新高考苏教版数学理大一轮复习训练12.3几何概型(含答案解析)

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1. 【2017湖南模拟】假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．18 B ．58 C ．12 D ．78【答案】D【解析】由题意得所求概率测度为面积，已知011322x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，求使得x y ≤的概率，即为11117222118-⨯⨯=⨯，选D.2.【2017年湖北黄冈模拟】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，令边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ） A. 23 B.13 C. 16D.45【答案】A3. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.45【答案】 C【解析】设AC ＝x cm ，0＜x ＜12，则CB ＝(12－x )cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )＞20，则x 2－12x ＋20＜0，解得2＜x ＜10，所求概率为P ＝10－212＝23.4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B.π4C.π6D.π8【答案】B【解析】 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.5. (2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117B.217C.317D.417【答案】B6. 在区间[02]，上随机取两个数x y ,其中满足2y x 的概率是（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．116【答案】B【解析】在区间[0，2]上随机取两个数x ，y ，对应区域的面积为4， 满足y≥2x ，对应区域的面积为12×1×2=1，∴所求的概率为14，故选B ． 7.【改编题】在区间[,]ππ-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为 （ ）A .78 B. 14 C. 12 D. 34【答案】D【解析】∵,a b 使得函数22()2f x x ax b π=+-+有零点，∴0∆≥, ∴22a b π+≥，试验发生时包含的所有事件{(,)|}a b a ππΩ=-≤≤∴22(2)4S ππ==，而满足条件的事件是22{(,)|}a b a b π+≥，∴22243S πππ=-=， 由几何概型公式得到34P =． 8. 设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ） A4πB22π- C6πD44π- 【答案】D ．9. 任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是（ ）AB ．14C ．18D ．116【答案】B【解析】不妨设第一个正方形的边长为1，第三个正方形的12=，若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是2211214⎛⎫⎪⎝⎭=，故选择B. 10. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧=+-=+92322y x a y x ，则不等式)2(121->--a a a成立的概率是（A ）41 （B ）31 （C ）32 （D ）43【答案】C11. (2017湖北襄阳模拟) 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C【解析】如下图所示，四边形OABC 的面积122S =⨯=，阴影部分的面积可分为两部分，一部分是四边形OEDC 的面积11212S =⨯=，另一部分是曲边梯形的面积11121221ln ln 2S dx x x ===⎰，所以点M 来自E 内的概率为121ln 22S S P S ++==，故选C.12. [2016宁夏模拟]()()312,1,1,2,,55A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,动点(),P a b 满足02OP OA ≤≤,且02OP OB ≤≤ ，则动点P 到点C 的距离大于14的概率为（ ）A ．5164π-B ．564πC ．116π-D ．16π【答案】A 【解析】二、填空题13. 如图10-6-10所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终图10-6-10边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．【答案】1 614. 点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．【答案】 23【解析】 如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.15. [2016辽宁模拟] 在区间[]1,2-上任取一个数x ，则事件“1()12x ≥”发生的概率为 ． 【答案】13【解析】1()102xx ≥⇒≤，所以所求概率为0(1)12(1)3--=--16. （云南省玉溪市第一中学2016届高三月考、理、15）设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图象与x 轴所围成的区域为N ,向M 内随机投一个点,则该点落在N 内的概率为 【答案】28π三、解答题17. 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求方程有实根的概率．【解析】 记事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23. 18. 已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥－1内(含边界)的概率．19. 设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段， (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．【解析】(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x <60<y <60<x ＋y <6， 所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >y y ＋6－x －y >x，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.20. 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．。

2019高考数学大一轮复习 12.3几何概型教师用书 理 苏教版1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3， 故所求概率为13.2．(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.3．(2014·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.4．(2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cosπ2x 的值介于0到12之间的概率． (2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 (1)如图，由函数y ＝cos π2x 的图象知，当－1<x <－23或23<x <1时，0<cos π2x <12.由概率的几何概型知：cos π2x 的值介于0到12之间的概率为232＝13.(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.思维升华 几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．(1)(2014·湖南改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 答案 (1)35 (2)12解析 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得： P (A )＝12×22＝12.题型二 与面积、体积有关的几何概型例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比． 答案 (1)4－π4 (2)23解析 (1)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.(2)先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.思维升华 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax－b 2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)1－π12解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.题型三 生活中的几何概型问题例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝506.5576＝1 0131 152. 思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．(2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 答案932解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x )和小张(y )到校的时间对应的点(x ，y )所构成的平面区域，再画出小张比小王至少早到5分钟对应的点(x ，y )所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可．设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率P ＝2252400＝932.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2014·陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35. 2．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，－∞，－1]∪[2，＋的长度[0，5]的长度＝35. 3．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2， 故所求概率为2－－4－－＝35. 4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 答案 1－2π解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2.所以P ＝π－2π＝1－2π.6．已知集合A ＝{α|α＝n π9，n ∈Z }，若从A 中任取一个元素均可作为直线l 的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________． 答案 49解析 由于倾斜角范围为[0，π)，故当0≤n ≤8时，集合A 中共有9个解，分别为0，π9，2π9，3π9，4π9，5π9，6π9，7π9，8π9.其中当α为5π9，6π9，7π9，8π9时，此时α为钝角，直线l 的斜率小于零．故直线l 的斜率小于零的概率P ＝49.7．(2013·湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－6＝56，解得m ＝3. 即m 的值为3.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________． 答案1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．(2014·湖北改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78. 2．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．答案 π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2. 故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120. 3.已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________．答案 524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)， 若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10，所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－－746＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524. 4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于S 4的概率为________． 答案 916 解析 如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S 4， 作PG ⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任意处，其概率为P ＝S △AEF S △ABC ＝916. 5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案 13解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设f (x )和g (x )是定义在同一区间上的两个函数．若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”．设f (x )＝ax ，g (x )＝b x. (1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．(2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时，y ＝ax ＋b x 在(0，b a )上递减，在(b a，＋∞)上递增；且y ＝x －1x 和y ＝4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的情况有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x， 故事件A 包含的基本事件有4种，∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a ，b )所在的区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立，需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b 2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∵矩形区域的面积S ＝3×3＝9，阴影部分的面积S 阴＝12×(2＋114)×3＝578，∴根据几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝S 阴S ＝5772＝1924.。

