课时跟踪训练_数学_必修2

课时跟踪检测（九） 平面向量的应用A 级——学考合格性考试达标练1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2 解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.2．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：选D 由物理知识知F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，故F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝(1,2)．故选D.3．如果一架飞机向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么( )A ．s ＞|a |B ．s ＜|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比大小解析：选A s ＝200＋300＝500(km)，|a |＝2002＋3002＝10013(km)，∴s ＞|a |.故选A.4．已知两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．40 2 N解析：选B 如图，以F 1，F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F |＝2|F 1|＝20 N ，∴|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ．当它们的夹角为120°时，以F 1，F 2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F |＝|F 1|＝10 2 N ．故选B.5．在△ABC 中，若|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|得|AB ―→＋AC ―→|2＝|AB ―→－AC ―→|2，即AB ―→·AC―→＝0，∴AB ―→⊥AC ―→. ∴∠A ＝90°，即△ABC 为直角三角形．故选B.6．一条河宽400 m ，一船从A 出发垂直到达正对岸的B 处，船速为20 km /h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________． 解析：合速度|v 合|＝202－122＝16(km/h)＝8003(m/min)，∴t ＝400÷8003＝1.5(min)． 答案：1.5 min7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ―→·CB ―→＝________.解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，故AC ―→·CB ―→＝－CA ―→·CB ―→＝－|CA ―→||CB ―→|cos∠ACB ＝－52. 答案：－528．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA ―→＝a －b ，OB ―→＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：由题意，得|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA ―→⊥OB ―→，|OA ―→|＝|OB ―→|.由OA ―→⊥OB ―→得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |，由|OA ―→|＝|OB ―→|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a ·b ＝0，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝2，所以S △OAB ＝12×2×2＝1. 答案：19.如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝e ，DB ―→＝c ，DC ―→＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，所以e ·(c －d )＝0.因为BC ―→＝BD ―→＋DC ―→＝d －c ，所以AD ―→·BC ―→＝e ·(d －c )＝0所以AD―→⊥BC ―→，即AD ⊥BC .10.如图所示，用两根分别长5 2 m 和10 m 的绳子将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后G 点距屋顶的距离恰好为5 m ，求A 处受力的大小．解：由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角，设A 处所受的力为F a ，B 处所受的力为F b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|F a |cos 45°＝|F b |cos 30°，|F a |sin 45°＋|F b |sin 30°＝100. 解得|F a |＝1502－50 6.故A 处受力的大小为(1502－506)N.B 级——面向全国卷高考高分练1．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2解析：选D W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D.2．已知△ABC 满足AB ―→2＝AB ―→·AC ―→＋BA ―→·BC ―→＋CA ―→·CB ―→，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C 由题意得，AB ―→2＝AB ―→·AC ―→＋AB ―→·CB ―→＋CA ―→·CB ―→＝AB ―→·(AC ―→＋CB ―→)＋CA ―→·CB ―→＝AB ―→2＋CA ―→·CB ―→，∴CA ―→·CB ―→＝0，∴CA ―→⊥CB ―→，∴△ABC 是直角三角形．故选C.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ―→·AF ―→＝2，则AE ―→·BF ―→的值是( )A. 2B ．2C ．0D ．1解析：选A ∵AF ―→＝AD ―→＋DF ―→，AB ―→·AF ―→＝AB ―→·(AD ―→＋DF ―→)＝AB ―→·AD ―→＋AB ―→·DF ―→＝AB ―→·DF ―→＝2|DF ―→|＝2，∴|DF ―→|＝1，|CF ―→|＝2－1，∴AE ―→·BF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(BC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·CF ―→＋BE ―→·BC ―→＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝ 2.故选A.4.如图，设P 为△ABC 内一点，且2P A ―→＋2PB ―→＋PC ―→＝0，则S △ABP ∶S △ABC ＝( )A.15B.25C.14D.13解析：选A 设AB 的中点是D ，∵P A ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝－12PC ―→，∴PD ―→＝－14PC ―→，∴P 为CD 的五等分点，∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15.故选A. 5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析：根据题意得|α||β|sin θ＝12. 又|α|＝1，|β|≤1，∴12≤sin θ≤1，∴π6≤θ≤5π6. 答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π66．四边形ABCD 中，已知AB ―→＝DC ―→＝(1,1)且BA ―→|BA ―→|＋BC ―→|BC ―→|＝ 2 BD ―→|BD ―→|，则此四边形的面积等于________．解析：∵AB ―→＝DC ―→，∴四边形ABCD 是平行四边形．对BA ―→|BA ―→|＋BC ―→|BC ―→|＝ 2 BD ―→|BD ―→|两边平方得1＋1＋2BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝2，∴BA ―→·BC ―→＝0，∴BA ⊥BC ，且BA ＝BC ，∴四边形ABCD 是正方形，且|AB ―→|＝2，∴四边形ABCD 的面积为2.答案：27．已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC ⊥BD .证明：法一：∵AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，BD ―→＝AD ―→－AB ―→，∴AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋AD ―→)·(AD ―→－AB ―→)＝|AD ―→|2－|AB ―→|2＝0.∴AC ―→⊥BD ―→，即AC ⊥BD .法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．如图，以BC 所在直线为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系，则B (0,0)，设A (a ，b )，C (c,0)，则由|AB |＝|BC |得a 2＋b 2＝c 2.∵AC ―→＝BC ―→－BA ―→＝(c,0)－(a ，b )＝(c －a ，－b )，BD ―→＝BA ―→＋BC ―→＝(a ，b )＋(c,0)＝(c ＋a ，b )，∴AC ―→·BD ―→＝c 2－a 2－b 2＝0.∴AC ―→⊥BD ―→，即AC ⊥BD .C 级——拓展探索性题目应用练在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O (如图所示)的东偏南θcos θ＝210，θ∈(0°，90°)方向300 km 的海面P 处，并以20 km /h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝45解：设t h 后，台风中心移动到Q 处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ ＝θ－45°. ∵OQ ―→＝OP ―→＋PQ ―→，∴OQ ―→2＝(OP ―→＋PQ ―→)2＝OP ―→2＋PQ ―→2＋2OP ―→·PQ ―→.∴OQ ―→2＝OP ―→2＋PQ ―→2－2|OP ―→||PQ ―→|cos(θ－45°)＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45＝100(4t 2－96t ＋900)．依题意得OQ ―→2≤(60＋10t )2，解得12≤t ≤24.从而12 h 后该城市开始受到台风的侵袭．。

课时跟踪检测（二十二) 圆的一般方程层级一学业水平达标１．圆ｘ2+y２＋４ｘ－６ｙ－3＝0的标准方程为( )A．（x－2)2+(y-3)2＝16 B.(ｘ－2）2＋（y+3)2=16C．(ｘ＋2)2＋(ｙ－3)２＝１6 D．(x+2)2＋（y＋3)2＝1６解析：选Ｃ将x2＋y2＋4x－6y-3=０配方,易得(x＋2)2+（y-3)2=１6.２.将圆ｘ2＋y2-２x－４y＋4＝０平分的直线是(）A.x+ｙ-1=0B．x+y＋3＝0Ｃ．x－y＋1＝０D．x-y＋3=0解析：选Ｃ要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2）．A、Ｂ、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C。

３.方程x2+y2＋2ax＋2bｙ+a２＋b２=0表示的图形为（)A.以（ａ,b)为圆心的圆ﻩB.以(-a,-b)为圆心的圆C．点(a,b) ﻩ D.点(－a,－ｂ)解析：选Ｄ原方程可化为(x+ａ）2+(y+ｂ)2=0，∴错误!未定义书签。

即错误!∴表示点(-a，-b)．4．如果方程x２＋ｙ2＋Dx+Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称,则必有（）A.D＝EB.D＝FC．E＝Ｆ D.D=E=Ｆ解析:选A由D2+E２-4F>0知,方程表示的曲线是圆，其圆心错误!未定义书签。

在直线ｙ＝x 上，故D＝Ｅ.５．当ａ为任意实数时，直线(a－1）x－y＋a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，错误!未定义书签。

为半径的圆的方程为( )Ａ．x2+y2－2ｘ+4ｙ=０Ｂ．x２+ｙ2＋2x+4y=0C．x2＋y２＋２x－4ｙ=0 ﻩ D.ｘ２＋y2－2x－4y＝０解析:选C 直线(a－1)x－y＋a+1＝0可化为(-x－y＋1)＋ａ(1+x)=0,由错误!未定义书签。

得C（－1,2).∴圆的方程为(x+1）2＋(y－２)2＝５，即x２＋ｙ2+2ｘ－４ｙ=0.6.设Ａ为圆(x－１)２+y2=1上的动点，PA是圆的切线且ＰＡ=1，则P点的轨迹方程是____＿___．解析:设P(x,y)是轨迹上任一点，圆（x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0)，则PA2+1＝PB２，∴(x－1)２＋y2=２。

