多次不等式

高中数学解题技巧之二元多次不等式在高中数学的学习中，二元多次不等式是一个重要的考点。

解决二元多次不等式问题需要掌握一些解题技巧和方法。

本文将介绍一些常见的解题思路和技巧，并通过具体题目的解析来说明。

一、二元多次不等式的基本概念二元多次不等式是指含有两个未知数的多次不等式，形如f(x,y)>0或f(x,y)<0。

其中，f(x,y)是关于x和y的多项式函数。

二、解题思路和方法1. 利用图像法解题对于一些简单的二元多次不等式，我们可以通过绘制其图像来解决问题。

例如，考虑不等式x^2+y^2<1，我们可以绘制出圆心在原点、半径为1的圆的图像。

然后，我们只需要判断点(x,y)是否在圆内即可得到不等式的解集。

2. 利用代数法解题对于一些复杂的二元多次不等式，我们可以通过代数方法来解决。

例如，考虑不等式x^2+y^2-2x-4y+4>0，我们可以将其转化为(x-1)^2+(y-2)^2>1的形式。

然后，我们可以通过判断点(x,y)是否在圆心为(1,2)、半径为1的圆的外部来得到不等式的解集。

3. 利用函数性质解题对于一些特殊的二元多次不等式，我们可以利用函数的性质来解决。

例如，考虑不等式x^2+y^2-2xy-2x-2y+1>0，我们可以将其转化为(x-y-1)^2+(x-1)^2+(y-1)^2>0的形式。

然后，我们可以利用平方的非负性质得到不等式的解集。

三、具体题目解析1. 题目：解不等式x^2+y^2<4。

解析：这是一个简单的二元多次不等式，我们可以通过绘制图像来解决。

绘制出圆心在原点、半径为2的圆的图像后，我们可以发现圆内的所有点(x,y)都满足不等式x^2+y^2<4。

因此，不等式的解集为圆的内部。

2. 题目：解不等式x^2+y^2-6x-4y+5>0。

解析：这是一个较为复杂的二元多次不等式，我们可以通过代数方法来解决。

将不等式转化为(x-3)^2+(y-2)^2>4的形式后，我们可以发现圆心为(3,2)、半径为2的圆的外部的所有点(x,y)都满足不等式x^2+y^2-6x-4y+5>0。

〈二〉不等式1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．(2)简化假设：精选问题中的关键变量．(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．(4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．过关训练一、不等式的性质及应用1(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B(2)若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y练1 若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．二、利用基本不等式求最值题型一：构造积为定值1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为 变式1、当x <0时，y ＝12x＋4x 的最 值为 变式2、若a <1，则a ＋1a －1有最____值为________ 变式3、已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值为变式4、设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________ 变式5、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________题型二：构造和为定值2.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________变式1、当0<x <13时，则x (1-3x )的最大值为变式2、若x >0，则的最大值为变式3、若x >0，y >0，且x 2＋y 2＝8，则的最大值为变式4、若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为 题型三：“1”的妙用 3.已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________变式1、设x >0，y >0，且821x y +=，则x ＋y 的最小值为_______变式2、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________变式3、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 变式4、若0<x <1，则y ＝491x x+-的最小值为________ 变式5、若x >-1,y >0且满足x+2y =1，则121x y ++的最小值为________ 题型四：建立求解目标不等式求最值4.已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为__________变式1、若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________变式2、若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________变式3、若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________题型五：代换减元求最值5.若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是__________变式1、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为__________变式2、【2020年江苏高考12题】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值为__________【2020年天津高考14题】已知a >0，b >0，且ab ＝1，则11822a b a b +++的最小值为 三、三个二次之间的关系若不等式ax 2+bx+2>0的解集是)31,21(-,则a-b 的值为 练：不等式ax 2 +bx+c>0的解集为(-1，2),则不等式cx 2+bx+a<0的解集为四、解含参-元二次不等式1、能分解因式:比较两根大小2、不能分解:讨论判别式解关于x的不等式x2- 5ax +6a2>0,a≠0. 解关于x的不等式(m2+1)x2-4x+1≥0.3、二次项系数含参:讨论开口方向4、综合讨论解关于x的不等式ax2+(a+2)x+1>0. 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.。

