河海大学高数习题十五 三重积分的概念及计算(2012)

三重积分和多重积分方法在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去.类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ∆∆∆,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W W Q d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设},...,,max{21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ∆,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即()i i i i ni V z y x f M ∆≈∑=,,1．当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即()i i i i ni V z y x f M ∆=∑=→,,lim 1λ．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义设()z y x f ,,是空间3R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21.Φ=⋂oo j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ∆∆∆,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设},...,,max{21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和()iiiini V z y x f ∆∑=,,1(称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极限为函数()z y x f ,,在区域V 上的三重积分，记为()⎰⎰⎰VdV z y x f ,,．并称函数()z y x f ,,在区域V 上可积．()z y x f ,,称为被积函数,x,y,z 称为积分变量., V 称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为()⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ,,．我们同样可以引入Darboux 大,小和来判别可积, 也有同样的结论(略).1. 若()z y x f ,,是有界闭区域V 上的连续函数，则函数()z y x f ,,在区域V 上可积．2. 若()z y x f ,,=1时,⎰⎰⎰=VV dxdydz的体积.3. 若()z y x f ,,在有界闭区域V 上的间断点集合是0体积时, ()z y x f ,,在V 可积. 三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下．１．可积函数的和（或差）及积仍可积. 和（差）的积分等于积分的和(差)． ２．可积函数的函数k 倍仍可积. 其积分等于该函数积分的k 倍． ３．设Ω是可求体积的有界闭区域，()z y x f,,在Ω上可积，Ω分为两个无共同内点的可求体积的闭区域21,ΩΩ之并，则()z y x f ,,在21,ΩΩ上可积，并有()()()V d z y x f V d z y x f V d z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+=21,,,,,,．等等.三、三重积分的计算方法同二重积分一样, 我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成..1. 利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论.定理12.14 若函数()z y x f ,,是长方体V =[a,b ]×[c,d ]×[e,h ]上的可积, 记D=[c,d ]×[e,h ], 对任意x ∈[a,b ], 二重积分()⎰⎰=Ddydz z y x f x I ,,)(存在, 则 ()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ba Db a dx dydz z y x f dx x I ,,)( (记为()⎰⎰⎰D ba dydz z y x f dx ,,)也存在, 且()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==hed cb aDb aVdz z y x f dy dx dydz z y x f dx V d z y x f ,,,,,,.这时右边称为三次积分或累次积分, 即三重积分化为三次积分.证明 分别中[a,b ], [c,d ], [e,h ] 插入若干个分点b x x x x a n =<<<<= 210;d y y y y c m =<<<<= 210;h z z z z e s =<<<<= 210作平面i x x =, j y y =, k z z =,(i =0,1,2,…,n; ,j i =0,1,2,…,m; k =0,1,2,…,s,)得到V 的一个分划P . 令 ],,[],[],[111k k j j i i ijk z z y y x x v ---⨯⨯=(i =1,2,…,n; ,j i =1,2,…,m; k =1,2,…,s,),ijk M ,ijk m 分别是()z y x f ,,在ijk v 上的上, 下确界.那么在],[],[11k k j j jk z z y y D --⨯=上有k j ijkD ik j ijk z y Mdydz z y f z y m jk∆∆≤≤∆∆⎰⎰),,(ξ其中Δx i ,= x i - x i -1 , Δy j ,= y j - y j -1 , Δz k ,= z k - z k -1 , (i =1,2,…,n; ,j i =1,2,…,m; k =1,2,…,s,).)(),,(),,(,iDik j D iI dydz z y f dydz z y f jkξξξ==⎰⎰∑⎰⎰∑∑∑∆∆∆≤∆≤∆∆∆=kj i k j i ijk ni i i kj i k j i ijkz y x M x I z y x m,,1,,)(ξ因可积，所以当||P ||趋于0时，Darboux 大,小和趋于同一数，即三重积分. 故定理得证.如果V 如右图, e ≤z ≤h, z=z 与V 面积为D z ,不难得到,若函数()z y x f ,,在V 上的可积, 那么()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=zD heVdxdy z y x f dz V d z y x f ,,,,.