人教A版数学必修一《2.3幂函数》同步测试题

高中数学人教版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.3 幂函数选择题下列函数中是幂函数的是（）①y＝?x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x?1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.A．①③⑤? B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤【答案】C【解析】y＝?x2的系数是?1而不是1，故不是幂函数；y＝2x是指数函数；y＝(x?1)3的底数是x?1而不是x，故不是幂函数；y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．y＝＝x?2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式，所以选C.选择题幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为（）A. B．64 C．2 ? D.【答案】A【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，依题意得，＝4α，即22α＝2?1，∴α＝?.∴幂函数的解析式为y＝，∴f(8)＝＝＝＝, 故选A.选择题函数f(x)＝(m2?m?1)是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的取值集合是（）A．{m|m＝?1或m＝2} B．{m|?1解得m＝2.选择题下列幂函数中图象过点(0，0)，(1，1)，且是偶函数的是（）A.? y=?B.? y=C.? y=D.? y=【答案】B【解析】函数y=，y=不是偶函数，函数y=是偶函数，但其图象不过点(0，0).函数y=的图象过点(0，0)，(1，1)且是偶函数，故选B.选择题函数f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点（）A.(1，1) ?B.(1，2)C.( ?1，0)D.( ?1，1)【解析】因为f(1)==1+1=2，所以f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点(1，2)，故选B.选择题下列命题中正确的是（）A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点C．幂函数y＝x0的定义域是RD．幂函数的图象不可能在第四象限【答案】D【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象不是直线，故A和C不? 正确；当α0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D正确．选择题设α∈{?2，?1，?，，，1，2，3}，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，+∞)上递增的α的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】f(x)为奇函数，则α＝?1，，1，3，f(x)在(0，+∞)上递增，则α＝，1，3，故选C.选择题在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax?的图象可能是（）【答案】C【解析】当a0，结合图象排除A，C，D，又y＝xa在(0，+∞)上是减函数，∴B项也不正确．当a>0时，y＝ax?是增函数，?0时，y＝xa在(0，+∞)上是增函数，故A项不正确，故选C.选择题在函数，，，中，幂函数的个数为A．0? ? B．1C．2 D．3【解析】函数为幂函数；函数，前的系数不是1，所以它不是幂函数；函数是两个函数和的形式，所以它不是幂函数；函数与不是同一个函数，所以它也不是幂函数．所以只有1个是幂函数，故选B．选择题若函数是幂函数，且满足，则的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】令，因为，即，解得，所以，所以．选择题若幂函数的图象不过原点，则A．B．或C．D．【答案】B【解析】因为幂函数的图象不过原点，所以，解得或．故选B．选择题如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A．B．C．D．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故本题选B．选择题设，，，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】在上为减函数，，即.在上为增函数，，即.所以.选择题在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是【答案】D【解析】对于A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对于B,中，中，舍去；对于C，中，中，舍去；对于D，中，中，故选D.选择题已知幂函数的图象过点，则A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以．故选A．选择题函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是A．?1? B．2C．3 D．?1或2【答案】B【解析】是幂函数或．又在上是增函数，所以，故选B．填空题比较下列各组数的大小：(1)与的大小关系是______；(2)，，的大小关系是______.【答案】(1) （2）【解析】1)∵在(0，+∞)上为减函数，且5.1>5.09，∴.(2)，.∵在(0，+∞)上为增函数，且，∴.又，∴.填空题已知幂函数f(x)＝，若f(a+1)＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)解得∴3，下列五个关系式：①0与y＝的图象(如图所示)，设，作直线y＝m.如果m＝0或1，则a＝b；如果01，则1填空题若一个幂函数的图象过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为已知幂函数的图象过点，所以，即所以，则．填空题若，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.填空题下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是．①；②y=x4；③y=x?2；④.【答案】③【解析】①中函数不具有奇偶性；②中函数y=x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y=x?2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数是奇函数．故填③.填空题已知幂函数，若f(a＋1)＜f(10?2a)，则a的取值范围是．【答案】(3,5)【解析】∵，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10?2a)，∴，解得，∴3＜a＜5.解答题已知函数f(x)＝?且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．【答案】(1)1 ?(2)奇函数?(3)略【解析】(1)因为f(4)＝，所以，所以＝1.(2)由(1)知f(x)=，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，，所以f(x)是奇函数．(3) f(x)在(0，+∞)上单调递增.证明如下：设，则.因为，所以，，所以，所以f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数．解答题已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)?α＝2，∴f(x)＝x2.同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x>1或xg(x)．(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．(3)当?1，其中?2，，1；（2），，；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把1看作，幂函数在(0，＋∞)上是增函数．∵，∴，即．（2）因为，，，幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且.∴.解答题已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为函数在上是减函数，所以，所以.因为，所以或.又函数图象关于轴对称，所以是偶数，所以.（2）不等式等价于，解得．所以实数a的取值范围是.解答题已知幂函数(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）f(x)=x4；（2）(3，＋∞).【解析】（1）∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴?m2＋2m＋3>0，即m2?2m?32对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R，即c?1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。

【金版学案】2015-2016高中数学 幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断． 基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。