课时跟踪检测（十九） 直线的一般式方程一、题组对点训练对点练一 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程： y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0对点练二 由含参一般式求参数的值或取值范围5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－(－2m )，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4.6．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6.7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________． 解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 对点练三 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73， 解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎨⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.二、综合过关训练1．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．2或4解析：选C 因为直线l 2的斜率存在，故当l 1∥l 2时，直线l 1的斜率也一定存在，所以－1m ＝－m 4，解得m ＝±2. 2．直线cx ＋dy ＋a ＝0与dx －cy ＋b ＝0(c ，d 不同时为0)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．斜交D ．与a ，b ，c ，d 的值有关解析：选B d 与c 不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－c d ·dc ＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y－5＝0.4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53，或m ＝－2.7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

课时跟踪检测（十四） 直线的两点式方程层级一 学业水平达标1．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．2．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27D ．27解析：选D 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27.3．直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0，b ＞0.4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7解析：选D 令x ＝0得y ＝－7， ∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.5．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．32C ．3D ．－3解析：选A 直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.6．直线mx ＋ny ＋p ＝0(mn ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m ，n ，p 满足的条件是________． 解析：当p ＝0时，直线在两轴上的截距相等， 当p ≠0时，∵mn ≠0，∴－pm ＝－p n，即m ＝n . 答案：p ＝0或p ≠0且m ＝n7．直线l 在x ，y 轴上的截距的倒数之和为常数12，则直线过定点________．解析：由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，所以可得：1a ＋1b ＝12.∴2a ＋2b ＝1，∴过定点(2,2)．答案：(2,2)8．经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为________． 解析：①当横截距、纵截距都为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x .②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为y ＝－12x －12.综上，所求直线方程为y ＝－25x 或y ＝－12x －12.答案：y ＝－25x 或y ＝－12x －129．直线l 经过点A (2,1)和点B (a,2)，求直线l 的方程．解：①当a ＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2， 所以直线方程为x ＝2.②当a ≠2时，由y －21－2＝x －a2－a得x ＋(2－a )y ＋a －4＝0.∴当a ＝2时，所求直线方程为x ＝2；当a ≠2时，所求直线方程为x ＋(2－a )y ＋a －4＝0.10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解：设所求直线方程为x a ＋y b＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求直线l 的方程为y ＝－2x －2或y ＝－12x ＋1.层级二 应试能力达标1．下列四种说法，其中正确的是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)·(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示 D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示 解析：选B 只有B 正确．2．两条直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图象可能是下图中的( )解析：选B 两直线的方程分别化为y ＝n m x －n ，y ＝m nx －m ，易知两直线的斜率符号相同． 3．直线l 过两点(m,3)和(3,2)，且在x 轴上的截距是1，则m ＝( ) A ．－4 B ．4 C ．2D ．3解析：选B 由在x 轴上的截距是1，得m ≠3知y －23－2＝x －3m －3.当y ＝0时，则x ＝6－2m ＋3＝1知m ＝4.4．若直线y ＝(3－2t )x －6不经过第一象限，则t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析：选B 若直线不经过第一象限，则斜率小于等于零，且在y 轴上的截距小于或等于零，即3－2t ≤0，解得t ≥32.5．过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b 的直线方程为________．解析：①当a ≠0，b ≠0时，设直线l 的方程为x 3b ＋yb ＝1，把点(2，－1)代入直线方程得23b －1b＝1，得b ＝－13，∴a ＝－1，故直线l 的方程为x ＋3y ＋1＝0.②当a ＝3b ＝0时，直线过原点且过点P (2，－1)，∴直线l 的方程为y ＝－12x .答案：x ＋3y ＋1＝0或y ＝－12x6．过点P (1，－2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条． 解析：在两坐标轴上截距的绝对值相等，包括过原点、截距相等(不为0)、截距互为相反数(不为0)．答案：37．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连结A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)，由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.8．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．解：由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－4(舍去)；当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以，直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1， 即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.。

人教版高中数学必修二平面课时跟踪检测题一、基础级对点练一平面的概念1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A．平面MN B．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ2．如图所示，下列说法正确的是()A．可以表示a在α内B．把平面α延展就可以表示a在平面内C．因为直线是无限延伸的，所以可以表示直线a在平面α内D．不可以表示直线a在平面α内，因为画法不对对点练二点、线、面之间的关系3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则()A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉α D.Q∈α4．给出下列说法：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．其中所有正确说法的序号是________．对点练三平面基本性质的应用5．下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面6．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．二、提高级1．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线2．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是()A．1 B．2 C．3 D.1或33．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()∉，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C l定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过()A．点AB．点BC．点C，但不过点DD．点C和点D5．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．6．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是________．7．求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．。

