中考数学专题复习_第十八讲30__等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)

中考数学 几何专练：等腰三角形与直角三角形（含答案）一、选择题1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面 积是（ ）A ．13B ．26C ．47D ．94 2.如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域（含边线）的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4.如图，等腰△ABC 中，底边，∠A ＝36°， ∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设， 则DE ＝（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）A ．B ．25C ．D ． 6.等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ）121415110a BC =215-=k a k 2a k 32k a 3k a B C A B 5211055+35 AD CE B第4题图52015 10CBA ．B ．C ．D ．8.如图，已知直线且则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，，…，则CA 1＝，2.已知Rt △ABC 的周长是，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝___.3.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为．20o30o35o40o110AB CD DCF =︒∥，∠，AE AF =，A ∠30︒40︒50︒70︒12C A =5554C A AC 344+第12题图AF BCDEBADC4.如图，等腰中，，是底边上的高，若，则cm ．三、解答题1.如图所示，∠BAC ＝∠ABD ,AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明．2.如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使． （1）求的度数；（2）求证：．ABC △AB AC =AD 5cm 6cm AB BC ==，AD=ABC △40AB AC BAC =∠=，°AB AC ，ABD ACE 90BAD CAE ∠=∠=°DBC ∠BD CE=AC DB3.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和． （1）求、，并比较它们的大小； （2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．4.如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使， （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：．()A ()B X 50km AB A =，B X 10km 40km P A B AP X P P A B 1S PA PB =+A X A 'BA 'X P P A B 2S PA PB =+1S 2S 2S PA PB =+Y B Y 30km X Y P Q P A B Q ABC △D AC BC E CE CD =D DM BE ⊥M BM EM=P图（1）图（3）图（2）【参考答案】选择题 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. B 8. B 填空题 1.， 2. 83. 4. 4 解答题1. OE ⊥AB ．证明：在△BAC 和△ABD 中，∴△BAC ≌△ABD ．∴∠OBA =∠OAB , ∴OA =OB ． 又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB ．2. 解：（1）ΔABD 是等腰直角三角形，， ∴∠ABD ＝45°,AB ＝AC, ∴∠ABC ＝70°,∴∠CBD ＝70°+45°＝115°．5124529AC BD BAC ABD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90∠=°BAD证明：(2)AB ＝AC,,AD ＝AE, ∴ΔBAD ≌ΔCAE, ∴BD ＝CE ．3. 解:⑴图（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,∴AC ＝30在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40 ∴ BP ＝ S 1＝⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50， 又BC ＝40∴BA'＝ 由轴对称知：PA ＝PA' ∴S 2＝BA'＝ ∴﹥(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B ∴S 2＝BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'， 连接A'B',交X 轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q 即为所求 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'＝∴所求四边形的周长为90BAD CAE ∠=∠=°24022=+BC CP 10240+4110504022=+41101S 2S 5505010022=+55050+4. 解：（1）作图见下图，（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一）， ． ， ．又，．又，， ，．又，．Q ABC △D AC BD ∴ABC ∠2ABC DBE ∴∠=∠CE CD =Q CED CDE ∴∠=∠ACB CED CDE ∠=∠+∠Q 2ACB E ∴∠=∠ABC ACB ∠=∠Q 22DBC E ∴∠=∠DBC E ∴∠=∠BD DE ∴=DM BE ⊥Q BM EM ∴=ACBD EM。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形中考的脚步越来越近啦，同学们是不是都在紧张地进行总复习呢？今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和直角三角形这两个重要的“小伙伴”。