人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1. 下列命题中真命题的个数是 ( ) ①函数 y =sinx ，其导函数是偶函数；②“若 x =y ，则 x 2=y 2”的逆否命题为真命题； ③“x ≥2”是“x 2−x −2≥0”成立的充要条件；④命题 p:“存在 x 0∈R ，x 02−x 0+1<0”，则命题 p 的否定为：“对任意的 x ∈R ，x 2−x +1≥0”． A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 32. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1)=f (x −1)，且当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 2，则关于 x 的方程 f (x )=12∣x ∣ 在 [−1,2] 上根的个数是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 83. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④4. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]5. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关6. 集合 {x ∈N ∗∣ x −2<3} 的另一种表示形式是 ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {1,2,3,4} C ． {0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}7. 要得到函数 y =cos2x 的图象，只需将函数 y =cos (2x −π) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位长度B ．向右平移 π3个单位长度C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π6 个单位长度8. 给出下列命题：①如 a >b ，则 ac 2>bc 2； ② sinx +1sinx ≥2； ③ x 2+2+1x 2+2≥2；④若 a >b >0，则 a −1a >b −1b ； ⑤若 x ≥0，则 t =2x x 2+1的最大值为 1．以上命题正确命题的个数为 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 19. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣,x ≤1log 2(x −1),x >1，若 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)（x 1，x 2，x 3 互不相等）则x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ． (1,3) C ． (3,4] D ． (1,8]10. k 为整数，化简 sin [(k+1)π+θ]⋅cos [(k+1)π−θ]sin (kπ−θ)⋅cos (kπ+θ)的结果是 ( )A ． ±1B ． −1C ． 1D ． tanθ二、填空题（共10题）11. 方程 ∣∣cos (x +π2)∣∣=∣log 18x ∣ 的解的个数为 （用数字作答）．12. 已知 k 为常数，函数 f (x )={x+2x+1,x ≤0∣lnx ∣,x >0，若关于 x 的方程 f (x )=kx +2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为 ．13. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2sin (π4x),2≤x ≤10，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4 满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1x 2+x 3+x 4= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣sinx1x 131∣∣∣，若 f (a )=2021，则 f (−a )= ．15. 已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x 2+3√3x +4=0 的两根，α,β∈(−π2,0)，则 cos (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 α，则 tanα= ．18. 若函数 f (x )={−x +6,x ≤23+log a x,x >2（a >0 且 a ≠1）的值域为 [4,+∞)，则 f (1)= ；实数a 的取值范围为 ．19. 已知命题 p ：∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知命题 p ：集合 M ={x∣ x <−3或x >5}，q ：集合 N ={x∣ −a ≤x ≤8}．(1) 若 M ∩N ={x∣ 5<x ≤8}，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=ln (x −1+a )．(1) 设 f −1(x ) 是 f (x ) 的反函数．当 a =1 时，解不等式 f −1(x )>0；(2) 若关于 x 的方程 f (x )+ln (x 2)=0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的值；(3) 设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值与最小值的差不超过 ln2，求 a 的取值范围．23. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由． (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围．(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x ，y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称 f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，(n ∈N ∗)，f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯n ) 上封闭．24. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在正实数 a ，使得对于任意 x ∈D ，有 x +a ∈D ，且f (x +a )>f (x )，则称 f (x ) 是 D 上的“a 距增函数”．(1) 判断函数 f (x )=2x −x 是否为 (0,+∞) 上的“1 距增函数”？说明理由；(2) 写出一个 a 的值，使得 f (x )={x +2,x <0√x x ≥0 是区间 (−∞,+∞) 上的“a 距增函数”；(3) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=∣x −a ∣−a ．若 f (x ) 为R 上的“2021 距增函数”，求 a 的取值范围．25. 已知关于 x 的方程 x 2−2x +a =0．当实数 a 为何值时，(1) 方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？(2) 方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内？ (3) 方程的两个根都大于零？26. 解答：(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象如何变化得到的？ (2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象．(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2，设M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，请判断 M 的符号．27. 已知 −π<x <0，且 cos (π2+x)−cosx =−15．(1) 求 sinx −cosx 的值； (2) 求 tanx 的值．28. 已知函数 f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x ．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f (x ) 在 [π6,2π3] 上的单调性．29. 已知二次函数 y =x 2−(a +1a)x +1．(1) 当 a =12 时，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集； (2) 若 a >0，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集．30. 设 x >y >0，求证：x 2x y 2y >(xy )x+y ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】①正确；因为函数 y =sinx ，所以 yʹ=cosx 是偶函数；②正确；因为命题“若 x =y ，则 x 2=y 2”是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③错误；当 x ≥2 时，x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 成立；当 x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 时，有 x ≥2 或 x ≤−1．④正确；依据特称命题的否定的格式可知正确．【知识点】命题的概念与真假判断、全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定2. 【答案】B【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性3. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即1x 2=2−1x 1，当 x 1=12时，2−1x 1=2−2=0，此时1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．5. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】B【解析】由x−2<3，得x<5，又x∈N∗，所以x=1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}，故选B．【知识点】集合的表示方法7. 【答案】C【解析】y=cos(2x−π3)=cos2(x−π6)的图象，向左平移π6个单位长度可得函数y=cos2x的图象．【知识点】三角函数的图象变换8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a，作出函数f(x)的图象与直线y=a，如图．由图可知0<a≤1，不妨设x1<x2<x3，则x1+x2=1，log2(x3−1)=a，因此x3=2a+1，故x1+x2+x3=2+2a，又0<a≤1，所以1<2a≤2，因此3<x1+x2+x3≤4．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则原式=sin[(2n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(2nπ−θ)⋅cos(2nπ+θ)=sin(π+θ)⋅cos(π−θ)−sinθ⋅cosθ=−sinθ⋅(−cosθ)−sinθ⋅cosθ=−1.当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式=sin[(2n+2)π+θ]⋅cos[(2n+2)π−θ]sin[(2n+1)π−θ]⋅cos[(2n+1)π+θ]=sin[2(n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(π−θ)⋅cos(π+θ)=sinθ⋅cosθsinθ⋅(−cosθ)=−1.综上，原式的值为−1．【知识点】诱导公式二、填空题（共10题）11. 【答案】12【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】{1e3}∪(−e,−1)【解析】作函数y=f(x)和y=kx+2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y=f(x)（x>1）相切，设切点(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，又 k =lnx 0−2x 0，则 1x 0=lnx 0−2x 0，解得 x 0=e 3，此时 k =1e 3，当 k <0 时，当 y =kx +2 与曲线 y =x+2x+1相切于点 (0,2) 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 k =−1，当 −1<k <0 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 y =kx +2 与 y =f (x )（0<x <1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (x 0,−lnx 0)，则切线的斜率 k =−1x 0，又 k =−lnx 0−2x 0，则 −1x 0=−lnx 0−2x 0，解得 x 0=e −1，此时 k =−e 不符合题意， 当 k <−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e <k <−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 k 的取值范围是 {1e 3}∪(−e,−1)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程13. 【答案】 13【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图所示：由于 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1，x 2，x 3，x 4 可视为直线 y =k 与曲线 y =f (x ) 有四个交点时，四个交点的横坐标．由图象可知，∣log 2x 1∣=∣log 2x 2∣，由于 0<x 1<1<x 2<2，则 log 2x 1<0，log 2x 2>0， 所以，−log 2x 1=log 2x 2，即 log 2x 1+log 2x 2=log 2(x 1x 2)=0，得 x 1x 2=1， 由图象知，曲线 y =sin πx 4(2≤x ≤10) 的图象关于直线 x =6 对称，所以，x 3+x 4=12， 因此，x 1x 2+x 3+x 4=13， 故答案为 13．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 −2021【解析】 f (x )=sinx −x 13，为奇函数， 所以 f (−a )=−f (a )=−2021． 【知识点】函数的奇偶性15. 【答案】 −12【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】 34【解析】由题意得大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2， 所以 2=10cosα−10sinα， 即 cosα−sinα=15 ⋯⋯ ①， 两边同时平方得 (cosα−sinα)2=125，即 cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=125，又因为 cos 2α+sin 2α=1， 所以 2sinαcosα=2425， 所以(cosα+sinα)2=cos 2α+sin 2α+2sinαcosα=1+2425=4925,已知 α 为锐角，所以 cosα+sinα=75 ⋯⋯ ②， 由①②得 cosα=45，sinα=35，所以 tanα=34．【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 5 ； (1,2]【知识点】函数的值域的概念与求法19. 【答案】 [0,1)【解析】因为“∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0”为假命题， 所以其否定“∀x ∈R ，ax 2+2ax +1>0”为真命题． 当 a =0 时，显然成立；当 a ≠0 时，ax 2+2ax +1>0 恒成立可化为：{a >0,4a 2−4a <0,解得 0<a <1．综上实数 a 的取值范围是 [0,1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】 [4,+∞)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) −5≤a≤3．(2) a≥3．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=ln(x−1+1)，由y=ln(x−1+1)得x−1+1−=e y，所以x=1e y−1，因为f−1(x)是f(x)=ln(x−1+a)的反函数，所以f−1(x)=1e x−1，x≠0，由f−1(x)>0得1e x−1>0，所以：e x−1>0，解得：x>0，即不等式f−1(x)>0的解集为{x∣ x>0}；(2) 方程f(x)+ln(x2)=0即ln(x−1+a)+ln(x2)=0，所以x+ax2=1，① a=0，则x=1，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；② a≠0时，（i）若Δ=1+4a=0，解得a=−14，代入x+ax2=1，解得x=2，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；(ii)若Δ=1+4a>0，则a>−14；当a>0时由1x +a>0解x>0或x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(−∞,−1a)∪(0,+∞)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为x=−1+√1+4a2a >2√a2a>0，所以为使关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，只需−1−√1+4a2a ≥−1a，即1+√1+4a≤1，显然不成立；当−14<a<0时，由1x+a>0解得：0<x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(0,−1a)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为a<0，所以−1−√1+4a2a >0，−1+√1+4a2a>0，且−1+√1+4a2a >−1−√1+4a2a，因此只需−1+√1+4a2a <−1a<−1−√1+4a2a，即1−√1+4a2<1<1+√1+4a2，即{−√1+4a<1,√1+4a>1,解得：a>0，与−14<a<0矛盾，也不满足题意；综上，实数a的值为0或−14；(3) 由对数函数的单调性可得y=lnx单调递增，根据幂函数单调性可得y=x−1+a在(0,+∞)上单调递减，因为a>0，t∈[12,1]，所以，根据复合函数单调性，可得f(x)=ln(x−1+a)在区间[t,t+1]上单调递减，因此f(x)max=ln(t−1+a)，f(x)min=ln(1t+1+a)，又函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，所以ln(t−1+a)−ln(1t+1+a)≤ln2，即(at+1)(t+1)t(at+a+1)≤2，整理得a≥1−tt2+t即a≥1−tt2+t对任意的t∈[12,1]恒成立，令g(t)=1−tt2+t ，t∈[12,1]，任取12≤t1<t2≤1，则g (t 1)−g (t 2)=1−t 1t 12+t 1−1−t2t 22+t 2=(1−t 1)(t 22+t 2)−(1−t 2)(t 12+t 1)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 22+t 2−t 1t 22−t 1t 2)−(t 12+t 1−t 12t 2−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2),因为 12≤t 1<t 2≤1，所以 t 2−t 1>0，t 2+t 1+1−t 1t 2>0，(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，因此 g (t 1)−g (t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，即 g (t 1)>g (t 2)；所以 g (t )=1−t t 2+t 在 t ∈[12,1] 上单调递减， 所以 g (t )max =g (12)=23，因此，只需 a ≥g (t )max =23，故 a 的取值范围为 [23,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、反函数23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可），所以f (x ) 在 (0,1) 上不封闭． t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D . 函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )， 得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 两不等实根． g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1=0({x ≥−1,x ≥k,)故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得k∈(−54,−1]．另解：⇔f(x)=√x+1+k=x在[−1,+∞)两不等实根．令t=√x+1(t≥0)，k+1=t2−t在t∈[0,+∞)有两个不等根，画图，由数形结合可知，k+1∈(−14,0]，解得k∈(−54,−1]．(3) 如果f(D)=D，则f n(D)=D，与题干f n(D)⫋D矛盾．因此f(D)⫋D，取D1=f(D)，则D1⫋D．接下来证明f(D1)⫋D1．因为f(x)是单射，因此取一个p∈D∖D1，则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根，换句话说f(p)∉f(D1)．考虑到P∈D∖D1，即D1∉D∖{p}．因为f(x)是单射，则f(D1)⫋f(D∖{p})=f(D)∖{f(p)}=D1∖{f(p)}⫋D1．这样就有了f(D1)⫋D1．接着令D n+1=f(D n)，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质、反函数24. 【答案】(1) 函数f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”，任意x∈(0,+∞)，有x+1∈(0,+∞)，且2x>1，所以f(x+1)−f(x)=2x+1−(x+1)−(2x−x)=2x−1>0，因此f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”．(2) a=10（答案不唯一，不小于4即可）(3) f(x)={∣x−a∣−a,x>0 0,x=0−∣x+a∣+a,x≤0因为f(x)为R上的“2021距增函数”，∪）当x>0时，由定义∣x+2021−a∣−a>∣x−a∣−a恒成立，即∣x+2021−a∣>∣x−a∣恒成立，由绝对值几何意义可得a+a−2021<0，a<20212；∪）当x<0时，分两种情况：当x<−2021时，由定义−∣x+2021+a∣+a>−∣x+a∣+a恒成立，即∣x+2021+a∣<∣x+a∣恒成立，由绝对值几何意义可得−a−a−2021>0，a<−20212；当−2021≤x<0时，由定义−∣x+a∣+a<∣x+2021−a∣−a恒成立，即 ∣x +2021−a ∣+∣x +a ∣≥∣2021−2a ∣>2a 恒成立， 当 a ≤0 时，显然成立， 当 a >0 时，可得 0<a <20214； 综上，a 的取值范围为 (−∞,20214)．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) 已知方程的一个根大于 1，另一个根小于 1，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），当 x =1 时的函数值小于 0，即 12−2+a <0，所以 a <1． 因此 a 的取值范围是 {a∣ a <1}．(2) 由方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），x 取 −1，3 时函数值为正，x 取 1，2 时函数值为负．即 {1+2+a >0,1−2+a <0,4−4+a <0,9−6+a >0,解得 −3<a <0．因此 a 的取值范围是 {a∣ −3<a <0}．(3) 由方程的两个根都大于零，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），判别式不小于 0，图象的对称轴在 y 轴右侧，且当 x =0 时，函数值为正，即 {Δ=4−4a ≥0,−−22>0,a >0,解得 0<a ≤1．因此 a 的取值范围是 {a∣ 0<a ≤1}． 【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象向右平移 1 个单位得到的．(2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象，如图所示；(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2， 所以 M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=(x 1−2)(x 2−2)<0．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的图象变换27. 【答案】(1) 由已知，得 sinx +cosx =15，两边平方得 sin 2x +2sinxcosx +cos 2x =125， 整理得 2sinxcosx =−2425．因为 (sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925，由 −π<x <0 知，sinx <0，又 sinxcosx =−1225<0， 所以 cosx >0，所以 sinx −cosx <0， 故 sinx −cosx =−75．(2) 故此 sinx =−35，cosx =45， 所以 tanx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系28. 【答案】(1)f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x=cosxsinx −√32(1+cos2x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −π3)−√32,所以 f (x ) 的最小正周期为 π，最大值为 2−√32．(2) 当 x ∈[π6,2π3] 时，0≤2x −3≤π，所以当 0≤2x −π3≤π2，即 π6≤x ≤5π12时，f (x ) 单调递增，当π2≤2x −π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x ) 单调递减．综上，可知 f (x ) 在 [π6,5π12] 上单调递增，在 [5π12,2π3] 单调递减．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 当 a =12 时，有 x 2−52x +1≤0，即 2x 2−5x +2≤0，解得 12≤x ≤2，故不等式y≤0的解集为{x∣ 12≤x≤2}．(2) y≤0⇔x2−(a+1a )x+1≤0⇔(x−1a)(x−a)≤0，①当0<a<1时，a<1a ，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；②当a=1时，a=1a=1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>1a ，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；当a=1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．【知识点】二次不等式的解法30. 【答案】由x>y>0，x2x y2y>(xy)x+y可等价变形为x2x y2y(xy)x+y >1，即要证(xy)x−y>1．因为xy >1，x−y>0，由幂的基本不等式，可知(xy)x−y>1．【知识点】幂的概念与运算。