12.6 失散型随机变量的均值与方差一、填空题1．已知随机变量X的散布列为：X －2 －1 0 1 2 3P112m n112161121此中m，n∈[0,1) ，且E( X)＝，则m，n 的值分别为_______，______.616 分析由p1＋p2＋⋯＋p6＝1 与E( X)＝知7m＋n＝121 1－m＝2 61 1，n＝.3 4? m＝答案1 1 ，3 42．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6 的六支签，从中随意取 3 支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学希望为________．分析由题意可知，X能够取3,4,5,6 ，21 1 C 33P( X＝3)＝，P( X＝4) ＝3 3＝＝，C 20 C 206 62 2C 3 C 14 5P( X＝5)＝，P( X＝6) ＝.＝＝3 3C 10 C 26 6由数学希望的定义可求得E( X) ＝5.25.答案 5.253．已知随机变量X 听从二项散布，且E( X) ＝2.4 ，V( X) ＝1.44 ，则二项散布的参数n，p 的值分别为________．分析由题意得n p＝2.4 ，np －p ＝1.44 ，解得n＝6，p＝0.4.答案6,0.44．某各种子每粒抽芽的概率都为0.9 ，现播种了 1 000 粒，关于没有抽芽的种子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学希望为________．率为0.1 ，每粒种子抽芽与否互相独立，故设芽0.9 ，不抽芽率为分析种子抽没有抽芽的种子数为Y，则Y～B(1 000,0.1) ，∴E( Y)＝1 000×0.1＝100，故需补种的希望为E( X) ＝2·E( Y) ＝200.答案2005．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6) ，则E( Y)，V( Y)分别是________．分析若两个随机变量Y，X知足一次关系式Y＝aX＋b( a，b为常数) ，当已知E( X)、V( X)时，则有E( Y) ＝aE( X) ＋b，V( Y)＝a2V( X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X. 所以，求得E( Y) ＝8－E( X)＝8－10×0.6＝2，V( Y)＝( －1) 2V( X) ＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 2 2.46. 已知随机变量X 的散布列为,则E(6X+8)等于________．分析E(X) 1 0. 2 2 0 . 4 3 0 .4=0.2+0.8+1.2=2.2,∴E(6X+8)=6E( X ) 8 6 2答案21.27．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a，得2 分的概率为b，不得分的概2 1率为c( a、b、c∈(0,1)) ，已知他投篮一次得分的均值为2，则a＋的最小值为3b________．分析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，2即3a＋2b＝2，此中0<a< ，0<b<1.32 又＋a1 3a＋2b＝3b 22 1＋a 3b＝3＋12b a＋＋≥3 a 2b10＋232ba·a 16＝，2b 3 2b a当且仅当 a ＝，即a＝2b时取“等号”又3a＋2b＝2，2b1 12 1 16即当a＝，b＝.为，＋的最小值时2 4 a 3b 3答案16 38．有一批产品，此中有12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若X表示取到次品的次数，则V( X) ＝________.分析∵X～B 3，14，∴V( X)＝3×1 3 9×＝.4 4 16答案9 169．罐中有6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记着颜色后再放回，连续摸取 4次，设X为获得红球的次数，则X的均值E( X)＝________.3 分析由于是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球( 成功) 的概率均为，535连续摸4次( 做4 次试验)，X为获得红球( 成功) 的次数，则X～B 4，，进而有E( X) ＝np＝4×312 ＝.5 5答案12 510．已知失散型随机变量X的概率散布如右表，若E( X) ＝0，V( X) ＝1，则a＝________，b＝________.11 a＋b＋c＝，125 a＝，12分析由题意知1－a＋c＋＝0，6解得14b＝，a＋c＋1＝1，31c＝.4答案5121411．有一批产品，此中有12 件正品和 4 件次品，从中任取 3 件，若X表示取到次品的个数，则E( X) ＝________.分析X的取值为0,1,2,3 ，则3C12 P( X＝0)＝32 111 C12C 334；P( X＝1)＝3＝C16＝；28 C 70161 2C1 2C4 P( X＝2)＝3＝C1639 C 14；P( X＝3)＝.3＝70 C 14016∴E( X) ＝0×1128＋1×33＋2×709＋3×701 3＝.140 4答案3 412．马老师从课本上抄写一个随机变量X的概率散布列以下表：x 1 2 3P( X＝x) ？！？请小牛同学计算X的数学希望．只管“！”处完整没法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能判定这两个“？”处的数值同样．据此，小牛给出了正确答案E( X) ＝________.分析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E( X) ＝a＋2b＋3a＝2(2 a＋b) ＝2.答案 213. “好运”出租车企业按月将某辆车出租给司机，依据规定：不论能否出租，该企业每个月都要负担这辆车的各样管理费100元，假如在一个月内该车被租的概率是0.8 ，租金是 2 600 元，那么企业每个月对这辆车收入的希望值为______元.分析设企业每个月对这辆车的收入为X元，则其散布列为：X －100 2 500P 0.2 0.8故E(X)＝( －100)×0.2 ＋2 500×0.8 ＝1 980 元.答案1 980二、解答题14．一个口袋装有 5 个红球，3 个白球，这些球除颜色外完整同样，某人一次从中摸出3个球，此中白球的个数为X.(1) 求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；(2) 求X的散布列及X的数学希望．分析(1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A，依题意知 P( A) ＝1 2 2 1C 5C 3＋C 5C 45 338＝ . C56所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为45 . 56(2) X 可取 0,1,2,3 ，32 1C5 C 5C 1553P( X ＝0)＝，P( X ＝1) ＝，P( X ＝2)＝33＝ ＝C 28C 28881 2C 5C15 3＝，P ( X ＝3)＝ 3C56 83C13＝56.3C8∴X 的概率散布为X0 1 2 3P52815 2815 561 56所以 X 的数学希望为5 E( X ) ＝0× ＋1× 28 15 ＋2× 2815 1 9 ＋3× .＝ 56 56 8 15．有一种闯三关游戏的规则规定以下：用投掷正四周体骰子( 各面上分别有1,2,3,4 点数的质地平均的正四周体 ) 决定能否过关，在闯第 n( n ＝1,2,3) 关时， 需要投掷n 次骰子，当 n 次骰子面朝下的点数之和大于 n2时，则算闯此关成功，而且持续闯关，不然停止闯关．每次投掷骰子互相独立． (1) 求仅闯过第一关的概率；(2)记成功闯过的关数为X ，求 X 的概率散布和均值．369分析 (1)记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则P ( A ) ＝ .4 16 32× ＝ 19 (2) 由题意，得 X 的取值有 0,1,2,3 ，且 P( X ＝0) ＝ ，P( X ＝1) ＝， 432 3 10 54 405 × × ＝ P( X ＝2)＝ 4 16 64 1 024 3 10 10 75 × × ＝，P( X ＝3) ＝4 16 64 1 024， 即随机变量的概率散布为X 0 1 2 3P 149324051 024751 0241所以E( X)＝0×＋1×4 9＋2×324051 02475＋3×1 024＝1 3231 024 .16．济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅行景点，一位客人旅行这四个景点的概率分别是0.3,0.4,0.5,0.6 ，且客人能否旅行哪个景点互不影响，设ξ表示客人走开该城市时旅行的景点数与没有旅行的景点数之差的绝对值．(1) 求ξ＝0对应的事件的概率；(2) 求ξ的散布列及数学希望．分析(1) 分别记“该客人旅行大明湖景点”，“该客人旅行趵突泉景点”，“该客人旅行千佛山景点”，“该客人旅行园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4. 由题意，知A1，A2，A3，A4 互相独立，且P( A1) ＝0.3 ，P( A2) ＝0.4 ，P( A3) ＝0.5 ，P( A4) ＝0.6.客人旅行的景点数的可能取值为0,1,2,3,4. 相应地，客人没有旅行的景点数的可能取值为4,3,2,1,0. 所以ξ的可能取值为0,2,4.故P( ξ＝0) ＝P( A 1A 2A3A4) ＋P( A 1A2 A 3A4) ＋P( A 1A2A3 A 4) ＋P( A1 A 2 A 3A4) ＋P( A1 A 2A3 A 4) ＋P( A1A2 A 3 A 4) ＝0.38.(2) P( ξ＝4)＝P( A1A2A3A4) ＋P( A1 A 2 A 3 A 4) ＝0.12.P( ξ＝0)＝0.38，P( ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P( ξ＝4) ＝0.5.所以ξ的散布列为ξ0 2 4P 0.38 0.5 0.12Eξ＝0×0.38＋2×0.5＋4×0.12＝1.48.17．一种抛硬币游戏的规则是：投掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得2 分．(1)设投掷5次的得分为X，求X的概率散布和数学希望E( X)；(2) 求恰巧获得n( n∈N*) 分的概率．i －5 分析(1) 所抛5 次得分X的概率为P( X＝i ) ＝C5 125( i ＝5,6,7,8,9,10) ，其概率散布以下：X 5 6 7 8 9 10P132532516516532132E( X)＝10i5－iC·ii ＝5125＝152(2) 令p n 表示恰巧获得n 分的概率，不出现n分的独一状况是获得n－1 分此后再掷出一次反面．由于“不出现n分”的概率是1－p n，“恰巧获得(n－1) 分”的概率是p n－1，由于“掷一次出现反面”的概率是1 2 ，所以有1－p n＝1p n－1，223即p n－＝－1223 p n－1－.于是p n－232 1 2是以p1－＝－＝－3 2 316为首项，以－1为公比的等比数列．223所以p n－＝－1612－n－1，13 即p n＝122＋－n .故恰巧获得n 分的概率是132＋－12n .18．某车站每日上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8 ：20,8 ：40这三个时1 1刻随机发出，且在8：00发出的概率为，8：20发出的概率为，8：40发出的4 21概率为；第二班客车在9：00,9 ：20,9 ：40这三个时辰随机发出，且在9：00 41 1 1发出的概率为，9：20发出的概率为，9：40发出的概率为.两班客车发出时4 2 4刻是互相独立的，一位游客估计8：10 到站．(1)请展望游客乘到第一班客车的概率；(2) 求游客候车时间的概率散布；(3) 求游客候车时间的数学希望．游客能乘到，分析(1) 第一班若在8：20 或8：40发出，则1 其概率为P＝＋2 13 ＝.4 4(2) 游客候车时间的概率散布为候车时间(分) 10 30 50 70 90概率12141 1×4 41 1×4 21×414(3) 候车时间的数学希望为10×1 1＋30×＋50×2 41 1＋70×＋90×16 8116＝5＋15 25＋＋2 835 45＋＝30.4 8故这名游客候车时间的数学希望是30 分钟．。

数学高考小题专题复习练习几何概型一、填空题：（共12题，每题5分）1、 如图，将一个棱长为3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成棱长为1的小正方体，从中任取一块至少有两面涂有蓝色的概率是 ．2.若[]0,20x ∈，则不等式250x -≤成立的概率为 ．3.在面积为s 的ABC ∆的边AB 上任取一点P ，则PBC ∆的面积大于4S 的概率是 ． 4.在400ml 自来水中有一个大肠杆菌，从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌概率是 ．5.在区间[-1，2]上随机取一个数x ，则1x ≤的概率为 ．6、点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 ．7、ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 ．8、已知实数x,y 可以在02,02x y <<<<的条件下随机地取值，那么取出的数对（x,y ）满足()()22111x y -+-≥的概率是 ．9、已知实数x,y 可在224x y +<的条件下随机取值，则点（x,y ）满足1x ≤的概率是 ．10、在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到21之间的概率为11、一枚半径为1的硬币随机落在边长为3的正方形所在在平面内，且硬币一定落在正方形内或与正方形有公共点，则硬币与正方形没有公共点的概率 ．12、 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区 域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率是数学高考小题专题复习练习答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3、 4、5、 6 、 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、 在区间（0,1）内随机取两个数m,n ，求关于x 的一元二次方程20x m -+=有实数根的概率．几何概型1、27202、183、344、12005、 23 解析：P （|x|≤1）=1(1)22(1)3--=-- 命题意图：本题考察几何概率，属容易题.6、23 提示：如图可设1AB =,则1AB =,根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23． 7、14π- 提示：长方形面积为2,以O 为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为2π 因此取到的点到O 的距离小于1的概率为2π÷2＝4π 取到的点到O 的距离大于1的概率为14π- 8、44π- 9634π+D 为圆面，区域d 为直线1x =-与直线1x =之间的部分即由矩形与两个弓形构成） 10、31 提示：在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2x π的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232= 11、19（提示：硬币的圆心落在连长为1的正方形内） 12、16π. 13、点（m,n ）所在的区域D 为边长为1的正方形，关于x 的一元二次方程20x nx m +=有实数根的条件是40n m -≥，所以在区域D 内且满足条件的点（m,n ）所在的面积为18，则所求的概率是18．。

