θ为第二象限角，．)2820)()32820sin 836060sin 602=-⨯+==.ππtan 144⎫==⎪⎭. ππ2⎫()1sin210sin 18030sin 302=+=-=-.高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若角【详解】(sin πθ+的终边可能在第三或第四象限CD.2023春·吉林长春列结论正确的是（210cos120tan 45+= 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值. ()()11sin 18030cos 18060210cos120sin 30cos 60221tan 45tan 45tan 451--++-+--====-. 故答案为：-12023春·福建福州·高二校考期末）根据诱导公式，填适当的式子，使 cosα=-cos165=（ 24- ()cos165cos 9075sin 75=+=-，则()75sin 3045sin30cos 45cos30sin 45=+=+1222=⨯+26cos165sin 754+︒=-︒=-． 故选：A ．是ABC的高一校考开学考试）已知ABC 为锐角三角形，则下列不等关系中cos cos A >sin cos A >【分析】因为ABC 为锐角三角形，所以π【详解】因为ABC 为锐角三角形，,,3πcos A >,4πcos A <π因为ABC 为锐角三角形，,2B π+>∴,02A π<<sin(2A π>cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． ()()()cos 90cos 2sin 45sin 135αααα-+=+-，证明见详解.【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可)()()cos 90cos 245sin 135αααα-+=+- 证明：由诱导公式可得()()()cos 90sin ,sin 135sin 45αααα-=-=+，)()()()90cos sin cos cos 2sin cos 45cos sin 4545sin 135sin 45ααααααααααα-+++===++-+ 秋·高一课时练习）求证：当2k =或3时，tan(π)tan(π)cos(2π)sin[(21)π]k k k k αααα-+=-++【答案】证明见解析【详解】(tan 3π+C.2023·全国·高三专题练习）已知 【答案】B2π1203=πsin(2α-ABD2π1203=πtan 4=cos α，所以【详解】(cos πα-)πsin α-=-AB.2023秋·广东河源3π⎫⎛）π6θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，5π6fθ⎛+⎝故答案为：（1）1．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P 位于第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=> ，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=< ， ()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴ 在第四象限；故选：D.2．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，若tan114a =︒，tan172b =︒，tan 287c =︒，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．()()()f c f b f a >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f b f a f c >>【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得tan114tan 66a =︒=-︒，tan172tan8b =︒=-︒，tan 287tan107tan 73c =︒=︒=-︒，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．，04π<-，而060<正确；23,cos π⎛⎫= ⎪3013π<<故选：ACD.4．（2023【答案】－【分析】利用诱导公式化简计算即可π25π5ππππcos tan sin πcos 32πtan π346346⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ πππ3232cos tan 3462234⎛⎫⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：24. 2021秋·北京通州·高一校考阶段练习）已知cos α是方程2320x x --=三象限角，求3sin α⎛-+ ⎝，2sin cos α+3cos 2sin 2ππα⎫⎛+⎪ ⎭⎝⎫⎛+⎪ ⎭⎝全国·高一专题练习）已知）()f θ=-cos θθ=-sin 0θθ-<sin θθ-=。

I．题源探究·黄金母题【例1】已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为a ，b ，根据基本不等式2a bab +≥，即50a b +≥50a b ==时，等号成立，即最小值是250．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5第100页，练习2．【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值．作为基础题，是历年来高考的常考点．【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值．II．考场精彩·真题回放【例2】【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b +=，则ab 的最小值为()A ．2B ．2C ．22D．4【答案】C．【解析】12,0,0.ab a b a b +=∴>> 12122,22ab ab a b a b =+≥⋅∴≥当2b a=时取等号），ab ∴的最小值为22C．【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式首先和与积互化．【例3】【2015高考福建文5】若直线1(0,0)xy a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C 【解析】由已知得111a b +=，则【命题意图】本题考查直线方程以及运用均值不等式求解析几何中的最值问题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．()112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭．0,0,2b a a b a b >>∴+≥ ，故4a b +≥，当a b b a=，即时2a b ==取等号．【难点中心】活用“1”，“以常驭变”运用均值不等式求解有关的最值问题．III．