第13讲 相对论习题课
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相对论基础习题课
2. 一尺静止时的长度为 0，若尺相对与参照系 以 一尺静止时的长度为l 若尺相对与参照系S以 0.8c的速度沿 轴正方向运动，则 的速度沿x轴正方向运动 的速度沿 轴正方向运动， （1）从参照系 测得该尺的长度为多少？ 测得该尺的长度为多少？ ）从参照系S测得该尺的长度为多少 的速度沿x轴正 （2）另一参照系 ′相对于 以5c/13的速度沿 轴正 ）另一参照系S′相对于S以 的速度沿 方向运动， 方向运动，从S′测得该尺的长度为多少？ ′测得该尺的长度为多少？
相对论基础习题课
1. 观察者甲和乙分别静止于惯性参照系 和 S′中 ， 观察者甲和乙分别静止于惯性参照系S和 ′ 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为4s， 甲测得在同一地点发生的两个事件的时间间隔为 ， 而乙测得这两个事件的时间间隔为5s，求： 而乙测得这两个事件的时间间隔为 ， (1) S′相对 的运动速度； 的运动速度； ′相对S的运动速度 (2) 乙测得这两个事件发生的地点的距离。 乙测得这两个事件发生的地点的距离。
3. 一飞船以速度 u 远离地球而去。 远离地球而去。 飞船上沿着 角向前发出一光脉冲。 与飞行方向成 θ 角向前发出一光脉冲。 （1） 试求在地球上的观察者测得此脉冲的 ） 传播方向； 传播方向； （2） 证明地球上的观察者所测得的此光的 ） 速率仍然是 c。 。
4. 有一质量均匀的物体 ， 静止时质量为 0， 密度 有一质量均匀的物体，静止时质量为m 的物体。 为体积为ρ0的物体。 （ 1） 当该物体以 的速度作匀速直线运动时， ） 当该物体以0.6c的速度作匀速直线运动时 ， 的速度作匀速直线运动时 其密度变为多少？ 其密度变为多少？ （2）此时物体的动量和动能分别是多少？ ）一静止在实验室参照系中的粒子自发地分裂成沿 相反方向运动的两部分，其中一部分的速度为0.6c， 相反方向运动的两部分 ， 其中一部分的速度为 ， 另一部分速度为0.8c。设粒子分裂前的静止质量 为 。 设粒子分裂前的静止质量为 另一部分速度为 m0，求在实验室参照系中测得这两部分的质量、动 求在实验室参照系中测得这两部分的质量、 量和动能。 量和动能。
相对论习题课
v =0.08c = 2.6×108 m/s
(2) E k =m c 2 m 0c 2 = m 0c 2
m 0c 2
1 v2 c2
E 0 =m 0c 2
当Ek =E0 时 (
1
1)m 0c 2 = m 0c 2
1 v2 c2
解得
v=
3 2
c
= 0.866c
8. 一物体旳速度使其质量增长了10%，试问此 物体在运动方向上长度缩短了百分之几?
正变换
逆变换
v
' x
vu 1 vu
c2
v
' y
0
vx
v u 1 vu
c2
vy 0
v
' z
0
vz 0
三、狭义相对论旳时空观
同步性旳相对性 在一种惯性系旳不同地点同步发生旳两个
事件，在另一种惯性系一定不同步发生。
物体旳长度沿运动方向收缩 （两端点同步测）
l l0
1 u2 c2
时间膨胀
（在相对静止系中，同一地点发生）t
一、 狭义相对论旳两条基本原理
1.相对性原理 2.光速不变原理
二、洛仑兹变换式
时空坐标变换式
x
x ut
1
u2 c2
y y
z zt tu c2x1
u2 c2
x x ut
1
u2 c2
y y
z z
t
t
u c2
x
1
u2 c2
2. 速度变换式 (一维洛仑兹速度变换式)
vx v, v y 0, vz 0
（1）A上旳乘客看到B旳相对速度； （2）B上旳乘客看到A旳相对速度。
大学物理(上)13相对论习题课
(A) (4/5) c． (B) (3/5) c． (C) (2/5) c． (D) (1/5) c．
解: 利用时间膨胀公式
0 4s, 5s
0
1 u2 c2
1 u2 c2
0
4 5
u 3 c 5
B
2020/1/6
23
3、一匀质矩形薄板在它静止时测得其长为 a ，宽为 b ，质量为
真空中光速)，则在地球坐标系中测出的m子的寿命 ＝
处理力学问题时，一定要搞清问题
是否满足经典极限条件(v≤0.1c)。
2020/1/6
14
例1： 有两静止质量均为 m0的粒子，一个静止，另一 个以 0.8c与静止的粒子碰撞，碰后粘在一起
运动。求：碰后合成物的静止质量 M0 ?
V
解： 能量守恒：mc 2 m0c2 Mc 2 （1）
2020/1/6
4
3.3 相对论动力学
一、相对论质量与动量
1. 相对论质量（质速关系式）
一个正确的力学定律必须满足两个前提：
第一，在洛仑兹变换下形式保持不变；
第二，在u<<c条件下，能够还原为经典力学的形式
m m
m
0
1 v2 c2
0
m 静止质量
v0 物体运动速率
m 相对论质量
(1) 当v c 时, 1,
2020/1/6
p E h h c c
12
五、相对论动力学主要结论
1.
2. 3.
质动动F量 量 力学的ddmPP基t 本方mdd程1tv(mmv02vc)12mmv0m2ddcv0t2
v
v
解: 利用时间膨胀公式
0 4s, 5s
0
1 u2 c2
1 u2 c2
0
4 5
u 3 c 5
B
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3、一匀质矩形薄板在它静止时测得其长为 a ，宽为 b ，质量为
真空中光速)，则在地球坐标系中测出的m子的寿命 ＝
处理力学问题时，一定要搞清问题
是否满足经典极限条件(v≤0.1c)。
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例1： 有两静止质量均为 m0的粒子，一个静止，另一 个以 0.8c与静止的粒子碰撞，碰后粘在一起
运动。求：碰后合成物的静止质量 M0 ?
