2018届高考数学二轮参数方程与极坐标专题卷(全国通用)(5)

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2017年高考数学试题分项版—极坐标参数方程（解析版）一、填空题1．(2017·北京理,11)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P 的坐标为(1,0)，则|AP｜的最小值为________．1．【答案】1【解析】由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即（x－1)2＋(y－2）2＝1,圆心坐标为C(1，2）,半径长为1。

考点55 极坐标与参数方程【考纲要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．4.了解参数方程，了解参数的意义．5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等. 【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【分析】（1）由题意得直线l 1，l 2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线C 的普通方程； （2）联立两个极坐标方程可得2291cos ,sin 1010θθ==【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-； 消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．【解析】（1）由题知，曲线C 化为普通方程为2213x y +=，由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）由题知，直线1l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）， 代入曲线C ：2213x y +=中，化简，得2220t --=， 设A ， B 两点所对应的参数分别为1t ， 2t ，则121t t =-，所以121MA MB t t ⋅==．【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线13cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数)，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若P Q 、分别为曲线12C C 、上的动点，求PQ 的最大值.【解析】（1）因为曲线1C 参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以cos 3sin xy αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为22sin cos 1αα+=,所以1C 的普通方程为2219x y +=. 因为曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 故曲线2C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=.（二）参数方程的运用例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【分析】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为d =对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.【变式1】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 消去参数θ可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16． （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤25．【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积. 【解析】（1）设点,sin )P a a ，则点P 到直线l 的距离为|2sin()6|a d π--==所以当sin()13a π-=-时，31(,)22P -，此时max d =.【数学思想】 ①数形结合思想. ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线． ②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义. 【典例试题演练】1.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P的极坐标为)4π，求||PM 的值．【解析】（1）因为直线的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为30x y -+=．由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=． 所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =．（2）由23,2,y x x y =+⎧⎨=⎩得2260x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点1212(,)22x x y y M ++， 因为122x x +=，所以(1,4)M ， 又点P 的直角坐标为(1,1)，所以||3PM ==．2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23312x ty t =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB.3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线的参数方程为32545x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =，直线l 与x 轴的交点为,M N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，求a 的值.【解析】（1）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为22sin ρρθ=，化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2211x y +-=.直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为()2,0. 因为圆心()0,1与点()2,0M所以MN1.（2）由sin a ρθ=可得2sin a ρρθ=，所以圆C 的普通方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.因为直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，122a=⋅.解得32a =或3211a =. 4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）经过点(2,1)M （平面直角坐标系xOy 中点）作直线l 交曲线C 于,A B 两点，若M 恰好为线段的三等分点，求直线l 的斜率.【解析】（1）由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=. （2）设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin .x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.代入曲线C 的直角坐标方程，得2221111(cos 4sin )(4cos 8sin )80t t θθθθ+++-=，所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩由题意可知122t t =-.所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=.解得k =所以直线l 5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆D 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；（2）若E 为椭圆D 的下顶点，F 为椭圆D 上任意一点，求AE AF ⋅的取值范围.（2）设) sin Fθθ，，又()0 1E -，，所以() 2AE =-，，()3 sin 1AF θθ=-，，于是()()3cos 32sin 12sin 3cos 55AE AF θθθθθϕ⋅=-+--=--+=++，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()555θϕ++≤+，所以AE AF ⋅5 5⎡⎣，. 6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t== (其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）把曲线1C 的方程化为普通方程， 2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线1C ， 2C 相交于,A B 两点， AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于,E F 两点，求PE PF ⋅.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t==（其中t 为参数），消去参数可得24y x =.曲线2C的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，展开为)cos sin 22ρθρθ-=， 化为10x y --=..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且中点为()00,P x y ，联立2410y xx y ⎧=⎨--=⎩，解得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==.所以12003,22x x x y +===. 线段AB的中垂线的参数方程为3222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），代入24y x =，可得2160t +-=， 所以1216t t =-，所以1216PE PF t t ⋅==.。

4—4.坐标系与参数方程【高考真题】4.4-1（2011全国-23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。

（Ⅰ)当求的方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.4.4-2（2012全国-23）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。

正方形ABCD 的顶点都在上， 且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）。

（1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。

4.4-3（2013全国Ⅰ-23）已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =4+5costy =5+5sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）4.4-4（2013全国Ⅱ-23）已知动点P ，Q 都在曲线C ： 上，对应参数分别为β=α与α=2π为（0＜α＜2π）M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

xOy 1C 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αM 1C P 2OP OM =P 2C 2C O x 3πθ=1C A 2C B ||AB 1C ⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x ϕx 2C 2=ρ2C 3πP 1C 2222||||||||PD PC PB PA +++()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数4.4-5（2014全国Ⅰ-23）已知曲线：，直线：（为 参数）. (Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.4.4-6（2014全国Ⅱ-23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为，.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.4.4-7（2015全国Ⅰ-23）在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