[课时作业][A组基础巩固]1．下列所给出的函数中，是幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－1解析：由幂函数的定义可知y＝x－3是幂函数．答案：B2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是() A．y＝x－2 B.y＝x－1C．y＝x2D．y＝x 1 3解析：∵y＝x－1和y＝x 13都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A 满足题意．答案：A3．如图，函数y＝x 23的图象是()解析：y＝x 23＝3x2≥0，故只有D中的图象适合．答案：D4．已知幂函数273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是偶函数，则实数t的值为()A．0 B.－1或1 C．1 D．0或1解析：∵273225()(1)()t tf x t t x t N+-=-+⋅∈是幂函数，∴t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，∴t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数，不满足题设；当t＝1时，f(x)＝x 85是偶函数，满足题设．答案：C5．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B. b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a . 答案：C6．若函数则f {f [f (0)]}＝________.解析：∵f (0)＝－2， ∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1， ∴f (1)＝1，∴f {f [f (0)]}＝f [f (－2)]＝f (1)＝1. 答案：1 7．下列命题中，①幂函数的图象不可能在第四象限；②当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ③当α>0时，幂函数y ＝x α是增函数；④当α＜0时，幂函数y ＝x α在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的序号为________．解析：当α＝0时，是直线y ＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误．当α>0时，幂函数y ＝x α仅在第一象限是递增的，如y ＝x 2，故③错误． 答案：①④8．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________.解析：∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或29．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )、g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β， 则(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 10．已知幂函数y ＝x223m m －－ (m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)3m <(3a －2)3的a 的取值范围．解析： ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m 2－2m －3<0， 解得－1<m <3.∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2.又∵函数图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m ＝1. ∴原不等式等价于(a ＋1)3<(3a －2)3. 又∵y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴a ＋1<3a －2，∴2a >3，a >32， 故a 的取值范围是a >32.[B 组 能力提升]1．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f (a －1)的大小关系是( )A ．f (a －1)<f (a ) B.f (a －1)＝f (a ) C ．f (a －1)>f (a )D ．不能确定解析：因为幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设f (x )＝x α，因为图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13α＝3，解得α＝－12，所以f (x )＝x 12-在第一象限单调递减．因为0<a <1，所以a －1>a ，所以f (a －1)<f (a )． 答案：A 2．若(a ＋1)12-<(3－2a )12-，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞解析：令f (x )＝x12-＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32. 答案：B3．已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵0<0.71.3<0. 70＝1,1.30.7>1.30＝1， ∴0.71.3<1.30.7.而(0.71.3)m <(1.30.7)m ，∴幂函数y ＝x m 在 (0，＋∞)上单调递增，故m >0. 答案：(0，＋∞)4．把⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512，⎝ ⎛⎭⎪⎫760按从小到大的顺序排列________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫760＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-＞⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜1.∵y ＝x 12为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫3512＜⎝ ⎛⎭⎪⎫760＜⎝ ⎛⎭⎪⎫2313-5．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N ＋)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2， 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1，f (x )＝x 12. 又∵f (2－a )>f (a －1)，∴⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a ＜32. 6．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x 21m m ＋－，求m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解析：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2.。

高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题（满分：150分；考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题. 每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的） 1．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是 （ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果 （ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．在区间),0(+∞上不是增函数的是 ( )A.2x y =B.x y log 2=C.xy 2= D.122++=x x y 4．式子82log 9log 3的值为 ( ) A .23 B .32C .2D .3 5．已知0ab >，下面四个等式中：①lg()lg lg ab a b =+； ②lg lg lg a a b b=-；③b ab a lg )lg(212= ；④1lg()log 10ab ab =．其中正确命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2log 0.3a =，0.32b =，0.20.3c =，则c b a ,,三者的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．a b c >> 7．已知函数)(x f y =的反函数)21(log )(211-=-x x f，则方程1)(=x f 的解集是（ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．{4} 8．图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =， l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A. 0<a <b <1<d<cB. 0<b<a <1<c<dC. 0<d<c<1<a<bD. 0<c<d <1<a<b9．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）xyOy=log a xy=log x y=log c x y=log d x110．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (x )=；⑤f (x )=1x ．其中满意条件f 12()2x x + ＞12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（.每小题5分，共20分） 11．函数21()log (2)f x x =-的定义域是 ．12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．14．关于函数21()lg (0,R)||x f x x x x +=≠∈有下列命题：①函数()y f x =的图象关于y 轴对称；②在区 间(,0)-∞上，函数()y f x =是减函数；③函数()y f x =的最小值为lg 2；④在区间(1,)+∞上，函 数()y f x =是增函数．其中正确命题序号为_______________． 三、解答题（6小题，共80分）15．（本小题满分12分）4160.250321648200549-+---）（）（）16． （本小题满分12分）设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨>⎩，求满意()f x =41的x 的值．C17．（本小题满分14分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．（本小题满分14分）若0≤x ≤2，求函数y=523421+⨯--x x 的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下? ( lg30.4771)≈20．（本小题满分14分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数.（1）求b 的值；（2）推断函数()f x 的单调性；（3）若对随意的R t ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．高一数学必修1第三章《指数函数、对数函数和幂函数》测练题参考答案及解析一、选择题1．D 解析：由a 2=16且a ＞0得a =42．C 解析：原式a ab ba9990653121612132-=-=-=-+-+3．C 解析：依据反比例函数的性质4．A 解析：因log 89=22232log 32log 3log 23=，故原式=23 5．B 解析：ab ＞0，故a 、b 同号；当a 、b 同小于0时，①②不成立；当ab =1时，④不成立，故只有③对。

课题：§ 2.3.1幂函数教学目标：（一）知识目标1、通过实例了解幂函数的定义。

2、通过作图观察他们的特性并归纳幂函数的相关性质（单调性、奇偶性）。

（二）能力目标通过探索，要求学生掌握幂函数的定义及其性质，会做一些与幂函数相关的变式试题，培养学生的发散思维，实践能力和创新能力。

（三）情感目标通过观察、比较、归纳获取数学知识,培养学生学习数学的乐趣及勇于钻研、探索、团结协作的精神。

教学重点:幂函数定义，图像与性质。

教学难点:函数图像了解它们的变化情况，会做相关的变式试题。

教学方法:启发引导法，自主探究和共同探究相结合。

教学准备(教具):彩色粉笔，小黑板。

课型:新授课。

教学过程（一）课题引入试写出下列问题所反映的函数关系式：问题1写出下列y关于x的函数解析式：1．如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数P= ;2．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S= ;3．如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V= ;4．如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v= .分析：若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是。

（1）y=x （2）y=x2（3）y=x3（4）y=x1/2（4）y=x-1（二）探索新知问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？x，（0<a<1）的函数，其中指数答;都不是指数函数，指数函数是形如y=ax是自变量，底数a是常数，而这五个函数的自变量都不是指数。

共同特点是：1、都是函数。

2、均是以自变量为底的幂。

3、指数为常数。

4、自变量前的系数为1.（三）讲授新课1、概念: 我们把形如：y=xª的函数称为幂函数，其中a是常数练习1下列函数是幂函数的是（）(1) y=x4(2) y=2x2(3)y=-x2(4)y=2x(5)y=x-2(6)y=x3+2注意：1、要确定一个函数是幂函数，只要确定 a就可以了。