理论基础·解题原理不等式)0,02a b a b +≥>>称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：)())220,0,,,,022a b ab a b a b a b ab a b R a b a b ++⎛⎫+≥>>≤∈≤≤≤> ⎪+⎝⎭．()()120,20a b x x ab x b a+≥>+≥>等．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难．【技能方法】（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提．“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀．（2）必须掌握的三个不等式：①a ，b R ∈，则222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）；②a ，b R ∈，则222()a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）；③a ，b R +∈，则2a b +≥（当且仅当a b =时取等号）．【易错指导】（1）注意不等式成立的条件是0,0a b >>，若0,0a b <<，应先转化为0,0a b ->->，再运用基本不等式求解．（2）“当且仅当a b =时等号成立”的含义是“a b =”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．（3）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件．V．举一反三·触类旁通考向1利用基本不等式求函数最大值、最小值。

专题六 平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·漳州质量监测)已知向量a,b 满足|a|＝1,|b|＝3,且a,b 夹角为π6,则(a ＋b)·(2a－b)＝( )A.12 B ．－32 C ．－12 D.32 答案 A解析 (a ＋b)·(2a－b)＝2a 2－b 2＋a·b＝2－3＋1×3×32＝12.故选A. 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3),AC →＝(3,t),|BC →|＝1,则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(3,t)－(2,3)＝(1,t －3),|BC →|＝1,∴12＋t －32＝1,∴t ＝3,∴BC →＝(1,0),∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C.3．(2019·桂林二模)已知向量AB →与AC →的夹角为60°,且|AB →|＝2,|AC →|＝4,若AP →＝AB →＋λAC →,且AP →⊥BC →,则实数λ的值为( )A.45 B ．－45 C ．0 D ．－25 答案 C解析 ∵AP →⊥BC →,∴AP →·BC →＝0,即(AB →＋λAC →)·(AC →－AB →)＝0,∴λAC →2＋(1－λ)AB →·AC →－AB →2＝0,∵AB →·AC →＝2×4×cos60°＝4,AB →2＝4,AC →2＝16,∴16λ＋4(1－λ)－4＝0,∴λ＝0.故选C.4．(2019·潍坊二模)在等腰梯形ABCD 中,AB →＝2DC →,点E 是线段BC 的中点,若AE →＝λAB →＋μAD →,则λ＋μ＝( )A.52B.54C.12D.14 答案 B解析 取AB 的中点F,连接CF,则四边形AFCD 是平行四边形,所以CF ∥AD,且CF ＝AD因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →,∴λ＝34,μ＝12,λ＋μ＝54,故选B.5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b 满足|a|＝2|b|,且(a －b)⊥b,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 由(a －b)⊥b,可得(a －b)·b＝0,∴a·b＝b 2. ∵|a|＝2|b|,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a|·|b|＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a,b 〉≤π,∴a 与b 的夹角为π3.故选B.6．(2019·娄底模拟)已知△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,∠A ＝60°,AD ⊥BC 于D,AD →＝λAB →＋μAC →,则λμ＝( )A ．3B ．6C ．2 3D ．3 2 答案 B解析 ∵BC →＝AC →－AB →,AD →⊥BC →,∴(λAB →＋μAC →)·(－AB →＋AC →)＝0,∴－λAB →2＋μAC →2＋(λ－μ)AB →·AC →＝0,∴λ＝6μ,∴λμ＝6.故选B.7．(2019·呼和浩特质量检测)设a,b 均是非零向量,且|a|＝2|b|,若关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b ＝0有实根,则a 与b 的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π答案 B解析 ∵关于x 的方程x 2＋|a|x ＋a·b＝0有实根,∴|a|2－4a·b≥0,∴a·b≤|a|24,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|≤|a|24|a||b|＝12,又0≤〈a,b 〉≤π,∴π3≤〈a,b 〉≤π.故选B.8．(2019·内江模拟)若|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 D解析 ∵|a|＝1,|b|＝2,|a ＋2b|＝13, ∴(a ＋2b)2＝a 2＋4b 2＋4a·b＝1＋16＋4a·b＝13,∴a·b＝－1,∴cos 〈a,b 〉＝a·b |a||b|＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π, ∴a,b 的夹角为2π3.故选D.9．(2019·四川一诊)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝120°,点D 为BC 边上一点,且BD →＝2DC →,则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13CB →＝AC →＋13AB →－13AC →＝13AB →＋23AC →,所以AB →·AD →＝13AB →2＋23AB →·AC →＝3＋23×3×2cos120°＝1.故选C.10．(2019·益阳市高三期末)在△ABC 中,M 为AC 的中点,BC →＝CD →,MD →＝xAB →＋yAC →,则x ＋y ＝( ) A ．1 B.12 C.13 D.32答案 B解析 如图,∵M 为AC 中点,BC →＝CD →,∴MD →＝MC →＋CD →＝12AC →＋BC →＝12AC →＋(AC →－AB →)＝－AB →＋32AC →.