多次不等式的解法教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.掌握用函数图象分析不等式解集的方法.2.理解数形结合思想.教学过程1.多次不等式求解集的一般思路：（1）配成交点式（乘积形式），方程的根将数轴分成若干段；（2）分析各段函数值的正负，画出函数图象；（3）根据不等号方向确定不等式解集.2.多次不等式的解法归纳：（设n x x x x <<<<...321）（1）二次不等式：0))((21>--x x x x ，0))((21<--x x x x .分类讨论：当2x x ≥时，0>y ；当21x x x <<时，0<y ；当1x x ≤时，0>y .函数))((21x x x x y --=的图象不等式0))((21>--x x x x 取x 轴上方部分，其解集为}|{21x x x x x ><或不等式0))((21<--x x x x 取x 轴下方部分，其解集为}|{21x x x x <<-------------------------------------------------------------------------------------------------------（2）三次不等式：0))()((321>---x x x x x x ，0))()((321<---x x x x x x . 分类讨论：当3x x ≥时，0≥y .当32x x x <<时，0<y .当21x x x ≤≤时，0≥y .当1x x <时，0<y .函数))()((321x x x x x x y ---=的图象不等式0))()((321>---x x x x x x 取x 轴上方部分，其解集为}|{321x x x x x x ><<或不等式0))()((321<---x x x x x x 取x 轴下方部分，其解集为}|{321x x x x x x <<<或-------------------------------------------------------------------------------------------------------（3）四次不等式：0))()()((4321>----x x x x x x x x ，0))()()((4321<----x x x x x x x x .函数))()()((4321x x x x x x x x y ----=的图象不等式0))()()((4321>----x x x x x x x x 取x 轴上方部分，其解集为}|{4321x x x x x x x x ><<<或或不等式0))()()((4321<----x x x x x x x x 取x 轴下方部分，其解集为}|{4321x x x x x x x <<<<或-------------------------------------------------------------------------------------------------------简要讨论五次不等式的解集.规律总结：最大根的右侧函数值总大于0（图象在x 轴上方），正负交替出现（图象一上一下，如穿针引线）.（4）含高次的不等式的解集.①0)())((3221>---x x x x x x 函数)())((3221x x x x x x y ---=的图象其解集为}|{31x x x x x ><或-------------------------------------------------------------------------------------------------------②0)())((3321≤---x x x x x x 函数)())((3321x x x x x x y ---=的图象其解集为}|{321x x x x x x ≤≤≤或-------------------------------------------------------------------------------------------------------③0)()())(()(54453221>-----x x x x x x x x x x 函数)()())(()(54453221x x x x x x x x x x y -----=的图象其解集为}|{532x x x x x x ><<或------------------------------------------------------------------------------------------------------- 规律：从右往左，由上向下；穿针引线，奇穿偶转.例1：解不等式0)5)(1()4)(3(32≤+-+-x x x x练习1：解不等式0)6)(5()3()2(5524>+-+-x x x x x练习2：02323222≤---+x x x x反思___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________。

高中数学解题技巧之一元多次不等式在高中数学中，一元多次不等式是一个常见的考点。

解决一元多次不等式问题需要掌握一些基本的解题技巧和方法。

本文将从基本概念入手，逐步介绍解决一元多次不等式的方法，并通过具体的例题进行说明和分析，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这些技巧。

一、基本概念一元多次不等式是指含有一元变量的多项式不等式，其中变量的次数大于等于2。

解决一元多次不等式的关键在于确定不等式的解集，即满足不等式的变量取值范围。

二、解决一元多次不等式的方法1. 求解不等式的根对于一元多次不等式，我们可以通过求解其等式的根来确定不等式的解集。

例如，对于不等式$x^2-3x>0$，我们可以先求解方程$x^2-3x=0$，得到根$x=0$和$x=3$，然后根据根的位置和不等式的符号确定解集为$x<0$或$x>3$。

2. 利用函数图像对于一元多次不等式，我们可以利用函数图像来确定不等式的解集。

例如，对于不等式$x^3-4x^2+4x>0$，我们可以画出函数$y=x^3-4x^2+4x$的图像，然后根据函数图像和不等式的符号确定解集为$x<0$或$0<x<1$或$x>2$。

