八年级数学等腰三角形(2)

八年级下册数学作业-----等腰三角形(2)姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等腰三角形的顶角是70°，则腰上的高与底边所夹的角为（ ）A ．55°B ．35°C ．40°D ．以上都不对 2．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则该等腰三角形的周长是（ ） A ．9 B ．12 C ．13 D ．12或9 3．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，∠BAD=35°，则∠C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60° 4．若等边三角形的边长为4cm ,则这条边上的高为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．1cmD ．23cm 5．如图，点A 的坐标是()2,2，若点P 在x 轴上，且APO ∆是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．()1,0B ．()2,0C ．()22,0-D ．()4,0 6．如图，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝40°，则∠B 的度数是（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20° 7．△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠C ，则∠B ＝（ ）A ．36°B ．45°C ．60°D ．90°8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ， AG 平分∠BAC 交BC 于H ，BG ⊥AG ，垂足为G ．若AH ＝8，则BG 的长为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．4二、填空题 9．如图，ABC ∆是边长为8的等边三角形，D 为AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =，DF BC ⊥于点F ，求线段BF 的长，BF =______________．10．如图，已知等边△ABC 中，BD=CE,AD 与BE 交于点P ，则∠APE=________.11．等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的度数是_______°．12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 是△ABC 的一条角平分线，若∠A =36°，则∠BDC 的度数为_________．13．如图，在ABC V 中，AB AC ＝，点D 在AC 上，且BD BC AD ＝＝，则A ∠＝_____度．14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为____．三、解答题15．已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，中线BD 和CE 交于点O .（1）求证：OBC ∆是等腰三角形；（2连接OA ，试判断直线OA 与线段BC 的关系，并说明理由.16．如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ．请猜想线段：DB 、DE 、EC 之间的数量关系，并说明理由．17．如图，在△ABC 中，CA=CB ，点D 在BC 上，且AB=AD=DC ，求∠C 的度数．18．如图，ABC ∆和CDE ∆ 都是等边三角形，连接AD 、BE ，AD 与BE 相交于点F .（1）求证AD BE =；（2）BFA ∠= o .参考答案1．B【解析】【分析】结合题意画出图形，可先求得两底角的大小，在再结合直角三角形两锐角互余可求得答案．【详解】解：如图：△ABC中，AB＝AC，BD是边AC上的高．∵∠A＝70°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°﹣70°)÷2＝55°；在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠C＝55°；∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°.故选：B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，即可得到答案．【详解】∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴等腰三角形的三边长分别为：5，5，2，即：该等腰三角形的周长是12．故选B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义以及三角形三边之间的关系，掌握等腰三角形的定义，是解3．C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.故选C考点：等腰三角形三线合一4．D【解析】【分析】作出等边三角形一边上的高，利用等腰三角形的性质以及勾股定理可得三角形一边上的高. 【详解】解：如图作AD⊥BC于点D．∵△ABC为等边三角形，∴BD=CD=2cm，∴AD=22224223-=-=(cm).AB BD故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质得出BD的长，再结合勾股定理求解是解决本题的突破点．5．A【解析】【分析】∆是等腰三角形时P点的位本题可先根据勾股定理求出OA的长，然后结合选项分析APO置，然后用排除法求解．解：点A的坐标是（2，2），根据勾股定理：则OA＝当OA＝OP＝，且点P在点O左侧时，P点坐标为：()-，当OA＝AP时，由对称性可知P点坐标为：()4,0，当OP＝AP时，则P点坐标为：()2,0，∴点P的坐标不可能是()1,0故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和性质，分情况讨论．6．A【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．【详解】∵△ABC中，AC＝AD，∠DAC＝40°，∴∠ADC＝180402︒-︒＝70°，∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠B＝∠BAD＝（702）°＝35°．故选：A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是解此题的关键．7．C【解析】【分析】首先∠A＝∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠B＝180°∴∠B＝60°.故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．D【解析】【分析】如图，延长AC交BG的延长线于E，构建等腰△BAE、全等三角形△BEC和△AHC，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=AH，所以BG=12AH=4．【详解】如图，延长AC交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠CAB=45°，∵AG平分∠BAC∴∠CAG=12∠BAC=22.5°，∵AG⊥BG，∴∠BGA=90°，∴∠GBA=90°-22.5°=67.5°，∴∠GBC=∠EBA-∠ABC=22.5°．