先来说说等腰三角形吧。

还记得有一次我在课堂上做实验，用三根长度不一样的小木棍，想拼成一个等腰三角形。

结果呢，怎么拼都拼不出来，同学们在下面笑得前仰后合。

这让我深刻地意识到，等腰三角形的两条腰长度必须相等，不然可就闹笑话啦！等腰三角形有很多有趣的性质。

比如说，它的两个底角相等。

这就像一对双胞胎，长得一模一样。

而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这叫“三线合一”，可厉害啦！再来讲讲直角三角形。

有一次我去公园散步，看到一个滑梯，突然就想到了直角三角形。

这个滑梯的滑道和地面就构成了一个直角三角形。

直角三角形有个特别重要的定理，那就是勾股定理。

就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

这个定理在解决很多几何问题的时候，就像是一把万能钥匙，一用就灵。

直角三角形还有很多特殊的性质。

比如 30°角所对的直角边等于斜边的一半。

这在计算边长的时候特别有用。

在中考中，等腰三角形和直角三角形经常会一起出现，给我们出难题。

比如说，给你一个等腰三角形，其中一个角是直角，让你求其他角的度数或者边长。

这时候可别慌，咱们就一步步来，先根据等腰三角形的性质确定角的关系，再结合直角三角形的定理来计算边长。

还有一种常见的题型是让你证明一个三角形是等腰直角三角形。

这就需要我们综合运用两个三角形的知识，先证明它是等腰三角形，再证明它是直角三角形。

复习这部分知识的时候，同学们一定要多做练习题，把定理和性质都熟练掌握。

遇到难题不要怕，多想想我们讲过的例子和方法，就一定能攻克难关。

最后，希望同学们都能在中考中取得好成绩，加油！就像我们成功拼出一个完美的等腰三角形或者准确算出直角三角形的边长一样，战胜中考的难题！。

2013年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。

第四篇图形的性质专题18 等腰三角形与直角三角形☞解读考点知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】A．【解析】试题分析：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．2．（2017天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC【答案】B．【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰三角形的性质；3．最值问题．3．（2017山东省淄博市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．52B．83C．103D．154【答案】C．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质；4．综合题．4．（2017湖北省武汉市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D．【解析】试题分析：如图：故选D．考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．分类讨论；3．综合题；4．操作型．5．（2017湖北省荆州市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【答案】B．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．6．（2017湖北省鄂州市）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA．若∠CAE=30°，则∠BAF=（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D．【解析】考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．7．（2017贵州省毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【答案】D．【解析】试题分析：∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正确；∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，∴∠E′AD=∠BAE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正确；∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C 正确；∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．考点：1．旋转的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的判定；4．等腰直角三角形；5．正方形的性质；6．相似三角形的判定．8．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=2CD【答案】C．【解析】∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC2CD，∵AB=AC，∴AB2CD，故D正确，不符合题意．故选C．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质．9．（2017广西河池市）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF ⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】B．【解析】试题分析：设AD=x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG ⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故选B．考点：1．等边三角形的性质；2．含30度角的直角三角形；3．动点型．10．（2017广西玉林崇左市）如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（）A．240°B．360°C．480°D．540°【答案】C．【解析】考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．旋转的性质．11．（2017天门）如图，P（m，m）是反比例函数9yx=在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为（）A．92B．33C．934+D．9332+【答案】D．【解析】考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．等边三角形的性质．12．（2017内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．85【答案】A．【解析】考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．角平分线的性质；4．综合题．13．（2017山东省泰安市）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）A．18 B．1095C．965D．253【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵ME⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴AB BMMC CG=，即1257CG=，解得CG=3512，∴DG=12﹣3512=10912．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴MC CGDE DG=，即3571210912DE=，解得DE=1095．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质．14．（2017山东省聊城市）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B ． 【解析】考点：等腰直角三角形．15．（2017江苏省无锡市）如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75【答案】D ． 【解析】试题分析：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC =4，AB =3，∴BC =2234+=5，∵CD =DB ，∴AD =DC =DB =52，∵12•BC •AH =12•AB •AC ，∴AH =125，∵AE =AB ，DE =DB =DC ，∴AD 垂直平分线段BE ，△BCE 是直角三角形，∵12•AD •BO =12•BD •AH ，∴OB =125，∴BE =2OB =245，在Rt △BCE 中，EC 22BC BE -22245()5-75，故选D ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．16．（2017浙江省绍兴市）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米 【答案】C ． 【解析】考点：勾股定理的应用．17．（2017湖北省襄阳市）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若()221a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C ． 【解析】试题分析：如图所示，∵()221a b +=，∴222a ab b ++=21，∵大正方形的面积为13，2ab =21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ． 考点：勾股定理的证明．18．（2017辽宁省大连市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD =DE =a ，则AB 的长为（ ）A ．a 2B ．a 22C ． a 3D ．a 334 【答案】B ． 【解析】考点：直角三角形斜边上的中线．19．（2017辽宁省营口市）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B ． 【解析】考点：1．轴对称﹣最短路线问题；2．等腰直角三角形；3．最值问题．20．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．103B．4 C．4.5 D．5【答案】D．【解析】试题分析：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．考点：1．矩形的性质；2．勾股定理．21．（2017四川省雅安市）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，则四边形ABCD的面积是（）A．33B．3 C．23D．4【答案】A．【解析】考点：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．解直角三角形．二、填空题22．（2017吉林省长春市）如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图②，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为．【答案】10．【解析】考点：勾股定理的证明．23．（2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交x轴于点P．若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为．【答案】（﹣2，﹣3）．【解析】试题分析：如图，点B，C的坐标为（2，1），（6，1），得：B C=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=22，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），设AB的解析式为y=kx+b，将A，B点坐标代入，得：2132k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：11kb=⎧⎨=-⎩，AB的解析式为y=x﹣1，当y=1时，x=1，即P（1，0），由中点坐标公式，得x A′=2x P﹣x A=2﹣4=﹣2，y A′=2y A′﹣y A=0﹣3=﹣3，A′（﹣2，﹣3）．故答案为：（﹣2，﹣3）．考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．等腰直角三角形．24．（2017四川省乐山市）点A、B、C在格点图中的位置如图5所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是．【答案】355．【解析】考点：勾股定理．25．（2017山东省东营市）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．【答案】25．【解析】考点：1．平面展开﹣最短路径问题；2．勾股定理的应用；3．压轴题；4．转化思想．26．（2017山东省青岛市）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为度．【答案】32．【解析】试题分析：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∵∠BAD=58°，∴∠DEB=116°，∵DE=BE=12AC，∴∠EBD=∠EDB=32°，故答案为：32．考点：直角三角形斜边上的中线．27．（2017江苏省徐州市）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为．【答案】2n．【解析】考点：1．等腰直角三角形；2．规律型；3．综合题．28．（2017河南省）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为．【答案】212或1．【解析】试题分析：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=12BC=212；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM2MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′，∴BM =B ′M ，∴CM =2BM ，∵BC =2+1，∴CM +BM =2BM +BM =2+1，∴BM =1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为212+或1，故答案为：212+或1．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．等腰直角三角形；3．分类讨论．29．（2017湖北省武汉市）如图，在△ABC 中，AB =AC =23，∠BAC =120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE =60°．若BD =2CE ，则DE 的长为 ．【答案】333-． 【解析】∵∠BAC =120°，∠DAE =60°，∴∠BAD +∠CAE =60°，∴∠FAE =∠FAC +∠CAE =∠BAD +∠CAE =60°． 在△ADE 和△AFE 中，∵AD =AF ，∠DAE =∠FAE =60°，AE =AE ，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE =FE ． ∵BD =2CE ，BD =CF ，∠ACF =∠B =30°，∴设CE =2x ，则CM =x ，EM 3，FM =4x ﹣x =3x ，EF =ED =6﹣6x ．在Rt △EFM 中，FE =6﹣6x ，FM =3x ，EM 3，∴EF 2=FM 2+EM 2，即222(66)(3)3)x x x -=+，解得：x 1=332，x 2=332+（不合题意，舍去），∴DE =6﹣6x =333-．故答案为：333-．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．旋转的性质． 30．（2017宁夏）在△ABC 中，AB =6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME =13DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 ．【答案】8． 【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．31．（2017浙江省绍兴市）如图，∠AOB =45°，点M 、N 在边OA 上，OM =x ，ON =x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P 、M 、N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．【答案】x =0或x =424 或442x <<． 【解析】试题分析：以MN 为底边时，可作MN 的垂直平分线，与OB 的必有一个交点P 1 ， 且MN =4，以M 为圆心MN 为半径画圆，以N 为圆心MN 为半径画圆，①如下图，当M 与点O 重合时，即x =0时，除了P 1 ， 当MN =MP ，即为P 3；当NP =MN 时，即为P 2；只有3个点P；②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= 2NP2-4=．424③因为MN=4，所以当x＞0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM2MD=424≤x＜42与OB有两个交点P2和P3，故答案为：x=0或x=424或4≤x＜42．