V
解： 能量守恒：mc 2 m0c2 Mc 2 （1）
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3.3 相对论动力学
一、相对论质量与动量
1. 相对论质量（质速关系式）
一个正确的力学定律必须满足两个前提：
第一，在洛仑兹变换下形式保持不变；
第二，在u<<c条件下，能够还原为经典力学的形式
m m
m
0
1 v2 c2
0
m 静止质量
v0 物体运动速率
m 相对论质量
(1) 当v c 时, 1,
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五、相对论动力学主要结论
1.
2. 3.
质动动F量 量 力学的ddmPP基t 本方mdd程1tv(mmv02vc)12mmv0m2ddcv0t2
v
v
相对论习题课
4 在惯性系S中，一粒子具有动量(px，py，pz) = (5，3，2 ) MeV/c，及总能量E = 10 MeV（c表 示真空中光速）， 则S中测得粒子的速度v_______________
p m v m 0v
E p c m0 c
2 2 2
2 4
4 v c 5
想象力比知识更重要，因为知识是有限的， 而想象力概括着世界上的一切，推动着进 步，并且是知识进化的源泉。严格地说，想 象力是科学研究中的实在因素。 ——爱因斯坦
(2)一维速度变换
x = (x-ut) y =y z =z t = (t-ux/c2 )
Z
Y Y
u
X
O Z
O’
X
(vx u) (vx u) ; v v x x uvx uvx 1 2 1 2 c c
3.狭义相对论的时空观 (1)同时性的相对性 t
u t' x' 2 c u 2 1 c 2
(2)长度量度的相对性(动尺收缩)
x x ut
1 u c2
2
x
1 u c2
2
x
(3)时间膨涨效应(动钟变慢)
t 2 ' t 1 '
t u 1 2 c
2
0
u 1 2 c
2
uv x ) c2 vx—物体相对于S系的速度 v x ( v x u ) /(1
洛伦兹 时空变换 S’ u
x ( x ut )
y y, z z
t (t u x) c2
1 1 u c 1
2 2
相对论习题课
3. 时间延缓 (运动的时钟变慢)
t2 t1
4. 长度收缩 （运动的尺收缩）
0
u2 1 2 c
u2 L L0 1 2 c
狭义相对论动力学
动量 能量 质能关系 1. 动量： P mv
m0 v 1 2 c
2
v
m
m0 v2 1 2 c
2. 能量： 静能: 总能：
y
y
S
x S x
u
山洞长
lB lA 5 2 Δ t 10 s 山洞长 l 1 l 0.8km B 0 u l l 6 B A (2) S系： t 1.1110 s u
u
(3) S lA 系： lB
列车的长度比山洞长，整个列车不可 能有全在山洞内的时刻
l0 1.0km S系：列车长 l A
l A lB Δt 105 s 0.6c
lB 1.0 km山洞比车短， 火车可被闪电 击中否？
u
同时闪电时，车 正好在山洞里
车头到洞口，出 现第一个闪电
u
车尾到洞口， 出现第二个闪 电
u
闪电不同 时
例. 静止的 子的寿命约为０=210-6s。今在8km的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为 u=0.998c 的 子，试论证此 子有无 可能到达地面。 L ' u 0
结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动， 只是运动介质速度的一部分， f=1-1/n2 加到了光速 v0=c/n 中。 1851年，菲佐从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论 出现后，该效应才得到了满意的解释。
例：一山洞长1km，一列火车静止时长度也是1km。这列火车以 0.6c的速度穿过山洞时，在地面上测量，(1)列车从前端进入 山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？ (2) 整个列车全在山洞 内的时间有多长？(3)如果在列车上测量呢？ 解： (1) S系： 列车长 l 1 2 l 0.8km
相对论习题附答案
1.狭义相对论的两个基本假设分别是——————————————和——————————————。
2.在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距离是1m。
在S′系中观察这两个。
事件之间的距离是2m。
则在S′系中这两个事件的时间间隔是——————————————3.宇宙飞船相对于地面以速度v做匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过Δt（飞船上的钟）时间后，被尾部的接受器收到，真空中光速用c表示，则飞船的固有长度为——————————————。
4.一宇航员要到离地球为5 光年的星球去旅行，如果宇航员希望把这路程缩短为3 光年，。
真空中光速用c表示，则他所乘的火箭相对地球的速度应是——————————————5.在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s，若相对甲做匀速直线运动的乙测得时间间隔为5s，真空中光速用c表示，则乙相对于甲的运动速度是。
———————————6.一宇宙飞船相对地球以0.8c（c表示真空中光速）的速度飞行。
一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长为90m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出和到达。
船头两个事件的空间间隔为——————————————7.两个惯性系中的观察者O 和O′以0.6c（c为真空中光速）的相对速度互相接近，如果O测得两者的初距离是20m , 则O′测得两者经过时间间隔Δt′=——————————————后相遇。