∴∠GBC=∠CAH，∵CA＝CB，∠ACB=∠BCE∴△ACH≌△BCE∴BE=AH∵AG平分∠BAC，AG⊥BG，∴BG=EG，即BG=12 BE，∴BG=12AH=12×8=4．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．9．6【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠DBC=30°，∠DCB=60°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠E=30°，可得BD=DE，根据等腰三角形的“三线合一”可得BF=12BE即可求解．【详解】∵ABC是边长为8的等边三角形，D为AC的中点∴∠DBC=12∠ABC=30°，∠DCB=60°，BC=8，CD=4∵CE=CD∴CE=4，∠E=∠CDE=30°∴∠DBC=∠E，BE=BC+CE=12 ∴BD=DE∴BF=12BE=6 故答案为：6【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，掌握图形的性质并能根据三角形的外角的性质求出∠E 的度数是关键．10．60°【解析】【分析】通过证△ABD ≌△BCE 得∠BAD ＝∠CBE ，然后运用三角形外角的性质求解．【详解】解：在等边△ABC 中，∵60AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∴∠APE ＝∠BAD ＋∠ABP ＝∠ABP ＋∠CBE ＝∠ABD ＝60°．故答案为：60°. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，解答时证明三角形全等是关键．11．36【解析】【分析】根据底角与顶角的倍数关系，可设顶角是x 度，则底角就是2x 度，根据三角形内角和定理，即可列出方程解决问题．【详解】解：顶角是x 度，则底角就是2x 度，根据三角形内角和定理可得：2x+2x+x=180，5x=180，x=36，故答案为：36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的灵活应用．12．72°【解析】【分析】利用等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的外角的定义解答即可. 【详解】解:∵AB=AC，AB=AC∴∠ABC=∠C=12(180°-∠A)=72°又∵BD是△ABC的一条角平分线∴∠ABD=∠BDC=12∠ABC=36°∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的定义以及三角形的外角的定义，灵活应用三角形的外角的定义进行解题是解答本题的关键.13．36【解析】【分析】设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．【详解】设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x；∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x ；∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°，故答案为36.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．14．10【解析】【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14＞6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形； 故腰长为10．故答案为：10．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．15．（1）证明见解析；（2）直线AO 垂直平分线段BC .【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到A ABC CB =∠∠，再结合中线的定义得到CD BE =，由三角形全等的判定可以证明()BCD CBE SAS ∆≅∆，从而证明12∠=∠；（2）根据全等三角形的判定和性质得到OA 平BAC ∠，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO 垂直平分线段BC .【详解】（1）证明：如图1所示：在ABC ∆中，=AB AC ，∴AABC CB=∠∠，又Q BD和CE是三角形的中线，∴D和E分别是边AC、AB的中点，∴CD BE=，在BCD∆和CBE∆中，BC CBBCD CBECD BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCD CBE SAS∴∆≅∆，12∠∠∴=，∴OBC∆是等腰三角形；（2）直线AO垂直平分线段BC，理由如下：如图2所示，连接AO并延长交BC于点F，OBC∆Q是等腰三角形，BO CO∴=，在AOB∆和AOC∆中AB ACAO AOBO CO=⎧⎪=⎨⎪=⎩()AOB AOC SSS∴∆≅∆，BAF CAF∴∠=∠，∴直线AO垂直平分线段BC（等腰三角形三线合一）故答案为：直线AO垂直平分线段BC.【点睛】（1）利用三角形全等的判定证明对应角相等，由角相等可以得出等腰三角形；∠，再由等腰三角（2）利用三角形全等的判定和性质，证明对应角相等，得到OA平BAC形三线合一即可得出结论.16．结论：DE＝BD+EC．理由见解析.【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD=DF，CE=EF，即可得到结论．【详解】解：结论：DE＝BD+EC．理由：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴DE＝DF+EF＝DB+EC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质及角平分线的概念．根据角平分线的概念和平行线的性质证出等腰三角形是解决此题的关键．17．∠C 的度数是36°【解析】试题分析：设∠B=x°， 根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠B=x°，∠ADB=∠B=x°，∠C=∠CAD ，再根据三角形外角的性质可得∠C=12x°，在△ABC 中，根据三角形的内角和求出x 的值即可得∠C=36°．试题解析：设∠B=x°，∵CA=CB ，∴∠CAB=∠B=x°，∵AB=AD=DC ，∴∠ADB=∠B=x°，∠C=∠CAD ，∵∠ADB=∠C+∠CAD ，∴∠C=12x°， 在△ABC 中，x+x+12x=180， 解得：x=72，∴∠C= 12×72°=36°． 18．（1）证明见解析；（2）60.【解析】【分析】（1）利用SAS 定理证明ACD ∆≌BCE ∆，从而求解；（2）利用全等三角形的性质求得CBE CAD ∠=∠，然后根据三角形内角和求得∠BFA=180°-(∠BAF+∠ABF)，根据等量代换求得∠BFA =180°-（∠BAC+∠ABC ），然后利用等边三角形的性质求解.【详解】解：（1）在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD ∆≌BCE ∆（SAS ）∴AD BE =（2）由ACD ∆≌BCE ∆得CBE CAD ∠=∠∴∠BFA=180°-(∠BAF+∠ABF)=180°-(∠BAC+∠CAD+∠ABF)=180°-（∠BAC+∠CBE+∠ABF ）=180°-（∠BAC+∠ABC ）∵△ABC 为等边三角形∴∠BAC=∠ABC=60°∴∠BFA=180°-(60°+60°)=60°故答案为：60【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，比较基础，掌握SAS 判定定理及相关性质是本题的解题关键。

