江苏省南化一中高三数学二轮复习 3、三角应用与综合学案

§4.8三角函数的综合应用【复习目标】理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联系起来； 三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。

【课前预习】⊿ABC 的内角满足t a n s i n 0A A -<，c o s s i n 0A A +>，则A 的范围是 。

若111c o s s i n θθ-=，则sin2θ= 。

由函数52s i n 3()66y x x ππ=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 。

已知()f x 是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，那么不等式()c o s 0f x x <的解集是 （ ）A ．()()0,12,3⋃B ．(1,)(,3)22ππ⋃ C ．()0,1,32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ．()()0,11,3⋃函数|s i n |,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是 （ ）【典型例题】例1 已知函数2()s i n s i n fx x x a =-++.（1） 当()0f x =有实数解时，（2） 求a 的取值范围； （3） 若x R ∈，（4） 有171()4f x ≤≤，（5） 求a 的取值范围。

例2 （2003上海卷·22）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()f x T +=T ·()f x 成立.（1）函数()f x = x 是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()f x =a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：()f x =a x ∈M ；（3）若函数()f x =sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.【本课小结】【课后作业】（2004北京春·16）在∆A B C 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c成等比数列，且a c a c b c 22-=-，求∠A 的大小及b Bc sin 的值。

专题一 三角江苏 新高考新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值见2014年三角解答题，第二类是给出在三角形中见2011年、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见2013年、2017年三角解答题.而2012年三角解答题则是二、三类的混合.第1课时三角函数(基础课)[常考题型突破]三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [题组练透]1．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝ ________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：752．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________.解析：∵sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π， ∴cos α＝－45，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 答案：－2103．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－434．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________.解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.答案：33[方法归纳]三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)升次与降次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．三角函数的图象与解析式 [必备知识]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A A ＞0倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [题组练透]1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．答案：2π32.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝－3sin π2x ，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 33.(2017·天津高考改编)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ，∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案：23 π124．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为______．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 成立，知f (x 1)，f (x 2)分别是函数f (x )的最小值和最大值．又要使|x 1－x 2|最小，∴|x 1－x 2|的最小值为f (x )的半个周期，即为2.答案：2 [方法归纳] 1已知函数y ＝A sin ωx ＋φA ＞0，ω＞0的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A ，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.2对于函数图象的平移问题，一定要弄清楚是由哪个函数图象平移到哪个函数图象，这是判断移动方向的关键点，否则易混淆平移的方向，导致结果出错.三角函数的性质1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)； y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z)，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数．[题组练透]1．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析：周期T ＝2π2＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin 2π3＝ 3.答案：π32．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：13．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的单调递增区间为________．解析：依题意知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．因此，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 [方法归纳]|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)三角函数最值(值域)的求法在求最值(值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．正弦定理和余弦定理 1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[题组练透]1．(2017·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°2．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC ＝________.解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC ×sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3×cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：73．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：2113[方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为________．解析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10πx －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－122．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点P (－2，t )，且sin θ＋cos θ＝55，则实数t 的值为________．解析：∵角θ的终边经过点P (－2，t )， ∴sin θ＝t4＋t2，cos θ＝－24＋t2，又∵sin θ＋cos θ＝55， ∴t4＋t2＋－24＋t2＝55，即t －24＋t2＝55， 则t ＞2，平方得t 2－4t ＋44＋t 2＝15， 即1－4t 4＋t 2＝15，即4t 4＋t 2＝45，则t 2－5t ＋4＝0，则t ＝1(舍去)或t ＝4. 答案：43．(2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝____________.解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －φ＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12. 答案：5π124．设函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．解析：由条件得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12ω＋π3＝1，又0＜x ＜π，ω＞0，故π12ω＋π3＝π2，ω＝2.答案：25．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，∴b 2＝a 2＋c2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4.答案：46．(2017·扬州期末)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝130<α<π2，则sin(π＋α)＝________.解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，所以π3<π3＋α<5π6，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝223，所以sin(π＋α)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋2π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos 2π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin 2π3＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋13×32＝3－226.答案：3－2267．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－798．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.解析：∵在△ABC 中，A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，bc＝1. 答案：19．若f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.解析：因为f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ－π6为偶函数，所以θ－π6＝k π＋π2，k ∈Z.即θ＝k π＋2π3.因为－π2≤θ≤π2，所以θ＝－π3. 答案：－π310．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝________.解析：根据题意得，sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝22(sin B ＋cosB )＝22×75＝7210，由a sin A ＝c sin C ，得5sinπ4＝c 7210，解得c ＝7. 答案：711．(2017·无锡期末)设f (x )＝sin 2x －3cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为________．解析：f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，令k ＝0，得－π6≤x ≤π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π312．函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．解析：易知函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)的最大值为a ，最小值为－a ，最小正周期T ＝2πa，所以相邻的最高点与最低点的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫πa 2＋4a 2≥2×πa×2a ＝2π，当且仅当πa ＝2a ，即a ＝2π2时等号成立．答案：2π13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2017·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cosα，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4[B 组——力争难度小题]1．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2017·南京考前模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是单调函数，则ω的取值集合为____________．解析：f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6，因为f (x )的图象关于直线x ＝2π对称， 所以f (2π)＝±1，则2πω－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k 2＋13，k ∈Z.因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是单调函数， 所以最小正周期T ≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4， 即2πω≥π，解得0＜ω≤2，所以ω＝13或ω＝56或ω＝43或ω＝116.当ω＝13时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，13x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12，此时f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上为增函数；当ω＝56时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，56x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π24，此时f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝43时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，43x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，此时f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上为增函数；当ω＝116时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，116x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π8，7π24，此时f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数； 综上，ω∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，43.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，433．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，则tanA ＝________.解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－A －π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：14．已知函数f (x )＝A sin(x ＋θ)－cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 2(其中A 为常数，θ∈(－π，0))，若实数x 1，x 2，x 3满足：①x 1＜x 2＜x 3，②x 3－x 1＜2π，③f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则θ的值为________．解析：函数f (x )＝A (sin x cos θ＋cos x sin θ)－cos x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x 2＋12sin x 2＝A (sin x cosθ＋cos x sin θ)－32×1＋cos x 2－14sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A cos θ－14sin x ＋⎝⎛⎭⎪⎫A sin θ－34cos x －34，故函数f (x )为常数函数或为周期T ＝2π的周期函数．又x 1，x 2，x 3满足条件①②③，故f (x )只能为常数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧A cos θ－14＝0，A sin θ－34＝0，则tan θ＝3，又θ∈(－π，0)，故θ＝－2π3.答案：－2π3第2课时平面向量(基础课)[常考题型突破]平面向量的概念及线性运算 (1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向被减向量．(3)A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→，且λ＋μ＝1.(4)C 是线段AB 中点的充要条件是OC ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．G 是△ABC 的重心的充要条件为GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0.[题组练透]1．(2017·盐城期中)设向量a ＝(2，－6)，b ＝(－1，m )，若a ∥b ，则实数m ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以2m －(－1)×(－6)＝0，所以m ＝3. 答案：32．(2017·镇江模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝________.解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3. 答案：33.(2017·南京考前模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系如图所示，设B (2,0)，C (1，t )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，N (x 0，y 0)，因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)，即y 0＝t (2－x 0)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，即t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12λ，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4⎝⎛⎭⎪⎫1λ＋3μ＝(3λ＋4μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27,所以1λ＋3μ≥274当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法归纳](1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．平面向量的数量积 [必备知识]1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [题组练透]1．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e 1－e 2·e 1＋λe 2|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：332．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 33．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4. 答案：－44．(2017·南京、盐城二模)已知平面向量AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)，则AB ―→·CD ―→的最小值为________．解析：设A (a ，b )，B (c ，d )， ∵AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)， ∴C (a ＋1，b ＋2)，D (c －2，d ＋2)，则AB ―→＝(c －a ，d －b )，CD ―→＝(c －a －3，d －b )，∴AB ―→·CD ―→＝(c －a )(c －a －3)＋(b －d )2＝(c －a )2－3(c －a )＋(b －d )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a －322－94＋(b －d )2≥－94. ∴AB ―→·CD ―→的最小值为－94.答案：－945．已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：由题意可得点D 为BC 的中点，以点D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)，A (0，33)，B (－3,0)，C (3,0)，E (1,23)，直线BE 的方程为y ＝32(x ＋3)与AD (y 轴)的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，－332·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－332＝274.答案：274[方法归纳]1涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义，围绕基底展开的运算，需要熟悉向量间的相互转化； ②建立坐标系，通过坐标运算求解，需要熟悉数量积的坐标公式及平行、垂直的运算公式等，其中，涉及平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方.2在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算.平面向量的应用1．(2017·南京三模)在四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC ―→·BD ―→＝0，(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．解析：因为AC ―→·BD ―→＝0，所以AC ―→⊥BD ―→，所以以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，因为BD ＝2，所以可设B (b,0)，D (2＋b,0)，A (0，a )，C (0，c )，所以AB ―→＝(b ，－a )，DC ―→＝(－2－b ，c )，BC ―→＝(－b ，c )，AD ―→＝(2＋b ，－a )，所以AB ―→＋DC ―→＝(－2，c －a )，BC ―→＋AD ―→＝(2，c －a )，因为(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，所以－4＋(c －a )2＝5，即(c －a )2＝9，所以|AC ―→|＝| c －a |＝3，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×3×2＝3.答案：32．已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 两点都在圆O 上，且|CD ―→|＝2，则|AC ―→＋BD ―→|＝________.解析：如图，连结OC ，OD ，则AC ―→＝AO ―→＋OC ―→，BD ―→＝BO ―→＋OD ―→， 因为O 是AB 的中点， 所以AO ―→＋BO ―→＝0， 所以AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→， 设CD 的中点为M ，连结OM ， 则AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→＝2OM ―→， 显然△COD 是边长为2的等边三角形， 所以|OM ―→|＝3，故|AC ―→＋BD ―→|＝|2OM ―→|＝2 3. 答案：2 33.(2017·南通三模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝DC ＝2.若E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ―→·EF ―→的取值范围是________．解析：法一：因为AC ―→＝AB ―→＋BC ―→，EF ―→＝EC ―→＋CF ―→，所以AC ―→·EF ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(EC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·EC ―→＋BC ―→·CF ―→＝3|EC ―→|－2|CF ―→|，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以|EC ―→|∈[0,2]，|CF ―→|∈[0,2]，所以由不等式的性质知AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4，6]．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (3,2)，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以可设E (x ，2)，F (3，y )，所以AC ―→＝(3,2)，EF ―→＝(3－x ，y －2)，且x ∈[1,3]，y ∈[0,2]，所以AC ―→·EF ―→＝3(3－x )＋2(y －2)＝5－3x ＋2y ∈[－4,6]，即AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4,6]．答案：[－4,6] [方法归纳]1．利用平面向量解决几何问题的两种方法 2．求解向量数量积最值问题的两种方法[课时达标训练][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________.解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2017·无锡期末)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与ma ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1,2)，ma ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与ma ＋b 垂直，所以(a －b )·(ma ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－134．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 答案：π45．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝________.解析：由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12.答案：－126．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由题意得c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |⇒c ·a |a |＝c ·b |b |⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2.答案：27．(2017·常州模拟)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为________．解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，即AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→，∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝13，1－λy ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x ，1－λ＝13y，得13x ＋13y＝1， 即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13. 答案：138．已知A ，B ，C 三点不共线，且AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→，则S △ABD S △ACD＝________.解析：如图，取AM ―→＝－13AB ―→，AN ―→＝2AC ―→，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ，所以S △ABDS △ACD＝6. 答案：69．(2017·苏锡常镇一模)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，且BP ―→·CP ―→＝1，则实数λ的值为________.解析：法一：由题意可得AP ―→－AB ―→＝BP ―→＝λAC ―→.又CP ―→ ＝AP ―→－AC ―→＝AB ―→＋(λ－1)AC ―→，所以BP ―→·CP ―→＝λAB ―→·AC ―→＋λ(λ－1)|AC ―→|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，设P (x ，y )．所以AP ―→＝(x ，y )，AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，AC ―→＝(2,0)．又因为AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ＋12，y ＝32，所以BP ―→＝(2λ，0)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ－32，32.由BP ―→·CP ―→＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.答案：1或－1410．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |的取值范围是________．解析：由题意，b|b |＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |表示同起点的向量tb|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －tb |b |的取值范围是[1，13 ]．答案：[1，13 ]11.(2017·南通二调)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→的值是________．解析：法一：由AB ―→·AD ―→＝－7得，(OB ―→－OA ―→)·(OD ―→－OA ―→)＝－7，即(OB ―→－OA ―→)·(OB ―→＋OA ―→)＝7，所以OB ―→2＝7＋OA ―→2＝7＋9＝16，所以|OB ―→|＝|OD ―→|＝4.所以BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→＋OB ―→)＝OC ―→2－OB ―→2＝25－16＝9.法二：以O 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (5,0)，设B (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，x 22＋y 22＝9，由AB ―→·AD ―→＝－7，得(x 1－x 2，y 1－y 2)·(－x 1－x 2，－y 1－y 2)＝－7，得x 21＋y 21＝16，而BC ―→·DC ―→＝(5－x 1，－y 1)·(5＋x 1，y 1)＝25－x 21－y 21＝25－16＝9.答案：912．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠DAB ＝60°，EC ―→＝2DE ―→，则AE ―→·DB ―→的值为________． 解析：如图所示，∵EC ―→＝2DE ―→，∴DE ―→＝13DC ―→.∵菱形ABCD 的边长为a ， ∠DAB ＝60°， ∴|DA ―→|＝|DC ―→|＝a ，DA ―→·DC ―→＝|DA ―→||DC ―→|cos 120°＝－12a 2，∵DB ―→＝DA ―→＋DC ―→，∴AE ―→·DB ―→＝(AD ―→＋DE ―→)(DA ―→＋DC ―→) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋13 DC ―→(DA ―→＋DC ―→)＝－DA ―→2＋13DC ―→2－23DA ―→·DC ―→＝－a 2＋13a 2＋13a 2＝－a23.答案：－a 2313．在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2和1，若E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________．解析：法一：取A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如 图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (2，1)．∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，得2|BE ―→|＝|CF ―→|，设E (2，y )(0≤y ≤1)，则F (2－2y,1)．∴AE ―→·AF ―→＝(2，y )·(2－2y,1)＝2(2－2y )＋y ＝4－3y ∈[1,4]． 法二：∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则|CF ―→|＝2|BE ―→|.∵0≤|BE ―→|≤1，∴AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(AD ―→＋DF ―→) ＝AB ―→·DF ―→＋BE ―→·AD ―→＝2|DF ―→|＋|BE ―→| ＝2(2－|CF ―→|)＋|BE ―→|＝4－3|BE ―→|∈[1,4]． 答案：[1,4]14．(2017·全国卷Ⅱ改编)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.答案：－32[B 组——力争难度小题]1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM ―→＝2MD ―→.若AC ―→·BM ―→＝－3，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：由题意可得AC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→，BM ―→＝AM ―→－AB ―→＝23AD ―→－AB ―→，则AC ―→·BM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AB ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23 AD ―→－AB ―→＝－3，则23|AD ―→|2－12|AB ―→|2－23AB ―→·AD ―→＝－3， 即6－8－23AB ―→·AD ―→＝－3，解得AB ―→·AD ―→＝32.答案：322．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：法一：由题意可得(a －c )·(3b －c )＝－a ·c －3b ·c ＋|c |2＝1，则|c |2－(a ＋3b )·c －1＝0.又|a ＋3b |＝2，设a ＋3b 与c 的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则|c |2－2|c |cos θ－1＝0，－2≤2cos θ＝|c |－1|c |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧|c |2－2|c |－1≤0，|c |2＋2|c |－1≥0，解得2－1≤|c |≤2＋1，则|c |max ＝2＋1.法二：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(3b －c )＝(1－x ，－y )·(－x ，3－y )＝1，化简得⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝2，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32到坐标原点的距离为1，则|c |max ＝2＋1.答案：2＋13．(2017·苏州考前模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2，2)．平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(1<λ≤a,1<μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域．若区域D 的面积为16，则a ＋b 的最小值为________．解析：如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC . 四边形ABEC 、四边形ANGM 、四边形EHGF 均为平行四边形．由条件知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF (不含边界EH ，EF )．∵AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，BC ―→＝(－2,2)． ∴|AB |＝10，|AC |＝10，|BC |＝22，cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝45.∴四边形EHGF 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝16.∴(a －1)(b －1)＝2，a ＋b ＝a ＋⎝⎛⎭⎪⎫2a －1＋1＝(a －1)＋2a －1＋2.由a >1，b >1知，当且仅当a －1＝2，即a ＝b ＝2＋1时，a ＋b 取得最小值22＋2. 答案：22＋24．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3.答案：3第3课时解三角形(能力课)[常考题型突破]三角变换与解三角形的综合问题[例1] (2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝5，C ＝4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝ 1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. [方法归纳](1)解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B .(1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．解：(1)由正弦定理及b sin 2C ＝c sin B ， 得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ， 因为sin B >0，sin C >0，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310.2．(2017·苏北四市一模)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3.(1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长．解：(1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1.又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin B cos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255.同理可得sin C ＝31010.由正弦定理，得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.解三角形与平面向量结合[例2] a ，b ，c ，且△ABC 面积的大小为S ，3AB ―→·AC ―→＝2S .(1)求sin A 的值；(2)若C ＝π4，AB ―→·AC ―→＝16，求b .[解] (1)由3AB ―→·AC ―→＝2S ，得3bc cos A ＝2×12bc sin A ，即sin A ＝3cos A .整理化简得sin 2A ＝9cos 2A ＝9(1－sin 2A )， 所以sin 2A ＝910.又A ∈(0，π)，所以sin A >0，故sin A ＝31010.(2)由sin A ＝3cos A 和sin A ＝31010，得cos A ＝1010， 又AB ―→·AC ―→＝16，所以bc cos A ＝16， 得bc ＝1610. ① 又C ＝π4，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝31010×22＋1010×22＝255. 在△ABC 中，由正弦定理bsin B ＝csin C，得b255＝c22， 即c ＝104b . ② 联立①②得b ＝8. [方法归纳]1．(2017·南通三调)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ＝0，又A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＋π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6 ＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ×AC ＝43＋31045×8＝43＋3.2．(2017·镇江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n .(1)求B ；(2)若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝33926，求a .解：(1)因为m ∥n ，所以a (a －c )－(b ＋c )(b －c )＝0， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，故B ＝π3.(2)由(1)得A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝33926，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝51326，。

