2018-2019数学苏教版必修2 第2章2.1.2第二课时 两点式 作业

2.1.2 第2课时 直线的两点式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________________．【解析】 由直线的两点式方程得y －25－2＝x －－2－－，整理得x －y ＋3＝0.【答案】 x －y ＋3＝02．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________． ①可以写成两点式或截距式； ②可以写成两点式或斜截式或点斜式； ③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．【答案】 ②3．直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则a ________0，b ________0.【解析】 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.【答案】 < >4．若直线l 过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2 017，a )在l 上，则a 的值为________． 【解析】 ∵(－1，－1)，(2,5)，(2 017，a )三点共线， ∴5－－2－－＝a －52 017－2，∴a ＝4 035. 【答案】 4 0355．经过点A (2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________.【导学号：41292074】【解析】 由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为y －01－0＝x ＋22＋2，即x －4y ＋2＝0. 【答案】 x －4y ＋2＝06．两条直线l 1：x a －yb ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．图2－1－5【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置． 【答案】 ①7．已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________． 【解析】 AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.【答案】 128．直线mx ＋ny ＋p ＝0(mn ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m ，n ，p 满足的条件是________．【解析】 当p ＝0时，直线在两坐标轴上的截距相等， 当p ≠0时，因mn ≠0，∴－p m ＝－p n， 即m ＝n .【答案】 p ＝0或p ≠0且m ＝n 二、解答题9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.【解】 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k－3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．【解】 设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋－4b ＝1，12|a |·|b |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.故直线l 的方程为x 5－y 2＝1或－2x 5＋y4＝1.即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.[能力提升]1．过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b ，则直线的方程为__________．【解析】 当b ＝0时，设直线方程为y ＝kx ， 则2k ＝－1，所以k ＝－12，所以直线方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当b ≠0时，设直线方程为x 3b ＋y b ＝1，则23b ＋－1b ＝1，解得b ＝－13.所以直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 【答案】 x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝02．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则yx的取值范围是________．【解析】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，23．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________.【导学号：41292075】【解析】 由A ，B ，P 三点共线，得y －0x －3＝4－00－3， 即y ＝－43(x －3)，x ∈[0,3]．∴xy ＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43x －＝－43(x 2－3x ) ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3.当x ＝32时，xy 取得最大值3，此时x ＝32，y ＝2，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 34．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，设直线l 与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b )，且有a ＞0，b ＞0，根据题中两个条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧S ＝12ab ＝2，|a －b |＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以直线l 的方程为x 4＋y ＝1或x ＋y4＝1.。