尊敬的用户：感谢您下载使用本文件。

本文件是2020年底制作，经过制作、修改、完善等步骤，将大量优秀教师的一手资料进行整合，再继续深挖、编辑。

使之成套系，使之更适用于课堂教学与日常练习。

经过进一步加工、提炼，期待能够使您在使用中，得到更加完美的体验。

如果在使用过程中，发现有任何问题，请搜索微信订阅号：fifteen1617，联系客服，会有更大的惊喜等着您哦！使用本资源，您将得到非常完美的体验，感谢您的下载使用！~超级资源（共18套）人教版必修2（全册）课时跟踪检测卷汇总课时跟踪检测(一)孟德尔的豌豆杂交实验(一)一、选择题1．下列各项中属于相对性状的是()A．克隆羊的黑毛和白毛B．眼大和眼角上翘C．桃树的红花和绿叶D．豌豆的高茎和水稻的矮茎2．下列有关孟德尔一对相对性状杂交实验的说法中，不．正确的是()A．豌豆是自花受粉，实验过程免去了人工授粉的麻烦B．在解释实验现象时，提出的“假说”是F1产生配子时，成对的遗传因子分离C．解释性状分离现象的“演绎”过程：若F1产生配子时，成对的遗传因子分离，则测交后代出现两种性状表现类型，且比例接近1∶1D．检测假设阶段完成的实验：让子一代与隐性纯合子杂交3．孟德尔探索遗传规律时，运用了“假说—演绎法”，该方法的基本内涵是：在观察与分析的基础上提出问题后，通过推理和想象提出解决问题的假说，根据假说进行演绎推理，再通过实验证明假说. 下列相关叙述中不．正确的是()A．“为什么F1只有显性性状，F2又出现隐性性状？”属于孟德尔提出的问题之一B．“豌豆在自然状态下一般是纯种”属于孟德尔假说的内容C．“测交实验”是对推理过程及结果进行的检验D．“生物性状是由遗传因子决定的，体细胞中遗传因子成对存在”属于假说内容4．在“性状分离比的模拟”实验中，有人在两个小罐中分别放了10个、50个玻璃球. 下列对他的这种做法的评价，你认为正确的是()A．会影响配子出现的概率，从而导致实验结果误差增大B．两个罐中玻璃球数量不同，会影响实验的结果C．玻璃球数量少的罐代表雄性生殖器官D．玻璃球数量多的罐代表雄性生殖器官5．关于纯合子与杂合子的叙述正确的是()A．纯合子自交，后代不发生性状分离B．杂合子杂交，后代不发生性状分离C．纯合子自交，后代发生性状分离D．杂合子自交，后代不发生性状分离6．在孟德尔进行的一对相对性状的遗传实验中，具有1∶1比例的是()①F1产生配子的分离比②F2性状分离比③F1测交后代性状分离比④亲本杂交后代性状分离比⑤F2测交后代性状分离比A．①②B．③④C．②③⑤D．①③7．关于测交方式的叙述不．正确的是()A．F1×隐性类型→检测F1的遗传因子组成B．通过测定F1的遗传因子组成来验证对分离现象理论解释的科学性C．测F1的遗传因子组成是根据F1×隐性类型→所得后代表现型反向推知的D．测交时，与F1杂交的另一亲本无特殊限制8．孟德尔对一对相对性状进行研究的过程中，发现了分离定律. 下列有关分离定律的几组比例中，能说明分离定律实质的是()A．F2的表现型之比为3∶1B．F1产生的配子之比为1∶1C．F2的基因型之比为1∶2∶1D．测交后代之比为1∶1二、非选择题9．在一些性状遗传中，具有某种遗传因子组成的合子不能完成胚胎发育，导致后代中不存在该遗传因子组成的个体，从而使性状的分离比发生变化，小鼠毛色的遗传就是一个例子. 一个研究小组经大量重复实验，在小鼠毛色遗传的研究中发现：A．黑色鼠与黑色鼠杂交，后代全部为黑色鼠B．黄色鼠与黄色鼠杂交，后代黄色鼠与黑色鼠的数量比为2∶1C．黄色鼠与黑色鼠杂交，后代黄色鼠与黑色鼠的数量比为1∶1根据上述实验结果，回答下列问题(控制毛色的显性遗传因子用A表示，隐性遗传因子用a表示)：①黄色鼠的遗传因子组成是________，黑色鼠的遗传因子组成是________.②推测不能完成胚胎发育的合子的遗传因子组成是____________.③写出上述B、C两个杂交组合的遗传图解.10．果蝇的黑体(v)与灰体(V)是一对相对性状，某实验小组对果蝇的这对相对性状进行遗传研究. 如果用含有某种添加剂的食物喂养果蝇，所有的果蝇都是黑体，现有一只用含有该种添加剂的食物喂养的黑体雄果蝇，请设计一个实验探究其遗传因子组成.(1)应选取_______________________________________________________________果蝇与待测果蝇交配.(2)用___________________________________________________________________喂养子代果蝇.(3)通过观察子代果蝇性状，推断待测果蝇的遗传因子组成：①若子代________，则待测果蝇的遗传因子组成为VV；②________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________.答案1．选A眼大和眼角上翘不是同一种性状；C项也不符合同一性状的不同表现的要求；D项不是同一物种的性状.2．选A豌豆是自花传粉植物，而且是闭花受粉，在做杂交实验时要去雄并进行人工授粉.3．选B“豌豆在自然状态下一般是纯种”属于事实，是豌豆作为实验材料的优点，不属于假说内容.4．选D对于代表两性生殖器官的小罐，只要其中的两种玻璃球数量相等，两种配子出现的概率就相等，与玻璃球数量的多少无关. 对于大多数生物来说，都是雄性配子远多于雌性配子，所以代表雄性生殖器官的小罐中玻璃球的数量多于代表雌性生殖器官的小罐更符合实际情况.5．选A纯合子自交，后代全是纯合子，不会发生性状分离. 杂合子自交的后代既有纯合子，也有杂合子，会发生性状分离.6．选D F1产生两种比例相等的配子，F2的性状分离比为3∶1，F1测交后代性状分离比为1∶1.7．选D由于测交是指与隐性个体的杂交，所以可以检测另一个体遗传因子的组成，若发生性状分离，则另一个体是杂合子，若不发生性状分离则另一个体为纯合子；通过F1与隐性个体的测交，F1产生了比例相等的两种配子，验证了假说的正确性.8．选B分离定律的实质是：生物体在形成配子时，成对的遗传因子发生分离，分离后的遗传因子分别进入不同的配子中，随配子遗传给后代. 当F1为杂合子时，形成的两种配子比例为1∶1.9．解析：根据B组中黄色鼠的后代出现黑色鼠可知，B组亲本黄色个体为杂合子(Aa)，且黄色对黑色为显性，黑色个体都是隐性纯合子(aa). 由B组亲本黄色个体为杂合子(Aa)可知，其后代的遗传因子组成为1AA(黄色)∶2Aa(黄色)∶1aa(黑色)，AA个体在胚胎发育过程中死亡，则存活的黄色鼠遗传因子组成为Aa.答案：①Aa aa AA③B杂交组合：C杂交组合：10．解析：(1)根据题意可知，用含某种添加剂的食物喂养的果蝇全为黑色，则待测黑体果蝇的遗传因子组成可能为VV、Vv或vv，要确定其遗传因子组成，应选用遗传因子组成为vv的雌果蝇与其交配，且只能用不含添加剂的食物喂养得到的黑体果蝇(vv). 此外，为保证子代果蝇有较多数量，便于分析，可选用多只雌果蝇.(2)为防止食物中添加剂对子代果蝇体色产生影响，应用不含添加剂的食物来喂养子代果蝇.(3)根据杂交子代果蝇的体色，可推断被测果蝇的遗传因子组成：①若子代全为灰体，则待测果蝇的遗传因子组成为VV；②若子代全为黑体，则待测果蝇的遗传因子组成为vv；③若子代中既有灰体，也有黑体，则待测果蝇的遗传因子组成为Vv.答案：(1)多只用不含添加剂的食物喂养的黑体雌(2)不含添加剂的食物(3)①全为灰体②若子代全为黑体，则待测果蝇的遗传因子组成为vv③若子代既有灰体，也有黑体，则待测果蝇的遗传因子组成为Vv课时跟踪检测(五)基因在染色体上一、选择题1．已知果蝇的体细胞内有4对同源染色体，根据萨顿的假说，关于该动物减数分裂产生配子的说法正确的是()A．果蝇的精子中含有成对的基因B．果蝇的体细胞只含有一个基因C．果蝇的4对同源染色体上含有的基因可以同时来自父方，也可以同时来自母方D．在体细胞中，基因是成对存在的，在配子中只含有成对基因中的一个2．有关基因和染色体平行关系的叙述不．正确的是()A．基因在杂交过程中保持完整性和独立性，染色体在配子形成和受精作用中也有相对稳定的结构B．在体细胞中基因成对存在，染色体也成对. 在配子中成对的基因只有一个，同样成对的染色体也只有一条C．体细胞中成对的基因一个来自父方，一个来自母方，同源染色体也是如此D．非等位基因在形成配子时自由组合，非同源染色体在减数第二次分裂后期也是自由组合3．在某种高等动物的减数分裂过程中，等位基因的分离、非同源染色体上非等位基因的自由组合以及同源染色体上非姐妹染色单体之间的交叉互换分别发生在() A．都在减数第一次分裂后期B．减数第一次分裂前期、减数第一次分裂后期和减数第二次分裂后期C．都在减数第二次分裂后期D．减数第一次分裂后期、减数第一次分裂后期和减数第一次分裂前期4．通过对细胞有丝分裂、减数分裂和受精作用的研究，以及对染色体化学成分的分析，人们认为染色体在遗传上起重要作用. 那么，从细胞水平看，染色体能起遗传作用的理由是()A．细胞里的DNA大部分在染色体上B．染色体主要由DNA和蛋白质组成C．DNA在染色体里含量稳定，是主要的遗传物质D．染色体在生物传种接代中能保持稳定性和连续性5．果蝇的红眼对白眼为显性，且控制眼色的基因仅在X染色体上. 下列杂交组合中，通过眼色即可直接判断子代果蝇性别的一组是()A．杂合红眼雌果蝇×红眼雄果蝇B．白眼雌果蝇×红眼雄果蝇C．杂合红眼雌果蝇×白眼雄果蝇D．白眼雌果蝇×白眼雄果蝇6．某动物细胞中位于常染色体上的基因A、B、C分别对a、b、c为显性. 用两个纯合个体杂交得F1，F1测交结果为aabbcc∶AaBbCc∶aaBbcc∶AabbCc＝1∶1∶1∶1. 则F1体细胞中三对基因在染色体上的位置是()7．果蝇的红眼和白眼是由X染色体上一对等位基因控制的，现有一对红眼果蝇交配，F1中出现了白眼果蝇. 若F1的雌雄果蝇自由交配，则F2中红眼与白眼的比例为() A．3∶1B．5∶3C．13∶3D．7∶18．在果蝇中，长翅(B)对残翅(b)是显性，位于常染色体上；红眼(A)对白眼(a)是显性，位于X染色体上. 现有两只雄果蝇甲、乙和两只雌果蝇丙、丁，这四只果蝇的表现型全是长翅红眼，用它们分别交配，后代的表现型如下：甲×丁→长翅红眼、长翅白眼乙×丙→长翅红眼乙×丁→长翅红眼、长翅白眼、残翅红眼、残翅白眼对这四只果蝇基因型的推断正确的是()A．甲为BbX A Y B．乙为BbX a YC．丙为BBX A X A D．丁为bbX A X a二、非选择题9．已知果蝇的黑身与灰身是一对相对性状(显性基因用A表示，隐性基因用a表示)；长硬毛与短硬毛是另一对相对性状(显性基因用B表示，隐性基因用b表示). 现有两只果蝇杂交，所得子代的表现型及其数量如下表所示.(1)果蝇的黑身与灰身这对相对性状中，显性性状是________，理由是________________. 如果你的判断正确，那么用上表中一个灰身雌果蝇与一个灰身雄果蝇杂交，理论上应出现什么结果？__________________________________________________________________________________________________________________________.(2)果蝇短硬毛的遗传方式是________. 如果给你提供长硬毛雌果蝇、长硬毛雄果蝇、短硬毛雌果蝇、短硬毛雄果蝇，你将如何通过一次杂交对上述判断加以验证？(只要求写出遗传图解)10．实验室中现有一批未交配过的纯种长翅灰体和残翅黑檀体的果蝇. 已知长翅和残翅这对相对性状受一对位于Ⅱ号同源染色体上的等位基因控制. 现欲利用以上两种果蝇研究有关果蝇灰体与黑檀体性状的遗传特点(说明：控制果蝇灰体和黑檀体的基因在常染色体上，所有果蝇均能正常繁殖、存活)，请设计一套杂交方案，同时研究以下两个问题：问题一：研究果蝇灰体、黑檀体是否由一对等位基因控制，并作出判断.问题二：研究控制灰体、黑檀体的等位基因是否也位于Ⅱ号同源染色体上，并作出判断.(1)杂交方案：①选取________和________两亲本杂交得F1；②F1________得F2；③分析判断.(2)对问题一的推断及结论：若F2出现性状分离，且灰体与黑檀体果蝇数目之比为________，说明控制该对性状的是一对等位基因；反之，则不是由一对等位基因控制.(3)对问题二的推断及结论：如果F2出现________种表现型，且分离比为________，说明性状的遗传符合自由组合定律，因此控制灰体、黑檀体的这对等位基因不是位于Ⅱ号同源染色体上. 反之，则可能位于Ⅱ号同源染色体上.答案1．选D根据萨顿的假说，基因和染色体行为存在着明显的平行关系，在体细胞中基因成对存在，染色体也是成对的. 在配子中成对的基因只有一个，同样，成对的染色体也只有一条；体细胞中成对的基因一个来自父方，一个来自母方，不可能同时来自父方或母方.2．选D在减数分裂过程中，同源染色体上的等位基因彼此分离的同时，非同源染色体上的非等位基因自由组合，这一过程发生在减数第一次分裂的后期.3．D4．选D注意题干中“从细胞水平看，染色体能起遗传作用的理由”. A和B选项是从分子水平说明染色体的化学组成，C选项也是从分子水平说明染色体中DNA含量的特点，这些都与题意不符.5．选B“通过眼色即可直接判断子代果蝇性别”即子代雌性和雄性果蝇眼色不同. 设红眼由基因A控制、白眼由基因a控制. A项为X A X a×X A Y→雌性都是红眼，雄性1/2红眼、1/2白眼，不能直接判断子代果蝇性别；B项为X a X a×X A Y→雌性都是红眼，雄性都是白眼，可以直接判断子代果蝇性别；C项为X A X a×X a Y→后代雌雄各1/2红眼和1/2白眼，不能直接判断子代果蝇性别；D项为X a X a×X a Y→后代全是白眼，也不能直接判断子代果蝇性别.6．选B测交就是让F1与隐性纯合子杂交，目的是确定F1的基因型. 根据题干可知，测交后代有四种基因型，说明F1产生了四种配子，即abc、ABC、aBc、AbC，由此可推出，A、a和C、c位于同一对同源染色体上.7．选C果蝇眼色是伴X染色体隐性遗传，红眼是显性，白眼是隐性. 由题意可知，F1的基因型是X A X A、X A X a、X A Y、X a Y，雌性个体中X A X A、X A X a各占1/2，雄性个体中X A Y、X a Y也是各占1/2，随机交配后，计算出白眼的比例即可. 白眼占的比例为(1/2)×(1/2)×(1/4)＋(1/2)×(1/2)×(1/2)＝3/16，因此红眼的比例为13/16.8．选C由于四个亲本都是长翅红眼，乙和丁的后代有残翅白眼，说明乙的基因性是BbX A Y，丁的基因型是BbX A X a；甲和丁的后代只有长翅，说明甲的基因型是BBX A Y；乙和丙的后代只有长翅红眼，说明丙的基因型是BBX A X A.9．解析：(1)子代中灰身与黑身出现3∶1的分离比，且子代中这对性状的表现与性别不相关联，因此灰身为显性性状，基因位于常染色体上，亲本的基因型为Aa×Aa；若选取子代中一个灰身雌果蝇与一个灰身雄果蝇杂交，选出的杂交组合有AA×AA、AA×Aa或Aa×Aa，因此杂交子代的结果为全部灰身或灰身与黑身呈现3∶1的分离比. (2)子代中长硬毛与短硬毛出现3∶1的分离比，且短硬毛均为雄性，因此长硬毛为显性性状，基因位于X 染色体上，亲本的基因型为X B X b×X B Y. 基因位于X染色体上的验证方法是取隐性雌性与显性雄性杂交，即短硬毛雌果蝇与长硬毛雄果蝇杂交.答案：(1)灰身子代中，灰身与黑身呈现出3∶1的分离比全是灰身或者灰身与黑身呈现出3∶1的分离比(2)伴X染色体隐性遗传遗传图解如图短硬毛雌果蝇长硬毛雄果蝇P X b X b×X B Y↓F1X B X b X b Y雌果蝇均为长硬毛雄果蝇均为短硬毛10．解析：如果果蝇灰体、黑檀体是由一对等位基因控制的，则该对性状的遗传符合基因的分离定律，F2的性状分离比表现为3∶1，否则就不是由一对等位基因控制；如果控制灰体、黑檀体的等位基因不位于Ⅱ号同源染色体上，则体色和翅形这两对相对性状的遗传遵循基因的自由组合定律，F2的性状分离比是9∶3∶3∶1，否则控制果蝇体色的基因就可能位于Ⅱ号同源染色体上.答案：(1)①长翅灰体残翅黑檀体②雌雄果蝇杂交(2)1∶3或3∶1(3)4 9∶3∶3∶1课时跟踪检测(七)DNA是主要的遗传物质一、选择题1．一百多年前，人们就开始了对遗传物质的探索历程. 下列有关叙述错误的是() A．最初认为遗传物质是蛋白质，是因为推测氨基酸的多种排列顺序可能蕴含遗传信息B．格里菲思通过肺炎双球菌的转化实验得出“DNA是遗传物质”的结论C．噬菌体侵染细菌实验之所以更有说服力，是因为它将蛋白质与DNA分开进行研究D．用烟草花叶病毒等进行实验，证明了RNA是该病毒的遗传物质2．在肺炎双球菌的转化实验中，在培养有R型细菌的1、2、3、4四支试管中，依次加入从S型活细菌中提取的DNA、DNA和DNA酶、蛋白质、多糖，经过培养，结果发现试管内仍然有R型细菌的是()3．(海南高考)关于T2噬菌体的叙述，正确的是()A．T2噬菌体的核酸和蛋白质中含硫元素B．T2噬菌体寄生于酵母菌和大肠杆菌中C．RNA和DNA都是T2噬菌体的遗传物质D．T2噬菌体可利用寄主体内的物质大量增殖4．格里菲思用肺炎双球菌在小鼠身上进行了著名的转化实验，此实验结果()A．证明了DNA是遗传物质B．证明了RNA是遗传物质C．证明了蛋白质是遗传物质D．没有具体证明哪一种物质是遗传物质5．在肺炎双球菌的转化实验中，能够证明DNA是遗传物质的最关键的实验步骤是()A．将无毒R型活细菌与有毒S型活细菌混合后培养，发现R型细菌转化为S型细菌B．将无毒R型活细菌与加热杀死后的S型细菌混合后培养，发现R型细菌转化为S 型细菌C．从加热杀死后的S型细菌中提取DNA、蛋白质和多糖，加入培养R型细菌的培养基中，发现R型细菌转化为S型细菌D．从S型活细菌中提取DNA、蛋白质和多糖，分别加入培养R型细菌的培养基中，发现只有加入DNA，R型细菌才能转化为S型细菌6．生物兴趣小组模拟赫尔希和蔡斯做了噬菌体侵染细菌实验如下图. 有关分析不．正确的是()A．理论上，b中不应具有放射性B．b中含放射性的高低，与②过程中搅拌是否充分有关C．若b中含有放射性，说明与①过程中培养时间的长短有关D．上述实验过程并不能证明DNA是遗传物质二、非选择题7．1952年“噬菌体小组”的赫尔希和蔡斯研究了噬菌体的蛋白质和DNA在侵染细菌过程中的功能，请回答下列有关问题：(1)他们指出“噬菌体在分子生物学中的地位就相当于氢原子在玻尔量子力学模型中的地位. ”这句话指出了噬菌体作为实验材料具有__________________的特点.(2)通过____________________________________的方法分别获得被32P和35S标记的噬菌体，用标记的噬菌体侵染细菌，从而追踪在侵染过程中__________变化.(3)侵染一段时间后，用搅拌器搅拌，然后离心得到上清液和沉淀物，检测上清液中的放射性，得到如下图所示的实验结果. 搅拌的目的是________________，所以搅拌时间少于1 min时，上清液中的放射性__________. 实验结果表明当搅拌时间足够长时，上清液中的35S和32P分别占初始标记噬菌体放射性的80%和30%，证明__________________.图中“被侵染的细菌”的存活率曲线基本保持在100%，本组数据的意义是作为对照组，以证明____________，否则细胞外________的含量会增高.(4)本实验证明在噬菌体复制和遗传过程中____________起着作用.8．请分析以下实验并回答问题.有人曾重复做了“肺炎双球菌转化实验”，步骤如下：a．将一部分S型细菌加热杀死；b．制备符合要求的培养基并均匀分为若干组，将相应菌种分别接种到各组培养基上(如下图中文字说明部分)；c．将接种后的培养基置于适宜温度下培养一段时间后，观察菌落生长情况，实验结果如下图所示.本实验可得出的结论是______________________________________________________.(2)艾弗里等人通过实验证实了在上述细菌转化过程中起作用的是DNA. 请用DNA酶做试剂，选择适当的材料用具，设计实验方案，验证“促使R型细菌转化成S型细菌的物质是DNA”，并预测实验结果，得出实验结论.①实验方案如下.第一步：从S型细菌中提取出其DNA. 同时，制备符合要求的培养基，并将盛有等量培养基的培养装置分别标号A、B、C；第二步：_________________________________________________________________；第三步：_________________________________________________________________；第四步：_________________________________________________________________.②请预测实验结果并得出合理结论. __________________________________________.③通过本实验，还有得出的新的结论：_______________________________________.答案1．选B格里菲思通过肺炎双球菌的转化实验证明S型细菌中存在一种“转化因子”，证明该“转化因子”是DNA的科学家是艾弗里，他提取S型细菌的蛋白质、多糖、DNA、脂质等，分别将其与R型细菌混合培养，证明了只有加入DNA 时，才可以实现R型细菌的转化.2．选D2、3、4三支试管内只有R型细菌，因为没有S型细菌的DNA，所以三支试管中的R型细菌都不会发生转化. 1号试管因为有S型细菌的DNA，所以会使R型细菌发生转化，但是发生转化的R型细菌只是一部分，故试管内仍然有R型细菌存在.3．D4．选D格里菲思实验只是肺炎双球菌转化实验中体内转化实验部分，实验的结论是被杀死的S型菌中含有“转化因子”，这种“转化因子”到底是什么，该实验并没有证明，而证明工作是由艾弗里来完成的.5．选D S型活细菌的各成分分开后，分别加入培养R型细菌的培养基中，只有DNA 使R型细菌转化为S型细菌，则证明DNA是遗传物质.6．选C用35S只能标记噬菌体的蛋白质外壳，噬菌体侵染细菌时，其蛋白质外壳留在细菌的细胞外，而搅拌的目的是使吸附在细菌细胞外的噬菌体及蛋白质外壳与细菌分离，离心是让上清液中析出噬菌体颗粒，沉淀物中留下被感染的大肠杆菌，因此，搅拌越充分，蛋白质外壳与细菌分离得越彻底，b中放射性越低，如果使蛋白质外壳与细菌彻底分离，则b中不含放射性. 上述实验并没有“示踪”DNA在遗传中的作用，因此不能证明DNA是遗传物质. b中理论上不含放射性，与①过程中培养时间的长短无关.7．(1)结构简单，只含有蛋白质和DNA(核酸)(2)用含32P和35S的培养基分别培养大肠杆菌，再用噬菌体分别侵染被32P和35S标记的大肠杆菌DNA和蛋白质的位置(3)使噬菌体和细菌分离较低DNA进入细菌，蛋白质没有进入细菌细菌没有裂解，没有子代噬菌体释放出来32P(4)DNA 8．解析：第(2)题是验证实验. 欲证明促进R型细菌转化的物质是DNA，可用DNA酶将S型细菌的DNA破坏，看其是否还能使R型细菌转化为S型细菌. 解答时可考虑以下几个方面：①设置对照实验，在实验组中加入提取的S型细菌的DNA；在对照组中，一组中不加任何提取物，另一组中加入提取的S型细菌的DNA和DNA酶. ②单一变量的控制，即只有培养细菌的培养基中是否加入S型细菌的DNA这一个实验变量，其余的变量(如接种的细菌种类、数量以及培养条件等)应基本相同.答案：(1)S型细菌中的“某种物质”(转化因子)能使R型细菌转化成S型细菌，而且这种转化是可遗传的(2)①第二步：A中不加任何提取物，B中加入提取的S型细菌的DNA，C中加入提取的S型细菌的DNA和DNA酶(顺序可变)第三步：在三组培养基上分别接种等量的R型细菌第四步：将接种后的培养装置放在适宜温度下培养一段时间后，观察菌落生长情况②结果预测：A中只有R型细菌菌落；B中出现R型细菌和S型细菌两种菌落；C中只有R型细菌菌落. 结论：S型细菌的DNA可以使R型细菌转化为S型细菌③DNA 只有在结构保持完整、未被破坏的前提下才具有促使R型细菌转化为S型细菌的功能课时跟踪检测(八)DNA分子的结构一、选择题1．下列关于沃森和克里克构建DNA双螺旋结构模型的叙述，错误的是()A．沃森和克里克构建DNA双螺旋结构模型是建立在DNA是以4种脱氧核苷酸为单位连接而成的长链，这4种脱氧核苷酸分别含有A、T、G、C 4种碱基的认知基础上的B．威尔金斯和富兰克林通过对DNA衍射图谱的有关数据进行分析，得出DNA分子呈。