考点：1．等腰三角形的判定；2．相交两圆的性质；3．分类讨论；4．综合题．32．（2017黑龙江省绥化市）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为．【答案】30°或150°或90°．【解析】考点：1．含30度角的直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论．33．（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4． 【解析】如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为：43或47或4．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．分类讨论；4．动点型；5．综合题．34．（2017辽宁省抚顺市）如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3=D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4=D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n +1的周长和为 ．（n ≥2，且n 为整数）【答案】1212n n --．【解析】考点：1．等边三角形的性质；2．规律型；3．综合题．35．（2017辽宁省营口市）如图，点A 1（1，3）在直线l 1：y =3x 上，过点A 1作A 1B 1⊥l 1交直线l 2：y =3x 于点B 1，A 1B 1为边在△OA 1B 1外侧作等边三角形A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2⊥l 1，分别交直线l 1和l 2于A 2，B 2两点，以A 2B 2为边在△OA 2B 2外侧作等边三角形A 2B 2C 2，…按此规律进行下去，则第n 个等边三角形A n B n C n 的面积为 ．（用含n 的代数式表示）2333()2n -． 【解析】试题分析：∵点A 1（13，∴OA 1=2．∵直线l1：y=3x，直线l2：y=33x，∴∠A1OB1=30°．在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，∴A1B1=12OB1，∴A1B1=233．∵△A1B1C1为等边三角形，∴A1A2=32A1B1=1，∴OA2=3，A2B2=3．同理，可得出：A3B3=332，A4B4=934，…，A n B n=233()2n-⋅，∴第n个等边三角形A n B n C n的面积为12×3 2A n B n2=2333()22n-⋅．故答案为：2333()22n-⋅．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型；4．综合题．三、解答题36．（2017宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是33．【解析】（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=12x，PM3，CN=12（2﹣x），PN=32（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．试题解析：（1）连接AP ，过C 作CD ⊥AB 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵S △ABC =S △ABP +S △ACP ，∴12A B •CD =12AB •PM +12AC •PN ，∴PM +PN =CD ，即不论点P 在BC 边的何处时都有PM +PN 的长恰好等于三角形ABC 一边上的高；（2）设BP =x ，则CP =2﹣x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴BM =12x ，PM =32x ，CN =12（2﹣x ），PN =32（2﹣x ），∴四边形AMPN 的面积=12×（2﹣12x ）•32x +12×[2﹣12（2﹣x ）]•3（2﹣x ）=2333x x -++ =2333(1)x --+，∴当BP =1时，四边形AMPN 的面积最大，最大值是33．考点：1．等边三角形的性质；2．二次函数的最值；3．定值问题；4．动点型；5．最值问题． 37．（2017内蒙古呼和浩特市）如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线． （1）求证：B D =CE ；（2）设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形DEMN 是正方形． 【解析】试题解析：（1）解：由题意得，AB=AC，∵BD，CE分别是两腰上的中线，∴AD=12AC，AE=12AB，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE；（2）四边形DEMN是正方形，证明：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=12AB，AD=12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=12BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=12BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=12BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．等腰三角形的性质．38．（2017江苏省连云港市）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB．AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【答案】（1）∠ABE=∠ACD；（2）证明见解析．【解析】（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．探究型．39．（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【答案】（1）∠AMQ=45°+α；（2）PQ2．【解析】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=2MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，∵∠MQE=∠PAC，∠ACP=∠QEM，AP=QM，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴1 2PQ=22MB，∴PQ=2MB．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．探究型；4．动点型．40．（2017四川省阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：B D=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为25或65．【解析】试题解析：（1）∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，∴AB =AC ，AD =AE ，∠DAB =∠CAE ，∴△ADB ≌△AEC ，∴BD =CE ．（2）解：①当点E 在AB 上时，BE =AB ﹣AE =1．∵∠EAC =90°，∴CE =22AE AC +=5．同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠PEB =∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BEAC CE =，∴125PB =，∴PB =255． ②当点E 在BA 延长线上时，BE =3．∵∠EAC =90°，∴CE =22AE AC +=5．同（1）可证△ADB ≌△AEC ，∴∠DBA =∠ECA ． ∵∠BEP =∠CEA ，∴△PEB ∽△AEC ，∴PB BEAC CE =，∴25PB =，∴PB =655． 综上所述，PB 2565． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质；5．分类讨论．41．（2017山西省）综合与实践背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或32,42,52的三角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF 交于点N，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND′，证明见解析；（3）证明见解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA．【解析】试题分析：（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．∵四边形AEFD 是正方形，∴∠EFD =90°．∵∠AD ′H =90°，∴∠HD ′N =90°．在Rt △HNF 和Rt △HND ′中，∵HN =HN ，HF =HD ′，∴Rt △HNF ≌Rt △HND ′，∴NF =ND ′．（3）∵四边形AEFD 是正方形，∴AE =EF =AD =8cm ，由折叠知：A D ′=AD =8cm ，EN =EF -NF =（8-x ）㎝．在Rt △AEN 中，由勾股定理得：222AN AE EN =+ ，即222(8)8(8)x x +=+-，解得：x =2，∴AN =8+x =10（㎝），EN =6（㎝），∴AN =6：8：10=3：4：5，∴△AEN 是（3，4，5）型三角形．（4）∵△AEN 是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN 相似的△都是（3，4，5）型三角形，故答案为：△MFN ，△MD ′H ，△MDA ．考点：1．勾股定理的应用；2．新定义；3．阅读型；4．探究型；5．翻折变换（折叠问题）；6．压轴题．42．（2017甘肃省天水市）△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =2，CQ =9时BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，62．【解析】试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BP BE，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=32，∴BC=62．CE CQ考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．旋转的性质．43．（2017重庆）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．【答案】（113（2）证明见解析．【解析】试题解析：（1）∵∠ABM =45°，AM ⊥BM ，∴AM =BM =ABcos 45°=32×22=3，则CM =BC ﹣BM =5﹣2=2，∴AC =22AM CM + =2223+ =13；（2）延长EF 到点G ，使得FG =EF ，连接BG ．由DM =MC ，∠BMD =∠AMC ，BM =AM ，∴△BMD ≌△AMC （SAS ），∴AC =BD ，又CE =AC ，因此BD =CE ，由BF =FC ，∠BFG =∠EFC ，FG =FE ，∴△BFG ≌△CFE ，故BG =CE ，∠G =∠E ，所以BD =BG =CE ，因此∠BDG =∠G =∠E ． 考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理．44．（2017黑龙江省哈尔滨市）已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，连接AE ，BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N ．（1）如图1，求证：A E =BD ；（2）如图2，若AC =DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE．【解析】（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．45．（2017黑龙江省龙东地区）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，易证：OH=12AD且OH⊥AD（不需证明）（2）将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）图2，图3的结论都相同：OH=12AD，OH⊥AD．【解析】试题解析：（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD与△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD；（2）解：①结论：OH=12AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=12OE=12AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．易证△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=12OE=12AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．和差倍分；5．探究型；6．变式探究；7．压轴题．46．（2017山东省莱芜市）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．【解析】试题解析：（1）AE=DB，AE⊥DB．证明如下：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．变式探究．【2016年题组】一、选择题1．（2016内蒙古赤峰市）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°【答案】B．【解析】考点：等腰三角形的性质．2．（2016四川省乐山市）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且∠ACD=40°，则∠CAB=（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B．【解析】试题分析：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，故选B．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．3．（2016四川省甘孜州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】考点：1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．4．（2016四川省雅安市）如图所示，底边BC为23A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A ．223+B ．23+C ．4D ．33【答案】A ．【解析】试题分析：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵AB =AC ，∠A =120°，∴∠B =∠C =30°，∴AB =AC =2，∵DE 垂直平分AB ，∴BE =AE ，∴AE +CE =BC =23，∴△ACE 的周长=AC +AE +CE =AC +BC =223+，故选A ．考点：1．等腰三角形的性质；2．线段垂直平分线的性质．5．（2016陕西省）如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B ．【解析】考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质；3．勾股定理．6．（2016贵州省六盘水市）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n的度数为（）A．702nB．1702n+C．1702n-D．2702n+【答案】C．【解析】考点：1．等腰三角形的性质；2．规律型．7．（2016湖南省怀化市）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm【答案】C．【解析】试题分析：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故选C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．8．（2016四川省内江市）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A．32B．332C．32D．不能确定【答案】B．【解析】试题分析：如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×32=332，S△ABC=12BC•AH=12AB•PD+12BC•PE+12AC•PF，∴12×3AH=12×3PD+12×3PE+12×3PF，∴PD+PE+PF=AH=332，即点P到三角形三边距离之和为33．故选B．考点：1．等边三角形的性质；2．定值问题．9．（2016山东省临沂市）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D．【解析】。

