高中数学人教A必修5分层测评试题17 一元二次不等式及其解法 含解析

§3.2 一元二次不等式及其解法(一) 课时目标1．会解简单的一元二次不等式．2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ； (2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a . 2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：判别式 Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx＋c(a >0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c＝0(a >0)的根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠－b 2a } R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23. 2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}答案 D解析 由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0，∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，x ∈R .综上所述，－2<m ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．二、填空题7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表：X-3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________．答案 {x |x <－2或x >3}8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________．答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0， ∴－3≤x <－2或0<x ≤1.9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．答案 {x |x <1－52或x >1＋52} 解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， ∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52. ∴x 2－x －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题 11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2， ∴⎩⎨⎧－13＋2＝－b a －13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a . 所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3. 12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0.∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }．当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．【能力提升】13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1，即a i ·x (a i x －2)<0.又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i， 即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3. ∵2a 3>2a 2>2a 1>0 ∴0<x <2a 1. 14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0，化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1； 当－2<a <0时，2a≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a. 综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a 或x ≤－1； 当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

一元二次不等式及其解法【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax 2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{ x |x <x 1或x >x 2} ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{}x|x 1<x<x 2∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12，或x ＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6.(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． 解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x |1<x <6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】 解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )． 解：原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0∴－1a＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0，∴x ＞－1a或x ＜1.当a ＜－1时，－1a＜1，∴x ＞1或x ＜－1a，综上原不等式的解集是： 当a ＝0时，{x |x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a＜x ＜1；当a ＝－1时，{x |x ≠1}； 当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．[解] ∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)．【类题通法】1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0， 即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为{x |12＜x ＜1}．【练习反馈】1．不等式x (2－x )＞0的解集为( ) A ．{x |x ＞0} B ．{x |x ＜2} C ．{x |x ＞2或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x (x －2)＜0，故0＜x ＜2. 2．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}， 则M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x |x ≤－2或x ＞3}D ．{x |x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0} ＝{x |－4≤x ≤7}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}，∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，∴1＜x ＜3 答案：(1,3) 4．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________.解析：由题意可知－12，2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3. 答案：－2 3 5．解下列不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2＞2(x －1)．解：(1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

3.2 一元二次不等式及其解法第1课时 一元二次不等式及其解法课后篇巩固提升基础巩固1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(2,+∞) C.(-2,3) D.(-3,2)x 2+x-6>0,即(x+3)(x-2)>0,所以x>2或x<-3,即解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).2.已知集合M={x|0≤x<2},N={x|x 2-2x-3<0},则M ∩N=( ) A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x ≤1} D.{x|0≤x ≤2}N={x|x 2-2x-3<0}={x|-1<x<3},M={x|0≤x<2},所以M ∩N={x|0≤x<2}.3.若函数f (x )=x -4mx 2+4mx+3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A.(-∞,34)B.[0,34)C.(34,+∞) D.(-34,34)mx 2+4mx+3≠0对一切x ∈R 恒成立.当m=0时,显然成立;当m ≠0时,应有Δ=16m 2-12m<0,解得0<m<34.综上,实数m 的取值范围是[0,34).4.关于x 的不等式2x 2+ax-a 2>0的解集中的一个元素为1,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(12,+∞)D.(-1,12)x 的不等式2x 2+ax-a 2>0的解集中的一个元素为1,所以f (1)=2+a-a 2>0,即a 2-a-2<0,解得-1<a<2.5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x|x<1或x>2},则f (x-2)>0的解集为( ) A.{x|1<x<2} B.{x|3<x<4} C.{x|-1<x<0}D.{x|x<3或x>4}f (x )>0的解集为{x|1<x<2},则由f (x-2)>0可得1<x-2<2.即3<x<4.故f (x-2)>0的解集为{x|3<x<4}.6.二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表:则不等式ax 2+bx+c>0的解集是 .y=ax 2+bx+c (x ∈R )的草图如图.由图象得不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或x>3}.x|x<-2或x>3}7.若关于x 的不等式组{x -1>a 2,x -4<2a解集不是空集,则实数a 的取值范围是 .{x >1+a 2,x <4+2a ,要使不等式组的解集不是空集,应有a 2+1<4+2a ,即a 2-2a-3<0,解得-1<a<3.1<a<38.若关于x 的不等式m (x-1)>x 2-x 的解集为{x|1<x<2},则实数m 的值为 .1和2是关于x 的方程m (x-1)=x 2-x ,即x 2-(m+1)x+m=0的两根,所以{1+2=m +1,1×2=m ,解得m=2.9.解不等式0≤x 2-x-2≤4.{x 2-x -2≥0,x 2-x -2≤4.①②解①得x ≤-1或x ≥2; 解②得-2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x|x ≤-1或x ≥2}∩{x|-2≤x ≤3}={x|-2≤x ≤-1或2≤x ≤3}.10.已知函数y=√ax 2+2ax +1的定义域为R . (1)求a 的取值范围.(2)若函数的最小值为√22,解关于x 的不等式x 2-x-a 2-a<0.因为函数y=2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax+1≥0恒成立. 当a=0时,1≥0,不等式恒成立; 当a ≠0时,则{a >0,Δ=4a 2-4a ≤0,解得0<a ≤1. 综上,0≤a ≤1.(2)因为函数的最小值为√22,所以y=ax 2+2ax+1的最小值为12,因此4a -4a 24a=12,解得a=12.于是不等式可化为x 2-x-34<0,即4x 2-4x-3<0,解得-12<x<32.故不等式x 2-x-a 2-a<0的解集为{x |-12<x <32}.能力提升1.已知函数f (x )=(ax-1)(x+b ),如果不等式f (x )>0的解集是(-1,3),则不等式f (-2x )<0的解集是 ( )A.(-∞,-32)∪(12,+∞)B.(-32,12) C.(-∞,-12)∪(32,+∞)D.(-12,32)f (x )>0,即(ax-1)(x+b )>0.因为其解集是(-1,3),所以{a <0,1a =-1,-b =3,解得{a =-1,b =-3,于是f (x )=(-x-1)(x-3),所以不等式f (-2x )<0,即为(2x-1)(-2x-3)<0,解得x>12或x<-32.2.若关于x 的不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0,12]成立,则a 的最小值为( ) A.0B.-2C.-52D.-3ax ≥-(x 2+1),x>0,得a ≥-(x +1x ).∵x ∈(0,12],∴由y=x+1x 的单调性可知,y=x+1x 的最小值为12+2=52,∴a ≥-52.3.若关于x 的不等式3kx 2+k+8<(13)-6kx的解集为空集,则实数k 的取值范围是( )A.0<k<1B.0≤k<1C.0≤k ≤1D.0<k ≤13kx2+k+8<36kx ,即kx 2-6kx+k+8<0的解集为空集.若k=0,不等式即为8<0,解集为空集,符合题意;若k ≠0,要使不等式的解集为空集,应有{k >0,(-6k )2-4k (k +8)≤0,解得0<k ≤1.故实数k 的取值范围是0≤k ≤1.4.函数y=2的定义域为 .-x 2-3x+4>0,即x 2+3x-4<0,解得-4<x<1.故函数的定义域为(-4,1).-4,1)5.已知当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立,则m 的取值范围是 .f (x )=x 2+mx+4,要使x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx+4<0恒成立, 则有{f (1)≤0,f (2)≤0,即{1+m +4≤0,4+2m +4≤0.解得m ≤-5.-∞,-5]6.对于实数x ,当n ≤x<n+1(n ∈Z )时,规定[x ]=n ,则不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为 .t=[x ],则不等式化为4t 2-36t+45<0,解得32<t<152.而t=[x ],所以32<[x ]<152.由[x ]的定义可知x 的取值范围是2≤x<8,即不等式的解集为{x|2≤x<8}.x|2≤x<8}7.若关于x 的不等式ax 2+3x-1>0的解集是{x |12<x <1}. (1)求a 的值;(2)求不等式ax 2-3x+a 2+1>0的解集.由题意可知方程ax 2+3x-1=0的两个实数根为12和1,且a<0,则12+1=-3a ,12×1=-1a ,解得a=-2.(2)由(1)知不等式ax 2-3x+a 2+1>0即为-2x 2-3x+5>0,即2x 2+3x-5<0. 因为2x 2+3x-5=0有两根为x 1=1,x 2=-52, 所以不等式的解集为{x |-52<x <1}. 8.已知函数f (x )=x 2+ax+3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围; (2)当x ∈[-2,2]时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.f (x )≥a ,即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2.故a 的取值范围为-6≤a ≤2.(2)当x ∈[-2,2]时,设g (x )=x 2+ax+3-a. 分以下三种情况讨论:①当-a2≤-2,即a ≥4时,g (x )在[-2,2]上单调递增,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (-2)=7-3a ,因此{a ≥4,7-3a ≥0,无解; ②当-a2≥2,即a ≤-4时,g (x )在[-2,2]上单调递减,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (2)=7+a ,因此{a ≤-4,7+a ≥0,解得-7≤a ≤-4;③当-2<-a2<2,即-4<a<4时,g (x )在[-2,2]上的最小值为g (-a 2)=-a 24-a+3, 因此{-4<a <4,-a 24-a +3≥0,解得-4<a ≤2.综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2.。