考点55 极坐标与参数方程【考纲要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．4.了解参数方程，了解参数的意义．5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 【命题规律】极坐标与参数方程近几年是在第22题解答题中考查，主要是极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等. 【典型高考试题变式】（一）参数方程与极坐标方程的综合运用例1.【2017新课标3】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【分析】（1）由题意得直线l 1，l 2的普通方程，然后消去参数即可得到曲线C 的普通方程； （2）联立两个极坐标方程可得2291cos ,sin 1010θθ==【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-； 消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+. 设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.【变式1】【2018衡水联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ， B 两点，求点M 到A ， B 两点的距离之积．【解析】（1）由题知，曲线C 化为普通方程为2213x y +=，由cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos sin 2ρθρθ-=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（2）由题知，直线1l的参数方程为12x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）， 代入曲线C ：2213x y +=中，化简，得2220t --=， 设A ， B 两点所对应的参数分别为1t ， 2t ，则121t t =-，所以121MA MB t t ⋅==．【变式2】【2018山西两校联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线13cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数)，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）分别求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若P Q 、分别为曲线12C C 、上的动点，求PQ 的最大值.【解析】（1）因为曲线1C 参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以cos 3sin xy αα⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为22sin cos 1αα+=,所以1C 的普通方程为2219x y +=. 因为曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 故曲线2C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=.（二）参数方程的运用例2.【2017年新课标1】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la .【分析】（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为d =对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.【变式1】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t ，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 消去参数θ可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16． （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤25．【变式2】【2017云南省、四川省、贵州省联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积. 【解析】（1）设点,sin )P a a ，则点P 到直线l 的距离为|2sin()6|a d π--==所以当sin()13a π-=-时，31(,)22P -，此时max d =.【数学思想】 ①数形结合思想. ②分类讨论思想． ③转化与化归思想. 【温馨提示】①在参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线． ②参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，可以说是曲线的两种巧妙的表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义. 【典例试题演练】1.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l 的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin ρθθ=．（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，点P的极坐标为)4π，求||PM 的值．【解析】（1）因为直线的参数方程是232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得直线l 的普通方程为30x y -+=．由曲线C 的极坐标方程2cos 2sin ρθθ=，得22cos 2sin ρθρθ=． 所以曲线C 的直角坐标方程为22x y =．（2）由23,2,y x x y =+⎧⎨=⎩得2260x x --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 的中点1212(,)22x x y y M ++， 因为122x x +=，所以(1,4)M ， 又点P 的直角坐标为(1,1)，所以||3PM ==．2.【2018黑龙江齐齐哈尔一模】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23312x ty t =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求AB.3.【2017广东湛江市调研】已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=，直线的参数方程为32545x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =，直线l 与x 轴的交点为,M N 是圆C 上一动点，求MN 的最大值； （2）若直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，求a 的值.【解析】（1）当2a =时，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，可化为22sin ρρθ=，化为直角坐标方程为2220x y y +-=，即()2211x y +-=.直线l 的普通方程为4380x y +-=，与x 轴的交点M 的坐标为()2,0. 因为圆心()0,1与点()2,0M所以MN1.（2）由sin a ρθ=可得2sin a ρρθ=，所以圆C 的普通方程为22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.因为直线l 被圆C 截得的弦长等于圆C倍，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线l 的距离为圆C 半径的一半，122a=⋅.解得32a =或3211a =. 4.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）经过点(2,1)M （平面直角坐标系xOy 中点）作直线l 交曲线C 于,A B 两点，若M 恰好为线段的三等分点，求直线l 的斜率.【解析】（1）由曲线C 的参数方程，得cos ,4sin ,2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以曲线C 的普通方程为221164x y +=. （2）设直线l 的倾斜角为1θ，则直线的参数方程为112cos ,1sin .x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.代入曲线C 的直角坐标方程，得2221111(cos 4sin )(4cos 8sin )80t t θθθθ+++-=，所以111222111222114cos 8sin ,cos 4sin 8.cos 4sin t t t t θθθθθθ+⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩由题意可知122t t =-.所以22111112sin 16sin cos 3cos 0θθθθ++=，即2121630k k ++=.解得k =所以直线l 5.【2017河南省广东省佛山市检测】在极坐标系中，射线:6l πθ=与圆:2C ρ=交于点A ，椭圆D 的方程为22312sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；（2）若E 为椭圆D 的下顶点，F 为椭圆D 上任意一点，求AE AF ⋅的取值范围.（2）设) sin Fθθ，，又()0 1E -，，所以() 2AE =-，，()3 sin 1AF θθ=-，，于是()()3cos 32sin 12sin 3cos 55AE AF θθθθθϕ⋅=-+--=--+=++，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()555θϕ++≤+，所以AE AF ⋅5 5⎡⎣，. 6.【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t== (其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线2C 的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭. （1）把曲线1C 的方程化为普通方程， 2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线1C ， 2C 相交于,A B 两点， AB 的中点为P ，过点P 做曲线2C 的垂线交曲线1C 于,E F 两点，求PE PF ⋅.【解析】（1）曲线1C 的参数方程为24{ 4x t y t==（其中t 为参数），消去参数可得24y x =.曲线2C的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，展开为)cos sin 22ρθρθ-=， 化为10x y --=..（2）设()()1122,,,A x y B x y ，且中点为()00,P x y ，联立2410y xx y ⎧=⎨--=⎩，解得2610x x -+=，所以12126,1x x x x +==.所以12003,22x x x y +===. 线段AB的中垂线的参数方程为3222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），代入24y x =，可得2160t +-=， 所以1216t t =-，所以1216PE PF t t ⋅==.。