第二章 2.3A 级 基础巩固一、选择题1．下列6个函数：y ＝x 53 ，y ＝x 34，y ＝x －13，y ＝x 23，y ＝x －2，y ＝x 2中，定义域为R 的函数有( B )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[解析] 函数y ＝x 53 ，y ＝x 23，y ＝x 2的定义域为R ，函数y ＝x 34的定义域为[0，＋∞)，函数y ＝x －13及y ＝x －2的定义域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以定义域为R 的函数有3个，应选择B ．2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是( B ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 12[解析] 函数y ＝x 13，y ＝x 3，在(－∞，0)上均是增函数，y ＝x 12 在(－∞，0)上无意义，y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数．3．幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( B )A ．－1<m <0,0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1[解析] 当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x－1的图象下方，∴n <－1；又0<m <1，故选B ．4．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a 、b 、c 的大小关系是( C ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a[解析] ∵0.6∈(0,1)，∴y ＝0.6x 是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y ＝x 0.6在(0，＋∞)是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴c >a >b ，故选C ．5．(2019·天津和平区高一期中测试)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(－2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( B )A ．(－∞，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)[解析] 由题意得4＝(－2)α，∴α＝2. ∴f (x )＝x 2.∴f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)． 6．函数y ＝3x α－2的图象过定点( A ) A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(1，－1)D ．(－1，－1) [解析] ∵y ＝x α的图象过定点(1,1)，∴函数y ＝3x α－2的图象过定点(1,1)． 二、填空题7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f (x )的图象过点(3，427)，则f (x )＝__x 34__. [解析] 设f (x )＝x α， 由题意得427＝3α，∴334＝3α，∴α＝34，∴f (x )＝x 34 .8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f (x )＝(m 2＋3m ＋1)x m2＋m －1是幂函数，且其图象过原点，则m ＝__－3__.[解析] 由题意得m 2＋3m ＋1＝1， ∴m 2＋3m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－3. 当m ＝0时，f (x )＝x －1＝1x ，其图象不过原点， ∴m ＝－3. 三、解答题9．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x，因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称 又f (－x )＝－x －2－x＝－(x －2x )＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．(3)f (x )在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2x 2)＝(x 1－x 2)(1＋2x 1x 2)，因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋2x 1x 2＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．B 级 素养提升一、选择题1．a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝1.112的大小关系是( D ) A ．c <a <b B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a[解析] ∵y ＝x 12是增函数，∴1.212>(10.9)12 >1.112，即a >b >c .2．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( B )A ．0B ．1C ．2D ．0或1[解析] 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数， 所以3m －5＜0，故m ＜53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝0时， f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时， f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意． 综上知，m ＝1.3．(2019·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝( D )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] 由题意得m 2－m －1＝1，∴m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数，∴m ≠－1； 当m ＝2时，f (x )＝x －1＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∴m ＝2.4．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( C ) A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析] 幂函数y ＝x 12，y ＝x －1在(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下面，即α＜0或0＜α＜1，故选C ．二、填空题5．已知幂函数f (x )＝x －14，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是__(3,5)__. [解析] ∵f (x )＝x －14＝14x(x ＞0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2a ＞0a ＋1＞10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜5a ＞3.∴3＜a ＜5. 6．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是__9__.[解析] 由题意可知函数y ＝x α中，当x ＝4时，y ＝2，∴2＝4α，∴α＝12.∴y ＝x 12 .∴当y ＝3时，x 12＝3，∴x ＝9. 三、解答题7．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，求函数f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数．∴f (x )＝x 4.8．定义函数f (x )＝max{x 2，x －2}，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f (x )的最小值． [解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝x 2与y ＝x－2的图象如图．则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≤－1)x －2(－1<x <0)x －2(0<x ≤1)x 2(x >1).∴f (x )在x ＝－1与x ＝1处均取得最小值1，即f (x )min ＝1. 9．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，22)． (1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性和单调性，并说明理由． [解析] (1)设幂函数y ＝f (x )＝x α， ∵幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，22)， ∴2α＝22，α＝－12，f (x )＝x －12. (2)由(1)知函数的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 任取两个实数x 1，x 2,0<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2(x 2＋x 1).又∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在定义域上是单调递减函数．。

§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1对数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确．知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝⎛⎭⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为⎝⎛⎭⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ；(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值． ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23 ＝43×(－23 )＝4－2＝116；②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816 ＝23×16 ＝2；③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值． (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12 ＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log75；(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2；(3)a log ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1(10lg 2)2＝94. (3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确． 答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18；(2)⎝⎛⎭⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝⎛⎭⎫17a＝b 得log 17b ＝a ； (3)由lg11 000＝－3可得10－3＝11 000； (4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log aN ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

2.3 幂函数一、填空题1.在函数222123y y x y x x y x x=,=,=+,=中,幂函数的个数为_______个. 解析显然,根据幂函数定义可知,只有21y x=是幂函数. 答案 12. 在幂函数y ＝x 4，y ＝x 14，y ＝x －3，y ＝x －12，y ＝x －2中，是奇函数的有____________；是偶函数的是____________；没有奇偶性的是________．解析 由幂函数的性质容易得出答案.答案 y ＝x －3y ＝x 4；y ＝x －2y ＝x 14；y ＝x －123.设a =0.1270b ,=.128c ,=log 30.7,则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析∵幂函数12y x =在(0),+∞上是增函数,∴0<a <b .∵log 30.7<0,∴c <a <b .答案 c <a <b4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________. 解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12.∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 325．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．解析 当α＝1,3时，y ＝x α的定义域为R 且为奇函数，符合要求；当α＝－1时，y ＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，不符合要求；当α＝12时，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不符合要求．答案 1,36．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.解析 设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝(2)m 得m ＝2，由14＝(－2)n ，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝22＋(－1)－2＝5.答案 57.幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为________．解析 由m 2－2m －3＜0，得－1＜m ＜3，又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.∵m 2－2m －3为偶数，经验证m ＝1符合题意．答案 18.已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.解析 由题意，设y ＝f (x )＝x α，，则2＝(2)α，得α＝2，设y ＝g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2，由f (x )＝g (x )，即x 2＝x －2，解得x ＝±1.答案 ±19．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析 命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y ＝x 12就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y ＝x α(α∈R )中，只要x >0，必有y >0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y ＝x 3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.答案 ①④⑤10 .若1122(1)(32)a a --+<-,则a 的取值X 围是. 解析令12()f x x -=,则f (x )在(0),+∞上是减函数,故得10320132a a a a +>,⎧⎪->,⎨⎪+>-,⎩解得3232a <<. 答案32()32, 11．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n ＞0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是________．解析幂函数y ＝x n ，当n <0时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．答案 ②⑤12.若函数f (x )=1212020(3)0x x x x x -⎧,>,⎪⎪-,=,⎨⎪⎪+,<,⎩则f (f (f (0)))=.解析f (f (f (0)))=f (f (-2))=f (12(23)-+)12(1)11f -===.答案113．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析 a ＝0显然成立．a ≠0时，二次函数对称轴为x ＝－1a ，所以a ＜0且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0，综上，得－14≤a ≤0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 二、解答题14．幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，某某数m 的值．解析因为函数是幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，∴m 2－3m ＋2＝0，∴m ＝1或m ＝2.当m ＝1或m ＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m ＝1或m ＝2.15.方程2210mx mx ++=有一根大于1,另一根小于1,某某数m 的取值X 围.解析:令2()21f x mx mx =++,当m >0时,f (1)=3m +1<0,即13m <-,舍去. 当m <0时,3m +1>0,即13m >-. ∴103m -<<. 16．已知函数y ＝415－2x －x 2.(1)求函数的定义域、值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的单调区间．解析 这是复合函数问题，利用换元法．令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t .(1)由15－2x －x 2≥0，得－5≤x ≤3，故函数的定义域为[－5,3]，∴t ＝16－(x ＋1)2∈[0,16]，∴函数的值域为[0,2]．(2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x ＝－1，∴x ∈[－5，－1]时，t 随x 的增大而增大；x ∈(－1,3]时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈[0,16]时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝415－2x －x 2的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．17.不等式2(2)2(2)a x a -+-x -4<0对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值X 围是. 解析当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当20a -≠时,2204(2)16(2)0a a a -<,⎧⎨∆=-+-<,⎩解之得-2<a <2.∴a 的取值X 围是22a -<≤.18．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a 4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值． 解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a 4＋a 24. ①当a 2∈[0,1]，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝12－a 4＋a 24＝2， 则a ＝3或a ＝－2，不合题意． ②当a 2＞1时，即a ＞2时，f (x )max ＝f (1)＝2⇒a ＝103.③当a 2＜0时，即a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝2⇒a ＝－6. 综上，f (x )在区间[0,1]上的最大值为2时a ＝103或－6.。

2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x－45是幂函数．()(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y ＝x －( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y ＝x α的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2＝1，12m2＋m<0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． [探究共研型]探究1 幂函数y ＝x 【提示】 当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12，1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13， ∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52.1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12，∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【导学号：97030118】A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。