§3向量与三角函数例1 已知A 、B 、C 三点共线，O 是该直线外一点，设,,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r 且存在实数,m 使30ma b c -+=r r r r 成立，则点A 分BC uuu r 的比是 ．例2 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a =2，B =π4，△ABC 的面积为S =2． （Ⅰ）判断函数f (x )＝a sin(bx ＋A )＋b cos(ax ＋B )的奇偶性；（Ⅱ）若函数f (x )的图象按→m 平移后所得图象关于点(C ，c )成对称，求使得|→m |最小的向量→m ．例3 已知向量(cos sin )(cos sin )||a ααb ββa b =-=r r r r ，，=，，. （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若500sin sin 2213ππαββα<<-<<=-，，且，求的值.例4在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知31)cos(cos =-+B A C 且1tan tan 3=B A （Ⅰ）求B A cos cos 的值（Ⅱ）设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a a A a A b b B b B →→==，ABC S ∆=a b →→g 的值.例5 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若m u r =（sin 22B C +, 1）, n r =（cos2A+72, 4）,且m u r ∥n r .（Ⅰ）求角A 的度数;（Ⅱ）当S △ABC =2时，求边长b 和角B 的大小.例6 已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A （3,0），B （0,3），C （cos α,sin α）,其中3.22ππα<<（Ⅰ）若AC BC =u u u r u u u r ,求角α的值；（Ⅱ）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ,求22sin sin 21tan ααα++的值．例7 已知A (3，0)，B (0，3)，C (cos ,sin )θθ（Ⅰ）若AC BC ⋅u u u r u u u r =－1,求θ2sin 的值；（Ⅱ）若||OA OC +=u u u r u u u r ,且θ∈(0,π),求OB uuu r 与OC u u u r 的夹角.。

§10.3导数综合题【高考热点】与导数相关的代数论证题，由于有一定的综合性，对分析、推理的能力要求较高，因此成为高考中考察综合思维能力的一个命题方向，导数的优越性在不等式的证明、含参数的不等式等问题中特别明显；解决与曲线的切线相关的解析几何题，常常同导数的几何意义联系已成为高考中的又一个热点。

有二次曲线（抛物线）的切线，也有三次曲线切线。

在处理上，将导数与解析几何的常用方法（如向量方法，一元二次方程结合韦达定理方法等）结合起来使用。

【典型例题】例1 设函数()f x 和数列{}n a 满足关系：①n a a >，*n N ∈，其中a 是方程()f x x =的实根；②*1(),n n a f a n N +=∈，若()f x 的导数'()f x 满足'0()1f x <<. 试判断n a 与1n a +的大小关系，并证明你的结论。

例2 已知直线2y =-上有一动点Q ，过Q 作直线l 垂直于x 轴，动点P 在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点P 的轨迹为C 1.求曲线C 1的轨迹；设直线l 与x 轴交于点A ，且(0)OB PA OB =≠，试判断直线PB 与曲线C 1的位置关系，并证明你的结论；已知圆C 2：22()2x y a +-=，若C 1、C 2在交点处的切线互相垂直，求a 的值。

例3 设曲线C ：3y x =()0x ≥上的点P 0()00,x y ，过点P 0作曲线C 的切线与x 轴交于点Q 1，过Q 1作平行于y 的直线与曲线C 交于点P 1 ()11,x y ，然后再过点P 1作曲线C 的切线与x 轴交于点Q 2，过Q 2作平行于y 的直线与曲线C 交于点P 2 ()22,x y ，依次类推，作出以下点列：P 0，Q 1，P 1，Q 2，P 2，Q 3，…，P n ，Q n+1，…，已知01x =，设(),n n n P x y .设()(0,1,2,3,)n x f n n ==，求()f n 的表达式； 设10()n n i S f i -==∑，求n S的表达式；求出过点n P 处的曲线的切线方程。

