计算方法
1
3 常微分方程的差分方法
• 问题的提出 • 一阶方程的典型解 法
2
3.0 问题的提出
• 数值微分 微分的定义
• 差商公式 ——三种典型的差商公式
3
• 典型的微分方程(一阶方程的初值问题)
y ' f ( x, y ) y ( x0 ) y 0 • 理论解(解析方法)的局限性 • 数值解法的重要性 ——无理论解、仅有离散点。
• 显式 • 图形
7
• 例题
y' y y(0) 1
2x (0 x 1) y
取h=0.1
8
欧拉方法的误差分析
•
局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下，
yn+1-yn的误差。 如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方 法的精度是pБайду номын сангаас的。
•
Euler格式的精度：一阶方法。
15
• 改进的思路： 先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为 y n 1 (预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。 • 改进的Euler公式
h f (x n n, y n) 1 y yn h , yn y n 1 y n [ f (x n, y n) f (x n 1 1)] 2 h y ,y h f (x n 1 y n [ f (x n, y n) f (x n 1 n n, y n))] 2
, y ( )) 核心是如何确定 f ( 。 • 改进的Euler公式 h y n 1 y n 2 ( K 1 K 2 ) K1 f ( xn , yn ) K f (x , y h K ) n 1 n 1 2
20
, y ( ))的构造 • f(
'
18
• 精度分析 • 思考题 ——数值积分公式其他形式(思想)的适用性
19
3.3 Runge-Kutta方法
• 高精度(构造！) y(xn1) y(xn) • 思想 y' ()
h y(xn1) y(xn) h f (, y()) yn1 yn h f (, y())
4
• 差分方法是一类重要的数值解法 寻求一系列离散节点 x1< x2<…< xn<…上的近似解y1， y2，…，yn，…。 h=xn+1-xn称为步长。 • 初值问题差分方法的特点： 步进式——求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前 推进。 描述这种算法，只要给出从已知信息yn，yn-1， yn-2 ，…计 算yn+1的递推公式 ——差分格式。 • 求解的核心——消除导数，离散化方法
5
3.1
• Euler格式
Euler方法
微分的离散化——差商代替导数 在点xn列出一阶方程
y' (xn) f (xn, y(xn)) y0 已知
6
y(xn1) y(xn) y(xn1) y(xn) y (xn) xn1 xn h
'
y(xn1) y(xn) h f (xn, y(xn)) yn1 yn h f (xn, yn)(n 0,1 ,2 ) y0 已知
21
• 二阶Runge-Kutta方法 取xn和xn+p= xn+ph，0<p≤1。
yn1 yn h [( 1)K K 1 2] K 1 f (x n, y n) K f (x , y phK np n 1) 2
合理的确定λ、p，以提高精度。
22
•
假定yn=f(xn) ' K f ( x , y ) y ( x ) 1 n n n K f( x ,y phK ) 2 n p n 1 2 f ( x , y ) ph [ f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y )] O ( h ) n n x n n n n y n n ' '' 2 y ( x ) phy ( x ) O ( h ) n n 从而有 ' 2 ' ' 3
9
• 隐式Euler方法 向后差商公式。
y(xn1) y(xn) y(xn1) y(xn) y (xn1) xn1 xn h
'
y(xn1) y(xn) h f (xn1, y(xn1)) yn1 yn h f (xn1, yn1) y0 已知
离散化
y y h f ( x , y ) n 1 n n n
• 梯形格式
h y ( x ) y ( x ) [ f ( x , y ) f ( x , y ( x ))] n 1 n n n n 1 n 1 2 离散化 h y y [ f ( x , y ) f ( x , y )] n 1 n n n n 1 n 1 2 ——两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。
10
• 隐式 • 计算比较困难 • 一阶方法
11
• 两步Euler格式——中心差商公式
y(xn1) y(xn1) 2h y(xn1) y(xn1) 2h f (xn, y(xn)) y' (xn) yn1 yn1 2h f (xn, yn)(n 0,1 ,2 ) y0 已知
16
或如下平均化形式
y p yn h f ( xn , yn ) y c y n h f ( x n 1 , y p ) y n 1 1 ( y p y c ) 2
17
• 例题
2x y y (0 x 1) y y(0) 1
12
• 两步 • 二阶方法
h3 ''' y(xn1) y(xn1) 2h y (xn) y () 3 h3 ''' y(xn1) yn1 y () 3
'
13
3.2 改进的Euler方法
• 微分方程转化为积分方程
x n 1
x n
yd x
'
x n 1
x n
f (x ,y )d x
x n 1 x n
y (x (x n 1) y n)
f (x ,y )d x
• 选取不同的数值积分公式 ——不同的离散方法(差分格式)
14
• 矩形格式
y ( x ) y ( x ) h f ( x , y ( x )) n 1 n n n
