高一数学人教版A版必修二练习第2章 习题课 Word版含解析

[A基础达标]1.直线l与平面α所成角θ的范围是()A．(0°，180°)B．(0°，90°)C．[0°，90°] D．(0°，90°]解析：选C.根据定义可知选C.2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A．①③B．②C．②④D．①②③解析：选A.由线面垂直的判定定理可知①③是正确的，而②中线面可能平行、相交，也可能直线在平面内．④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直，故选A.3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为()A.23B．33C.23D．63解析：选D.如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，所以DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝22，D1O＝62，所以cos∠DD1O＝DD1D1O＝26＝63.所以BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为63.4．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.则下列关系一定成立的是()A．cos θ1cos θ2＝cos θ3B．cos θ1cos θ3＝cos θ2 C．sin θ1sin θ2＝sin θ3D．sin θ1sin θ3＝sin θ2解析：选B.⎭⎬⎫P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎬⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，所以cos θ1＝AB PB ，cos θ2＝BC PB ，cos θ3＝BCAB . 则有cos θ1cos θ3＝cos θ2. 5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是________．解析：如图所示，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则AE ⊥平面BB 1C 1C . 所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a2，即有tan ∠ADE ＝3，所以∠ADE ＝60°. 答案：60°7.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________．解析：连接A 1C 1(图略)，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．又A1B1＝B1C1＝2，AA1＝1，所以AC1＝3.在Rt△AA1C1中，sin∠AC1A1＝AA1 AC1＝13.答案：1 38.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面AC，且P A ＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，CC1＝5，M是棱CC1上一点．是否存在这样的点M，使得BM⊥平面A1B1M？若存在，求出C1M 的长；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M使得BM⊥平面A1B1M，并设C1M＝x，则有Rt△B1C1M∽Rt△BMB1.所以C1MB1M＝B1MBB1，所以4＋x2＝5x，所以x＝4或x＝1.当C1M＝1或4时，使得BM⊥平面A1B1M.[B能力提升]1．已知三条相交于一点的线段P A、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的() A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：选C.易证AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB，故点H为△ABC的垂心．2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝6，则PC与平面ABCD所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.如图，连接AC.因为P A⊥平面ABCD，所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角．因为AC＝2，P A＝6，所以tan∠PCA＝P AAC＝62＝ 3.所以∠PCA＝60°.3.如图，ABCD­A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.解析：由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以②正确；可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．答案：④4．(选做题)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 将△BCD 折起，使点C 移到C ′点，且C ′点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上．(1)求证：BC ′⊥平面AC ′D ；(2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上， 所以C ′O ⊥平面ABD ，所以C ′O ⊥DA . 又因为DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ， 所以DA ⊥平面ABC ′，所以DA ⊥BC ′. 又因为BC ⊥CD ，所以BC ′⊥C ′D .因为DA ∩C ′D ＝D ，所以BC ′⊥平面AC ′D .(2)如图所示，过A 作AE ⊥C ′D ，垂足为E . 因为BC ′⊥平面AC ′D ， 所以BC ′⊥AE .又因为BC ′∩C ′D ＝C ′， 所以AE ⊥平面BC ′D .连接BE ，则BE 是AB 在平面BC ′D 上的射影，故∠ABE 就是直线AB 与平面BC ′D 所成的角．由(1)知DA ⊥平面ABC ′，所以DA ⊥AC ′. 在Rt △AC ′B 中，AC ′＝AB 2－BC ′2＝3 2.在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝3 3. 在Rt △C ′AD 中，由等面积法，得AE ＝AC ′·AD C ′D ＝32×333＝ 6.所以在Rt △AEB 中，sin ∠ABE ＝AE AB ＝633＝23，即直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为23.。