《13．3．1 等腰三角形》课时练一、选择题1．下列命题中，属于假命题的是( )A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴B．有两个角相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形底边上的中线平分顶角D．等边三角形的每一个内角都等于60∘2．如图，在△ABC中，∠B=∠C， AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）A．60∘B．30∘C．45∘D．15∘4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是( )A．48∘B．21∘或69∘C．21∘D．48∘或69∘5．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝6．等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是()A．25B．12．5C．10D．6．257．如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个角是60∘的等腰三角形是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．上述都正确9．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60∘的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）A．8B．7C．6D．511．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30∘B．30∘或150∘C．120∘或150∘D．120∘、30∘或150∘12．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )A．140∘B．20∘或80∘C．44∘或80∘D．140∘或44∘或80∘二、填空题13．等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________．14．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16．如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形．19．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：D=∠ABC．20．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21．如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22．（1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．（2）如图②，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案13．30∘或150∘14．115．416．−3+3√331617．30∘或70∘18．证明：选择的条件是：①∠B=∠C②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；证明：在△BAD和△CDA中，∵{∠B=∠C，∠BAD=∠CDA，AD=DA，∴△BAD≅△CDA(AAS)，∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．19．证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，∴△EDB≅ABC(SAS)，∴∠D=∠ABC20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，∵∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，∴AE=12DE=2，AD=√3AE=2√3．∵DE⊥CE，∠A=90∘，∴∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，∵∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3，∴BE=√3BC=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．21．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，∴∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180∘，∴∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，∵∠ACB−∠B=90∘，∴∠ACB=90∘+∠B，∴∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=12(90∘−∠BAC)，∴∠4=∠B+∠AEF，∵AE平分∠DAC，∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，∵∠BAC+∠3+∠4=180∘，∴2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，∴∠AEF=45∘，∴∠AFE=45∘，∴△AEF是等腰直角三角形．22．【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图③．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。

专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

第15讲等腰三角形（二）三线合一知识导航1、等腰三角形底边上的高→底边上的中线，顶角的平分线。

2、等腰三角形底边上的中线→底边上的高，顶角的平分线。

3、等腰三角形顶角的平分线→底边上的中线，底边上的高。

【板块一】知等腰→连中线方法技巧遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。

120，点F为CD的中点，AB=AE,BC=ED，【例1】如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠BAE=0求∠BAF的度数。

针对练习11、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：AD=AE。

90，AB=AC，点D是BC的中点。

2、已知△ABC中，∠BAC=0（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；（2）如图2，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，且仍有BE=AF，请判断△DEF的是否仍有（1）中的形状，并说明理由。

【板块二】知等腰→作高线方法技巧遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。

【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB，DE⊥AB于点E，若BC=10，且△BDC的周长为24，求AE的长。

【例3】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，EB⊥AB且EA=EC，求证：AC=2AB。

针对练习21、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC=2∠C，求证：CD=AB+BD。

2、如图，在△ABC中，CA=CB，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，BD，AE交于点O。

（1）求证：CD=CE；（2）求证：OC⊥AB。

3、如图1，在等腰△ABC中，∠ACB=090，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD，垂足为点E。

