高中数学人教A版必修2：334 两条平行直线间距离

2.3.4两平行直线间的距离公式(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1.理解两平行线间距离的定义2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力二、教学重难点1.理解和掌握两条平行线间的距离公式2.应用距离公式解决综合问题三、教学过程1.概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。

问题1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离【预设的答案】A【设计意图】通过生活中跳远的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，用跳远这一实例，让学生感受“距离”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.问题2：已知两条平行直线l1,l2的方程，如何求l1与l2间的距离？根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0,y0)，,点P(x0,y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。

【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义1. 图示：2. 定义：夹在两平行线间的__________的长.公垂线段3. 求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.1.2探究典例，形成概念活动：已知两条平行直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，求12l l 与间的距离. 【活动预设】感受如何计算两条平行线间的距离？ 【设计意图】为引入两条平行直线间的距离作准备. 问题3：如何取点，可使计算简单？解：在直线2x － 7y －8=0上任取一点，如P(4,0) 则两平行线的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离. 因此，d =√62+(−21)2=【设计意图】从引例中的具体问题入手，根据平行线间的距离的定义，由点到直线的距离公式求出两平行线间的距离.问题4：两条平行线10Ax By C ++=与20Ax ByC ++=间的距离为________d =【活动预设】（1）分析两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离；（2）如何取直线上一般的点？如何由点到直线的距离化简得到两平行线间的距离？ 教师讲授：在直线10Ax By C ++=上任取一点()00,P x y ，点()00,P x y 到直线20AxBy C ++=的距离就是这两条平行直线间的距离，即d =.因为点()00,P x y 在直线10Ax By C ++=上，所以0010Ax By C ++=，即001Ax By C+=-，因此d ===【设计意图】理解由特殊到一般推导出两条平行直线间的距离公式.验证：已知两条平行直线l 1：2x −7y −8=0,l 2：6x −21y −1=0， 求l 1与l 2间的距离. 【设计意图】直接使用平行线间的距离公式问题5：两条平行直线间的距离公式写成时d =对两条直线应有什么要求？【活动预设】(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y 的系数必须分别相等； 【设计意图】平行线间距离公式使用的注意事项. 1.3具体感知，理性分析 活动：自主举例的接龙活动. 【活动要求】第一组用一般式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离； 第二组用斜截式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离； 【活动预设】引导学生合理构造平行直线，并用公式求距离。

