人教版高中数学选修(2-1)-2.3典型例题：双曲线及其标准方程

方程
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y x − a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2
F ( 0, ±c )
谁正谁对应 a
例１、求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的焦点为F 5,0)和 (1)已知双曲线的焦点为F1(-5,0)和F2(5,0), 已知双曲线的焦点为 双曲线上的点Ｐ 双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值 6,求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程。 变题） 为6,求双曲线的标准方程。(变题） (2)已知双曲线的焦点为F (0， 6)和 (2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和 已知双曲线的焦点为 且经过点（ F2(0,6), 且经过点（2，-5）。
定义：平面内与两定点F 定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。 等于常数2a (0 < 2a < F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 做双曲线的焦距。 做双曲线的焦距。
M
F1
F2
0
F1
x P
| （x + c) + y − （x − c) + y |= 2a
2 2 2 2
对比两个方程可发现，仅互换了x, y y2 x2 ∴ 2 − 2 = 1 ( a > 0, b > 0) a b 表示焦点在y轴上的双曲线。
定义 图象
MF1 − MF2 = 2a， < 2a < F1F2 ) (0
在两组同心圆的交点中描出“ 在两组同心圆的交点中描出“与Ｆ２，F1两点的距离 的差等于8”的交点 的交点。 的差等于 的交点。

3.求解方程
（1）建系 （2）设点 M(x,y) （3）限制条件 （4）代入等式 （5）化简整理
y M
O
x
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
同学们亲手 练习！
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
4.双曲线的标准方程
2 2 x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 在双曲线方程中, 总有
2 2 2
双曲线 | MF1 | | MF2 | 2a x2 y2 2 1 2 a b 2 2 y x 2 1 2 a b ( c , 0) (0, c ) c a b
2 2 2
方程
焦点 a , b, c 的关系
四、讲练结合
例1.课本P 47, 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 5, 0 , F2 5, 0 , 双曲线上一点P到F1 , F2 距离之差的绝 对值等于6.求双曲线的标准方程. 变式1.已知两点F1 5, 0 , F2 5, 0 , 求与这两点
(1)m ;
( 2)m ; (3)m 1; ( 4) 1 m 2
例3.求根据下列条件, 求双曲线的标准方程 (1)经过点P 3，10 ，Q 6， 2 的双曲线方程; ( 2)c 6 , 经过点( 5, 2), 焦点在x轴上. x y (3)已知双曲线与椭圆 1有共同的 27 36 焦点, 且过点
三、新知讲解
1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等 于常数2a (小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两 个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线 的焦距.