（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）如图2，若点O是AB的中点，点G在OC上，∠OAG=∠OCD，求BEAG的值。

【板块三】构等腰→用“三线”方法技巧在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。

13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．教学重点1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学过程提出问题，创设情境在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？导入新课同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．提问：1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．随堂练习练习1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2．如右图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3．如右图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．D CAB答：∠B=77°，∠°．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高． 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．活动与探究如右图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如右图，在△ADP 和△A DC 中12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ． ∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ． ∴AE=CE ． 板书设计等腰三角形一、设计方案作出一个等腰三角形EDCABP二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一第2章 图形的轴对称复习课学习目标：1、理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质.2、掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3、理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4、理解等边三角形的性质并能够简单应用.5、能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.重点：掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用. 难点：轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用 复习过程： 【课前准备】如何画一个图形关于某条直线对称的图形？ 【课内探究】 知识点整理：1、如果一个图形沿着某条直线折叠．．后，直线两旁的部分能够互相重合．．，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴. 轴对称图形是—个具有特殊性质的图形.常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形、 正方形、等腰梯形、正n 边形、圆形.2、 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.而两个图形中的各自的相对应点叫做关于这条直线的对称点. (1) 轴对称是指两个图形之间的位置关系；(2) 关于某条直线对称的两个图形是互相重合的；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线.1、 什么叫轴对称图形？2、 什么叫做两个图形关于某一条直线成轴对称？3、 “轴对称图形”与“两个图形关于某一条直线成轴对称”有什么区别？4、 什么叫做线段的垂直平分线？线段的垂直平分线有什么性质？如何用尺规作出线段的垂直平分线？5、 角的平分线具有什么性质？如何做角平分线？6、 等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？已知哪些条件，可以用尺规做出等腰三角形？7、 如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形具有什么性质？E D BC A 牛刀小试：下面几种图形，一定是轴对称图形的是（ ）3、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.巩固训练：(1)已知△ABC 中，AB = AC ，其周长为18cm ，AB = 5cm ，则BC = . (2)已知等腰三角形的腰长为4cm ，底边长为6cm ，则它的周长为 . (3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm 、3cm ，则它的周长是 . (4)已知等腰三角形一边长为3，另一边为5，则它的周长是 .4、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质： ① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；(三线合一) ③ 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 巩固训练：(1) 已知△ABC 中，AB = AC ，∠C = 50°，则∠B = .(2) △ABC 中，AB = AC ，若AD ⊥BC 于D ，则∠1 ∠2，BD CD. (3) 已知等腰三角形的一个底角为45°，则它的顶角为 . (4) 已知等腰三角形的一个角是70°，则其余两个角的度数是 . (5) 已知等腰三角形的一个角是120°，则其余两个角的度数是 . 思考：本章的作图有哪几种类型？ （1）作线段的垂直平分线；（2）作角的平分线； （3）作等腰三角形；（4）作对称点. 【巩固提升】1、已知A （-1，1），在y 轴上找一点P,使△AOP 是等腰三角形.这样的P 点可能有几个？2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB(1)若∠CAD=20°，则∠B=____°(2)若AC=4,BC=5,则△ACD 的周长为______. (3) 若∠B=30°，则∠CAD=____°图中共有几组相等的线段？为什么？【课堂小结】通过今天的学习，你对本章又增加了哪些新的认识？ 【达标检测】1、下列图形中一定是轴对称的图形是（ ）. A 、梯形 B 、直角三角形 C 、角 D 、平行四边形2、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）.A、65° 65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50° 50°3、如果等腰三角形的两边长是6和3，那么它的周长是（）.A、9B、12C、12或 15D、154、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）.A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三条边的垂直平分线的交点第1课时等腰三角形的性质【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的性质.2.运用等腰三角形性质进行证明和计算.、发展形象思维.【过程与方法】、观察、证明等腰三角形的性质,发展学生推理能力.2.通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.【情感态度】引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中取得成功的体验.【教学重点】等腰三角形的性质及应用.【教学难点】等腰三角形的证明.一、情境导入，初步认识问题 1 让学生根据自己的理解,做一个等腰三角形.要求学生独立思考,动手做图后,再互相交流评价.可按下列方法做出:作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,AC,CB,则可得到一个等腰三角形.问题2 老师拿出事先准备好的长方形纸片,按下图方式折叠剪裁.观察并讨论:△ABC有什么特点?教师指导,并介绍等腰三角形的相关概念,及等腰三角形是轴对称图形.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知教师依据学生讨论发言的情况,归纳等腰三角形的性质:①∠B=∠C→两个底角相等.②BD=CD→AD为底边BC上的中线.③∠BAD=∠CAD→AD为顶角∠BAC的平分线.∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高.指导学生用语言叙述上述性质.性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成:“等边对等角”).性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线,底边上的高重合(简记为:“三线合一”).教师指导对等腰三角形性质的证明.1.证明等腰三角形底角的性质.教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形,写出已知和求证.在引导学生分析思路时强调:∠B=∠C,需证明以∠B,∠C为元素的两个三角形全等,需要添加辅助线构造符合证明要求的两个三角形.(2)添加辅助线的方法可以有多种方式:如作顶角平分线,或作底边上的中线,或作底边上的高等.“三线合一”的性质.【教学说明】在证明中,设计辅助线是关键,引导学生用全等的方法去处理,在不同的辅助线作法中,由辅助线带来的条件是不同的,重视这一点，要求学生板书证明过程,以体会一题多解带来的体验.例如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角).设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.【教学说明】等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”性质，可以实现由边到角的转化，从而可求出相应角的度数.要在解题过程中,学会从复杂图形中分解出等腰三角形,用方程思想和数形结合思想解决几何问题.三、运用新知，深化理解第1组练习:1.如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.2.如图，△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BAC=90°,AD是底边BC上的高,标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数,指出图中有哪些相等线段.3.如图,在△ABC,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.第2组练习:△ABC是轴对称图形,则它一定是( )°,它的顶角的度数是( )A.80°B.20°°和20°°或50°2cm,并且它的周长为16cm.求这个等腰三角形的边长.4.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB 交AC于E.求证:AE=CE.【教学说明】等腰三角形解边方面的计算类型较多,引导学生见识不同类型,并适时概括归纳,帮学生形成解题能力,注意提醒学生分类讨论思想的应用.【答案】第1组练习答案:1.(1)72°;(2)30°2.∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC,BD=DC=AD3.∠B=77°,∠°第2组练习答案:3.设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm,根据题意,得2(x+2)+x=16.解得x=4.∴等腰三角形的三边长为4cm,6cm和6cm.4.延长CD交AB的延长线于P,在△ADP和△ADC中,∠PAD=∠CAD,AD=AD,∠PDA=∠CDA,∴△ADP≌△ADC.∴∠P=∠∵DE∥AP,∴∠CDE=∠P.∴∠CDE=∠ACD,∴DE=EC.同理可证:AE=DE.∴AE=CE.四、师生互动，课堂小结这节课主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.请学生表述性质,提醒每个学生要灵活应用它们.学生间可交流体会与收获.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时应把重点放在逐步展示知识的形成过程上，先让学生通过剪纸认识等腰三角形；再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质；然后运用全等三角形的知识加以论证.由特殊到一般、由感性上升到理性，逻辑演绎，层层展开，步步深入.。