疱丁巧解牛知识·巧学一、两条平行直线间的距离1.公式：一般地，已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),则这两条平行直线间的距离为d=2221||B A C C +-.2.公式的得出：已知两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),求两平行线间的距离.发现两条平行线的方程经过变形都可化为l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0的形式.在l 1上任取一点P(0，B C 1-)，点P 到l 2的距离经化简为d=2221||BA C C +-，发现这个距离只与x 、y 的系数和两个常数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公式.即：一般地，已知两条平行线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2).设P(x 0，y 0)是直线l 2上的任意一点，则Ax 0+By 0+C 2=0，即Ax 0+By 0=-C 2.于是，点P(x 0，y 0)到直线l 1：Ax+By+C 1=0的距离d=222122100||||B A C C B A C By Ax +-=+++就是两平行直线l 1与l 2之间的距离.3.另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：l 1：y=kx+b 1，l 2：y=kx+b 2，那么两平行线间的距离d=2211||k b b +-.误区警示 两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间距离公式d=2221||B A C C +-，在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线方程化为一般形式之外，还要使x 、y 的系数分别相等.否则不能直接套用公式.这是在应用中经常出现的一个错误，同学们要特别注意.问题·探究问题1 对于一个三角形ABC ，如果已知点A(0,21)、B(32,0)，点C 在已知直线l ：3x+4y+3=0上滑动，那么三角形ABC 的面积是否随着点C 的变化而变化呢？探究:由A 、B 两点的坐标可以得出三角形ABC 中边AB 所在直线的方程为3x+4y-2=0，显然与直线3x+4y+3=0平行.而三角形ABC 的面积等于AB 线段长与AB 边上的高的乘积的一半.而|AB|=65，AB 边上的高即为C 点到直线AB 的距离，而C 在直线3x+4y+3=0上滑动，所以高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2=0的距离，无论C 点如何变化，高恒为定值h=15|23|=+，所以S △ABC =21|AB|·d=12516521=⨯⨯.所以三角形ABC 的面积不随点C 的变化而变化.问题2什么是两条平行线之间的距离?它有什么特点?这个距离的公式是什么？有什么要求与特点，是否适合于任意的两条平行直线？探究:两条平行线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，平行线间的距离处处相等.对于两条平行直线l 1：Ax+By+C 1=0，l 2：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2),距离为d=2221||B A C C +-.要求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且x 、y 的对应系数一致，在此前提下，这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立.典题·热题例1 与两平行直线l 1:3x-4y-5=0和l 2:3x-4y+7=0距离之比为1∶2的直线方程为( )A.3x-4y-1=0或3x-4y+19=0B.3x-4y+3=0或3x-4y-1=0C.3x-4y-1=0或3x-4y-17=0D.3x-4y+3=0或3x-4y+19=0思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在l 1、l 2的内侧，另一条在l 1、l 2所夹带形区域的外侧，且靠近l 1的部分，3x-4y+19=0在靠近l 2的外侧部分，不合题意，故舍去A 、D.又B 中两条均在l 1、l 2的内侧，不成立，故选C.方法二：(应用平行线间距离公式)由题意，设所求方程为3x-4y+c=0，由22222143||2143||+-=+-c c c c ， 即2|c+5|=|c-7|，解得c=-17或c=-1.故选C.答案：C深化升华 从本题解法来看，如果作为选择题，用数形结合进行排除的方法比较简捷.而作为填空或解答题出现，则可应用两平行线间距离公式解方程.如果问题改成求到两平行直线Ax+By+C 1=0和Ax+By+C 2=0等距离的直线，则直线有且仅有一条，其方程为Ax+By+0221=+C C . 例2 直线l 1过点A(0，1)，l 2过点B(5，0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程.思路解析：本题要求直线的方程，其关键是求l 1、l 2的斜率，根据条件l 1、l 2的距离为5，可通过待定系数法求出斜率.设直线的斜率时要考虑斜率是否一定存在，否则要对斜率不存在的情况进行验证.解：设直线的斜率为k.由斜截式得l 1的方程y=kx+1，即kx-y+1=0.由点斜式得l 2的方程y=k(x-5)，即kx-y-5k=0.在直线l 1上取点A(0，1)，点A 到直线l 2的距离d=51|51|2=++k k ，∴25k 2+10k+1=25k 2+25.∴k=512. ∴l 1的方程为12x-5y+5=0，l 2的方程为12x-5y-60=0.若l 1、l 2的斜率不存在，则l 1的方程为x=0，l 2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：⎩⎨⎧=--=+-060512:,05512:21y x l y x l 和⎩⎨⎧==.5:,0:21x l x l误区警示 在本类问题的解决中，要注意两个易错点:第一是两条平行线间距离公式的应用必须注意前提，就是把两条直线的方程化为一般式，且x 、y 对应的系数分别相等，才能代入公式求解运算.第二个注意点是在待定系数法求直线方程时，如果设直线斜率，则必须考虑直线的斜率是否一定存在，如果可以不存在，要对该特殊情况进行验证，以防漏根.例3 两条互相平行的直线分别过A(6,2)、B(-3，-1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两平行线间的距离为d ，(1)求d 的取值范围；(2)求当d 取最大值时两直线的方程.思路解析：根据题意，由两条平行线间的距离公式写出ｄ与k 之间的函数关系式，不难求出ｄ的范围.可由范围发现ｄ取最大值时的对应直线方程.解：(1)设两平行线的斜率为k ，则两直线方程分别为y-2=k(x-6)，y+1=k(x+3)，即kx-y-6k+2=0,kx-y+3k-1=0.所以d=21|39|k k +-.由此得(81-d 2)k 2-54k+9-d 2=0.∵k ∈R ，∴Δ=542-4(81-d 2)(9-d 2)≥0.∴d 4-90d 2≤0,得0<d≤103.(2)当两直线斜率不存在时，两直线分别为x=6，x=-3，则d=9，因为d max =103,此时k=3)81(2542-=-d . 两直线方程为3x+y-16=0,3x+y+10=0.深化升华 本题若从问题的几何背景考虑，易知分别过A 、B 的一切平行线的距离均不超过A 、B 两点的距离｜AB ｜，当且仅当两平行线与直线AB 垂直时，两平行线间距离等于｜AB ｜，所以d max =103)12()36(22=+++，此时，13612-=++•k ,即k=-3.可见借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简捷解法.。

2.3.4 两条平行直线间的距离
一、学习目标：1.理解两条平行线间的距离公式的推导；
2.会求两条平行直线间的距离；
3.应用两条平行线间的距离公式解决问题.
学习重难点：会求两条平行直线间的距离；
学习重难点：应用两条平行线间的距离公式解决问题.
二、导学指导与检测
三、巩固诊断
【A层】
1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋10＝0的距离等于()
A．1B．0C．10D．3
【B层】
2．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________.
【C层】
3.已知直线l1：3x-2y-1＝0和l2：3x-2y-13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶
1，求直线l的方程.
闯关题：
两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程.。

人教A版高中数学必修二3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离选择题(2016·青岛高一检测)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是()A. 4B.C.D.【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离。