第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案：D2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋F ＝0.12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3.答案：D3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．6C ．±2D ．2解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上．∴a 4＋12－1＝0，a ＝2.答案：D4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：R 2＝k 2＋4－4k 24＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＞2.答案：D 6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )A ．k ＝－2，b ＝5B ．k ＝2，b ＝5C ．k ＝2，b ＝－5D ．k ＝－2，b ＝－5解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，∴2－0－4－0×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－28．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝09．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心在x 轴上，∴－E 2＝0，则E ＝0.此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －6＝0三、解答题10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.即⎩⎨⎧ D －E ＋F ＝－2，－D ＋E ＋F ＝－2，D ＋E ＝－4.∴⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.所以23t >－9，即t >－332.(2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋t 22＝(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)4， 由条件知，圆的半径是3，所以3＝12 (3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).所以23t ＋9＝36.所以t ＝932>－323，所以t ＝932.12．已知一圆过点P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆与y 轴的交点为A (0，m )，B (0，n )，令x ＝0，则y 2＋Ey ＋F ＝0，所以m 、n 是这个方程的根，且m ＋n ＝－E ，mn ＝F .所以|AB |2＝(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ＝E 2－4F ＝(43)2，故E 2－4F ＝48. ①又因为点P (4，－2)、Q (－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，且1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.即4D －2E ＋F ＋20＝0， ②－D ＋3E ＋F ＋10＝0. ③解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4. 因此圆的方程是x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.13．已知Rt △AOB 中|OB |＝3|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|P A ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，设P (x ，y )，内切圆半径为r ，则有|OA |·r ＋|OB |·r ＋|AB |·r ＝|OA |·|OB |所以r ＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0,2]，故|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π，所以所求面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。