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析(2)一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B ， C ， D都是正方形.则A，B，C，D 的面积的和等于 ( )A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD 的长度为( )A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（20__•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（20__•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（20__•黔东南州）20__年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（20__•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（20__•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（20__•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC 相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（20__•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．22、（20__•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（20__•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO 绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（20__•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C 在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2_+3，直线l2：y=2_﹣3．(1)分别求直线l1与_轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F 上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为_，请直接写出_的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部.当该高线在三角形内部时，那么该三角形的顶角度数为30°，其底角也就是为75°.当高线在三角形外部时，其顶角度数为150°，那么其底角为15°.【分析】此题有一定的难度.考生容易忽视两种情况，只考虑到一种情况.此类型题经常出现在各种试卷上，希望考生能通过此题达到举一反三的效果.【答案】B【考点】等边三角形的判定，直角三角形斜边上的中线，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B=60°，∴∠A=30°，故选：B．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【答案】A【考点】勾股定理，等腰直角三角形【解析】【解答】等腰直角三角形中斜边长为m，则腰长为， C，D的边长为，∴A的面积为，C，D的面积为，B的面积为m2 ，故A、B、C、D的面积和为．故选 A．【分析】根据等腰直角三角形斜边长为m，即可求得等腰直角三角形腰长，则正方形B、C、D 的面积均可以求出来．【答案】B【考点】垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】连结AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴当AP⊥BC时，△ABP∽△CBA，∴，∴，∴AP最短时，AP=4.8∴当AM最短时，AM==2.4．故选B．【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【答案】C【考点】平面展开-最短路径问题【解析】【解答】依题意知作楼梯平面图.易知AB=.选C.【分析】本题难度较低，主要考查学生对直角三角形勾股定理知识点的掌握.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理【解析】【解答】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形.∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）.∴PQ是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6.∴PQ=DE=3.故选C.【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．【答案】A【考点】平行线之间的距离，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3 ，BE⊥l3 ，DG⊥l3 ，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC.∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF.在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，∴△BCE≌△ACF（ASA）.∴CF=BE=3，CE=AF=4.在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴.∵AF⊥l3 ，DG⊥l3 ，∴△CDG∽△CAF. ∴，即，解得.在Rt△BCD中，∵， BC=5，∴.故选A.【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3 ，BE⊥l3 ，DG⊥l3 ，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长．【答案】C【考点】角平分线的定义，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形【解析】【解答】因为△ABC中，∠C=90° ，∠ABC=60° ，所以∠BAC=30°;因为BD平分∠ABC ，所以∠ABD=∠DBC=30° ，所以AD=BD,因为AD=6,所以CD=3,故C项正确.【分析】结合根据角平分线的定义得∠ABD=∠DBC=30°,由含30°角的直角三角形可得CD是BD的一半即可得CD的长度，【答案】D【考点】角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，矩形的性质【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．【答案】D【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED= （180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG ，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG ，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．【答案】C【考点】勾股定理的证明【解析】【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4_ ab=13﹣1=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．二、填空题【答案】5；10【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质【解析】【解答】如下图所示，∠AOB＝60°，AB＋AC＝15；∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，∴△AOB是正三角形，∴AB＝OA ，∴AC＝2AB ，又∵AB＋AC＝15，∴AB＝5，AC＝10即短边的长是5，对角线的长是10．【分析】矩形的性质与两条对角线的夹角为60°相结合得到所需的正三角形．【答案】【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质，弧长的计算【解析】【解答】∵菱形ABCD中，AB=BC，又∵AC=AB，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．∴∠BAC=60°，∴弧BC的长是： =故答案是：【分析】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一个圆上，得到△ABC是等边三角形是关键．【答案】【考点】正方形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形【解析】【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD= CE= a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD= a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF= CE= a，在Rt△BEF中，tan∠EBF= = = ，即∠EBC= ．故答案为．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD= CE= a，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD= a，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF= CE= a，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．