幂函数知识点总结与例题讲解本节主要知识点 （1）幂函数的概念. （2）幂函数的图象与性质. （3）一般幂函数的图象和性质. 知识点一 幂函数的概念一般地,函数αx y =叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数.幂函数的特征:（1）αx 的系数是1;（2）αx 的底数是单个的自变量; （3）αx 的指数为常数.判断幂函数的方法 看形式,明特征判断一个函数是否为幂函数,先看是否具有αx y =（α是常数）的形式,再看是否满足幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可.知识点二 幂函数的图象和性质五个具体的幂函数:()12132,,,,-======x y x y x y x y x y x y ,在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如下.图（1） 五个具体幂函数的图象由五个具体幂函数的图象可知:（1）所有幂函数在()+∞,0上都有意义. （2）幂函数的图象必经过点()1,1. （3）幂函数的图象不会经过第四象限.（4）当0>α时,幂函数的图象还经过原点()0,0,且幂函数在[)+∞,0上为增函数;当0<α时,幂函数在()+∞,0上为减函数.（5）在第一象限内,直线1=x 右侧部分的图象,由下向上幂函数的幂指数越来越大,可简记为“指大图高”.五个幂函数在第一象限的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”,即对于αx y =,当0>α且1≠α时,其图象在第一象限内是抛物线型（当1>α时,其图象是竖直抛物线型;当10<<α时,其图象是横卧抛物线型）;当0<α时,其图象在第一象限内是双曲线型.高图（2） 第一象限 正抛负双 大竖小横幂函数αx y =在第一象限内图象的画法（1）当0<α,其图象可类似1-=x y 画出. （2）当10<<α,其图象可类似21x y =画出. （3）当1>α时,其图象可类似2x y =画出. 五个具体幂函数的性质如下页表（1）所示.表（1） 五个具体幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象和性质 表（2） 一般幂函数的图象和性质幂函数αx y =的定义域取决于α,具体见下页表（3）.表（3） 幂函数的定义域注 我们可以这样理解幂函数qp x y =的定义域,就是把qpx y =化为qp x y =的形式,把qp xy -=化为qpxy 1=的形式.幂函数αx y =的奇偶性的判断见下表（4）.表（4） 幂函数奇偶性的判断方法注 当q 是偶数时,幂函数qp x y =（q p ,互质, ∈q p ,Z ）的定义域是[)+∞,0或()+∞,0,不关于原点对称,因此幂函数既不是奇函数,也不是偶函数.幂指数对幂函数图象的影响当0=α时,()010≠==x x y ,其图象是一条不包含点()1,0的直线.当1=α时,幂函数x y =的图象是一条经过原点的直线. 当0≠α且1≠α时,幂函数的图象如下表（5）.表（5） 幂函数的图象补充知识点 上凸函数和下凸函数设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,若对于[]b a ,上任意两个不同的实数21,x x ,都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≥()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是上凸函数;若都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f ≤()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是下凸函数.如下图所示.我们已经知道,对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数;当0<α或1>α时,在第一象限是下凸函数.图（3） 上凸函数f f 2图（4） 下凸函数f f 2例题讲解例1. 已知幂函数()32225---+=m m xm my ,当()+∞∈,0x 时,y 随x 的增大而减小,求此时幂函数的解析式.分析 本题考查幂函数的概念和性质.（1）判断一个函数是否为幂函数,要“看形式,明特征”:先看函数是否具有αx y =（α为常数）的形式,再看函数是否具有幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可.（2）幂函数αx y =在()+∞,0上都有定义:当0>α时,幂函数都在()+∞,0上单调递增;当0<α时,幂函数都在()+∞,0上单调递减. 解:∵函数()32225---+=m mx m m y 是幂函数∴152=-+m m ,解之得:3,221-==m m ∵当()+∞∈,0x 时,y 随x 的增大而减小∴()()031322<-+=--m m m m ,解之得:31<<-m ∴2=m∴此时幂函数的解析式为3-=x y . 例2. 已知幂函数()32221----=m mx m m y ,求此幂函数的解析式,并求出其定义域.分析 本题考查幂函数的概念和定义域的确定.对于幂函数αx y =（α为常数）,其定义域取决于α,如果给出的幂函数是qp x y =（q p ,互质, ∈q p ,Z ）的形式,可先把幂函数化为根式的形式,再确定其定义域.解:∵函数()32221----=m mx m m y 是幂函数∴112=--m m ,解之得:2,121=-=m m当1-=m 时,幂函数的解析式为0x y =,其定义域为()()+∞∞-,00, ; 当2=m 时,幂函数的解析式为3-=x y ,其定义域为()()+∞∞-,00, .综上所述,幂函数的解析式为0x y =或3-=x y ,它们的定义域都是()()+∞∞-,00, . 例3.（多选）已知函数()αx x f =的图象经过点()2,4,则下列命题正确的有【 】 （A ）函数为增函数 （B ）函数为偶函数 （C ）若1>x ,则()1>x f （D ）若210x x <<,则()()⎪⎭⎫⎝⎛+<+222121x x f x f x f分析 本题考查求幂函数的解析式（概念）、幂函数的图象和性质以及幂函数的凸性（上凸函数还是下凸函数）.设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义,若对于[]b a ,上任意两个不同的实数21,x x ,都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≥()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是上凸函数;若都有⎪⎭⎫⎝⎛+221x x f ≤()()221x f x f +成立,则称函数()x f 在区间[]b a ,上是下凸函数.对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数;当0<α或1>α时,在第一象限是下凸函数.解:对于（A ）,∵函数()αx x f =的图象经过点()2,4 ∴2242==αα,求得21=α ∴此幂函数的解析式为()21x x f =（即()x x f =）,其定义域为[)+∞,0,且在[)+∞,0上为增函数.故（A ）正确.对于（B ）,因为该函数的定义域并不关于原点对称,所以既不是奇函数,也不是偶函数.故（B ）错误.对于（C ）,因为该函数在[)+∞,0上为增函数,且经过点()1,1,所以当1>x ,则()1>x f .故（C ）正确.对于（D ）,对于幂函数αx y =,当10<<α时,在第一象限是上凸函数,所以若210x x <<,则有()()⎪⎭⎫⎝⎛+<+222121x x f x f x f .故（D ）正确.综上,答案为【ACD 】.例4. 已知函数()()m x m m x f 12-+=是幂函数,且在()+∞,0上是减函数. （1）求实数m 的值;（2）请在图中画出()x f 的草图;（3）若()()a f a f >-12,求实数a 的取值范围.分析 本题考查幂函数的概念、幂函数图象的画法以及利用幂函数的图象和性质求解不抽象等式.幂函数αx y =在第一象限内图象的画法（1）当0<α,其图象可类似1-=x y 画出. （2）当10<<α,其图象可类似21x y =画出. （3）当1>α时,其图象可类似2x y =画出.最后,结合幂函数的定义域和奇偶性,画出整个定义域上幂函数的图象.解:（1）∵函数()()m x m m x f 12-+=是幂函数 ∴112=-+m m ,解之得:1,221=-=m m ∵该幂函数在()+∞,0上是减函数 ∴2-=m ;（2）有（1）可知,()2-=x x f ,其定义域为()()+∞∞-,00, ,是偶函数,图象关于原点对称,且在第一象限是减函数,所以其图象的草图如图所示;（3）由（2）可知:函数()2-=x x f 是偶函数,且在()+∞,0上是减函数 ∴()()()()a f a f a f a f =-=-,1212 ∵()()a f a f >-12 ∴()()a f a f >-12∴a a <-12,原不等式同解于()2212a a <-∴()()0113<--a a ,解之得:131<<a∵012,0≠-≠a a ∴0≠a 且21≠a ∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,2121,31 .注意 在利用函数的奇偶性和单调性解决问题时,不能忽视函数的定义域. 例5. 若()()2121123+>-m m ,则实数m 的取值范围是__________. 分析 本题考查幂函数的单调性,一定要注意函数的定义域.解:∵函数21x y =在[)+∞,0上是增函数,()()2121123+>-m m∴⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-12301023m m m m ,解之得:1-≤32<m∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-32,1.例6. 若()()3131231---<+a a ,则实数a 的取值范围是_________.分析 幂函数31-=x y 的定义域是()()+∞∞-,00, ,是奇函数,图象位于第一、三象限,关于原点对称,在()+∞,0上是减函数.对于幂函数31-=x y ,其图象上横坐标是()1+a 和()a 23-的点可能在同一象限,也可能在不同的象限,应注意分类讨论.解:∵函数31-=x y 在()0,∞-和()+∞,0上单调递减,()()3131231---<+a a∴⎪⎩⎪⎨⎧->+<-<+a a a a 23102301或⎪⎩⎪⎨⎧->+>->+a a a a 23102301或⎩⎨⎧>-<+02301a a 解之得:无解或2332<<a 或1-<a ∴实数a 的取值范围是()1,23,32-∞-⎪⎭⎫⎝⎛ .例7. 若关于x 的不等式ax x >21的解集是{}20<<x x ,则实数a 的值为【 】 （A ）21 （B ）42 （C ）1 （D ）22 分析 本题主要考查幂函数的图象和数形结合思想. 幂函数21x y =的定义域为[)+∞,0,且在[)+∞,0上 是增函数.解:由题意在同一平面直角坐标系中画出函数21x y =和函数ax y =的大致图象如图所示.显然,函数ax y =的图象经过点()2,2,所以22=a . ∴选择答案【 D 】.例8. 已知函数()x f 既是二次函数又是幂函数,函数()x g 是R 上的奇函数,函数()()()11++=x f x g x h ,则()()()()()()()=-+-++-+++++2018201710120172018h h h h h h h 【 】（A ）0 （B ）2018 （C ）4036 （D ）4037分析 本题考查了幂函数的概念、奇函数的性质,注意发现求值式子的规律:求值式子中共出现了2018对互为相反数的自变量的值,故考虑计算()()x h x h -+的结果,以期找到解决问题的突破口. 解:∵函数()x f 既是二次函数又是幂函数 ∴()2x x f =,为R 上的偶函数,()()x f x f -= ∵函数()x g 是R 上的奇函数 ∴()()()00,=-=-g x g x g ∵()()()11++=x f x g x h∴()()()()()1111++-=++--=-x f x g x f x g x h∴()()()()()()21111=++-++=-+x f x g x f x g x h x h∴()()()()()()()2018201710120172018-+-++-+++++h h h h h h h()()[]()()()()[]()0112017201720182018h h h h h h h +-+++-++-+= 1222++++=120182+⨯=4037= ∴选择答案【 D 】.例9. 已知幂函数()()242222+---=m m x m m x f 在()+∞,0上单调递减.（1）求出m 的值并写出()x f 的解析式;（2）试判断是否存在0>a ,使得函数()()()112+--=x f ax a x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-.若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由. 解:（1）∵函数()()242222+---=m mx m m x f 是幂函数∴1222=--m m ,解之得:3,121=-=m m ∵该幂函数在()+∞,0上单调递减∴0242<+-m m ,解之得:2222+<<-m ∴()1,3-==x x f m ;（2）由（1）可知:()()()111121+-=+--=-x a x ax a x g ①当01>-a ,即1>a 时,函数()x g 为R 上的增函数 ∵函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-∴()()⎩⎨⎧=-=-11241g g ,即⎩⎨⎧=+--=++-11122411a a ,解之得:6=a ;②当01=-a ,即1=a 时,函数()1=x g ,不符合题意; ③当01<-a ,即1<a 时,函数()x g 为R 上的减函数 ∵函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-∴()()⎩⎨⎧-==-42111g g ,即⎩⎨⎧-=+-=++-41221111a a ,解之得:无解. 综上所述,存在实数6=a ,使得函数()x g 在[]2,1-上的值域为[]11,4-.例10. 已知函数()121222+--+-=x x m mx mx x f （∈m R ）,试比较()5f 与()π-f 的大小.分析 本题考查函数图象的对称变换、平移以及幂函数的单调性.解:()()()()222222111121121212---=--=+--+-=+--+-=x m x m x x x x m x x m mx mx x f . 先将函数2-=x y 的图象作关于x 轴作对称变换,得到函数2--=x y 的图象,再将函数2--=x y 的图象向右平移1个单位长度,得到函数()21---=x y 的图象,最后将函数()21---=x y 的图象向上（m ≥0）或向下（0<m ）平移m 个单位长度,即可得到函数()()21---=x m x f 的图象,如下图所示.由函数图象可知,函数()x f 的图象关于直线1=x 对称 ∴()()35-=f f∵函数()x f 在()1,∞-上单调递减 ∴()()π-<-f f 3 ∴()()π-<f f 5.对应练习求函数()122222++++=x x x x x f 的单调区间,并比较⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26f 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23f 的大小.例11. 证明:（1）若()b ax x f +=,则()()222121x f x f x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+; （2）若()b ax x x g ++=2,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ≤()()221x g x g +. 