3. 利用不等式的性质一元多次不等式具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来简化解题过程。

例如，对于不等式$x^4-5x^2+4>0$，我们可以将其转化为$(x^2-4)(x^2-1)>0$，然后利用零点的位置和不等式的符号确定解集为$x<-2$或$-1<x<1$或$x>2$。

三、具体例题分析1. 例题一：解不等式$x^3-3x^2-4x+12>0$。

解题思路：首先，我们可以通过求解方程$x^3-3x^2-4x+12=0$得到根$x=2$和$x=3$，然后根据根的位置和不等式的符号确定解集为$x<2$或$x>3$。

2. 例题二：解不等式$x^4-4x^3+4x^2-4x+1\leq0$。

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c ＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0).(2)若ab >0，且a >b ⇔1a <1b.2.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记a ＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ac 2＞bc 2.(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为∅.(4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P72思考交流改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a d ＞b cB.a d ＜b cC.a c ＞b dD.a c ＜b d 解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质可知－a d ＞－bc ＞0.两边同乘－1，得a d ＜bc. 答案 B 3.(必修5P113A1改编)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( ) A.(－2，3) B.(－2，2) C.(－2，2]D.[－2，2]解析 因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2]. 答案 C4.(2018·抚州联考)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD.a 2>ab >b 2解析 c ＝0时，A 项不成立； 1a －1b ＝b －a ab>0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab<0，选项C 错. 由a <b <0，∴a 2>ab >b 2.D 正确. 答案 D5.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2－x －3>0的解集为________.解析 由2x 2－x －3>0，得(x ＋1)(2x －3)>0， 解得x >32或x <－1.∴不等式2x 2－x －3>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－1.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32或x <－16.(2018·汉中调研)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.解析 若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立， 若a ≠0，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0， 综上，得a ∈[－4，0]. 答案 [－4，0]考点一 不等式的性质多维探究角度1 比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误；③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C角度2 利用不等式变形求范围【例1－2】 (一题多解)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________.解析 法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10. 法二由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1). 又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示， 当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3，1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5，10]规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3>b 3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14，则ab 的取值范围是________.解析 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3>b 3；当a 3>b 3时，有a >b ，但若b <a <0，则a >|b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3>b 3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4<1b <8，又1<a <3，所以4<ab<24.答案 (1)A (2)(4，24)考点二 一元二次不等式的解法【例2－1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是{x |－12<x <－13}，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________.解析 (1)设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ). 又f (0)＝0. 于是不等式f (x )>x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).(2)由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.答案 (1)(－3，0)∪(3，＋∞) (2){x |x ≥3或x ≤2} 【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a＜－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅). (3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3](2)(2019·铜川一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3) C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 (1)不等式可化为2x 2－5x －3（x －1）2≤0，即（2x ＋1）（x －3）（x －1）2≤0， 解得－12≤x <1或1<x ≤3.(2)关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3). 答案 (1)D (2)C考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－2，2)D.(－2，2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2（a －2）]2－4×（a －2）×（－4）<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2，2]. 答案 D角度2 在给定区间上恒成立【例3－2】 (一题多解)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 故mx 2－mx ＋m －6＜0，则m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立. 法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0.法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可.因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 得f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A.[0，1]B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0B.－2C.－52D.－3解析 (1)当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立，当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k （k ＋8）≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[0，1]. (2)由于x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 (1)A (2)C [思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x>2yB.lg x >lg yC.1x >1yD.x 2>y 2解析 因为2x>2y⇔x >y ，所以“2x>2y ”是“x >y ”的充要条件，A 正确；lg x >lg y ⇔x >y >0，则“lg x >lg y ”是“x >y ”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1y”和“x 2>y 2”都是“x >y ”的既不充分也不必要条件.答案 A3.不等式|x |(1－2x )>0的解集为( )A.(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12.答案 A4.(2018·延安质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m<－1nB.m －n <m －nC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn解析 取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.只有B 项成立(事实上2－1<2－1). 答案 B5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1). 答案 D 二、填空题6.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析 原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a7.规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是________. 解析 由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1， 所以－1<k <1. 答案 (－1，1)8.(2019·宜春质检)设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值. 解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解(1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是( )A.log 2a >0B.2a －b<12C.log 2a ＋log 2b <－2D.2a b ＋b a <12解析 由题意知0<a <1，此时log 2a <0，A 错误；由已知得0<a <1，0<b <1，所以－1<－b <0，又a <b ，所以－1<a －b <0，所以12<2a －b<1，B 错误；因为0<a <b ，所以a b ＋ba >2a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a>22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )<log 214＝－2，C 正确.答案 C12.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A13.已知－1<x ＋y <4，2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是________.解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232 14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解 因为函数f (x )是偶函数，故函数图像关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.。