4 课后课时精练一、选择题1．在方程 mx 2＋ny 2＝ n 中，若 mn<0，则方程表示的曲线是A ．焦点在 x 轴上的椭圆B ．焦点在 x 轴上的双曲线C ．焦点在 y 轴上的椭圆D ．焦点在 y 轴上的双曲线2x分析： 方程可化为 n ＋y 2＝1，n∵ mn<0，∴ m <0.∴方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．答案： Dx2y22． [2014 ·福建宁德一模 ] 已知椭圆 a 2＋ 9 ＝1(a>0)与双曲线()x2y 24 －3＝1 有同样的焦点，则 a 的值为 ()A. 2B. 10C. 4D.342222分析： 因为椭圆 x 2＋y＝1(a>0)与双曲线 x －y＝1 有同样的焦点a9 43(± ，，则有a 2－9＝7，∴ a ＝4.选 C.7 0)答案： C2 23．已知双曲线 x －y＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，若双曲线25 9的左支上有一点 M 到右焦点 F 2 的距离为 18，N 是 MF 2 的中点，O 为坐标原点，则 |NO|等于 ( )A. 2 B ．13C ．20D ．41分析： NO 为△ MF 1F 2 的中位线，所以 |NO|＝2|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为 |MF 2|＝ 18，所以 |MF 1|＝8，所以 |NO|＝ 4，应选 D.答案： D4．若椭圆 x2y2＝1(a>b>0)和双曲线 x2－ y2a ＋b m n ＝1(m>0，n>0)有同样的焦点 F 、F ，P 是椭圆与双曲线的交点，则 |PF · 的值是()1 21| |PF 2| 1A ．a －mB.4(a － m)C ．a 2－m2D. a － m分析： 由椭圆和双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2 a ，||PF 1|－|PF 2||＝2 m ，两式平方相减得 4|PF 1| ·|PF 2|＝4(a －m)，∴ |PF 1| ·|PF 2|＝a －m.答案： A5．若 ab ≠0，则 ax －y ＋b ＝0 和 bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下列图中的 ( )x 2y 2分析： 方程可化为 y ＝ax ＋b 和 a ＋ b ＝1.从选项 B ，D 中的两个椭圆看， a 、b ∈(0，＋ ∞)，但由 B 中直线可知 a<0，b<0，矛盾，应清除 B ；由 D 中直线可知 a<0，b>0，矛盾，应清除 D ；再由 A 中双曲线可知 a<0，b>0，但直线中 a>0，b>0，也矛盾，应清除 A ；由 C 中的双曲线可知 a>0，b<0，和直线中 a>0，b<0 一致．应选 C.答案： Cx2y26．[2014 ·江西高考 ]过双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的右极点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线订交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A ，O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 ()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－12＝1B. 7 －9 ＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 8－ 8 ＝1D. 12－ 4＝1分析：此题考察双曲线的标准方程与几何性质， 意在考察考生灵巧运用所学知识剖析问题、 解决问题的能力．设双曲线的右焦点为 F ，则 F(c,0)(此中 c ＝ a 2＋b 2)，且 c ＝|OF|＝r ＝4，不如将直线 x ＝a 代b＝4，得 a －2＋b 2＝4，即 a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以 c 2－8a ＝ ，所以 8a ＝ 2＝42，解得 a ＝2，所以 b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以 0 c2 2 所求双曲线的方程为 x － y＝1.412答案： A 二、填空题7. [2014 北·京高考 ]设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个极点是 (1,0)，则 C 的方程为 ________．分析：此题考察双曲线的基天性质以及标准方程． 依据已知条件可判断双曲线的中心在座标原点， 焦点在 x 轴上，所以 a ＝1，c ＝ 2，于是 b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为 x 2－y 2＝ 1.答案： x 2－y 2＝1x 2y 28．与双曲线 16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点 (3 2，2)的双曲线的标准方程是 ________．x 2 y 2分析：解法一：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点 (3 2，2)，所以2222a 2－b 2＝1，①经过计算可知 c ＝2 5，所以 a 2＋b 2＝(2 5)2. ②a 2＝12，由①②得b 2＝8.故所求双曲线的标准方程为 x 2－y 2＝1.12 8解法二：设双曲线方程为x 2－ y 2＝ 1(－4<k<16)，将点 (3 2，16－k 4＋k2)代入，得2 2 － 22＝1，16－k 4＋kx2y 2解得 k ＝4 或 k ＝－ 14(舍去 )，所以双曲线的标准方程为12－ 8 ＝1.x 2 y 2答案： 12－ 8 ＝1x2y 29．过双曲线 144－25＝1 的一个焦点作 x 轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为 ________．分析： ∵双曲线方程为 x 2 － y 2＝1，∴c ＝ 144＋25＝13，F 1(－144 2513,0)， F 2(13,0)．设过 F 1 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(－13，y)(y>0)，∴y 2＝25132 25144－1＝144.∴ y ＝25，即 |AF 1|＝25.12 12又∵ |AF 2|－ |AF 1|＝2a ＝24，25 313∴ |AF 2|＝24＋12＝ 12 .25 313故所求距离分别为： 12、 12 .25 313答案： 12、 12三、解答题10．设双曲线与椭圆 x 2＋ y2 ＝1 有同样的焦点，且与椭圆订交，27 36一个交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程．y2x2解：解法一：设双曲线的方程为 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 15，于是有42 152a 2＝4，a 2 －b 2＝1，解得22b 2＝5.a ＋b ＝9.y 2x 2所以双曲线方程为 4 － 5 ＝1.解法二：将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得A(15，4)，又两焦点分别为 F1(0,3)、F2(0，－ 3)．所以 2a＝15－2＋＋2－15－2＋－2＝8－4＝4，a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，y2x2所以双曲线方程为4－5＝1.解法三：由题意设双曲线方程为x2＋y2＝1(27<λ<36)，将27－λ 36－λA( 15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去 )．所以所求双曲线方程为y2x2 4－5＝1.11．已知椭圆 x2＋2y2＝32 的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点 P 知足 |PF1|－|PF2|＝4.求动点 P 的轨迹 E 的方程．x2y2解：由椭圆的方程可化为32＋16＝1，得 |F1F2|＝2c＝2 32－16＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.∴动点 P 的轨迹 E 是以 F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，2a＝4，a＝2 的双曲线的右支，由 a＝2，c＝4 得 b2＝c2－a2＝16－4＝12，x2y2故其方程4－12＝1(x≥2)．12．A、B、C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 千米， C 在 B 北偏西 30°，相距 4 千米， P 为敌炮阵地，某时辰 A 处发现敌炮阵地的某种信号，因为 B、C 两地比 A 距 P 地远，所以 4 s 后， B、C 才同时发现这一信号，此信号的流传速度为 1 km/s，A 若炮击 P 地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为 y 轴成立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2 3)．因为 |PB|＝|PC|，所以点 P 在线段 BC 的垂直均分线上．设敌炮阵地的坐标为 (x，y)，因为 k ＝－ 3，BC 中点 D(－4， 3)，所以直线 lPD ：y－3＝1BC3 (x＋4)．①又 |PB|－|PA|＝4，故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上．x2y2则双曲线方程为4－5＝1(x>0)．②联立①②式，得x＝8， y＝5 3，所以 P 的坐标为 (8,5 3)．5 3所以 k PA＝8－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。