江苏省2024届高三数学一轮总复习专题检测立体几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知直线m ，n 与平面α，β，γ，则能使αβ⊥成立的充分条件是( ) A ．αγ⊥，βγ⊥ B ．//m α，//m βC ．//m α，m β⊥D ．m n ⊥，m αβ= ，n β⊂2、如图：已知正四面体ABCD 中E 在棱CD 上，2EC DE =，G 为ABC 的重心，则异面直线EG 与BD 所成角为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 303、已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A.29B.39C.23D.2394、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 交于点O ，则下列说法错误的是（ ） A.1AD ∥平面1BOC B.BD ⊥平面1COC C.1C O 与平面ABCD 所成的角为45 D.三棱锥1C BOC −的体积为235、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到6、约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比2：1恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢?经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面．在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型．根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为( )A ． 3B ．3 3C ．3D ．9 7、在三棱锥−P ABC 中，1PA PB PC ===，2AB BC CA ===，圆柱体1OO 在三棱锥−P ABC 内部（包含边界），且该圆柱体1OO 的底面圆O 在平面PBC 内，则当该圆柱体1OO 的体积最大时，圆柱体1OO 的高为（ ） A.13B.69C.12D.238、动点M 在正方体1111ABCD A B C D −从点1B 开始沿表面运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，则动直线1A M 与平面11A DC 所成角正弦值的取值范围是（ ） A. 16,33B. 13,33C. 12,32D. 16,239、已知正方体1111ABCD A B C D −，则（ ） A. 直线1BC 与1DA 所成的角为90° B. 直线1BC 与1CA 所成的角为90° C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45°D. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°10、如图，由正四棱锥P ABCD −和正方体1111ABCD A B C D −组成的多面体的所有棱长均为2．则（ ）A. //PA 平面11CB DB. 平面PAC ⊥平面11CB DC. PB 与平面11CB D 所成角的余弦值为66D. 点P 到平面11CB D 的距离为2363+ 11、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －A 的正弦值为55C. 点A 到平面A 1BC 1的距离为217D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为21612、下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A B C D ′′′′，则原四边形ABCD 的面积是14、在正四棱台1111ABCD A B C D −中，1112,1,2AB A B AA ===，则该棱台的体积为________．15、如图，某圆柱体的高为1，ABCD 是该圆柱体的轴截面.已知从点B 出发沿着圆柱体的侧面到点D 的路径中，最短路径的长度为52，则该圆柱体的侧面积是16、某同学在劳技课上设计了一个球形工艺品，球的内部有两个内接正五棱锥，两正五棱锥的底面重合，若两正五棱锥的侧棱与底面所成的角分别为α、β，则tan tan αβ+的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为4，1A BC 的面积为22．（1）求A 到平面1A BC 的距离；18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明：2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为150°时，求2B P ．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，四边形11ABB A 为正方形，点D 为棱1BB 的中点，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1AA CD ⊥.（1）求证：1CA CA =；（2）若2AC AB ==，求二面角11C A D B −−的余弦值.20．（本小题满分12分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，AB ＝22，AD ＝DC ＝2，如图1．现将△ADC 沿对角线AC 折成直二面角P －AC －B ，如图2，点M 在线段BP 上． （1）求证：AP ⊥CM ；（2）若点M 到直线AC 的距离为255，求BM BP 的值．21．（本小题满分12分）如图（1），平面四边形ABCD 由正三角形ABD 和等腰直角三角形BCD 组成，其中2BD =，=90BDC ∠°．现将三角形ABD 绕着BD 所在直线翻折到三角形PBD 位置（如图（2）），且满足平面PBD ⊥平面PCD ．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）若点Q 满足1,12PQ PD λλ=∈，当平面BCQ 与平面PCD 夹角的余弦值为3131时，求λ的值．22．（本小题满分12分）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．条件①：2PD=；条件②：∠PED＝60°；条件③：PM＝3ME：条件④：PE＝3ME．参考答案一、单项选择题：1、C2、D3、D4、C5、C6、B7、A8、A二、多项选择题：9、ABD 10、BD 11、ACD 12、ABD三、填空题：13、28 14、76615、14 16、2则111111112211433333A A BCA A ABC A ABC AB BC CC B V S h h V S A A V −−−=⋅===⋅== ， 解得2h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为2；（2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥， 又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，所以2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,可取()1,0,1m =− ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020m BD a b c m BC a ⋅=++= ⋅==， 可取()0,1,1n =− ，则11cos ,222m n m n m n⋅===×⋅，所以二面角A BD C −−的正弦值为213122 −=.18、（1）以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=−=−， 2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.（2）设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=−−=−−−，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ ⋅=−−+= ⋅=−+−=， 令 2z =，得3,1y x λλ=−=−， (1,3,2)n λλ∴−−，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =， 则2222222020m A C a b c m D C a c ⋅=−−+= ⋅=−+=， 令 1a =，得1,2==b c ， (1,1,2)m ∴=，2263cos ,cos150264(1)(3)n m n m n mλλ⋅∴===°=+−+−， 化简可得，2430λλ−+=， 解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19、（1）证明：取1AA 中点O ，连接OD ，OC ，因为四边形11ABB A 为正方形，点D 为1BB 的中点，点O 为1AA 的中点，所以1AA OD ⊥， 又因为1AA CD ⊥，CD OD D = ，,CD OD ⊂平面OCD ，所以1AA ⊥平面OCD ， 又因为OC ⊂平面OCD ，所以1AA OC ⊥， 因为点O 为1AA 的中点，所以1CA CA =.（2）解：因为平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，平面11AA C C 平面111ABB A AA =， 且1OC AA ⊥，OC ⊂11AAC C ，所以OC ⊥平面11ABB A ，设(),,n x y z = 为平面1ACD 的一个法向量，则112030n A D x y n A C x z ⋅=+= ⋅=+= ，取6x =，得2=33,z y −=−，所以()6,3,23n =−−，由OC ⊥平面11ABB A ，可得平面11A DB 的一个法向量为()0,0,3OC =，则2332cos ,1919573OC n OC n OC n⋅−×===−×， 由图知二面角11C A D B −−为钝二面角，所以其余弦值为21919−.20、（1）证明：在直角梯形ABCD 中，∠D ＝90°，AD ＝DC ＝2，所以AC ＝2．在△ABC 中，∠CAB ＝45°，AC ＝2，AB ＝22， 所以BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos ∠CAB ＝4，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ． ······················································· 2分 因为二面角P —AC —B 是直二面角，平面ABC ∩平面P AC ＝AC ，且BC ⊂平面ACB ， 所以BC ⊥平面P AC ．又AP ⊂平面P AC ，所以BC ⊥AP ． ·························································· 4分 因为AP ⊥PC ，PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ．又因为CM ⊂平面PBC ，所以AP ⊥CM ． ················································· 6分 （2）解：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 则C (0，0，0)，B (0，2，0)，A (2，0，0)， P (1，0，1)，所以CA →＝(2，0，0)，BP →＝(1，－2，1)．ABCPM xyz因为点M 在线段BP 上， 所以设BM →＝λBP →，0≤λ≤1，则CM →＝BM →－BC →＝λ(1，－2，1)－(0，－2，0)＝(λ，2－2λ，λ)． ················· 8分 因为点M 到直线AC 的距离为255， 所以CM ·sin ＜CA →，CM →＞＝255， ······················································ 10分 所以cos ＜CA →，CM →＞＝CA →·CM →|CA →|·|CM →|＝λ6 λ2－8λ＋4， 所以sin ＜CA →，CM →＞＝5 λ2－8λ＋46 λ2－8λ＋4， 即6 λ2－8λ＋4·5 λ2－8λ＋46 λ2－8λ＋4＝255，所以25λ2－40λ＋16＝0， 解得λ＝45，即BM BP ＝45． ······································································· 12分21、（1）证明：取PD 的中点M ，连结BM ，在正三角形PBD 中，有BM PD ⊥， 又因为平面PBD ⊥平面PCD ，平面PBD 平面PCD PD =，BM ⊂平面PBD ，所以BM ⊥平面PCD ，又因为CD ⊂平面PCD ，所以BM CD ⊥， 在等腰直角三角形BCD 中，有BD CD ⊥， 又因为BD BM B = ，且,BD BM ⊂平面PBD ， 所以CD ⊥平面PBD ．（2）取BD 的中点O ，连结PO ，在正三角形PBD 中，有PO BD ⊥， 由（1）可知CD ⊥平面PBD ，又因为PO ⊂平面PBD ，所以PO CD ⊥， 又因为BD CD D ∩=，且,BD CD ⊂平面BCD ，所以PO ⊥平面BCD ．取BC 的中点N ，连结NO ，因为点O 是BD 的中点，所以NO CD ∥， 又因为CD BD ⊥，所以NO BD ⊥， 因为PO ⊥平面BCD ，,BD NO ⊂平面BCD ， 所以PO BD ⊥，PO NO ⊥，以O 为坐标原点，OB ，ON ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)B ，(1,0,0)D −，(0,0,3)P ，(1,2,0)C −，所以()1,0,3PD =−− ，()2,2,0BC =−，()0,2,0DC =.因为PQ PD λ= ，所以(1,0,3)OQ OP λ−=−−，所以(,0,33)OQ λλ=−− ，所以()1,0,33QB λλ=+−， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，则()()133000220x z QB m BC m x y λλ ++−=⋅= ⇒ ⋅=−+=， 令33x λ=−，则33y λ=−，1z λ=+，则()33,33,1m λλλ=−−+设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则030200PD n x z y DC n ⋅=−−= ⇒= ⋅=， 令3x =，则0y =，1z =−，所以()3,0,1n−，由题意可知，()()2233131cos ,3122331m n mn m nλλλλ⋅−−−===−++， 整理得2393880(32)(134)0λλλλ−+=⇒−−=，所以23λ=，413λ=， 又因为1,12λ∈，所以23λ=．22、解：（1）因PD ⊥平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，则,PD DB PD DC ⊥⊥， 又由题可知DB DC ⊥，则如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系， 则()2,0,0B，()0,0,0D ，()0,2,0C ，22,,022E，设()0,0,P t ()0t >，()01PMλPE λ=<<.则()2,0,0DB =，()20,,PB t =−，()02,,PCt =−，2222,,PE t =−，()00,,DP t =.故()22122,,DM DP PM DP λPE λλλt =+=+=−. 设平面MBD 法向量为()1111,,n x y z =，则()11111120221022DB n x DM n x y tz λλλ ⋅== ⋅=++−=，令11y =，可得()120121,,λn λt= −； 设平面PBC 法向量为()2222,,n x y z =， 则2222222020PB n x tz PC n y tz ⋅=−= ⋅=−= ，可令221x y ==，可得2211,,n t=. 要使平面MBD ⊥平面PBC ，需满足()12221021λn n λt ⋅=+=⇒−221t λt =+. 注意到条件①2t ⇔=，PD ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PD DE ⊥，又由题可知1DE =，则条件②3t ⇔=，条件③34λ⇔=，条件④23λ⇔=. 则当条件①④成立或条件②③成立时，都有221t λt =+，即可以使平面MBD ⊥平面PBC ； （2）由（1），当选择①④时，2t =，()0,0,2P ，23λ=. 则()2,0,2BP =− ，平面MBD 法向量为()()120101121,,,,λn λt ==− −，设BP 与平面MBD 所成角为θ，则1121sin 222BP n BP n ⋅===⋅⋅θ ；当选择②③时，3t =，()0,0,3P ，34λ=. 则()203,,BP =−，平面MBD 法向量()1260101221,,,,λn λt==−−， 设BP 与平面MBD 所成角为θ，则113232sin 5552BP n BP n ⋅===⋅⋅θ； .。