8.π+介子是不稳定的粒子，在它自己的参照系中测得平均寿命是 2.6×10-8s , 如果它相对实验室以0.8c（c为真空中光速）的速度运动，那么实验室坐标系中测得的π+介子的寿命是。
——————————————9.c表示真空中光速，电子的静能m o c2 = 0.5 MeV，则根据相对论动力学，动能为1/4 Mev。
的电子，其运动速度约等于——————————————10.α粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量的——————倍————————11. 在S系中观察到两个事件同时发生在x轴上，其间距是1000 m。
2019版高考物理一轮复习主题十三波、光和相对论13_2_1机械波的常考问题课件
(1)图乙可能是图甲中哪个质点的振动图象________(填正确 选项即可)；若该波沿 x 轴正方向传播，则图乙可能是图甲中哪个 质点的振动图象________(填正确选项即可)．
A．x＝0 处的质点 B．x＝1 m 处的质点 C．x＝2 m 处的质点 D．x＝3 m 处的质点 (2)设该波沿 x 轴负方向传播，画出 x＝3 m 处的质点的振动 图象． [思路点拨] 题中给出了 t＝1 s 时的波形图和介质中某质点 的振动图象，可根据波的传播方向和质点振动方向的关系进行分 析．
A．质点 Q 开始振动的方向沿 y 轴正方向 B．该波从 P 传到 Q 的时间可能为 7 s C．该波的传播速度可能为 2 m/s D．该波的波长可能为 6 m [审题指导] ①说明波由 P 向 Q 传播． ②根据传播方向画出此刻波形图是解题关键．
主
题
波、光和相对论
十
三
高考研究课
解读高考 精准备考
研考情 明考向 分析近几年的高考试题，在考查机械波的形成和传播时，往 往以考查振动图象和波动图象为主，主要涉及的知识为波速、波 长和频率(周期)的关系，光学部分以考查光的折射定律和全反射 等知识为主． 命题形式通常为一选择题(或填空题)加一计算题，选择题(或 填空题)侧重考查对机械波或光学知识的理解，计算题主要考查光 的折射、全反射的综合应用，也可能会考查振动和波的综合应用．
[答案] ABE
探究二 波的多解问题 1．造成波的多解问题的主要因素 (1)周期性 ①时间周期性：时间间隔 Δt 与周期 T 的关系不明确．②空 间周期性：波传播距离 Δx 与波长 λ 的关系不明确． (2)双向性 ①传播方向的双向性：波的传播方向不确定． ②振动方向的双向性：质点振动方向不确定．
大物上13相对论习题课共34页文档
25、学习是劳动，是充满思想的劳动，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
大物上13相对论习题课
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
大物上13相对论习题课
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
相对论习题课
例题2 甲乙两人所乘飞行器沿X 轴作相对运动。 例题2 甲乙两人所乘飞行器沿X 轴作相对运动。 甲 测 得 两 个 事 件 的 时 空 坐 标 为 x1=6×104m ， y1=z1=0，t1=2×10-4 s ； x2=12×104m， y2=z2=0， 12× t2=1×10-4 s，若乙测得这两个事件同时发生于t’ 时 若乙测得这两个事件同时发生于t 刻，问： （1）乙对于甲的运动速度是多少？ 乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？ 乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？ 解：（1）设乙对甲的运动速度为 v，由洛仑兹变换
′2 ux L = L0 1− 2 c
c −u = L0 2 2 c +u
2 2
例8 静止的π+介子衰变为µ+和中微子ν，三者的静止 静止的π 介子衰变为µ 和中微子ν 。求µ 子和中微子ν 质量分别为m 质量分别为mπ 、 mµ和0。求µ+子和中微子ν的动能。 解：
动量守恒： 动量守恒： 能量守恒： 能量守恒：
v t′ = t − 2 x v2 c 1− ( ) c 1
可知, 可知 乙所测得的这两个事件的时间间隔是
v ( t2 − t1 ) − 2 ( x2 − x1 ) c ′ − t1 = ′ t2 v2 1− ( ) c 代入已知数据， 按题意 ′ ′ t2 − t1 = 0 , 代入已知数据，有
v 4 4 (1×10 − 2×10 ) − 2 (12×10 − 6×10 ) c 0= 2 v 1− 2 c
−4 −4
由此解得乙对甲的速度为
x′ =
根据洛仑兹变换
c v=− 2
1 v2 1− ( ) c
( x − vt )
相对论习题课
(3)正确解法： x(x ' u t')9m 00
t (t u c 2x ') 3 .1 0 -0 s 6
例:在S惯性系中观测者记录到两事件的空间和时间间隔分
别是 X2--X1=600m 和 t2 - t1 = 8 10-7s,为了使两事件
对(相对于S系沿X轴正方向匀速运动的)S′系来说是同时发 生的，S′系必需相对于S系以多大的速度运动？
解：取飞船参考系为S系，地面为S’系，S系中子弹
的初始位置与末位置分别为(x1,t1)，(x2,t2)。在S’系
中，其始末位置为(x’1,t’1)，(x’2,t’2)，根据洛伦
兹变换，有：
t
t 2
t 1
(t2
t1 )
u c2
(x2
1
u2 c2
x1 )
60 0 .8 c
0 .6 c c2
60
1
(0 .6 c ) 2 c2
本章小结 与习题课
基本概念和基本规律
一、牛顿力学的相对性原理和狭义相对论
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件
时间标度 牛顿力学 长度标度