2.1.2 直线的方程(二)——两点式【课时目标】 1．掌握直线方程的两点式及其使用条件．2．理解直线方程的截距式和直线在x 轴与y 轴上的截距的概念．一、填空题1．下列说法正确的是________(填序号)．①方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点M (x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程；②在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb＝1；③直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为b ；④不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程 ①可以写成两点式或截距式；②可以写成两点式或斜截式或点斜式； ③可以写成点斜式或截距式；④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式． 把你认为叙述正确的序号填在横线上________．3．直线x a 2－yb2＝1在y 轴上的截距是________．4．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为________．5．直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1在同一坐标系中的图象可能是________(填序号)．6．过点(5,2)，且在x 轴上的截距(直线与x 轴交点的横坐标)是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是__________．7．点(1 005，y )在过点(－1，－1)和(2,5)的直线l 上，则y 的值为________．8．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________________．9．设a ，b 是参数，c 是常数，且a ，b ，c 均不等于0，1a ＋1b ＝1c ， 则直线x a ＋yb＝1必过一定点________．二、解答题10．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程．11．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．能力提升12．已知点A (2,5)与点B (4，－7)，点P 在y 轴上，若P A ＋PB 的值最小，则点P 的坐标是________．13．已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l 的方程．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P (x 0，y 0)且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．(3)两点式要考虑直线平行于x 轴和垂直于x 轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征，求直线方程．3．强调两个问题：(1)截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况，但此时不能用截距式方程表示，而应用y ＝kx 表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y ＝1没有横截距，x ＝2没有纵截距．(2)方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)(x 1≠x 2)与y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)以及(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．2．1．2 直线的方程(二)——两点式 答案知识梳理 x a ＋y b＝1 作业设计 1．① 2．② 3．－b 2解析 令x ＝0得，y ＝－b 2．4．－32解析 由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，有x ＝－32，即为在x 轴上的截距为－32．5．②解析 两直线的方程分别化为斜截式：y ＝nmx －n ，y ＝mnx －m ，易知两直线的斜率的符号相同，四个图象中仅有图象②的两直线的斜率符号相同．6．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0解析 当y 轴上截距b ＝0时，方程设为y ＝kx ，将(5,2)代入得，y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当b ≠0时，方程设为x 2b ＋y b ＝1，求得b ＝92．7．2 007解析 过(－1，－1)和(2,5)两点的直线为y ＝2x ＋1，代入点(1 005，y )得y ＝2 011．8．x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1 解析 设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y 1＝1，即x 3＋y 2＝1或x2＋y ＝1．9．(c ，c )10．解 方法一 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ． ∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ．令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b )；令y ＝0，∴x ＝－b6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0． 根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37， ∴b ＝±6．因此直线l 的方程为y ＝6x ±6．方法二 设所求直线为x a ＋yb＝1，则与x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0，b )．由勾股定理知a 2＋b 2＝37．又k ＝－ba ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝37，－b a＝6.解此方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6. 因此所求直线l 的方程为x ＋y －6＝1或－x ＋y6＝1．即6x －y ±6＝0．11．解 ∵点A (3,2)关于x 轴的对称点为A ′(3，－2)， ∴由两点式得直线A ′B 的方程为 y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0． 同理，点B 关于x 轴的对称点B ′(－1，－6)， 由两点式可得直线AB ′的方程为 y －2－6－2＝x －3－1－3， 即2x －y －4＝0．∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0． 12．(0,1)解析 要使P A ＋PB 的值最小，先求点A 关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，连结A ′B ，直线A ′B 与y 轴的交点P 即为所求点．13．解 当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0．当直线l 不过原点时，设其方程x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0，①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1，②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0．。

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2.1.5 平面上两点间的距离[学业水平训练］1．已知点A(1，－1),B(2，3)，则线段AB的长为________．解析：AB＝错误!＝错误!＝错误!.答案：172．已知点A(x,5)关于点（1，y）的对称点为(－2，－3)，则点P（x，y）到原点的距离是________．解析：根据中点坐标公式得到错误!＝1且错误!＝y，解得x＝4，y＝1,所以点P的坐标为（4，1），则点P（x，y）到原点的距离d＝错误!＝错误!.答案：错误!3．已知点A(1,2),B（3，1），则线段AB的垂直平分线方程是________．解析：∵k AB＝错误!＝－错误!,∴AB的中垂线的斜率为2，又AB中点为(错误!，错误!）,即（2，错误!），故线段AB的垂直平分线方程是y－32＝2(x－2），即4x－2y＝5。

答案：4x－2y＝54．x轴上任一点到定点（0，2），（1,1)距离之和的最小值是________．解析：点(1,1）关于x轴的对称点坐标为（1，－1）,要求的最小值为错误!＝错误!.答案：错误!5．已知A（1,2），B(－1,1),C(0，－1），D（2,0）,则四边形ABCD的形状为________．解析：由k AB＝错误!，k CD＝错误!，k BC＝－2,k AD＝－2得AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，ABCD为矩形，又AB＝错误!＝错误!，BC＝－1－02＋1＋12＝错误!，∴AB＝BC，故ABCD为正方形．答案：正方形6．直线l1：x－y＋1＝0关于点P（1，1)对称的直线l2的方程为________．解析：法一：设点M(x，y)是直线l2上的任意一点，点M关于点P（1，1）的对称点为N，则N 点坐标为（2－x，2－y）．∵直线l1与l2关于点P(1,1）对称，∴点N(2－x,2－y）在直线l1上，∴(2－x)－（2－y）＋1＝0，即x－y－1＝0.∴直线l2的方程为x－y－1＝0。