用两条平行直线间的距离公式时，要注意两条直线要化成直线方程的一般式，并且两条直线方程中的系数要，这时才可以有两条平行直线间的距离为。

选择题点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为()A. a>7B. a7或a7或-3>3，解得a>7或a=5，故0【答案】直线l2的方程是x+y-3=0.【解析】试题分析：由l1∥l2设出l2的方程y=-x+b(b>1)，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离,然后由梯形的面积求解试题解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b).所以AD=，BC= b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3.从而得到直线l2的方程是x+y-3=0.选择题点P为x轴上一点，点P到直线3x-4y+6=0的距离为6，则点P 的坐标为()A. (8，0)B. (-12，0)C. (8，0)或(-12，0)D. (0，0)【答案】C【解析】设P(x0，0)，因为d==6，所以|3x0+6|=30，故x0=8或x0=-12.故选C选择题已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为()A. 1B. -1C.D. ±【答案】D【解析】.由题意，得=1，即|a|=，所以a=±.解答题在△ABC中，A(3，2)，B(-1，5)，点C在直线3x-y+3=0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标.【答案】点C的坐标为(-1，0)或.【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，所以只需求AB两点间距离，然后设C点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求出C 点坐标试题解析：由题知|AB|==5，因为S△ABC=|AB|·h=10，所以h=4.设点C的坐标为(x0，y0)，而AB的方程为y-2=-(x-3)，即3x+4y-17=0.所以解得或所以点C的坐标为(-1，0)或.选择题过点P(1，2)引直线，使A(2，3)，B(4，-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为()A. 4x+y-6=0B. x+4y-6=0C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0【答案】D【解析】显然直线斜率存在，设直线方程为：y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，A，B到直线距离相等，则=，解得k=-4或k=-，代入方程得4x+y-6=0或3x+2y-7=0.点晴：本题考查的是过一点到另外两点距离相等的直线方程。

3.3.4两条平行直线间的距离教学设计一、教学目标：（1）、知识目标使学生理解两条平行直线间的距离公式的推导过程，掌握两条平行直线间的距离公式及其相关应用。

（2）、能力目标通过两条平行直线间的距离公式的推导，使学生体会坐标法的思想及两条平行直线间的距离的推导过程体现了化归的思想。

即，把两条直线间距离转化为直线上任一点到另外一条直线的距离，利用点到直线的距离公式求平行线之间的距离。

（3）、情感目标通过本节课的学习培养学生数形结合、转化、化归的数学思想与方法。

二、教学重点：理解两条平行直线间的距离公式的推导过程。

三、教学难点：两条平行直线间的距离公式的相关应用。

四、教学方法：探究启发法，讲练结合法。

五、教学过程:一、复习回顾通过习题巩固点到直线间的距离（通过课堂练习的方式）1、求点P（-1，4）到直线3x+4y=2的距离设计意图：学生板演，有利于纠错，点评。

二、情境创设——中国悬索桥随着迅猛的经济发展，我国的桥梁事业也有了新的飞跃。

悬索桥是以悬索主缆为主要承重构件，通过竖向拉杆将桥面负荷载传到主缆上，再由主缆通过主塔上索鞍传到锚锭和主塔上。

其中吊索和桥身用一根根平行的细钢绳连接起来。

这些平行的西钢绳可以看做一条条平行的直线。

以此为切入点，那么这些平行直线间的距离如何求呢？播放微视频。

三、探究新知，释疑解惑想一想：什么是两条平行直线间的距离？两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度。

思考：直线l 1：x ＋y －1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A ，B ，C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？点A,B,C 到直线l 2的距离为 ，规律是：当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等。

探究：如图所示，直线1l 平行直线2l ，如下图所示 0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 直线1l ∥2l ，如何求间的距离？（1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离？ （2）如何取点，可使计算简单？:22=++C By Ax l思考：可以将两条平行直线间的距离转化为点到直线来求解。

第三章直线与方程3.3.4 两条平行直线间的距离《两条平行直线间的距离》是人教A版数学必修二第三章最后一节的内容，求两条平行直线间的距离，可转化为求点到直线的距离。

点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。

点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法,因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合,学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。

1.教学重点：两平行直线间的距离公式的推导、应用；线线距与点线距的转化；2.教学难点：两平行直线间的距离的求法及灵活应用。

多媒体一、导入新课点P(0,5)到直线y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 二、提出问题①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A 、B 均不为零的假设下推导出公式的，若A 、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？ ③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +；(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x 0,y 0)，d=? 学生应能得到猜想：d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导：当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|BA C CB AC A C A +-=++-∙. (*) ∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上,∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明：设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点，则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2，∴d=2221||BA C C +-.讨论结果：①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P 到直线l 的距离 公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时，上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例例1 求点P 0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以d=|32-(-1)|=35. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练点A(a ，6)到直线3x －4y=2的距离等于4，求a 的值.解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ，则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-， AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-，因此，S △ABC =21×2522⨯=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x ＋y －1=0或7x ＋y ＋5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 三、达标检测1．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0间的距离为( ) A ．3 B ．2 C ．1D.12【解析】 d ＝|－7－－32＋42＝1.【答案】 C2．分别过点A (－2,1)和点B (3，－5)的两条直线均垂直于x 轴，则这两条直线间的距离是________． 【解析】 d ＝|3－(－2)|＝5. 【答案】 53．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程. 【解】 ∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋b ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|b －6|52＋－2＝3，解得b ＝45或b ＝－33.∴所求直线方程为：5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0.。