2018年中考数学专题复习第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2018•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．对应训练A．45°B．75°C．45°或75°D．60°考点二：线段垂直平分线例2 （2018•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB 于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．B．2 C．D．4思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出对应训练2．（2018•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．D．1考点三：等边三角形的判定与性质例3 （2018•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A 向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．对应训练3．（2018•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长．考点四：角的平分线例4 （2018•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．对应训练4．（2018•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D 到AB边的距离是．考点五：勾股定理【备考真题过关】一、选择题1．（2018•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．（2018•江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°4．（2018•三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．（2018•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（）A．16 B．15 C．14 D．136．（2018•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB 于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（）A．2 B．C．D．37．（2018•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2，0） B1，0）C1，0）D0）1．（2018•铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）2．（2018•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）二、填空题8．（2018•随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为．9．（2018•泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．10．（2018•钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为．11．（2018•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长．12．（2018•贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠A n的度数．13．（2018•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．14．（2018•黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为．15．（2018•黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．4．（2018•鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为4或或．5．（2018•无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD 沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于3cm．6．（2018•朝阳）下列说法中正确的序号有①②③④．①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；②八边形的内角和度数约为1080°；③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；④分式方程的解为x=；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．三、解答题18．（2018•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．19．（2018•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）20．（2018•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O 作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．7．（2018•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．1．（2018•河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：tanA=，AC=2（结果保留根号）；（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．2．（2018•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．3．（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．。