证明:（1）∵()b ax x f +=∴()()()=+=+++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22222221212121x f x f b ax b ax b x x a x x f ()()221x f x f +; （2）∵()b ax x x g ++=2∴()()b x x a x x x x b x x a x x x x g +++++=+++⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+242222212221212122121 ()()()b x x a x x b ax x b ax x x g x g ++++=+++++=+222221222122212121∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ()()221x g x g +-()442221222121x x x x x x --=-+-= 显然,()4221x x --≤0,当且仅当21x x =时取等号∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ()()221x g x g +-≤0 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x g ≤()()221x g x g +. 例12. 已知幂函数()()()()k k x k k x f +--+=1221在()+∞,0上单调递增. （1）求实数k 的值,并写出函数()x f 的解析式; （2）设函数()()()21++-+=xaax x f x f x h ,若不等式()x h ≥0对任意的(]3,1∈x 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵函数()()()()k k x k k x f +--+=1221∴112=-+k k ,解之得:1,221=-=k k ∵该幂函数在()+∞,0上单调递增 ∴()()012>+-k k ,解之得:21<<-k ∴1=k ,函数()x f 的解析式为()2x x f =;（2）由（1）可知:()41121222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-+=x x a x x x a ax x x x h设xx t 1-=,则t 在()0,∞-∈x 和()+∞∈,0x 上为增函数 ∵(]3,1∈x ,∴⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t∵不等式()x h ≥0对任意的(]3,1∈x 恒成立∴42+-at t ≥0对任意的⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t 恒成立,即a ≤t t 4+恒成立只需a ≤min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ,⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t 即可.∵⎥⎦⎤⎝⎛∈38,0t ,∴t t 4+≥442=⋅t t ,当且仅当t t 4=,即2=t 时成立∴44min =⎪⎭⎫⎝⎛+t t∴a ≤4,即实数a 的取值范围是(]4,∞-.函数的应用（一）知识点总结与例题讲解本节主要知识点（1）常见的几种函数模型.（2）实际问题函数建模的一般步骤. （3）建模时确定函数解析式的基本方法. 知识点一 常见的几种函数模型（1）一次函数模型 b ax y +=（b a ,为常数）,也叫做线性函数模型. （2）二次函数模型 c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数）.当研究的问题呈现先增长后减少的特点,0<a ;当研究的问题呈现先减少后增长的特点,0>a .（3）反比例函数模型 b xky +=（b k ,为常数,且0≠k ）. （4）幂函数模型 b ax y n +=（n b a ,,为常数,1,0≠≠n a ）. （5）对勾函数模型 xbax y +=（0,0>>b a ）. （6）分段函数模型 以上几种函数模型的综合. 知识点二 实际问题函数建模的一般步骤 分为审题、建模、求解和还原四部.（1）审题 弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系,初步选择模型.分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,确定自变量与因变量的意义,尝试将实际问题函数化.审题时要抓住题目中的关键量,勇于尝试、探索,敏于发现、归纳,善于联想、化归,实现实际问题向数学问题的转化.（2）建模 将自然语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的函数模型. 一般地,设自变量为x ,因变量为y ,通过认真审题,将与自变量有关的量用x 表示出来,找到等量关系,列出y 关于x 的函数解析式,即建立了与实际问题相对应的函数模型.注意函数自变量x 的取值范围.（3）求解 运用所学的知识对函数模型进行解答,求出结果.（4）还原 实际问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科背景,又要符合实际背景,因此得出的结果要代入原问题中进行检验、评判,最后得出结论并作答.还原过程是自我复核、评判、检验的过程,如定义域是否符合实际,结果是否合理等.知识点三 建模时确定函数解析式的基本方法（1）待定系数法 如果题目给出了函数解析式（含参数）或可以确定函数类型,那么用待定系数法求解.列出关于参数的方程或方程组,求出参数的值,回带即可得到函数解析式;已知函数类型,先设出函数解析式,再求解.（2）归纳法 先让自变量取一些特殊值,计算出对应的函数值,从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数解析式. 用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点（1）原则 一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下按照“问什么、设什么、列什么”的原则来处理,求解过程比较简单.（2）关注点 用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题,可先结合图象利用待定系数法求出函数解析式.对于一次函数b ax y +=（b a ,为常数）,当0>a 时为增函数,当0<a 时为减函数.另外,还要结合题目理解()b ,0或⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,a b 这些特殊点的意义.例1. 为了预防疾病的发生,某种消毒液广宁需要6吨,怀集需要8吨,正好端州储备有10吨,四会储备有4吨,市防疫中心决定将这14吨消毒液调往广宁和怀集,消毒液的运费价格如下表（单位:元/吨）.设从端州调运x 吨到广宁.（1）求调运14吨消毒液的总运费y 关于x 的函数解析式; （2）求出总运费最低的调运方案,最低运费为多少?解:（1）由题意可知:四会需要调运()x -6吨消毒液到广宁,端州需要调运()x -10吨消毒液到怀集,四会需要调运()[]()264-=--x x 吨或()[]()2108-=--x x 吨消毒液到怀集,则有:=y ()()()107052701010063560+-=-+-+-+x x x x x .由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥-0201006x x x 可得:2≤x ≤6,即[]6,2∈x ; （2）∵05,10705<-+-=x y ,[]6,2∈x ∴y 在[]6,2上单调递减∴当6=x 时,总运费y 最低,为1040107065=+⨯-=y （元）∴总运费最低的调运方案为: 从端州调运6吨消毒液到广宁,调运4吨消毒液到怀集;四会的消毒液全部（4吨）调运到怀集.最低运费为1040元. 二次函数模型的解题策略（1）根据实际问题建立二次函数关系式;（2）利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求二次函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题;（3）解决二次函数的最值问题时最好结合二次函数的图象;（4）利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值的条件及自变量的值是否符合实际意义.例2. 某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y （支）与销售单价x （元/支）之间存在如图所示的关系. （1）求出y 与x 的函数关系式;（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?（3）该店主决定从每天获得的利润中抽出 200元捐赠给某所希望小学,为了保证捐款 后每天的剩余利润不低于550元,如何确定 该款电动牙刷的销售单价? 解:（1）由函数图象可设b ax y += 把()()50,35,100,30分别代入b ax y +=得:⎩⎨⎧=+=+503510030b a b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=40010b a ∴y 与x 的函数关系式为40010+-=x y ; （2）设每天的销售利润为()x W 元,则有:()()()80006001040010202-+-=+--=x x x x x W∴()()100030102+--=x x W∴()()100030max ==W x W （元）∴当销售单价定为30元/支时,每天销售利润最大,最大利润是1000元; （3）由题意可得:2008000600102--+-x x ≥550整理得:875602+-x x ≤0,即()230-x ≤25解之得:25≤x ≤35∴该款电动牙刷的销售单价定为不低于25元,不高于35元时,可保证捐款后每天的剩余利润不低于550元. 幂函数模型的常见题型和解题策略（1）给出含参数的函数关系式,利用待定系数法求出参数,得到函数解析式. （2）根据题意直接列出相应的函数关系式.例3. 众所周知,大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干,其100克装的售价为1. 6元,其400克装的售价为4. 8元.假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m ,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n ,利润率为20%,求该种饼干900克装的合理售价.解:设饼干的质量为x （克）,售价为y （元）,则有:()()()x n mx x n mx y +=++=2.12.01∵当100=x 时,6.1=y ,当400=x 时,8.4=y∴⎩⎨⎧=+=+8.4244806.112120n m n m ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1511501n m∴x x y 2521251+=∴当900=x 时,6.99002529001251=⨯+⨯=y答:这种饼干900克的合理售价为9. 6元. 解决对勾函数应用题的关键 解决对勾函数型()()0,0>>+=b a xbax x f 的应用题时,需关注函数的定义域和单调性等.该函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b ,和⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,a b 上单调递增,在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,b a 和⎥⎦⎤⎝⎛a b ,0上单调递减.例4. 为了在冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某栋房屋要建造能使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层的建造费用是6万元.该栋房屋每年的能源消耗费用C （单位:万元）与隔热层厚度x （单位:cm ）满足关系:()83+=x kx C （0≤x ≤10）.若无隔热层,则每年能源消耗费用为5万元.设()x f 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. （1）求()x C 和()x f 的表达式;（2）当隔热层修建多厚时,总费用()x f 最小?并求出最小值. 解:（1）由题意可知:()580==kC ,解之得:40=k ∴()8340+=x x C （0≤x ≤10） ()8380066834020++=++⨯=x x x x x f （0≤x ≤10）∴()()1683800832-+++=x x x f ≥()6416838008322=-+⋅+x x 当且仅当()83800832+=+x x ,即4=x 时,等号成立. ∴当隔热层修建4 cm 厚时,总费用()x f 最小,为64万元.分段函数模型的三个注意点（1）分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.（2）分段函数的定义域为每一段自变量取值范围的并集.（3）分段函数的值域的求法为:逐段求函数值的范围,最后再下结论.例5. “硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,难以被复制和模仿.最近十年,我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌.某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2024年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元,每生产x 百台高级设备需另投入成本y 万元,且⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+<≤+=10040,225018000165400,4022x xx x x x y , ∈x 100N ,每百台高级设备售价为160万元,假设每年生产的高级设备能够全部售出,且高级设备年产量最大为10 000台.（1）求企业所获年利润P （单位:万元）关于年产量x （单位:百台）的函数关系式;（2）当年产量为多少时,企业所获年利润最大?并求最大年利润.解:（1）当0≤40<x 时()()800302100012021000402160222+--=-+-=-+-=x x x x x x P ; 当40≤x ≤100时12501800051000225018000165160+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x P ∴()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--=10040,1250180005400,8003022x xx x x P ,∈x 100N ; （2）当0≤40<x 时,()8003022+--=x P ∴当30=x 时,P 取得最大值为800max =P ;当40≤x ≤100时12501800051250180005+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=x x x x P ≤62512501800052=+⋅-x x 当且仅当x x 180005=,即60=x 时,等号成立. ∴625max =P∵625800>∴当年产量为30百台时,企业所获年利润最大,最大年利润为800万元.。