专题一 三角[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.三角化简求值(5年3考)2.三角函数的性质(5年3考)3.平面向量的数量积(5年5考)江苏高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以两角和与差的三角函数公式的运用为主，可见三角恒等变换比三角函数的图象与性质更加重要，三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类给出三角函数值(见2018年三角解答题)，第二类是给出三角形(见2015年、2016年、2019年三角解答题)，第三类是给出向量(见2017年三角解答题).偶考点1.平面向量的概念及线性运算2.正弦、余弦定理第一讲 | 小题考法——三角函数、解三角形考点(一) 三角化简求值主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题．多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.[题组练透]1．计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________．解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋ 3sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案：－3π43．(2019·江苏高考)已知tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是______． 解析：法一：由tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210. 法二：∵ tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴ sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25＋3210＝210. 答案：210[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”转化为k π，k π2(k ∈Z )与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(2)α＝(α＋β)－β； (3)β＝α＋β2－α－β2；(4)α＝α＋β2＋α－β2；(5)α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．3．三角函数化简的原则及结果考点(二) 三角函数的性质主要考查三角函数的对称性、求函数的单调区间或最值(值域)，以及根据函数的单调性求参数的值或取值范围.[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z .∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.答案：－π62．(2019·南京盐城一模)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，其中ω＞0.若函数f (x )在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．解析：法一：由f (x )＝0得ωx ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k πω－π3ω(k ∈Z )，因为ω＞0，且函数f (x )在[0，2π]上恰有2个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋πω≥0，－π3ω＋2πω≤2π，解得56≤ω＜43.－π3ω＋3πω＞2π，法二：f (x )取零点时，x 满足条件x ＝－π3ω＋k πω(k ∈Z )，当x >0时的零点从小到大依次为x 1＝2π3ω，x 2＝5π3ω，x 3＝8π3ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω≤2π，8π3ω>2π，解得56≤ω＜43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，433．(2019·苏北三市一模)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，如图所示，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，B ，C 之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC 的面积为12π×2×32＝3π2.答案：3π24．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________．解析：依题意，有f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝sinx cos x －32(cos 2x －sin 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π6≤x ≤5π12，所以0≤2x －π3≤π2，从而0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的值域为[0，1]．答案：[0，1][方法技巧]1．对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象平移后图象关于y 轴或原点对称的两种处理方法 (1)若平移后所得函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝k π，k ∈Z ；要关于y 轴对称，则φ＋θ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)利用平移后的图象关于y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y ＝sin x 的对称性去求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 3．求解三角函数的值域的三种方法化归法 在研究三角函数值域时，首先应将所给三角函数化归为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)的形式，再利用换元t ＝ωx ＋φ，从而转化为求y ＝A sin t ，y ＝A cos t 或y ＝A tan t 在给定区间上的值域换元法对于无法化归的三角函数，通常可以用换元法来处理，如y ＝sin x ＋cos x ＋sinx cos x ，可以设sin x ＋cos x ＝t 来转化为二次函数求值域导数法 对于无法化归和换元的三角函数，可以通过导函数研究其单调性和值域考点(三) 正、余弦定理主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.[题组练透]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．解析：法一：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c －3a ，即b 2－a 2＝c 2－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.法二：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ，故2cos B sin A ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 答案：π62．(2019·苏锡常镇四市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝________．解析：由正弦定理得5sin A ＝8sin B ，由A ＝2B 可得sin B ＝35，cos B ＝45，易得π6＜B＜π4，∴π3＜A ＜π2， ∴sin A ＝2425，cos A ＝725，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝22(sin A －cos A )＝17250.答案：172503．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a sin C ＝3c ，a ＝1，则△ABC 周长的最大值为________．解析：依题意，由已知条件及正弦定理得2sin A sin C ＝3sin C ，即sin A ＝32.由于三角形为锐角三角形，故A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得b ＝23sin B ，c ＝23sinC ，故三角形的周长为1＋23sin B ＋23sin C ＝1＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，故当B ＝π3，即三角形为等边三角形时，周长取得最大值，为1＋2＝3.答案：34．(2018·常熟高三期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：因为b ＝a cos C ＋c sin A ，所以由正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝b 2＋c 24－2b ·c 2cos π4，即22bc ＝4b 2＋c 2－8≥4bc －8，所以bc ≤42－2＝4＋22，当且仅当2b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·22bc ≤2＋1.答案：2＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[必备知能·自主补缺] (一)主干知识要牢记1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)常见的两种图象变换：①y ＝sin x ――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．②y ＝sin x ――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――――――→向左φ>0或向右φ <0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 4．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．5．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．6．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．7．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.8．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(二)二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sinα－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．3．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 5．△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝π3.6．△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． 7．S △ABC ＝abc4R(R 为△ABC 外接圆半径)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________．解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2019·苏锡常镇四市一模)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y＝3cos 2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．解析：法一：根据题意得，33sin x ＝3cos 2x ＋2，33sin x ＝3(1－2sin 2x )＋2，6sin 2x ＋33sin x －5＝0，(23sin x ＋5)·(3sin x －1)＝0，所以sin x ＝13，此时y P ＝33×13＝3，所以点P 到x 轴的距离为3.法二：设点P 的坐标为(x P ，y P )，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y P ＝33sin x P＞0，sin x P ＝y P 33，又y P ＝3cos 2x P ＋2，所以y P ＝3(1－2sin 2x P )＋2，y P ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y 2P 27＋2，所以2y 2P ＋9y P －45＝0，(2y P ＋15)(y P －3)＝0，因为y P ＞0，所以y P ＝3，故点P 到x 轴的距离为3.答案：33．(2019·常州期末)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，知函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，又点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，所以函数f (x )的最小正周期T 的最大值为4，所以ω的最小值为2π4＝π2.答案：π24．(2019·扬州期末)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．解析：因为a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，所以a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sin π7＝sin10π21cos10π21，所以a cos 10π21 sin π7＋b cos 10π21 cos π7＝a sin 10π21 cos π7－b sin 10π21 sin π7，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10π21 cos π7－cos 10π21 sin π7 ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 10π21 cos π7＋sin 10π21 sin π7， 即a sin ⎝⎛⎭⎪⎫10π21－π7＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π21－π7，a sin π3＝b cos π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.答案： 35．(2019·无锡期末)已知θ是第四象限角，cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．解析：依题意，得sin θ＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θ cos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝－35×22＋45×222×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝5214.答案：52146．(2019·南通等七市二模)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．解析：设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则由sin B ＝2sin A 和正弦定理得b ＝2a ，由△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，得ab ＝8，所以a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得AB 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，得AB ＝27.答案：277．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cosB ＝9ac，则b 的值为________． 解析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2019·南京三模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中ω＞0.若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π.则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为________．解析：根据已知可得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，数形结合易知，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值，为－1.答案：－19．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________．解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7910．(2019·石庄中学模拟)将函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则θ＝________．解析：依题意，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋θ，令2x －2π3＋θ＝k π(k ∈Z )，即函数g (x )图象的对称轴为x ＝π3－θ2＋k π2(k ∈Z )，又|θ|＜π2，当k ＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6. 答案：π611．(2019·徐州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＋3cos A ＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则△ABC 的周长为________．解析：由cos 2A ＋3cos A ＝1得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝－2(舍去)或cosA ＝12，则sin A ＝32，由S ＝12bc sin A ＝12×5×32c ＝53，得c ＝4. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21，得a ＝21.所以△ABC 的周长为5＋4＋21＝9＋21. 答案：9＋2112．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）22（sin α＋cos α）＝22sin α＝－255.答案：－25513．(2019·盐城三模)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2＋ab ，则a 2－b 2c2的取值范围是________．解析：因为c 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以由余弦定理得cos C ＝－12，所以C ＝2π3，由正弦定理得a 2－b 2c 2＝sin 2A －sin 2B sin 2C ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2A －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3.因为0＜A ＜π3，所以－π3＜2A －π3＜π3，所以a 2－b 2c2∈(－1，1)． 答案：(－1，1)14．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：∵sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33 .又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2019·平潮中学模拟)在△ABC 中，若1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，则cos A 的取值范围为________．解析：由1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，得cos B sin B ＋cos C sin C ＝cos Asin A， 即cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝cos Asin A，即sin （B ＋C ）sin B sin C ＝cos A sin A ，即sin A sin B sin C ＝cos Asin A，由正弦定理，得bc cos A ＝a 2，由余弦定理，得bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝b 2＋c 23bc ≥2bc 3bc ＝23(当且仅当b ＝c 时取等号)，又易知cos A ＜1，所以23≤cos A＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 3．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案：325．在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，D 为BC 中点，E 为AB 中点，则AE ＋BD 的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设C ＝θ，则A ＝2π3－θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C，得AB ＝AC sin C sin B ＝3sin θsinπ3＝2sin θ，BC ＝AC sin Asin B＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θsinπ3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，所以AE ＋BD ＝12AB ＋12BC ＝sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝32sin θ＋32cos θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，即AE ＋BD 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤32，36.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－5π6＝tan 3π4－tan5π61＋tan 3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3第二讲 | 小题考法——平面向量 考点(一) 平面向量的概念及线性运算主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.[题组练透]1．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：如图，DE ―→＝BE ―→－BD ―→＝23BC ―→－12BA ―→＝23(AC ―→－AB ―→)＋12AB―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－23AB ―→＋23AC ―→.又DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→，且AB ―→与AC ―→不共线． 所以λ1＝12－23，λ2＝23，所以λ1＋λ2＝12.答案：122．(2019·无锡期末)在四边形ABCD 中，已知AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．解析：AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，所以AD ―→＝2BC ―→，即AD ∥BC ，且AD ＝2BC ，所以四边形ABCD 是梯形．答案：梯形3．(2018·南京考前模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立直角坐标系如图所示，设B (2，0)，C (1，t )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ， N (x 0，y 0)，因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)，即y 0＝t (2－x 0)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，即t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12λ，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数， 所以4⎝⎛⎭⎪⎫1λ＋3μ＝(3λ＋4μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27，所以1λ＋3μ≥274，当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法技巧]向量线性运算问题的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)用几个基本向量表示某个向量的基本思路： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．(3)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．考点(二) 平面向量的数量积主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值.[题组练透]1．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：33 2．(2019·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB ―→·AC ―→＝6AO ―→·EC ―→，则AB AC的值是________．解析：法一：如图①，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点．又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO ―→＝12AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)，EC ―→＝AC ―→－AE ―→＝AC ―→－13AB ―→，所以6AO ―→·EC ―→＝32(AB ―→＋AC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC ―→－13AB ―→ ＝32AC ―→2－12AB ―→2＋AB ―→·AC ―→＝AB ―→·AC ―→，整理可得AB ―→2＝3AC ―→2，所以AB AC＝ 3.法二：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图②所示．设E (1，0)，C (a ，b )，则B (3，0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎪⎬⎪⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝ba －1（x －1）⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵ AB ―→·AC ―→＝6AO ―→·EC ―→， ∴ (3，0)·(a ，b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )，即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋3）（a －1）4＋b 24，∴ a 2＋b 2＝3，∴ AC ＝ 3.∴ AB AC ＝33＝ 3. 答案： 33．(2019·南京盐城二模)已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB ―→＋PC ―→)·AD ―→＝4 2.若AD ＝2，则PB ―→·PC ―→的值为________．解析：法一：由AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高，得PD ―→·DC ―→＝PD ―→·DB ―→＝0，因为(PB ―→＋PC ―→)·AD ―→＝42，所以(2PD ―→＋DB ―→＋DC ―→)·AD ―→＝42，即PD ―→·AD ―→＝22，即|PD ―→|·|AD ―→|cos 0＝22，所以|PD ―→|＝2，所以PB ―→·PC ―→＝(PD ―→＋DB ―→)·(PD ―→＋DC ―→)＝PD ―→2＋DB ―→·DC ―→＝PD ―→2＋|DB ―→|·|DC ―→|cos π＝PD ―→2－|DB ―→|·|DC ―→|＝PD ―→2－|DA ―→|2＝4－2＝2.法二：因为AD ⊥BC 于D ，所以以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系xDy ，设B (m ，0)，C (n ，0)，P (0，t )，则PB ―→＝(m ，－t )，PC ―→＝(n ，－t )，因为AD ＝2，所以A (0，2)，所以AD ―→＝(0，－2)．由(PB ―→＋PC ―→)·AD ―→＝42，得t ＝2，又AB ―→·AC ―→＝0，所以mn ＝－2，所以PB ―→·PC ―→＝mn ＋t 2＝－2＋4＝2.答案：24．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC ―→·BD ―→的值为________．解析：法一：因为AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，则AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－DA ―→，平方得AB―→2＋BC ―→2＋CD ―→2＋2(AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CD ―→＋CD ―→·AB ―→)＝(－DA ―→)2＝DA ―→2，即AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CD ―→＋CD ―→·AB ―→＝－6，则AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(BC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CD ―→＋CD ―→·AB ―→＋BC ―→2＝－6＋16＝10.法二：如图，取AC 中点O ，连结BO ，DO .所以AC ―→·BD ―→＝AC ―→·(BO ―→＋OD ―→)＝AC ―→·BO ―→＋AC ―→·OD ―→＝12(BC ―→－BA ―→)·(BC ―→＋BA ―→)－12(DC ―→－DA ―→)·(DC ―→＋DA ―→)＝12(BC ―→2－BA ―→2－DC ―→2＋DA ―→2)＝12×(16－1－4＋9)＝10.答案：10[方法技巧]平面向量数量积相关问题的求解策略(1)夹角和模的问题的处理方法，一是转为基底向量结合数量积的定义进行运算；二是建立坐标系用坐标公式求解．(2)平面向量的数量积可以用定义结合基底向量求解，也可以建立坐标系用坐标公式求解．(3)对于极化恒等式：a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22.在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ―→·AC ―→＝AM ―→2－MC ―→2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．从而避开求向量的夹角.考点(三) 平面向量的综合问题主要考查与平面向量数量积有关的最值(范围)问题或参数求值问题.[典例感悟][典例] (1)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对于一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a 与b 的夹角大小为________．(2)(2018·苏州期末)如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，点P 是劣弧EF ︵上的一动点，则PB ―→·PC ―→的取值范围是________．[解析] (1)法一：将|a ＋x b |≥|a ＋b |两边平方可得：2＋2x a ·b ＋x 2≥2＋2a ·b ＋1， 即x 2＋2a ·b x －2a ·b －1≥0对于x ∈R 恒成立，Δ＝4(a ·b )2＋8a ·b ＋4≤0，即4(a ·b ＋1)2≤0，所以a ·b ＝－1，即cos θ＝－12＝－22，所以a ，b 夹角为3π4.法二：如图，令OA ―→＝a ，AP ―→＝x b (P 为直线l 上任意一点)，则OP ―→＝a ＋x b ，所以|a ＋x b |＝OP 的最小值即O 到直线l 的距离OH ，即OH ＝|a ＋b |，即OH ―→＝a ＋b ，所以b ＝AH ―→.在直角三角形OHA 中，AH ＝1，OA ＝2，cos ∠HOA ＝22，即∠HOA ＝π4，所以a ，b 夹角为3π4. (2)法一(几何法)：如图，取BC 的中点M ，连结PM ，PB ―→·PC ―→＝(PM ―→－MC ―→)·(PM ―→＋MC ―→)＝PM ―→2－MC ―→2.因为MC 为定值，所以PB ―→·PC ―→的变化可由PM 的变化确定． 易得AM ＝2，MC ＝2 3.当P 为劣弧EF ︵与AM 的交点时，PM 取最小值AM －1＝1；PM 的最大值为EM ＝FM ＝ 3. 所以PM 2－MC 2的取值范围是[－11，－9]，即PB ―→·PC ―→∈[－11，－9]． 法二(坐标法)：以A 为坐标原点，垂直于BC 的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则B (2，－23)，C (2，23)，设P (cos θ，sin θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3. 所以PB ―→·PC ―→＝(2－cos θ，－sin θ－23)·(2－cos θ，23－sin θ)＝(cos θ－2)2＋sin 2θ－12＝－7－4cos θ.因为cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以PB ―→·PC ―→∈[－11，－9]．[答案] (1)3π4(2)[－11，－9][方法技巧]平面向量有关最值(范围)问题求解的2种思路形化即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断数化即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决[演练冲关]1．已知|OA ―→|＝|OB ―→|＝2，且OA ―→·OB ―→＝1.若点C 满足|OA ―→＋CB ―→|＝1，则|OC ―→|的取值范围是________．解析：如图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，因为|OA ―→|＝|OB ―→|＝2，OA ―→·OB ―→＝1，所以|OD ―→|＝|OA ―→＋OB ―→|＝（OA ―→＋OB ―→）2＝OA ―→2＋OB ―→2＋2OA ―→·OB ―→ ＝6，由|OA ―→＋CB ―→|＝1得|OA ―→＋CB ―→|＝|OA ―→＋OB ―→－OC ―→|＝|OD ―→－OC ―→|＝|CD ―→|＝1，所以点C 在以点D 为圆心，1为半径的圆上，而|OC ―→|表示点C 到点O 的距离，从而|OD ―→|－1≤|OC ―→|≤|OD ―→|＋1，即6－1≤|OC ―→|≤6＋1，即|OC ―→|的取值范围是[6－1，6＋1]．答案：[6－1，6＋1]2．(2019·苏州期末)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM ―→·AN ―→的最小值是________．解析：法一：由题意，以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点M (2，m )，N (n ，2)，其中0≤m ≤2，0≤n ≤2，则向量AM ―→＝(2，m )，AN ―→＝(n ，2)，所以AM ―→·AN ―→＝(2，m )·(n ，2)＝2n ＋2m .由BM ＋DN ＝MN ，知m ＋n ＝ （m －2）2＋（2－n ）2，整理得2(m ＋n )＋mn －4＝0，又由0＝2(m ＋n )＋mn －4≤2(m ＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－4，得m ＋n ≥42－4，当且仅当m ＝n ＝22－2时等号成立，所以AM ―→·AN ―→的最小值是82－8.法二：设BM ＝m (0≤m ≤2)，DN ＝n (0≤n ≤2)，则MC ＝2－m ，NC ＝2－n ，由MN 2＝MC 2＋NC 2，得(m ＋n )2＝(2－m )2＋(2－n )2，整理得2(m ＋n )＋mn －4＝0. AM ―→·AN ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(AD ―→＋DN ―→)＝2m ＋2n .由0＝2(m ＋n )＋mn －4≤2(m ＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－4，得m ＋n ≥42－4，当且仅当m ＝n ＝22－2时等号成立，所以AM ―→·AN ―→的最小值是82－8.答案：82－83．如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3.点B ，C 分别在m ，n 上，|AB ―→＋AC ―→|＝5，则AB ―→·AC ―→的最大值是________．解析：设P 为BC 的中点，则AB ―→＋AC ―→＝2AP ―→，从而由|AB ―→＋AC ―→|＝5得|AP ―→|＝52，又AB ―→·AC ―→＝(AP ―→＋PB ―→)·(AP ―→＋PC ―→)＝AP ―→2－PB ―→2＝254－PB ―→2，因为|BC ―→|≥2，所以PB ―→2≥1，故AB ―→·AC ―→≤254－1＝214，当且仅当|BC ―→|＝2时等号成立．答案：214[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二)二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R )，则mn＝________．解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0.4．极化恒等式a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22[提醒] 极化恒等式的使用是最近考查的热点，要有将平面向量数量积用此工具转化的基本意识．[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．(2018·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________．解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2018·无锡期末)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1，2)，m a ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与m a ＋b 垂直，所以(a －b )·(m a ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．(2019·南京四校联考)设a ，b 是单位向量，且a ·b ＝13，向量c 满足c ·a ＝c ·b ＝2，则|c |＝________．解析：法一：由题意可设c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则c ·a ＝λ＋13μ＝2，c ·b ＝13λ＋μ＝2，所以λ＝μ＝32，所以|c |＝32|a ＋b |＝32a 2＋2a ·b ＋b 2＝ 6.法二：由题意不妨令a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，223.设c ＝(x ，y )，则c ·a ＝x ＝2，c ·b ＝13x ＋223y ＝2，所以c ＝(2，2)，所以|c |＝ 6. 答案： 64．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 答案：π45．(2019·南京三模)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·()a ＋2b ＝－5，则|c |的最小值为________．解析：设向量c 与a ＋2b 的夹角为θ.由c ·(a ＋2b )＝－5，得|c |·|a ＋2b |cos θ＝－5，因为|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋2＋4＝7，所以|c |·7 cos θ＝－5，则|c |＝－57 cos θ.因为－1≤cos θ＜0，所以当cos θ＝－1时，|c |取得最小值，为577.答案：5776.如图，在△ABC 中，已知∠BAC ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，DC ―→＝2BD ―→，AE ―→＝3ED ―→―，则|BE ―→|＝________．解析：BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋34AD ―→＝BA ―→＋34(AC ―→＋CD ―→)，而CD ―→＝23CB ―→＝23(AB ―→－AC ―→)，故BE ―→＝－12AB ―→＋14AC ―→，从而|BE ―→|＝12AB ―→2－AB ―→·AC ―→＋14AC ―→2＝12 4－2×3×12＋94＝134.答案：1347．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________． 解析：法一：因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b |＝（2a －b ）2＝5a 2－4a ·b ＝7|a |，所以cos 〈a ，2a －b 〉＝a ·（2a －b ）|a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.法二：因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以〈a ，b 〉＝2π3，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2a 2－|a |·|b |cos 2π3＝52a 2，|2a －b |＝（2a －b ）2＝5a 2－4a ·b ＝5a 2－4|a |·|b |cos 2π3＝7|a |.所以cos 〈a ，2a －b 〉＝a ·（2a －b ）|a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.答案：57148．在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是对角线BD 上的任意一点，则AP ―→·AC ―→＝________．解析：如图所示，由条件知△ABC 为正三角形，AC ⊥BP ，所以AP ―→·AC ―→＝(AB ―→＋BP ―→)·AC ―→＝AB ―→·AC ―→＋BP ―→·AC ―→＝AB ―→·AC―→＝||AB ―→ ×||AC ―→ cos 60°＝2×2×12＝2. 答案：29．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边上BC ，DC 上，BE ―→＝t BC ―→，DF ―→＝m DC ―→，若AE ―→·AF ―→＝1，CE ―→·CF ―→＝－23，则t ＋m ＝________．解析：因为AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋t BC ―→＝AB ―→＋t AD ―→；AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋m DC ―→＝AD ―→＋m AB ―→，所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋t AD ―→)·(AD ―→＋m AB ―→)＝－2－2tm ＋4t ＋4m ＝1；CE ―→·CF ―→＝－2(1－t )(1－m )＝－2＋2m ＋2t －2tm ＝－23，联立⎩⎪⎨⎪⎧－2－2tm ＋4t ＋4m ＝1，－2＋2m ＋2t －2tm ＝－23，解得t ＋m ＝56. 答案：5610．(2019·常州期末)平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC ―→|＝32，则|OD ―→|＝________．解析：法一：由点C 为线段AB 的中点，得OC ―→＝OA ―→＋OB ―→2，又|OC ―→|＝32，|OA―→|＝1，|OB ―→|＝2，所以34＝1＋2OA ―→·OB ―→＋44，得cos ∠AOB ＝－12，∠AOB ＝2π3.由S △AOD。