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．2．直线与平面平行的判定定理：______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．一、选择题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是________；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在P A、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．§2．2直线、平面平行的判定及其性质2．2．1直线与平面平行的判定答案知识梳理1．无2．平面外此平面内a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作业设计1．A[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．]2．D3．C4．A5．D6．D[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]7．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C19．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF ∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连接OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF ∥BO ． ∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF ∥平面BDD 1B 1．11．证明 连接AF 延长交BC 于G ，连接PG ．在▱ABCD 中， 易证△BFG ∽△DFA ． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF ∥PG ． 而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN ．∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE ＝BD ．又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ．又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQBD ．∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN ．又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连接AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连接EK ．∵KB ∥AD ，∴DQ BQ ＝AQQK ．∵AP ＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ ∥EK ． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ ∥面BCE ．。

课后导练基础达标已知下列四个命题，其中正确的命题有（）①很平的桌面是一个平面②一个平面的面积可以是③平面是矩形或平行四边形④两个平面叠在一起比一个平面厚个个个个解析：平面是无限延伸的且没有厚薄，所以①②③④命题均错.答案：已知点，直线，平面α，以上命题表达正确的个数是（）①∈αα ②∈∈α∈α③αα ④∈αα解析：选.①如图：②∈α符号不对；③错，如图：④α符号书写不对.答案：下列命题,其中正确命题的个数为（）①书桌面是平面②个平面重叠起来，要比个平面重叠起来厚③有一个平面的长是，宽是④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念解析：由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以①②③命题都不正确.∴应选.答案：若点在直线上，在平面β内，则、、β之间的关系可记作( )∈∈β∈ββ∈β解析：∵点在直线上，∴∈.∵直线在平面β内,∴β.∴∈β.∴应选.答案：下列图形中不一定是平面图形的是（）.三角形.菱形.梯形.四边相等的四边形解析：三角形、菱形、梯形均是平面图形，而选项可能为空间四边形.答案：经过同一条直线上的个点的平面（）.有且只有一个.有且只有个.有无数个.不存在解析：经过共线个点的平面有无数多个，比如：课本中每一页都过共线的三点.答案：若α，β，α∩β，∩，则（）∈∈α∈β解析：∵∩,∴∈∈，又αβ,∴∈α∈β,∴∈,故选.答案：看图填空.（）∩;()平面∩平面；（）平面∩平面；（）平面∩平面;()平面∩平面∩平面；（）∩∩.解析：两个面的两个公共点连线即为交线.答案：综合应用下面是一些命题的叙述语（、表示点，表示直线，α、β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是（）.∵∈α∈α，∴∈α.∵∈α∈β，∴α∩β.∵∈α∈β,∴∈(α∩β).∵α，∴α解析：在选项与中，∈α∈αα∈β,书写符号不对，选项错，如图:故选择.答案：平面α∩平面β，点∈α∈α∈β,且.又∩,过、、三点确定平面γ，则β∩γ是（）.直线.直线.直线.以上都不对解析：如右图。

第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构练习（第7 页）1．（1）圆锥；（2）长方体；（3）圆柱与圆锥组合而成的组合体；（4）由一个六棱柱挖去一个圆柱体而得到的组合体。

2．（1）五棱柱；（2）圆锥3．略习题1．1A组1．（1） C；（2）C；（3）D；（4） C2．（1）不是台体，因为几何体的“侧棱”不相交于一点，不是由平等于“底面”的平面截棱锥得到的。

（2）、（3）也不是台体，因为不是由平行与棱锥和圆锥底面平面截得的几何体。

3．（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体；（2）由四棱柱和四棱锥组合而成简单组合体。

4．两个同心的球面围成的几何体（或在一个球体内部挖去一个同心球得到的简单组合体）。

5．制作过程略。

制作过程说明平面图形可以折叠成立体图形，立体图形可以展开为平面图形。

B组1．剩下的几何体是棱柱，截去的几何体也是棱柱；它们分别是五棱柱和三棱柱。

2．左侧几何体的主要结构特征：圆柱和棱柱组成的简单组何体；中间几何体的主要结构特征：下部和上部都是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体；右侧几何体的主要结构特征：下部是一个圆柱体，上部是一个圆柱截去一个圆柱组成的简单组何体。