又MD →＝xAB →＋yAC →,且AB →,AC →不共线, ∴根据平面向量基本定理得,x ＝－1,y ＝32,∴x ＋y ＝12.故选B.11．(2019·大兴区第一学期期末)已知i,j,k 为共面的三个单位向量,且i ⊥j,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．[－2,2]C ．[2－1,2＋1]D ．[1－2,1＋2]答案 D解析 由i ⊥j 得i·j＝0,又i,j 为单位向量,则|i ＋j|＝i 2＋j 2＋2i·j＝2, 则(i ＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i ＋j)·k＋k 2＝(i ＋j)·k＋1＝|i ＋j|cos 〈i ＋j,k 〉＋1＝2cos 〈i ＋j,k 〉＋1, 由－1≤cos〈i ＋j,k 〉≤1,则(i ＋k)·(j＋k)的取值范围是[1－2,1＋2]．故选D.12．(2019·武汉市二月调研)在△ABC 中,AB →·AC →＝0,|AB →|＝4,|BC →|＝5,D 为线段BC 的中点,E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点,则AE →·CB →＝( )A.72B.74 C ．－74 D ．7 答案 A 解析 如图所示,|AC →|＝|BC →|2－|AB →|2＝3,AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB →＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝72.故选A.第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b 为单位向量,且a·b＝0,若c ＝2a －5b,则cos 〈a,c 〉＝________. 答案 23解析 由题意,得cos 〈a,c 〉＝a·2a －5b|a|·|2a－5b|＝2a 2－5a·b|a|·|2a －5b|2＝21×4＋5＝23. 14．(2019·郴州市高三第一次质检)如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB,AC 两边于M,N 两点,且AM →＝xAB →,AN →＝yAC →,则3x ＋y 的最小值为________．答案4＋233解析 ∵G 是△ABC 的重心, ∴AG →＝13AC →＋13AB →,又AM →＝xAB →,AN →＝yAC →, ∴AG →＝13x AM →＋13y AN →,∵M,G,N 三点共线,∴13x ＋13y ＝1,∴3x ＋y ＝(3x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋13y ＝1＋13＋x y ＋y 3x ≥43＋213＝4＋233. 15．(2019·河南省八市重点高中第二次联合测评)已 知非零向量a,b 满足|2a ＋b|＝|a ＋2b|＝3|a|,则a,b 的夹角为________．答案2π3解析 ∵|2a ＋b|＝|a ＋2b|,∴(2a ＋b)2＝(a ＋2b)2,即4a 2＋4a·b＋b 2＝a 2＋4a·b＋4b 2,∴a 2＝b 2,∴|a|＝|b|. 又|a ＋2b|＝3|a|,∴(a ＋2b)2＝3a 2, ∴a 2＋4a·b＋4b 2＝3a 2, ∴a 2＋4a 2cos 〈a,b 〉＋4a 2＝3a 2. 又a≠0,∴1＋4cos 〈a,b 〉＋4＝3, ∴cos 〈a,b 〉＝－12.又0≤〈a,b 〉≤π,∴〈a,b 〉＝2π3.16．(2019·江苏省镇江市高三期末)已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点D,E 分别是边AB,BC 的中点,连接DE 并延长到点F,使得DE ＝3EF,则AF →·BC →的值为________．答案 13解析 DE ＝3EF,∴AF →＝AE →＋EF →＝AE →＋13DE →＝AE →＋16AC →＝12AB →＋12AC →＋16AC →＝12AB →＋23AC →,BC →＝AC →－AB →,∵△ABC 是边长为2的等边三角形, ∴AB →·AC →＝2×2×12＝2,∴AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋23AC →·(AC →－AB →)＝－16AB →·AC →－12AB →2＋23AC →2＝－16×2－12×4＋23×4＝13.三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2019·连云港二模)已知向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b.(1)将f(x)表示成x 的函数并求f(x)的单调递增区间； (2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,求cos2θ的值．解 (1)∵向量a ＝(1,cos2x －3sin2x),b ＝(－1,f(x)),且a ∥b,∴1×f(x)＋(cos2x －3sin2x)＝0,即f(x)＝－cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,求得kπ－π6≤x≤kπ＋π3,故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.(2)若f(θ)＝65,π3＜θ＜π2,即f(θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝65,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝35.∵2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫2π3，π,2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝－45,∴cos2θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6sin π6＝－45×32－35×12＝－43＋310.18．(本小题满分12分)(2019·佳木斯一中调研)已知向量a,b 满足：|a|＝2,|b|＝4,a·(b－a)＝2.(1)求向量a 与b 的夹角；(2)若|ta －b|＝22,求实数t 的值． 解 (1)设向量a 与b 的夹角为θ, ∵|a|＝2,|b|＝4,∴a·(b－a)＝a·b－a 2＝|a||b|cosθ－a 2＝42cosθ－2＝2, ∴cosθ＝22,∵0≤θ≤π,∴θ＝π4. (2)∵|ta －b|＝22,∴t 2a 2－2ta·b＋b 2＝2t 2－8t ＋16＝8, 即t 2－4t ＋4＝0,解得t ＝2.19．(本小题满分12分)(2019·泰安模拟)如图所示,在△ABO 中,OC →＝14OA →,OD →＝12OB →,AD 与BC 相交于点M,设OA →＝a,OB →＝b.试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝ma ＋nb,则AM →＝OM →－OA →＝ma ＋nb －a ＝(m －1)a ＋nb, AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b.