高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。

[A 基础达标]1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23 解析：选 A.因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12. 2．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C.①显然不可能； ②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化2x 2－3x ＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.3．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞，则ab 等于( ) A ．－24B ．24C ．14D ．－14 解析：选 B.由已知可得－12，13是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋13＝－ba ，⎝⎛⎭⎫－12×13＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2，所以ab ＝24. 4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)解析：选B.由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，所以－2＜x ＜1.5．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A ．{x |x >5a 或x <－a }B ．{x |x <5a 或x >－a }C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选B.因为x 2－4ax －5a 2>0，所以(x －5a )(x ＋a )>0.因为a <－12，所以5a <－a .所以不等式的解为x >－a 或x <5a .故选B.6．不等式2x 2－x ＋1>0的解集是________．解析：由Δ＝1－4×2<0，则原不等式的解集为R .答案：R7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为________． 解析：原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，解得0<x <1. 答案：{x |0<x <1}8．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为________．解析：因为ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，所以⎩⎨⎧2a ＝－2，－b a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， 所以bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.答案：{x |x >1或x <－2}9．解下列不等式：(1)(5－x )(x ＋1)≥0；(2)9x 2－6x ＋1<0.解：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)因为Δ＝0，方程9x 2－6x ＋1＝0有两相等实根，x 1＝x 2＝13，所以不等式9x 2－6x ＋1<0的解集为∅.10．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1.(1)当m ＝1时，求不等式f (x )> 0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32，3，求m 的值．解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0，因此所求解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0，由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根， 因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝mm ＋132×3＝m m ＋1⇒m ＝－97.[B 能力提升]1．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：选A.因为α，β为f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．因为a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.2．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由题意解得32<[x ]<152，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以[x ]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x <8.答案：[2，8)3．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＜0.解：方程x 2－ax －2a 2＝0的判别式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；(2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ，此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2＜0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a ＞0时，{x |－a ＜x ＜2a }；当a ＜0时，{x |2a ＜x ＜－a }；当a ＝0时，∅.4．(选做题)(2016·广东云浮月考)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a .(1)当a ＝2时，求关于x 的不等式f (x )>0的解集；(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－3x＋2，因为f(x)>0，所以x2－3x＋2>0，令x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)因为f(x)<0，所以f(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)<0，令(x－a)(x－1)＝0，解得x1＝a，x2＝1，当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为空集；当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

高二数学一元二次不等式试题答案及解析1.对于实数，当且仅当时，，则不等式的解集是 .【答案】[【解析】解得，当且仅当时，，，所以解集是[.【考点】理解取整函数的定义.2.设函数，记不等式的解集为.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式是一个具体的一元二次不等式，应用因式分解法可求得其解集；（2）注意这个条件只能用于第(1)小问,而不能用于第(2)问,所以不能用第(1)小问的结果,来解第(2)问；不等式从而可得，然后由画出数轴，就可列出关于字母a的不等式组，从而求出a的取值范围．试题解析：（1）当时，，解不等式，得， 5分. 6 分（2），，又，，. 9分又，，解得，实数的取值范围是. 14分【考点】１．一元二次不等式；2．集合间的关系．3. (1)求不等式的解集：；(2)求函数的定义域：.【答案】(1)； (2)【解析】(1)根据解一元二次不等式的步骤，首先求方程，再结合函数的图象写出不等式的解；(2)已知解析式求函数的定义域，转化为解不等式，从而得到函数的定义域.试题解析：解：（1）解：原不等式等价于，令，得或所以原不等式的解为或，即原不等式的解集为(2)要使函数有意义，则，得不等式组的解为或，所以原不等式的解集为.所以函数的定义域为【考点】1、一元二次不等式的解法；2、分式不等式的解法；3、函数的定义域.4.设函数.（1）若不等式的解集为．求的值；（2）若求的最小值．【答案】（1）；（2）的最小值为9.【解析】（1）先根据不等式的解集为得出是方程的两个根，进而根据二次方程根与系数的关系得到，从中求解方程组即可；（2）先由条件得出，进而将变形为，应用基本不等式即可求出它的最小值，注意关注基本不等式的三个条件：一正、二定、三相等.试题解析：（1）根据题意，由于函数且不等式的解集，则说明是方程的两个根，那么二次方程根与系数的关系可得（2）由于，则可知所以当且仅当且即时成立，所以的最小值为9.【考点】1.二次不等式；2.基本不等式的应用.5.不等式组的解集是（）A．{x|0<x<1}B．{x|－1<x<1}C．{x|0<x<3}D．{x|－1<x<3}【答案】A【解析】因为所以选A.【考点】一元二次不等式组.6.若关于的不等式的解集为，则实数的值为____________.【答案】【解析】由已知得0和2是方程: 即的二实数根,所以有【考点】一元二次不等式.7.不等式的解集是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】画出对应二次函数的草图，如下图所示，是开口方向向上，与轴的交点分别是，应用口诀“小于取中间”写出解集，所以的解集为。