1．2 空间几何体的三视图和直观图练习（第15 页）1．略2．（1）四棱柱（图略）；（2）圆锥与半球组成的简单组合体（图略）；（3）四棱柱与球组成的简单组合体（图略）；（4）两台圆台组合而成的简单组合体（图略）。

3．（1）五棱柱（三视图略）；（2）四个圆柱组成的简单组合体（三视图略）；4．三棱柱练习（第19 页）1．略。

2．（1）√（2）×（3）×（4）√3．A4．略5．略习题1．2A组1．略2．（1）三棱柱（2）圆台（3）四棱柱（4）四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体3~5．略B组1~2．略3．此题答案不唯一，一种答案是由15个小正方体组合而成的简单组合体，如图。

1．3 空间几何体的表面积与体积。

[A基础达标]1.能保证直线与平面平行的条件是()A．直线与平面内的一条直线平行B．直线与平面内的所有直线平行C．直线与平面内的无数条直线平行D．直线与平面内的所有直线不相交解析：选D.A不正确，因为直线可能在平面内；B不正确；C不正确，直线也可能在平面内；D正确，因为直线与平面内所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．2.已知m、n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.3.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合解析：选C.若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．4．m，n，l表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题正确的是() A．若m∥n∥l，m⊂α，n⊂α，则l∥αB．若α∩β＝m，n∥m，则n∥αC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n一定不相交D．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：选C.A选项中，l可能在α内，故A错；B选项中，n可能在α内，故B错；C选项中，因为α∥β，所以α与β不相交，故m与n一定不相交，故C对；D选项中，α与β可能相交，故D错．综上可知选C.5．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A.如图，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1.6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与AB平行的平面有________．答案：平面A1B1C1D1，平面DCC1D1，平面A1B1CD7.在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB和BC上的点，且AE∶EB＝CF∶FB ＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．答案：平行8.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个结论中，正确结论的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个结论都是正确的．答案：①②③④9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明：连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.10．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，所以QB∥P A.而QB⊄平面P AO，P A⊂平面P AO，所以QB∥平面P AO.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以PO为△DBD1的中位线，所以D1B∥PO.而D1B⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO.[B能力提升]1.(2016·济南质检)下列四个选项中能推出α∥β的是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.2. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形解析：选B.由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF 15BD ，所以EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG 12BD ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG .所以四边形EFGH 是梯形．3.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱C 1C ，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN ∥平面B 1BDD 1，其中N 是BC 的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)解析：连接FH (图略)，因为N ∉FH ，所以平面FHN ∥平面B 1BDD 1，若M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，所以MN 与平面B 1BDD 1没有交点，所以MN ∥平面B 1BDD 1.答案：M ∈FH4．(选做题)如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 1为A 1C 1上的点．当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?解：如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.。

2.3.3 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG4．P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．P A ⊥BCB ．BC ⊥平面P ACC ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC所在的平面α外有一点P，且P A＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN ⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．2．3．3直线与平面垂直的性质答案知识梳理平行a∥b作业设计1．B [由线面垂直的定义知B 正确．]2．C [①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n ∥α或相交(包括n ⊥α)．]3．C [由于PG ⊥平面α于G ，PF ⊥EF ，∴PG 最短，PF<PE ，∴有PG<PF<PE ．故选C ．]4．C [PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，A 正确；又BC ⊥AC ，∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，B 、D 均正确．∴选C ．]5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B ．]6．C [设P 在平面α内的射影为O ，易证△PAO ≌△PBO ≌△PCO ⇒AO ＝BO ＝CO ．]7．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．8．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．9．6解析 由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1．∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ．又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ， ∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 11．证明连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，∴AGGD＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′，又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．证明∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC．13．(1)证明如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．(2)解如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ． 在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12， 所以∠C 1BD ＝30°， 故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。

