求函数值域的几种常用方法

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。

求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。

本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。

一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。

定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。

但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。

二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。

图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。

但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。

三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。

五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。

但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。

四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。

三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。

但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。

五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。

原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。

求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。

2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。

原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。

3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。

原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。

因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。

4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。

这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。

5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x1y =的值域。

解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。

解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。

解：两边平方整理得：0y x )1y (2x222=++-（1）∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文介绍了十一种函数值域求法。

首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。

再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。

其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。

还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。

除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。

这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。

总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。

换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。

其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。

换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。

例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。

代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。

由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。

因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。

又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。

函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。

它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。

求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。

1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。

2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。

3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。

4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。

5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。

6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。

7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。

8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。

9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。

10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。

11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。

12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。

13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。

14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。

15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。

以上就是15种求解函数域的方法。

上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。

根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。

求函数值域的几种方法
要找一个函数的值域，可以使用以下几种方法：
1.分析函数的图像：首先，将函数的图像绘制在坐标系中。

观察图像的上下界限，以确定函数值域的大致范围。

由于图像上每一个点的纵坐标就是函数的函数值，所以函数图像的纵坐标的取值范围即为函数的值域。

2.分析函数的定义域和特征：根据函数的定义和特征，分析函数值的变化规律。

例如，对于一个线性函数，它的定义域为整个实数集，值域也是整个实数集。

对于一个二次函数，可以根据开口方向和平移情况，确定它的最值，从而确定值域。

3.利用函数的性质和定理：对于特定类型的函数，可以利用其性质和定理来求解值域。

例如，对于连续函数，可以使用最大值最小值定理来求解值域。

对于周期函数，可以观察一个周期内的函数值，然后根据周期性将其延伸到整个定义域。

4.确定函数的反函数：对于能找到反函数的函数，可以通过求反函数的定义域来确定原函数的值域。

反函数的定义域就是原函数的值域。

5.求函数的极限：对于无法直接求解的函数，可以分析函数的极限情况来求解值域。

特别地，当函数的$x$趋近于无穷大时，如果函数的极限存在，那么该极限即为函数的值域的上界或下界。

6.利用函数的性质和图像变化关系：一些类型的函数具有特殊的性质和图像变化关系，可以通过分析这些性质和关系来求解值域。

例如，对于单调递增或递减函数，其值域可以直接从其定义域得出；对于有界函数，其值域也是有界的。

总之，求一个函数的值域需要根据函数的特点和性质进行分析和求解，可以结合图像、定义域、反函数、极限、函数的性质和定理等各种方法来
求解。

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。

下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。

1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。

例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。

如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。

2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。

3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。

4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。

例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。

5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。

通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。

6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。

例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。

7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。

首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。

8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。

函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。

求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、 判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域． 解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ． 当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ． 又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（． 二、 配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域． 解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞． 三、 单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ． 又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ． 又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ． 四、 反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域． 解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、 换元法例5 求函数x x y --=1的值域。

解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。

求函数值域常用的方法函数的值域是指函数的所有可能取值构成的集合。

对于一个函数，我们常用以下几种方法来确定其值域：1.分析函数的定义域：一些函数在定义域上有一定的限制，比如有分母不能为零的情况，或者函数有特殊的定义域范围。

根据函数的定义域，我们可以确定函数的值域的一部分。

2.分析函数的图像：根据函数的图像，我们可以大致估计出函数的值域。

通过观察函数在图像上的极值点、拐点和变化趋势等特征，可以推测出函数的值域的大致范围。

3.求解方程或不等式：当函数是一个代数式或由方程或不等式定义时，我们可以通过求解方程或不等式来确定函数的取值范围。

特别地，当函数是一个一次函数或二次函数时，我们可以直接求解方程或不等式来确定函数的值域。

4. 探索函数的性质和特点：对于一些特殊函数，如三角函数、对数函数和指数函数等，我们可以探索其性质和特点来确定函数的值域。

比如，三角函数的值域是有界的，而指数函数的值域是 $(0,+\infty)$。

5.使用中值定理和最值定理：中值定理和最值定理是微积分中的重要定理，它们可以用来确定函数在给定区间上的取值范围。

通过计算函数在区间端点和驻点处的函数值，结合中值定理和最值定理的条件，可以确定函数在该区间上的值域。

6.应用函数的定义和性质：根据函数的定义和性质，我们可以通过推理来确定函数的值域。

比如，当函数是一个连续函数且定义域是一个闭区间时，根据闭区间上连续函数的性质，可以确定其值域是一个闭区间。

7.利用图像和数值实验：我们可以通过绘制函数的图像、使用计算工具或编程语言来进行数值实验，找出函数在一些特定区间内的取值范围。

通过增加计算精度或缩小实验区间，可以逐步逼近函数的值域。

需要注意的是，函数的值域不一定是一个连续的区间，它可以是一个离散的集合或多个不相交的区间的并集。

在确定函数的值域时，要考虑函数的定义和性质，综合运用以上方法，灵活选择适用的方法来分析函数的取值范围。

求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 1 ．求函数的值域。

【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。

【参考答案】① ；② ；③ ；。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

形如的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数（）的值域。

【解析】。

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

∴函数（）的值域为。

例 3 ．求函数的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。

利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。

【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。

【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。

反解得，故函数的值域为。

【练习】1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。

【参考答案】 1 ．；。

四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例 6 ：求函数的值域。

解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。

例 7 ：求函数的值域。

求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。

下面将介绍求函数值域的十三种方法。

一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。

例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。

二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。

例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。

三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。

通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。

例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。

四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。

通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。

例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。

五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。

通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。

例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。

六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。

通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。

例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。

七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。

通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。

例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。

八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。

通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。

例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。

九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。

通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。

求函数值域的常用方法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 求函数y = 3 -x 的值域。

解： x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3故函数的值域是：[ -∞，3 ]2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2 、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 3 、判别式法例3 求函数y = 2211x x x +++的值域。

解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 ）2x -x+（y - 1 ）= 0（1）当y ≠1时， x ∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0 解得：21≤y ≤23 （2）当y=1，时，x = 0,而1∈[ 21, 23] 故函数的值域为[21，23] 例4求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1） x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y ≥0 解得：1-2≤y ≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ） ≥0，得：0≤x ≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△ ≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[21，23]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

0≤x ≤2，∴y=x+)2(x x - ≥0，∴y min =0，y=1+2代入方程（1），解得：1x =222224-+∈[0，2]，即当1x =222224-+时，原函数的值域为：[0，1+2]。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】1．求以下函数的值域：① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；x；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， xx1【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；{1,0,3} 。

4二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。

形如F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

【剖析与解】 本题可当作第一象限内动点P(x, y) 在直线 x 2 y 4 上滑动时函数 lg x lg y lg xy 的最大值。

利用两点(4,0) ， (0,2) 确立一条直线，作出图象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg[ y(4 2y)] lg[ 2( y 1)2 2] ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。