课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] D [因为(x －1)2>0， 由x ＋5(x －1)2≥2可得x ＋5≥2(x －1)2且x ≠1. 所以2x 2－5x －3≤0且x ≠1，所以－12≤x ≤3且x ≠1.所以不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]． 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( ) A ．M ∩N B ．M ∪N C ．∁R (M ∩N ) D ．∁R (M ∪N ) D [x ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．]3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}D [若a ＝0时符合题意，若a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D ．]4．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [利润S ＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)≥0，其中x >0，解得x ≥150.]5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)B [A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝ƒ(x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，ƒ(－3)＝6a ＋8>0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有ƒ(2)≤0且ƒ(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43.] 二、填空题6．不等式2x ＋13－x≥1的解集为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x <3 [原不等式可化为2x ＋13－x －1≥0.即3x －23－x ≥0.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －2)(x －3)≤0，x ≠3，得23≤x <3.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x <3.] 7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格为24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是________．3≤t ≤5 [由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×24 000×t %≥9 000，化简得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5.]8．若不等式x 2＋bx ＋1＜0无解，则b 的取值范围是________．[－2,2] [由题可知x 2＋bx ＋1≥0恒成立，∴Δ＝b 2－4≤0，得－2≤b ≤2.] 三、解答题9．解关于x 的不等式ax 2ax －1＞x (a ∈R )．[解] 原不等式⇔xax －1＞0⇔x (ax －1)＞0. 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ＞1a ， 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜0，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜0}．10．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系式为P ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂的月销售量为多大时，月获得的利润不少于1 300元？ (2)当月销售量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ [解] (1)设该厂的月获利为y ，依题意得：y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由y ≥1 300知－2x 2＋130x －500≥1 300，∴x 2－65x ＋900≤0， ∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45，∴当月销售量在20～45件之间时，月获利不少于1 300元． (2)由(1)知y ＝－2x 2＋130x －500＝－2(x －32.5)2＋1 612.5. ∵x 为正整数，∴x ＝32或33时，y 取得最大值为1 612元， ∴当月销售量为32件或33件时，可获得最大利润1 612元．[能力提升练]1．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立．则实数a 的取值范围为( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12C [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∵不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1，即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32，故选C.]2．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)A [法一：取x ＝－2，知符合x <1x<x 2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B 、C 、D ．法二：由题知，不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2<0，即(x 2－1)(x 3－1)x 2<0，从而(x －1)2(x ＋1)(x 2＋x ＋1)x2<0，解得x <－1，选A ．] 3．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 4 [∵(x －a )(x ＋1)>0与x －ax ＋1>0同解， ∴(x －a )(x ＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)， ∴4，－1是(x －a )(x ＋1)＝0的根， ∴a ＝4.]4．不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－15，3 [①若m 2－2m －3＝0，即m ＝3或－1， m ＝3时，原式化为－1<0，显然成立， m ＝－1时，原式不恒成立，故m ≠－1.②若m 2－2m －3≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0，Δ＝(m －3)2＋4(m 2－2m －3)<0，解得－15<m <3，∴m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－15，3.] 5．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．[解] (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图①所示，图①得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，即－56＜m ＜－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图②所示图②列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＞0，Δ≥0，0＜－m ＜1.⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1＜m ＜0.即－12＜m ≤1－ 2.。

学业分层测评（十七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．2个【解析】 根据一元二次不等式的定义知①②正确． 【答案】 D2．(2015·开封高二检测)二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0 C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0【解析】 结合二次函数的图象(略)，可知若ax 2＋bx ＋c <0，则⎩⎨⎧a <0，Δ<0.【答案】 D3．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a ，b 的值等于( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【解析】 因为不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－3a ，b ＝－2a ，所以a ＝－1，b ＝2.【答案】 C4．(2016·晋江高二检测)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (x )的图象为( )【解析】 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a <0，排除C ，D ，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.【答案】 B5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【解析】 由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12. 而f (10x )>0， ∴－1<10x <12，解得x <lg 12，即x <－lg 2. 【答案】 D 二、填空题6．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 【解析】 由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 【答案】 (－4,1)7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________.【导学号：05920075】【解析】f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．【答案】(－3,1)∪(3，＋∞)8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________．【解析】A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}．若B⊆A，如图，则a≤1.【答案】(－∞，1]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6>0；(2)－12x2＋3x－5>0.【解】(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3，或x<2}．(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0. 【解】 ∵原不等式等价于(x －m )(x －m －1)<0，∴方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的两根分别为m 与m ＋1. 又∵m <m ＋1.∴原不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．[能力提升]1．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a }C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 【解析】 方程两根为x 1＝a ，x 2＝1a ， ∵0<a <1，∴1a >a .相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a . 【答案】 A2．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)D ．(3，＋∞)【解析】 原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，b 1－a <x <b a ＋1，由题意知0<ba ＋1<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b1－a<－2.整理，得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a .∴a <3，从而有1<a <3.综上可得a ∈(1,3)．【答案】 B3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______． 【解析】 ∵2x 2－x ＜4， ∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0， ∴－1＜x ＜2.【答案】 {x |－1＜x ＜2}4．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．【解】 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54， 所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

高二数学一元二次不等式试题答案及解析1.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，即所以，故选D.【考点】一元二次不等式的解法.2. (1)求不等式的解集：；(2)求函数的定义域：.【答案】(1)； (2)【解析】(1)根据解一元二次不等式的步骤，首先求方程，再结合函数的图象写出不等式的解；(2)已知解析式求函数的定义域，转化为解不等式，从而得到函数的定义域.试题解析：解：（1）解：原不等式等价于，令，得或所以原不等式的解为或，即原不等式的解集为(2)要使函数有意义，则，得不等式组的解为或，所以原不等式的解集为.所以函数的定义域为【考点】1、一元二次不等式的解法；2、分式不等式的解法；3、函数的定义域. 3.下列不等式的解集是空集的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A：由恒成立，知其解集为R；对于B：由，所以解集不是空集；对于C：由其解集是空集.故选C.【考点】一元二次不等式.4.解关于的一元二次不等式.【答案】【解析】将一元二次函数化简整理成的形式，先求方程的两根，根据其图像写出原不等式的解。

试题解析：解答：∵，∴，∴，∴. 5分∵，∴不等式的解集为. 10分【考点】一元二次不等式。

5.某公司欲建连成片的网球场数座，用２８８万元购买土地２００００平方米，每座球场的建筑面积为１０００平方米，球场每平方米的平均建筑费用与所建的球场数有关，当该球场建ｎ座时，每平方米的平均建筑费用表示，且（其中），又知建５座球场时，每平方米的平均建筑费用为４００元．（1）为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应建几座网球场？（2）若球场每平方米的综合费用不超过８２０元，最多建几座网球场？【答案】（1）12;（2）18【解析】（1）根据球场建ｎ座时，每平方米的平均建筑费用表示，且（其中），又知建５座球场时，每平方米的平均建筑费用为４００元．所以可以求出的值，这样就求出每平方米的平均建筑费用的表达式.另外每平米的购地费用是总费用除以总的建筑面积.再通过应用基本不等式即可得到结论.本小题的关键是购地费用不是总费用除以购买了20000平方米，这也是易错点.（2）由（1）可知球场每平方米的综合费用的表达式，又球场每平方米的综合费用不超过８２０元，通过解不等式即可得到结论.试题解析：（1）设建成个球场，则每平方米的购地费用为，由题意知，则，所以.所以，从而每平方米的综合费用为（元）.当且仅当＝12时等号成立．所以当建成12座球场时，每平方米的综合费用最省． 8分（2）由题意得，即，解得：.所以最多建 18个网球场. 12分【考点】1.基本不等式的应用.2.二次不等式的解法.6.若关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为不等式的解集是空集，所以，即，从而有：或，故填：【考点】1、一元二次不等式的解法，2、一元二次方程、二次函数、一元二次方程的关系。