人教版高中数学必修二第二节习题答案及解析本文档将为你提供人教版高中数学必修二第二节题的答案和解析。

题答案1. 选项A2. 选项C3. 解: 首先，我们将方程的两端平方，得到\(16x^4 + 16 = 9x^2 + 6x\)经过整理得到\(16x^4 - 9x^2 - 6x + 16 = 0\)将上式分解为\((4x^2 - 3x - 4)(4x^2 + 3x - 4) = 0\)所以方程的解为\(x = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{8}\)，选项B4. 解: 通过因式分解，我们可以得到\(a^2 + ab = a(a + b)\)。

又已知\(a + b = 3\)，所以\(a^2 + ab = a(a + b) = a \cdot 3 = 3a\)所以答案为选项D5. 解: 首先将等式两边开平方，得到\(2x - 5 = 4\sqrt{x} - 10 + 5\)化简得到\(2\sqrt{x} = 2\)两边同时除以2，得到\(\sqrt{x} = 1\)平方两边，得到\(x = 1\)所以答案为选项A题解析1. 这道题是关于二次函数的最值问题。

我们可以通过计算二次函数的导数或者利用二次函数的顶点公式来求得最值点的横坐标。

2. 这道题是关于统计学中的条件概率的问题。

我们需要利用已知条件和条件概率的定义来求解。

3. 这道题是关于二次方程的解的问题。

我们可以通过将方程化为标准形式然后用求根公式来解。

4. 这道题是关于因式分解的问题。

我们需要将给定的表达式进行因式分解，然后找出与给定条件相符的结果。

5. 这道题是关于方程的解的问题。

我们需要对给定的方程进行变形和化简，然后解得方程的根。

以上就是人教版高中数学必修二第二节习题的答案和解析。

希望能对你有所帮助！。

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3．知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的________________直线都________，就说直线l 与平面α互相垂直，记作________．直线l 叫做平面α的________，平面α叫做直线l 的________．(2)判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的________________________都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图所示，________就是斜线AP 与平面α所成的角． (2)当直线AP 与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________； 线面角θ的范围：________．一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a ⊂βD ．a ⊂β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．16．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，P A＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面P AC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．2．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理． (3)利用下面两个结论： ①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α； ②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β． 3．线线垂直的判定方法 (1)异面直线所成的角是90°． (2)线面垂直，则线线垂直．§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3．1 直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．(1)任意一条 垂直 l ⊥α 垂线 垂面 (2)两条相交直线 a ⊂α b ⊂α a ∩b ＝A 2．(1)射影 锐角 ∠PAO (2)0° [0°，90°] 作业设计1．B [只有④正确．] 2．D3．C [取BD 中点O ，连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C ．]4．B [易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ．] 5．A [⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．] 6．A [PO ⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO 、△PBO 、△PCO 全等， OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心． 只有③正确．] 7．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连接A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D ⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连接B 1C ， 由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． (或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90° 解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG ． 又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形， ∴AG ∥EF ．∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ． 12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连接PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94， OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21．∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ，∴BC⊥平面SAB．又∵AQ⊂平面SAB，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，∴AQ⊥平面SBC．(2)∵AQ⊥平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，∴SC⊥平面APQ．∵PQ⊂平面APQ，∴PQ⊥SC．。

第二章点、直线、平面之间的位置关系§空间点、直线、平面之间的位置关系平面【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理、公理、公理，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．．公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么在此平面内．符号：．．公理：过的三点，一个平面．．公理：如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．符号：．．用符号语言表示下列语句：()点在平面α内但在平面β外：．()直线经过面α内一点，α外一点：．()直线在面α内也在面β内：．()平面α内的两条直线、相交于：．一、选择题．下列命题：①书桌面是平面；②个平面重叠起来，要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()．．．．．若点在直线上，在平面β内，则、、β之间的关系可记作()．∈∈β．∈⊂β．⊂⊂β．⊂∈β．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()．条或条．条或条．条或条．条或条或条．已知α、β为平面，、、、为点，为直线，下列推理错误的是()．∈，∈β，∈，∈β⇒⊂β．∈α，∈β，∈α，∈β⇒α∩β＝．∈α，∈β⇒α∩β＝．、、∈α，、、∈β，且、、不共线⇒α、β重合．空间中可以确定一个平面的条件是()．两条直线．一点和一直线．一个三角形．三个点．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有() ．个或个．个或个．个或个．个或个二、填空题．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．()α，⊂α．()α∩β＝，∈α且β．()⊄α，∩α＝．()α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝，∩∩＝．。