中考数学一轮复习资料五合一《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》(全国通用版)第18讲等腰三角形题组特训详解一、选择题1．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若ABC V 与EBC V 的周长分别是20，12，则AB 为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】首先根据DE 是AB 的垂直平分线，可得AE BE =；然后根据ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，可得ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，据此求出AB 的长度是多少即可．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，∴ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，∴20128AB =-=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．2．已知边长为4的等边ABC、、的中点，P为线段DE上一动点，则V，D、E、F分别为边AB BC AC+的最小值为（　）PF PCA．B．3C．4D．段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，等腰ABC V 内接于O e ，点D 是圆中优孤上一点，连接DB DC 、，已知,70AB AC ABC =Ð=°，则BDC Ð的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出40A Ð=°，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答．【详解】解：∵AB AC =，70ABC Ð=°，∴70ABC ACB Ð=Ð=°，∴18040A ABC ACB Ð=°-Ð-Ð=°，∴40BDC A Ð==°∠．故选D ．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．4．如图，若50MON Ð=°，MON Ð内有一个定点P ，点A ，B 分别在射线OM ON ，上移动，当PAB V 周长最小时，则APB Ð的度数为（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B 【分析】作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，且2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，从而得出180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），即可得出答案．【详解】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，∴2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，∴180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），∴80APB P P ¢¢¢Ð=Ð+Ð=°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将PAB V 的周长最小值转化为P P ¢¢¢的长是解题的关键．5．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，70BAC Ð=°，D 是BC 边的中点，DE AB ^于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，则F Ð的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°∵DE AB ^，∴90BED Ð=°，∴903555ADE Ð=°-°=°，∵EF DE =，DE AB ^，∴AF AD =，∴55F ADE Ð=Ð=°，故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，理解性质并熟练的应用是解题的关键．6．如图，在ABC V 中，AB AC =，边BC 在x 轴上，且点()10B -，，点()24A ，，则AOC V 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．20D ．26【答案】A 【分析】作AD x ^轴于点Ｄ，求得4=AD ，2OD =，利用等腰三角形的性质求得3BD CD ==，根据三角形的性质即可求解．【详解】解：作AD x ^轴于点Ｄ，∵()24A ，，∴()20D ，，4=AD ，2OD =，7．如图，在正方形ABCD中，4V沿AE折叠，使点B落在正方形内点AB=，E为BC的中点，将ABEF处，连接CF，则CF的长为（）A．B C D．2.25∵四边形ABCD为正方形，8．如图，已知长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C ¢处，BC ¢交AD 于点E ，168AD AB ==，，则DE 的长为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】由四边形ABCD 为长方形可知AD BC ∥，8CD AB ==，从而得出ADB CBD Ð=Ð，结合折叠的性质得出ADB C BD ¢Ð=Ð，进而得出BE DE =．设BE DE x ==，则16AE x =-，在Rt ABE △中，根据勾股定理可列出关于x 的等式，解出x 的值，即得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∴AD BC ∥，8CD AB ==∴ADB CBD Ð=Ð．由折叠的性质可知C BD CBD ¢Ð=Ð，8C D CD AB ¢===，∴ADB C BD ¢Ð=Ð，∴BE DE =．设BE DE x ==，则16AE AD DE x =-=-，在Rt ABE △中，222AE AB BE +=，∴()222168x x -+=，解得：10x =，∴10DE =．故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A 、如图1，由作法可知，BD BC =，即BCD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；B 、如图2，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确；C 、如图3，由作法可知，所做线段为AB 的垂直平分线，AD BD =，即ABD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；D 、如图4，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，AD CD =，即ACD V 是等腰三角形，不符合题意，选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键．10．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，B ，C 分别落在点H ，G 的位置，CD 与HE 交于点M ．下列说法中，不正确的是（ ）．A ．ME HG=B ．ME MF =C ．HM FM EB+=D ．GFM MEAÐ=Ð【答案】A 【分析】由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，结合平行线的性质可证M MEF FE =ÐÐ，可证选项B 正确；由点到直线的距离可得ME HG ¹，故选项A 不正确；由折叠的性质知HE BE =，再由HE HM ME HM MF =+=+，可得选项C 正确，利用平行线的性质可得MEA HMD Ð=Ð，GFM HMD Ð=Ð，可证选项D 正确．【详解】解：如图，过点M 作MK AB ^，由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，由题意知CD AB ∥，AD BC HG ==，∴BEF MFE Ð=Ð，AD MK HG ==，∴M MEF FE =ÐÐ，∴ME MF =，故选项B 正确，不合题意；∵ME MK >，∴ME HG ¹，故选项A 不正确，符合题意；由折叠的性质得：HE BE =，∵HE HM ME HM MF =+=+，∴HM FM EB +=，故选项C 正确，不合题意；∵CD AB ∥，∴MEA HMD Ð=Ð，由题意知HE GF ∥，∴GFM HMD Ð=Ð，∴GFM MEA Ð=Ð，故选项D 正确，不合题意；故选A ．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是牢记折叠前后对应边相等、对应角相等．11．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点M 在边BC 上，若MA 平分DMB Ð，则CM 的长是（ ）A ．B ．1C ．D 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出1CD AB ==，AD BC ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，由平行线的性质得出DAM AMB Ð=Ð，再由角平分线证出AMB AMD Ð=Ð，又勾股定理求出CM 即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴1CD AB ==，AD CB ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，∴DAM AMB Ð=Ð，∵MA 平分DMB Ð，∴AMB AMD Ð=Ð，∴DAM AMD Ð=Ð，∴2DM AD ==，12．如图，ABC V 中，AB AC =，BD 平分ABC Ð交AC 于G ，DM ∥BC 交ABC Ð的外角平分线于M ，交AB 、AC 于F 、E ，下列结论正确的是（ ）A ．EF ED=B ．FD BC =C ．EC MF =D ．EC AG=【答案】C 【分析】通过证明BF EC =，BF FM =即可解决问题；【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C Ð=Ð，∵DM ∥BC ，∴,AFE ABC AEF C Ð=ÐÐ=Ð，∴AFE AEF Ð=Ð，∴AF AE =，∴BF EC =，∵D DBC FBD Ð=Ð=Ð，∴DF BF =，同理可证：BF FM =，∴EC FM =，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两个动点，且总使AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ^于点G ，则:FG AF 等于（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1214．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线MN 分别与x 轴，y 轴交于点M ，N ，且6OM =，30OMN Ð=°，等边AOB V 的顶点A ，B 分别在线段MN OM ，上，则OB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图，在ABC V 中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF ，ABD ，ACE ，若3AB =，4AC =，5BC =，则下列结论：①AB AC ^；②四边形ADFE 是平行四边形；③150DFE Ð=°；④5ADFE S =四边形，其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由222AB AC BC +=，得出90BAC Ð=°，则①正确；由等边三角形的性质得60DAB EAC Ð=Ð=°，则150DAE Ð=°，由SAS 证得ABC DBF V V ≌，得4AC DF AE ===，同理()SAS ABC EFC V V ≌，得3AB EF AD ===，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形\12AEFD S DF AM DF AD =×=×Y 故④不正确；\正确的个数是3个，故选：B ．二、解答题16．如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =，060BAC °<Ð<°，分别在AB 的右侧，AC 的左侧作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，BD 与CE 相交于点F ．