下面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数),,(z y x f 在有界闭区域Ω上连续，我们先讨论一种比较特殊的情况．()()()()},,,,|,,{21y x z z y x z D y x z y x ≤≤∈=Ω，其中xy D 为Ω在xoy 平面上的投影，且()()})(,|,{21x y y x y b x a y x D xy ≤≤≤≤=．如图1２．我们现在z 轴上做积分，暂时将y x ,看成是常数．把函数()z y x f ,,看作是z 的函数，将它在区间()()],,,[21y x z y x z 上积分得到()()()⎰y x z y x z dz z y x f ,,21,,．显然这个结果是y x ,的函数，再把这个结果在平面区域xy D 上做二重积分()()()dxdy dz z y x f y x z y x z D xy⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰,,21,,． 在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果．若平面区域xy D 可以用不等式()()x y y x y b x a 21,≤≤≤≤表示，则()⎰⎰⎰ΩdV z y x f ,,()()()()()⎰⎰⎰=y x z y x z x y x y badz z y x f dy dx ,,2121,,．这个公式也将三重积分化为了三次积分．如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算． 例1计算三重积分⎰⎰⎰ΩxdV ，其中Ω是由三个坐标面和平面1=++z y x 所围的立体区域．解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤10,10,10，所以积分可以化为()()241413181121112341021010101010=+-=-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ωx x x dx x x dyy x x dx xdzdy dx xdV xyx x四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:定理12.15 设V 是uvw 空间R 3中的有界可求体积的闭区域，T ：x =x (u,v,w ), y =y (u,v,w ), z =z (u,v,w ),是V 到xyz 空间R 3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且V w v u zz v z u z z yv y uyz x v x ux w v u z y x ∈≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂),,(,0),,(),,( (称为Jacobi). 如果f (x,y,z ) 是T (V )上的可积函数，那么dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f VV T ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=),,(),,()),,(),,,(),,,((),,()(在R 3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1. 利用柱面坐标计算三重积分 前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算．同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算．我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分．设空间中有一点()z y x M ,,，其在坐标面xoy 上的投影点'M 的极坐标为()θ,r ，这样图12-4-4M ’M (x,y,z)三个数θ,,r z 就称为点M 的柱面坐标（如图12-4-4）．这里规定三个变量的变化范围是⎪⎩⎪⎨⎧+∞≤≤∞-≤≤+∞≤≤z r πθ200， 注意到，当=r 常数时，表示以z 轴为中心轴的一个柱面． 当θ=常数时，表示通过z 轴，与平面xoy 的夹角为θ的半平面． 当=z 常数时，表示平行于平面xoy ，与平面xoy 距离为z 的平面． 空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系, 即是R 3到R 3的映射:⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos ． 所以 其Jacobi 为,10c o ss i n 0s i n c o s),,(),,(r r r z r z y x =-=∂∂θθθθθ故容易得到: 如果f (x,y,z ) 是R 3中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数,则()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdz rdrd z r r f dV z y x f θθθ,sin ,cos ,,,其中,变换前后区域都用V 表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来.用三组坐标面311,,C z C C r ===θ将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为dr r r +和两个圆柱面，极角为θθθd +和的两个半平面，以及高度为dz z z +和的两个平面所围成的．它可以近似的看作一个柱体，其底面的面积为θrdrd ，高为dz ．所以其体积为柱面坐标下的体积元素，即dz rdrd dV θ=．再利用两种坐标系之间的关系，可以得到()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVdz rdrd z r r f dV z y x f θθθ,sin ,cos ,,．在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分． 例2计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+dV y x22，其中Ω是由椭圆抛物面()224y x z +=和平面4=z 所围成的区域．解 如图所示，积分区域Ω在坐标面xoy 上的投影是一个圆心在原点的单位圆．所以{}44,20,102≤≤≤≤≤≤=Ωz r r πθ．于是()()πθθθππ32441053204412202222=-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdr r r d dzrdr r d dzrdrd r dV y xr2．利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数ϕθ,,r 来表示空间的一个点．