2.已知方程 线，求m的取值范围.
表示双曲
2019年4月
眼皮蹦跳跳专业
13
（六）回顾反思，提升经验
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
20a1.b9.c系年的4关月
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
2019年4月
眼皮蹦跳跳专业
1
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
20法19拉年4利月主题公眼园皮蹦跳跳专业
2
花瓶
（一）联系生活，建构概念
演示实验：用拉链画双曲线
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两 边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上， 把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或闭 拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，同样 的操作方法画出另一条曲线，这两条曲线合 起来就是双曲线。
16
2019年4月
眼皮蹦跳跳专业
17
y
M
F1 O F2 x
O
x
F ( ±c, 0)
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
F(0, ± c)
y2 a2
x2 b2
（1 a 0,b 0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
20(二19次年4项月系数为眼正皮,焦蹦点跳跳在专相业应的轴9上)
（四）应用拓展，提高能力
眼皮蹦跳跳专业
4
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示

2.3.1双曲线及其标准方程【课标要求】了解双曲线的定义和标准方程。

【学习目标】1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。

2、掌握双曲线的标准方程。

3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。

【自主学习】1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=101652、若将定义中的2a<21F F 改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？4、求双曲线常用方法有哪些？【典型例题】 例1．（1） 已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到 点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. （2））的双曲线。

，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522=-yx例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html方程。

的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例C C B A AB ABC ,sin sin 2sin 28.3=-∆【拓展提高】： 设双曲线在双曲线上。

是其两个焦点，点M F F yx2122,,194=-的面积。

时，求）当（的面积。

时，求）当（212121*********MF F MF F MF F MF F ∆=∠∆=∠【课堂练习】表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122=+-->∈k yk xk R k （ ）A 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 充要条件 D 既不充分又不必要条件 的焦距为双曲线1210.222=-yx（ ）A 23B 24 Ｃ 33 D 34到坐标原点的距离是点时，的纵坐标是，当点满足动点已知点P P PF PF P F F 212),0,2(),0,2(.32121=--A26 B23 C 3 D 2===-212221121625,.4PF PF yxF F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点A 2B 22C 4或22D 2或22__________60,13.521212122的面积等于，则是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线PF F PF F P F F yx ∆=∠=-6.已知双曲线 ，A 、B 为过左焦点F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B 的周长为＿＿＿.22194xy-=。

绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（ ）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于 （ ）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（ ）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（ ）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（ ）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题 【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =， 故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题 【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义， 得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的 周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ， 在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故 选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切． 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ． 考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程． 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=， 则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立， 综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较难。

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸 点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时 间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸 点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是 炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位 置呢?
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
运用定义及现成的模型思考,这是一 个相当不错的思考方向.
课本P55——练习1T、2T 、3T 课本P61——习题2.3A组1T、2T.
x2 y2 1 ( x 3)
9 16
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) .
9 16
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲线，求m
2m m1
的取值范围. 解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是 两；条若射2a线>|F1F2| 则 动 点 的 轨 迹 是 ．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是 ．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法

M
F1
o
F2
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5
F
1
O
F
2
x
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a 即|MF1| - |MF2|=±2a
即
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( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
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4.化简
( x c ) y ( x c ) y 2a
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
20
2
2
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c a b
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆
双曲线
定义 MF1 MF2 2a F1 F2 MF1 MF2 2a F1 F2 方程
16 9
2 2 9 y 16 x 144 的焦点在 2、双曲线
x
y
轴？ 轴？
15
3、双曲线 x 15 y 15 的焦点在
2 2
2019年4月29日 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专 业文档
例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差 的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.