【解】 (1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得
y＋3 1＋3
＝
－x－2－00，化简得2x＋y＋3＝0.
(2)由中点公式得，BC的中点D的坐标为 0－2 2，－32＋1 ，即D(－1，－1)，又
直线AD过点A(－4，0)，由两点式方程得0y＋＋11＝－x＋4＋11，化简得x＋3y＋4＝0.
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方 程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以 先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
[再练一题] 1．已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程．
【答案】 y＝2
教材整理2 直线的截距式方程 阅读教材P84例2以上部分内容，完成下列问题． 若直线过点A(a,0)，B(0，b)，其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y
轴上的截距，则直线方程__ax_＋__by_＝__1_(_a_≠__0_，__b_≠__0_)___，称为直线的截距式方程．
【导学号：41292071】
故直线在两坐标轴上的截距之和为－4＋3＝－1.
【答案】 －1
[小组合作型] 直线的两点式方程及其应用
已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条 边所在的直线方程．
【精彩点拨】 已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点先 求斜率，再利用点斜式写直线方程．
【导学号：41292072】
【解】 当直线l在坐标轴上的截距为0时，设方程为y＝kx，又l过点A(5,2)， 得2＝5k，即k＝25，故方程为y＝25x，即2x－5y＝0.

[学业水平训练]1. 在空间直角坐标系中, 点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为________.解析：由于点关于平面yOz对称, 故其纵坐标、竖坐标不变, 横坐标变为相反数, 即对称点坐标是(－3,1,5)．答案: (－3,1,5)2. 在空间直角坐标系中, 点P(1, , ), 过点P作平面xOy的垂线PQ, 垂足为Q, 则Q的坐标为________.解析: 由题意知, 点Q就是点P在平面xOy上的射影, 所以横坐标、纵坐标不变, 竖坐标为0, 故点Q的坐标为(1, , 0)答案: (1, , 0)3．点M(4, －3,5)到原点的距离d1＝________, 到z轴的距离d2＝________.解析: 利用两点间距离公式可得d1＝＝5 .过M作MN⊥平面xOy于N, 则N(4, －3,0), 故d2＝ON＝＝5.答案: 5 54．设球心C(0, －1,0), 球面经过一点M(－1,3,1), 则球的半径为________．解析: r＝CM＝＝3 .答案: 35．已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4), 且AB＝2 , 则实数x的值是________．解析: ∵AB＝＝＝2 ,∴x＝6或－2.答案: 6或－26. 在空间直角坐标系中, 一定点P到三个坐标轴的距离都是1, 则该点到原点的距离是________.解析：分别以x轴、y轴、z轴上的单位长度为正方体的相邻的棱作正方体, 则点P在正方体与O相对的顶点上, 所以OP＝.答案： 37. 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为a, 侧棱长为l, 试建立适当的空间直角坐标系, 写出各顶点的坐标.解: 设正四棱锥底面中心点为O,∵OA⊥OB, 点P在平面ABCD上的射影为O,∴以O为坐标原点, 以直线OA, OB, OP分别为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系. 则OA＝a, PA＝PB＝PC＝PD＝l,∴PO＝PA2－OA2＝l2－12a 2.故各顶点坐标依次为A( a,0,0).B(0, a,0), C(－a,0,0), D(0, －a,0),P(0,0, ).8.三棱锥P－ABC中, 侧面PAC⊥底面ABC, △ABC是以角B为直角顶点的直角三角形, AB ＝BC＝2 , 又PA＝PB＝PC＝3, 试建立恰当的空间直角坐标系, 在这个坐标系中:(1)求点A, B, C, P 的坐标；(2)求AB, PC 的中点之间的距离.解: (1)取AC 的中点O, 连结OB, OP.∵△ABC 是直角三角形, 且AB ＝BC ＝2 .∴AC ＝4, OB ＝2.∵PA ＝PB ＝PC, ∴点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心, 即点O.故PO ⊥平面ABC .∵PA ＝3,∴PO ＝PA 2－AO 2＝32－22＝ 5.以O 为坐标原点OB, OC, OP 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0, ). A(0, －2,0), B(2,0,0), C(0,2,0).(2)AB 的中点坐标为(1, －1,0), PC 的中点坐标为(0,1, )．这两个中点之间的距离为d ＝12＋22＋(52)2＝52. [高考水平训练]1. 已知点P(2,3, －1)关于坐标平面xOy 的对称点为P1, 点P1关于坐标平面yOz 的对称点为P2, 点P2关于z 轴的对称点为P3, 则点P3的坐标为________.解析: 点P(2,3, －1)关于坐标平面xOy 的对称点P1的坐标为(2,3,1), 点P1关于坐标平面yOz 的对称点P2的坐标为(－2,3,1), 点P2关于z 轴的对称点P3的坐标是(2, －3,1). 答案: (2, －3,1)2．对于任意实数x 、y 、z, 则 ＋的最小值为________.解析：设P(x, y, z), M(－1,2,1)则 ＋ ＝PO ＋PM, 由于x 、y 、z 是任意实数, 即点P 是空间任意一点, 则PO ＋PM ≥OM ＝ ＝ , 则所求的最小值为 .答案： 63.如图, 以正方体的三条棱所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系O －xyz, 点P 在正方体的对角线AB 上, 点Q 在正方体的棱CD 上.(1)当点Q 为棱CD 的中点, 点P 在对角线AB 上运动时, 探究PQ 的最小值；(2)当点P 在对角线AB 上运动, 点Q 在棱CD 上运动时, 探究PQ 的最小值.解: 设正方体的棱长为a, 连结OA, 在平面AOB 内, 作PH ⊥OA 于H.∵OB ⊥平面xOy, ∴PH ⊥平面xOy.设P(x, x, z), 则 ＝ ,∴z ＝a －x.故P(x, x, a －x).(1)由题意知Q(0, a, ), P(x, x, a －x), PQ ＝x 2＋(x －a )2＋(x －a 2)2 ＝3x 2－3ax ＋54a 2 ＝3(x －a 2)2＋a 22.故当x ＝ , 即P 为AB 中点时, PQmin ＝ . (2)由题意知P(x, x, a －x), 设Q(0, a, t)．则PQ ＝x 2＋(x －a )2＋(x －a ＋t )2＝3(x －2a －t 3)2＋23(t －a 2)2＋a 22. 故当 即 时, PQmin ＝ .此时, P 、Q 分别为AB, CD 的中点.4.如图所示, 在长方体ABCD －A1B1C1D1中, |AB|＝|AD|＝3, |AA1|＝2, 点M 在A1C1上, |MC1|＝2|A1M|, N 在D1C 上且为D1C 的中点, 求M 、N 两点间的距离.解：如图, 分别以AB 、AD 、AA1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知C(3,3,0), D(0,3,0), ∵|DD1|＝|CC1|＝2, ∴C1(3,3,2), D1(0,3,2).∵N 为CD1的中点, ∴N .M 是A1C1的三等分点且靠近点A1, ∴M(1,1,2).由两点间距离公式, 得|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.。