第7讲 坐标系与参数方程[明考情]坐标系与参数方程是高考必考题，以选做题形式出现，基础性知识考查为主，中低档难度. [知考向]1.极坐标与直角坐标的互化.2.参数方程与普通方程的互化.3.极坐标与参数方程的综合应用.考点一 极坐标与直角坐标的互化要点重组 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).1.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ·sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径. 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求CP 的长. 解 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 即x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，∴圆心C (2，0)，又由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3， 可得点P 的直角坐标为(2，23)， ∴CP ＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.3.在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值.解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2，得a ＝22. 4.在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A ，B ，求线段AB 的长.解 ∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ＝32， ∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，所以A (2，－4)，B (18，12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.考点二 参数方程与普通方程的互化 要点重组 常见曲线的参数方程(1)过定点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).(2)圆心在P (x 0，y 0)，半径等于r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).方法技巧 参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x ，y 的限制.5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1，2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值. 解 (1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t 代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16， t 2＋(3＋2)t －11＝0.所以t 1t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.6.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1，0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝⎛⎭⎫－85，335.7.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解 直线l 的方程化为普通方程为3x －y －3＝0， 椭圆C 的方程化为普通方程为x 2＋y 24＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x 2＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝－17，y 2＝－837，∴A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－17，－837.故AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋172＋⎝⎛⎭⎫0＋8372＝167.8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值. 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.考点三 极坐标与参数方程的综合应用方法技巧 解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.10.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]. (1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，求C 1与C 2的公共点的极坐标.解 (1)把ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入曲线C 1的极坐标方程ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，故C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.(2)由曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)，可知此直线经过原点，倾斜角为π6，因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6(ρ＞0).将θ＝π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1的极坐标方程，可得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，舍去.故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6. 11.在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ0＋π2，若A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值.解 (1)因为C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，所以C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.由题意知曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2a ·cos θ(a 为半径)，将D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入，得2＝2a ×12，所以a ＝2.所以圆C 2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2， 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.即ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ. 所以ρ21＝44sin 2θ0＋cos 2θ0，ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ0＋π2＝4sin 2θ0＋4cos 2θ0. 所以1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ0＋cos 2θ04＋4cos 2θ0＋sin 2θ04＝54.12.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425，从而C 与l 的交点坐标是(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 距离d ＝ |3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.例 (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ.(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程；(2)若Q 是椭圆C 上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值. 审题路线图利用极坐标和直角坐标互化公式―→得直线和椭圆的直角坐标方程――――→引入参数α得椭圆的参数方程―――→代入距离公式用α的三角函数表示Q 到l 的距离――――→利用辅助角公式转化 Q 到l 距离的最大值 规范解答·评分标准解 (1)由cos θ＋2sin θ＝0⇒ρcos θ＋2ρsin θ＝0⇒x ＋2y ＝0， 即直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝0.由ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ⇒ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4⇒x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.即椭圆C 的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………4分(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，………………6分可设Q (2cos α，sin α)，因此点Q 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离d ＝|2cos α＋2sin α|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π45，……8分所以当α＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.故点Q 到直线l 的距离的最大值为2105.……………………………………………10分构建答题模板[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化. [第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程. [第三步] 列式：利用距离公式求出距离表达式. [第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.1.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 解 (1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)， 即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0，故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)易知C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0. 由(1)知曲线C 2是以(1，1)为圆心的圆， 且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32， 所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋10cos α，y ＝1＋10sin α(α为参数)，所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10， ①曲线C 表示以(3，1)为圆心，10为半径的圆.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简，得ρ＝6cos θ＋2sin θ， 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 所以圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝322，所以直线被曲线C 截得的弦长为210－92＝22.4.(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值. 解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0).(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α.于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪12sin α－32cos α＝|sin 2α－3cos 2α－3| ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3. 当2α－π3＝－π2即α＝－π12时，S 取得最大值2＋3， 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.5.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，曲线C 2：ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0. (1)将曲线C 1化成普通方程，将曲线C 2化成参数方程；(2)判断曲线C 1和曲线C 2的位置关系.解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝5＋2t (t 为参数)，∴t ＝x －4， 代入y ＝5＋2t ，得y ＝5＋2(x －4)，即y ＝2x －3，∴曲线C 1的普通方程是y ＝2x －3.将ρ＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线C 2的方程ρ2－6ρcos θ－10ρsin θ＋9＝0，得x 2＋y 2－6x －10y ＋9＝0，即(x －3)2＋(y －5)2＝25.设x －3＝5cos α，y －5＝5sin α得曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝5＋5sin α(α为参数). (2)由(1)知，曲线C 1是经过点P (4，5)的直线，曲线C 2是以O ′(3，5)为圆心，5为半径的圆. ∵|PO ′|＝1＜5，∴点P (4，5)在曲线C 2内，∴曲线C 1和曲线C 2相交.。