又∵A,M,D 三点共线,∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t,使得AM →＝tAD →, 即(m －1)a ＋nb ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋nb ＝－ta ＋12tb.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得m －1＝－2n,即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝ma ＋nb －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb,CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b.又∵C,M,B 三点共线,∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1,使得CM →＝t 1CB →,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋nb ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b , ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17,n ＝37,∴OM →＝17a ＋37b.20．(本小题满分12分)(2019·河南段考)已知a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中a ＝(1,－2)． (1)若|c|＝25,且c ∥a,求c 的坐标；(2)若|b|＝1,且a ＋b 与a －2b 垂直,求a 与b 的夹角θ的余弦值． 解 (1)设c ＝(x,y),则由c ∥a 和|c|＝25,可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y＋2·x＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4.∴c ＝(－2,4)或c ＝(2,－4)．(2)∵a ＋b 与a －2b 垂直,∴(a ＋b)·(a－2b)＝0, 即a 2－a·b－2b 2＝0,∴a·b＝3, ∴cosθ＝a·b |a||b|＝355.21．(本小题满分12分)(2019·辽宁六校协作体模拟)如图,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tanα＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m,n ∈R),求m ＋n 的值．解 解法一：∵tanα＝7,α∈[0,π], ∴cosα＝210,sinα＝7210, ∵OA →与OC →的夹角为α,∴210＝OA →·OC →|OA →||OC →|,∵OC →＝mOA →＋nOB →,|OA →|＝|OB →|＝1,|OC →|＝2, ∴210＝m ＋nOA →·OB →2,① 又∵OB →与OC →的夹角为45°, ∴22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2,② 又cos ∠AOB ＝cos(45°＋α)＝cosαcos45°－sinαsin45°＝210×22－7210×22＝－35, ∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－35,将其代入①②得m －35n ＝15,－35m ＋n ＝1,两式相加得25m ＋25n ＝65,所以m ＋n ＝3.解法二：过点C 作CM ∥OB,CN ∥OA,分别交线段OA,OB 的延长线于点M,N, 则OM →＝mOA →,ON →＝nOB →, 由正弦定理,得 |OM →|sin45°＝|OC →|sin 135°－α＝|ON →|sinα,∵|OC →|＝2,由解法一知,sinα＝7210,cosα＝210,∴|OM →|＝2sin45°sin 135°－α＝1sin45°＋α＝54,|ON →|＝2sinαsin 135°－α＝2×7210sin45°＋α＝74, 又OC →＝mOA →＋nOB →＝OM →＋ON →,|OA →|＝|OB →|＝1,∴m ＝54,n ＝74,∴m ＋n ＝3.22．(本小题满分12分)(2019·安徽淮北、宿迁一模)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,向量m ＝(b,a ＋c),n ＝(a －c,a －b),且满足m ∥n.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3,sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n,所以有b(a －b)－(a －c)(a ＋c)＝0,整理得ab ＝a 2＋b 2－c 2,由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.又因为C ∈(0,π),所以C ＝π3. (2)由sinC ＋sin(A －B)＝2sin2B,得 sin(A ＋B)＋sin(A －B)＝4sinBcosB, 整理得2cosB(sinA －2sinB)＝0.当cosB ＝0时,因为B ∈(0,π),所以B ＝π2.在Rt △ABC 中,tanC ＝ca ＝3,解得a ＝1,此时△ABC 的面积为S ＝12ac ＝32.当sinA －2sinB ＝0时,由正弦定理得a ＝2b, 将其代入c 2＝a 2＋b 2－ab,得c 2＝3b 2, 解得b ＝1.此时S ＝12absinC ＝32.综上所述,△ABC 的面积为32.。

高考专题复习之六――不等式(基础篇)学情分析一、整体情况1、所教学生为文科实验班，共34人，是高三新成立的班，这些学生在高一、高二时都分布在平行班中，高一、高二时学生在班内相对较好。

2、数学数学基础相对较好，但数学学习习惯不够规范，具体表现在：书写不规范、思维不够清晰，缺乏思维的深度、数学运算能力不强、在数学问题中对数学知识和方法的提取与转化能力弱、缺少做题的灵活性个性品质需要再进一步提高二、本部分知识掌握情况对于本部分知识，学生在新授课和一轮复习时对一些基础题型已经能够较熟练地处理，再加之新授课中对基本题型如不等式性质的运用、解一元二次不等式等相关的单一的基本题型已经掌握较好，本节课的重点是通过对典型问题的解读分析，在思维上让学生再进一步提高，使学生能够站在更高的高度看待与不等式有关的问题，对知识点的辨认、提取、讨论、解决方面能够再上一个台阶。

三、教学目标知识1、进一步掌握不等式的性质2、掌握基本不等式的特征及运用条件3、掌握一元二次不等式与对应一元二次方程和一元二次函数的关系方法1、能较清晰地识别、辨认并能有针对性地处理与不等式有关的常见题型.2、能够较熟练地解一元二次不等式3、能够较熟练地运用基本不等式求最大（小）值4、初步掌握分类讨论的分类标准思想1、进一步提高分类整合、数形结合的能力2、通过观察、归纳、抽象等方式，培养学生求真求实的科学精神，体会数学的应用价值，提高学生的逻辑推理能力和学数学用数学的意识.四、教学策略与教学手段根据复习课的特点以及数学知识的特点，在课堂上主要采用以题促学、以题促思、学生在老师指导下进行互助合作的模式；在复习基本题型的同时突出复习重点、攻克思维难点，同时辅以多媒体演示，最大限度地提高教学效率。