多元变量最值问题是一类较为复杂的题型.当目标式中的变量彼此相互独立、没有制约时，可多次使用基本不等式来求最值.我们知道应用基本不等式a +b ≥2ab ()a >0,b >0解题的三个条件是:一正二定三相等.而多次使用基本不等式，不仅要确保三个条件成立，还要采用一些技巧，如提取公因式、添减项、用“1”代换、放缩不等式等，拼凑出两式的和或积的形式，来求得最值.下面结合实例来说明。

例1.已知x >0,y >0，则x +y x +16xy 的最小值为______.解：x +y x +16xy =x +1x æèçöø÷y +16y ，∵y >0，∴y +16y ≥8，当且仅当y =4时等号成立.∵x >0,∴x +y x +16xy ≥x +8x ≥=42，当且仅当x =22时等号成立，∴当且仅当x =22,y =4时，x +y x +16xy的最小值为42.目标式中既含有x 又含有y ，而且是分式，不能直接用基本不等式求最值，于是将后两项中的公因式1x提取出来，便可直接利用基本不等式求得y +16y 的最值，然后再次利用基本不等式求得x +8x 的最值，最后利用不等式的传递性便可求得x +y x +16xy 的最小值.这里提取公因式的目的是为再次使用基本不等式创造条件，即配凑出积的定值.例2.已知a >0,b >0,c >2，且a +b =2，那么ac b+c ab -c 2+的最小值为_____.解：ac b +c ab -c 2+=c æèöøa b +1ab -12，因为a >0，b >0，所以a b +1ab -12=a b +()a +b 24ab-12=5a 4b+b 4a当且仅当b =5a 时等号成立.又因为c >2，所以c æèöøa b +1ab -12≥+)c -2+5≥10+5，当且仅当c =2+2时等号成立，所以ac b +c ab -c 2+的最小值为10+5.题目条件中含有三个未知量a 、b 、c ，而条件中只有a 、b 有制约条件，即c 为独立变量，可先提取公因式c ，利用基本不等式求出a b +1ab的最小值，然后将不等式放缩，并添加项-5，使两式的积为定值，便可再次使用基本不等式求得最值.例3.设x +4y =1()x >0,y >0，s >t >0，则x 2s 2+ys 2xy+1st -t2的最小值为______.解：由x +4y =1可得x 2+y xy =x 2+()x +4y y xy =xy+1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13,y =13时“=”成立.而st -t 2=t ()s -t ≤éëêùûút +()s -t 22=s 24，当且仅当t =s -t 时“=”成立.于是x 2s 2+ys 2xy +1ts -t 2≥5s 2+4s 2≥45，当且仅当x =13,y =16,st时“=”成立.所以x 2s 2+ys 2xy +1st -t2的最小值为45.解答本题，三次使用了基本不等式.首先用“1”的代换，将目标式进行变形，运用基本不等式求得x y +4yx的最值，然后直接利用基本不等式的变形式ab ≤ab ≤æèöøa +b 22求得st -t 2的最大值，再放缩不等式，第三次使用基本不等式求得5s 2+4s2的最值.通过对这三道例题的分析，我们发现，在多次使用基本不等式的时候，需要对原式进行必要的整合和变形.有些题目有三个变量，但只有两个变量间有约束条件，可先运用基本不等式求出其最值，再根据不等式的性质对不等式进行放缩，以便再次使用基本不等式.在多次使用基本不等式时，需要注意等号成立的条件.（作者单位：福建省武平县第二中学）解题宝典43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

学必求其心得，业必贵于专精§7。

1 不等关系与不等式的性质1．两个实数比较大小的方法（1）作差法错误!（a，b∈R）；(2）作商法错误!(a∈R，b〉0）．2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a〉b⇔b<a⇔传递性a>b，b〉c⇒a〉c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性错误!⇒ac〉bc注意c的符号错误!⇒ac〈bc学必求其心得，业必贵于专精3(1）倒数的性质①a〉b，ab〉0⇒错误!<错误!.②a〈0〈b⇒错误!<错误!。