设有直角坐标系的空间点()z y x M ,,，点M 在坐标面xoy 上的投影'M ，其中||OM r =，θ为x 轴到射线'OM 转角．ϕ为向量与z 轴的夹角．如图12-4-7．规定三个变量的变化范围是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+∞≤≤πϕπθ0200r ． 我们可以看到，注意到，当=r 常数时，表示以原点为球心的球面． 当θ=常数时，表示通过z 轴的半平面．当=ϕ常数时，表示以原点为顶点，z 轴为中心的锥面． 两种坐标系之间的关系如下：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x ． 即又是一个即是R 3到R 3的映射.它的Jacobi 是,sin 0sin cos cos sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin ),,(),,(2ϕϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr r r r r r r z y x =--=∂∂由一般的重积分变换公式容易得到:如果f (x,y,z ) 是R 3中的有界可求体积的闭区域V 上的可积函数,则()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VVd drd rr r r f dV z y x f θϕϕϕθϕθϕsin cos ,sin sin ,cos sin ,,2,其中,变换前后区域都用V 表示.用几何直观的意义可以如下理解: 已知f (x,y,z ) 闭区域V 上的可积函数.用三组坐标=r 常数，=θ常数，=ϕ常数，将积分区域V 划分为若干个小的区域. 考虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为dr r r +和的球面，极角为θ和θθd +的半平面，与中心轴夹角为ϕ和ϕϕd +的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别是θϕϕd r rd dr sin ,,的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为ϕθϕd drd r dV sin 2=．再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式()()ϕθϕϕθϕθϕd drd r r r r f dV z y x f VVsin cos ,sin sin ,cos sin ,,2⎰⎰⎰⎰⎰⎰=．例3计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+dV y x22，其中Ω是右半球面0,2222≥≤++y a z y x 所围成的区域．解 在球面坐标下，积分区域可以表示为}0,0,0{πϕπθ≤≤≤≤≤≤=Ωa r所以()503505334022222154cos 31cos 551sin sin sin sin a a d r d drr d d d drd r r dV y xaaπϕϕπϕϕθϕϕθϕθϕϕπππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ与二重积分,三重积分一样可以定义一般n 重积分.我们这里只是简单介绍.当V 是R n 中的有界闭区域. 依照可求面积的方法定义V 的可求“体积”或可测(略). 设f (x 1, x 2,,…, x n ,) 是R n 中的有界可测闭区域V 上的函数, 任取V 的分划P,, 即把分成若干个可测小区域m V V V ,,,21 , 它们的”体积”或测度分别记为m V V V ∆∆∆,,,21 , 当令{}i i V Q Q Q Q d ∈=2121,|||sup , ||21Q Q 表示两点的距离,{}m d d d P ,,,max ||||21 = , 对任取),,2,1(,),,,()()(2)(1m i V x x x i i n i i =∈,如果i mi i n i i P V x x xf ∆∑=→1)()(2)(10||||),,,(lim存在,称f (x 1, x 2,,…, x n ,)是V 上的可积函数.其极限值称为f (x 1, x 2,,…, x n ,)在V 上的n 重积分,记为dV x x x f n n V),,,(21 ⎰⎰ 或 n n nVdx dx dx x x x f2121),,,(⎰⎰. 特别 当V =[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]时,n n b a b a b a n n n Vdx x x x f dx dx dx dx dx x x x f n n),,,(),,,(212121211122⎰⎰⎰⎰⎰=.若V 上有一一映射T⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(:2121222111n n n n n u u u x x u u u x x u u u x x T ，其每个分量的函数有连续偏导数，当V 是有界可测区域，f (x 1, x 2,,…, x n ,)在T(V )上可积，并且JacobiV u u u u x u x u x u x u x ux u x u x u x u u u x x x n n nn n n n n n ∈≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂),,,(,0),,,(),,,(212122212121112121那么n n n V T dx dx dx x x x f2121)(),,,(⎰⎰nn n n n n n n Vdu du du u u u x x x u u u x u u u x u u u x f21212121212211),,,(),,,()),,,(,),,,,(),,,,((∂∂=⎰⎰.特别是R n 中的球坐标变换T :,321321211cos sin sin ,cos sin ,cos ϕϕϕϕϕϕr x r x r x === ……,123211cos sin sin sin sin ---=n n n r x ϕϕϕϕϕ , 12321sin sin sin sin sin --=n n n r x ϕϕϕϕϕ ,在R n 中, .20,,,,0,012321πϕπϕϕϕϕ≤≤≤≤∞<≤--n n r 这时的Jacobi 是2231211112122111111121sin sin sin ),,,(),,,(--------=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂n n n n n nn n n n n n r x x rx x x rx x x r x r x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ。