第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积课时跟踪检测[A组基础过关]1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A．2 B．3C．4 D．6解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．其中AB为高，底面是直角三角形，V＝13AB×12BD×CD＝13×2×12×3×2＝2，故选A．答案：A2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13＋π B．23＋πC．13＋2π D．23＋2π解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A．答案：A3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是()A．96 B．128C．140 D．152解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，V＝S·h＝12×6×4×8＝96.答案：A4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A．839B．439C．239D．439或839解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝2 3，底面面积S＝34a2＝39，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝439；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2＝439，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.答案：D5．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A．26B．23C．33D．23解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为22，∴V＝2×13×1×1×22＝23.故选B．答案：B6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．解析：由S侧＝πrl＝20π，l＝5得r＝4，∴圆锥的高h＝l2－r2＝3.∴圆锥的体积为V＝13πr2·h＝16π.答案：16π7．(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.答案：438．已知某几何体的俯视图是边长分别为8和6的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的侧面积．解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .如图所示，(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，因此S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.[B 组 技能提升]1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15解析：由三视图可知，正方体被平面截去三棱锥A1－AB1D1，设正方体的边长为a，V正＝a3，VA1－AB1D1＝13×12a2·a＝16a3，∴V A1－AB1D1V剩＝16a3a3－16a3＝15，故选D．答案：D2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，则这个球的体积为() A．9π B．932πC．27π D．2732π解析：∵棱长为3的正方体的体对角线长为33，∴球半径为332，∴V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫3233＝2732π.故选D．答案：D3．一个底面半径为R的圆柱形水桶中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球(水面漫过球)，水面高度恰好升高r，则Rr＝________.解析：由题知43πr3＝πR2·r，∴R r＝233.答案：23 34．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由主视图知，三棱锥的高为1，底面是腰长为2，底边为23的等腰三角形，∴V＝13×12×23×1×1＝33.答案：3 35．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843.6．圆台的母线长为6 cm，它的轴截面等腰梯形的一条对角线与一腰垂直且与下底所成的角为30°，求该圆台的体积．解：如图，等腰梯形AA1B1B为圆台的轴截面，AA1＝6 cm，∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，于是AB＝2AA1＝12 cm，由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1BA＝30°，又∠A＝90°－30°＝60°，得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，故△A1B1B为等腰三角形，∴A1B1＝B1B＝6 cm.又OO1·AB＝AA1·A1B得，OO1＝AA1·A1BAB＝6×6312＝33(cm)，由圆台的体积公式：V圆台＝13π·OO1·(A1O21＋A1O1·AO＋AO2)＝13·π·33·(32＋3×6＋62)＝633π(cm3)．。