第三章一元二次不等式及其解法（必考题）含解析3.2 第1课时基础巩固一、选择题1．(2014·江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(綂R B )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)[答案] C[解析] 本题主要考查集合的运算，∵A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}，而綂R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩綂R B ＝{x |－3<x ≤－1}，选C ． 2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13}[答案] D[解析] 变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.3．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( ) A ．∅B ．RC ．{x |－13＜x ＜12}D ．{x ∈R |x ≠16}[答案] A[解析] ∵△＝－23＜0，开口向上， ∴3x 2－x ＋2＜0的解集为∅.4．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3} [答案] C[解析] 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0.∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4，或x ≥3.5．(2012·陕西文，1)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2][答案] C[解析] 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M ＝{x |x >1}，N ＝{x |－2≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{x |1<x ≤2}＝(1,2]．6．(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式x 2＋2x －3≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ≤－3或x ≥1} D ．{x |－3≤x ≤1} [答案] C[解析] 由x 2＋2x －3≥0，得(x ＋3)(x －1)≥0， ∴x ≤－3或x ≥1，故选C ． 二、填空题7．(2013·广东理，9)不等式x 2＋x －2<0的解集为________． [答案] {x |－2<x <1}[解析] 由x 2＋x －2<0，得(x ＋2)(x －1)<0， ∴－2<x <1，故原不等式的解集为{x |－2<x <1}． 8．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________． [答案] {x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜5}[解析] 由x 2－2x －3≥0得：x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3＜5得－2＜x ＜4， ∴－2＜x ≤－1或3≤x ＜4.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或3≤x <4}． 三、解答题9．解不等式：1＜x 2－3x ＋1＜9－x . [解析] 由x 2－3x ＋1＞1得，x 2－3x ＞0， ∴x ＜0或x ＞3；由x 2－3x ＋1＜9－x 得，x 2－2x －8＜0，∴－2＜x ＜4. 借助数轴可得：{x |x ＜0或x ＞3}∩{x |－2＜x ＜4} ＝{x |－2＜x ＜0或3＜x ＜4}．10．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，求－cx 2＋2x －a >0的解集．[解析] 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，知a <0，且－13和12是ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎨⎧－13×12＝c a，－13＋12＝－2a解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.所以－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0.解得－2<x <3.所以－cx 2＋2x －a >0的解集为{x |－2<x <3}.能力提升一、选择题1．不等式x 2－4x －5>0的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x >5或x <－1} C ．{x |－1<x <5} D ．{x |－1≤x ≤5}[答案] B[解析] 由x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1，故选B ．2．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x >3或x <－2}，则m 、n 的值分别是( ) A ．2,12 B ．2，－2 C ．2，－12 D ．－2，－12 [答案] D[解析] 由题意知－2,3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m 2，－2×3＝n 2，∴m ＝－2，n ＝－12. 3．函数y ＝log 12(x 2－1)的定义域是( ) A ．[－2，－1)∪(1，2] B ．[－2，－1)∪(1，2) C ．[－2，－1)∪(1,2] D ．(－2，－1)∪(1,2) [答案] A[解析] ∵log 12(x 2－1)≥0，∴0＜x 2－1≤1，∴1＜x 2≤2，∴1＜x ≤2或－2≤x ＜－1.4．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}且B A ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．1＜a ≤2 C ．a ＞2 D ．a ≤2[答案] A[解析] A ＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }， ∵B A ，∴a ≤1. 二、填空题5．不等式x 2－4x ＋5＜0的解集为________． [答案] ∅[解析] ∵Δ＝16－20＝－4<0， ∴方程x 2－4x ＋5＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式[答案] {x |x ＜－2或x ＞3}[解析] 由表知x ＝－2时y ＝0，x ＝3时，y ＝0. ∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又当x ＝1时，y ＝－6，∴a ＝1. ∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x <－2或x >3}． 三、解答题7．已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为(1,2)，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．[解析] 依题意，得方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集为1,2.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2， ∴不等式bx 2＋ax ＋1>0为2x 2－3x ＋1>0.∵方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝12，x 2＝1，∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为{x |x <12或x >1}．8．(2013·河南禹州高二期中测试)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ．(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． [解析] (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝(－1,3)．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2， ∴B ＝(－3,2)，∴A ∩B ＝(－1,2)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝04＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .第三章 3.2 第2课时基础巩固一、选择题1．(北京学业水平测试)不等式(x －1)(2x －1)<0的解集是( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |x <12或x >1}D ．{x |12<x <1}[答案] D[解析] 方程(x －1)(2x －1)＝0的两根为x 1＝1，x 2＝12，所以(x －1)(2x －1)<0的解集为{x |12<x <1}，选D ．2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2} [答案] D[解析] ∵N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |0≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ≤2}，故选D ．3．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12}D ．{x |x <13或x >12}[答案] D[解析] 由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |2<x <3}，知方程x 2＋ax ＋b ＝0的根分别为x 1＝2，x 2＝3.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝b ， 即a ＝－5，b ＝6.所以不等式bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0，解集为{x |x <13，或x >12}，故选D ．4．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}[答案] A[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0，x ＋1≠0，(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．5．若0＜t ＜1，则不等式x 2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( )A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t }[答案] D[解析] 化为(x －t )(x －1t )＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t.6．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞4 [答案] A[解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 二、填空题7．关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0的解集是________． [答案] {x |m <x <m ＋1}[解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1， 可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________． [答案] 0<a ≤4[解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0，a >0，∴0<a ≤4.三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x －13x ＋1>0； (2)ax x ＋1<0. [解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0. 当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x >0或x <－1，∴解集为{x |x >0，或x <－1}． 10．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解集为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1.综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}.能力提升一、选择题1．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜3[答案] A[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴△＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( ) A ．x ＞5a 或x ＜－a B ．x ＞－a 或x ＜5a C ．5a ＜x ＜－a D ．－a ＜x ＜5a[答案] B[解析] 化为：(x ＋a )(x －5a )＞0，相应方程的两根x 1＝－a ，x 2＝5a ∵a ＜0，∴x 1＞x 2.