§12.2导数的应用（一）【复习目标】会逆用多项式的求导法则，求多项式函数的解析式；会用导数判断函数的单调区间与单调性；会判断和求函数的极大值、极小值，求闭区间上函数的最大值、最小值．【课前预习】给定函数32()2f x x x =+，则'()f x = ；'(0)f = ；'(2)f = 。

已知函数42()f x x ax bx =++，且''(1)2,(1)6f f =-=，则a b += （ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且'(0)6,f =则k = （ ）A ．0B ．-1C ．3D ．-6已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1函数432()44f x x x x a =-+--的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。

曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点有 个。

【典型例题】例1 已知函数3()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处有公切线，求,,a b c 及(),()f x g x 的表达式。

例2 讨论函数32(1)log ()a y x a x +=-的单调性。

例3 已知函数32()f x ax bx =+，曲线()y f x =过点P （－1，2），且在点P 处的切线恰好与直线30x y -=垂直。

求,a b 的值；若在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围。

【巩固练习】设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'(0)f = （ ）A ．12B ．18C ．24D ．30已知当－２＜x ＜２时，'()f x ＜０，则曲线)(x f y =在点))2(,2(ππf 处的切线的倾斜角为 A ．０° Ｂ．９0° Ｃ．锐角 Ｄ．钝角 （ ） 设偶函数)(x f 在0=x 处可导，则'(0)f ＝ ．函数)1()3(2--=x x y 的单调递增区间为 ．【本课小结】【课后作业】已知函数()(2)()(),(0)f x x x a x b a b =+--+>，且''(0)0,(4)0f f =≥，求()f x 的解析式。

高三数学第二轮复习教案第4讲三角问题的题型与方法〔3课时〕一、考试内容角的概念的推广，弧度制；任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=1，sin a/cos a=tan a，tan a cot a=1，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数y=As in(ωx+ψ)的图象，正切函数的图象和性质，三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例。

二、考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法〞画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。

6．会由三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。

三、复习目标1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．四、双基透视〔一〕三角变换公式的使用特点1．同角三角函数关系式 (1)理解公式中“同角〞的含义． (2)明确公式成立的条件。