三重积分计算题与实际生活有关的一、引言在数学中，三重积分是一种重要的数学工具，用于计算多变量函数在三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

虽然在学术和科研领域中有着广泛的应用，但三重积分在实际生活中也有着重要的应用价值。

本文将探讨三重积分计算题与实际生活的关联，以及其在工程、地理和医学等领域中的应用。

二、三重积分的基本概念在开始讨论三重积分在实际生活中的应用之前，我们先来了解一下三重积分的基本概念。

三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，通常用于计算三维区域内的体积。

其数学表达式为∭f(x, y, z) dV，表示对空间内的某个区域进行积分。

根据不同的坐标系，三重积分可以表示为直角坐标系、柱坐标系或球坐标系下的积分形式。

通过对三维空间内的函数进行三重积分运算，可以得到该函数在空间内的总量或总值。

三、三重积分在工程中的应用在工程领域，三重积分广泛应用于计算物体的体积、质量及重心等物理量。

在机械设计中，通过对零件的三维模型进行三重积分计算，可以准确地得到零件的体积和质量，为零件的加工和制造提供了重要的参考数据。

另外，在建筑设计中，对建筑结构或土地的三维模型进行三重积分计算，可以帮助工程师确定建筑物的体积和重心，从而保证建筑结构的稳定性和安全性。

三重积分在工程领域的应用为工程设计和制造提供了重要支持。

四、三重积分在地理学中的应用在地理学领域，三重积分也有着重要的应用价值。

地理学家经常需要计算地球上的地形、地貌及地下资源等空间分布的特征。

通过对地理空间内的各种地形或资源分布进行三重积分计算，可以得到地球表面或地下的总体积、总资源量等物理量。

这些数据对于地理学家研究地质构造、资源分布和环境保护等方面具有重要意义。

三重积分还可以帮助地理学家对地球上各种自然灾害如地震、火山喷发等进行风险评估和预测，为地质灾害防治提供了重要的技术支持。

五、三重积分在医学中的应用在医学领域，三重积分也被广泛应用于对人体组织和器官的体积、密度、质量等生理特征的研究和计算。

三重积分及其计算和多重积分三重积分是多元函数积分的一种形式，用于求解三维空间中的体积、质量、质心等物理量。

在数学上，三重积分可以看作是一个连续变量在三维区域上的求和，它可以通过分割区域、选择适当的样本点，以及取极限的方式来进行计算。

三重积分的计算可以通过两种方法来完成：直接计算和换序求积分。

直接计算是指通过将三重积分的积分区域分割成小的立体单元，然后计算每个立体单元的积分值，再将这些积分值相加得到最终的结果。

这种方法适用于简单的积分区域，但对于复杂的区域，计算难度较大。

而换序求积分是指通过改变积分的顺序，将三重积分转化为便于计算的累次积分。

这种方法的优势在于可以简化计算过程，降低计算难度。

对于直接计算，首先需要确定积分区域，然后将区域分割成小的立体单元，每个单元的大小趋近于零。

可以使用直角坐标系、柱坐标系或球坐标系来表示积分区域，并确定相应的积分限。

接下来，选择样本点，可以选择样本点在单元中的中心，或者在每个单元中选择若干个样本点。

然后计算每个单元的积分值，再将这些积分值相加，就得到了最终的积分结果。

对于换序求积分，首先需要确定积分顺序，一般是从内积分到外积分。

然后，根据积分顺序，确定每个积分部分的积分限。

接下来，可以根据条件判断是否需要修改积分区域，如是否需要进行坐标转换或对区域进行分割。

最后，通过依次进行累次积分，得到最终的结果。

三重积分在物理中的应用非常广泛。

例如，利用三重积分可以求解一个带电体的电荷分布密度、一个流体的质量分布密度，以及一个物体的质心。

通过计算三重积分，可以得到这些物理量的精确值，为进一步研究提供了基础。

在实际计算过程中，三重积分的计算通常比较复杂，需要运用一些基本的数学知识和技巧。

例如，可以通过选择适当的坐标系来简化计算，使用奇偶性来简化被积函数的表达式，利用对称性来简化积分区域的确定等。

此外，还可以利用数值计算方法，如数值积分、Monte Carlo方法等，来近似计算三重积分的值。

§5 三重积分教学目的 掌握三重积分的定义和性质．教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．(2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ<T 时，属于T 的所有积分和都有εσζηξ<-∆∑=J f Ni i iii1),,(,则称()z y x f ,,在V 上可积，数J 称为函数()z y x f ,,在V 上的三重积分，记作J =()⎰⎰⎰Vdvdydzz y x f ,,，其中()z y x f ,,称为三重积分的被积函数，z y x ,,称为积分变量，称为V 积分区域．可积函数类（ⅰ）有界闭区域V 上的连续函数必可积.