浙江省嘉兴市2018--2019学年高二上学期期末数学考卷
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浙江省嘉兴市2018--2019学年高二上学期期末数学考卷一、单选题1．直线10x y ++=的倾斜角为 （ ） A. 30 B. 45 C. 120 D. 1352．已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则圆锥的侧面积为（ ） A. 4π B. 3π C. 2π D. π 3．抛物线2y x =的准线方程为（ ）A. 12x = B. 14x = C. 12x =- D. 14x =- 4．4．圆心为()1,0，半径长为1的圆的方程为（ ） A. 2220x x y -+= B. 2220x x y ++= C. 2220x y y ++= D. 2220x y y +-=5．已知球O 的表面积为16π，则球O 的体积为（ ）A. 43π B. 83π C. 163π D. 323π6．已知直线l ， m ，平面α，若m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7．已知方程()()()()221313m x m y m m -+-=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. (),1-∞D. ()3,+∞8．如图，二面角l αβ--的大小为θ， A ， B 为棱l 上相异的两点，射线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱l ．若线段AC ， AB 和BD 的长分别为m ， d 和n ，则CD 的长为（ ）9．已知1F ， 2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，点P 在双曲线上，且12PF PF λ=，则下列结论正确的是（ ）A. 若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 若1=7λ，则双曲线离心率的取值范围为101,3⎛⎤⎥⎝⎦C. 若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 若=7λ，则双曲线离心率的取值范围为4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．若正方体1111ABCD A BC D -表面上的动点P 满足()2113CA PA PC PC ⋅+=，则动点P 的轨迹为（ ）A. 三段圆弧B. 三条线段C. 椭圆的一部分和两段圆弧D. 双曲线的一部分和两条线段 二、填空题11．若直线()120a x y +-=与直线1x ay -=互相平行，则实数a =______,若这两条直线互相垂直，则a =______.12．双曲线22:41C x y -=的焦距是______，双曲线C 的渐近线方程是_________. 13．某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积= cm 3，表面积= cm 2．14．已知正方体1111,,ABCD A B C D E F -分别是正方形1111A B C D 和11ADD A 的中心,则EF 和CD 所成的角的大小是______.15．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，若||3AF =，则AOB ∆ 的面积为 ．16．已知P 为椭圆2211615x y +=上任意一点， EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则•PE PF 的取值范围是__________．17．三棱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =，在AB 上取一点P ，设11PAC ∆与面111A B C 所成的二面角为α，11PBC ∆与面111A B C 所成的二面角为β，则tan()αβ+的最小值是 ．三、解答题18．已知命题p ：对数()2log 275(0,1)a t t a a -+->≠有意义；命题q ：实数t 满足不等式()()2320t a t a -+++<.(Ⅰ)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(Ⅱ)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且直线PA ABCD ⊥平面，又棱2PA AB ==， E 为CD 的中点， 60.ABC ∠=︒(Ⅰ) 求证：直线AE PAB ⊥平面； (Ⅱ) 求直线AE 与平面PCD 的正切值.20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；（2）如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 21．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，侧面11BCC B ABC ⊥底面. (Ⅰ)若,M N 分别是1,AB AC 的中点，求证： 11//MN BCC B 平面； (Ⅱ)若三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60︒，问在线段11AC 上是否存在一点P ，使得平面111B CP ACC A ⊥平面?若存在，求1C P 与1PA 的比值，若不存在，说明理由．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，右顶点为(2,0)，离心率为，直线1l ：(0,0)y kx m k m=+≠≠与椭圆C相交于不同的两点A，B，过AB的中点M作垂直于1l的直线2l，设2l与椭圆C相交于不同的两点C，D，且CD的中点为N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设原点O到直线1l的距离为d，求MNd的取值范围．