江苏新高考新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等(简称为：变角、变名、变次).备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值(见2014年三角解答题)，第二类是给出在三角形中(见2011年、2015年、2016年三角解答题)，第三类是给出向量(见2013年、2017年三角解答题).而2012年三角解答题则是二、三类的混合.第1课时三角函数(基础课)[常考题型突破]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[题组练透]1．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ ________.解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：752．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π， ∴cos α＝－45，∴f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 答案：－2103．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－434．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________.解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.答案：33[方法归纳]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [题组练透]1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象． 答案：2π32.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝－3sin π2x ，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 33.(2017·天津高考改编)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π124．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为______．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 成立，知f (x 1)，f (x 2)分别是函数f (x )的最小值和最大值．又要使|x 1－x 2|最小，∴|x 1－x 2|的最小值为f (x )的半个周期，即为2.答案：2 [方法归纳]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z)，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)． 2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数．[题组练透]1．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为________，f ⎝⎛⎭⎫π6＝________.解析：周期T ＝2π2＝π，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin 2π3＝ 3. 答案：π32．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：13．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的单调递增区间为________．解析：依题意知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤－π6，π3 [方法归纳]1．正弦定理及其变形在△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2R sin A，sin A＝a2R，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A.变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，cos A＝b2＋c2－a22bc.3．三角形面积公式S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[题组练透]1．(2017·盐城期中)在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7知，a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k，且角C是最大内角，由余弦定理知cos C＝a2＋b2－c22ab＝9k2＋25k2－49k22×3k×5k＝－12，因为0°<C<180°，所以C＝120°.答案：120°2．在△ABC中，B＝π3，AB＝2，D为AB的中点，△BCD的面积为334，则AC＝________.解析：因为S△BCD＝12BD·BC sin B＝12×1×BC×sinπ3＝334，所以BC＝3.由余弦定理得AC2＝4＋9－2×2×3×cos π3＝7，所以AC＝7.答案：73．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________.解析：在△ABC中，∵cos A＝45，cos C＝513，∴sin A＝35，sin C＝1213，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝35×513＋45×1213＝6365.又∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝1×636535＝2113.答案：2113 [方法归纳][课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．解析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－122．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点P (－2，t )，且sin θ＋cos θ＝55，则实数t 的值为________．解析：∵角θ的终边经过点P (－2，t )，∴sin θ＝t 4＋t2，cos θ＝－24＋t2，又∵sin θ＋cos θ＝55， ∴t4＋t 2＋－24＋t 2＝55，即t －24＋t 2＝55， 则t ＞2，平方得t 2－4t ＋44＋t 2＝15，即1－4t 4＋t 2＝15，即4t 4＋t 2＝45，则t 2－5t ＋4＝0，则t ＝1(舍去)或t ＝4.答案：43．(2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝____________.解析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12.答案：5π124．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．解析：由条件得sin ⎝⎛⎭⎫π12ω＋π3＝1，又0＜x ＜π，ω＞0，故π12ω＋π3＝π2，ω＝2. 答案：25．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac ，则b 的值为________．解析：∵2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4.答案：46．(2017·扬州期末)已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝130<α<π2，则sin(π＋α)＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 所以π3<π3＋α<5π6，有sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝223，所以sin(π＋α)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos 2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin 2π3 ＝223×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝3－226. 答案：3－2267．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－798．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________. 解析：∵在△ABC 中，A ＝2π3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，bc ＝1. 答案：19．若f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.解析：因为f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ－π6为偶函数，所以θ－π6＝k π＋π2，k ∈Z.即θ＝k π＋2π3.因为－π2≤θ≤π2，所以θ＝－π3. 答案：－π310．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝________.解析：根据题意得，sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22(sin B ＋cos B )＝22×75＝7210，由a sin A ＝c sin C ，得5sinπ4＝c 7210，解得c ＝7. 答案：711．(2017·无锡期末)设f (x )＝sin 2x －3cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为________．解析：f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，令k ＝0，得－π6≤x ≤π3，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 12．函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．解析：易知函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)的最大值为a ，最小值为－a ，最小正周期T ＝2πa ，所以相邻的最高点与最低点的距离为⎝⎛⎭⎫πa 2＋4a 2≥ 2×πa ×2a ＝2π，当且仅当πa ＝2a ，即a ＝2π2时等号成立．答案：2π13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2017·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4[B 组——力争难度小题]1．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝⎛⎭⎫T 4，3，B ⎝⎛⎭⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T 216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2017·南京考前模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数，则ω的取值集合为____________． 解析：f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 因为f (x )的图象关于直线x ＝2π对称， 所以f (2π)＝±1，则2πω－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k 2＋13，k ∈Z.因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数， 所以最小正周期T ≥2⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫－π4，即2πω≥π，解得0＜ω≤2， 所以ω＝13或ω＝56或ω＝43或ω＝116.当ω＝13时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，13x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝56时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫56x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，56x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝43时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫43x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，43x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝116时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫116x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，116x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π8，7π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上不是单调函数； 综上，ω∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，43.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，433．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝________. 解析：3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12， 所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：14．已知函数f (x )＝A sin(x ＋θ)－cos x2cos ⎝⎛⎭⎫π6－x 2(其中A 为常数，θ∈(－π，0))，若实数x 1，x 2，x 3满足：①x 1＜x 2＜x 3，②x 3－x 1＜2π，③f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则θ的值为________．解析：函数f (x )＝A (sin x cos θ＋cos x sin θ)－cos x 2·⎝⎛⎭⎫32cos x 2＋12sin x 2＝A (sin x cos θ＋cos xsin θ)－32×1＋cos x 2－14sin x ＝⎝⎛⎭⎫A cos θ－14sin x ＋⎝⎛⎭⎫A sin θ－34cos x －34，故函数f (x )为常数函数或为周期T ＝2π的周期函数．又x 1，x 2，x 3满足条件①②③，故f (x )只能为常数函数，所以⎩⎨⎧A cos θ－14＝0，A sin θ－34＝0，则tan θ＝3，又θ∈(－π，0)，故θ＝－2π3.答案：－2π3第2课时平面向量(基础课)[常考题型突破][必备知识](1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向被减向量．(3)A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→，且λ＋μ＝1.(4)C 是线段AB 中点的充要条件是OC ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．G 是△ABC 的重心的充要条件为GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0.[题组练透]1．(2017·盐城期中)设向量a ＝(2，－6)，b ＝(－1，m )，若a ∥b ，则实数m ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以2m －(－1)×(－6)＝0，所以m ＝3. 答案：32．(2017·镇江模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝________.解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3.答案：33.(2017·南京考前模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系如图所示，设B (2,0)，C (1，t )，M ⎝⎛⎭⎫12，t ，N (x 0，y 0)，因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)，即y 0＝t (2－x 0)， 因为AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，即t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－⎝⎛⎭⎫1－12λ， 所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4⎝⎛⎭⎫1λ＋3μ＝(3λ＋4μ)⎝⎛⎭⎫1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27, 所以1λ＋3μ≥274当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法归纳][必备知识]1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [题组练透]1．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：332．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 33．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4. 答案：－44．(2017·南京、盐城二模)已知平面向量AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)，则AB ―→·CD ―→的最小值为________．解析：设A (a ，b )，B (c ，d )， ∵AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)， ∴C (a ＋1，b ＋2)，D (c －2，d ＋2)，则AB ―→＝(c －a ，d －b )，CD ―→＝(c －a －3，d －b )，∴AB ―→·CD ―→＝(c －a )(c －a －3)＋(b －d )2＝(c －a )2－3(c －a )＋(b －d )2＝⎝⎛⎭⎫c －a －322－94＋(b －d )2≥－94.∴AB ―→·CD ―→的最小值为－94.答案：－945．已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：由题意可得点D 为BC 的中点，以点D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)，A (0，33)，B (－3,0)，C (3,0)，E (1,23)，直线BE 的方程为y ＝32(x ＋3)与AD (y 轴)的交点为P ⎝⎛⎭⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，－332·⎝⎛⎭⎫0，－332＝274. 答案：274[方法归纳]1．(2017·南京三模)在四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC ―→·BD ―→＝0，(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．解析：因为AC ―→·BD ―→＝0，所以AC ―→⊥BD ―→，所以以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，因为BD ＝2，所以可设B (b,0)，D (2＋b,0)，A (0，a )，C (0，c )，所以AB ―→＝(b ，－a )，DC ―→＝(－2－b ，c )，BC ―→＝(－b ，c )，AD ―→＝(2＋b ，－a )，所以AB ―→＋DC ―→＝(－2，c －a )，BC ―→＋AD ―→＝(2，c －a )，因为(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，所以－4＋(c －a )2＝5，即(c －a )2＝9，所以|AC ―→|＝| c －a |＝3，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×3×2＝3.答案：32．已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 两点都在圆O 上，且|CD ―→|＝2，则|AC ―→＋BD ―→|＝________.解析：如图，连结OC ，OD ，则AC ―→＝AO ―→＋OC ―→，BD ―→＝BO ―→＋OD ―→， 因为O 是AB 的中点， 所以AO ―→＋BO ―→＝0， 所以AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→， 设CD 的中点为M ，连结OM ， 则AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→＝2OM ―→， 显然△COD 是边长为2的等边三角形， 所以|OM ―→|＝3，故|AC ―→＋BD ―→|＝|2OM ―→|＝2 3. 答案：2 33.(2017·南通三模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝DC ＝2.若E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ―→·EF ―→的取值范围是________．解析：法一：因为AC ―→＝AB ―→＋BC ―→，EF ―→＝EC ―→＋CF ―→，所以AC ―→·EF ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(EC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·EC ―→＋BC ―→·CF ―→＝3|EC ―→|－2|CF ―→|，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以|EC ―→|∈[0,2]，|CF ―→|∈[0,2]，所以由不等式的性质知AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4，6]．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (3,2)，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以可设E (x ，2)，F (3，y )，所以AC ―→＝(3,2)，EF ―→＝(3－x ，y －2)，且x ∈[1,3]，y ∈[0,2]，所以AC ―→·EF ―→＝3(3－x )＋2(y －2)＝5－3x ＋2y ∈[－4,6]，即AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4,6]．答案：[－4,6] [方法归纳]1．利用平面向量解决几何问题的两种方法2．求解向量数量积最值问题的两种方法[课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________.解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2017·无锡期末)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与ma ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1,2)，ma ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与ma ＋b 垂直，所以(a －b )·(ma ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－134．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4.答案：π45．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝________.解析：由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12.答案：－126．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由题意得c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |⇒c ·a |a |＝c ·b |b |⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2.答案：27．(2017·常州模拟)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为________．解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，即AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→， ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x ，1－λ＝13y，得13x ＋13y＝1， 即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13.答案：138．已知A ，B ，C 三点不共线，且AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→，则S △ABD S △ACD＝________.解析：如图，取AM ―→＝－13AB ―→，AN ―→＝2AC ―→，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ，所以S △ABDS △ACD ＝6.答案：69．(2017·苏锡常镇一模)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，且BP ―→·CP ―→＝1，则实数λ的值为________.解析：法一：由题意可得AP ―→－AB ―→＝BP ―→＝λAC ―→.又CP ―→ ＝AP ―→－AC ―→＝AB ―→＋(λ－1)AC ―→，所以BP ―→·CP ―→＝λAB ―→·AC ―→＋λ(λ－1)|AC ―→|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (2，0)，设P (x ，y )．所以AP ―→＝(x ，y )，AB ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，AC ―→＝(2,0)．又因为AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，所以有⎩⎨⎧x ＝2λ＋12，y ＝32，所以BP ―→＝(2λ，0)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎫2λ－32，32.由BP ―→·CP ―→＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.答案：1或－1410．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是________．解析：由题意，b |b |＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |表示同起点的向量t b|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是[1，13 ]． 答案：[1，13 ]11.(2017·南通二调)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→的值是________．解析：法一：由AB ―→·AD ―→＝－7得，(OB ―→－OA ―→)·(OD ―→－OA ―→)＝－7，即(OB ―→－OA ―→)·(OB ―→＋OA ―→)＝7，所以OB ―→2＝7＋OA ―→2＝7＋9＝16，所以|OB ―→|＝|OD ―→|＝4.所以BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→＋OB ―→)＝OC ―→2－OB ―→2＝25－16＝9.法二：以O 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (5,0)，设B (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，x 22＋y 22＝9，由AB ―→·AD ―→＝－7，得(x 1－x 2，y 1－y 2)·(－x 1－x 2，－y 1－y 2)＝－7，得x 21＋y 21＝16，而BC ―→·DC ―→＝(5－x 1，－y 1)·(5＋x 1，y 1)＝25－x 21－y 21＝25－16＝9.答案：912．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠DAB ＝60°，EC ―→＝2DE ―→，则AE ―→·DB ―→的值为________． 解析：如图所示，∵EC ―→＝2DE ―→，∴DE ―→＝13DC ―→.∵菱形ABCD 的边长为a ， ∠DAB ＝60°， ∴|DA ―→|＝|DC ―→|＝a ，DA ―→·DC ―→＝|DA ―→||DC ―→|cos 120°＝－12a 2，∵DB ―→＝DA ―→＋DC ―→，∴AE ―→·DB ―→＝(AD ―→＋DE ―→)(DA ―→＋DC ―→) ＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13 DC ―→(DA ―→＋DC ―→) ＝－DA ―→2＋13DC ―→2－23DA ―→·DC ―→＝－a 2＋13a 2＋13a 2＝－a 23.答案：－a 2313．在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2和1，若E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________． 解析：法一：取A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (2，1)．∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，得2|BE ―→|＝|CF ―→|，设E (2，y )(0≤y ≤1)，则F (2－2y,1)．∴AE ―→·AF ―→＝(2，y )·(2－2y,1)＝2(2－2y )＋y ＝4－3y ∈[1,4]． 法二：∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则|CF ―→|＝2|BE ―→|. ∵0≤|BE ―→|≤1，∴AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(AD ―→＋DF ―→) ＝AB ―→·DF ―→＋BE ―→·AD ―→＝2|DF ―→|＋|BE ―→| ＝2(2－|CF ―→|)＋|BE ―→|＝4－3|BE ―→|∈[1,4]． 答案：[1,4]14．(2017·全国卷Ⅱ改编)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.答案：－32[B 组——力争难度小题]1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM ―→＝2MD ―→.若AC ―→·BM ―→＝－3，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：由题意可得AC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→，BM ―→＝AM ―→－AB ―→＝23AD ―→－AB ―→，则AC ―→·BM ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫23 AD ―→－AB ―→＝－3， 则23|AD ―→|2－12|AB ―→|2－23AB ―→·AD ―→＝－3， 即6－8－23AB ―→·AD ―→＝－3，解得AB ―→·AD ―→＝32.答案：322．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：法一：由题意可得(a －c )·(3b －c )＝－a ·c －3b ·c ＋|c |2＝1，则|c |2－(a ＋3b )·c －1＝0.又|a ＋3b |＝2，设a ＋3b 与c 的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则|c |2－2|c |cos θ－1＝0，－2≤2cos θ＝|c |－1|c |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧|c |2－2|c |－1≤0，|c |2＋2|c |－1≥0，解得2－1≤|c |≤2＋1，则|c |max ＝2＋1.法二：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(3b －c )＝(1－x ，－y )·(－x ，3－y )＝1，化简得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝2，圆心⎝⎛⎭⎫12，32到坐标原点的距离为1，则|c |max ＝2＋1.答案：2＋13．(2017·苏州考前模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2，2)．平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(1<λ≤a,1<μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域．若区域D 的面积为16，则a ＋b 的最小值为________．解析：如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC .四边形ABEC 、四边形ANGM 、四边形EHGF 均为平行四边形．由条件知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF (不含边界EH ，EF )．∵AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，BC ―→＝(－2,2)．∴|AB |＝10，|AC |＝10，|BC |＝22，cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝45.∴四边形EHGF 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝16.∴(a －1)(b －1)＝2，a ＋b ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1＝(a －1)＋2a －1＋2. 由a >1，b >1知，当且仅当a －1＝2，即a ＝b ＝2＋1时，a ＋b 取得最小值22＋2. 答案：22＋24．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )， 则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75. 又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝⎛⎭⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3.答案：3第3课时解三角形(能力课)[常考题型突破][例1] (2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． [解] (1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. [方法归纳][变式训练]1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B .(1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35，求sin A 的值． 解：(1)由正弦定理及b sin 2C ＝c sin B ，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ， 因为sin B >0，sin C >0，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B －π3＝45. 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫B －π3＝sin π3cos ⎝⎛⎭⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 2．(2017·苏北四市一模)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3.(1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长．解：(1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1.又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin Bcos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255.同理可得sin C ＝31010. 由正弦定理，得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.[例2] ，b ，c ，且△ABC 面积的大小为S ，3AB ―→·AC ―→＝2S .(1)求sin A 的值；(2)若C ＝π4，AB ―→·AC ―→＝16，求b .[解] (1)由3AB ―→·AC ―→＝2S ，得3bc cos A ＝2×12bc sin A ，即sin A ＝3cos A .整理化简得sin 2A ＝9cos 2A ＝9(1－sin 2A )， 所以sin 2A ＝910.又A ∈(0，π)，所以sin A >0，故sin A ＝31010. (2)由sin A ＝3cos A 和sin A ＝31010， 得cos A ＝1010， 又AB ―→·AC ―→＝16，所以bc cos A ＝16， 得bc ＝1610. ① 又C ＝π4，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝31010×22＋1010×22＝255.在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b255＝c 22， 即c ＝104b . ② 联立①②得b ＝8.[方法归纳][变式训练]1．(2017·南通三调)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0， 又A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＋π3－B ∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， 所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45. 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin A sin B ×AC ＝43＋31045×8＝43＋3. 2．(2017·镇江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n .(1)求B ；(2)若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，求a .解：(1)因为m ∥n ，所以a (a －c )－(b ＋c )(b －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，故B ＝π3.(2)由(1)得A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，又cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝51326，所以sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6sin π6＝51326×32－33926×12＝3926. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可得a ＝b ·sin A sin B ＝13×392632＝1.[例3] (2017·南通调研)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b (sin C ＋cos C )．(1)求∠ABC ；(2)若∠A ＝π2，D 为△ABC 外一点，DB ＝2，DC ＝1，求四边形ABDC 面积的最大值． [解] (1)在△ABC 中，因为a ＝b (sin C ＋cos C )，所以sin A ＝sin B (sin C ＋cos C )，所以sin(B ＋C )＝sin B (sin C ＋cos C )，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B sin C ＋sin B cos C,所以cos B sin C ＝sin B sin C ，又因为C ∈(0，π)，故sin C ≠0，所以cos B ＝sin B ，即tan B ＝1.又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)在△BCD 中，DB ＝2，DC ＝1，BC 2＝12＋22－2×1×2×cos D ＝5－4cos D .又A ＝π2，由(1)可知∠ABC ＝π4， 所以△ABC 为等腰直角三角形，S △ABC ＝12×BC ×12×BC ＝14BC 2＝54－cos D ， 又S △BDC ＝12×BD ×DC ×sin D ＝sin D, 所以S 四边形ABDC ＝54－cos D ＋sin D ＝54＋2sin ⎝⎛⎭⎫D －π4. 所以当D ＝3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54＋ 2. [方法归纳][变式训练](2017·苏北三市模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3. (1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，由题设知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α， 于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217， 即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3， 由(1)知cos α＝1－sin 2α＝ 1－2149＝277， 又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，。