课时跟踪检测(四) 等差数列的性质及其应用1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5＝( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9解析：选A 由等差中项的性质得a 1＋a 9＝2a 5＝10，所以a 5＝5. 2．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 法一：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 3．已知数列{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－12 B ．－22 C.12 D ．32解析：选A ∵数列{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝π， ∴a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π，解得a 5＝π3，∴a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，∴cos(a 2＋a 8)＝cos 2π3＝－cos π3＝－12.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 2 016＝log 27，a 2 022＝log 2 17，则a 2 019＝( )A ．0B ．7C ．1D ．49解析：选A ∵数列{a n }是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a 2 019＝a 2 016＋a 2 022＝log 27＋log 217＝log 21＝0，故a 2 019＝0.5．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40解析：选B 因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10.由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.故选B.6．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a 1＝4，a 3＝12，所以d ＝12－43－1＝4. 答案：47．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 解析：由{a n }，{b n }都是等差数列可知{a n ＋b n }也是等差数列，设{a n ＋b n }的公差为d ， 所以a 3＋b 3＝(a 1＋b 1)＋2d ， 则2d ＝21－7，即d ＝7. 所以a 5＋b 5＝(a 1＋b 1)＋4d ＝35. 答案：358．在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在数列{a n }中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．解析：法一：设新的等差数列的公差为d .由a 1＝8，a 5＝2，得a 3＝a 1＋a 52＝8＋22＝5，a 2＝a 1＋a 32＝8＋52＝132，所以d ＝a 2－a 12＝132－82＝－34.法二：设新的等差数列为{b n }，其公差为d ，则b 1＝a 1＝8，b 9＝a 5＝2，所以d ＝b 9－b 19－1＝2－88＝－34. 答案：－349．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件： (1)a 3＋a 5＋a 7＝93；(2)满足a n ＞100的n 的最小值是15. 试求公差d 和首项a 1的值． 解：∵a 3＋a 5＋a 7＝93， ∴3a 5＝93，∴a 5＝31， ∴a n ＝a 5＋(n －5)d . 令a n ＞100，得n ＞69d＋5.∵满足a n ＞100的n 的最小值是15， ∴14≤69d＋5＜15，∴6910＜d ≤723，又d 为正整数，∴d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.10．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第1档次)解：设在相同的时间内，从低到高每档产品的产量分别为a 1，a 2，…，a 10， 每件产品的利润分别为b 1，b 2，…，b 10，则{a n }，{b n }均为等差数列，且a 1＝60，d 1＝－3，b 1＝8，d 2＝2， 则a n ＝60－3(n －1)＝－3n ＋63，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6，所以利润f (n )＝a n b n ＝(－3n ＋63)(2n ＋6)＝－6n 2＋108n ＋378＝－6(n －9)2＋864. 显然，当n ＝9时，f (n )max ＝f (9)＝864.即在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．1．(多选)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是( )A ．甲得钱是戊得钱的2倍B ．乙得钱比丁得钱多12钱C ．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D ．丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱解析：选AC 依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，且a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，d ＝－16，即a －2d ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝43，a －d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝76，a ＋d ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝56，a ＋2d ＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝23， ∴甲得43钱，乙得76钱，丙得1钱，丁得56钱，戊得23钱，则有如下结论：甲得钱是戊得钱的2倍，故A 正确；乙得钱比丁得钱多76－56＝13钱，故B 错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的43＋176＝2倍，故C 正确；丁、戊得钱的和比甲得钱多56＋23－43＝16钱，故D 错误．故选A 、C.2．[多选]下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个说法，其中正确的是( ) A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{na n }是递增数列 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列D ．数列{a n ＋3nd }是递增数列解析：选AD a n ＝a 1＋(n －1)d ，d >0，∴a n －a n －1＝d >0，A 正确；na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，B 不正确； 对于C ：a n n ＝a 1n ＋n －1nd ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋d n n －1，当d －a 1>0，即d >a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 递增， 但d >a 1不一定成立，C 不正确； 对于D ：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0. ∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，D 正确．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，写出一个同时满足条件①②的等差数列{a n }的通项公式a n ＝________.①S n 存在最小值且最小值不等于a 1； ②不存在正整数k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2.解析：若a 2<0，则满足①，又由不存在正整数k ，使得S k >S k ＋1且S k ＋1<S k ＋2，则可得S n连续两项取得最小值，即存在n 使得a n ＝0，则可得{a n }的通项公式可以是a n ＝2n －6.答案：2n －6(答案不唯一)4．已知{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋a 3＝12，a 8＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{b n}，试求数列{b n}的通项公式．解：(1)设{a n}的公差为d.∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4.∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，解得d＝2.∴a n＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.∴{b n}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴b n＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.5．下表是一个“等差数阵”：ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式，以及2 020这个数在“等差数阵”中所在的一个位置．解：(1)a45表示数阵中第4行第5列的数．先看第1行，由题意4,7，…，a15，…成等差数列，公差d＝7－4＝3，则a15＝4＋(5－1)×3＝16.再看第2行，同理可得a25＝27.最后看第5列，由题意a15，a25，…，a45成等差数列，∴a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.(2)该“等差数阵”的第1行是首项为4，公差为3的等差数列a1j＝4＋3(j－1)；第2行是首项为7，公差为5的等差数列a2j＝7＋5(j－1)；第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，∴a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝j(2i＋1)＋i.要求2 020在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数i，j，使得j(2i＋1)＋i ＝2 020，∴j ＝2 020－i 2i ＋1.又∵j ∈N *，∴当i ＝1时，得j ＝673.∴2 020在“等差数阵”中的一个位置是第1行第673列．。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

课时跟踪检测（二） 空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( )A．＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2a解析：选ABC　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正确．m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确．a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确．a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正确．2．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝k e1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )A．－6 B．6C．3 D．－3解析：选B　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，∴(2e1＋3e2)·(k e1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD 的中点，则AE·AF的值为( )A．a2B．a2C．a2D．a2解析：选C　AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是( )A．2 B．C． D．解析：选C　由于EF＝EA＋AA1＋A1F，所以|EF|＝＝＝，即EF的长是.5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )A．6 B．6C．12 D．144解析：选C　因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________.解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.答案：148．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是________．解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE，AF〉的余弦值；C1E(2)求证：BD1⊥EF.解：(1)AF＝AD＋DF＝AD＋AA1，CE＝CC1＋C1E＝AA1＋CD＝AA1－AB.因为AB·AD＝0，AB·AA1＝0，AD·AA1＝0，所以CE·AF＝·＝.又|AF|＝|CE|＝，所以cos〈CE，AF〉＝.(2)证明：因为BD1＝BD＋DD1＝AD－AB＋AA1，EF＝ED1＋D1F＝－(AB＋AA1)，所以BD1·EF＝0，所以BD1⊥EF.即BD1⊥EF.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明：BD⊥PC；(2)求|AC＋PC|的值．解：(1)证明：∵BD＝BC＋CD，∴BD·PC＝(BC＋CD)·PC＝BC·PC＋CD·PC＝|BC||PC|·cos 60°＋|CD||PC|cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.(2)∵AC＋PC＝AB＋BC＋PC，∴|AC＋PC|2＝|AB|2＋|BC|2＋|PC|2＋2AB·BC＋2AB·PC＋2BC·PC＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|AC＋PC|＝a.1．[多选]在正方体ABCDA1B1C1D1中，则下列命题正确的是( )A．(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2B．A1C·(A1B1－A1A)＝0C．AD1与A1B的夹角为60°D．正方体的体积为|AB·AA1·AD|解析：选AB　如图所示，(AA1＋AD＋AB)2＝(AA1＋A1D1＋D1C1)2＝AC12＝3AB2；A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0；AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°；正方体的体积为|AB||AA1|| AD|.综上可知，A、B正确．2．设空间上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：选B　因为DB＋DC－2DA＝(DB－DA)＋(DC－DA)＝AB＋AC，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|＝|AC|，即△ABC是等腰三角形．3.如图，在长方体ABCDAB1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则B1C与A1P所成角的大小为________，B1C·A1P＝________.解析：法一：连接A1D，则∠PA1D就是B1C与A1P所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即B1C与A1P所成角的大小为60°.因此B1C·A1P＝××cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B1C·A1P＝(A1A＋)·＝AD2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈B1C，A1P〉＝1，从而〈B1C，A1P〉＝60°.答案：60°　14.在四面体OABC中，各棱长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE 与BF所成角的余弦值．解：取OA＝a，OB＝b，OC＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.又∵OE＝(a＋b)，BF＝c－b，∴OE·BF＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.又|OE|＝，|BF|＝，∴cos〈OE，BF〉＝＝－，∵异面直线夹角的范围为，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0，同理可得AC·BA＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°.又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|2＝|BA|2＋|AC|2＋|CD|2＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉．∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈BA，CD〉＝120°时，|BD|2＝2，此时B，D间的距离为.。