参数方程专题[基础达标](35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知曲线C的参数方程为x=2cos t，y=2sin t(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为() A.ρ=2sin θ+π4B.ρsin θ+π4=2C.ρsin θ+π4=2D.ρ=sin θ+π4B【解析】把曲线C的参数方程x=2cos t，y=2sin t(t为参数)消去参数，化为普通方程为x2+y2=2，曲线C在点(1，1)处的切线为l：x+y=2，化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2，即ρsin θ+π4=2.2x=t cosα，y=t sinα(t是参数)与圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)相切，则直线的倾斜角α为()A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π2C【解析】直线x=t cosα，y=t sinα(t是参数)的普通方程为y=x tanα，圆x=4+2cosθ，y=2sinθ(θ是参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4，由于直线与圆相切，则1+tan2α=2，即tan2α=13，解得tan α=±33，由于α∈[0，π)，故α=π6或5π6.二、填空题(每小题5分，共10分)3.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ，直线l的参数方程为x=t+a，y=-22t(t为参数)，若直线l将曲线C的周长分为1∶5，则实数a=.-1或5【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x，标准方程为(x-2)2+y2=4，直线l的普通方程为x+y-a=0，直线l将曲线C的周长分为1∶5，则弦所对的圆心角是60°，则圆心(2，0)到直线l的距离为3，即3=3，解得a=-1或5.4.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x=7cosφ，y=7sinφ(φ为参数，φ∈R)上的点到曲线ρ(cosθ+sinθ)=4(ρ，θ∈R)的最短距离是.22−7【解析】曲线x=7cosφ，y=7sinφ的普通方程为x2+y2=7，曲线ρ(cosθ+sinθ)=4的直角坐标方程为x+y=4，圆心(0，0)到直线x+y=4的距离d=2>，所以圆x2+y2=7上的点到直线x+y=4的最短距离为d-r=2−.三、解答题(共50分)5.(10分C的直角坐标方程是x2+y2=2x，直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数).(1)求直线l的普通方程；(2)设点P(m，0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|=1，求实数m 的值.【解析】(1)直线l的参数方程是x=32t+m，y=12t(t为参数)，消去参数t可得x=3y+m.(2)把x=32t+m，y=12t(t为参数)代入方程x2+y2=2x，得t2+(3m-3)t+m2-2m=0，由Δ>0，解得-1<m<3，∴t1t2=m2-2m.∵|PA|·|PB|=1=|t1t2|，∴m2-2m=±1，解得m=1±2，1.又∵Δ>0，∴实数m=1±2，1.6.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为(2，3)，求|MA|·|MB|的值.【解析】(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ，即x2+y2-2y=0，标准方程为x2+(y-1)2=1.故圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.(2)直线l的参数方程为x=2-k，y=3-2k(k为参数)，可化为x=2-55t，y=3-255t其中k=55t ，代入圆C的直角坐标方程，得2-55t2+2-255t2=1，即t2-1255t+7=0.由于Δ=12552-4×7=45>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=1255，t1·t2=7，又直线l过点M(2，3)，故由上式及t的几何意义，得|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=7.7.(10分xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为x=t，y=at(t为参数)，曲线C1的方程为ρ(ρ-4sinθ)=12，定点A(6，0)，点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2)直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围.【解析】(1)根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12，设点P(x'，y')，Q(x，y).根据中点坐标公式，得x'=2x-6，y'=2y，代入x2+y2-4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4. (2)直线l的直角坐标方程为y=ax，根据题意，得圆心(3，1)到直线的距离d≤22-(3)2=1，即2≤1，解得0≤a≤34，∴实数a的取值范围为0，34.8.(10分xOy中，曲线C1：x=t cosα，y=t sinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sin θ，C3：ρ=23cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立x2+y2-2y=0，x2+y2-23x=0，解得x=0，y=0或x=32，y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α).