【答案】【考点】勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，AB=6，AD=5，∴∠ADB=90°，∴BD= = ，∵弦AD平分∠BAC，∴ ，∴∠DBE=∠DAB，在△ABD和△BED中，，∴△ABD∽△BED，∴，即BD2=ED_AD，∴（）2=ED_5，解得DE= ．故答案为：．【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，以及圆周角定理，解答此题的关键是作辅助线，构造出△ABD∽△BED．连接BD，由勾股定理先求出BD的长，再判定△ABD∽△BED，根据对应边成比例列出比例式，可求得DE的长．【答案】8【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8﹣a，∴EH2=AE2+AH2 ，即（8﹣a）2=42+a2 ，解得：a=3．∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF∽△HAE，∴ = = = ．∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，∴C△EBF= C△HAE=8．故答案为：8．【分析】设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角互补可得出∠BFE=∠AEH，从而得出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于对应比即可求出结论．本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出△EBF∽△HAE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过勾股定理求出三角形的边长，再根据相似三角形的性质找出周长间的比例是关键．三、解答题【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴∠DAE＝∠B，∵在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE＝（90°－∠B）＝∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°．【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质【解析】【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE＝∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．【答案】证明：如图，连接AO，∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，∴AO=BO，∠OAD=∠B=45°，∵AO⊥BO，OE⊥OD，∴∠AOE+∠BOE=∠AOE+∠AOD=90°，在△AOD和△BOE中∴△AOD≌△BOE，∴OE=OD．【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【分析】连接AO，证明△BEO≌△ADO即可．四、综合题【答案】（1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△A FE和Rt△BCA中∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．【答案】（1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点，∴CF= DE=EF，∴∠FEC=∠FCE，∵∠BFC=90°，E为BC中点，∴EF=EC，∴CF=CE，在△BCF和△DEC中，，∴△BCF≌△DEC（ASA）（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，∴CF= DE，∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，∴△BCF∽△DEC，∴ ，即： = ，解得：ED2=6a2 ，由勾股定理得：DC= = = a，∴ = =（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，∴FC=FE=FD，∴∠FEC=∠FCE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADF=∠CEF，∴∠ADF=∠BCF，在△ADF和△BCF中，，∴△ADF≌△BCF（SAS），∴∠AFD=∠BFC=90°，∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，∴四边形C′MFH是矩形，∴FM=C′H= ，设EM=_，则FC=FE=_+ ，在Rt△EMC和Rt△FMC中，由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2 ，∴12﹣_2=（_+ ）2﹣（）2 ，解得：_= ，或_=﹣（舍去），∴EM= ，FC=FE= + ；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算得：CF= ，∴ = +解得：n=4【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．【答案】（1）解：①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△F AE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为_，则EC=_﹣2，FC=_﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2 ，即（_﹣2）2+（_﹣3）2=25．解得：_=6．∴AB=6．∴AH=6．（2）解：如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2 ．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2 ．【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质，旋转的性质【解析】【分析】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为_，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明明即可．【答案】（1）解：如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB= =5，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′= BA=5（2）解：作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH= BO′= ，O′H= BH= ，∴OH=OB+BH=3+ = ，∴O′点的坐标为（，）（3）解：∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于_轴的对称点C，连结O′C交_轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于_轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=k_+b，把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y= _﹣3，当y=0时， _﹣3=0，解得_= ，则P（，0），∴OP= ，∴O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D= O′P′= ，P′D= O′D= ，∴DH=O′H﹣O′D= ﹣ = ，∴P′点的坐标为（，）【考点】线段的性质：两点之间线段最短，含30度角的直角三角形，旋转的性质，坐标与图形变化-旋转【解析】【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在表示方法写出O′点的坐标；（3）由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于_轴的对称点C，连结O′C交_轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y= _﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．【答案】（1）解：直线l1：当y=0时，2_+3=0，_=﹣则直线l1与_轴坐标为（﹣，0）直线l2：当y=3时，2_﹣3=3，_=3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）（2）解：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则Rt△ABP≌Rt△PNM，∴AB=PN=4，MN=BP，设M（_，2_﹣3），则MN=_﹣4，∴2_﹣3=4+3﹣（_﹣4），_= ，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（_，2_﹣3），过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1 ，则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1 ，∴AG1=M1H1=3﹣（2_﹣3），∴_+3﹣（2_﹣3）=4，_=2∴M1（2，1）；设M2（_，2_﹣3），同理可得_+2_﹣3﹣3=4，∴_= ，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）【考点】矩形的性质，等腰直角三角形【解析】【分析】考查了四边形综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线l1与_轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）分三种情况：①若点A为直角顶点时，点M在第一象限；若点P为直角顶点时，点M在第一象限；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限；进行讨论可求点M的坐标；（3）根据矩形的性质可求N点的横坐标_的取值范围．。