§12.3 几何概型2020高考会这样考 1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．复习备考要这样做 1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．1．几何概型事件A 发生的概率与d 的测度成正比，与d 的形状和位置无关，这样的概率模型称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式为P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． [难点正本 疑点清源]1．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．2．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为________．答案 13解析 如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P ＝|CD ||AB |＝13.2．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析 如图可设lAB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.3．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是________．答案 25解析 区域D 为区间[－2,3]，d 为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝25. 4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．答案 25解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．(2012·湖北改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．答案 1－2π解析 方法一 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.方法二 连结AB ，由S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC 可求出空白部分面积． 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，令OA ＝2.由题意知C ∈AB 且S 弓形AC ＝S 弓形BC ＝S 弓形OC ，所以S 空白＝S △OAB＝12×2×2＝2.又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以S 阴影＝π－2.所以P ＝S 阴影S 扇形OAB＝π－2π＝1－2π.题型一 与长度有关的几何概型例1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．思维启迪：通过转化集合A 和lg m 有意义将问题转化成几何概型．答案 45解析 由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4. 即A ＝{m |－1<m <4}．由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)， 故所求概率为P ＝4－04－(－1)＝45.探究提高 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案 12解析 记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.题型二 与面积有关的几何概型例2 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思维启迪：(1)为古典概型，利用列举法求概率．(2)建立a －b 平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型． 解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.探究提高 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.抛掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标． (1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．解 (1)以0、2、4为横、纵坐标的点P 共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C 内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π，∴所求概率为P ＝410π＝25π.题型三 与角度、体积有关的几何概型例3 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 思维启迪：根据“在∠BAC 内作射线AM ”可知，本题的测度 是角度．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.探究提高 几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC 上找一点M ”， 则相应的测度变成线段的长度．一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为________．答案 127解析 由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303＝127.转化与化归思想在概率中的应用典例：(14分)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．审题视角 (1)向量a ∥b 转化为x ＝2y ，而x 、y 的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2)和(1)中条件类似，但x 、y 的值有无穷多个，应转化为几何概型问题． 规范解答解 (1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；[3分]其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16，即向量a∥b的概率为16.[6分](2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.[8分]基本事件空间为Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧(x，y)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2－1≤y≤1，B＝⎩⎪⎨⎪⎧(x，y)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2－1≤y≤12x＋y<0x≠2y，[12分]则P(B)＝μBμΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a，b的夹角是钝角的概率是13.[14分]温馨提醒(1)对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．(2)本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．失误与防范1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2012·辽宁改编)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________．答案 23解析 设AC ＝x ，CB ＝12－x ， 所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.2．(2012·北京改编)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．答案 4－π4解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内部运动，则点P 到顶点A 的距离|P A |<1的概率为______．答案 π4解析 由题意可知，点P 到顶点A 的距离|P A |<1的区域为以点A 为圆心，以1为半径的圆的四分之一，它对应的面积为π4，所以所求概率为π4.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin πx 4的值介于－12与22之间的概率为________．答案 56解析 ∵－1≤x ≤1，∴－π4≤πx 4≤π4.由－12≤sin πx 4≤22，得－π6≤πx 4≤π4，即－23≤x ≤1.故所求事件的概率为1＋232＝56.5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案 13解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝⎛⎭⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{(－∞，－1]∪[2，＋∞)}的长度[0，5]的长度＝35. 7．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________．答案 34解析 根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影部分，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.二、解答题(共27分)8．(13分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.设M －ABCD 的高为h ， 则13×S ABCD ×h <16， 又S ABCD ＝1，∴h <12，即点M 在正方体的下半部分，∴所求概率P ＝12V正方体V 正方体＝12.9．(14分)已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba ≤1，即2b ≤a .依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0a >0b >0. 构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b )⎪⎪⎪2ba ≤1a >0b >0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83， 所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0. ∵a ，b ∈[0,1]，a ＋2b >0，∴a －2b <0. 作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.2. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为________．答案 12解析 如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧CMD 上时，MN >2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.3．(2012·陕西改编)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的流程图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入____________．答案 P ←4M1 000解析 ∵x i ，y i 为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，当x 2i ＋y 2i ≤1时，点(x i ，y i )均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的14圆内，当x 2i ＋y 2i >1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．∴有NM ＝1－π4π4，N π＝4M －M π，π(M ＋N )＝4M ，π＝4M1 000.4．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________．答案 π4解析 D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x ≥0，y ≥0)知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为14π×121×1＝π4. 5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________． 答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316. 6．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，则过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．答案 1－32解析 弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32. ∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 二、解答题(共28分)7．(14分)设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A 、B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时，能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13. (2)设其中两条线段长度分别为x 、y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<6－x －y <6，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <60<y <60<x ＋y <6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >6－x －y x ＋6－x －y >yy ＋6－x －y >x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >3y <3x <3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14. 8．(14分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过第一、二、三象限的概率．解 (1)抽取的全部结果的基本事件有(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示．要使函数的图象过第一、二、三象限，则m >0，n >0，故使函数图象过第一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.。

数学归纳法分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．①假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ②假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立； ③假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ④假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立． 正确证法的序号是________．解析 ①②③中，k ＋1不一定表示奇数，只有④中k 为奇数，k ＋2为奇数． 答案 ④2．用数学归纳证明：对任意的n ∈N *,34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1可变形为________． 答案 34(34k ＋2＋52k ＋1)－52k ＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n －7)3n＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 64．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可． 答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2， 当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立． (1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立， 则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0. 而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1－2a k a k ＋1＋1a k ＋1＋1a k ＋1＝2a k ＋1－a ka k ＋1＋1a k ＋1>0，∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明． 证明 当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )． 因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2. 因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立． 现用数学归纳法证明： ①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )， 一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2， 所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.分层训练B 级 创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析 右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.答案 a n ＝12n －12n ＋14．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析 当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×1＋12 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×2＋12 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×3＋12当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×4＋12∴猜想S n ＝(－1)n －1·n n ＋12.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n n ＋125．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围． 解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时， a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解， 所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)．所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾． 因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2012·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n . 因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1. 故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解 由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。

12.3 几何概型一、选择题1.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________.解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3 m 的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率为0.2. 答案 0.22．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1,2，…，10，击中由内至外的区域的成绩依次为10,9，…，1环，则不考虑技术因素，射击一次，在有成绩的情况下成绩为10环的概率为________．解析 所求概率为P ＝π×12π×102＝1100. 答案11003.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为_______．答案234.如图,一颗豆子随机扔到如右图所示桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为_______．解析 由几何概型的定义知:3193P ==.答案 135．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．解析 所求概率为P ＝a 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a2＝1－π4. 答案 1－π46．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则使得cos πx 2的值介于0到12之间的概率为________．解析 在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cos πx 2的值位于[0,1]区间，若使cos πx2的值位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1内，根据几何概型的计算公式可知P ＝2×132＝13.答案 137．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4.答案 1－π48．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________．解析 方程x 2＋x ＋n ＝0，n ∈(0,1)有实根⇔Δ＝1－4n ≥0， 即n ≤14.故所求概率为：14.答案 149．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16. 答案 1610．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4， 所以所求概率为P ＝2π－44＝π－22.答案π－2211．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实数根的概率为________．解析 由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈ [0,1]，∴a ≥b .∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a ≥b ，画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为12.答案 1212．在水平放置的长为5 cm 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2 cm 的概率是________．解析 如图，由题意，得灯的悬挂点位于线段CD 内， 故所求概率为P ＝CD 的长度AB 的长度＝15.答案 1513．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．解析 依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U ＝18，S A ＝4，则点P 落入区域A 的概率为P ＝S A S U ＝29.答案 29二、解答题14．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解析 弦长不超过1，即OQ ≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝32×2 2＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32.15．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．解析(1)设CM＝x，则0<x<a.(不妨设BC＝a)．若∠CAM<30°，则0＜x＜33a，故∠CAM<30°的概率为P＝区间⎝⎛⎭⎪⎫0，33a的长度区间0，a的长度＝33.(2)设∠CAM＝θ，则0°<θ<45°，若∠CAM<30°，则0°<θ<30°，故∠CAM<30°的概率为P＝0°，30°的长度0°，45°的长度＝23.16．已知关于x的一次函数y＝mx＋n.(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m 和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；(2)实数m，n满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m＋n－1≤0，－1≤m≤1，－1≤n≤1，求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0，－1≤m ≤1，－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P ＝1272＝17.17．已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求当x ，y ∈R 时，P 满足 (x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．思路分析 由题意画出图象可求面积之比．解析 如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋ (y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P 1＝14π×224×4＝π16.【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.18．已知集合A ＝{－2,0,2}，B ＝{－1,1}，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点位于区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥－1内(含边界)的概率．解析 (1)记“以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1上”为事件A ，则基本事件总数为6. 因落在圆x 2＋y 2＝1上的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A 包含的基本事件数为2，所以P (A )＝26＝13.(2)记“以(x ，y )为坐标的点位于区域内”为事件B ，则基本事件总数为6，由图知位于区域D 内(含边界)的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)共4个，即B 包含的基本事件数为4，故P (B )＝46＝23.。