问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？ 如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：椭圆的标准方程是怎样的? a b，c， 关系如何？
x2 y2 1(a b 0)或 y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 c2
问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
mn
题后反思：
1a 2, b 2, c 6 ( 6,0).( 6,0) 先把非标准方程
2a 2,b 2, c 2 (2,0).(2,0)
化成标准方程， 再判断焦点所在
3a 2, b 2, c 6
(0, 6).(0, 6) 的坐标轴。
4a m,b n, c m n ( m n,0).( m n,0)
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2） x2 y2 1(mn 0) 是否表示双曲线？ mn
m 0
n
0
x 表示焦点在 轴上的双曲线；
m 0
n
0
表示焦点在 y轴上的双曲线。
x2 y 2 1表示双曲线，求 m的范围。
2 m m 1
答案：m 1或m 2。

§2.3.1 双曲线及其标准方程（A ）1、双曲线221169x y -=上的点P 到点（5，0）的距离是15，则P 到(5,0)-的距离是（ ） A 、7 B 、23 C 、5或25 D 、7或232、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过焦点1F 的直线交在双曲线的一支上的弦长||AB 为m ，另一焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（ ）A 、4aB 、4a m -C 、42a m +D 、42a m -3、已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A 、11k -<< B 、0k > C 、0k ≥ D 、1k >或1k <-4、若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点1F 、2F ，P 为椭圆与双曲线的公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ）A 、m a -B 、1()2m a - C 、22m a - D 5、到两定点1(3,0)F -，2(3,0)F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（ ）A 、椭圆B 、线段C 、双曲线D 、两条射线6、在方程22mx my n -=中，若0mn <，则方程的曲线是（ ）A 、焦点在x 轴上的椭圆B 、焦点在x 轴上的双曲线C 、焦点在y 轴上的椭圆D 、焦点在y 轴上的双曲线 7、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是 ； 8、椭圆中的,,a b c 的关系式是 ；双曲线中的,,a b c 的关系式是 ；9、已知双曲线221916x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ；10、设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ；11、相距2000米的两个哨所A 、B 听到远处传来的炮弹的爆炸声，已知当时的声速是330 米/秒，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4秒，若以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，中点为原点建立直角坐标系，则爆炸点所在的曲线方程为 ；12、讨论方程22193x y k k +=--表示的曲线。

[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？ 不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？ 线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.

y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动 点P的轨迹方程.

双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
思考:
当 0°≤θ≤180°时， 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
今日作业 P61：A组1、2.
课间休息
（2）若2a>2c呢？
由三角形知识有这样的点M不存在
推导方程
请同学们自己建立坐标系，推导方程
如何建系？M(x,y)
y
几何条件：
M
||MF1|–|MF2||=2a
F1 o F2
x
代数化：
F1(–c,0)， F2(c,0)
| xc2y2xc2y2|2a
推导方程
y
M (x，y)
F1
(-c，0) O
F2
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所

轨迹方程是 A.1x62 －y92＝1(x≤－4) C.1x62 －y92＝1(x≥4)
B.x92－1y62 ＝1(x≤－3) D.x92－1y62 ＝1(x≥3)
( D)
课堂达标检测
双曲线及其标准方程
4．若方程10x－2 k＋5－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( A )
A. (5,10)
焦点在 y 轴上
图形
标准方程 焦点 焦距
统一形式：
xa22－by22＝1(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0)
mx2＋ny2＝1(mn<0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
F1 (0，－c) ，F2 (0，c)
|F1F2|＝2c，c2＝ a2＋b2
哪项为正，焦点就在哪个轴上．
探究
为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 解 如图，建立直角坐标系 xOy，设爆炸点 P 的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×4＝1 360，即 2a＝1 360，a＝680. 又|AB|＝2 000，所以 2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600. 因为|PA|－|PB|＝340×4＝1 360>0，所以 x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为462x2400－537y2600＝1 (x>0)． (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2
所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，
S ∴ F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64× 23＝16 3.

2 2 x y b2＝c2－a2，则双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a b
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基 础 梳 理
例：焦点在x轴上的双曲线中，a＝3，b＝4，双曲线
x2 y2 － ＝1 的标准方程为______________ ． 9 16
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3．取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平
y2
x2
所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16 点评：求双曲线标准方程的一般步骤：①根据条件确定双曲线 的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能；②根据焦点位置设方程为 x 2 y2 y2 x 2 2 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，可设方程为 mx ＋ a b a b ny2＝1(mn<0)；③根据已知条件列出关于 a，b，c(或 m，n)的方程组； ④解方程组，将 a，b，c(或 m，n)代入方程，即得标准方程．
例：焦点在 y 轴上的双曲线中，a＝3，c＝4，双曲线的标
y2 x2 － ＝1 准方程为____________ ． 9 7
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自 测 自 评
1．点 F1，F2 是两个定点，动点 P 满足||PF1|－|PF2||＝ 2a(a 为非负常数)，则动点 P 的轨迹是( A．两条射线 B．一条直线 C．双曲线 D．前三种情况都有可能
y2 x2 解析：(1)设标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)且 c＝4， a b ∵双曲线过点 P(2 2，－6)，
36 8 a －b ＝1， ∴ ＝4 ，
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∴双曲线标准方程为
y2
12
分线为x轴，建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意 一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别 是(0，－c)、(0，c)．