质量的测量
与参考系无关
低速
速度与参考系有关
狭义相对 论力学
光速不变
长度、时间测量 高速
的相对性
二、狭义相对论的两条基本原理
(1) 狭义相对性原理
在所有的惯性系中，一切物理规律都具有相同的形式。
(1)坐标变换: 同一事件在两个惯性系中的两组 时空坐标之间的变换关系。
x
y z t
x ut
1
u2 c2
y
z
t
u c2
x
1
u2 c2
t (t u c 2x ') 3 .1 0 -0 s 6
例:在S惯性系中观测者记录到两事件的空间和时间间隔分
别是 X2--X1=600m 和 t2 - t1 = 8 10-7s,为了使两事件
对(相对于S系沿X轴正方向匀速运动的)S′系来说是同时发 生的，S′系必需相对于S系以多大的速度运动？
解：取飞船参考系为S系，地面为S’系，S系中子弹
的初始位置与末位置分别为(x1,t1)，(x2,t2)。在S’系
中，其始末位置为(x’1,t’1)，(x’2,t’2)，根据洛伦
兹变换，有：
t
t 2
t 1
(t2
t1 )
u c2
(x2
1
u2 c2
x1 )
60 0 .8 c
0 .6 c c2
60
1
(0 .6 c ) 2 c2
本章小结 与习题课
基本概念和基本规律
一、牛顿力学的相对性原理和狭义相对论
研究的问题: 在两个惯性系中考察同一物理事件
时间标度 牛顿力学 长度标度
质量的测量
与参考系无关
低速
速度与参考系有关
狭义相对 论力学
光速不变
长度、时间测量 高速
的相对性
二、狭义相对论的两条基本原理
(1) 狭义相对性原理
在所有的惯性系中，一切物理规律都具有相同的形式。
(1)坐标变换: 同一事件在两个惯性系中的两组 时空坐标之间的变换关系。
x
y z t
x ut
1
u2 c2
y
z
t
u c2
x
1
u2 c2
相对论习题课
飞船1测飞船2的长度为L2 ,飞船2测飞船1的长度为L1'
由题意: L2 / L10 2 / 5
由长度收缩: L2 L20 1 (u / c)2
L20 2
1
1 (u / c)2 2
L10 5
(2) L1 L10 1 (u / c)2 1 1 (0.98c / c)2 0.1
x1 , t1 x2 , t2
地面为S系(xE , tE),(xW , tW) 飞机为S'系(xE', tE'),(xW', tW')
t
tE
tW
L0 c
L0 c
0
由洛仑兹时空变换得
t tE tW
t
v c2
(xE
xW
)
1v2 /c2
c2
2L0v 1v2 /c2
负号表示东先接收到讯号。
2. 两只宇宙飞船, 彼此以0.98c的相对速率相对飞过对 方;宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长 度为自己宇宙飞船长度的2/5。求: (1)宇宙飞船2与1 中的静止长度之比? (2)飞船2中的观察者测得飞船1 的长度与自己飞船长度之比? 解: (1)设飞船1为S,飞船2为S',静长分别为L10,L20'
由质能关系: E=Mc2 M 8m0
由质速关系: M0 M 1 v2 / c2 8m0 1 v2 / c2
关键求复合粒子 的速 度v =? 由动量守恒: p pA pB pB
pB
Mv， v
pB M
对B应用能量与动量关系, 即
E
2 B
pB2 c 2
m02c4
pB2 48m02c 2
3.运动物体的长度（同时测）和空间间隔（不一定同时
由题意: L2 / L10 2 / 5
由长度收缩: L2 L20 1 (u / c)2
L20 2
1
1 (u / c)2 2
L10 5
(2) L1 L10 1 (u / c)2 1 1 (0.98c / c)2 0.1
x1 , t1 x2 , t2
地面为S系(xE , tE),(xW , tW) 飞机为S'系(xE', tE'),(xW', tW')
t
tE
tW
L0 c
L0 c
0
由洛仑兹时空变换得
t tE tW
t
v c2
(xE
xW
)
1v2 /c2
c2
2L0v 1v2 /c2
负号表示东先接收到讯号。
2. 两只宇宙飞船, 彼此以0.98c的相对速率相对飞过对 方;宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长 度为自己宇宙飞船长度的2/5。求: (1)宇宙飞船2与1 中的静止长度之比? (2)飞船2中的观察者测得飞船1 的长度与自己飞船长度之比? 解: (1)设飞船1为S,飞船2为S',静长分别为L10,L20'
由质能关系: E=Mc2 M 8m0
由质速关系: M0 M 1 v2 / c2 8m0 1 v2 / c2
关键求复合粒子 的速 度v =? 由动量守恒: p pA pB pB
pB
Mv， v
pB M
对B应用能量与动量关系, 即
E
2 B
pB2 c 2
m02c4
pB2 48m02c 2
3.运动物体的长度（同时测）和空间间隔（不一定同时
同济大学大学物理13相对论答案市公开课一等奖省赛课获奖课件
m s1
8.89 108 s
第2页
例2:
A
第3页
例3: 某宇宙飞船以 0.8c 速度离开地球，若地 球上接收到它发出两个信号之间时间间隔为 10 s ，则宇航员测出对应时间间隔为:
（A） 6 s
（B） 8 s
（C） 10 s
（D） 16.7 s
10s t0 1 0.82
t0 6s
第4页
例4: 一火箭固有长度为 L ，相对于地面匀速直线 运动速率为 v1 ，火箭上人从火箭后端向位于前端 靶发射子弹，子弹相对于火箭速率为 v2 ，在火箭 上测得子弹从射出到击中靶时间间隔是:
解: 按地球钟, 导弹发射时间是在火箭发射后
t1
t 12.5 s
1 v c2
3分
第15页
这段时间火箭在地面上飞行距离:
S v t1
则导弹飞到地球时间是:
t2
S v1
v v1
t1
25 s
1分
那么从火箭发射后到导弹抵达地面时间是:
t t1 t2 12.5 25 37.5 s 1分
第16页
x
那么，当 A 钟与 B 钟相遇时， S 系中 B 钟读数是
；