人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设 $\alpha$，$\beta$ 为两个不同的平面，$l$，$m$ 为两条不同的直线，且 $l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，有如下的两个命题：①若 $\alpha\parallel\beta$，则 $l\parallel m$；②若 $l\perp m$，则 $\alpha\perp\beta$。

那么()。

A。

①是真命题，②是假命题B。

①是假命题，②是真命题C。

①②都是真命题D。

①②都是假命题2.如图，ABCD为正方体，下面结论错误的是()。

A。

BD $\parallel$ 平面CBB。

AC $\perp$ BDC。

AC $\perp$ 平面CBD。

异面直线AD与CB角为60°3.关于直线 $m$，$n$ 与平面 $\alpha$，$\beta$，有下列四个命题：① $m\parallel\alpha$，$n\parallel\beta$ 且$\alpha\parallel\beta$，则 $m\parallel n$；② $m\perp\alpha$，$n\perp\beta$ 且 $\alpha\perp\beta$，则$m\perp n$；其中真命题的序号是()。

A。

①②B。

③④C。

①④D。

②③4.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线 $l_1$，$l_2$ 与同一平面所成的角相等，则$l_1$，$l_2$ 互相平行④若直线 $l_1$，$l_2$ 是异面直线，则与 $l_1$，$l_2$ 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()。

A。

1B。

2C。

3D。

45.下列命题中正确的个数是()。

①若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则$l\parallel\alpha$②若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点A。

．用符号表示“点在直线上，在平面α外”，正确的是( )
．∈，∉α．∈，⊄α
．⊂，⊄α．⊂，∉α解析：点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”表示．
答案：
．如果直线⊂平面α，直线⊂平面α，∈，∈，∈，∈，则
( ) ．⊂α．⊄α
．∩α＝．∩α＝
解析：∵∈，⊂α，∴∈α，同理，∈α，又∈，∈，故⊂α.
答案：
．下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形③圆心和圆上两点可确定一个平面④三条平行线最多可确定三个平面
．．
．．
解析：根据题意知，①，②，④正确，故正确．
答案：
．若点在直线上，在平面β内，则、、β之间的关系可记作．
答案：∈，⊂β，∈β
．有下列几个说法：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点至少有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
其中正确说法的序号是．
解析：两个相交平面的公共点都在一条直线上，故①错；当三点在一条直线上时，过这三个点有无数个平面，当三点不共线时，过三点有且只有一个平面，故②正确；根据公理，③正确．
答案：②③
．如图，在正方体－中，设∩平面＝.求证：，，三点共线．
证明：如图，连接、、，
∩平面＝，∵∈，∈平面.∴⊂平面，∵
∈平面.∴
∵平面∩平面＝，
∴∈，∴，，三点共线．。

章末知识整合
公理的应用)
．证明共面问题．
证明共面问题，一般有两种方法．一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．
．证明三点共线问题．
证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两
个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．
．证明三线共点问题．
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．例
正方体中，对角线与平面交于点，，交于点，求证：，，三点共线．
证明：如图，∵∥，
∴，确定一个平面，
显然有⊂平面，
又∵∩平面＝，
∩＝，
∴点，，三点在平面内，也在平面内，从而，，三点都在这两个平
面的交线上，即，，三点共线．
►跟踪训练．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点．。