所以|AB|=|2sin α-23cos α|=4sin α-π3.当α=5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.9.(10分)已知直线l的参数方程为x=-1-32t，y=3+12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin θ-π6的公共点，求3x+y的取值范围.【解析】(1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ-π6，所以ρ2=4ρsin θ-π6=4ρ32sinθ-12cosθ .又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+y2=23y-2x，所以圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-23y=0.(2)设z=3x+y，由圆C的方程x2+y2+2x-23y=0，得(x+1)2+(y-3)2=4，所以圆C的圆心是(-1，3)，半径是2.将x=-1-32t，y=3+12t代入z=3x+y，得z=-t.又由题可知点P在圆C内，所以有-1-32t+12+3+12t-32≤4，解得-2≤t≤2，所以-2≤-t≤2，即3x+y的取值范围是[-2，2].[高考冲关](20分钟45分)1.(5分C：ρ=2sin θ，A，B为曲线C上的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标系中，曲线E：x=4t+2，y=-3t-3上一点P，则∠APB的最大值为()A.π4B.π3C.π2D.2π3B【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1，曲线E的普通方程为3x+4y+6=0，易得直线E与圆C相离，且圆心C到直线E的距离d=2，则∠APB 取最大值时，PA，PB与圆C相切，且PC最短，此时在Rt△PAC中，sin ∠APC=12，故∠APC=π6，所以∠APB=π3.2.(10分)已知直线C1：x=1+t cosα，y=t sinα(t为参数)，曲线C2：x=cosθ，y=sinθ(θ为参数).(1)当α=π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.【解析】(1)当α=π3时，C1的普通方程为y=3(x-1)，C2的普通方程为x2+y2=1，联立方程组y=3(x-1)，x2+y2=1，解得C1与C2的交点坐标分别为(1，0)，12，-32.(2)依题意，C1的普通方程为x sinα-y cosα-sin α=0，则A点的坐标为(sin2α，-sin αcosα)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为x=12sin2α，y=-12sinαcosα(α为参数)，所以1-4x=cos2α，-4y=sin2α，所以P点轨迹的普通方程为 x-142+y2=116.故P点的轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆.3.(10分)已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ，y=3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为2，π3.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解析】(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3，B2cosπ3+π2，2sinπ3+π2，C2cosπ3+π ，2sinπ3+π ，D2cosπ3+3π2，2sinπ3+3π2，即A(1，3)，B(-3，1)，C(-1，-3)，D(3，-1).(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].4.(10分C ：x 24+y 29=1，直线l ：x =2+t ，y =2-2t(t为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值.【解析】(1)曲线C 的参数方程为 x =2cos θ，y =3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d= 55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=dsin 30°=2 55|5sin(θ+α)-6|，其中α为锐角，且tan α=43，当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为22 55；当sin(θ+α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.5.(10分l ： x =1+12t ，y = 32t (t 为参数)，曲线C 1：x =cos θ，y =sin θ(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的 32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值. 【解析】(1)由题意得l 的普通方程为y= 3(x-1)，C 1的普通方程为x 2+y 2=1. 联立方程y = 3(x -1)，x 2+y 2=1，解得l 与C 1的交点为A (1，0)，B 12，-32，则|AB|=1.(2)由题意可得C2的参数方程为x=12cosθ，y=32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标是12cosθ，32sinθ .从而点P到直线l的距离d=32cosθ-32sinθ-32=342sin θ-π4+2，当sin θ-π4=-1时，d取得最小值，最小值为64(2-1).。