此时S 系中A 钟读数是 1 v 2 c2 x
。v
v
y y′
y′
A
x′ x
A
x′
x
t
t '
1 (v / c)2
A
B
x tC t' v
1 (v / c)2
第37页
填空题3. 一列高速火车以速率 u 驶过车站，站台 上观察者甲观察到固定于站台、相距 1m 两只机械 手在车厢上同时划出两个痕迹，求车厢上观察者乙 测出两个痕迹间距离为多少？
相对论习题课 - 副本
例5、粒子的静止质量为m0，当其动能等于其静止能量时，求其质 量、速率和动量。 解： 由相对论中的动能表达式有：
Ek mc2 m0c2
根据题意， 可以得到： 而相对论质量为：
1 v2 1 2 c
m 2m0
m
Ek m0c2
m0 v2 1 2 c
可以得到：
2,
从而得到：
v
pB pB Mv， v M
对B应用能量与动量关系, 即
E p c m c
2 B 2 2 B
2 4 0
p 48m c
2 B
2 2 B 2
2 2 0
2 2 0 2 0
2
48m c p 3 2 v c M 64m 4
M 0 8m 0 1 v / c 4m 0
' xB
' ' x ' xB xA
( xB xA ) u (t B t A ) u2 1 2 c
x ut u2 1 2 c
100 0.8c 10 4.0 109 m 0.8c 2 1 ( ) c
其中负号表示在S‘系中观测，运动员沿X’轴负方向运动。 同样，由洛伦兹时间变换公式可以求得在S‘系中起点和终点的时 刻：
10
0.8c 100 c2 16.6s 0.8c 2 1 ( ) c
（3）运动员在S系中的平均速率为： v
'
x 100 10m / s t 10
9
在S‘系中的平均速率为： v' x 4.0 10 2.4 108 m / s '
t 16.6
当然也可以用速度变换公式直接得到：
高斯小学奥数四年级上册含答案第13讲_变倍问题
第十三讲变倍问题大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法．对于基本和差倍问题，可以根据已知条件直接画出线段图．而对于有些较复杂的和差倍问题，我们往往需要先分析题目中的隐藏条件，找到各个数量之间的和差倍关系，然后再通过画线段图等方法求解．之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系，这时“1”份的量较容易确定．如果已知条件涉及多个量的倍数关系，或是两个量之间的倍数关系发生了变化，这时选择哪个量作为“1”份量就是解题的关键了．如果设为“1”份不好算，还可以选择一个合适的数设为多份．例题1学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，是红花的4倍，是蓝花的3倍，已知蓝花比红花多20盆．请问：学校门口一共有多少盆花？「分析」黄花盆数是红花的4倍，是蓝花的3倍．红花、蓝花都与黄花有倍数关系，我们应该把黄花设为几份呢？练习1暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一面漂亮的纸鹤帘隔开客厅跟门厅．纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景，绿色的纸鹤排列成一个“家”字．其中粉色的纸鹤比较多，既是黄色纸鹤的3倍，又是绿色纸鹤的5倍，如果绿色和黄色的纸鹤一共240个，那么萱萱的这面纸鹤帘一共有多少个纸鹤？例题2雷老师和刘老师运动归来，非常饿，于是各吃了几碗面，此时刘老师吃的面是雷老师的3倍，过了会儿，雷老师觉得不过瘾，又吃了3碗，于是刘老师吃的面只有雷老师的2倍了，请问刘老师吃了几碗面？「分析」雷老师又吃了3碗，雷老师吃的数量发生了变化，但是刘老师吃的数量没变，我们把不变的量设为多少呢？在例题2中刘老师吃的面一直没有变化，我们把它叫作不变量．．．．不变量往往是解决问题的关键．这道题用的是“不变量设多份”的方法，也就是说根据题目的特点，把题中的不变量统一成一个便于计算的份数．只要这个份数设得好，解题就会很轻松了．练习2小矮人和绿巨人比身高，绿巨人的身高是小矮人的3倍．后来小矮人从巫婆那里获得了生长剂，结果长了30厘米，而绿巨人却没有再长高，此时绿巨人的身高只有小矮人的2倍．请问小矮人和绿巨人原来分别有多高？给来给去和不变，同增同减差不变．把不变量设为多份是解决变倍问题时常用的突破口．例题3有两个箱子，红色箱子装的是红球，绿色箱子装的是绿球．红球的数量是绿球数量的3倍．从红色箱子中拿出10个球放入绿色箱子中，这时红色箱子球的数量是绿色箱子球的数量的2倍．那么现在红色、绿色两个箱子各有多少个球？「分析」从红色箱子中拿出10个放入绿色箱子里，两个箱子里的球数都发生了变化，那到底有没有不变量，什么不变呢？我们又该把这个不变量设为几份呢？练习3阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖．那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的5倍；如果阿瓜帮阿呆搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的4倍．请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？例题4高思学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书，小学部的捐书量是初中部的6倍，若两个部门各增加30本，则小学部的捐书量是初中部的4倍，两个部门原来各捐书多少本？「分析」两个部门各增加30本，那么两个部门的捐书量都发生了变化，但什么没有变呢？我们把它设为几份容易计算呢？练习4熊大和熊二比赛吃蜂窝，一开始熊大吃的个数是熊二的4倍，熊大和熊二之后又分别吃了10个，此时熊大吃的个数只有熊二的2倍．请问最后熊大和熊二分别吃了多少个蜂窝？例题5王老师和麦兜比赛抢包子，一开始王老师包子的总个数是麦兜的3倍，麦兜趁王老师不注意，从王老师的手里抢走了100个包子，结果麦兜包子的总个数变成了王老师的2倍．