（ⅱ）有界闭区域V 上的有界函数()z y x f ,,的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则()z y x f ,,必在V 上可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,⨯⨯上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分()x I =()dydz z y x f D⎰⎰,,存在，其中D =[][]f e d c ,,⨯，则积分⎰badx ()⎰⎰Dd z y x f σ,,也存在，且()⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ,,=⎰badx ()⎰⎰Dd z y x f σ,,. (1)为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合()()()()(){}b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121所确定，V 在xy 平面上的投影区域为D =()()(){}b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续，()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则()⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ,,=()()⎰⎰⎰Dz yx z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()()⎰⎰⎰b ax y x y z yx z dzz y x f dy dx 2121,,,，其他简单区域类似．一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．例1计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x 221，其中V 为由平面x y z x x ====,0,2,1,y z =所围的区域.例2 求⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydzc z b y a x 222222，其中V 为2222221x y z a b c ++≤. 例3改变下列累次积分顺序110(,,)xx ydx dy f x y z dz --⎰⎰⎰三、三重积分换元法设变换T ：()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=把uvw 空间中的区域V '一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=及它的偏导数在区域V '内连续且行列式()w v u J ,,=x x x uv w yy y u v w z z z uv w∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0 , ()w v u ,,∈V ', 则()⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ,,=()()()()()⎰⎰⎰'V dudvdww v u J w v u z w v u y w v u x f ,,,,,,,,,,，（4）其中()z y x f ,,在V 上可积． （一）、柱面坐标变换：如下图所示变换T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z z r y t r x ,20,sin 0,cos πθθθ，()z r J ,θ=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r，按（4）式()⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ,,=()⎰⎰⎰'V dzrdrd z r r f θθθ,sin ,cos ，这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．在柱面坐标中：r =常数，是以z 轴为中心轴的圆柱面； θ=常数，是过z 轴的半平面； z =常数，是垂直于z 轴的平面． 若V 在平面上的投影区域D ，即V =()()()(){}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤,,,,,,21时()⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ,,=()()()dzz y x f dxdy Dy x z yx z ⎰⎰⎰,,21,,，其中二重积分部分应用极坐标计算．例4 计算()⎰⎰⎰+Vdxdydzy x22，其中V 是由曲面()z y x =+222与4=z 为界面的区域． 例5 计算,Vzdxdydz V ⎰⎰⎰由2224x y z ++=和抛物面223x y z +=围成。