2018高考数学(理)二轮复习极坐标与参数方程配套试题
5 精品题库试题
理数
1(x化为极坐标方程为ρcs θ+ρsin θ=1,即ρ= ∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤ 故选A
2(4=0,
cρ=4cs θρ2=4ρcs θ,∴cx2+2=4x,
即(x-2)2+2=4,∴c(2,0),r=2
∴点c到直线l的距离d= = ,
∴所求弦长=2 =2 故选D
3(1上 D在直线=x+1上
[答案] 3B
[解析] 3曲线 (θ为参数)的普通方程为(x+1)2+(-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,其在直线=-2x上,故选B
4 (2)2+(-1)2=1,由直线l与曲线c相交所得的弦长|AB|=2知,AB 为圆的直径,故直线l过圆心(2,1),注意到直线的倾斜角为 ,即斜率为1,从而直线l的普通方程为=x-1,从而其极坐标方程为ρsin θ=ρcs θ-1,即ρcs =1
9( +1=0,
又点的直角坐标为( ,1),
∴点到直线的距离d= =1
10(4坐标系与参数方程）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，设线段的中点为，则点的直角坐标为．[答案] 21
[解析] 21 消去参数t可得曲线c1的普通方程为，曲线，根。

2018年全国2卷省份高考模拟文科数学分类---参数方程极坐标1.（2018陕西汉中模拟）的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（II ）设直线与曲线相交于两点，求的最小值.解：（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为 …………..4分 （2）将直线的参数方程代入，得.设两点对应的参数分别为，则..6分 ∴当时，的最小值为4. ……………..10分2.（2018呼和浩特模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=. （Ⅰ）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点. 证明：22PMPN +为定值.解：（1）圆C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）若2cos21ρθ=等价化为2222cos sin 1ρθρθ-=，再由互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=得其直角坐标方程为221x y -=（2）由（1）知()1,0M -，()1,0N ，设()2cos ,2sin P θθ，则()()2222222cos 14sin 2cos 14sin 10PM PN θθθθ+=+++-+=.l 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩t 0απ<<C 2sin 4cos ρθθ=C l C A B 、AB 2sin 4cos ρθθ=()2sin 4cos ρθρθ=C 24y x =l 24y x =22sin 4cos 40t t αα--=A B 、12t t 、1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-1224sin AB t t α=-==2πα=AB3.（2018东北育才中学模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设l 与C 交于,P Q 两点，求POQ ∠．解法一：（1）由1,1,x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得l的普通方程为1x =，1分又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以l的极坐标方程为()cos 1ρθθ+=+ ................... 3分由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=， ............................................................... 4分所以C 的直角坐标方程为2220xy x +-=． ............................................................................ 5分（2）设,P Q 的极坐标分别为()()1122,,,ρθρθ，则12POQ θθ∠=-................................. 6分由()cos 12cos ,ρθθρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去ρ得()2cos cos 1θθθ= ............. 7分化为cos22θθ=，即πsin 26θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ....................................................... 8分 因为π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即ππ7π2+666θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ263θ+=，或π2π263θ+=， ................ 9分 即12π,12π,4θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12π,4π,12θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以12π=6POQ θθ∠=-． ........................................................ 10分解法2：（1）同解法一 ................................................................................................................... 5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ........ 6分将l的参数方程化为标准形式1,2112x y t ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩(其中t '为参数)，代入C 的直角坐标方程为2220x y x +-=得，221112102t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得，20t t ''+=，解得0t '=或1t '=-． ........................................................................... 8分设,P Q 对应的参数分别为12,t t ''，则121PQ t t ''=-=．所以60PCQ ∠=︒， ................ 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQPOQ ∠∠==︒ ........................................................ 10分 解法3：（1）同解法一 ................................................................................................................... 5分（2）曲线C 的方程可化为()2211x y -+=，表示圆心为()1,0C 且半径为1的圆． ........ 6分又由①得l的普通方程为(10x -=， .................................................................. 7分则点C 到直线l的距离为d =， ............................................................................................ 8分所以1PQ ==，所以PCQ △是等边三角形，所以60PCQ ∠=︒， .................. 9分 又因为O 是圆C 上的点，所以302PCQPOQ ∠∠==︒…………………10分 4.（2018黑龙江省模拟）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：24cos 30ρρθ-+=，[0,2]θπ∈，曲线2C ：34sin 6ρπθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，[0,2]θπ∈.（1）求曲线1C 的一个参数方程；（2）若曲线1C 和曲线2C 相交于A 、B 两点，求AB 的值.解析：（1）由24cos 30ρρθ-+=可知，22430x y x +-+=.∴22(2)1x y -+=.令2cos x α-=，sin y α=，∴1C 的一个参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，R α∈）.（2）2C ：4sincos cossin 366ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴14322x y ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，即230x --=.∵直线230x --=与圆22(2)1x y -+=相交于A 、B 两点， ∴圆心到直线的距离14d =，∴242AB =⨯=. 5.（2018重庆9校联盟模拟）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 的参数方程为（t为参数）．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）设点P （2，1），直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值． 【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数）．∴直线l 的直角坐标方程为，∵圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0．（2）将代入x 2+y 2﹣4x=0，整理得：，∴|PA |•|PB |=|t 1|•|t 2|=|t 1•t 2|=3．6.（2018重庆模拟）已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线。