第2课时圆的一般方程【课时目标】1．理解圆的一般方程及其特点，会由圆的一般方程求其圆心、半径．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．1．圆的一般方程的定义(1)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为____________．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点____________．(3)当____________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：一、填空题1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标为________，半径为________．2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是__________．4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O与圆的位置关系为____________．6．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为__________．7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．二、解答题10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？11．如果方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围；(2)求该圆半径r 的取值范围．能力提升12．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．13．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．第2课时 圆的一般方程 答案知识梳理1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2(3)D 2＋E 2－4F <0 2．作业设计1．⎝⎛⎭⎫－32，1 192解析 由一般方程圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 两公式易得答案． 2．m <1解析 表示圆应满足D 2＋E 2－4F >0． 3．x －y －3＝0解析 过M 最长的弦应为过M 点的直径所在直线． 4． 2解析 先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之． 5．点O 在圆外 6．x ＋y －4＝0解析 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3．AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1．∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0． 7．(0，－1)解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2．当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)． 8．－2解析 由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a2＋2＝0， 解得a ＝－2． 9．20 6解析 点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝206．10．解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D －5E －F ＝265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20．所以过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0． 将点D (－2，－1)代入上述方程等式不成立． 故A 、B 、C 、D 四点不能在同一个圆上．11．解 (1)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆必须有：D 2＋E 2－4F ＝4(t ＋3)2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，即：7t 2－6t －1<0，∴－17<t <1．(2)该圆的半径r 满足：r 2＝D 2＋E 2－4F 4＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－(16t 4＋9)＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴r 2∈⎝⎛⎦⎤0，167，∴r ∈⎝⎛⎦⎤0，477． 12．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2， 所以D ＋E ＝－2． ① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．13．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y ．因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1， 则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14． 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14．。