§12.3 几何概型1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________． 答案 13解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2014·某某改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________． 答案π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.3．(2014·某某)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.4．(2013·某某)在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cosπ2x 的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率． 解 (1)如图，由函数y ＝cos π2x 的图象知，当－1<x <－23或23<x <1时，0<cos π2x <12.由概率的几何概型知：cos π2x 的值介于0到12之间的概率为232＝13.(2)因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°， 在Rt△ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.思维升华 几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．(1)(2014·某某改编)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________． 答案 (1)35 (2)12解析 (1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.(2)记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得： P (A )＝12×22＝12.题型二 与面积、体积有关的几何概型例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 思维点拨 求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比． 答案 (1)4－π4 (2)23解析 (1)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.(2)先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.思维升华 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的方法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax－b 2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 (1)1－π4 (2)1－π12解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.题型三 生活中的几何概型问题例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 解 这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝24－12×12＋24－22×12242＝506.5576＝1 0131 152. 思维升华 生活中的几何概型度量区域的构造方法： (1)审题：通过阅读题目，提炼相关信息． (2)建模：利用相关信息的特征，建立概率模型． (3)解模：求解建立的数学模型．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．(2014·某某)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小X 与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小X 比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 答案932解析 在平面直角坐标系中画出由小王(x )和小X(y )到校的时间对应的点(x ，y )所构成的平面区域，再画出小X 比小王至少早到5分钟对应的点(x ，y )所构成的平面区域，计算出两区域的面积，利用几何概型的概率公式计算即可．设小王到校时间为x ，小X 到校时间为y ，则小X 比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小X 到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小X 比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率P ＝2252400＝932.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． 规X 解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 因为是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.温馨提醒 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．方法与技巧1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 失误与防X1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．(2014·某某改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________． 答案 35解析 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35. 2．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．答案 35解析 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的长度[0，5]的长度＝35.3．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．答案 35解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－－14－－1＝35.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______． 答案 12解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 答案 1－2π解析 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1，所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6．已知集合A ＝{α|α＝n π9，n ∈Z }，若从A 中任取一个元素均可作为直线l 的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________．答案 49解析 由于倾斜角X 围为[0，π)，故当0≤n ≤8时，集合A 中共有9个解，分别为0，π9，2π9，3π9，4π9，5π9，6π9，7π9，8π9.其中当α为5π9，6π9，7π9，8π9时，此时α为钝角，直线l 的斜率小于零．故直线l 的斜率小于零的概率P ＝49.7．(2013·某某)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3. 即m 的值为3.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112. (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)1．(2014·某某改编)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB ＝2－142＝78.2．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________． 答案π120解析 屋子的体积为5×4×3＝60米3，捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13×3＝π2.故苍蝇被捕捉的概率是π260＝π120.3.已知点A 在坐标原点，点B 在直线y ＝1上，点C (3,4)，若AB ≤10，则△ABC 的面积大于5的概率是________． 答案524解析 设B (x,1)，根据题意知点D (34，1)，若△ABC 的面积小于或等于5，则12×DB ×4≤5，即DB ≤52，此时点B 的横坐标x ∈[－74，134]，而AB ≤10，所以点B 的横坐标x ∈[－3,3]，所以△ABC 的面积小于或等于5的概率为P ＝3－－746＝1924， 所以△ABC 的面积大于5的概率是1－P ＝524.4．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，△PBC 的面积大于S4的概率为________．答案916解析 如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S4，作PG ⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任意处，其概率为P ＝S △AEF S △ABC ＝916. 5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________． 答案 13解析 如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.6．设f (x )和g (x )是定义在同一区间上的两个函数．若对任意x ∈[1,2]，都有|f (x )＋g (x )|≤8，则称f (x )和g (x )是“友好函数”．设f (x )＝ax ，g (x )＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率．(2)若a ∈[1,4]，b ∈[1,4]，求f (x )和g (x )是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f (x )和g (x )是“友好函数”， 则|f (x )＋g (x )|(x ∈[1,2])所有的情况有：x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a >0，b >0时，y ＝ax ＋bx 在(0，ba )上递减，在(ba，＋∞)上递增； 且y ＝x －1x 和y ＝4x －1x在(0，＋∞)上递增，∴对x ∈[1,2]可使|f (x )＋g (x )|≤8恒成立的情况有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P (A )＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f (x )和g (x )是“友好函数”，∵a 是从区间[1,4]中任取的数，b 是从区间[1,4]中任取的数， ∴点(a ，b )所在的区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈[1,2]时，|f (x )＋g (x )|≤8恒成立， 需f (1)＋g (1)＝a ＋b ≤8且f (2)＋g (2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∵矩形区域的面积S ＝3×3＝9，阴影部分的面积S 阴＝12×(2＋114)×3＝578，∴根据几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝S 阴S ＝5772＝1924.。

第3讲几何概型分层训练B级创新能力提升1．(2012·淮阴中学检测)ABCD为长方形，AB＝2,BC＝1,O为AB 的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝错误!＝1－错误!.答案1－错误!2．（2012·扬州模拟）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4,所以所求概率为P＝错误!＝错误!。

答案错误!3．(2013·南京模拟）已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得V P－ABC<错误!V S－ABC的概率是________．解析设三棱锥P－ABC的高为h，∵V P－ABC〈错误!V S－ABC，∴错误!S△ABC×h〈错误!×错误!S△ABC×3,∴h<错误!，即点P位于中截面以下，故所求概率为P＝1－错误!＝错误!。

答案错误!4．(2012·苏北四市调研三)若m∈（0，3)，则直线(m＋2)x＋（3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于错误!的概率为________．解析令x＝0得y＝33－m,令y＝0得x＝错误!，由于m∈(0，3),∴S ＝错误!·错误!·错误!＝错误!，由题意,得错误!<错误!，解得－1〈m<2，由于m∈(0，3），∴m∈(0，2),故所求的概率为P＝2 3。

答案错误!5．（2013·南京检测）已知集合A＝｛－2，0,2}，B＝｛－1,1}，设M＝{（x,y)|x∈A，y∈B｝，在集合M内随机取出一个元素（x，y)．(1）求以（x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；（2)求以（x，y）为坐标的点位于区域D：错误!内(含边界)的概率．解(1）记“以(x，y）为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”为事件A，则基本事件总数为6。