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓A1 C 1D§5.2二面角（二）【高考热点】1. 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证以及二面角的探求是高考中考查学生立体几何掌握情况的主要方法，其中尤以正方体，三（四）棱锥，三棱柱为载体居多；2. 二面角的探求最能体现空间问题平面化的化规思想，是立体几何的精髓也是高考考查的重点.【课前预习】1． 在边长为a 的正三角形ABC 中，AD 垂直BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C 后，BC=2a ，这时二面角B-AD-C 的大小为 （ ）A. 3π B . 4π C. 6π D. 2π 2． 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中∠ABC=900，AB=4，BC=AA 1=2，求：（1） 求B 1C 与A 1B 所成的角；（2） 求面AB 1C 和A 1B 所成角；（3） 求二面角B-AC-B 1的大小.【典型例题】例1 如图，四棱锥P ABCD -中， PB ⊥底面ABCD ，CD PD ⊥．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB BC ⊥，3AB AD PB ===．点E 在棱PA 上，且2PE EA =． （Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角；（Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角A BE D --的大小．P A D BCE▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓例2 四边形ABCD 中．AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°，将△ABD 沿对角线BD 折起，记折起点A 的位置为P ，且使平面PBD ⊥平面BCD ．（I ）求证：CD ⊥平面PBD ；；（II ）求证：平面PBC ⊥平面PDC ；；（III ）求二面角P —BC —D 的大小．【本课小结】【课后作业】1． 已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。

§6.3向量的综合【高考热点】1. 04年的高考中的解析几何题的一大特色就是与向量问题的紧密结合，尤其在解析几何的大题中。

涉及两个向量的平行与垂直、坐标运算、数量积的应用等各个方面。

2. 向量的应用十分广泛，集数形于一身，与其它知识的亲和力强，从近几年外省高考试题可以看出，对向量的考查力度日趋加强。

【课前预习】1． （01全国新）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅A ．43 B ．－43 C ．3 D ．－3 （ ） 2．（04辽宁）已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 （ ）【典型例题】例1 已知平面向量).23,21(),1,3(=-= （1） 证明⊥；（2） 若存在不同时为零的实数k 和t ，使b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2，且y x ⊥，试求函数关系)(t f k =；（3） 对于（2）中的结论，讨论关于t 的方程0)(=-k t f 的解的情况。

例2 （04年全国Ⅱ理）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值.例3 （04湖南）如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0，m ）(m>0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.（1） 设点P 分有向线段所成的比为λ，证明: ()QP QA QB λ⊥-；（2） 设直线AB 的方程是x -2y+12=0，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.【本课小结】【课后作业】1． (04天津卷) 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

§1.3三角应用与综合【高考热点】1. 三角函数的考查热点之三是三角函数的应用，包括解三角形、向量计算等。

2. 解三角形中的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式需要牢记，它们是边角关系互相转化的关键，三角函数与向量的综合是高考的热点之一。

【课前预习】1． （04湖北理）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .)ϕ的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）A ．]24,0[,6sin312∈+=t t y π B ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππ C ．]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD ．123sin(),[0,24]122y t t ππ=++∈ 2． （04.人教版理科）在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 （ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．33 3． （04.上海春）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。

若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.4． 函数3sin 1()sin 2x f x x -=+的最大值是 ，最小值是 。

【典型例题】例1 求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

例2 在⊿ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222:1):2a c b ac a c +=+=，且，求角C 的值。

例3 （04福建理）设函数()f x a b =⋅，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ，3sin2x )，x ∈R.（1） 若()f x =1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （2） 若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<2π)平移后得到函数y=()f x 的图象，求实数m 、n 的值.例3 （04辽宁卷）设全集U=R.（1） 解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+-（2） 记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B ，若()U A B ð恰有3个元素，求a 的取值范围.【本课小结】【课后作业】1． 求函数sin cos sin cos y x x x x =-+的值域。

一、课前准备： 【自主梳理】在解三角形时，常用的结论:1．在ABC ∆中，A B >_____sin sin A B > 2．三角形内角的三角函数的关系：sin()_________;cos()__________;tan()___________;A B A B A B +=+=+=sin________;cos _________22A B A B++==． 3．若A 为最小角，则_________________；若A 为最大角，则_________________．4．锐角三角形：______________________． 【自我检测】1．在ABC ∆中，若22tan tan ba B A =，则ABC ∆的形状是_________________． 2．在ABC ∆中，3B π=，三边长,,a b c 成等差数列且6ac =，则b 的值是________． 3．在ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则ABC ∆的形状为___________． 4．在ABC ∆中,3,7,5,AB BC CA ===则___________AB CA ⋅=．5．在不等边三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且最大边a 满足222a b c <+，则角A 的取值范围是____________．6．如果满足60,12,CAB AC BC k ∠=︒==，的ABC ∆恰有一个，那么k 的取值范围是______________． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）在ABC ∆中，35,sin ,cos _______513cosA B C ===已知则．（2）在ABC ∆中，222(sin sin sin )tan sin ,______A C B B A C B +-==若则．（3）已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角等于135︒，b 与c 的夹角等于120︒，||2c =，则||______a =．（4）在锐角三角形ABC 中，2A B =，,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，则ba的范围为_______．【例2】ABC ∆中，若已知三边为,1,2a a a ++，最大角C 为钝角.（1）求a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求以最大角C 为内角且角C 两邻边之和为4的平行四边形的最大面积.【例3】设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,2sin a b c a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．三、课后作业1．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则这个三角形中角A 的值是____________．2． 在ABC ∆中，三内角A,B,C 成等差数列，若7,13b a c =+=，则ABC ∆的面积为_______． 3．在ABC ∆中，若4,7,6,c b a BC ===边上一点D 满足12BD DC =，则________AD =． 4．在ABC ∆中，:1:2A B =，C 的平分线把三角形面积分成3:2两部分，则cos _____A =．5．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==,则____________AB AD ⋅=． 6．在ABC ∆中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则ABC ∆的形状是 ___ ．7．在ABC ∆中，-)cos cos ,cos ______c A a C A ==若则．8．已知锐角三角形的三条边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围为_______________． 9．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边长，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-,求（1）求A 的大小； （2）求cBb sin 的值．10． 设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+；（1）求角A 的值；（2）若,72,12==⋅a ，求,b c （其中b c <）．四、纠错分析解三角形综合问题答案一、课前准备： 【自我检测】1．等腰三角形或直角三角形 2 3．等腰三角形或直角三角形 4．1525．(,)32ππ6．12k k ≥=或二、课堂活动例1 （1）1665-（2）60︒或120︒ （3（4）（3,2）例2．（1）由222(1)2(1)(2)0a a a a a a ++>+⎧⎨++-+<⎩，得13a <<. （2）又a 为正整数，故2a =，三边为2,3,4；1cos 4C =-. 设平行四边形中角C 两邻边长分别为,x y ,且4x y +=，2sin ()442x y S xy C xy +==≤=2x y ==时取到等号.例3．（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =．（2）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos sin 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=.2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．三、课后作业1. 30或 1502.3.194.315.2156.等腰直角三角形7.338．()13,59．（1）由题知，2122cos 2222=-+=-+=⇒=bc ac bc ac bc a c b A ac b ， ().3,,0ππ=∴∈A A（2）bac b ac b =⇒=2，23sin sin sin sin sin sin ==⋅=⋅=∴A B A B b a B c B b 。

盐城中学高三数学第二轮复习教学案 第三课时 三角综合应用班级 学号 姓名【考纲解读】1、掌握正弦定理、余弦定理；2、正确运用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式解决三角形中的有关问题.【教学目标】1、掌握正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式；2、会利用正弦定理、余弦定理解三角形；3、能以三角为工具，解决三角与向量等有关的问题；4、通过三角问题的分析、求解，提高三角综合运用能力.【例题讲解】例题1（1）A 、，ABC 三个内角中∆B 、C 的对边分别是︒=︒=75,60,,,B A c b a ，的值是则c ，a 32=（ ） A 2 B 4C 22D 不确定 （2）已知A 、ABC 的三个内角∆B 、C 所对的边分别为c b a ,,若ABC ∆的面积为22)(c b a S --=，则2tan A 等于 （ ） A 21 B 41 C 81 D 1（3）若函数)0(cos sin >+=ωωωx a x y 的图象关于点M()0,3π对称，且在x=6π处函数有最小值，则a +ω的一个可能的取值为（ ） A 0 B 3C 6D 9 （4）)cos(cos 5tan tan C B A ，C B ，ABC -=⋅∆则若中的值为________. （5）锐角ab A ，B ，ABC 则若中2=∆的取值范围是_________. （6）A ，ABC 若中∆，B ，C 成等差数列，则C A 22cos cos +的取值范围是______.例题2在分别是角中c b a ABC ,,,∆A ，B ，C 的对边，已知3tan tan =+C A ⋅A (tan233,27),1tan ==-∆ABC S b C .（1）求c a +的值；（2）求ABC ∆ 的最大内角.例题3 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为c b a ,,,向量))sin(,2cos 2(B A C m +-=, n =(2cos C ,2sin(A+B))，n m ⊥. （1）求角C ； （2）若的值试求)sin(21222B A ，c b a -+=.例题4ABC ∆中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量25(=a 2cos ,2cos B A C -），求 的值时||91tan tan a ，B A =⋅.例题5 已知A 、B 、C 三点的坐标分别是A （3，0），B （0，3），C （，)sin ,cos αα 其中232ππ<<a . （1）若|||BC AC =，求角α的值；（2）若αααtan 12sin sin 212++-=⋅求，BC AC 的值.。

用心 爱心 专心 1 §8.2方程、函数与不等式方法【高考热点】解析几何的第二个问题就是根据曲线的方程研究曲线的性质，也是高考的热点问题之一；用代数的手段研究几何问题是平面解析几何最基本的也是最重要的思想方法，而函数、方程与不等式是主要的代数方法。

如将问题转化为“一元二次方程及其韦达定理”能够解决的问题是解析几何中耳熟能详的方法，学习中注意题型和方法的归类。

【课前预习】（04全国理）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ）A ．[－21，21]B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]（04重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43B ．53C ．2D ．73（04辽宁卷）已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是 （ ）A ．26B ．23 C ．3 D ．2 （04重庆理改编）对任意实数k ，直线：y kx b =+与椭圆：2cos (02)4sin x y θθπθ=⎧≤<⎨=⎩恒有公共点，则b 取值范围是_____ .（04福建理）直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 .（04湖南理）设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i （i =1，2，3，…），使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 .(04天津卷)如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是________________.【典型例题】例1 （04湖北理）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例2 （04上海春）已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . 求点B 的坐标；若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.【本课小结】【课后作业】设l 为过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 的直线，其方向向量为(1,)a m b=-，该双曲用心 爱心 专心 1 线的经过第一、三象限的渐进线为'l ，l 与'l 交于点P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为A 、B.求证：P 点在双曲线的右准线上；求双曲线的离心率的取值范围。