2018年全国高考理科数学分类汇编——参数方程极坐标1.（江苏）在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．2.（全国1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．故：，解得：k=或0，（0舍去）故C1的方程为：．3. （全国2卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l 的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．4.（全国3卷）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴或，综上α的取值范围是（，）．（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，，=﹣+2，=，=﹣，∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．5.（天津）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．。

x 中，⊙ 的参数方程为cos ，（ 为参数）， xOy O过点 0， 2 且倾斜角为 的直线 与⊙ 交于 ， 两点．l O AB Ptl,（ 为参数），设 与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲线 ． m l l P k P Cm y , k（1）写出 的普通方程： C（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (co s s in ) ， 为 与 M lxC3 cosx 3、（2016 全国 I I I 卷高考）在直角坐标系s in1坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ，， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线) 2 2 . 41（II ）设点 P 在 上，点 Q 在 上，求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、（成都市 2018 届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ，直线的极坐标方程为 . 44（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；5、（成都市 2018 届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是 ，直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ，极轴为 x 轴的4正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，求 Q A Q B 的值.6、（达州市 2017 届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系，直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2（1）若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l （2）若点 P， 和曲线C 交于 两点，求.7、（德阳市 2018 届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ： （t 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：x.0,0l与直线 和曲线C 的交点分别为点M 和点 N （异于点O ）， 2 O N 求 的最大值.O M8、（广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方y程为 ( ) .R 6C（2）设直线 与曲线 相交于 , 两点，求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 ， 的极坐标方程为．4s in( ) 6（I ）求直线 l 和 的普通方程；C （II ）直线 l 与 有两个公共点 A 、B ，定点 P (2, 3) ，求|||| 的值．C 10、（绵阳市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是yx（1）求曲线C 的极坐标方程；C, AOB与曲线 分别交于异于原点的 A B 两点，求 的面积.（2）设l， ，若631211、（南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1:1 ，以坐标原点O 为极点，以 轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；12C C,与曲线 ， 分别交于 A B 两点，求61 212、（仁寿县 2018 届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中 ，圆 C 的参数方程为l3）=7． 43 t 2 (t 为参数)，以坐标原 1224 c os(3（1）求圆C 的直角坐标方程； 2（2）若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点，求 3x y的取值范围.32 0（ PQ （1）求点 的轨迹C 的直角坐标方程；3 （2）若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是，求点 M 横坐标的取值范围. 315、（雅安市 2018 届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆 的圆心坐标为(2,0) ，半径为CXCl（2）点 的极坐标为 1,，直线 与圆 相交于 ， ，求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、（宜宾市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os （2）直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数)，直线l 与曲线 交于t RC y点，且 ，求直线l 的斜率．AB2 3 l2t ， x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos ．（1）写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M (1，0) 且与直线 平行的直线 交 于 A ， B 两点，求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ，过点 的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 a a2x 2 （ 为 t参数），直线 与曲线 相交于 两点. 的直线 的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； 2 PA PB AB 求 的值 (2)若 ,. a 1、解答：的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点，当| 0 0 2 |t an2 ，由直线l 与e O时，设直线l 的方程为 y x1 两个交点有，得 ，∴或，综上时，点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y， 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ，∴，∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ，∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的 轨 迹 方 程 是 x， 即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ，故点 P 的参数方程为 ，则22 2 2 2y s in2 2 0）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消 可得： 4k x 2 y 2 即 的轨迹方程为 4 ；P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y．5s in c os 10 0.4c oss in ，可得直线的直角坐标方程为y ， 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4（2）设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1，即 当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2，4. s in c os2由得：2，所以 x 2 y 2 y ，所以曲线C 的直角坐标方程为： x .224 2s in， s in c oss in s in cos 2O N所以，4 4 23由于0 ，所以当时， 取得最大值：.2844cos a 2得曲线 的普通方程：C所以曲线 的极坐标方程为： 4 c os 12 C 2（2）设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解：（I ）直线 l 的普通方程为： 3 3 0， ·································································· 1 分x y因为圆 的极坐标方程为， C 63 1所以 2 4( s i n cos ) ， ··············································································· 3 分2 2所以圆 的普通方程 22 3 0 ；·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y （II ）直线 l ： 3 3 0的参数方程为： x y3 y 3 t2代入圆 的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得： x 2 y 2 x y 2 9 17 0 ， ··········································································································· 6 分t t | | | ，| | | |，··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解：（Ⅰ）将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25，2 2 22．（Ⅱ）把 代入 6 c os 8s in ，得，6 1∴ ． ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ ． ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3． 4211、解：（Ⅰ）由2.3yx 2所以曲线 的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1，得到，化简得到曲线把 x，代入22的极坐标方程为2 cos.C 2（Ⅱ）依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2，解得 .621.622.12）=7．根据 ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7． 即直线 l 的直角坐标方程为 x．---------------------------5 分（θ 为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6 分5 2．---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ，即 AB min4 c os( )13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ ， 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22（2）设 z，y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ，22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t ， 代入 z 12，圆C 的半径是 ，2 3，即 x y 的取值范围是∴，∴.……10 分 2 0 14、解：（1）由，得22设，，1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ，122111 1得22，∴221,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示，，设点处切线 的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围， …………7 分3 3 63 而，∴，∴ ，26 3 22M , 所以，点 横坐标的取值范围是 ． …………10 分22，，化简得圆 的极坐标方程：，:由l 得 ，y1l 的极坐标方程为.4(1,0)， （2）由 PP22 t x2直线 的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ，2 2 2 2，，.3 5 cosx Q 16、解： （1）5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ，217、（1）由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ，则 的直角坐标方程为 0 ． ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 （2） 过点 M ( 1，0) 且与直线 平行的直线 的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ，则 t t，x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 ． ······················································10 分2 1212(1)由 整理得= ,,(2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。