几何概型（客观题）一、单选题1．如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为A ．12B C ．13D ．152．在等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角．在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM AC <的概率A ．2B ．12C ．34D ．143．在区间[2,2]-内随机取一个数a ，则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是 A ．15 B ．14C ．13D ．344．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为1625π，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为A ．0.8厘米B ．1厘米C ．1.1厘米D ．1.2厘米5．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为43C．13D．126．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为()1cma a>的圆，正中间有一边长为0．5cm的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为116π，则a=A．4B．3C．2D7．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A．16B．13C．23D．458．古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一，金字塔（如图1）作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔的高146．5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周．上任取一点（圆周上所有点被选取的概率相等），从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为A．13B．23449．在区间[]0,8上随机取一个实数a ，则方程22160x ax ++=有实数根的概率为A ．14 B ．12C ．13D ．2310．已知x 、y 满足1x y +≤，则事件“2212x y +≤”的概率为 A ．8π B ．4π C ．18π-D ．14π-11．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．13 B ．4ππ-C ．22ππ-D ．22ππ+12．在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤ A ．116 B ．18C ．14D ．1213．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是1616C．35D．1214．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为A B．C．D．15．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A．136B．19C．16D．2916ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，点E为线段DC上的点，且1CE ，则在旋转的过程中，BP与线段EC有交点的概率为A．13B．12C．23D．1417．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是A ．14B ．12C ．58D ．3418．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<，则圆周率的近似值为A．(a bB．(b aC．(a bD．(b a-19．在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为A ．16π B ．12πC ．44π-D ．1420．在区间[-2，2]上随机抽取一个数x ，则事件“-1≤ln （x ＋1）≤1”发生的概率为A ．2e 13e-B ．2e 14e-C ．2e 2e 13e--D ．2e 2e 14e--21．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是A B ．12C ．14-D ．3422．为了求得椭圆()222210x y a b a b+=>>的面积，把该椭圆放入一个矩形当中，恰好与矩形相切，向矩形内随机投入()()()1122,,,,,n n x y x y x y 共n 个不同的点，其中在椭圆内的点恰好有()m m n <个．若矩形的面积是2，则可以估计椭圆的面积为A ．mn B ．2mn C ．2m nD ．n m23．刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一．他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题．如下图在圆的直径CD 上任取一点E ，过点E 的弦AB 和CD 垂直，则AB 的长不超过半径的概率是A ．1-B ．13C ．14D ．14- 24．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 2θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭形区域的概率为．A ．14 B ．15 C ．25D ．3525．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”其中“解”字的意思是用一个平面对某几何体进行切割．已知正方体1111ABCD A B C D -，随机在线段1AC 上取一点，过该点作垂直于1AC 的平面α，则平面α“解”正方体1111ABCD A B C D -所得的大、小两部分体积之比大于5的概率为 A ．16B ．13 C ．12D ．2326．“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是A ．12- B ．2C ．44D27．已知[]8,4a ∈-，则命题00x ∃>，20010x ax ++<为假命题的概率A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.528．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-29．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，且满足CA CB =，圆内的弧线是以C 为圆心，CA 为半径的圆的一部分．记ABC ∆三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ．在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为1P ，2P ，则A ．12P P =B ．12P P >C ．1241P P π+=+ D ．2111P P π-=+ 30．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4．在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为A ．12BC ．23D二、填空题1．在区间()0,6中任取一个数x ．则能使2，3，x 是某个三角形三边长的概率是__________． 2．在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为__________．3．如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为__________．4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90C =∠，30B ∠=，在BAC ∠内过点A 任作一射线与BC 相交于点D ，使得30DAC ∠<的概率为__________．5．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05-20：50时间段通过班级群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是__________．6．勾股定理又称商高定理，三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，正方形ABDE 是由4个全等的直角三角形再加上中间的阴影小正方形组成的，如图，记ABC θ∠=，若tan 74πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，在正方形ABDE 内随机取一点，则该点取自阴影正方形的概率为__________．7．七巧板是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，后清陆以活《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．”在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形(如图)：五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是__________．8．在区间[2,3]-上随机取一个实数x ，则“||1x ≤”的概率为__________． 9．点P 是ABC 内部任意一点，则PAB △的面积小于ABC 面积一半的概率为__________．10．记函数()f x =D ，若在区间[]5,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率为__________．11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请160名同学，每人随机写下开一个都小于4的正实数对(),x y ；再统计两数能与4构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数n ；最后再根据统计数n 来估计π的值．假如统计结果是126n =，那么据此估计π的值为__________．12．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如上图．现在图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为__________．13．如图，AB 是圆O 的直径，OC AB ⊥，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为__________．14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为__________．15．如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．16．已知直线:4l y x =-与曲线:C y =C 上随机取一点M ，则点M 到直线l 的概率为__________．17．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin4πx 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示)．其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__________．18．若在不等式221x y +≤所表示的平面区域内随机投一点P ，则该点P 落在不等式组11x y x y ⎧-≤⎪⎨+≤⎪⎩所表示的平面区域内的概率为__________． 19．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC ，AB ，AC 为直径的三个半圆组成，2BC =，点A 在弧BC 上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P ，则P 的最大值是__________．20．在区间[]1,1-上随机取一个数k ，则能够使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为______．21．如图所示，是一正方形苗圃图案，中间黑色的大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机地取一点，则该点取自黑色区域的概率为__________．22．如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥．则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是__________．23．在区间[0,]π上随机取一个数α，则11cos ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的概率为__________． 24．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形1A AB 中，112A A AB =．根据这些信息，若在正五边形ABCDE 内任取一点，则该点取自正五边形11111A B C D E 内的概率是__________．25．已知P ，E ，F 都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ︒∠=，在球C 内任取一点，则该点落在三棱锥P ﹣EFG内的概率为__________．26．在曲线22x y x y +=+上及其内部随机取一点，则该点取自圆221x y +=上及其内部的概率为__________．一、单选题1．如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为A ．12B C ．13D ．15【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文） 【答案】D【分析】求出阴影部分的面积，大正方形的面积即可得概率．25S ==，小正方形边长为1，面积为2111S ==，所以所求概率为115S P S ==．故选D ． 2．在等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角．在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM AC <的概率A ．2B ．12C ．34D ．14【试题来源】湖南师大附中2020届高三下学期6月月考（文） 【答案】C【分析】求出满足AM AC <时CM 所扫过的角度，利用角度比可得概率． 【解析】当AM AC =时，1804567.52ACM ︒-︒∠==︒，90ACB ∠=︒， 所以所求概率为67.53904P ︒︒==．故选C ． 3．在区间[2,2]-内随机取一个数a ，则关于x 的方程220x x a -+=无实根的概率是54C ．13D ．34【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】由已知条件，得440a ∆=-<，结合[2,2]a ∈-，求出a 的范围，根据几何概型的概率公式，a 取值范围区间长度除以[2,2]-长度，即可求解． 【解析】关于x 的方程220x x a -+=无实根， 得440,1,[2,2],(1,2]a a a a ∆=-<>∈-∴∈，所以所求的概率为14P =．故选B ． 4．五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤．如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米．现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为1625π，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为A ．0.8厘米B ．1厘米C ．1.1厘米D ．1.2厘米【试题来源】广西桂林市广西师范大学附属2021届高三年级上学期数学第三次月考试题 【答案】B【分析】设该五铢钱的穿宽为x 厘米，根据几何概型的概率公式列式可解得结果． 【解析】圆的半径为54厘米，圆的面积为25()4π⨯2516π=， 设该五铢钱的穿宽为x 厘米，则方孔面积为2x 厘米，根据几何概型可得216252516x ππ=，解得1x =厘米．故选B ．5．在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为43C ．13D ．12【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合（理） 【答案】D【分析】根据∆求出a 的取值范围，结合几何概型的概念，可得结果．【解析】因为方程2280x ax -+=有实数根，所以2()4280a ∆=--⨯⨯≥，解得8a ≥或8a ≤-，故方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-．故选D ．6．宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔人，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理．已知铜钱是直径为()1cm a a >的圆，正中间有一边长为0．5cm 的正方形小孔，现随机向铜钱上滴--滴油(油滴的大小忽略不计)，若油滴落入孔中的概率为116π，则a =A ．4B ．3C ．2D【试题来源】百师联盟2021届高三开学摸底联考（文）全国卷III 试题 【答案】A【分析】分别计算钱的圆面面积和钱空正方形的面积，由几何概型概率公式求出一滴油滴落入孔中的概率．【解析】圆的面积为22a π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2cm ，正方形的面积为20.50.5cm ⨯，则一滴油滴落入孔中的概率20.50.16512a P ππ⎛==⨯⎫ ⎪⎝⎭，得4a =，故选A ．7．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为A ．16 B ．13 C ．23D ．45【试题来源】安徽省合肥六中2019-2020学年高三上学期第一次段考（文） 【答案】C【解析】设AC=x ，则BC=12-x （0＜x ＜12），矩形的面积S=x （12-x ）＞20， 所以x 2-12x+20＜0，所以2＜x ＜10，由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm 2的概率10221203p -==-．8．古埃及、古印度、古巴比伦和中国是四大文明古国之一，金字塔（如图1）作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔的高146．5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底而中心230米的圆周．上任取一点（圆周上所有点被选取的概率相等），从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为A ．13 B ．23 C ．14D ．34【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试 【答案】A【分析】根据题意，利用长度比的几何概型求得只能看到金字塔的一个侧面的概率，进而求得看到两个侧面的概率．【解析】如图所示，中间正方形的边长为230米，可得230AB CD ==米， 其中在AB 处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，又由圆的半径为230米，其中230OA OB ==米， 所以ABO 为等边三角形，即60AOB ∠=， 其中由四个这的区域，只能看到金字塔的一个侧面， 所以只能看到一个侧面的概率为46023603⨯=， 所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为13．故选A ．9．在区间[]0,8上随机取一个实数a ，则方程22160x ax ++=有实数根的概率为A ．14 B ．12C ．13D ．23【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（文） 【答案】B【分析】由2441160a ∆=-⨯⨯≥可得4a ≤-或4a ≥，然后根据几何概型的概率计算公式可得答案．【解析】由2441160a ∆=-⨯⨯≥，得216a ≥，即4a ≤-或4a ≥， 它与08a ≤≤的公共元素为48a ≤≤，所以4182p ==，故选B ． 10．已知x 、y 满足1x y +≤，则事件“2212x y +≤”的概率为 A ．8π B ．4π C ．18π-D ．14π-【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】作出区域(){},1A x y x y =+≤与区域()221,2B x y xy ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭，并计算出两个区域的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【解析】区域(){},1A x y x y =+≤是由()1,0、()0,1、()1,0-、()0,1-为四个顶点的正方形及其内部，区域()221,2B x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭是以原点为圆心，半径为2的圆及其内部，如下图所示：区域A的正方形及其内部，区域A的面积为22A S ==，区域B的面积为22B S ππ=⨯=⎝⎭，因此，所求概率为224B A S P S ππ===．故选B ． 11．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为A ．13 B ．4ππ-C ．22ππ-D ．22ππ+ 【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考（理） 【答案】C【分析】设小圆的半径为r ，则大圆的半径为2r ，计算出阴影部分区域的面积和大圆的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【解析】设小圆的半径为r ，则大圆的半径为2r ，则空白区域可看作是边长为2r 的正方形与半径为r 的四个半圆组合而成， 所以，空白区域的面积为()()222124422r r r ππ+⨯⨯⨯=+，所以，阴影部分区域的面积为()()()22224224S r r r πππ=⨯-+=-，因此，所求概率为()2224242r P r ππππ--==．故选C ．12．在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点，在所取的点恰好满足x y +≤A ．116 B ．18C ．14D ．12【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（理）考试二试题 【答案】C【解析】由题意可知所取的点应在图中阴影部分．从而其概率为．故本题正确答案为C ．13．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是A ．716 B ．916 C ．35D ．12【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考（理） 【答案】B【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形，得解． 【解析】由图可知黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成， 设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得()991616S P A S ==小三角形小三角形，故选B ． 14．如图所示，在边长为4的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为34，则阴影区域的面积为AB．C．D．【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试（文） 【答案】C【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．【解析】设阴影部分的面积为S3422=，解得S ＝3．故选C ．15．如图来自中国古代的木纹饰图．若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是A ．136 B ．19C ．16D ．29【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文） 【答案】D【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论．【解析】因为大正方形的面积为6636⨯=；而小正方的面积为111⨯=；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有6个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是812369⨯=．故选D ． 16ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，点E 为线段DC 上的点，且1CE =，则在旋转的过程中，BP 与线段EC 有交点的概率为A ．13 B ．12C ．23D ．14【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（（理））联考试题 【答案】A【分析】首先求出CBE ∠，再根据角度型几何概型概率公式计算可得；【解析】tan CE CBE CB ∠===，6CBE π∴∠=， BP ∴与线段EC 有交点的概率为1632ππ=．故选A ．17．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是A ．14B ．12C ．58D ．34【试题来源】江西省南昌二中2020届高三高考数学（（理））校测试卷题（三） 【答案】D【解析】设扇形的圆心角为α，大扇形的半径长为R ，小扇形的半径长为r ， 则22S R α=大扇形，22S r α=小扇形，2R r =．根据几何概型，可得此点取自扇面（扇环）部分的概率为222222223322442R r R r r P R r R ααα--====．故选D ． 18．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内()*,a b b a N 、∈<，则圆周率的近似值为A．(a bB．(b aC．(a bD．(b a-【试题来源】河南省2020届高三（6月份）高考数学（（理））质检试题 【答案】C【分析】本题首先可计算出正二十四边形的面积1S ，然后计算出半径为1的圆的面积2S ，最后根据几何概型的概率计算公式即可得出结果．【解析】因为正二十四边形的面积211241sin152432S ︒=⨯⨯⨯==，半径为1的圆的面积2S π=，所以123S S b aπ==，解得(a bπ=，故选C ．【名师点睛】本题考查几何概型的概率计算公式，能否求出正二十四边形的面积以及圆的面积是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．19．在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为A ．16πB ．12πC ．44π-D ．14【试题来源】四川省德阳市2020届高三高考数学（（文））三诊试题【答案】D【分析】设正方形ABCD 的边长为2，计算出阴影部分区域和正方形ABCD 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．【解析】设正方形ABCD 的边长为2，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，如下图所示：所以，阴影部分区域的面积为12112S '=⨯⨯=，正方形ABCD 的面积为224S ==，因此，所求概率为14S P S '==．故选D ． 20．在区间[-2，2]上随机抽取一个数x ，则事件“-1≤ln （x ＋1）≤1”发生的概率为A ．2e 13e-B ．2e 14e-C ．2e 2e 13e--D ．2e 2e 14e--【试题来源】云南省红河州第一中学2021届高三年级（理）第一次联考试题 【答案】B【分析】先解不等式()1ln 11x -≤+≤，然后利用几何概型的长度类型求解．【解析】由不等式()1ln 11x -≤+≤，得11e 1ex -≤≤-，所以事件“-1≤ln （x ＋1）≤1”发生的概率为()1e 11e 4P ⎛⎫---⎪⎝⎭==2e 14e-．故选B ．【名师点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题． 21．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是A ．22- B ．12CD ．34【试题来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研（文） 【答案】A【分析】设大正方形的边长为2，求出阴影部分的面积后，由几何概型概率公式即可得解． 【解析】设大正方形的边长为2，则大正方形的面积14S =，易知阴影部分图形为正方形，因为直角三角形中较小的锐角6πα=，所以小正方形的边长为2cos2sin166ππ-=，。