请问王老师和麦兜原来分别有多少的包子？「分析」先找不变量，要仔细读题，注意倍数关系，千万别弄反哦！例题6阿呆和阿瓜一起搬砖，原计划阿呆搬其中的一些，阿瓜搬剩余的砖．如果阿呆帮阿瓜搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的5倍；如果阿瓜帮阿呆搬10块，那么阿呆所搬的砖数是阿瓜的2倍．请问：原计划阿呆搬多少块砖？阿瓜搬多少块砖？「分析」无论是阿呆帮阿瓜搬，还是阿瓜帮阿呆搬，砖的总数都是不变的．我们能不能用之前的方法把不变的总数设为多份呢？课堂内外最高级别的不变量一、光速不变理论真空中的光速对任何观察者来说都是相同的．光速不变原理，在狭义相对论中，指的是无论在何种惯性系（惯性参照系）中观察，光在真空中的传播速度都是一个常数，不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变．这个数值是299,792,458 米/秒．二、能量守恒定律能量守恒定律是在5个国家、由各种不同职业的10余位科学家从不同侧面各自独立发现的．其中迈尔（德国医生）、焦耳（英国物理学家）、亥姆霍兹（德国物理学家、生理学家）是主要贡献者．能量守恒定律：能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变．作业1.风老师、雨老师、云老师比赛吃包子，风老师吃的包子个数是雨老师的5倍，还是云老师的3倍．其中云老师比雨老师多吃了100个包子．请问风老师吃了多少个包子？2.李师傅有大小两种型号的零件，其中大型号的零件个数是小型号的3倍，李师傅使用了10个小型号的零件，使得大型号的零件个数变成了小型号的4倍．请问李师傅原来有多少个小型号的零件？3.河马和犀牛是好朋友，他们经常派家里养的信鸽给对方送信．河马家信鸽的数量是犀牛家的3倍，但某次河马出远门不小心忘记了锁鸽笼，结果等它回来时，已经有10只信鸽飞到了犀牛家，这时河马家的信鸽数量就只有犀牛家的2倍了．请问犀牛家原本养了多少只信鸽？4.花园里开着一些红花和黄花．红花的朵数是黄花的3倍．秋天到了，花儿凋谢了．红花和黄花各自减少了60朵．这时剩余的红花朵数是黄花的6倍．请问还剩下多少朵红花？5.兄弟两人分压岁钱，一开始哥哥的钱是弟弟的3倍，后来哥哥给了弟弟20元，结果弟弟的钱是哥哥的2倍．请问两人一共有多少元压岁钱？第十三讲变倍问题1.例题1答案：380盆详解：设黄花的盆数是“12”，红花的盆数就是“3”，蓝花的盆数就是“4”，蓝花比红花多20盆，即“1”为20盆．学校一共有花“19”，即1920380⨯=盆．2.例题2答案：18碗详解：刘老师是不变量，设刘老师吃的面是“6”，则雷老师一开始吃了“2”，后来吃了“3”，即“1”为3碗，所以刘老师吃了“6”3618=⨯=碗．3.例题3答案：红箱子80个球，绿箱子40个球详解：给来给去和不变，设两个箱的球一共有“12”，则原来绿箱子有球“3”，红箱子有球“9”，后来绿箱子有球“4”，红箱子有球“8”，绿箱子的球增加了“1”即10个球，所以现在绿箱子有球“4”10440=⨯=个．=⨯=个，红箱子有球“8”108804.例题4答案：小学部270本，初中部45本详解：同增同减差不变，设小学部的捐书量与初中部捐书量之差为“15”，则原来初中部捐书“3”，小学部捐书“18”，后来初中部捐书“5”，小学部捐书“20”，初中部和小学部都是增加了“2”即30本书，所以“1”为15本．初中部原来捐书“3”31545=⨯=本，小学部原来捐书“18”=⨯=本．18152705.例题5答案：王老师180个，麦兜60个详解：给来给去和不变，设包子的总个数是“12”，则原来麦兜的包子个数是“3”，王老师的包子个数是“9”，后来王老师的包子个数是“4”，麦兜的包子个数是“8”，麦兜增加了“5”即抢来的100个包子，所以“1”为20个．那么王老师原来有包子“9”920180=⨯=个，麦兜原来有“3”32060=⨯=个．6.例题6答案：阿呆搬90块，阿瓜搬30块详解：给来给去和不变，设阿呆和阿瓜一共搬了“6”，如果阿呆帮阿瓜搬，则阿瓜搬了“1”，阿呆搬了“5”；如果阿瓜帮阿呆搬，则阿瓜搬了“2”，阿呆搬了“4”．阿呆帮阿瓜搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的多10块，而阿瓜帮阿呆搬，相当于比阿呆自己实际应该搬的少10块，所以阿呆减少的“1”相当于20块．而当阿呆帮阿瓜搬时，阿瓜搬了“1”12020=⨯=块，阿呆搬了“5”520100=⨯=块．原计划阿瓜搬201030-=块．+=块，阿呆搬10010907.练习1答案：690个详解：设粉色纸鹤数量是“15”，则黄色纸鹤是“5”，绿色纸鹤是“3”，绿色和黄色纸鹤一共240个，即“8”为240个，所以“1”为30个．三种颜色的纸鹤一共有“23”，即2330690⨯=个．8.练习2答案：小矮人60厘米，绿巨人180厘米详解：绿巨人是不变量，设绿巨人身高是“6”，则小矮人一开始身高“2”，后来身高“3”，即“1”为30厘米，所以原来小矮人身高“2”23060=⨯==⨯=厘米，绿巨人身高“6”630180厘米．9.练习3答案：阿呆250块，阿瓜50块简答：给来给去和不变，设两个人所搬的砖一共有“30”，则原计划阿瓜搬砖“5”，阿呆搬砖“25”，后来阿瓜搬砖“6”，阿呆搬砖“24”，阿瓜的砖增加了“1”即10块，所以原计划阿瓜搬砖“5”=⨯=块，阿呆搬砖“25”1025250=⨯=块．1055010.练习4答案：熊大30个，熊二15个简答：同增同减差不变，设熊大熊二所吃蜂窝数量之差为“3”，则原来熊二吃蜂窝数量为“1”，熊大吃蜂窝数量为“4”，后来熊二吃蜂窝数量为“3”，熊大吃蜂窝数量为“6”，熊大和熊二都是增加了“2”即10个蜂窝，所以“1”为5个．后来熊二吃蜂窝数量为“3”3515=⨯=个，熊大吃蜂窝数量为“6”6530=⨯=个．11.