参数方程【考点梳理】1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程考点一、参数方程与普通方程的互化【例1】已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点， 故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 【类题通法】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形． 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值. [解析] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3.考点二、参数方程的应用【例2】已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解析] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255. 【类题通法】1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系 解决问题．2．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． 【对点训练】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解析] (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6， 所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数).(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0， 所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.考点三、参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解析] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1， 由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， 又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.【类题通法】1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简． 【对点训练】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．[解析] (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，∴t 1t 2＝－3， ∴|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3.。

极坐标与参数方程专练1．(2017²江西5市联考三)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝322，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α(α是参数)．(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解析 (1)因为ρsin(θ＋π4)＝322，所以2ρ(22sin θ＋22cos θ)＝3，即ρsin θ＋ρcos θ－3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得直线l 的直角坐标方程是x ＋y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2＋sin α得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y －2＝sin α 所以曲线C 的普通方程是x 2＋(y －2)2＝1.(2)由(1)得曲线C 是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，又圆心(0，2)到直线l 的距离d ＝|0＋2－3|2＝22，所以直线l 与曲线C 相交，故曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为1＋22. 2．(2017²郑州预测三)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋tcos θ，y ＝tsin θ(t 为参数，0<θ<π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2α－2cos α＝0. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 解析 (1)由ρsin 2α－2cos α＝0，得ρ2sin 2α＝2ρcos α， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x.(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2θ－2tcos θ－1＝0. 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2cos θsin 2θ，t 1²t 2＝－1sin 2θ， |AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2θsin 4θ＋4sin 2θ＝2sin 2θ. 当θ＝π2时，|AB|取得最小值，最小值为2.3．(2017²湖南十校联考三)在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B.(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求|PA|²|PB|的值．解析 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直线坐标为(92，332)．(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0，则|PA|²|PB|＝|t 1t 2|＝|8cos 2α－sin 2α|＝|8（1＋tan 2α）1－tan 2α|， 由已知得tan α＝2，故|PA|²|PB|＝403.4．(2017²武汉调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acost ，y ＝2sint (t 为参数，a>0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围．解析 (1)由ρcos(θ＋π4)＝－22，得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22，化成直角坐标方程，得22(x －y)＝－22，即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P(2cost ，2sint)，则点P 到直线l 的距离d ＝|2cost －2sint ＋4|2＝|22cos （t ＋π4）＋4|2＝22＋2cos(t ＋π4)．当t ＋π4＝2k π＋π，即t ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d min ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有acost －2sint ＋4>0恒成立， 即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4(其中tan φ＝2a )恒成立，∴a 2＋4<4，又a>0，∴0<a<2 3. 故a 的取值范围为(0，23)．5．(2017²山西5月联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋tcos φ，y ＝3＋tsin φ(t为参数，φ∈[0，π3])，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C 的极坐标为(2，π3)，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．解析 (1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1，3)，半径为2， ∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4， 即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0， 故圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos(π3－θ)．(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋tcos φ)2＋(3＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－23(3＋tsin φ)＝0， 整理得，t 2＋2tcos φ－3＝0，设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1²t 2＝－3， ∴|MN|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1²t 2＝4cos 2φ＋12， ∵φ∈[0，π3]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN|∈[13，4]．。