高考专题复习之六:不等式(基础篇)效果分析对于本节课，我认为自己做到了以下几点：1、对所教学生的学习情况做了细致、全面的了解和分析；2、对所复习知识点在高考中的地位和作用做了全面的分析；3、对所选题目进行了精心的筛选，力争做到具有代表性，能反应高考考查的方向；4、对重点难点的突破做到了循序渐进；5、在课堂控制方面坚持以学生为主体充分挖掘学生的潜力；学生方面：1、对不等式部分有了更深刻的认识；2、对于不等式部分在高考中的地位和作用认识更到位；3、从思维层面上对不等式相关的综合题目有了一定的理性认识.专题复习之六――不等式（基础篇）教材分析一、考试大纲及考试说明的要求：1、不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3、基本不等式：2a b +≥ (0,0)a b ≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、教材分析1、本部分教材是高中数学必修五中的内容，由于本部分知识即具有知识性、工具性的特点，但在整个数学知识体系中本部分有着举足轻重的作用。

专题6.2弧度制的定义（4个考点六大题型）【题型1 弧度制表示角的集合】【题型2 角度与弧度的互化】【题型3 弧长的有关计算】【题型4 扇形面积的计算】【题型5 扇形中的最值问题】【题型6 扇形弧长公式与面积公式的应用】【题型1 弧度制表示角的集合】N M⋂N N2023春·山东潍坊570写成2.2023·上海高一专题练习）终边与坐标轴重合的角的集合为【题型2 角度与弧度的互化】210化为弧度是（C表示成【题型3 弧长的有关计算】200的圆心角所对的弧长为高一校联考阶段练习）设时钟时针长5cm1．（2023春·北京延庆·高一统考期末）在半径为4m的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）(2)若16C =，16S =，求扇形的半径和圆心角．【题型5 扇形中的最值问题】(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【题型6 扇形弧长公式与面积公式的应用】35π(2)求扇形的弧长及阴影部分的面积.专题6.2弧度制的定义（4个考点六大题型）【题型1 弧度制表示角的集合】【题型2 角度与弧度的互化】【题型3 弧长的有关计算】【题型4 扇形面积的计算】【题型5 扇形中的最值问题】【题型6 扇形弧长公式与面积公式的应用】【题型1 弧度制表示角的集合】N M⋂N NA【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系570写成2 =-5705705π.65π.π5π⎧⎫ππ⎧⎫5π7512=π,Z 2k ∈330角的终边与30-即π6-OB 为终边的角为2S ⎧=⎨⎩所以终边落在阴影部分内的角的集合为：π306rad =7π2106=2）知：以射线OA 为终边的角为210化为弧度是（C3602π=弧度，所以π1180 =π210210180=-⨯. 2023·全国·高三专题练习）15【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解1π180151212==. 15高一课前预习）把下列角度化为弧度：＝ rad=180将弧度转化为度即可180π⎛⨯ ⎝150；（2）根据角度和弧度互化公式进行求解即可；5050=⨯950950=-180150π⎫=-⎪⎭.π100rad πrad 1809180π=将角度化为弧度，并得到其所在象限；180将弧度化为角度，并写出与π510510180==⨯17π2π6=， ∴角α是第二象限角.180330⎫=-⎪⎭， 终边相同的角可表示为·360330,Z k k θ=-∈， 0θ︒≤≤()0360330360Z k k ∴≤⋅-≤∈，即)1112k ≤≤， 1k ∴=，∴在[0,360︒内与角β终边相同的角为30︒.【题型3 弧长的有关计算】【详解】在ABC中，3π2.全国·高三专题练习）单位圆中，200的圆心角所对的弧长为半径围成的扇形的面积为10 9π/10200的弧度数是10π9，1620，15π4高一假期作业）已知扇形的圆心角为10，求扇形的弧长．360）直接用扇形的弧长公式求解；）根据条件列方程组可得弧长和半径，进而可得圆心角113π3-211，所以AOB为等边三角形，所以25π，又6S=AOB。

直线与圆的题型与方法一、学习目的：1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．二、教学过程：（Ⅰ）基础知识详析(一)直线的方程1．点斜式：)(11x x k y y -=-；2． 截距式：b kx y +=； 3．两点式：121121x x x x y y y y --=--；4． 截距式：1=+b ya x ； 5．一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0． (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）．在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交．设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1．(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件．⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值．特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数．⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题． ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解． ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域．⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解． 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形． ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的．⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到． 3．线性规划问题一般用图解法． (四)圆的有关问题 1．圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ． 特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+． 2．圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=． 