∴不等式解为x ＜5a 或x ＞－a . 3．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1][答案] D[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0x ≠0，解得－4≤x ≤1且x ≠0，故定义域为[－4,0)∪(0,1]．4．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[答案] A[解析] 由4x 2＋6x ＋3＝(2x ＋32)2＋34>0对一切x ∈R 恒成立，从而原不等式等价于2x 2＋2mx ＋m <4x 2＋6x ＋3(x ∈R )⇔2x 2＋(6－2m )x ＋(3－m )>0对一切实数x 恒成立 ⇔Δ＝(6－2m )2－8(3－m )＝4(m －1)(m －3)<0， 解得1<m <3. 二、填空题5．已知函数y ＝(m 2＋4m －5)x 2＋4(1－m )x ＋3对任意实数x ，函数值恒大于零，则实数m 的取值范围是__________．[答案] 1≤m <19[解析] ①当m 2＋4m －5＝0时，m ＝－5或m ＝1，若m ＝－5，则函数化为y ＝24x ＋3.对任意实数x 不可能恒大于0. 若m ＝1，则y ＝3＞0恒成立． ②当m 2＋4m －5≠0时，据题意应有，⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m －5＞016(1－m )2－12(m 2＋4m －5)＜0 ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－5或m ＞11＜m ＜19，∴1＜m ＜19. 综上可知，1≤m ＜19.6．不等式[(a －1)x ＋1](x －1)＜0的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________. [答案] 12[解析] 由题意x ＝2是方程(a －1)x ＋1＝0的根， 且a －1＜0，∴a ＝12.三、解答题7．解关于x 的不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.[解析] 原不等式⇔(x ＋3)(x －1)(x ＋2)(x －3)>0⇔(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)>0.令(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)＝0，则有x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝1，x 4＝3. 如图．由图可知，原不等式的解集为{x |x <－3或－2<x <1或x >3}． 8．当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2＋(a －1)x －1<0的解集是R?[解析] 由a 2－1＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，原不等式化为－1<0恒成立， ∴当a ＝1时，满足题意．当a ＝－1时，原不等式化为－2x －1<0，∴x >－12，∴当a ＝－1时，不满足题意，故a ≠－1.当a ≠±1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.综上可知，实数a 的取值范围是－35<a ≤1.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2 一元二次不等式及其解法（数学人教实验A 版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.设集合P ={m |-1＜m ＜0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx-4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（）A.P QB.Q PC.P ＝QD.P ∩Q =∅2.设U =R ，M ={x |x 2-2x ＞0}，则ðU M =（） A.[0，2] B.（0，2）C.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）3.不等式2x 2-x-1>0的解集是（）A.112⎛⎫- ⎪⎝⎭， B.（1，+∞）C.（-∞，1）∪（2，+∞）D.12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，∪（1，+∞） 4.设f (x )＝ +bx +1,且f (-1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集是（）A.（-∞，-1）∪（3，+∞）B.RC.{x |x ≠1}D.{x |x =1}二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f （x ）=21,0,1,0,x x x ⎧+≥⎨<⎩则满足不等式f （1-x 2）＞f （2x ）的x 的取值范围是.6．若 m 1 x 2 m 13 m 1 ＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是.三、解答题(共70分)7．（15分）已知不等式2x-1＞m （x 2-1）.若对于m ∈［-2，2］不等式恒成立，求实数x 的取值范围.8.（15分）已知当0≤x ≤1时，不等式 恒成立，求实数a 的取值范围.3.2 一元二次不等式及其解法（数学人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.3.2 一元二次不等式及其解法（数学人教实验A版必修5）参考答案一、选择题1.A 解析：（1）当m=0时，不等式mx2+4mx-4＜0化为-4＜0，对任意实数x恒成立，适合题意.当m≠0时，不等式mx2+4mx-4＜0为一元二次不等式，若使不等式mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，需满足m＜0，Δ=（4m）2+16m＜0，解得-1＜m＜0.综上可知，Q={m∈R|-1＜m≤0}，所以P Q，故选A.2.A 解析：由x2-2x＞0得x＞2或x＜0，∴ðU M =[0，2].3.D 解析：∵2x2-x-1=（2x+1）（x-1），∴由2x2-x-1>0得（2x+1）（x-1）>0，解得x>1或x<12-，∴不等式的解集为12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，∪（1，+∞）.4.C解析：由f(-1)＝f(3)知对称轴为直线x=1，则b=-2，∴f(x)＝221，∴f(x)＞0的解集是{x|x≠1}.二、填空题5.（-1-1）解析：当x=-1时，无解.当-1<x≤0时，1-x2＞0，f（1-x2）>f（2x）化为（1-x2）2+1>1，恒成立.当0<x≤1时，1-x2≥0，2x>0，f（1-x2）>f（2x）化为（1-x2）2+1>（2x）2+1，即1-x2>2x，（x+1）2<2，∴0<x-1.当1-x2<0时，无解.综上可知，-1<x-1.6.(-∞，-1311) 解析：(1)当m=-1时，不等式为2x-6＜0，即x＜3，不合题意.(2)当m≠-1时，m1＜0，Δ＜0，即m＜1，m124 m13 m1＜0，∴m＜1，m＞1或m＜1311，∴m＜-1311.三、解答题7.解：设f（m）=（x2-1）m-（2x-1）.由于m∈［-2，2］时，f（m）＜0恒成立，当且仅当(2)0,(2)0,ff<⎧⎨-<⎩即222210,2230,x xx x⎧--<⎨--+<⎩①②＜x ，解②得x x∴12-+＜x ＜12+，即所求x 的取值范围是{x |12-+＜x ＜12+}.8．解：设f (x ) ， ∵f (x )= 4224 ，∴函数f (x )图象的对称轴为直线x =2.(1)当2>1，即a >2时，f (x )在区间［0，1］上为增函数，∴f (x )在x =1处取得最大值 4 2，∴ 42≤-5，∴a ≤-1或a ≥1.又a >2，∴a >2. (2)当2<0，即a <0时，f (x )在区间［0，1］上为减函数，∴f (x )在x =0处取得最大值 4 2，∴ 42≤-5，∴a ≤-5或a ≥1.又a <0，∴a ≤-5.(3)当0≤ 2≤1，即0≤a ≤2时，f (x )在x = 2处取得最大值-4a ，∴ -4a ≤-5，∴a ≥ 54.又0≤a ≤2，∴ 54≤a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是a ≤-5或a ≥ 54.9.解：原不等式可变形为（x-a ）（x-a 2）＞0，方程（x-a ）（x-a 2）=0的两个根为x 1=a ，x 2=a 2. 当a ＜0时，有a ＜a 2，∴x ＜a 或x ＞a 2， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，∴x ＜a 2或x ＞a ， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a ＞1时，有a 2＞a ，∴x ＜a 或x ＞a 2， 此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}； 当a =0时，有x ≠0，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a =1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}. 综上可知：当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }； 当a =0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.10. 解：（1）当a=0时，原不等式可化为-x+1<0，即x>1；（2）当a≠0时，原不等式可化为a（x-1）1⎛⎫-⎪⎝⎭xa<0，①若a<0，则原不等式可化为（x-1）1⎛⎫-⎪⎝⎭xa>0，由于1a<0，则有1a<1，故解得x<1a或x>1；②若a>0，则原不等式可化为（x-1）1⎛⎫-⎪⎝⎭xa<0，则有ⅰ.当a>1时，则有1a<1，故解得1a<x<1；ⅱ.当a=1时，则有1a=1，故此时不等式无解；ⅲ.当0<a<1时，则有1a>1，故解得1<x<1a.综上分析，得原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<1a或x>1}；当a=0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a<x<1}.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一元二次不等式及其解法 同步练习(一)一．选择题1、不等式047223<--x x x 的解集为（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<4021x x x 或 B 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-421x o x x 或 C 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-421x x D 、φ 2、已知集合{}20<≤=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则N M =（ ）A 、{{}10<≤x xB 、{{}20<≤x xC 、{{}10≤≤x xD 、{{}20≤≤x x3、已知集合{}0232<--=x x x A ，{}0<-=a x x B ，且A B ⊄，则a 的取值 范围为（ ）A 、1≤aB 、21≤aC 、2 aD 、2≤a4、已知集合{}42<=x x M ，{}0322<--=x x x N ，则集合N M =（ ）A 、{}2-<x xB 、{}3>x xC 、{}21<<-x xD 、{}32<<x x5、不等式022≥+--x x 的解集为（ ）A 、{}12≥≤x x x 或B 、{}12<<-x xC 、{}12≤≤-x xD 、φ6、不等式01442≤++x x 的解集为（ ）A 、φB 、RC 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x xD 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21x x 7、不等式0122<+-x x 的解集为（ ）A 、φB 、RC 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121x x D 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠41x x 8、不等式052>++c x ax 解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131x x ，则a 、c 的值为（ ） A 、16==c a ， B 、16-=-=c a ，C 、61==c a ，D 、61-=-=c a ，9．若1x ，2x 是方程0622=+++a ax x 的两根，则2221)1()1(-+-x x 的 最小值是（ ）A ．449- B ．18 C ．8 D ．不存在 10．已知f(x ）＝（a x -）(b x -)＋2，且是α、β方程f(x )＝0的两根，则βα,,,b a 的大小关系是（ ）A ．a ＜α＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．α＜a ＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b二．解答题11．m 为何值时，方程0)3(2=+-+m x m x 的两个根都是正数．12. 求函数)47lg(27152x x x y ---+=的定义域．答案：1、A2、B 3、A 4、C 5、C 6、D 7、A 8、B 9、C 10、B11、0＜m ≤112、[47,23 ]。