专题一 三角[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.三角化简求值(5年3考)2.三角函数的性质(5年3考)3.平面向量的数量积(5年5考)江苏高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以两角和与差的三角函数公式的运用为主，可见三角恒等变换比三角函数的图象与性质更加重要，三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类给出三角函数值(见2018年三角解答题)，第二类是给出三角形(见2015年、2016年、2019年三角解答题)，第三类是给出向量(见2017年三角解答题).偶考点1.平面向量的概念及线性运算2.正弦、余弦定理第一讲 | 小题考法——三角函数、解三角形考点(一) 三角化简求值主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题．多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.[题组练透]1．计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________．解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋ 3sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．解析：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案：－3π43．(2019·江苏高考)已知tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是______． 解析：法一：由tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210. 法二：∵ tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴ sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25＋3210＝210. 答案：210[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”转化为k π，k π2(k ∈Z )与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(2)α＝(α＋β)－β； (3)β＝α＋β2－α－β2；(4)α＝α＋β2＋α－β2；(5)α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．3．三角函数化简的原则及结果考点(二) 三角函数的性质主要考查三角函数的对称性、求函数的单调区间或最值(值域)，以及根据函数的单调性求参数的值或取值范围.[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z .∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.答案：－π62．(2019·南京盐城一模)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，其中ω＞0.若函数f (x )在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．解析：法一：由f (x )＝0得ωx ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k πω－π3ω(k ∈Z )，因为ω＞0，且函数f (x )在[0，2π]上恰有2个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π3ω＋πω≥0，－π3ω＋2πω≤2π，解得56≤ω＜43.－π3ω＋3πω＞2π，法二：f (x )取零点时，x 满足条件x ＝－π3ω＋k πω(k ∈Z )，当x >0时的零点从小到大依次为x 1＝2π3ω，x 2＝5π3ω，x 3＝8π3ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω≤2π，8π3ω>2π，解得56≤ω＜43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，433．(2019·苏北三市一模)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．解析：函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，如图所示，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，B ，C 之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC 的面积为12π×2×32＝3π2.答案：3π24．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，π6≤x ≤5π12，则函数f (x )的值域为________．解析：依题意，有f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝sinx cos x －32(cos 2x －sin 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π6≤x ≤5π12，所以0≤2x －π3≤π2，从而0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以函数f (x )的值域为[0，1]．答案：[0，1][方法技巧]1．对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象平移后图象关于y 轴或原点对称的两种处理方法 (1)若平移后所得函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝k π，k ∈Z ；要关于y 轴对称，则φ＋θ＝k π＋π2，k ∈Z .(2)利用平移后的图象关于y 轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y ＝sin x 的对称性去求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 3．求解三角函数的值域的三种方法化归法 在研究三角函数值域时，首先应将所给三角函数化归为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)的形式，再利用换元t ＝ωx ＋φ，从而转化为求y ＝A sin t ，y ＝A cos t 或y ＝A tan t 在给定区间上的值域换元法对于无法化归的三角函数，通常可以用换元法来处理，如y ＝sin x ＋cos x ＋sinx cos x ，可以设sin x ＋cos x ＝t 来转化为二次函数求值域导数法 对于无法化归和换元的三角函数，可以通过导函数研究其单调性和值域考点(三) 正、余弦定理主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.[题组练透]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．解析：法一：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c －3a ，即b 2－a 2＝c 2－3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6.法二：因为2b cos A ＝2c －3a ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＝2sin C －3sin A ＝2sin(A ＋B )－3sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B －3sin A ，故2cos B sin A ＝3sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝32，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 答案：π62．(2019·苏锡常镇四市一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝________．解析：由正弦定理得5sin A ＝8sin B ，由A ＝2B 可得sin B ＝35，cos B ＝45，易得π6＜B＜π4，∴π3＜A ＜π2， ∴sin A ＝2425，cos A ＝725，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＝22(sin A －cos A )＝17250.答案：172503．锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a sin C ＝3c ，a ＝1，则△ABC 周长的最大值为________．解析：依题意，由已知条件及正弦定理得2sin A sin C ＝3sin C ，即sin A ＝32.由于三角形为锐角三角形，故A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得b ＝23sin B ，c ＝23sinC ，故三角形的周长为1＋23sin B ＋23sin C ＝1＋23sin B ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，故当B ＝π3，即三角形为等边三角形时，周长取得最大值，为1＋2＝3.答案：34．(2018·常熟高三期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：因为b ＝a cos C ＋c sin A ，所以由正弦定理得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝b 2＋c 24－2b ·c 2cos π4，即22bc ＝4b 2＋c 2－8≥4bc －8，所以bc ≤42－2＝4＋22，当且仅当2b ＝c 时等号成立，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·22bc ≤2＋1.答案：2＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等．[必备知能·自主补缺] (一)主干知识要牢记1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)常见的两种图象变换：①y ＝sin x ――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．②y ＝sin x ――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin ωx ―――――――――――→向左φ>0或向右φ <0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 4．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．5．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．6．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．7．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.8．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .(二)二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sinα－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．3．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a . 4．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 5．△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝π3.6．△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． 7．S △ABC ＝abc4R(R 为△ABC 外接圆半径)． [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________．解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.答案：122．(2019·苏锡常镇四市一模)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝33sin x 的图象与y＝3cos 2x ＋2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为________．解析：法一：根据题意得，33sin x ＝3cos 2x ＋2，33sin x ＝3(1－2sin 2x )＋2，6sin 2x ＋33sin x －5＝0，(23sin x ＋5)·(3sin x －1)＝0，所以sin x ＝13，此时y P ＝33×13＝3，所以点P 到x 轴的距离为3.法二：设点P 的坐标为(x P ，y P )，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y P ＝33sin x P＞0，sin x P ＝y P 33，又y P ＝3cos 2x P ＋2，所以y P ＝3(1－2sin 2x P )＋2，y P ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y 2P 27＋2，所以2y 2P ＋9y P －45＝0，(2y P ＋15)(y P －3)＝0，因为y P ＞0，所以y P ＝3，故点P 到x 轴的距离为3.答案：33．(2019·常州期末)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．解析：由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，知函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称，又点(1，0)是函数f (x )图象的对称中心，所以函数f (x )的最小正周期T 的最大值为4，所以ω的最小值为2π4＝π2.答案：π24．(2019·扬州期末)设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．解析：因为a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，所以a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sin π7＝sin10π21cos10π21，所以a cos 10π21 sin π7＋b cos 10π21 cos π7＝a sin 10π21 cos π7－b sin 10π21 sin π7，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10π21 cos π7－cos 10π21 sin π7 ＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 10π21 cos π7＋sin 10π21 sin π7， 即a sin ⎝⎛⎭⎪⎫10π21－π7＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π21－π7，a sin π3＝b cos π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.答案： 35．(2019·无锡期末)已知θ是第四象限角，cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．解析：依题意，得sin θ＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θ cos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝－35×22＋45×222×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝5214.答案：52146．(2019·南通等七市二模)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23，则AB 的长为________．解析：设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，则由sin B ＝2sin A 和正弦定理得b ＝2a ，由△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，得ab ＝8，所以a ＝2，b ＝4，由余弦定理可得AB 2＝4＋16－2×2×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28，得AB ＝27.答案：277．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cosB ＝9ac，则b 的值为________． 解析：∵sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，又∵2b ＝a ＋c ，∴b 2＝a2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，解得b ＝4.答案：48．(2019·南京三模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中ω＞0.若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π.则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为________．解析：根据已知可得2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，数形结合易知，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值，为－1.答案：－19．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________．解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7910．(2019·石庄中学模拟)将函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则θ＝________．解析：依题意，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋θ，令2x －2π3＋θ＝k π(k ∈Z )，即函数g (x )图象的对称轴为x ＝π3－θ2＋k π2(k ∈Z )，又|θ|＜π2，当k ＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6. 答案：π611．(2019·徐州中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＋3cos A ＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则△ABC 的周长为________．解析：由cos 2A ＋3cos A ＝1得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝－2(舍去)或cosA ＝12，则sin A ＝32，由S ＝12bc sin A ＝12×5×32c ＝53，得c ＝4. 所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21，得a ＝21.所以△ABC 的周长为5＋4＋21＝9＋21. 答案：9＋2112．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α（sin α＋cos α）22（sin α＋cos α）＝22sin α＝－255.答案：－25513．(2019·盐城三模)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2＋ab ，则a 2－b 2c2的取值范围是________．解析：因为c 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以由余弦定理得cos C ＝－12，所以C ＝2π3，由正弦定理得a 2－b 2c 2＝sin 2A －sin 2B sin 2C ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2A －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3.因为0＜A ＜π3，所以－π3＜2A －π3＜π3，所以a 2－b 2c2∈(－1，1)． 答案：(－1，1)14．(2018·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝________．解析：∵sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33 .又tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝tan π3－tanπ41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4B 组——力争难度小题1.如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2019·平潮中学模拟)在△ABC 中，若1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，则cos A 的取值范围为________．解析：由1tan B ＋1tan C ＝1tan A ，得cos B sin B ＋cos C sin C ＝cos Asin A， 即cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝cos Asin A，即sin （B ＋C ）sin B sin C ＝cos A sin A ，即sin A sin B sin C ＝cos Asin A，由正弦定理，得bc cos A ＝a 2，由余弦定理，得bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即cos A ＝b 2＋c 23bc ≥2bc 3bc ＝23(当且仅当b ＝c 时取等号)，又易知cos A ＜1，所以23≤cos A＜1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 3．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.答案：43＋3104.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析：由图象可得A ＝1，T 2＝2π2ω＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入函数f (x )可得0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ，所以2π3＋φ＝k π，所以φ＝k π－2π3(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 2＝π12×2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案：325．在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，D 为BC 中点，E 为AB 中点，则AE ＋BD 的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设C ＝θ，则A ＝2π3－θ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ＝ABsin C，得AB ＝AC sin C sin B ＝3sin θsinπ3＝2sin θ，BC ＝AC sin Asin B＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θsinπ3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，所以AE ＋BD ＝12AB ＋12BC ＝sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin θ＋32cos θ＋12sin θ＝32sin θ＋32cos θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，即AE ＋BD 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤32，36.(2018·南通基地卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．解析：将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 的图象向左平移3个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋3π4，所以φ＝34π，M (－1，3)，|OM |＝2，N (3，－3)，ON ＝23，|MN |＝27，由余弦定理可得，cos θ＝4＋12－282×2×23＝－32，θ＝5π6，tan(φ－θ)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－5π6＝tan 3π4－tan5π61＋tan 3π4·tan5π6＝－2＋ 3.答案：－2＋ 3第二讲 | 小题考法——平面向量 考点(一) 平面向量的概念及线性运算主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.[题组练透]1．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：如图，DE ―→＝BE ―→－BD ―→＝23BC ―→－12BA ―→＝23(AC ―→－AB ―→)＋12AB―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－23AB ―→＋23AC ―→.又DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→，且AB ―→与AC ―→不共线． 所以λ1＝12－23，λ2＝23，所以λ1＋λ2＝12.答案：122．(2019·无锡期末)在四边形ABCD 中，已知AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．解析：AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，所以AD ―→＝2BC ―→，即AD ∥BC ，且AD ＝2BC ，所以四边形ABCD 是梯形．答案：梯形3．(2018·南京考前模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立直角坐标系如图所示，设B (2，0)，C (1，t )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ， N (x 0，y 0)，因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)，即y 0＝t (2－x 0)，因为AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，即t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12λ，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数， 所以4⎝⎛⎭⎪⎫1λ＋3μ＝(3λ＋4μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27，所以1λ＋3μ≥274，当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法技巧]向量线性运算问题的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)用几个基本向量表示某个向量的基本思路： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果．(3)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．考点(二) 平面向量的数量积主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值.[题组练透]1．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：33 2．(2019·江苏高考)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB ―→·AC ―→＝6AO ―→·EC ―→，则AB AC的值是________．解析：法一：如图①，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点．又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO ―→＝12AD ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)，EC ―→＝AC ―→－AE ―→＝AC ―→－13AB ―→，所以6AO ―→·EC ―→＝32(AB ―→＋AC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC ―→－13AB ―→ ＝32AC ―→2－12AB ―→2＋AB ―→·AC ―→＝AB ―→·AC ―→，整理可得AB ―→2＝3AC ―→2，所以AB AC＝ 3.法二：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图②所示．设E (1，0)，C (a ，b )，则B (3，0)，D ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎪⎬⎪⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝ba －1（x －1）⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵ AB ―→·AC ―→＝6AO ―→·EC ―→， ∴ (3，0)·(a ，b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )，即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋3）（a －1）4＋b 24，∴ a 2＋b 2＝3，∴ AC ＝ 3.∴ AB AC ＝33＝ 3. 答案： 33．(2019·南京盐城二模)已知AD 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的高，点P 在DA 的延长线上，且满足(PB ―→＋PC ―→)·AD ―→＝4 2.若AD ＝2，则PB ―→·PC ―→的值为________．解析：法一：由AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高，得PD ―→·DC ―→＝PD ―→·DB ―→＝0，因为(PB ―→＋PC ―→)·AD ―→＝42，所以(2PD ―→＋DB ―→＋DC ―→)·AD ―→＝42，即PD ―→·AD ―→＝22，即|PD ―→|·|AD ―→|cos 0＝22，所以|PD ―→|＝2，所以PB ―→·PC ―→＝(PD ―→＋DB ―→)·(PD ―→＋DC ―→)＝PD ―→2＋DB ―→·DC ―→＝PD ―→2＋|DB ―→|·|DC ―→|cos π＝PD ―→2－|DB ―→|·|DC ―→|＝PD ―→2－|DA ―→|2＝4－2＝2.法二：因为AD ⊥BC 于D ，所以以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系xDy ，设B (m ，0)，C (n ，0)，P (0，t )，则PB ―→＝(m ，－t )，PC ―→＝(n ，－t )，因为AD ＝2，所以A (0，2)，所以AD ―→＝(0，－2)．由(PB ―→＋PC ―→)·AD ―→＝42，得t ＝2，又AB ―→·AC ―→＝0，所以mn ＝－2，所以PB ―→·PC ―→＝mn ＋t 2＝－2＋4＝2.答案：24．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝4，CD ＝2，DA ＝3，则AC ―→·BD ―→的值为________．解析：法一：因为AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，则AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－DA ―→，平方得AB―→2＋BC ―→2＋CD ―→2＋2(AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CD ―→＋CD ―→·AB ―→)＝(－DA ―→)2＝DA ―→2，即AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CD ―→＋CD ―→·AB ―→＝－6，则AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(BC ―→＋CD ―→)＝AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CD ―→＋CD ―→·AB ―→＋BC ―→2＝－6＋16＝10.法二：如图，取AC 中点O ，连结BO ，DO .所以AC ―→·BD ―→＝AC ―→·(BO ―→＋OD ―→)＝AC ―→·BO ―→＋AC ―→·OD ―→＝12(BC ―→－BA ―→)·(BC ―→＋BA ―→)－12(DC ―→－DA ―→)·(DC ―→＋DA ―→)＝12(BC ―→2－BA ―→2－DC ―→2＋DA ―→2)＝12×(16－1－4＋9)＝10.答案：10[方法技巧]平面向量数量积相关问题的求解策略(1)夹角和模的问题的处理方法，一是转为基底向量结合数量积的定义进行运算；二是建立坐标系用坐标公式求解．(2)平面向量的数量积可以用定义结合基底向量求解，也可以建立坐标系用坐标公式求解．(3)对于极化恒等式：a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22.在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB ―→·AC ―→＝AM ―→2－MC ―→2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．从而避开求向量的夹角.考点(三) 平面向量的综合问题主要考查与平面向量数量积有关的最值(范围)问题或参数求值问题.[典例感悟][典例] (1)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对于一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a 与b 的夹角大小为________．(2)(2018·苏州期末)如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，点P 是劣弧EF ︵上的一动点，则PB ―→·PC ―→的取值范围是________．[解析] (1)法一：将|a ＋x b |≥|a ＋b |两边平方可得：2＋2x a ·b ＋x 2≥2＋2a ·b ＋1， 即x 2＋2a ·b x －2a ·b －1≥0对于x ∈R 恒成立，Δ＝4(a ·b )2＋8a ·b ＋4≤0，即4(a ·b ＋1)2≤0，所以a ·b ＝－1，即cos θ＝－12＝－22，所以a ，b 夹角为3π4.法二：如图，令OA ―→＝a ，AP ―→＝x b (P 为直线l 上任意一点)，则OP ―→＝a ＋x b ，所以|a ＋x b |＝OP 的最小值即O 到直线l 的距离OH ，即OH ＝|a ＋b |，即OH ―→＝a ＋b ，所以b ＝AH ―→.在直角三角形OHA 中，AH ＝1，OA ＝2，cos ∠HOA ＝22，即∠HOA ＝π4，所以a ，b 夹角为3π4. (2)法一(几何法)：如图，取BC 的中点M ，连结PM ，PB ―→·PC ―→＝(PM ―→－MC ―→)·(PM ―→＋MC ―→)＝PM ―→2－MC ―→2.因为MC 为定值，所以PB ―→·PC ―→的变化可由PM 的变化确定． 易得AM ＝2，MC ＝2 3.当P 为劣弧EF ︵与AM 的交点时，PM 取最小值AM －1＝1；PM 的最大值为EM ＝FM ＝ 3. 所以PM 2－MC 2的取值范围是[－11，－9]，即PB ―→·PC ―→∈[－11，－9]． 法二(坐标法)：以A 为坐标原点，垂直于BC 的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则B (2，－23)，C (2，23)，设P (cos θ，sin θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3. 所以PB ―→·PC ―→＝(2－cos θ，－sin θ－23)·(2－cos θ，23－sin θ)＝(cos θ－2)2＋sin 2θ－12＝－7－4cos θ.因为cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以PB ―→·PC ―→∈[－11，－9]．[答案] (1)3π4(2)[－11，－9][方法技巧]平面向量有关最值(范围)问题求解的2种思路形化即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断数化即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决[演练冲关]1．已知|OA ―→|＝|OB ―→|＝2，且OA ―→·OB ―→＝1.若点C 满足|OA ―→＋CB ―→|＝1，则|OC ―→|的取值范围是________．解析：如图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，因为|OA ―→|＝|OB ―→|＝2，OA ―→·OB ―→＝1，所以|OD ―→|＝|OA ―→＋OB ―→|＝（OA ―→＋OB ―→）2＝OA ―→2＋OB ―→2＋2OA ―→·OB ―→ ＝6，由|OA ―→＋CB ―→|＝1得|OA ―→＋CB ―→|＝|OA ―→＋OB ―→－OC ―→|＝|OD ―→－OC ―→|＝|CD ―→|＝1，所以点C 在以点D 为圆心，1为半径的圆上，而|OC ―→|表示点C 到点O 的距离，从而|OD ―→|－1≤|OC ―→|≤|OD ―→|＋1，即6－1≤|OC ―→|≤6＋1，即|OC ―→|的取值范围是[6－1，6＋1]．答案：[6－1，6＋1]2．(2019·苏州期末)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，且BM ＋DN ＝MN ，则AM ―→·AN ―→的最小值是________．解析：法一：由题意，以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点M (2，m )，N (n ，2)，其中0≤m ≤2，0≤n ≤2，则向量AM ―→＝(2，m )，AN ―→＝(n ，2)，所以AM ―→·AN ―→＝(2，m )·(n ，2)＝2n ＋2m .由BM ＋DN ＝MN ，知m ＋n ＝ （m －2）2＋（2－n ）2，整理得2(m ＋n )＋mn －4＝0，又由0＝2(m ＋n )＋mn －4≤2(m ＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－4，得m ＋n ≥42－4，当且仅当m ＝n ＝22－2时等号成立，所以AM ―→·AN ―→的最小值是82－8.法二：设BM ＝m (0≤m ≤2)，DN ＝n (0≤n ≤2)，则MC ＝2－m ，NC ＝2－n ，由MN 2＝MC 2＋NC 2，得(m ＋n )2＝(2－m )2＋(2－n )2，整理得2(m ＋n )＋mn －4＝0. AM ―→·AN ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(AD ―→＋DN ―→)＝2m ＋2n .由0＝2(m ＋n )＋mn －4≤2(m ＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22－4，得m ＋n ≥42－4，当且仅当m ＝n ＝22－2时等号成立，所以AM ―→·AN ―→的最小值是82－8.答案：82－83．如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3.点B ，C 分别在m ，n 上，|AB ―→＋AC ―→|＝5，则AB ―→·AC ―→的最大值是________．解析：设P 为BC 的中点，则AB ―→＋AC ―→＝2AP ―→，从而由|AB ―→＋AC ―→|＝5得|AP ―→|＝52，又AB ―→·AC ―→＝(AP ―→＋PB ―→)·(AP ―→＋PC ―→)＝AP ―→2－PB ―→2＝254－PB ―→2，因为|BC ―→|≥2，所以PB ―→2≥1，故AB ―→·AC ―→≤254－1＝214，当且仅当|BC ―→|＝2时等号成立．答案：214[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二)二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R )，则mn＝________．解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF ―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0.4．极化恒等式a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22[提醒] 极化恒等式的使用是最近考查的热点，要有将平面向量数量积用此工具转化的基本意识．[课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．(2018·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________．解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2018·无锡期末)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1，2)，m a ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与m a ＋b 垂直，所以(a －b )·(m a ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．(2019·南京四校联考)设a ，b 是单位向量，且a ·b ＝13，向量c 满足c ·a ＝c ·b ＝2，则|c |＝________．解析：法一：由题意可设c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则c ·a ＝λ＋13μ＝2，c ·b ＝13λ＋μ＝2，所以λ＝μ＝32，所以|c |＝32|a ＋b |＝32a 2＋2a ·b ＋b 2＝ 6.法二：由题意不妨令a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，223.设c ＝(x ，y )，则c ·a ＝x ＝2，c ·b ＝13x ＋223y ＝2，所以c ＝(2，2)，所以|c |＝ 6. 答案： 64．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 答案：π45．(2019·南京三模)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是夹角为60°的两个单位向量．若向量c 满足c ·()a ＋2b ＝－5，则|c |的最小值为________．解析：设向量c 与a ＋2b 的夹角为θ.由c ·(a ＋2b )＝－5，得|c |·|a ＋2b |cos θ＝－5，因为|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋2＋4＝7，所以|c |·7 cos θ＝－5，则|c |＝－57 cos θ.因为－1≤cos θ＜0，所以当cos θ＝－1时，|c |取得最小值，为577.答案：5776.如图，在△ABC 中，已知∠BAC ＝π3，AB ＝2，AC ＝3，DC ―→＝2BD ―→，AE ―→＝3ED ―→―，则|BE ―→|＝________．解析：BE ―→＝BA ―→＋AE ―→＝BA ―→＋34AD ―→＝BA ―→＋34(AC ―→＋CD ―→)，而CD ―→＝23CB ―→＝23(AB ―→－AC ―→)，故BE ―→＝－12AB ―→＋14AC ―→，从而|BE ―→|＝12AB ―→2－AB ―→·AC ―→＋14AC ―→2＝12 4－2×3×12＋94＝134.答案：1347．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________． 解析：法一：因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝52a 2，|2a －b |＝（2a －b ）2＝5a 2－4a ·b ＝7|a |，所以cos 〈a ，2a －b 〉＝a ·（2a －b ）|a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.法二：因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以〈a ，b 〉＝2π3，所以a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2a 2－|a |·|b |cos 2π3＝52a 2，|2a －b |＝（2a －b ）2＝5a 2－4a ·b ＝5a 2－4|a |·|b |cos 2π3＝7|a |.所以cos 〈a ，2a －b 〉＝a ·（2a －b ）|a |·|2a －b |＝52a 2|a |·7|a |＝527＝5714.答案：57148．在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是对角线BD 上的任意一点，则AP ―→·AC ―→＝________．解析：如图所示，由条件知△ABC 为正三角形，AC ⊥BP ，所以AP ―→·AC ―→＝(AB ―→＋BP ―→)·AC ―→＝AB ―→·AC ―→＋BP ―→·AC ―→＝AB ―→·AC―→＝||AB ―→ ×||AC ―→ cos 60°＝2×2×12＝2. 答案：29．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边上BC ，DC 上，BE ―→＝t BC ―→，DF ―→＝m DC ―→，若AE ―→·AF ―→＝1，CE ―→·CF ―→＝－23，则t ＋m ＝________．解析：因为AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋t BC ―→＝AB ―→＋t AD ―→；AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋m DC ―→＝AD ―→＋m AB ―→，所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋t AD ―→)·(AD ―→＋m AB ―→)＝－2－2tm ＋4t ＋4m ＝1；CE ―→·CF ―→＝－2(1－t )(1－m )＝－2＋2m ＋2t －2tm ＝－23，联立⎩⎪⎨⎪⎧－2－2tm ＋4t ＋4m ＝1，－2＋2m ＋2t －2tm ＝－23，解得t ＋m ＝56. 答案：5610．(2019·常州期末)平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA ―→|＝1，|OB ―→|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC ―→|＝32，则|OD ―→|＝________．解析：法一：由点C 为线段AB 的中点，得OC ―→＝OA ―→＋OB ―→2，又|OC ―→|＝32，|OA―→|＝1，|OB ―→|＝2，所以34＝1＋2OA ―→·OB ―→＋44，得cos ∠AOB ＝－12，∠AOB ＝2π3.由S △AOD。