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E-）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形． 3．圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（Ⅱ）高考数学直线与圆题选 一、选择题（共17题）1．（安徽卷）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 那么2x y -的最大值为A ．2B ．1C ．2-D ．3- 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B ．2．（安徽卷）直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是 A．1) B．11) C．(11) D．1)解：由圆2220(0)x y ay a +-=>的圆心(0,)a 到直线1x y +=大于a ，且0a >，选A ．3．（福建卷）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于A ．2B ．1C ．0D ．1-解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D ．4．（广东卷）在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ． [7,8]5．（湖北卷）已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m =A ．－2B ．－1C ．1D ．4 解析：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m＝1，选C6．（湖南卷）若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[,124ππ] B ．[5,1212ππ] C ．[,]63ππ D ．[0,]2π解析：圆0104422=---+y x y x整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应小于等于2，∴2()4()1a ab b ++≤0，∴2()2ab---+≤()a k b=-，∴22k ≤l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ，，选B ． 7．（湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 A ．36 B ． 18 C ． 26 D ． 258．（江苏卷）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0 D ．y ＝0 【正确解答】直线ax+by=022(1)(1x y -+=与相切1=，由排除法， 选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事．【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解．9．（全国卷I ）从圆222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 A ．12 B ．35 CD ．010．（山东卷）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y的最大值是A ．80B ．85C ．90D ．95解：画出可行域：易得A （5．5，4．5）且当直线z ＝10x ＋10y 过A 点时， z 取得最大值，此时z ＝90，选C11．（山东卷）已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤÷.72,2,10x y x y x 则x －2x ÷3y 的最小值A ．24B ．14C ．13D ．11．512．(陕西卷)设直线过点(0,a ),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A ．± 2 B ．±2 C ．±2 2 D ．±4解析：设直线过点(0，a )，其斜率为1， 且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y x a =+，圆心(0，0)道直线的距离等于半径2，∴=，∴ a 的值±2，选B ． 13．（四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a 、1b 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a 、2b 千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为1d 、2d 元．月初一次性购进本月用原料A 、B 各1c 、2c 千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为A ．12112200a x a y c b x b y c x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩B ．11122200a x b y c a x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩C ．12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩D ．12112200a x a y c b x b y c x y +=⎧⎪+=⎪⎨≥⎪⎪≥⎩解析：设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为12112200a x a y c b x b y c x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，选C ． 14．（天津卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．915．（浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是A ．24B ．4C ．22D ．2【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的()0,2B 面积． 解析：由题知可行域为ABC ∆， 42204=⨯-=∆ABC S ，故选择B ．16．(重庆卷)过坐标原点且与x 2+y 2 +4x +2y +25=0相切的直线的方程为A ．y =-3x 或y =31x B ． y =-3x 或y =-31x C ．y =-3x 或y =-31x D ． y =3x 或y =31x17．(重庆卷)以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)3x y ++-= C ．22(2)(1)9x y -++= D ．22(2)(1)3x y ++-= 解：r＝3，故选C二、填空题（共18题）18．（北京卷）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最小值等于_______,最大值等于____________．