浙江省嘉兴市2018--2019学年高二上学期期末数学考卷1．D 【解析】直线化为，斜率设直线的倾斜角为，则，结合，可得，故选D.2．C 【解析】因为圆锥的母线长为，底面半径，则由圆锥的侧面积公式得，故选C.5．D 【解析】因为球的表面积是，所以球的半径为，所以球的体积为，故选D. 6．B 【解析】由于线面垂直的判定定理成立的条件是直线与平面内的两条相交直线垂直，所以“”不能推出“”，若“”，由线面垂直的定义可得“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.【方法点睛】本题线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.7．B 【解析】方程，化为表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，实数的取值范围为，故10x y ++=1y x =--1,k =-αtan 1α=-[)0,απ∈135α=21r =122S rl πππ==⨯⨯=O 16πO 2O 3432233ππ⨯=l m ⊥l α⊥l α⊥l m ⊥l m ⊥l α⊥p q ,p q q p ⇒⇒()()()()221313m x m y m m -+-=--22131x y m m +=--y 130m m ->->23m <<m (2,3）选B.8．A 【解析】与夹角的大小就是二面角，可得，故选A.9．C 【解析】若， ，得，若， 时，双曲线离心率范围，故选C. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的值. 本题是利用焦半径的范围构造出关于的不等式，最后解出的范围.【方法点睛】本题主要考查空间想象能力、空间向量在立体几何中的应用及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，,,AC l BD l AC ⊥⊥∴BD θ0,AC AB ⋅=0,BD AB ⋅=()22cos ,AC BD mn CD CA AB BD θ⋅=∴=++222CA AB BD =++2222222CA AB BD AB CA BD m n d AC BD +⋅+⋅+⋅=++-⋅2222cos m n d mn θ=++-212111,7,627PF PF PF PF PF a λ==-==13aPF c a =≥-413c e a <=≤121227,7,62PF PF PF PF PF a λ==-==24,1,733a c PF c a e a λ=≥-<=≤∴=41,3⎛⎤⎥⎝⎦e e e ee是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，通过建立空间直角坐标系，将问题转化为轨迹方程求解，是解题的关键.11．1，解得或1； （2），解得为对角乘运算；当两直线平行时，有。
主要考查特殊位置关系的公式应用。
13．；【解析】试题分析：此几何体是三棱锥，底面是俯视图所示的三角形，顶点在底面的射影是点，高是，所以体积是；四个面都是直角三角形，所以表面积是．21a =-或2a =-()()()1120a a +⨯+-⨯-=12120A A B B +=考点：1．三视图；2．体积和表面积．14DC 1, 分别是正方形和的中心,所以分别为的中点，故DC 1//EF,则DC 1与所成的角即为和所成的角，大15考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系16．[5,21]【解析】因为.,E F 1111A B C D 11ADD A ,E F 111AC A D ，CD EF CD ()()()2•PE PF NE NP NF NP NE NF NP NE NF NP =-⋅-=⋅-⋅++220|4|NE NF cos NP NP π=-⋅⋅-+=-+又因为椭圆的，N(1,0)为椭圆的右焦点， ∴ ∴. 故答案为：[5,21]. 17试题分析：则是三棱柱的高，过则，考点：1．二面角；2．两角和的正切公式．【思路点睛】作，过作，由三垂线定理得是与面所成的二面角的平面角，得，设，求出，同理求出，然后再利用两角和的正切公式，即可求出结果．18．（1（22211615x y +=4,1a b c ===[][],3,5NP a c a c ∈-+=[]•5,21PE PF ∈111PP A B ⊥作，1PP 作1111PPH AC ⊥作，1PHP α∠=111PP A B ⊥1P 111PH AC ⊥1PHP ∠11PAC ∆111A B C 1PHP α∠=AP x =tan αtan β【解析】试题分析：（1）－2t 2＋7t －5>0，解得1<t<；（2）1<t<是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集，方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>，解得a>.试题解析：解：(1)由对数式有意义得－2t 2＋7t －5>0， 解得1<t<，即实数t 的取值范围是.(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t<是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．法一：因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>， 解得a>. 即a 的取值范围是.法二：令f(t)＝t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)，因 f(1)＝0，故只需f <0，解得a>. 即a 的取值范围是.点睛：本题考查命题之间的充分必要关系。