一元二次不等式及其解法(复习课) 【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】解下列不等式(1)错误!<0；(2)错误!≤2。

[解］(1)由x＋21－x〈0,得错误!>0，此不等式等价于(x＋2)（x－1）〉0，∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．（2）法一：移项得错误!－2≤0，左边通分并化简有错误!≤0，即错误!≥0，它的同解不等式为错误!∴x〈2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5｝．法二：原不等式可化为错误!≥0，此不等式等价于错误!①或错误!②解①得x≥5，解②得x<2,∴原不等式的解集为{x｜x<2或x≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【对点训练】1．解下列不等式：(1）错误!≥0；（2)错误!〉1。

解：（1)原不等式等价于｛(x＋2)(3－x)≥0，3－x≠0，即错误!⇒－2≤x〈3.∴原不等式的解集为｛x|－2≤x<3｝．(2)原不等式可化为错误!－1〉0，即错误!〈0.等价于(3x－2）（4x－3）〈0.∴23<x〈错误!。

∴原不等式的解集为｛x|错误!〈x<错误!}。

题型二、不等式中的恒成立问题【例2】关于x的不等式（1＋m）x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．［解］原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，对x∈R恒成立，当m＝0时,0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．当m≠0时，由题意，得错误!⇔错误!⇔错误!⇔m＜0。

综上，m的取值范围为m≤0。

【类题通法】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为错误!一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为错误!一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅的条件为错误!【对点训练】2．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．解：当a＝0时,原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R,只需错误!解得a＞错误!。

一元二次不等式一．解不等式1.解一元二次不等式的步骤①将2x 的系数变为正（利用开口向上的二次函数的性质来解不等式） ②不等式若能因式分解，则用口诀“大于去两边，小于取中间”③不等式若不能因式分解，则判断∆，⎩⎨⎧>∆<≥≤∆求出根，再用口诀，用求根公式或者配方无解恒成立，不等式，不等式00002.分式不等式移项通分，化为整式不等式， 如0)(0011>-⇒>-⇒>-⇒>a b a a a b a b a b ， 注意：00≥⇔≥ab ab且0≠a 3.高次不等式（穿轴法）将因式中所有的x 的系数化为正，在数轴上标根，从右上方往下穿，奇穿偶不穿（因式的次数） 巩固练习1.一元二次不等式0622≥-+x x 的解集为（ ） A ．),23[]2,(+∞--∞YB ．]23,2[- C ．),2[]23,(+∞--∞YD ．]2,23[-2.函数)32(log )(22-+=x x x f 的定义域是（ ） A ．),1[]3,(+∞--∞Y B ．]1,3[-C ．),1()3,(+∞--∞YD ．)1,3(-3.不等式21≥x的解集为（ ） A ．),21[)0,(+∞-∞YB ．]21,0(C ．),21[]0,(+∞-∞YD ．]21,0[4.不等式0162>---x x x 的解集为（ ）A ．}3,2{>-<x x x 或B ．}31,2{<<-<x x x 或C ．}3,12{><<-x x x 或D ．}31,12{<<<<-x x x 或5.不等式0652≥+-x x 的解集为6.不等式0232<-+x x 的解集为7.不等式0432>+--x x 的解集为二．根据不等式的解求值求参数一元二次不等式解集的端点为不等式0=的根，结合韦达定理求解若)0(02><++a c bx ax 的解集为),(21x x ，则21,x x 为02=++c bx ax 两根，ac x x a b x x =-=+2121， 巩固练习1.不等式022>+-mx x 的解集为}21{><x x x 或，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．3-C ．1D ．32.已知不等式02≤++b ax x 的解集为]32[，，则=+b a （ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23.关于x 的不等式)0(08222><--a a ax x 的解集为),(21x x ，且1512=-x x ，则=a （ ） A ．25B ．27 C ．415 D ．215 4.关于x 的不等式032<-+ax x 的解集为)1,3(-，则不等式032<-+x ax 的解集为（ ） A ．)2,1(B ．)2,1(-C ．)1,21(-D ．)1,23(-5.关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(-，则不等式02>--c ax bx 的解集为（ ） A ．)2,1(- B ．)1,2(- C ．),1()2,(+∞--∞Y D ．),2()1,(+∞--∞Y6.已知不等式02>++c bx ax 的解集是)(βα，)0(>α，则不等式02>++a bx cx 的解集是（ ） A ．)1,1(αβ B ．)(βα， C ．),1()1,(+∞-∞αβY D ．),(),(+∞-∞βαY7.若关于x 的不等式02)2(<++-m x m x 的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．]7,6(B ．)7,6(C ．)7,6[D ．),6(+∞8.关于x 的不等式0)1(2<++-a x a x 的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)4,3[]1,2(Y -- B ．]4,3[]1,2[Y -- C ．]4,3()1,2[Y --D ．)4,3()1,2(Y --9若关于x 的不等式032<+-mx x 的解集是)31(，，则实数m 的值为10.已知函数b ax x x f ++-=2)(的值域为]0,(-∞，若关于x 的不等式1)(->c x f 的解集为),4(m m -,则实数c 的值为三．一元二次不等式恒成立与有解问题 1.在R 恒成立或有解主要考虑∆的正负问题，数形结合，有解无解问题转化为恒成立问题思考，注意对2x 的系数讨论 （1）若不等式0442>++ax x 的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)0,8(-B ．]0,8(-C ．)0,(-∞D ．)8,8(-（2）若不等式012≤-+ax ax 的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．40≤≤aB ．04<<-aC ．04≤≤-aD ．04<≤-a（3）已知关于x 的不等式01)2()4(22≥--+-x a x a 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]56,2[- B ．)56,2[- C ．]2,56(-D ．]2,2[-（4）已知关于x 的不等式022<+-a ax x 在R 上有解，则实数a 的取值范围是 2.在某个区间上恒成立或有解①若函数)0(0)(2><++=a c bx ax x f 在],[n m 恒成立，只需端点满足，即⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f②若函数)0(0)(2>>++=a c bx ax x f 在],[n m 恒成立，则需讨论对称轴abx 2-=与区间],[n m 的位置关系，分对称轴在区间左中右三种情况讨论找最小值③恒成立问题求参数也可以参变分离求参数，有解问题依旧可以转换为恒成立问题 （1）若关于x 的不等式0232<-ax x 在)3,1(内恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A.]3,(-∞ B.),29[+∞ C.)29,3( D.)3,0(（2）当0>x 时，不等式042≥+-ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.]4,4[-B.),4[+∞C.]4,(--∞D.]4,(-∞（3）若关于x 的不等式042>--a x x 在41<<x 内有解，则实数a 的取值范围（ ） A ．3-<aB ．0<aC ．4-<aD ．4-≤a（4）已知关于x 的不等式0322<+-a x ax 在]2,0(上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)33,(-∞ B ．)74,(-∞C ．),33(+∞ D ．),74(+∞（5）若不等式012>-+-k kx x 对)2,1(∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是四．一元二次方程根的分布问题 ①韦达定理ac x x a b x x =-=+2121， 0>∆的情况下，两个正根⎩⎨⎧>>+⇒002121x x x x ，两个负根⎩⎨⎧><+⇒002121x x x x ，一正一负021<⇒x x ②根在某个区间，判断端点值的正负，数形结合1.已知方程0122=++x ax 至少有一个负根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0(B ．)1,(-∞C ．]1,(-∞D ．]1,0()0,(Y -∞2.方程05)2(2=++++m x m x 只有正根，则m 取值范围是（ ） A ．4-≤m 或4≥mB ．45-≤<-mC ．45-≤≤-mD ．25-<<-m3.方程032=+-ax x 一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),4(+∞B ．)4,(-∞C ．)2,(-∞D ．),2(+∞4.方程0122=+-ax x 的两根分别在)1,0(与)3,1(内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．351<<a B ．135<<-a C ．351<<-a D ．1<a 或35>a 5.方程05)2(2=-+--a x a x 的两根都大于2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2-<aB ．25-<<-aC ．45-≤<-aD ．4-<a 或4>a6.关于x 的方程04)1(2=+--x a x 在区间]3,1[内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)5,4( B ．)6,3[C ．]316,5( D ．)6,316[五．解含参不等式看是否能因式分解，如果能，确定开口方向并讨论根的大小，如果不能，讨论∆ 1.若R a ∈，解关于x 的不等式01)1(2>+++x a ax ．六．综合训练1.已知关于x 的不等式02<++c bx x 的解集为)3,2( （1）求c b ，的值；（2）求不等式012≤+-bx cx 的解集2.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx （1）若不等式的解集为)1,23(-，求k 的值； （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．3.已知函数1)1()(2++-=x aa x x f （1）若不等式0)(<x f 的解集为}221{<<x x，求a 的值； （2）当0>a 时，解关于x 的不等式0)(≥x f4.设函数n mx x x f ++=2)(，已知不等式0)(<x f 的解集为}41{<<x x （1）求n m ，的值（2）若ax x f ≥)(对任意的0>x 恒成立，求a 的取值范围.参考答案 一1-4 ADBC 5.),3()2,(+∞-∞Y 6.)32,1(- 7.)1,4(- 二1-5 DBADC 6-10 AAC ，4，3- 三．1.（1）-（4） DCC ，),8()0,(+∞-∞Y2.（1）-（5）BDBA ，]2,(-∞ 四1-6 CBAACC 六1.（1）6,5=-=c b （2）]31,21[-- 2.（1）81=k （2）]0,3(- 3.（1）2=a （2）略 4.（1）4,5=-=n m （2）1-≤a。