§1.1 集合的概念和运算（一）【复习目标】1． 了解集合中元素的三种特性，正确使用集合的符号和语言表达数学问题；2． 分清集合中的两种关系，即元素与集合关系、集合与集合的关系；3． 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识。

【重点难点】集合语言的正确、准确理解；熟练进行集合的基本运算【课前预习】1． 数0与空集φ的关系是 （ ）A ．0φ∈B ．0φ=C ．{0}φ=D ．0φ∉2． 集合M=8|,,3y y x y Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭的元素个数是 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个3． 用适当符号（,,,,∈∉=刭）填空：π Q ；{3.14} Q ；N N *；{|21,}x x k k Z =+∈ {|21,}x x k k Z =-∈； *{|21,}x x k k N =+∈ *{|21,}x x k k N =-∈.4． 用描述法表示下列集合（1） 由直线y=x+1上所有点的坐标组成的集合 ；（2） {0，－1，－4，－9，－16，－25，－36，－49} ；5． 设集合M=1{|,}24k x x k Z =+∈，N=1{|,}42k x x k Z =+∈，则 （ ） A ．M=N B ．M ØN C ．M ÙN D ．M ⋂N=φ6． 若A ⋂B=B ，，则A B （填,⊆⊇）；若A ⋃B=B ，则A B. 【典型例题】例1 已知集合M={|3,}x x n n Z =∈，N={|31,}x x n n Z =+∈，P={|31,}x x n n Z =-∈，且,,a M b N c P ∈∈∈，设d a b c =-+，则A ．d M ∈B ．d N ∈C ．d P ∈D ．以上都不正确例2 已知集合2{|210,,}x ax x a R x R ++=∈∈（1） 若A 中只有一个元素，求a 的值；（2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

高考数学：解三角形的综合应用导学案学习内容§4.7 解三角形的综合运用学习目的可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法处置一些与测量和几何计算有关的实践效果学习重难点经常结合三角恒等变换公式、三角函数的图像和性质停止考察，具有一定的综合性导学过程一、自主学习1．仰角和俯角与目的线在同一铅垂平面内的水平视野和目的视野的夹角，目的视野在水平视野________叫仰角，目的视野在水平视野________叫俯角(如图①)．2．方向角相关于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从________方向顺时针转到目的方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S＝p(p－a)(p－b)(p－c)(p＝a＋b＋c2)，S＝abc4R＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝a＋b＋c2)．2．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比．【自主测试】判别以下结论能否正确(请在括号中打〝√〞或〝×〞)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，那么α，β的关系为α＋β＝180°.( )(2)俯角是铅垂线与视野所成的角，其范围为[0，π2]．( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目的点之间的位置关系．( )(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围普通是[0，π2)．( )二、小组协作1.(必修5P20T1改编)△ABC 的角A,B,C 的对边区分为a,b,c,那么△ABC 的面积公式可表示为 ( )2211A.S absin A B.S bccos A 221sin Asin C 1sin Bsin C C.S a D.S a 2sin B 2sin A ==== 2.(必修5P24T5改编)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角区分为75°,30°,此时气球的高是60m,那么河流的宽度BC 等于 ( )()()()().24031.18021.12031.3031A m B m C m D m - -- +三、展现反应3.(2021·西安模拟)如图,要测量底部不能抵达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点.在甲、乙两点测得塔顶的仰角区分为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距 500m,那么电视塔的高度是 ( )A.1002mB.400mC.2003mD.500m四、拓展提升4.(2021·石家庄模拟)如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A处动身,沿北偏东60°方向停止海面巡查,当飞行半小时抵达B 处时,发现北偏西45°方向有一艘 船C,假定船C 位于A 的北偏东30°方向上,那么缉私艇所在的B 处与船C 的距离是 ( )()()()()A.562 km B.562 km C.1062 km D.1062 km+--+五、教〔学〕后反思。