课时跟踪检测(二十五)圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用一、题组对点训练 对点练一圆与圆的位置关系1.圆 01： X 2 + y 2— 4y + 3 = 0 和圆 0?： x 2+ y 2— 16y = 0 的位置关系是( )A .相离B .相交C .相切D .内含解析：选 D 因为 r i = 1, r 2= 8, |0i 02| = “ 0— 0 2+ 2— 8 2= 6,则 |0i 02| v r 2 — r i .所以两圆内含.2 .若两圆x 2+ y 2= m 和x 2+ y 2 + 6x — 8y — 11= 0有公共点，贝U 实数m 的取值范围是( )A . ( — 3 1)B . (121 ,+^ )C . [1,121]D . (1,121)解析：选C x 2+ y 2 + 6x — 8y — 11 = 0化成标准方程为(x + 3)2+ (y — 4)2 = 36.圆心距为d = 寸(0+ 3 $+ (0- 4 f = 5,若两圆有公共点，贝U |6—/m|< 5< 6 + ^m,^1< m < 121.3 .两圆x 2+ y 2= r 2, (x — 3)2+ (y + 1)2= r 2外切，则正实数r 的值是 _____________ . 解析：由题意得，2r =寸(3- 0 $+ ( - 1 - 0 丫 ={10,即卩 r="2°. 答案：<°4.已知圆 C ： x 2+ y 2 — 8x + 15= 0,直线y = kx + 2上至少存在一点 P ，使得以点 P 为圆 心，1为半径的圆与圆 C 有公共点，则实数 k 的最小值是 _________________ .解析：将圆C 的方程化为标准方程，得(x — 4)2+ y 2= 1，故圆心为C(4,0)，半径r = 1.又直 线y = kx +2上至少存在一点 P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆 C 有公共点，所以点答案：—45.求与圆(x — 2)2 + (y + 1)2= 4相切于点A(4, — 1)且半径为1的圆的方程. 解：设所求圆的圆心为 P(a , 6,则，a — 4 2+ b + 1 2= 1.① (1)若两圆外切，则有 U(a - 2 f + (b + 1 f = 1+ 2= 3,②C 到直线y = kx + 2的距离小于或等于2,即|4k — 0 + 2|k 2+ 1解得—£w k w 0,所以实数k 的最小值是4 3.联立①②，解得a = 5, b=- 1所以，所求圆的方程为(x —5)2+ (y+ 1)2= 1;(2)若两圆内切，则有- a—2 2+ b+ 1 2= |2—1|= 1,③联立①③，解得a = 3, b=—1,所以，所求圆的方程为(x —3)2+ (y+ 1)2= 1.2 2 2 2综上所述，所求圆的方程为(X —5) + (y+ 1) = 1或(x —3) + (y+ 1) = 1.对点练二直线与圆的方程的应用6 .一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为 3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A. 1.4 米 B . 3.5 米C . 3.6 米D . 2 米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系•如图设蓬顶距地面高度为h,则A(0.8, h— 3.6)所在圆的方程为：x2+ (y+ 3.6)2= 3.62,把A(0.8,2 2 2h—3.6)代入得0.8 + h = 3.6 .•••h = 4 0.77 3.5(米).7 .某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路V2 km和2迄km , 且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识知，该点应是过A、B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系.由题意，得A( 2, 2), B(0,2 2),2 2 2设圆的方程为(x —a) +(y—b) = b ,由A、B两点在圆上，得由实际意义知a= 0, b= . 2,a = 0, a= 4 2,厂或丫厂b= ,2 b= 5 2,•圆的方程为x2+ (y—2)2= 2，切点为(0,0),•观景点应设在B景点在小路的投影处.8 •为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心0向正北走8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D ,修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.解：以0为坐标原点，过 OB , 0C 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系,2 2则圆0的方程为x + y = 1.因为点B(8,0), C(0,8),所以直线BC 的方程为£+ y = 1，即x + y = 8.当点D 选在与直线 BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距—、综合过关训练1•半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆X 2+ (y - 3)2= 1内切，则此圆的方程为( )2 2A. (x - 4) + (y - 6) = 6B. (x ±4)2+ (y - 6)2= 6C. (x - 4)2+ (y - 6)2= 362 2D. (x ±4) + (y - 6) = 36解析：选D •••半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a,b),则b = 6(b =- 6舍去).再 由-a 2 + 32= 5，可以解得a = ±1，故所求圆的方程为(x ±4)2+ (y -6)2= 36.2 •已知点 M 在圆 C 1： (x + 3)2+ (y - 1)2= 4 上，点 N 在圆 C 2： (x - 1)2+ (y + 2)2= 4 上, 则|MN|的最大值是()A . 5B . 7C . 9D . 11解析：选C 由题意知圆C 1的圆心C 1( - 3,1)，半径长r 1= 2;圆C 2的圆心C 2(1,- 2), 半径长r 2= 2.因为两圆的圆心距 d = [1 - - 3]2+ [ - 2 - 1]2 = 5>n+ r 2= 4,所以两圆相离, 从而|MN |的最大值为 5 + 2 + 2= 9.故选C.3 •已知半径为1的动圆与圆(x - 5)2+ (y + 7)2= 16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A . (x — 5)2+ (y - 7)2= 25B . (x - 5)2+ (y -7)2= 17 或(x - 5)2+ (y + 7)2 = 15C . (x - 5)2+ (y - 7)2= 9D . (x — 5)2+ (y + 7)2= 25 或(x - 5)2+ (y + 7)2= 9解析：选D 设动圆圆心为(x , y),若动圆与已知圆外切，贝U- x - 5 2+ y + 7 2= 4+ 1,离.所以DE 长的最小值为|0+ 0 - 8|—1= (W2- 1) km.•••(x- 5)2+ (y+ 7)2= 25;若动圆与已知圆内切，贝U x-5 2+ y+ 7 2= 4- 1 ,「.(x- 5)2+ (y+7)2= 9.4 .设两圆C i, C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C i C2|=( )A. 4B. 4 2C. 8 D . 8 2解析：选C •••两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1) ,•••两圆圆心均在第一象限且横、2 2 2 2纵坐标相等•设两圆的圆心分别为(a, a), (b, b)，则有(4 —a) + (1 —a) = a , (4 —b) + (1 —2 2 2 2 2b) = b ,即卩a, b为方程(4 —x) + (1 —x) = x的两个根，整理得x —10x +17= 0,.・.a+ b= 10, ab= 17.2 2•••(a —b) = (a+ b) —4ab= 100 —4X 17 = 32,.••|C1C2| = a-b2+ a —b 2= 32X 2= 8.5.若圆x2+ y2= 4 与圆x2+ y2+ 2ay—6 = 0(a>0)的公共弦长为2^3,贝V a = ____________ .解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y=-，利用圆心(0,0)到直aa= 1.答案：16 .已知圆C1: x2+ y2—2mx+4y+ m2—5= 0 和圆C2：x2+ y2+ 2x= 0.(1) 当m= 1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(2) 是否存在实数m,使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当m= 1时，圆C1的方程为(x —1)2+ (y+ 2)2= 9,圆心为6(1, —2)，半径长为门 =3,2 2圆C2的方程为(x+ 1) + y = 1，圆心为C2(—1,0),半径长为“ =1,两圆的圆心距d= 1 + 1 2+ —2—0 2= 2 2,又门+ r2= 3 + 1 = 4, r1—“= 3—1 = 2,所以r1 —r2< d v门+ “，所以圆G和圆C2相交.⑵不存在实数m,使得圆C1和圆C2内含.理由如下：.. 2 2 ..圆C1的方程可化为(x—m) + (y+ 2) = 9，圆心G的坐标为(m, —2),半径为3.线的距离d= —.32= 1，解得假设存在实数m,使得圆C1和圆C2内含,则圆心距 d =・’m+ 1 2+ —2 —0 2< 3 —1,2即(m+ 1)2< 0，此不等式无解.故不存在实数m,使得圆C i和圆C2内含.7. 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+ y2= 9,港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线i的方程为x+y= i,7 4即4x + 7y—28= 0.圆心(0,0)到航线4x+ 7y—28= 0的距离4=一号812=28，而半径r= 3,「.d>r, 寸42+ 72V65•••直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响.。