三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面回顾：讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1) 一根细棒：ab 密度为i ξ=M ()b a x dx ρ=⎰()i ρξi x ∆∑=ni 10lim →λ(2)平面薄片：),(i i ηξ=M (,)i i ρξη∑=n i 10lim →λiσ∆(,)Dx y dxdy ρ=⎰⎰密度为y x D（3）设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,(,,),x y z C ρ∈求分布在Ω内的物质的质量M .密度函数为Ω(,,)k k k ξηζk v ∆(,,)x y z ρ➢分割：12,,,,,i n v v v v ∆∆∆∆把Ω分为➢取近似：(,,)k k k k kM v ρξηζ∆≈∆➢求和：1(,,)n k k k kk M v ρξηζ=≈∆∑➢取极限：01lim (,,)n k k k k k M v λρξηζ→==∆∑设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数,1、将闭区域Ω任意分成n 个小闭区域∆v 1, ∆v 2, ⋅⋅⋅, ∆v n , 其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积,2、在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξi , ηi , ζi )∆v i ，3、求和∑=ni i i i i v f 1),,(∆ζηξ4、如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 并记为d (,,)Ωf x y z v⎰⎰⎰三重积分的定义⚫注：（2）三重积分的物理意义:不均匀物体的质量（1）其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同.（3）同样有: 有界闭区域上的连续函数一定可积.d 01.(,,)lim (,,)ni i i ii f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面➢线性性质[]d d d (,,)(,,)(,,)(,,)f x y z g x y z v f x y z v g x y z v αβαβΩΩΩ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢可加性d d d 12(,,)(,,)(,,)f x y z v f x y z v f x y z v ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰➢几何意义d v V Ω=⎰⎰⎰V 为Ω的体积➢不等式(,,)f g x y z ≤∈Ωd d (,,)(,,)f x y z v g x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d (,,)(,,)f x y z v f x y z vΩΩ≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰(),Df x y d σ=⎰⎰曲顶柱体的体积➢估值定理(,,)m f M x y z ≤≤∈Ωd (,,)mV f x y z v MVΩ≤≤⎰⎰⎰➢中值定理(,,)f x y z 在Ω上连续,则存在(,,),ξηζ∈Ω使得d (,,)(,,)f x y z v f V ξηζΩ=⎰⎰⎰三重积分的概念三重积分的性质三重积分的计算直角柱面球面在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标面的)平面x = 常数, y = 常数, z = 常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为:dv =dxdydz三重积分可写成:三重积分在直角坐标系中的计算法与二重积分类似, 三重积分可化成三次积分进行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型.d (,,)f x y z v Ω=⎰⎰⎰(),,f x y z dxdydzΩ⎰⎰⎰（一）先单后重（先一后二）法假设：1(,,)f x y z Ω在有界闭区域上连续；2º过Ω内任一点M 且平行于某坐标轴的直线与Ω的边界曲面S 至多有两个交点.以下以z 轴的情形为例.),(2y x zz =),(1y x z z =),(2y x z z =),(1y x z z =xyzoΩD xy 1z 2z 2S 1S ),(1y x z z =),(2y x z z =ab),(y x ),,(:),,(:2211y x z z S y x z z S ==(,),xy x y D ∈过点作直线穿出．穿入，从从21z z Ω在xOy 面上的投影区域为D xy ,以D xy 的边界为准线作母线平行z 轴的柱面.这柱面与Ω的边界曲面S相交，并将S 分成上、下两部分:则Ω可以表示为12{(,,)(,)(,),(,)}.xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈()()12,(,,),,,x y f x y z z z x y z x y z ⎡⎤⎣⎦先将看作定值，将只看作的函数，在区间上对积分21(,)(,)(,,)(,)[(,,)].xyxyD z x y z x y D f x y z dv F x y d f x y z dz d σσΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而原三重积分可表示为21(,)(,)(,,)xyz x y z x y D d f x y z dzσ=⎰⎰⎰这就化为一个定积分和一个二重积分的运算21(,)(,)(,,)z x y z x y f x y z dz⎰(,)xy F x y D 再计算在闭区间上的二重积分(,)F x y ==⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(12:()(),,xy D y x y y x a x b ≤≤≤≤若得2()y y x =abD1()y y x =Dba2()y y x =1()y y x =先对z ,再对y ,最后对x 的三次积分dx ⎰dy ⎰(),,.f x y z dz ⎰()1,z x y ()2,z x y ()1y x ()2y x ab注：若将积分域Ω投影到yOz 或xOz 面上，则可把三重积分化为按其它顺序的三次积分.x y zyoz →→Ω积分次序为将投影到面21(,)(,)(,,)(,,)yzx y z x y z D f x y z dv d f x y z dxσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21(,)(,)(,,)(,,)xzy x z y x z D f x y z dv d f x y z dyσΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰y x z xoz →→Ω积分次序为将投影到面Ω：平面x =0, y = 0, z = 0，x+2y+ z =1所围成的区域x = 0, y = 0, x+2y =1 围成例1.计算三重积分x + 2y + z =1yx121()112y x =−D xyzy x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限分析：1xyz121解:d d d x x y zΩ⎰⎰⎰121(1)00d (12)d x x x x y y−=−−⎰⎰120d x y z−−⎰12301(2)d 4x x x x =−+⎰148=练习：将积分次序改为：先y 再z 后x将积分次序改为：先x 再z 后y1xyz121x + 2y + z =1()012101201z x yy x x ≤≤−−⎧⎪⎪Ω≤≤−⎨⎪≤≤⎪⎩：例2 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中 积分区域 Ω为由曲面22y x z +=,2x y =,1=y , 0=z 所围成的空间闭区域.2y x=1y =oxy-11xyD 11、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z 再y 后x,3、确定z 的积分上下限4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD ⎰⎰⎰−+=1101222),,(yx x dz z y x f dy dx I .例3 化三重积分 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中积分区域Ω为由曲面 222y x z +=及22x z −=所围成的闭区域.1、画出（观察）积分区域分析：2、确定积分次序先z , 再y 后x ,3、确定z 的积分上下限222z x=−下曲面21((0,0)2(0,0)0)z z =>=2212z x y=+上曲面=22222(,,)xyxx yD I d f x y z dz σ−+∴⎰⎰⎰xyD Oxy–1122222112112(,,).x x xx ydx dy f x y z dz −−−−−+=⎰⎰⎰22222x y z x⎧⎪Ω⎨⎪+≤≤−⎩：2211x y x −−≤≤−11x −≤≤由⎩⎨⎧−=+=22222xz y x z ,221,x y +≤:xyz xoy D Ω消去得在面上的投影区域4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 解：xy xoy D xoy Ω思考：在面上的投影区域是一个圆域，那么在平面进行的二重积分，可不可以利用极坐标系计算？需要注意些什么？2222,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例4计算其中是由曲面与平面所围成xyzo2z y x =−2z y x =−−分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先z 再y 后x,4、将Ω向xoy 平面做投影得区域xyD 3、确定z 的积分上下限yxo4y =2y x ==222222xyy x y x D x z dv d x z dzσ−−−Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=22224222y x xy xdx dy x z dz−−−+⎰⎰⎰分析：1、画出（观察）积分区域2、确定积分次序先y 再z 后x,4、将Ω向xoz 平面做投影得区域xzD 3、确定y 的积分上下限=2242222xzx z D x z dv d x z dyσ+Ω++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224,4x z dv y x z y Ω+Ω=+=⎰⎰⎰例计算其中是由曲面与平面所围成xyzΩ22y x z =+4y =xz2−2224x z +==2222422xzx zD x z dvd x z dyσΩ+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()=22222244x y xzx z d σ+≤−−+⎰⎰xz2−2224x z +=2r =()()=222224041282415d rr rdrr r dr πθππ−⋅=−=⎰⎰⎰解：1、确定了积分次序后，内层积分上下限至多包含两个变量，中层积分上下限至多包含一个变量，外层积分上下限必须是常数2、对于先单后重的次序，重积分部分可以根据积分区域的特点采用极坐标系计算（1）把积分区域Ω向某轴（例如 z 轴）投影，得投影区间],[21c c ；(3) 计算二重积分⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(其结果为z 的函数)(z F ；(4)最后计算单积分⎰21)(c c dz z F 即得三重积分值.z（二）先重后单（先二后一）法先重后单, 就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分122,zz c c z xoy D ∈Ω⎡⎤⎣⎦（）对用过轴且平行平面的平面去截，得截面21()zc cD g z dzdxdy=⎰⎰⎰V d z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(即,若f (x, y, z )= g (z )21(,,).zc c D dz f x y z dxdy =⎰⎰⎰易见, 若内层的二重积分容易计算时,这个方法更显出优越性。