解：画出可行域，如图所示：易得A （2，2），OA＝（1，3），OBC （1，1），OC|OP|19．（福建卷）已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是____________．解析：已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴ 2x y +的最大值是4．20．（湖北卷）已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为 ． 解：圆的方程可化为22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得|5|1|5|1313a a +=⇒+=，所以a 的值为－18或8． 21．（湖北卷）若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．22．（湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 ．解析：由⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则22y x +的最小值是5．23．（江苏卷）设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为【正确解答】 画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为1824．（江西卷）已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： A ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； B ．对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）25．（全国卷I ）设2z y x =-，式中变量x y 、满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-1232312y y x y x ，则z 的最大值为_____________．解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足2z y x =-的最大值是点C ，代入得最大值等于11．26．（全国II ）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ ．27．(上海卷)已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ． 解：由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：d ； 28．(上海卷)已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a =____． 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233a -=-，则a =2． 29．(上海卷)已知实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2y x -的最大值是_________．解析：实数,x y 满足3025000x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则2y x -的最大值是0．30．（四川卷）设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则2z x y =-的最小值为 ;解析：设,x y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，在直角坐标系中画出可行域△ABC ，其中A(1，21)，B(1，8)，C(4，2)，所以2z x y =-的最小值为－6．31．（天津卷）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =____________．32．（天津卷）若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)3y x x =≥相切，则这个圆的方程为 ．解析：若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线(0)y x x =≥相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为22(1)(1x y -+=．33．(重庆卷)已知变量x ,y 满足约束条件1≤x+y ≤4,-2≤x-y ≤2．若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为___________．解析：变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤在坐标系中画出可行域。

排列与组合一、知识导学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号mn A 表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示. 规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号m n C 表示.7.本节公式（1）排列数公式)1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---=m n n n n n A mn（这里ｍ、ｎ∈*N ，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式n m n n n n n A A C m mm n mn)1()3)(2)(1(+-⋅⋅⋅---==（这里ｍ、ｎ∈*N ，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质m n n m n C C -= 规定：10=n C11-++=m nm n m n C C C 二、疑难知识导析1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。