第81课 几 何 概 型1. 了解几何概型的基本概念、特点和意义，了解测度的简单含义.2. 了解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的问题.1. 阅读：必修3第106～111页.2. 解悟：①读懂几何概型的定义；②归纳出古典概型的特征；③重解课本例题，体会方法.3. 践习：在教材空白处，完成本节习题.基础诊断1. 两根相距为8m 的木杆上系一根绳子，拉直并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于3m 的概率为14.解析：灯可以挂在绳子上的任何地方，且可能性是一样的，故选用几何概型.先找出等于3m 的临界点，再寻求大于3m 的长度，故所求概率为14.2. 小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于14，则周末打篮球；否则就在家看书，那么小明周末在家看书的概率是316. 解析：圆的面积设为π，则点到圆心的距离大于12的面积为π－π4＝3π4，点到圆心的距离小于14的面积为π16.由几何概型得小明周末在家看书的概率为P ＝1－ 3π4＋π16π＝316.3. 在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率为 34 .解析：设在△ABC 中，AB 边上的高为h ，则S ＝12AB·h ，S △PBC ＝12PB·h ，要使△PBC的面积大于S 4，即PB 大于AB 4，由几何概型知△PBC 的面积大于S 4的概率为P ＝1－14＝34.4. 在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为 π6.解析：由题意可得正方体的体积为a 3，与点A 距离小于等于a 的轨迹是一个八分之一的球，体积为V ＝18×43πa 3＝πa 36.由几何概型知识点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为P ＝πa 36a 3＝π6.范例导航考向❶ 与长度、角度有关的几何概型例1 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是多少？解析：如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P ＝10＋1040＝12.如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 13.解析：因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域M 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.【注】 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解. 要特别注意“长度型”与“角度型”的不同. 解题的关键是随机对象的不同决定了构建事件的区域(长度或角度)不同.考向❷ 与面积有关的几何概型例2 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是多少？解析：不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为 78Ｗ.解析：如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知点C ⎝⎛⎭⎫－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝S △OAB －S △BCDS △OAB＝2－142＝78.【注】 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.考向❸ 与体积有关的几何概型例3 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率为 12.解析：过点M 作平面α∥平面ABCD ，则两平面间的距离是四棱锥MABCD 的高，显然点M 在平面α上任意位置时，四棱锥MABCD 的体积都相等. 若此时四棱锥MABCD 的体积等于16，只要M 在截面以下即可小于16，当V MABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.在一杯10升的清水中，有一条小鱼，现任意取出1升清水，则小鱼被取到的概率是110. 【注】 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.自测反馈1. 在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为 34 .解析：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y|<12，作出平面区域，可得P ＝1－2×12×12×121＝34.2. 在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠MAC<30°的概率是33. 解析：因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度. 设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.3. 已知正三棱锥SABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V PABC <12V SABC 的概率是 78.解析：设三棱锥PABC 的高为h ，则13S △ABC ·h<12×13S △ABC ·3，即h<32，所以当点P 在大三棱锥的中截面以下时，满足题意，故P ＝1－小三棱锥大三棱锥＝1－ 13×34×12×3213×34×22×3＝78.4. 在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的平面内随机取一点M(x 0，y 0)，设事件A 为“y 0<2x 0”，那么事件A 发生的概率是 34.解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A为“y 0<2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是34.1. 有些几何概型可用长度作为测度，比如，把时刻抽象为点，则时间就是长度；转动瞬时角抽象为点，则转过角度就抽象为长度等等；有些问题直接与面积有关，也有一些实际问题，当涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论，这也要采用面积为测度；有些问题需用体积、质量等作为测度.2. 背景相似的问题，当等可能的视角不同时，其概率往往不同，应注意分析测度的差异.3. 你还有那些体悟，写下来：。

基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.23解析 若cos x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，利用三角函数性质解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎦⎤π3，π2，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为P ＝2×⎝⎛⎭⎫π2－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.答案 A2.(2016·东北三省三校联考)实数m 是[0，6]上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14B.13C.12D.23解析 方程x 2－mx ＋4＝0有实根，则Δ＝m 2－4×4≥0，∴m ≥4或m≤－4，又m ∈[0，6]，∴4≤m ≤6，∴关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为6－46－0＝13.故选B.答案 B3.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.45解析 设AC ＝x cm ，0＜x ＜12，则CB ＝(12－x)cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x(12－x)＞20，则x 2－12x ＋20＜0，解得2＜x ＜10，所求概率为P ＝10－212＝23.答案 C4. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A.π2B.π4C.π6D.π8解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.答案 B5.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117 B.217 C.317D.417解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P ＝434＝217.故选B.答案 B 二、填空题6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析 设阴影部分的面积为S ，由题意知S S 正方形＝1801 000，解得S ＝0.18.答案 0.187.在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为56，则m ＝________.解析 由|x|≤m ，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案 38.在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q(m ，n)，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.答案 129.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.解析 ∵y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，故直线y ＝x 两侧的阴影部分面积相等，只需计算其中一部分即可.如图，S 1＝⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.∴S 总阴影＝2S 阴影＝2(e ×1－S 1)＝2[e －(e －1)]＝2， 故所求概率为P ＝2e 2.答案2e 2三、解答题10.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.解 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”.当a≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a≤3，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a≤3，0≤b ≤2，a ≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2016·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知⎝⎛⎭⎫1＋xk k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y)恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796B.532C.16D.748解析 由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4. 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛04(4x －x 2)dx ＝⎝⎛⎪⎪2x 2－⎭⎫13x 340＝323，∵任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，∴以x 、y 为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积S 2＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S 1S 2＝16，故选C. 答案 C12. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A.12－1πB.1πC.1－2πD.2π解析 如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝⎛⎭⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率 P ＝π－2π＝1－2π.答案 C13.张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________.解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A 发生，所以P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78.答案 7814.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a·b<0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x≤6，1≤y ≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y<0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为2125.。