第三章不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时一元二次不等式解法（习题课）A级基础巩固一、选择题1．不等式4x2≥4x－1的解是()A．全体实数B．∅C．x≠12D．x＝12解析：4x2≥4x－1⇒4x2－4x＋1≥0⇒(2x－1)2≥0⇒x∈R. 答案：A2．不等式x－1x2－4＞0的解集是()A．(－2，1) B．(2，＋∞)C．(－2，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：x－1x2－4＞0⇔(x－1)(x2－4)＞0⇔(x－1)(x－2)(x＋2)＞0，设f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋2)，则f(x)的三个零点是－2，1，2.其示意图为：故原不等式的解集为{x|－2＜x＜1或x＞2}．答案：C3．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤34或x ＞2 D ．{x |x ＜2}解析：3x －12－x ≥1⇔3x －12－x －1≥0⇔4x －32－x ≥0⇔x －34x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34（x －2）≤0，x －2≠0，解得：34≤x ＜2. 答案：B4．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( ) A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2} B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：由题意知，一元二次不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12.而f (10x )＞0，所以－1＜10x ＜12，解得x ＜lg 12，即x ＜－lg 2. 答案：D5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1（x ＜2），log 3（x 2－1）（x ≥2），则不等式f (x )＞2的解集为( )A ．(1，2)∪(3，＋∞)B ．(1，2)∪(10，＋∞)C ．(10，＋∞)D ．(1，2)解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1（x ＜2），log 3（x 2－1）（x ≥2）.所以不等式f (x )＞2等价于不等式组⎩⎨⎧x ＜2，2e x －1＞2，或⎩⎨⎧x ≥2，log 3（x 2－1）＞2.分别解得1＜x ＜2，x ＞10.答案：B二、填空题6．若x ∈R ，不等式ax 2＋4x ＋4≥－2x 2＋1恒成立，则实数a 的范围是________．解析：不等式ax 2＋4x ＋4≥－2x 2＋1恒成立，⇔(a ＋2)x 2＋4x ＋3≥0恒成立．⇔ ⎩⎨⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4×3×（a ＋2）≤0⇒a ≥－23， 故所求实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥－23. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥－23 7．偶函数y ＝f (x )和奇函数y ＝g (x )的定义域均为[－4，4]，f (x )在[－4，0]，g (x )在[0，4]上的图象如图所示，则不等式f （x ）g （x ）＜0的解集为______________．解析：由已知得当x ∈(－4，－2)∪(2，4)时，f (x )＞0，当x ∈(－2，2)时，f (x )＜0，当x ∈(－4，0)时，g (x )＞0，x ∈(0，4)时，g (x )＜0.所以当x ∈(－2，0)∪(2，4)时，f （x ）g （x ）＜0.所以不等式f （x ）g （x ）＜0的解集为{x ∈R|－2＜x ＜0或2＜x ＜4}．答案：{x ∈R|－2＜x ＜0或2＜x ＜4}8．关于x 的方程x 2m＋x ＋m －1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m 的取值范围是________．解析：若方程x 2m＋x ＋m －1＝0有一个正实根和一个负实根，则有⎩⎨⎧m ＞0，m －1＜0，或⎩⎨⎧m ＜0，m －1＞0.所以0＜m ＜1或∅.答案：(0，1)三、解答题9．已知一元二次不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.求m 的取值范围．解：因为y ＝(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4为二次函数，所以m ≠2. 因为二次函数的值恒大于零，即(m －2)x 2＋2(m －2)x ＋4＞0的解集为R.所以⎩⎨⎧m －2＞0，Δ＜0，即⎩⎨⎧m ＞2，4（m －2）2－16（m －2）＜0，解得：⎩⎨⎧m ＞2，2＜m ＜6.所以m 的取值范围为{m |2＜m ＜6}．10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋3，解关于a 的不等式f (1)≥0. 解：f (1)＝－3＋a (6－a )＋3＝a (6－a )，因为f (1)≥0，所以a (6－a )≥0，a (a －6)≤0，方程a (a －6)＝0有两个不等实根a 1＝0，a 2＝6，由y ＝a (a －6)的图象，得不等式f (1)≥0的解集为{a |0≤a ≤6}．B 级 能力提升1．若实数α，β为方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为( )A ．8B ．14C ．－14D ．－494解析：因为Δ＝(－2m )2－4(m ＋6)≥0，所以m 2－m －6≥0，所以m ≥3或m ≤－2.(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝(2m )2－2(m ＋6)－2(2m )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －342－494，因为m ≥3或m ≤－2，所以当m ＝3时，(α－1)2＋(β－1)2取最小值8.答案：A2．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．解析：设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x .第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为 4（x －8）x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －8－4（x －8）x 升． 依题意，得x －8－4（x －8）x≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.解得103≤x ≤403. 又x ＞8，所以8＜x ≤403. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤8，403 3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A (t 1，y 1)、B (t 2，y 2)两点，且满足a 2＋(y 1＋y 2)a ＋y 1y 2＝0.(1)求证：y 1＝－a 或y 2＝－a ；(2)求证：函数f (x )的图象必与x 轴有两个交点．证明：(1)因为a 2＋(y 1＋y 2)a ＋y 1y 2＝0，所以(a ＋y 1)(a ＋y 2)＝0，得y 1＝－a 或y 2＝－a .(2)当a ＞0时，二次函数f (x )的图象开口向上，图象上的点A 或B 的纵坐标为－a ＜0，所以图象与x 轴有两个交点；当a ＜0时，二次函数f(x)的图象开口向下，图象上的点A或B的纵坐标为－a＞0，所以图象与x轴有两个交点．故二次函数f(x)的图象与x轴有两个交点．。