(1)求证：BF CF =；(2)作射线AF 交BC 于点G ，交射线DC 于点H ．①补全图形，当40BAC Ð=°时，求AHD Ð的度数；②当BAC Ð的度数在给定范围内发生变化时，AHD Ð的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出AHD Ð的度数；若变化，请给出AHD Ð的度数的范围．17．如图，在ABCÐ的平V中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交DAC分线于E，交BC于G，且AE BC∥．(1)求证：ABC V 是等腰三角形；(2)若8AE =，2GC BG =，求BC 长．【答案】(1)答案见解析(2)12【分析】（1）先根据平行线的性质证明B DAEC CAE ÐÐÐÐ=，=，然后根据角平分线的定义得出B C Ð=Ð，则可证明ABC V 为等腰三角形；（2）证明AFE CFG △≌△，从而得到CG 的长，则可求得BC 的长．【详解】（1）解：AE BC Q ∥，B D A E ，C C A E \Ð=ÐÐ=Ð，AE Q 平分DAC Ð，DAE CAE \Ð=Ð，B C \Ð=Ð，AB AC \=，ABC \V 是等腰三角形；（2）F Q 是AC 的中点，AF CF \=，在AFE △和CFG △中，C FAE CF AFGFC EFA Ð=Ðìï=íïÐ=ÐîA FE C FG \V V ≌，8G C A E \==，2GC BG =Q ，4BG \=，12B C B G G C \=+=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．18．在ABCV中，AB BC=，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE OF，．(1)如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；(2)如图2，当90Ð=°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；ABC(3)若2，POFCF AE EF-==V为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE V ，连接AD ，CD ．(1)求证：ACD V 为等边三角形；(2)若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．由作图可知：最小值为∴60EAE¢Ð=°，∴EAE¢△为等边三角形，∴12EE EA AB¢==，∴90AE BТ=°，20．在ABC V 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^，垂足为G ，且AD AB =．60EDF Ð=°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)求证：AE CF =．60DBE DAF BD ADBDE ADF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BDE ADF △△≌．∴BE AF =．又∵AB AC =，∴AB BE AC AF -=-，∴AE CF =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．过关检测详细解析一．选择题1．如图，在ABC V 中，AC BC =，边AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点D 、E ．若45BAE Ð=°，3DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ．若AC AD =，40CAD Ð=°，则B Ð的大小为（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】C 【分析】根据AC AD =，40CAD Ð=°，得到70ACD D Ð=Ð=°，根据+180B D ÐÐ=°计算选择即可．【详解】∵AC AD =，40CAD Ð=°，∴70ACD D Ð=Ð=°，∵+180B D ÐÐ=°，∴110B Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为BC 的中点，将ABE V 沿AE 折叠，使点B 落在正方形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．BCD ．2.25∵四边形ABCD 为正方形，∴4AB BC ==，∵E 为BC 的中点，∴122BE CE BC ===，在Rt ABE △中，根据勾股定理可得：5．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．以DE 为折痕将B 点往右折如图2所示，BD BE 、分别与AC 相交于F 点、G 点．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 长度为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，已知ABC V 是等边三角形，2BDC BAC Ð=Ð，BD CD =，点M ，N 分别是B ，AC 边上的点，且60MDN Ð=°．连接MN ，若AMN V 的周长是6，则ABC V 的边长是（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】B 【分析】延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，由“SAS ”可证BDF CDN V V ≌，V V ≌DMN DMF ，可得Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，MN MF =，即可求解．【详解】解：延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，∵ABC V 是等边三角形，∴60Ð=Ð=Ð=°ABC BAC BCA ，∵BD CD =，2BDC BAC Ð=Ð，∴BDC V 是等腰三角形，120BDC Ð=°，∴30Ð=Ð=°BCD DBC ，∴90Ð=Ð=°DBA DCA ，在DBF V 和CND △中，BF CN DBF DCN DB DC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BDF CDN V V ≌，∴Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，∵60MDN Ð=°，∴60Ð+Ð=°BDM CDN ，∴60BDM BDF FDM MDN Ð+Ð=°=Ð=Ð，在DMN V 和V DMF 中，DN DF MDN MDF DM MD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS DMN DMF V V ≌，∴MN MF =，∴MF BF BM BM CN MN =+=+=，∴AMN V 的周长2AM AN MN AM MB BF AN AB AN CN AB AC AB ++=+++=++=+=．∵AMN V 的周长是6∴3AB =故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，已知点D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，6AD =，点F 是线段AD 上一动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【分析】连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ．【详解】解：连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，如下图：∵ABC V 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴BF CF =，∴BF EF CF EF CE +=+=，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ∵D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，∴AD CE =，∵6AD =，∴6CE =，∴BF EF +的值最小值为6．故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称求最短距离，解题关键是掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质．8．如图，在等边ABC V 中，4BC cm =，动点D 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 方向运动．同时动点E 从点B 出发以相同的速度沿BC 方向运动，当点D 运动到点A 时，点E 也随之停止运动．连接DE ，将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对称点为点F ，设点D 的运动时间为t 秒，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y 与t 的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．【详解】解：由折叠的性质可得：BDE DEF S S =△△，①当02t ££时，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为BDE y S =V ，由题意得：cm BD BE t ==，过点D 作DH BE ^于点H ，如图，∵ABC V 是等边三角形，由题意得：cm==，则BD BE t∵60，，B BD BEÐ=°=∴BDEV是等边三角形，4综上，y 与t 之间函数关系式为由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开9．点D 是等边三角形ABC 的边AB 上的一点，且12AD BD ==，，现将ABC V 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，若54BF =，则CE 的长为（ ）A ．53B ．75C ．125D ．3510．如图，在等边三角形ABC 中，10cm AB AC ==，4cm DC =．如果点M ，N 都以1cm/s 的速度运动，点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动，点N 在线段BA 上由点B 向点A 运动．它们同时出发，当两点运动时间为t 秒时，BMN V 是一个直角三角形，则t 的值为（ ）A ．103B ．209C ．103或203D ．53或103【答案】C【分析】根据题意，用含t 的式子表示出,,10CM t BN t BM t -===，分两种情况讨论，当90BMN Ð=°时，2BN BM =，求出t 的值；当90BNM Ð=°时，2BM BN =，求出t 的值．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，10AB AC ==cm ，∴10BC =cm ，∵点M 、N 都以1cm/s 的速度运动，设CM t =，BN t =，线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A．5B C．D．6【答案】A【分析】连接CQ、CP，过点C作CH AB^，根据勾股定理求出^于H，根据切线的性质得到CQ PQPQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【详解】解：连接CQ、CP，过点C作CH AB^于H，∵PQ 是C e 的切线，∴CQ PQ ^，∴22PQ CP CQ =-=当CP AB ^时，CP 最小，12．如图，O 为ABC V 的外心，OCP △为正三角形，OP 与AC 相交于D 点，连接OA ．若70BAC Ð=°，AB AC =，则ADP Ð为（ ）A ．110°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C 【分析】由三角形的外心可知OA OC =，结合AB AC =，70BAC Ð=°先求出ACO Ð，再利用OCP △是正三角形以及外角的性质即可求解ADP Ð的度数．【详解】解：O Q 是ABC V 的外心，AB AC=OA OC BAO CAO ACO\=Ð=Ð=Ð，=70BAC аQ =35CAO ACO \Ð=аOCP Q △是正三角形60PCO P \Ð=Ð=°25PCD PCO ACO \Ð=Ð-Ð=°256085ADP PCD P \Ð=Ð+Ð=°+°=°故选C ．