作业1答案：750个简答：设风老师吃的包子是“15”，则雨老师吃的是“3”，云老师吃的是“5”，云老师比雨老师多吃“2”，即100个包子，所以“1”100250=⨯=个包子．=÷=个．风老师吃了“15”155075012.作业2答案：40个简答：设大型号零件的个数是“12”，所以小型号零件原来的个数是“4”，后来是“3”，减少的“1”，即10个．李师傅原来有“4”41040=⨯=个小型号的零件．13.作业3答案：30只简答：由于信鸽的总数量不变，所以设信鸽的总数量是“12”，一开始犀牛家的信鸽数量是“3”，河马家的信鸽数量是“9”，后来犀牛家的信鸽数量是“4”，河马家的信鸽数量是“8”．犀牛家的信鸽数量增加“1”，即10只，所以“1”=10只．犀牛家原来有“3”31030=⨯=只信鸽．14.作业4答案：240朵简答：由于红花和黄花相差的数量是不变的，所以设红花的朵数与黄花的朵数之差是“10”，一开始黄花有“5”，红花有“15”，剩下的黄花有“2”，剩下的红花有“12”．红花和黄花分别减少了“3”，即60朵，所以“1”即20朵．剩下的红花有“12”2012240=⨯=朵．15.作业5答案：48元简答：由于哥哥和弟弟压岁钱的总数不变，所以设压岁钱的总数是“12”份，一开始弟弟有“3”，哥哥有“9”，后来哥哥有“4”，弟弟有“8”．弟弟增加的“5”，即20元，所以“1”2054=÷=元．两人一共有“12”41248=⨯=元压岁钱．。
高二秋季物理竞赛班第13讲_相对论三.学生版
知识点拨相对论动量能量关系 物体在其自身参照系中的能量叫做静质量。
狭义相对论指出，物体的能量，动量，静质量之间满足一定的关系：222240E p c m c =+其中0m 为静质量。
可以形象地理解为pc 、20m c 构成一个直角三角形的两条直角边，而E 构成斜边。
爱因斯坦推导出著名的质能关系：2E mc =其中m 是物体的质量，叫做动质量。
也就是说物体的动质量总是大于静质量的。
物体的动量定义为p mv =u r r v r是物体的速度。
由此可以导出动质量和静止质量之间的关系：0221/m v c=-这里的E 是指物体的总能量。
可见当物体静止的时候就具有能量20m c ，而物体因为运动多获得的能量为20E m c -就是我们通常说所的动能。
可以验证，在低速情形下，这个式子回归到牛顿里学中的动能表达式。
如果发生一些反应，使得物体的静质量减少，那么这减少的部分就会以能量的形式表现出来。
例如核裂变是，新产生的原子核和其它粒子的总静质量小，这样就会释放能量20E m c ∆=∆，这也就是原子弹破坏力的来源。
同样的道理，如果一个反应吸收/放出能量，其静质量也会相应的增加/减少。
例如一个质子俘获一个电子形成氢原子，要释放能量，这样氢原子的静质量就会比单独的质子与电子的静止量和要少。
对于静质量为0的粒子，例如光子，质量和动量之间的关系为：E pc =并且，光子的频率和能量之间满足关系E h νω==h其中346.6310h J s -=⨯⋅，/2h π=h 。
可见光子也是可以有动质量的，和频率成正比。
在粒子物理中我们常用eV 作为能量单位，其大小等于让一个带有一个电子电量的粒子通过一个伏特电压所需要的能量。
191 1.610eV J -=⨯。
有时候利用质能关系，用能量来代表质量：171 1.1110J kg -=⨯高二物理竞赛 第13讲 相对论（三）【例1】 设质子质量为p m ，He 核中一个核子的平均质量为m ，电子质量e m 。
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(A) 30 m; (B) 54 m; (C) 270 m ; (D) 90 m。 解一：设飞船系为 s ，地球系为s ，由尺缩效应
l 1l
1
u2 c2
l 0.690 54m
╳
解二：飞船系中 x 90 t 90 c
地球系中 x x ut 1 90 0.8c 90 270 m
系运动)中测得这两个事件发生的地点相距2000m。求
在S 系中测这两个事件的时间间隔。
解： 由洛仑兹变换得：
x x ut
t
t
u c2
x
由题意：x 1000m, t 0, x 2000 m
可得：
x x
1 1 (u c)2
1 0.82
c
例9、地面上一个短跑选手用10 s 跑完100 m ，问在与 运动员同方向上以 u = 0.6c 运动的飞船中观测，这个 选手跑了多长距离？用了多少时间？
思考：有原时和原长吗？
地球系 s 飞船系 s
事件I: 起跑 事件II:到终点
( x1 ,t 1)
(x2 ,t 2)
(x1,t1)
(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 是多少？
(2) 宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 是多少？
解： (1) 由相对论效应，观测站测出船身的长度为
L L 1 1 0.82 90 54(m) 0
观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔
t L 54 2.25 107 (s) v 0.8 3108
匀速飞行，将用4年时间（飞船钟）抵达牛郎星。
解：飞船时为原时： t 4年
地球时为观测时： t 16光年 16c 年
v
v
由 t t
16c
4
v
1 v2 c2
得：
v 16 c 2.91 108 m s-1 17
例5： 在S系中的 x 轴上距离为x处有两个同步的钟 A 和
y y
z z
t t
y
y
S
S
v
r
r
P
x
o o
x
二、狭义相对论的基本原理
1. 狭义相对性原理： 物理定律在所有的惯性系中都有相同的数学形式。
2. 光速不变原理：
在所有惯性系中，真空中的光速都恒为c。
三、洛仑兹变换
正变换
逆变换
x (x ut)
y y
例3：某宇宙飞船以 0.8c 的速度离开地球，若地球上接 收到它发出的两个信号之间的时间间隔为 10s，则 宇航员测出的相应的时间间隔为：
( A) 6 s; (B) 8 s; (C) 10 s; (D) 16.7 s.