③a>b〉0,0<c<d⇒ac〉错误!。

④0〈a〈x<b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。

(2）有关分数的性质若a〉b>0，m〉0，则①错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m〉0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m〉0）．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1）a>b⇔ac2〉bc2。

( )（2)1a>错误!⇔a<b（ab≠0）．( )(3)a〉b，c>d⇒ac〉bd。

( ）（4)若错误!〈错误!<0，则|a｜>|b｜.（)(5)若a3〉b3且ab<0,则错误!>错误!.（)答案：（1）×（2)×(3）×（4)×（5）√1．（教材改编)下列四个结论，正确的是( ）①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d;②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒错误!〉错误!；④a>b〉0⇒错误!〉错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③答案：D2．若a<0，－1〈b<0，那么下列不等式中正确的是( )A．a<ab2<ab B．ab2〈a〈abC．a〈ab〈ab2D．ab2<ab〈a解析：选A.因为－1<b<0，所以b<0<b2<1，于是a<ab2<ab.3．若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是（)A．a－b>1－b B．a－1〉b－1C．a－1〉1－b D．1－a〉b－a解析:选C.由a>1知a－b>1－b，故A正确;由a〉b知a－1>b－1，故B正确；由1>b知1－a〉b－a，故D正确，C项错误，如当a＝3，b＝－3时,不成立．4．x＋y<2m的一个充分不必要条件是( )A．x<m或y<m B．x<m且y〈mC．x<m且y〉m D．x〈m或y>m解析:选B。

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。

其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

三．重要不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 2ab a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 22 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

不等式怎么解在我们的生活中，很多问题都是通过函数来求解。

函数具有的许多性质使得我们能够快速的解决问题。

今天我们来学习函数的应用。

函数的应用范围很广，而且有很多重要的应用。

我们今天主要讲的就是关于不等式处理的方法。

很多人都觉得不难，其实这句话是没有任何问题的。

只要掌握了函数的一些基本性质就可以轻松地解决问题了。

在函数的应用当中常常出现一些不等式或者不等式。

这就是由于不等式不等式的性质不一样导致的运用。

但是如何正确的使用这个方法呢？首先要掌握函数的概念。

简单易懂的解释是当某个函数在一个解以后会用到这两个函数时才出现不等式解这个问题。

不等式解就是解函数之前要记住两个关键词“x=2、y= a+ b”和“y= b”！两个函数是互相变化关系，我们可以根据这个关系直接去运用这两个不等式就可以了。

但是如果我们想知道不等式要怎么解？首先我们需要了解一下函数的定义以及它的解法跟我们人类所知道的不等式是一样的吗？下面我们就来看一下具体介绍吧！一、方程和不等式的解法这是解等式中常见的方法之一。

