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《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．★资源名称：【知识点解析】对三角函数值符号的理解★使用说明：本资源展现“对三角函数值符号的理解”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0； （3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 4442=+==；（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6． 设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α． 设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。
三角函数的诱导公式学案（第二课时）一、 教学目标1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）。
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程。
二、 重点与难点重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法。
难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法。
三、 教学过程1、旧知复习 公式一：公式二：公式三：公式四：2、新知探究（1）对称性研究①终边对称：角α与角2πα-的终边关于y=x 对称（可将α看成在第一象限，利用几何知识加以证明）②坐标对称：设任意角α与单位圆的交点的坐标为（x,y ），则2πα-的终边与单位圆的交点的坐标为 （可借助反函数的坐标性质得到） （2）三角函数诱导公式的研究（公式五、公式六） 1、公式五的推导 由②可知第一组：sin α= ；cos α= ；tan α= ； 第二组：sin(2πα-) = ； cos(2πα-) = ；tan(2πα-) = ；探究一：比较第一组和第二组的结果，你可以得到α与2πα-的三角函数的关系吗？ 结论一：（公式五） sin(2πα-) = ； cos(2πα-) = ；tan(2πα-) = ；2、公式六的推导 问题：2πα+与α的三角函数值的关系是怎样的？分析：观察2πα+与2πα-的数量关系，可以得到2πα+= -（2πα-），利用公式四即可得到2πα+与2πα-的三角函数值的关系，从而得到2πα+与α的三角函数值的关系。
整理：sin （2πα+）= sin [ -（2πα-）] sin （2πα-）=cos α（公式五） cos （2πα+）= cos [ -（2πα-）] -cos （2πα-）=-sin α（公式五）结论：（公式六） sin （2πα+）= ；cos （2πα+）= 。
第六讲 三角函数的诱导公式(第二课时
)
题型一 利用诱导公式化简求值
(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π2的结果是( )
A.45 B ．－45 C ．±45 D.3
5
(2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫7π2－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.
(3)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2
3
，求下列各式的值：
①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.②sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3.
[跟踪训练]
已知sin10°＝k ，用cos620°的值等于( ) A ．k B ．－k C ．±k
D ．不能确定
题型二 利用诱导公式证明三角恒等式
求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.
[跟踪训练] 求证：tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2＋α＝－cos αsin α.
题型三 诱导公式的综合运用
已知cos α＝－4
5
，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值．
(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·si n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αcos (π＋α)
的值．
[跟踪训练]
已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α).
(1)化简f (α)；
(2)若α为第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；
(3)若α＝－31π
3，求f (α)的值．
1．sin165°等于( )
A ．－sin15° B
．
cos15°
C
．
sin75°
D ．cos75°
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α的值为( )
A.
22
3 B ．－223 C.13
D ．－1
3
3．已知cos31°＝m ，则sin239°tan149°的值是( )
A.1－m
2
m
B.1－m 2
C ．－1－m 2
m
D ．－1－m 2
4．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A ．sin 5°
B ．cos 5°
C ．0
D ．2sin 5°
5．已知cos(75°＋α)＝1
3
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.13
B.23 C ．－13 D ．－23
6．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝
( )
A ．－4
3
B.43
C.34 D ．－34
7．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A ．cos(A ＋
B )＝cos
C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos
A ＋C
2
＝sin B
D ．sin
B ＋C
2＝cos A
2
8．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )
A.6
5
B ．1 C.35 D.1
5
9．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________． 10．已知cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan (π－α)＝________．
11．sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
45°＋sin 2
88°＋sin 2
89°＝________．
12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α的值为________．
13．若sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＝35
，则cos 2θ－sin 2θ＝________.
14．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋αsin （π＋α）
.
15．(1)已知sin α＝1
4
，sin β＝1，求cos (α＋β)的值；
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．
16．设tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .
求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.。
