最小树形图

最⼩树形图——朱刘算法学习笔记问题描述给定⼀张⽆向图和⼀个根r，求出⼀个n-1条边的⼀张⼦图，使得从r出发可以到达任意⼀个点，同时使得所有选择的边权之和最⼩。

根据最⼩树形图的定义，这张图的除了根的每⼀个点都必须有且仅有⼀个⼊度。

那么我们可以贪⼼⼀点，对于除了根的所有点都找出⼀条连向它的边且边权最⼩，称作这个点的代表边，并把这些边权加⼊答案中。

然后我们找出了⼀张图，这张图中每个点都只有⼀个⼊度。

如果不算根的话，它应当是⼀个外向基环树森林。

然后我们找到所有的环，把它们缩成⼀个点。

再去扫描不在环内的边，假设有u->v,那么这条边的边权要减掉v的代表边权。

因为v是⼀个环，如果继续连u->v的边的话，相当于是把原来v的⽗亲断开，再连上u。

于是我们就完成了缩点，⼀直做下去，知道图中没有环。

⽆解就是图中除了根有点没有⼊度。

代码细节1、初始化，我们令id[]表⽰这个点在那个环⾥，top[]表⽰环顶(找环时⽤)，mi[]表⽰代表边的边权,cnt表⽰环数。

2、找环的时候，因为是⼀颗外向基环树，所以我们对于每个点记录father，这样father就变成了内向基环树，这样可以⽅便找环。

3、没有和其他点组成环的让它⾃⼰成为⼀个环。

4、每做完⼀轮之后要更新⼀下点数和根。

代码#include<iostream>#include<cstdio>#define N 109#define M 10009#define inf 2e9using namespace std;int tot,top[N],id[N],cnt,mi[N],n,m,fa[N],r;long long ans;inline int rd(){int x=0;char c=getchar();bool f=0;while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}return f?-x:x;}struct edge{int from,to,l;}e[M];inline void add(int u,int v,int l){e[++tot].to=v;e[tot].l=l;e[tot].from=u;}inline bool solve(){while(1){for(int i=1;i<=n;++i)id[i]=top[i]=0,mi[i]=inf;for(int i=1;i<=m;++i)if(e[i].to!=e[i].from&&e[i].l<mi[e[i].to])fa[e[i].to]=e[i].from,mi[e[i].to]=e[i].l;int u=0;mi[r]=0;for(int i=1;i<=n;++i){if(mi[i]==inf)return0;ans+=mi[i];for(u=i;u!=r&&top[u]!=i&&!id[u];u=fa[u])top[u]=i;if(u!=r&&!id[u]){id[u]=++cnt;for(int v=fa[u];v!=u;v=fa[v])id[v]=cnt;}}if(!cnt)return1;for(int i=1;i<=n;++i)if(!id[i])id[i]=++cnt;for(int i=1;i<=m;++i){int num=mi[e[i].to];e[i].from=id[e[i].from];e[i].to=id[e[i].to];if(e[i].from!=e[i].to)e[i].l-=num;}n=cnt;r=id[r];cnt=0;}}int main(){n=rd();m=rd();r=rd();int u,v,w;for(int i=1;i<=m;++i){u=rd();v=rd();w=rd();add(u,v,w); }if(solve())cout<<ans;else puts("-1");return0;}。

最小树与最小树形图（数学建模）讲解一、最小树的定义及性质1. 定义：最小树，又称最小树，是指在给定的带权无向图中，包含图中所有顶点的一个树形结构，且树中所有边的权值之和最小。

2. 性质：（1）最小树中不存在回路；（2）对于最小树中的任意两个顶点，它们之间有且仅有一条路径；（3）最小树中边的数量等于顶点数量减一；（4）在最小树中添加任意一条边，都会形成一条回路；（5）最小树不唯一，但权值之和相同。

二、求解最小树的方法1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从图中的一个顶点开始，逐步添加边和顶点，直到形成最小树。

具体步骤如下：（1）初始化：选择一个顶点作为最小树的起点，将其加入最小树集合；（2）迭代：在最小树集合和非最小树集合之间，寻找一条权值最小的边，将其加入最小树集合；（3）重复步骤2，直到所有顶点都加入最小树集合。

2. Kruskal算法Kruskal算法同样是一种贪心算法，其基本思想是将图中的所有边按权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，判断是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合。

具体步骤如下：（1）初始化：将所有顶点视为独立的树；（2）按权值从小到大排序所有边；（3）迭代：选择权值最小的边，判断其是否形成回路，若不形成回路，则将其加入最小树集合；（4）重复步骤3，直到所有顶点都在同一棵树中。

三、最小树形图的定义及求解方法1. 定义：最小树形图，又称最优树形图，是指在给定的有向图中，找到一个包含所有顶点的树形结构，使得树中所有边的权值之和最小。

2. 求解方法：朱刘算法（Edmonds' Algorithm）朱刘算法是一种用于求解最小树形图的算法，其基本思想是通过寻找图中的最小权值环，进行收缩和扩展操作，最终得到最小树形图。

具体步骤如下：（1）寻找最小权值环；（2）对最小权值环进行收缩操作，将环中的顶点合并为一个新顶点；（3）在新图中寻找最小树形图；（4）将新图中的最小树形图扩展回原图，得到原图的最小树形图。

斯坦纳树算法
斯坦纳树算法，也称为“终极斯坦纳树算法”，是一种用于解决带权图中的最小树形图问题的算法。

该算法具有时间复杂度为O（n^3 * 2^n）的特点，因此适用于小型图和中等规模的图，但在大型图上会出现运行时间过长的问题。

斯坦纳树算法的基本思想是将原图中的顶点集合划分成若干个
子集，然后对每个子集构建一棵最小树形图，最后将所有子集的最小树形图合并成一棵最终的最小树形图。

该算法的核心在于如何构建子集的最小树形图，这通常使用DP（动态规划）的方式进行求解。

具体而言，斯坦纳树算法的步骤如下：
1.将所有边的权值取对数，并对原图做一些预处理，以提高算法效率。

2.对于每个子集S，使用DP的方式计算S中所有点到S中某个点的最短距离，记为d(S,v)，其中v是S中任意一个点。

3.对于每个子集S，将S中所有点连成一棵生成树，使得该树的根节点为S中某个点，且所有连边的权值之和等于d(S,v)。

4.通过枚举所有的子集S，计算每个子集的最小树形图，并记录下最小树形图的权值。

5.将所有子集的最小树形图合并成一棵最终的最小树形图。

需要注意的是，斯坦纳树算法只适用于有向图，且存在一些限制条件，如原图必须联通等。

此外，该算法在实际应用中，可能需要结合其他算法一起使用，以解决一些特殊情况下的问题。