浙教版数学八年级上册2.2《等腰三角形》教案一. 教材分析等腰三角形是初中数学中的重要内容，也是八年级上册的教学重点。

浙教版数学八年级上册2.2《等腰三角形》一节，通过介绍等腰三角形的性质和判定方法，使学生掌握等腰三角形的特征，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作和推理能力。

但部分学生对抽象几何图形的学习仍存在一定的困难，对等腰三角形的性质和判定方法的理解需要通过大量的实践活动来加深。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握等腰三角形的性质，学会判定一个三角形是否为等腰三角形。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等实践活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作精神、创新意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质和判定方法。

2.教学难点：等腰三角形性质的证明和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入等腰三角形，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动探究等腰三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力。

3.实践活动法：学生进行操作实践，加深对等腰三角形性质的理解。

4.小组合作学习法：鼓励学生分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示等腰三角形的图片和实例。

2.教学道具：准备一些等腰三角形模型，供学生观察和操作。

3.练习题：准备一些有关等腰三角形的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的等腰三角形实例，如金字塔、塔吊等，引导学生关注等腰三角形的特征。

提问：你们认为等腰三角形有哪些特点？从而引出本节课的主题。

2.呈现（10分钟）介绍等腰三角形的定义和性质，通过课件和实物展示，让学生直观地感受等腰三角形的特征。

同时，引导学生尝试证明等腰三角形的性质。