参数方程分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)1．(2012·南通调研)P 为曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一点，求它到直线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2(t 为参数)距离的最小值．解 将曲线C 1化成普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，圆心是(1,0)， 直线C 2化成普通方程是y －2＝0，则圆心到直线的距离为2. 所以曲线C 1上点到直线的最小距离为1.2．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．解 ∵椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝ 2⎝⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，∴当φ＝π6时，S 取得最大值2.3．(2012·南通市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4t ，y ＝3t －2(t 为参数)．若曲线C 、D 有公共点，求实数m 的取值范围．解 曲线C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 曲线D 的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0.因为曲线C 、D 有公共点，所以|3m ＋2|5≤2，|3m ＋2|≤10.解得－4≤m ≤83，即m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，83. 4．(2012·镇江市期末考试)已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于点A ，B ，求PA ·PB 的值．解 由题意，直线经过点P (1,0)， 其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)， ①又椭圆方程为x 24＋y 2＝1，②将①代入②，整理，得5t 2－22t －6＝0； 所以PA ·PB ＝|t 1t 2|＝65.5．(2012·南京、盐城调研一，21)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，求直线l 被⊙C 截得的弦AB 的长度．解 ⊙C 的方程可化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，两边同乘ρ，则ρ2＝4ρcos θ＋4ρsinθ.由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0. 圆心C 的坐标为(2,2)，圆的半径r ＝2 2. 又由题设知直线l 的普通方程为x －y －2＝0， 故圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2|2＝ 2.∴弦AB 长度等于2222－22＝2 6.6．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线C 1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝22cos α，y ＝2sin α(α为参数)．(1)将C 1的方程化为直角坐标方程；(2)若C 2上的点Q 对应的参数为α＝3π4，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值．解 (1)x 2＋y 2－8y ＋15＝0.(2)当α＝3π4时，得Q (－2,1)，点Q 到C 1的圆心(0,4)的距离为13，所以PQ 的最小值为13－1.分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·泰州调研一)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l 被曲线C 截得的线段长度．解 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆，直线方程l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.2．(2012·南京调研二)在平面直角坐标系xOy 中，判断曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)与直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－t(t 为参数)是否有公共点，并证明你的结论．解 直线l 与曲线C 没有公共点．证明如下： 直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0，把曲线C 的参数方程代入l 的方程x ＋2y －3＝0，得 2cos θ＋2sin θ－3＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32.∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，而32∉[－2，2]，∴方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32无解，即曲线C 与直线l 没有公共点．3．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2ty ＝t －2(t 为参数)转化为普通方程为x ＋2y ＝0，因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R . 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45， 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2 105.4．(2013·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 解 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s 2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2. ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10 ∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.5．(2012·苏锡常镇调研)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数，t ∈R )交于两个不同的点A 、B .求证：OA ⊥OB .证明 曲线C 1的直角坐标方程是x －y ＝4， 曲线C 2的直角坐标方程是抛物线y 2＝4x . 联立以上两个方程，消去x ，得y 2－4y －16＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1.2＝2±2 5. ∴A (6－25，2－25)，B (6＋25，2＋25)． ∵k OA ·k OB ＝2－256－25×2＋256＋25＝4－2036－20＝－1，∴OA ⊥OB .6．已知圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)和定点A (0，3)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．(1)求经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的参数方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．解 (1)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ化为普通方程x 24＋y 23＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则直线AF 2的斜率k ＝－3，于是经过点F 1且垂直于直线AF 2的直线l 的斜率k ′＝33，直线l 的倾斜角是30°， 所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 30°，y ＝t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t －1，y ＝12t (t 为参数)．(2)直线AF 2的斜率k ＝－3，倾斜角是120°， 设P (ρ，θ)是直线AF 2上任一点， 则ρsi n 60°＝1sin120°－θ，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，则ρsin θ＋3ρcos θ＝ 3.。

高考数学一轮复习学案：12.3 几何概型（含答案）12.3几何概型几何概型最新考纲考情考向分析1.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.2.了解几何概型的意义.以理解几何概型的概念.概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何.线性规划.不等式的解集.定积分等知识交汇考查在高考中多以选择.填空题的形式考查，难度为中档.1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2在几何概型中，事件A的概率的计算公式PA构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点1无限性在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；2等可能性每个结果的发生具有等可能性4随机模拟方法1使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法2用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；计算频率fnAMN作为所求概率的近似值题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1在一个正方形区域内任取一点的概率是零2几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等3在几何概型定义中的区域可以是线段.平面图形.立体图形4随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率5与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关6从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P19.题组二教材改编2P137思考在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为A.12B.13C.14D1答案B解析坐标小于1的区间为0,1，长度为1，0,3的区间长度为3，故所求概率为13.3P140T1有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是答案A解析PA38，PB28，PC26，PD13，PAPCPDPB4P146B组T4设不等式组0x2，0y2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.4B.22D.44答案D解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是44，故选D.题组三易错自纠5在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m 的概率为56，则m________.答案3解析由|x|m，得mxm.当0|AC|”在AB上取点C使|AC||AC|，因为ACC是等腰三角形，所以ACC18030275，事件D发生的区域D907515，构成事件总的区域90，所以PDD159016.题型一题型一与长度.角度有关的几何概型与长度.角度有关的几何概型1某公司的班车在700，800,830发车，小明在750至830之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A.13B.12C.23D.34答案B解析如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P1*******，故选2.如图，四边形ABCD为矩形，AB3，BC1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________答案13解析因为在DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，则区域H为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为CABDAB309013.3在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为________答案23解析方程x22px3p20有两个负根，则有0，x1x20，x1x20，即4p243p20，2p0，3p20，解得p2或23p1，又p0,5，则所求概率为P3135103523.思维升华求解与长度.角度有关的几何概型的方法求与长度角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度角度，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域长度或角度题型二题型二与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型命题点1与平面图形面积有关的问题典例xx全国如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________答案8解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑S白12S圆2，所以由几何概型知，所求概率PS黑S 正方形248.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题典例由不等式组x0，y0，yx20确定的平面区域记为1，由不等式组xy1，xy2确定的平面区域记为2，若在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为______答案78解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率PS四边形OACDSOABSOABSBCDSOAB214278.命题点3与定积分交汇命题的问题典例如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数fxx2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________答案512解析由题意知，阴影部分的面积S214x2dx32114|3xx53，所以所求概率PSS矩形ABCD5314512.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解跟踪训练1xx全国从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，，xn，y1，y2，，yn，构成n个数对x1，y1，x2，y2，，xn，yn，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案C解析由题意得xi，yii1,2，，n在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知41mn，4mn，故选C.2xx石家庄调研在满足不等式组xy10，xy30，y0的平面内随机取一点Mx0，y0，设事件A“y02x0”，那么事件A发生的概率是A.14B.34C.13D.23答案B解析作出不等式组xy10，xy30，y0的平面区域即ABC，其面积为4，且事件A“y02x0”表示的区域为AOC，其面积为3，所以事件A发生的概率是34.3如图，在边长为ee为自然对数的底数的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________答案2e2解析由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S210eexdx2exex|102ee012.又该正方形的面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.题型三题型三与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型典例1已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC12VSABC的概率是A.78B.34C.12D.14答案A解析当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P11878.2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于16的概率为________答案12解析过点M作平面RS平面AC，则两平面间的距离是四棱锥MABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥MABCD的体积都相等若此时四棱锥MABCD的体积等于16，只要M在截面以下即可小于16，当VMABCD16时，即1311h16，解得h12，即点M 到底面ABCD的距离，所以所求概率P1*******2.思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积总空间以及事件的体积事件空间，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求跟踪训练xx湖南长沙四县联考如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是A14B.12C.4D112答案A解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是14，故选A.几何概型中的“测度”典例1在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是________2在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为A.14B.12C.34D.78错解展示1C90，CAM30，所求概率为309013.2当两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.错误答案1132B现场纠错解析1点M在直角边BC上是等可能出现的，“测度”是长度设直角边长为a，则所求概率为33aa33.2设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1.由题意知|xy|12，所以所求概率为P12121212134.答案1332C纠错心得1在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能2两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积。

几何概型一、选择题1．已知地铁列车每10 min 含在车站停车时间一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ， 故⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 4π22π-6π44π-12cm20cm x ，则线段CB 的长为12x -cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)20x x ->，解得210x <<。

又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23，故选C 答案2311．在区间[0,1]上任取两个数a ，b ，则关于的方程2＋2a ＋b 2＝0有实数根的概率为________． 解析 由题意得Δ＝4a 2－4b 2≥0， ∵a ，b ∈ [0,1]，∴a ≥b ∴错误!画出该不 等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为错误! 答案 错误!12．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠OT 内的概率为________．解析 如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠OT 内的概率为错误!＝错误!答案错误!三、解答题13．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解析弦长不超过1，即|OQ|≥错误!，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得＝{，|∈A，∈B}，在集合M内随机取出一个元素，．1求以，为坐标的点落在圆2＋2＝1上的概率；2求以，为坐标的点位于区域D：错误!内含边界的概率．解析1记“以，为坐标的点落在圆2＋2＝1上”为事件A，2＋2＝1上的点有0，－1，0,12个，即A包含的基本事件数为2，所以PA＝错误!＝错误!2记“以，为坐标的点位于区域内”为事件B，则基本事件总数为6，由图知位于区域D内含边界的点有：－2，－1，2，－1，0，－1，0,1，共4个，即B包含的基本事件数为4，故PB＝错误!＝错误!。