最新人教A版高中数学必修二全册同步课时跟踪练习棱柱、棱锥、棱台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征中心投影与平行投影及空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体的表面积与体积球的体积和表面积平面空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面、平面与平面平行的判定直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质倾斜角与斜率两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标、两点间的距离点到直线的距离、两条平行线间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A三棱柱只有面对角线，没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体，说法正确的是()A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D解决这类问题，要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义，正确；图③不满足侧面都是平行四边形，不正确．3．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.5．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是()解析：选C棱台的底面为多边形，各个侧面为梯形，侧棱延长后又交于一点，只有C 项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()解析：选C本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.8．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D，M，R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记，若记面NPGF为“下”，面PSRN为“后”，则面PQHG，MNFE，EFCB，DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体，则点D，M，R重合；点G，C重合；点B，H重合；点A，S，Q重合．故②④正确，①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是()A．0 B．1C．2 D.3解析：选A由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱，故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()解析：选A两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：选D选项A错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后，(1)为________，(2)为________，(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，OA＝4 cm，OB＝3 cm，所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是()解析：选D A选项中的几何体是圆锥，B选项中的几何体是圆柱，C选项中的几何体是球，D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形，使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π解析：选B由题意可知，假设围成的圆柱底面周长为4，高为2，设圆柱底面圆的半径为r，则2πr＝4，所以r＝2π，所以截面是长为2，宽为4π的矩形，所以截面面积为2×4π＝8π.同理，当围成的圆柱底面周长为2，高为4时，截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.2．下列说法中正确的个数是()①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()解析：选D结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是()A．1B．7C．3或4 D.1或7解析：选D如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体，则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a，则a2＝1－22a1，即a＝2 2.答案：22cm7.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14 (cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一平行投影和中心投影1．直线的平行投影可能是()A．点B．线段C．射线 D.曲线解析：选A直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是()解析：选A根据平行投影和中心投影的画法规则，B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形，而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图，E，F分别是正方体ABCD-AB1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为()A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D.上面为棱台，下面为圆柱解析：选C结合三视图，易知该几何体上面为圆台，下面为圆柱．5．如图所示的几何体中，正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形，(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为() A．217 B．2 5C．3 D.2解析：选B先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．∵ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON2＝22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥．答案：正四棱锥9．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图，其中图(1)是________，图(2)是________，图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知，(1)为正视图，(2)为侧视图，(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D矩形的平行投影可能是线段，平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错，故D 正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B依题意，侧视图中棱的方向从左上角到右下角，故选B.3.某个游戏环节，玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为()解析：选A由题意知，图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图，结合选项中给出的图形分析可知，A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中，正视图和侧视图是两个完全相同的图形，如图所示，则相应的俯视图可以为()A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D若俯视图为图①，则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线，故俯视图不可能为图①，排除选项A；若俯视图为图③，则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形，故俯视图不可能为图③，排除选项B、C；若俯视图为图②，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④，则该几何体是由上面是正四棱锥，下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸23为俯视图正三角形的高，所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示)．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，求三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则三棱锥P -ABC 的正视图始终是一个底为1，高为2的三角形， 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时，其俯视图的面积最小， 最小面积S 2＝12×1×1＝12，所以三棱锥P -ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时，∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴，而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知，平行于y 轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D 正确．4．如图，已知等腰三角形ABC ，则如图所示的四个图中，可能是△ABC 的直观图的是 ( )A．①②B．②③C．②④ D.③④解析：选D原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别是∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．解：(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．对点练二由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长为22，结合各选项可知选A.7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ACC．BC D.AD解析：选B由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2D.4 2解析：选C在△AOB中，OB＝O′B′＝1，OA＝2O′A′＝22，且∠AOB＝90°，S△AOB＝12OA·OB＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500，11 000，1500计算，最后单位转化为cm.2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32) cm D.(2＋23) cm解析：选B直观图中，O′B′＝2，原图形中OC＝AB＝(22)2＋12＝3，OA＝BC ＝1，∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为()A．2 2 B. 2C．16 2 D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴，所以在△ABO 中，AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16，所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8，所以A ′B ′＝4.如图，作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′，所以B ′C ′＝A ′C ′，所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ，垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22，高为2， ∴原平面图形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图，四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与O 重合， 在x 轴上取点C ，使AC ＝2， 再在y 轴上取点D ，使AD ＝2， 取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ， 使DE ＝EB ，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴，且使CB ＝AD ＝2，然后连接AB ，DC )，如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝2，AC ＝2，∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶ 3 C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S底＋S 侧＝6π. 答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1，则高h ＝l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积VA -A 1EF ＝VE -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V 棱柱＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝23. 2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：选A 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，。

课时跟踪检测（九）空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系层级一学业水平达标1．正方体的六个面中互相平行的平面有( )A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B 作出正方体观察可知,3对互相平行的平面．2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内解析：选 A 延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知,三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．3．若a∥α,b∥α,则直线a,b的位置关系是( )A．平行或异面B．平行或相交C．相交或异面D．平行、相交或异面解析：选D 若a∥α,b∥α,则直线a,b的位置关系可能是平行、相交或异面．4．若直线a,b是异面直线,且a∥α,则直线b与平面α的位置关系是( )A．b⊂α B．b∥αC．b与α相交D．以上都有可能解析：选D 首先明确空间中线、面位置关系有且只有三种：平行、相交、直线在平面内．本题中直线b与平面α可能平行,可能相交,也可能在平面内,故选D.5．若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分解析：选C 如图所示,可以将空间划分为7部分．6．已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,则下列说法中正确的序号为________．①若a∥b,b⊂α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线；②若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线；③若α∥β,a⊂α,则a∥β；④若α∩β＝b,a⊂α,则a与β一定相交．解析：①中a∥b,b⊂α,所以不管a在平面内或平面外,都有结论成立,故①正确；②中直线a与b没有交点,所以a与b可能异面也可能平行,故②错误；③中直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故③正确；④中直线a与平面β有可能平行,故④错误．答案：①③7．若直线m不平行于平面α,且m⊄α,则m与α的位置关系是________．答案：相交8．空间中三个平面将空间分成________部分．解析：①当三个平面两两平行时,将整个空间分成4部分；②当三个平面中有两个互相平行,且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有1条交线时,分成6部分；③当三个平面两两相交且交线为3条互相平行的直线时,分成7部分；④当三个平面两两相交于共点的三条直线时,分成8部分．答案4或6或7或89.如图,已知平面α和β相交于直线l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么,平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．解：平面ABC与平面β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行,AB⊂α,l⊂α,∴AB与l是相交直线．设AB∩l＝P,则点P∈AB,点P∈l.又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,∴P∈平面ABC且P∈平面β,即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．而C也是平面ABC与平面β的一个公共点,又∵P,C不重合,∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线,即平面ABC∩平面β＝直线PC.而直线PC∩l＝P,∴平面ABC与平面β的交线与l相交．10．三个平面α,β,γ.如果α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b,且直线c⊂β,c∥b.(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又c⊂β,所以c与α无公共点,则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a,γ∩β＝b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,所以a,b没有公共点．因为a,b都在平面γ内,所以a∥b,又c∥b,所以c∥a.层层级一应试能力达标1．若直线a,b是异面直线,a⊂β,则b与平面β的位置关系是( )A．平行B．相交C．b⊂β D．平行或相交解析：选D ∵a,b异面,且a⊂β,∴b⊄β,∴b与β平行或相交．2．与同一个平面α都相交的两条直线的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能解析：选D 如图所示：故相交、平行、异面都有可能．3．已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面．①a∥c,b∥c⇒a∥b；②a∥c,c∥α⇒a∥α；③a∥β,a∥α⇒α∥β；④a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.其中正确命题的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选A 由公理4,知①正确；对于②,可能a∥α,也可能a⊂α；对于③,α与β可能平行,也可能相交；对于④,∵a⊄α,∴a∥α或a与α相交．∵b⊂α,a∥b,故a∥α.4.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF 平行,故选D.5．空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有________条．解析：以打开的书面或长方体为模型,观察可得结论．答案：1或36．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系是________．解析：首先明确空间中线、面有且只有三种位置关系：平行、相交、直线在平面内．本题中相交显然不成立,平行或直线在平面内都有可能．答案：平行或直线在平面内7.如图,在正方体ABCD­A′B′C′D′中,P是A′D的中点,Q是B′D′的中点,判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系,并利用定义证明．解：直线PQ与平面AA′B′B平行．连接AD′,AB′,在△AB′D′中,∵PQ是△AB′D′的中位线,平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′,∴PQ在平面AA′B′B外,且与直线AB′平行,∴PQ与平面AA′B′B没有公共点,∴PQ与平面AA′B′B平行．8.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由．解：如图,取AB的中点F,连接EF,A1B,CF.∵E是AA1的中点,∴EF∥A1B.在正方体ABCD­A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1＝BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.∴E,F,C,D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.。

课时跟踪检测（二） 直观图层级一 学业水平达标1．下列关于直观图的说法不正确的是( )A ．原图形中平行于y 轴的线段，对应线段平行于直观图中y ′轴，长度不变B ．原图形中平行于x 轴的线段，对应线段平行于直观图中x ′轴，长度不变C ．画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y 可以画成45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同解析：选A 平行于y 轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A 错．2．若把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且大小为10 cmB ．平行于z ′轴且大小为5 cmC ．与z ′轴成45°且大小为10 cmD ．与z ′轴成45°且大小为5 cm解析：选A 平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．3.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( ) A.732 B.73C ．5 D.52 解析：选A 由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732.故选A. 4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m, 10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm, 1 cm, 2 cm 和1.6 cm ，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.5．水平放置的△ABC ，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A ′B ′C ′，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．6.水平放置的正方形ABCO 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作B ′E⊥x ′轴于点E ，在Rt △B ′EC ′中，B ′C ′＝2，∠B ′C ′E ＝45°，所以B ′E ＝B ′C ′sin 45°＝2×22＝ 2. 答案： 27．已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．解析：由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9. 答案：98．在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 的形状为______，面积为______cm 2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy 坐标系中，四边形ABCO 是个长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形，所以四边形ABCO 的面积为8 cm 2.答案：矩形 89．画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图①所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图．10．如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，作出其原图形．解：画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；(2)在图①中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在图②中，在x 轴上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′.(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②.层级二 应试能力达标1．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．2．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2解析：选D 由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，得12×OB ×h＝22×12×2×O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2. 3．如图△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．ABB ．AC C ．BCD ．AD解析：选B 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的三角形，所以斜边AC 最长．4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5 cm ，在直观图中与z 轴平行线段长度不变，仍为5 cm.5．有一个长为5，宽为4的矩形，则其直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20，所以由公式S ′＝24S ，其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．解析：由斜二测直观图画法的规则画出原图形，如图是等腰梯形A ′B ′C ′D ′的原平面图形，且AB ＝2，BC ＝1＋2，AD ＝1，所以S梯形ABCD ＝2＋ 2.答案：2＋ 27．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．解：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.8.如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC为平行四边形，OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm，面积为S＝1×22＝2 2 cm2.。