首先，我们需要记住: x=2、 y= a+ b (2)=0!当然不同种类的数根也是不同的概念。

所以“x=2”的含义应该是 x=2这只是一个表达式而已。

下面我们要着重介绍“X=2”这部分内容。

那么方程和不等式是怎样求解的呢？这里有一个非常重要的特征：用 y= a+ b求解方程。

首先我们需要知道2=2并且要记住这两个关键词“x=2”和“y= b”！两个词之间有一个区别和联系那就是“x=2”和“y= a+ b”。

也就是说你要知道自己所求出来的是哪一个值！也就是说不等式解必须是两个不等式解。

所以对于上面这样两种类型不等式解我们要记住这两个关键词“x=2”还有一个比较容易混淆是“1”或者是两个“1”加起来。

我们也可以将其称为“x=2”、“y= b”或者“y=a+ b”。

二、代入法当不等式满足形式 f (x)=(x+1)/2和 f (x)时，我们就可以通过代入法来解决。

专题12 多次使用基本不等式[真题]例1 （2020·江苏考试研究会·14）设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则22221x s ys xy st t ++- 的最小值为 . 【分析】所求22221x s ys xy st t ++-变形为2221x y s xy st t ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭.三次使用基本不等式，第一次，在条件41(0,0)x y x y +=>>下，求2x y xy+最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件0s t >>下，求2st t -最小值，为达到消t 的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式()()222+==24t s t s st t t s t -⎡⎤--≤⎢⎥⎣⎦；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得.【解析】由题x +4y =1(x ＞0，y ＞0)，x 2+y xy =x 2+(x +4y )y xy =x y +1+4y x ≥4+1=5，当且仅当x =13，y =16时，“=”成立． 因为0＜t ＜s ，则1ts －t 2=4s 2－(s －2t )2≥4s 2，当且仅当s =2t 时，“=”成立． 于是x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2≥5s 2+4s 2≥45， 当且仅当x =13，y =16，s =255，t =55时，“=”成立．所以x 2s 2+ys 2xy +1ts －t 2的最小值为45． 点评:多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.例2 （2020·徐州打靶卷·14）已知正数a ,b 满足ab a+2b ≥1，则(a +1)2+(b +2)2的最小值是 ． 【答案】22+12√2【解析】由平方均值不等式得√(a+1)2+(b+2)22≥(a+1)+(b+2)2，当且仅当a =b +1时，“=”成立由ab a+2b ≥1变形得2a +1b ≤1所以a +b ≥(a +b )(2a +1b )=3+(2b a +ab )≥3+2√2 ，当且仅当a =√2b ，即a =2+√2 ，b =1+√2时，“=”成立将a =2+√2 ，b =1+√2代入得(a +1)2+(b +2)2=22+12√2.所以(a +1)2+(b +2)2的最小值是22+12√2．例3 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，那么ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________． 【答案】10＋5【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋1ab －12＝a b ＋(a ＋b )24ab －12＝a b ＋a 2＋2ab ＋b 24ab －12＝5a 4b ＋b 4a ≥52，当且仅当b ＝5a 时等号成立．又因为c ＞2，由不等式的性质可得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12＋5c －2≥52c ＋5c －2. 又因为52c ＋5c －2＝52(c －2)＋5c －2＋5≥10＋5，当且仅当c ＝2＋2时等号成立， 所以ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为10＋ 5. 点评：本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式.[强化训练]1.（2020·扬州五月调研·12）已知x ＞0，y ＞0，则16y x x xy++的最小值为 ． 2.已知0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为 ．3.（2019·苏北三市第一学期期末联考·14）已知0x >，0y >，0z >，且6x z ++=，则323x y z ++的最小值为 ．4. （2020·海安中学12月考·11） 设正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，则实数x 的最小值为 ． 5.（2020·镇江八校第二次联考·13） 已知正数,a b 满足2(2)4a b a b +=，则a b +的最小值为 ．6. 若0x y >>323xy y +-的最小值为 ▲ ． 【答案或提示】1.【答案】【解析】所求变形为16116=()y x x y x xy x y++++ ∵y ＞0∴168y y +≥=，当且仅当4y =时，等号成立， ∵x ＞0，168y y+≥∴168y x x x xy x ++≥+≥=x = ∴16y x x xy ++的最小值为，当且仅当x =，4y =成立． 2.【答案】32【解析】∵22()()24b a b a b a b +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时，等号成立，∴222646432()4a a ab a b +≥+≥=-，当且仅当4a =时，等号成立， ∴264()a b a b +-的最小值为32，当且仅当4a =，2b =成立． 3. 【答案】374【解析】先减元323x y z ++＝323(6)x y x ++-＝32453()24x x y -+-+ 令3()3f x x x =-，245()(4g y y =+， 2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+，0x >，()f x 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增，所以，min ()f x ＝f （1）＝－2当y时，()g y 有最小值：min 45()4g y = 所以323x y z ++的最小值为－2＋454＝374.4.1．【解析】由正实数x ，y 满足x y xy x y+=-，化为11x y x y xy y x +-==+， 为求x 的最小值，将含“x ”项用“y ”的函数表示得：11x y x y x xy y +-==+∵1y y +≥（当且仅当1y =，“=”成立） ∴12x x -≥，解得21x +．∴实数x 1．5.【答案】2【解析】将已知条件2(2)4a b a b +=视为关于b 的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元.由2(2)4a b a b +=解得=b a -+∴2a b +=，当且仅当a =. 6. 【答案】10【提示】4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x ≥+，再利用导数知识解决.。