一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x ＞0，若f (x )≥1，则x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：将原不等式转化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，2x －1≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2≥1.从而得x ≥1或x ≤－1.答案：D2．不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |2<x <3}，则bx 2－ax －1>0的解集为( ) A ．{x |2<x <3}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13D.{}x |－3<x <－2解析：由题意知2,3是方程x 2－ax －b ＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a ，2×3＝－b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6.∴不等式bx 2－ax －1>0为－6x 2－5x －1>0，即6x 2＋5x ＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13.答案：C3．(2009·天津)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x ＋6＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0x ＋6＞3，所以不难解得原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：A4．(2009·山东)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案：B 二、填空题5．若－1＜a ＜0，则不等式(x －a )(ax －1)＜0的解集为________． 解析：∵－1＜a ＜0，∴(x －a )(ax －1)＜0⇔(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，又a ＞1a，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞a6．已知函数f (x )＝(x －2)x 2－2x －3，则不等式f (x )≥0的解集是________．解析：f (x )≥0等价于x 2－2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＞0，x －2≥0.解之得x ≥3或x ＝－1. 答案：{x |x ≥3或x ＝－1}7．(2010·辽宁丹东调研)若x ∈R，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，则a 的范围是________． 解析：∵(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＞0，42－4(a ＋2)(a －1)≤0，①②由①得a ＞－2，由②得a ≤－3或a ≥2. 故a ≥2. 答案：[2，＋∞) 三、解答题8．解关于x 的不等式x 2－x ＋3x 2＋ax＞0(a ≠0)．解：∵x 2－x ＋3＞0，对x ∈R 恒成立， ∴原不等式等价于x 2＋ax ＞0，即x (x ＋a )＞0. 又a ≠0，∴当a ＜0时，解得x ＜0或x ＞－a .当a ＞0时，解得x ＜－a 或x ＞0.综上，当a ＜0时，原不等式的解集为{x |x ＜0或x ＞－a }； 当a ＞0时，原不等式的解集为{x |x ＜－a 或x ＞0}．9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞x 的解集为(1,2)，若f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围． 解：∵不等式f (x )＞x 的解集为(1,2)， ∴设f (x )－x ＝a (x －1)(x －2)，且a ＜0. ∴f (x )＝ax 2＋(1－3a )x ＋2a (a ＜0)． 因此f (x )max ＝8a 2－(1－3a )24a ＝－a 2＋6a －14a .依题意－a 2＋6a －14a ＞1且a ＜0，解之得a ＜0.因此实数a 的取值范围是(－∞，0)．10．(2010·安徽铜陵调研)国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策， 现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税， 每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销售收入将减少10R 万瓶，要使每 年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R 应怎样确定？解：设产销量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·R % 万元，其中x ＝100－10R .由题意，得70(100－10R )R %≥112， 整理，得R 2－10R ＋16≤0.∵Δ＝36>0，方程R 2－10R ＋16＝0的两个实数根为R 1＝2，R 2＝8.然后画出二次函数y ＝R 2－10R ＋16的图象，由图象得不等式的解为：2≤R ≤8. ∴当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．1．(2010·创新题)定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，实数x 满足⎪⎪⎪⎪x x1 x ≥2，则x 的取值范围是( )A ．x ≤－1或x ≥2B ．－1≤x ≤2C ．x ≤－2或x ≥1D ．－2≤x ≤1解析：由题意得⎪⎪⎪⎪x x 1 x ＝x 2－x ，∴⎪⎪⎪⎪x x 1 x ≥2同解于x 2－x －2≥0，解之得x ≤－1或x ≥2.答案：A2．(★★★★)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ＜0)－x (x ≥0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x (x ≤0)1＋x (x ＞0)，若g [f (x )]≥a恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：①当x ≥0时，f (x )＝－x ≤0，∴g [f (x )]＝g (－x )＝1－(－x )＝1＋x ，∴g [f (x )]min ＝1，又∵g [f (x )]≥a ，∴a ≤1；②当x ＜0时，f (x )＝x 2＞0，∴g [f (x )]＝g (x 2)＝1＋x 2； ∴g [f (x )]min ＝g [f (0)]＝1，由g [f (x )]≥a 恒成立，得a ≤1. 答案：a ≤1。

学习成果测评基础达标：1．不等式x 2－ax －12a 2＜0（其中a ＜0）的解集为（ ） A ．（－3a ，4a ） B ．（4a ，－3a ） C ．（－3，－4） D ．（2a ，6a ）2x 的取值范围是（ ） A ．1{|1}2x x x ≥≤-或 B ．1{|1}2x x -≤≤ C ．1{|1}2x x x ≥≤-或 D ．1{|1}2x x -≤≤ 3．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（ ） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－6 4．解不等式220ax bx ++>得到解集11{|}23x x -<<，那么a b +的值等于( ) (A)10 (B)-10 (C)14 (D)-145．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ） A ．{|23}x x << B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<-6．抛物线y=－x 2+5x －5上的点位于直线y=1的上方，则自变量x 的取值范围是________。

7．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________。

8.解下列不等式(1) 14-4x 2≥x ； (2) x 2+x+1>0；(3) 2x 2+3x+4<0； （4）23620x x -+<；（5）2223x x ->--；（6）01442>+-x x ；（7）0322>-+-x x 9．已知不等式ax 2－3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}。

（1）求a ，b ；（2）解不等式ax 2－(ac+b)x+bc ＜0。