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 幂函数的图象过点 (2,√2)，则该幂函数的解析式是 ( ) A ． y =x −1B ． y =x 12C ． y =x 2D ． y =x 32. 函数 f (x )=ax +bx +5（a ，b 均正数），若 f (x ) 在 (0,+∞) 上有最大值 8，则 f (x ) 在(−∞,0) 上 ( ) A ．有最大值 −8 B ．有最小值 −8 C ．有最小值 2D ．有最大值 23. 下列函数中，在区间 (0,1) 上是增函数的是 ( ) A ． y =−x 2+1 B ． y =√xC ． y =1xD ． y =3−x4. 下列函数是偶函数的为 ( ) A ． y =2x B ． y =log 12xC ． y =x −1D ． y =x 25. 已知函数 f (x )=4x 2−kx −8 在 (−∞,5] 上具有单调性，则实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (−24,40)B ． [−24,40]C ． (−∞,−24]D ． [40,+∞)6. 下列给出的函数是分段函数的是 ( ) A ． f (x )={±x,x >0,x +1,x ≤0.B ． f (x )={x 2+1,x ∈R,x,x ≥4.C ． f (x )=|x +1|D ． f (x )={x −1,0<x ≤5,4x,x ≤2.7. 下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是 ( ) A ． y =e −xB ． y =x 3C ． y =lnxD ． y =∣x ∣8. “f (0)=0”是“y =f (x ) 是奇函数”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件； C ．非充分非必要条件D ．充要条件；9. 设函数 f (x )={3−x,x <02g (x ),x >0，若 f (x ) 是奇函数，则 g (1) 等于 ( )A ． −4B ． −2C ． 2D ． 410. 已知函数 y =a x−3−23（a >0，且 a ≠1）的图象恒过点 P ．若点 P 在幂函数 f (x ) 的图象上，则幂函数 f (x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 偶函数 f (x ) 的定义域为 [t −4,t ]，则 t = ．12. 2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t （单位：年）的衰变规律满足 N =N 0⋅2−r 5730（N 0 表示碳 14 原有的质量），则经过 5730年后，碳 14 的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 37 至 12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）13. 函数 f (x )=√x−2x−3的定义域为 ．14. 函数 y =f (x ) 在 R 上为增函数，且 f (2m )>f (−m +9)，则实数 m 的取值范围是 ．15. 如图，图中曲线是幂函数 y =x α 在第一象限的大致图象，已知 α 取 −2，−12，12，2 四个值，则相应于曲线 C 1，C 2，C 3，C 4 的 α 依次为 ．16. 已知函数 f (x )={2x ,x <1log 2x,x ≥1，则 f (8)= ；若直线 y =m 与函数 f (x ) 的图象只有 1个交点，则实数 m 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000 万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层 1000 平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高 0.02 万元，已知建筑第 5 层楼房时，每平方米建筑费用为 0.8 万元．(1) 若学生宿舍建筑为 x 层楼时，该楼房综合费用为 y 万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出 y =f (x ) 的表达式．(2) 为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？18. 已知函数 f (x )=3x 2−5x +2，求 f(−√2)，f (−a )，f (a +3)，f (a )+f (3) 的值．19. 如图（1）（2）所示的分别是函数 y 1=f (x ) 和 y 2=g (x ) 的图象，试分别写出函数 y 1=f (x )和 y 2=g (x ) 的单调递增区间．20. 如何理解区间的概念？21. 判断函数 f (x )={x 2+2x,x <01,x =0−x 2+2x,x >0 的奇偶性．22. 求下列函数的定义域：(1) f (x )=√3x −1+√1−2x +4； (2) f (x )=0√∣x∣−x．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】幂函数及其性质2. 【答案】C【解析】设 g (x )=ax +bx ，则 g (x ) 为奇函数，且在 (0,+∞) 上的最大值为 3， 所以 g (x ) 在 (−∞,0) 上的最小值为 −3， 故 f (x ) 在 (−∞,0) 上有最小值 2． 【知识点】函数的最大（小）值3. 【答案】B【知识点】函数的单调性4. 【答案】D【解析】A 项，y =2x 定义域为 R ，为非奇非偶函数； B 项，y =log 12x 定义域为 (0,+∞) 为非奇非偶函数；C 项，y =x −1 定义域为 {x∣ x ≠0}，反比例函数 y =1x为奇函数；D 项，y =x 2=(−x )2，定义域为 R 为偶函数． 【知识点】函数的奇偶性5. 【答案】D【解析】因为函数 f (x )=4x 2−kx −8 的对称轴方程为 x =k8，且函数 f (x )=4x 2−kx −8 在 (−∞,5] 上具有单调性，所以根据二次函数的性质可知 k8≥5，解得 k ≥40．故 k 的取值范围为 [40,+∞)． 【知识点】函数的单调性6. 【答案】C【解析】对于A ，取 x =1，得 f (1)=1 或 −1，不是分段函数； 对于B ，取 x =4，得 f (4)=17 或 4，不是分段函数； 对于C ，f (x )=|x +1|={x +1,x ≥−1,−x −1,x ≤−1是分段函数；对于D ，取 x =2，得 f (2)=1 或 8，不是分段函数，故选C ． 【知识点】分段函数7. 【答案】B【解析】对于A ，y =e −x =(1e )x，是 R 上的减函数，不合题意； 对于B ，y =x 3 是定义域是 R 且为增函数，符合题意； 对于C ，y =lnx ，定义域是 (0,+∞)，不合题意；对于D ，y =∣x ∣，定义域是 R ，但在 R 上不是单调函数，不合题，故选B ． 【知识点】函数的单调性、函数的定义域的概念与求法8. 【答案】C【知识点】充分条件与必要条件、函数的奇偶性9. 【答案】B【解析】因为 f (x ) 是奇函数，且 f (x )={3−x,x <02g (x ),x >0，因为 f (1)=−f (−1)=−[3−(−1)]=−4， 所以 g (1)=12f (1)=−2．故选B ． 【知识点】函数的奇偶性10. 【答案】A【解析】令 x −3=0，即 x =3， 所以 y =a 0−23=13， 所以 P (3,13)． 设 f (x )=x α，因为点 P (3,13) 在幂函数 f (x ) 的图象上， 所以 f (3)=3α=13，解得 α=−1， 所以 f (x )=x −1，故幂函数 f (x ) 的图象大致同选项A ． 【知识点】幂函数及其性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】2【解析】由于偶函数 f (x ) 的定义域为 [t −4,t ]，关于原点对称，故有 t +t −4=0， 所以 t =2．【知识点】函数的奇偶性12. 【答案】 12 ； 6876【知识点】函数模型的综合应用13. 【答案】 [2,3)∪(3,+∞)【知识点】函数的定义域的概念与求法14. 【答案】 (3,+∞)【解析】因为函数 y =f (x ) 在 R 上为增函数，且 f (2m )>f (−m +9)， 所以 2m >−m +9，解得 m >3． 【知识点】函数的单调性15. 【答案】 2，12，−12，−2【解析】令 x =2，则 22>212>2−12>2−2，故相应于曲线 C 1，C 2，C 3，C 4 的 α 依次为 2，12，−12，−2．【知识点】幂函数及其性质16. 【答案】 3 ； {0}∪[2,+∞)【解析】 f (8)=log 28=3，作出函数 f (x ) 的图象，如图所示．若直线 y =m 与函数 f (x ) 的图象只有 1 个交点，则 m ≥2 或 m =0．【知识点】分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意知建筑第 1 层楼房时，每平方米建筑费用为 0.72 万元， 建筑第 1 层楼房的建筑费用为 0.72×1000=720（万元）， 楼房每开高一层，整层建筑费用提高 0.02×1000=20（万元），则建筑第 x 层楼房的建筑费用为 720+(x −1)×20=(20x +700) 万元， 建筑 x 层楼房时，该楼房综合费用为 y =f (x )=(720+20x+700)x2+1000=10x 2+710x +1000，综上可知，y =f (x )=10x 2+710x +1000(x ≥1,x ∈Z )．(2) 设该楼房每平方米的平均综合费用为 g (x )， 则 g (x )=f (x )1000x =x 100+1x+71100≥2√x 100×1x+71100=0.91，当且仅当x 100=1x，即 x =10 时等号成立，综上可知，应把楼房建成 10 层，此时每平方米的平均综合费用最低为 0.91 万元．【知识点】建立函数表达式模型、均值不等式的实际应用问题18. 【答案】 f(−√2)=8+5√2； f (−a )=3a 2+5a +2；f (a +3)=3a 2+13a +14； f (a )+f (3)=3a 2−5a +16． 【知识点】函数的表示方法19. 【答案】由题图（1）可知，在 (1,4] 和 (4,6] 内，y 1=f (x ) 是单调递增的，所以 y 1=f (x ) 的单调递增区间是 (1,4] 和 (4,6]．由题图（2）可知，在 (−1,0) 和 (1,2) 内，y 2=g (x ) 是单调递增的， 所以 y 2=g (x ) 的单调递增区间是 (−1,0) 和 (1,2)．【知识点】函数的单调性20. 【答案】区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立；区间表示连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；∞ 是一个符号，而不是一个数，以“−∞”或“+∞”作为区间的一端时，这端必须用小括号．【知识点】函数的相关概念21. 【答案】当 x <0 时，−x >0，则 f (−x )=−(−x )2−2x =−(x 2+2x )=−f (x )．当 x >0 时，−x <0，则 f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x =−(−x 2+2x )=−f (x )． 而当 x =0 时，f (0)=1≠−f (0)． 所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．【知识点】函数的奇偶性22. 【答案】(1) 要使函数式有意义，必须满足 {3x −1≥0,1−2x ≥0, 即 {x ≥13,x ≤12.所以 13≤x ≤12，即函数的定义域为 {x∣ 13≤x ≤12}．(2) 要使函数式有意义，必须满足 {x +3≠0,∣x ∣−x >0,即 {x ≠−3,∣x ∣>x, 解得 {x ≠−3,x <0.所以函数的定义域为 {x∣ x <0且x ≠−3}．【知识点】函数的定义域的概念与求法。

绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第三章函数的概念与性质测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.设f(x)＝{x−2，x≥10，f(f(x+6))，x<10，则f(5)的值为()A． 10B． 11C． 12D． 132.已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )A．y＝f(|x|)B．y＝f(－|x|)C．y＝|f(x)|D．y＝－f(|x|)3.已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如下图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f[g(2)]的值为()A． 3B． 2C． 1D． 04.若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点()A． (－2,4)B． (1,1)C． (4,4)D． (1,7)5.奇函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，那么f(x)在区间[－7，－3]上() A．是增函数且最小值为5B．是增函数且最大值为5C．是减函数且最小值为5D．是减函数且最大值为56.一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图所示，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数仅有一个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－77.函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，f(x)>1，且f(3)＝4，则()A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝28.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调增区间为()A． (－∞，0]B． [0，＋∞)C． (－∞，＋∞)D． [1，＋∞)9.下列关于幂函数的命题中正确的是()A．不存在非奇非偶的幂函数B．如果一个幂函数是奇函数，则它的图象一定过原点C．如果幂函数的图象不过点(－1,1)，则它一定不是偶函数D．若两个幂函数的图象有三个不同的公共点，则这两个幂函数一定是相同的10.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,4)，则下列命题中不正确的是()A．函数图象过点(－1,1)B．当x∈[－1,2]时，函数f(x)取值范围是[0,4]C．f(x)＋f(－x)＝0D．函数f(x)单调减区间为(－∞，0)11.某商品1月份降价10%，此后受市场因素影响，价格连续上涨三次，使目前售价与1月份降价前相同，则连续上涨三次的价格平均回升率为()3－1A．√1093＋1B．√1092－1C．√109D．3√3312.建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，若池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米2，则总造价与一底边长x的函数关系式为()A．y＝320(x＋4)x)＋480B．y＝320(x＋4x)C．y＝160(x＋4x)＋240D．y＝160(x＋4x第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________．14.若函数f(x)＝kx2＋(k－1)x＋2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．15.给出下列说法：①y＝x2－2|x|－3的递增区间为[1，＋∞)；②定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则f(x)在R上是增函数；③f(x)＝1x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．正确的为________________．16.为了保证信息的安全传输，有一种为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．三、解答题(共6小题, 共70分)17.已知f(x)＝{x2，−1≤x≤1，1，x>1或x<−1.(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．18.某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系式近似满足P＝{t+20,1≤t≤24，t∈N，−t+100,25≤t≤30，t∈N.商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式近似满足Q＝－t＋40(1≤t≤30，t∈N)．求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．19.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．20.已知函数f(x)＝x＋4x，x∈[1,3]．(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值．21.已知函数f(x)＝x－1x.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明；(2)用定义证明函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数；(3)若函数f(x)在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于11a−22a，求a的取值范围．22.已知幂函数f(x)＝x(2－k)(1＋k)(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．答案1.【答案】B【解析】f(5)＝f(f(11))＝f(9)＝f(f(15))＝f(13)＝11.2.【答案】B【解析】由图知：当x<0时，图②中图象与图①中一致，即y＝f(x)；当x>0时，图②中图象是图①中y轴左侧图象关于y轴的对称图象，即y＝f(－x)．故选B.3.【答案】B【解析】由y＝g(x)的图象与y＝f(x)的对应关系表可知g(2)＝1，f(1)＝2，所以f[g(2)]＝f(1)＝2，故选B.4.【答案】C【解析】本题考查图象的左右平移，由于P(1,4)在y＝f(x＋3)的图象上，y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度得到的．因此P(1,4)也向右平移3个单位长度，变成(4,4)，故选C. 5.【答案】B【解析】函数y＝f(x)是奇函数，在[a，b]上是增函数，则在[－b，－a]上也是增函数；因为奇函数y＝f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为－5，即f(3)＝－5，所以函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上也是增函数，则x∈[－7，－3]时，f(x)≤f(－3)＝－f(3)＝5，即函数y＝f(x)在区间[－7，－3]上的最大值是5.故选B.6.【答案】C【解析】结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有两个单调递增区间，两个单调递减区间，且定义域内有最大值7，有最小值－2.7.【答案】D【解析】设x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.∵x2－x1>0，又当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1，∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，故选D.8.【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为(－∞，0]．9.【答案】C【解析】幂函数y ＝x －12既不是奇函数，也不是偶函数．幂函数y ＝x －1是奇函数，它的图象不过原点．幂函数y ＝x 2和幂函数y ＝x 4有三个公共点(1,1)，(0,0)，(－1,1)，它们是不同的幂函数，于是A ，B ，D 都不正确．若幂函数是偶函数，则f (－1)＝f (1)＝1，其图象一定过点(－1,1)，所以答案为C.10.【答案】C【解析】∵幂函数y ＝xα的图象经过点(2,4)，∴4＝2α，即22＝2α.解得α＝2.故函数的解析式为y ＝x 2，故函数图象经过点(－1,1)，A 正确；当x ∈[－1,2]时，函数f (x )的值域是[0,4]，B 正确；由于f (－x )＝(－x )2＝x 2，函数不满足f (x )＋f (－x )＝0，C 错；函数f (x )的单调减区间为(－∞，0]，D 正确．故选C.11.【答案】A【解析】(1－0.1)(1＋x )3＝1⇒x ＝√1093－1. 12.【答案】B【解析】因为建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，一底边长x ，所以另一底边长为4x ，y ＝120×x ·4x ＋2(2x ＋2×4x)×80＝320(x ＋4x )＋480 ，故选B. 13.【答案】{2}∪[－1,1]【解析】设f (x )＝t ，∴f (t )＝2，当t ∈[－1,1]时，满足f (t )＝2，此时－1≤f (x )≤1，无解；当t ＝2时，满足f (t )＝2，此时f (x )＝2，即－1≤x ≤1或x ＝2.14.【答案】(－∞，0]【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )，∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]．15.【答案】②【解析】①因为y ＝x 2－2|x |－3＝{x 2−2x −3，x ≥0x 2+2x −3，x <0，所以y ＝x 2－2|x |－3的递增区间为[1，＋∞)和(－1,0)，不正确．②因为f (a )−f(b)a−b >0，所以a >b ，则f (a )>f (b )，或a <b ，则f (a )<f (b )，根据增函数的定义可知此命题正确．③函数f (x )＝1x 的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，但(－∞，0)∪(0，＋∞)不是其单调减区间．不正确．16.【答案】9【解析】由题目可知加密密钥y ＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝12，则y ＝x 12.由x 12＝3，得x ＝9.17.【答案】(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14， 结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1]．18.【答案】设日销售金额为y 元，则y ＝P ·Q ，所以y ＝{−t 2+20t +800，1≤t ≤24，t ∈N ，t 2−140t +4000，25≤t ≤30，t ∈N ， 即y ＝{−(t −10)2+900，1≤t ≤24，t ∈N ，(t −70)2−900，25≤t ≤30，t ∈N ，当1≤t ≤24，t ∈N 时，t ＝10，y max ＝900；当25≤t ≤30，t ∈N 时，t ＝25，y max ＝1 125.所以该商品日销售金额的最大值为1 125元，且在30天中的第25天销售金额最大．19.【答案】设f (x )在x ∈[－2,2]的最小值为f (x )min ，则只需f (x )min >0，又其图象的对称轴为直线x ＝－a 2，则(1)当－a 2<－2，即a >4时，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a >0，得a <73.又a >4，故此时a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝3－a －a 24>0， 解得－6＜a ＜2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ＜2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝7＋a >0，得a >－7.又a <－4，故－7<a <－4.综上可得，a 的取值范围为－7<a <2.20.【答案】(1)设x 1，x 2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＋4x 1－4x 2＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)．∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.当1≤x 1<x 2≤2时，1<x 1x 2<4，∴4x1x 2>1. ∴1－4x 1x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在[1,2]上是减函数．当2≤x 1<x 2≤3时，4<x 1x 2<9，∴0<4x 1x 2<1. ∴1－4x 1x 2>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[2,3]上是增函数．(2)由(1)知f (x )的最小值为f (2)＝2＋42＝4. 又∵f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133<f (1)，∴f (x )的最大值为5.21.【答案】(1)函数f (x )＝x －1x 是奇函数，∵函数f (x )＝x －1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x 轴上关于原点对称， 且f (－x )＝－x －1−x ＝－(x －1x )＝－f (x )，∴函数f (x )＝x －1x 是奇函数．(2)证明 设任意实数x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－1x 1)－(x 2－1x 2)＝(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2＋1>0，∴(x 1−x 2)(x 1x 2+1)x 1x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．(3)∵[2，a ]⊆[1，＋∞)，∴函数f (x )在区间[2，a ]上也为增函数．∴f (x )max ＝f (a )＝a －1a ，f (x )min ＝f (2)＝32，若函数f (x )在区间[2，a ]上的最大值与最小值之和不小于11a−22a ， 则a －1a ＋32≥112－1a ，∴a ≥4，∴a 的取值范围是[4，＋∞)．22.【答案】(1)对于幂函数f (x )＝x (2－k )(1＋k )满足f (2)<f (3)， 因此(2－k )(1＋k )>0，解得－1<k <2.因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1.当k ＝0时，f (x )＝x 2，当k ＝1时，f (x )＝x 2，综上所述，k 的值为0或1，f (x )＝x 2.(2)函数g (x )＝1－mf (x )＋(2m －1)x＝－mx 2＋(2m －1)x ＋1，由于要求m >0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为 x ＝2m−12m ，当m >0时，2m−12m ＝1－12m <1，因为在区间[0,1]上的最大值为5， 所以{1−12m >0，g (1−12m )=5或{1−12m ≤0，g (0)=5， 解得m ＝52＋√6，满足题意．。