【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．13．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G ，CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC Ð=°；③ABG DBF ≌△△；④连接GF ，则GBF V 是等边三角形，以上结论正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【分析】利用等边三角形,ABD BCE V V 的性质，证明 ,ABE DBC V V ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC V V ≌可得,EAB CDB Ð=Ð 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出60ABG DBF Ð=Ð=°，进而证明ABG DBF ≌△△，判断③，得出BG BF =，即可判断④【详解】解：,ABD BCE QV V 为等边三角形，,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE \=Ð=°==Ð=°，，,ABD DBE CBE DBE \Ð+Ð=Ð+Ð 即,ABE DBC Ð=Ð()SAS ,ABE DBC \V V ≌,AE DC \= 故①正确；Q ,ABE DBC V V ≌,EAB CDB \Ð=Ð,DGH AGB Ð=ÐQ180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB Ð=°-Ð-ÐÐ=°-Ð-ÐQ60DHG ABD \Ð=Ð=°，120AHC \Ð=°，故②正确；60ABD EBC Ð=Ð=°Q ，60DBF \Ð=°，,EAB CDB Ð=ÐQ 则GAB FDBÐ=Ð在,ABG DBF V V 中GAB FDB AB DBABG DBF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()ASA ABG DBF \V V ≌，故③正确；BF BG\=又60DBF Ð=°Q ，\GBF V 是等边三角形，故④正确故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键．14．如图，P 为O e 外一点，PA PB 、分别切O e 于点A 、B ，AC 是O e 的直径，若10AC =，30BAC Ð=°，则PAB V 的周长为（ ）A．8B．C．20D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，60A Ð=°，10AC =，将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，此时点A ¢恰好在AB 边上，则点B ¢与点B 之间的距离为（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】D 【分析】连接BB ¢，证明ACA ¢V 是等边三角形，得出60ACA ¢Ð=°，从而得出60BCB ¢Ð=°，证明BCB ¢V 是等边三角形，得出BB BC ¢=，根据勾股定理，结合含30°角的直角三角形性质，求出BC 即可．【详解】解：如图，连接BB ¢，∵将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，∴BCB ACA ¢¢Ð=Ð，CB CB ¢=，CA CA ¢=，∵60A Ð=°，∴ACA ¢V 是等边三角形，∴60ACA ¢Ð=°，∴60BCB ¢Ð=°，二、解答题16．在AOB V 中，已知90AOB Ð=°，OA OB =，点P 、D 分别在AB OB 、上．(1)如图1，若45PO PD OPD =Ð=°，，则POB Ð=______°（直接写答案）(2)如图1，在（1）的条件下，求证：BOP △是等腰三角形．(3)如图2中，若12AB =，点P 在AB 上移动，且满足PO PD =，DE AB ^于点E ，试问：此时PE 的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．【答案】(1)67.5°(2)见解析(3)PE 的值不变，6PE =，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）首先根据等腰直角三角形的性质得到45B A Ð=Ð=°，然后利用三角形内角和定理和067.5BOP P D Ð=Ð=°得到BOP BPO Ð=Ð，进而求解即可；（3）解：PE的值不变，如图，过点O作OM∵90Ð=°，AOB AO∴BOMV是等腰直角三角形，1∴()AAS POM DPE ≌V V ，∴6OM PE ==，∴PE 的值不变，PE 的值为6．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．如图，ABC V 中， 15AB AC ==，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．(1)若BCD △的周长为21，求BC 的长；(2)若42A Ð=°，求DBC Ð的度数．【答案】(1)6(2)27DBC Ð=°【分析】（1）通过垂直平分线的性质判断边等，将三角形周长换成边的和，据此求解即可．（2）等腰三角形推出角等，通过角度的数量关系求解即可．【详解】（1）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\BD AD =，Q BCD △的周长是21，15AB AC ==，\BCD △的周长21BD CD BC AD CD BC AC BC =++=++=+=，\6BC =；（2）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\AD BD =，ABD A Ð=Ð，Q ABC V 中，AB AC =，\ABC C Ð=Ð，Q 42A Ð=°，\69ABC C Ð=Ð=°，\27DBC Ð=°．【点睛】此题考查垂直平分线的性质，解题关键是找到等角和等边的数量关系求解．18．已知，点P 为等边三角形ABC 所在平面内一点，且120BPC Ð=°．(1)如图（1），90ABP Ð=°，求证：BP CP =；(2)如图（2），点P 在ABC V 内部，且90APB Ð=°，求证：2BP CP =；(3)如图（3），点P 在ABC V 内部，M 为BC 上一点，连接PM ，若180BPM APC Ð+Ð=°，求证：BM CM =．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）证明BPC BCP Ð=Ð即可；（2）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，首先证明EAP V 是等边三角形，从而得出3090CEP CPE Ð=°Ð=°，，再利用含30°角的直角三角形的性质，可得答案；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理得EAP V 是等边三角形，过点C 作CN 平行于BP ，交PM 的延长线于点N ，再利用ASA 证明CPE CPN @V V ，得CE CN =，再证明()AAS CMN BPM @V V ，从而解决问题．【详解】（1）ABC QV 是等边三角形，60ABC ACB A \Ð=Ð=Ð=°，90,ABP Ð=°Q 90906030,PBC ABP ABC °\Ð=-Ð-Ð=°-°=°30BPC °Ð=Q ，180PBC BPC BCP Ð+Ð+Ð=°，1801801203030PCB BPC PBC \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，,PBC BPC \Ð=Ð，BP CP \=；（2）AP BP ^Q ，90APB \Ð=°，将ABP V 绕A 逆时针旋转60°，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，则90AE AP CE BP CAE BAP AEC APB ==Ð=ÐÐ=Ð=°，，，，∴EAP CAE CAP Ð=Ð+Ð60BAP CAP BAC =Ð+Ð=Ð=°，∴EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，∴906030CEP AEC AEP Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵360360906012090CPE APB APE BPC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-°=°，∴2CE CP =，∴2BP CP =；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理可知，EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，180,APC BPM Ð+Ð=°Q 180APE EPC BPM \Ð+Ð+Ð=°，120EPC BPM \Ð+Ð=°，又120,BPC CPM BPM Ð=Ð+Ð=°.FPC CPD \Ð=Ð，过点C 作,CN BP ∥交PM 的延长线于点N ，则,PBC NCB Ð=Ð120,BPC Ð=°Q 18012060,PBC PCB \Ð+Ð=°-°=°又60,60ACP PCB ABP PBC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，,ACP PBC \Ð=Ð由旋转得，,ACE ABP BP CEÐ=Ð=∴60ACE ACP PBC ABP Ð+Ð=Ð+Ð=°又60NCB BCP PBC BCP Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PCE PCN Ð=Ð，在PCE V 和PCN △中，EPC NPC PC PCPCE PCN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴PCE PCN @V V ，∴CE CN =，∴BP CN =，在BPM △和CNM V 中，PBM NCM PMB CMN BP CN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BM CM=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．19．在ABC V 中，90B Ð=°，1AB =，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当50BAC Ð=°时，则AED Ð的大小；(2)当60BAC Ð=°时，①如图2，连接AD ，AED △的形状是 三角形；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足CFD CAE Ð=Ð．P 为直线CF 上一动点．说明P 点在什么位置时，PE PD -有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D 关于直线CF 的对称点）【答案】(1)80AED Ð=°(2)①等边②点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，最大值为2，理由见解析【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①ADE V 是等边三角形，证明EA ED =，60AED Ð=°即可；②结论：2PE PD AB -=．如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，利用全等三角形的性质证明ED AC ¢=，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，50BAC Ð=°，905040ACB \Ð=°-°=°，18040140ACD \Ð=°-°=°，280EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36028080AED \Ð=°-°=°．（2）解：①如图2中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，60BAC Ð=°，906030°°\Ð=-°=ACB ，18030150ACD \Ð=°-°=°，300EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36030060AED \Ð=°-°=°，ADE \V 是等边三角形；②如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，180CFD CFE Ð+Ð=°Q ，CFD CAE Ð=Ð，。