从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同.)!(!m n n A mn -=)!(!!m n m n C mn -=2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数.3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题.解排列应用题时应注意以下几点：①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法.②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考. ③恰当分类，合理分步.④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用. 解排列应用题的基本思路： ①基本思路：直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数.②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等.4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.5．排列与组合的区别与联系：①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关.②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数mn A ，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数mn C ；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数mm A .根据分步计数原理，得到mn A ＝mn C mm A .从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）. 三、经典例题导讲10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数c bx ax y ++=2 的系数a ，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？注：本题也可用间接解法.共可构成38A 个函数，其中a ＝0时有27A 个均不符合要求，从而共有38A －27A ＝294个不同的二次函数.以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？错解：按照上底面取出点的个数分三类：第一类，上底面恰取一点，这时下底面取三点，有3313C C ＝3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取两点，有2323C C ＝9个；上底面取3点时，下底面取一点，有3313C C ＝3个.综上知，共可组成3＋9＋3＝15个不同的三棱锥.错因: 在上述解法中，第二类情形时，所取四点有可能共面.这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法.正解：在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有46C ＝15取法，其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有15－3＝12个不同的三棱锥.4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？ （4）男女生相间的坐法有多少种？ （5）女生顺序已定的坐法有多少种？解：⑴从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有44A 种坐法；而大元素内部的小元素间又有44A 种坐法.故共有44A 44A ＝576种坐法. ⑵因为女生 互不相邻，故先将4名男生排好，有44A 种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有35A 种排法.故共有44A 35A ＝1440种排法. ⑶类似（1）可得：334422A A A ⋅⋅＝288种 ⑷男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的3个空档中，有33A 种排法.故共有44A 33A ＝144种排法. ⑸7个元素的全排列有77A 种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有33A 排法，可知 77A 中重复了33A 次，故共有77A ÷33A ＝47A ＝840种排法. 本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有47A 种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有47A ＝840种排法.某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？解：若千位数字与个位数字中有一个为0 ，则另一个为2，且0只能在个位，2在千位，这样有四位数有38A 个.若千位与个位都不含有0，则应为1与3、2与4，3与5、4与6,5与7、6与8,7与9，这样的四位数有7×22A ×28A 个.∴共有28A ＋722A ×28A ＝840个符合条件的四位数四、典型习题导练1．6把椅子摆成一排，3人随机就坐，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A.144 B.120 C.72 D.24 【答案】D 【解析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有3424A =种考点：排列、组合及简单计数问题2．若33210n n A A =，则n ＝（ ）A ．1B ．8C ．9D ．10 【答案】B 【解析】试题分析：()()()()332102212210128n n A A n n n n n n n =∴--=--∴=考点：排列数公式3．一个五位自然数12345{012345}12345i a a a a a a i ∈=，，，，，，，，，，，，当且仅当123a a a >>，345a a a <<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ） （A ）110 （B ）137 （C ）145 （D ）146 【答案】D 【解析】【思路点晴】本题考查排列组合基础知识，意在考查学生分类讨论思想、新定义数学问题的理解运用能力和基本运算能力.有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略.在处理具体问题时，应能合理分类与准确分步.首先要弄清楚：要完成的是一件什么事，完成这件事有几类方法，每类方法中，又有几个步骤.这样才会不重复、不遗漏地解决问题.4．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有（ ） A ．336种 B ．120种 C ． 24种 D ． 18种 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，3本不同的书，插入到原来有5本不同的书中，可分为三步：第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所成形成的6个间隔中，有166A =种方法；第二步：再插入第二本，插入到原来6本不同的书排成的一排所成形成的7个间隔中，有177A =种方法；第三步：再插入第三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所成形成的8个间隔中，有188A =种方法；共有678336⨯⨯=种不同的插入方法，故选A ．考点：分步计数原理；排列与组合．5．把尾号分别为1,2,3,4,5的5张世园会参观券全部分给4个人，每人至少1张，如果分给同一个人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 。