答案： （A） 10 t
t 6s
1 0.82
例4： 牛郎星距地球16光年，宇宙飞船若以速率 v =
例2：一火箭的固有长度为 L ，相对于地面匀速直线运
动的速率为 v1 ，火箭上的人从火箭后端向位于前端
的靶发射子弹，子弹相对于火箭的速率为 v2 ，在
火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是：
L
( A)
;
v v
1
2
L
(C)
;
v v
2
1
L (B) ;
v 2
L
(D)
.
v 1 v2 c2
1
1
答案： （B）
(m0v)
九、质能关系
E mc2 m0c2
十、能量动量关系
E 2 p2c2 m02c4
注意： 1
1
1 u2 c2
例题分析
例1：起跑－冲线的时间间隔 地面系测量－－ 非原时 飞船系测量－－ 非原时 运动员系测量－ 原时
如果是一列光从起跑线射向终点线呢？ 地面系测量－非原时 飞船系测量－非原时 不存在相对光静止的参考系，无法测量原时。
(2) 飞船相对于宇航员静止，长度为 L
0
宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔
t
L 0
90
3.75 107 (s)
0 v 0.8 3 108
2
得
u
3 2
c
在S 系中 ,事件2先发生
t
ux
c2
2
3 1000 2 3108
5.77 106 (s)
例8：宇宙飞船相对地球以0.8c飞行，一光脉冲从船 尾传到船头，飞船上的观察者测得飞船长90 m，地 球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的 空间间隔是：
非固有时间:动系(相对被测物运动)中异地事件的时间间隔
注意事项:
1.时间延缓效应 应用的前提条件:在S 系的同一地点
先后发生的两个事件
2. 不符合此前提则用以下公式求两事件发生的时间间隔:
t
(t
u c2
x)
t
(t
u c2
x)
六、长度收缩效应
L 1L0
原长：相对于被测物体静止的参考系测得的长度。 非原长：相对于被测物体运动的参考系测得的长度。
AB
答案： x ; v
1 v2 c2 x v
s
A
v
x
s
x
x
AB
s
A
v
x
s
x
x
AB
例6：S系中测的二事件的空间间隔Δx=600 m,时间间隔
t 8107 s, 欲使沿x正方向运动的 S系观测此二事件 恰好同时发生，须 S系相对于S系运动的速度为多大？
解： 能否用时间膨胀？ 哪个是原时？
由题意，有
t （t ux / c2）=0
即
u t c2 x 0
得
u c2 t x
0.4c 1.2108 m / s
例7.在惯性系S 中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距
1000m的两点，而在另一惯性系S (沿x 轴方向相对于S
(x2 ,t2 )
S中：x2 x1 100m为原长； t2 t1 10s非原时。
S中：x2 x1非观测长度； t2 t1非原时。
解： 由洛仑兹变换得
t
(t
u c2
x)
1 1 (0.6c )2
(10
0.6c c2
100)
12.5 s
c
x (x ut)
1.25 (100 0.6c 10) 2.25109 m
在飞船中的观察者看来，选手用12.5秒时间反向跑 了2.25109米。
例10：
一宇宙飞船的船身固有长度为 L0 90m ，相对
地面以 v 0.8c 的匀速率在一观测站的上空飞过。
注意事项: 1.长度收缩效应 应用的前提条件:
t1 = t2;即:非原长两端同时测量 即:∆t=0
2.不符合此前提使用以下公式求空间间隔: x (x ut) x (x ut)
七、质速关系
m rm0
八、相对论动力学基本方程
F
=
d p dt
d dt
事件时 间间隔
t
(t Nhomakorabeau c2
x)
t
(t
u c2
x)
注意： 1
1
1 u2 c2
四、“同时”的相对性
一个惯性系中的同时、同地事件，在其它惯性系 中必为同时事件；一个惯性系中的同时、异地事件， 在其它惯性系 中必为不同时事件。
五、时间延缓效应
= 0
固有时间:静系(相对被测物静止)中同地事件的时间间隔
x x ut
t
t
u c2
x
S 系
I (x1, t1) II(x2 , t2 )
x x ut
t t
u c2
x
事件空 间间隔
x (x ut)
x (x ut)
B ，在S 系中的x 轴上有一个同样的钟A 。设S 系 相对于S系的速度为v，沿x方向，且当 A 与 A 相遇
时，两钟的读数均为零。
那么，当A 钟与 B 钟相遇时，在S系中 B 钟的读
数是
；
此时在S 系中A 钟的读数是
。
A
s v
x
s x
x
A
B
A
s v
x
s
x
x
第13讲 相对论习题课
要点小结 习题分析 练习讲解
要点小结
一.伽利略变换 (Galilean transformation)
S: rx, y, z, t S: rx, y, z, t
正变换
x x ut
y y
z z t t
逆变换
x x ut
z z
t (t ux / c2 )
x (x ut)
y y
z z
t (t ux / c2 )
注意：
1
1
1 u2 c2
不同惯性系中观察者时空观念的关联
事件 变换
S 系 I (x1, t1)
II( x2, t2 )