的2的0的1的3的年的中的考的数的学的专的题的复的习的第的十的八的讲的等的腰的三的角的形的与的直的角的三的角的形的的【的基的础的知的识的回的顾的】的的一的、的等的腰的三的角的形的的的1的、的定的义的：的有的两的边的的的三的角的形的叫的做的等的腰的三的角的形的，的其的中的的的三的角的形的叫的做的等的边的三的角的形的的的2的、的等的腰的三的角的形的的的性的质的：的的⑴的等的腰的三的角的形的的的两的腰的等的腰的三的角的形的的的两的个的底的角的简的称的为的的⑵的等的腰的三的角的形的的的顶的角的平的分的线的、的互的相的重的合的，的简的称的为的的⑶的等的腰的三的角的形的是的轴的对的称的图的形的，的它的有的条的对的称的轴的，的是的的3的、的等的腰的三的角的形的的的判的定的：的的⑴的定的义的法的：的有的两的边的相的等的的的三的角的形的是的等的腰的三的角的形的⑵的有的两的相的等的的的三的角的形的是的等的腰的三的角的形的，的简的称的的【的赵的老的师的提的醒的：的1的、的等的腰的三的角的形的的的性的质的还的有的：的等的腰的三的角的形的两的腰的上的的的相的等的，的两的腰的上的的的相的等的，的两的底的角的的的平的分的线的也的相的等的的2的、的同的为的等的腰的三的角的形的腰的和的底的角的的的特的殊的性的，的所的以的在的题的目的中的往的常的出的现的对的边的和的角的的的讨的论的问的题的，的讨的论的边的时的应的注的意的保的证的讨的论的角的时的应的主的要的底的角的只的被的围的角的】的的4的、的等的边的三的角的形的的的性的质的：的⑴的等的边的三的角的形的的的每的个的内的角的都的都的等的于的的⑵的等的边的三的角的形的也的是的对的称的图的形的，的它的有的条的对的称的轴的1、的等的边的三的角的形的的的判的定的：的的⑴的有的三的个的角的相的等的的的三的角的形的是的等的边的三的角的形的的⑵的有的一的个的角的是的度的的的三的角的形的是的等的边的三的角的形的的【的赵的老的师的提的醒的：的1的、的等的边的三的角的形的具的备的等的腰的三的角的形的的的所的有的性的质的的2的、的有的一的个的角的是的直的角的的的等的腰的三的角的形的是的三的角的形的】的的二的、的线的段的的的垂的直的平的分的线的和的角的的的平的分的线的的1的、的线的段的垂的直的平的分的线的定的义的：的一的条的线的段的且的这的条的线的段的的的直的线的叫的做的线的段的的的垂的直的平的分的线的的2的、的性的质的：的线的段的垂的直的平的分的线的上的的的点的到的得的距的离的相的等的的3的、的判的定的：的到的一的条的线的段的两的端的点的距的离的相的等的的的点的在的的角的的的平的分的线的：的的1的、的性的质的：的角的平的分的线的上的的的点的到的得的距的离的相的等的的2的、的判的定的：的到的角的两的边的距的离的相的等的的的的【的赵的老的师的提的醒的：的1的、的线的段的的的垂的直的平的分的可的以的看的作的是的的的点的的的集的合的，的角的平的分的线的可的以的看的作的是的的的点的的的的2的、的要的移的用的作的一的条的已的知的线的段的的的垂的直的平的分的线的和的已的知的角的的的角的平的分的线的】的的三的、的直的角的三的角的形的：的的1的、的勾的股的定的理的和的它的的的逆的定的理的：的的勾的股的定的理的：的若的一的个的直的角的三的角的形的的的两的直的角的边的为的a的、的b的斜的边的为的c的则的a的、的b的、的c的满的足的的逆的定的理的：的若的一的个的三的角的形的的的三的边的a的、的b的、的c的满的足的则的这的个的三的角的形的是的直的角的三的角的形的的【的赵的老的师的提的醒的：的1的、的勾的股的定的理的在的几的何的证的明的和的计的算的中的应的用的非的常的广的泛的，的要的注的意的和的二的次的根的式的的的结的合的的2的、的勾的股的定的理的的的逆的定的理的是的判的断的一的个的三的角的形的是的直的角的三的角的形的或的证的明的线的段的垂的直的的的主的要的依的据的，的的3的、的勾的股的数的，的列的举的常的见的的的勾的股的数的三的组的、的、的】的的2的、的直的角的三的角的形的的的性的质的：的的除的勾的股的定的理的外的，的直的角的三的角的形的还的有的如的下的性的质的：的的⑴的直的角的三的角的形的两的锐的角的的⑵的直的角的三的角的形的斜的边的的的中的线的等的于的的⑶的在的直的角的三的角的形的中的如的果的有的一的个的锐的角的是的3的0的0的，的那的么的它的就的对的边的是的边的的的一的半的的3的、的直的角的三的角的形的的的判的定的：的的除的勾的股的定的理的的的逆的定的理的外的，的直的角的三的角的形的还的有的如的下的判的定的方的法的：的的定的义的法的：的⑴的有的一的个的角的是的的的三的角的形的是的直的角的三的角的形的的⑵的有的两的个的角的是的的的三的角的形的是的直的角的三的角的形的的⑶的如的果的一的个的三的角的形的一的边的上的的的中的线的等的于的这的边的的的这的个的三的角的形的是的直的角的三的角的形的的【的赵的老的师的提的醒的：的直的角的三的角的形的的的有的关的性的质的在的边的形的，的中的均的有的广的泛的应的用的，的要的注的意的这的几的条的性的质的的的熟的练的掌的握的和的灵的活的运的用的】的的【的重的点的考的点的例的析的】的的考的点的一的：的等的腰的三的角的形的性的质的的的运的用的的例的1的的的（的2的0的1的2的•的襄的阳的）的在的等的腰的△的A的B的C的中的，的∠的A的=的3的0的°的，的A的B的=的8的，的则的A的B的边的上的的的高的C的D的的的长的是的或的4的的．的的分的析的：的此的题的需的先的根的据的题的意的画的出的当的A的B的=的A的C的时的，的当的A的B的=的B的C的时的，的当的A的C的=的B的C的时的的的图的象的，的然的后的根的据的等的腰的三的角的形的的的性的质的和的解的直的角的三的角的形的，的分的别的进的行的计的算的即的可的．的的解的：的（的1的）的当的A的B的=的A的C的时的，的∵的∠的A的=的3的0的°的，的∴的C的D的=的A的C的=的×的8的=的4的；的（的2的）的当的A的B的=的B的C的时的，的则的∠的A的=的∠的A的C的B的=的3的0的°的，的∴的∠的A的C的D的=的6的0的°的，的∴的∠的B的C的D的=的3的0的°的，的∴的C的D 的=的c的o的s的∠的B的C的D的•的B的C的=的c的o的s的3的0的°的×的8的=的4的；的（的3的）的当的A的C的=的B的C的时的，的则的A的D的=的4的，的∴的C的D的=的t的a的n的∠的A的•的A的D的=的t 的a的n的3的0的°的•的4的=的；的故的答的案的为的：的或的或的4的。

2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。

它们不仅在几何题目中经常出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。

一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高；反之亦然。

（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（四）常见题型1、计算角度：利用等腰三角形的性质，求出顶角或底角的度数。

例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。

2、证明线段相等：通过证明三角形是等腰三角形，得出两条线段相等。

3、求边长：根据等腰三角形的性质和已知条件，计算出三角形的边长。

二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。

（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

若直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a²＋ b²＝c²。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD ＝ 1/2 AB 。

3、直角三角形的两个锐角互余。

中考数学专题复习等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【赵老师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证讨论角时应主要底角只被围角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【赵老师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在角的平分线：1、性质：角平分线上的点到得距离相等2、判定：到角两边距离相等的【赵老师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角是的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【赵老师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：等腰三角形性质的运用例 1 （2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=12AC=12×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=43；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=433；故答案为：433或43或4。