时间：25分钟1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式答案B解析由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B.2．已知直线l 的方程为9x －4y ＝36，则l 在y 轴上的截距为( )A ．9B ．－9C ．4D ．－4答案 B解析 由9x －4y ＝36，得y ＝94x －9，∴b ＝－9.3．已知直线ax ＋by －1＝0，在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．a ＝3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝－1C ．a ＝－3，b ＝1D ．a ＝－3，b ＝－1答案 D解析 由ax ＋by －1＝0得y ＝－a b x ＋1b ，∴1b ＝－1；由3x －y －3＝0得y ＝3x －3，倾斜角为60°，故－a b ＝tan(2×60°)＝－3，∴b ＝－1，a ＝－ 3.4．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案 B解析 若m >0，n >0时，两直线均经过第一、三、四象限，若m <0，n <0时，两直线均经过第一、二、三象限，若mn <0时，一直线经过第一、二、四象限，另一直线经过第二、三、四象限．5．关于x 、y 的方程(a 2－a －2)x ＋(2－a )y ＋5＝0是直线的方程，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－1C ．a ≠2D ．a ≠－1答案 C解析 当方程不表示直线时，得⎩⎨⎧ a 2－a －2＝0，2－a ＝0，即a ＝2.∴当a ≠2时，表示直线．6．如果AC >0，BC >0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B .∵AC >0，BC >0，∴AB >0，∴－A B<0，－C B <0，∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．7．与两坐标轴正方向围成面积为2的三角形且截距差的绝对值为3的直线方程的一般式是________．答案 x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0解析 设直线方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 12ab ＝2，|a －b |＝3，解得a ＝4，b ＝1或a ＝1，b ＝4.8．若直线l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，则直线l 的方程是________．答案 4x ＋3y ＋12＝0解析 因为直线l 与两坐标轴的交点分别为(－3,0)，(0，－4)，所以直线l在x ，y 轴上的截距分别为－3，－4，故直线l 的方程是x －3＋y －4＝1，可化为4x ＋3y ＋12＝0.9．求过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为2a ，当a ＝0时，直线过原点(0,0)，所以由直线方程的两点式，可得直线的方程为y －02－0＝x －05－0，可化为2x －5y ＝0.当a ≠0时，可设直线的截距式方程为x a ＋y 2a ＝1.又直线过点(5,2)，将其代入，得5a ＋22a ＝1，解得a ＝6，此时直线的方程为x 6＋y 2×6＝1， 可化为2x ＋y －12＝0.所以所求直线的方程为2x －5y ＝0或2x ＋y －12＝0.10．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6， 若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．解 假设存在这样的直线，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)．由△AOB 的周长为12，知a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又∵过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 ∴43a ＋2b ＝1.②由△AOB 的面积为6知ab ＝12.③由①②③解得a ＝4，b ＝3.则所求直线的方程为x 4＋y 3＝1.即3x ＋4y －12＝0.由Ruize收集整理。

第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程 2.1.4 两条直线的交点A 组 基础巩固1．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6解析：将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10.答案：B2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24解析：在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 答案：C3．直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：首先联立⎩⎨⎧4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)， 代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1. 答案：B4．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，2 D.()2，＋∞解析：解出两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －63＋m 2，6＋4m 3＋m 2.由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －63＋m2<0，6＋4m3＋m 2>0.解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.答案：C5．已知直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 倾斜角的取值范围．解：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋333k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.于是有⎩⎨⎧3k ＋2＞0，6k －23>0.所以k >33.故直线l 的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．6．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一个定点，这个定点是________．解析：将直线方程化为a (x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，当⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，即⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3时等式成立，即直线过定点(－2，3)．答案：(－2，3)7．若直线x ＋my ＋1＝0和直线(m －2)x ＋3y ＋m ＝0相交，则m 的取值范围是______________________．解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行， 所以m (m －2)－1×3≠0.所以m 2－2m －3≠0. 所以m ≠－1且m ≠3.答案：(－∞，－1)∪(－1，3)∪(3，＋∞)8．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，求a 的值．解：由3a －a 2(a －2)＝0得：a (a ＋1)(a －3)＝0.所以a ＝0或a ＝－1或a ＝3.其中当a ＝3时，两直线重合；当a ＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．故a ＝0或－1.9．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0，那么方程x ＋y ＋1＋λ(x －2y ＋4)＝0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点？解：设直线l 1与l 2的交点坐标为P (x 0，y 0)， 则x 0＋y 0＋1＝x 0－2y 0＋4＝0，所以x 0＋y 0＋1＋λ(x 0－2y 0＋4)＝0＋λ·0＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －2y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.故P (－2，1)． 又x ＋y ＋1＋λ(x －2y ＋4)＝0是关于x ，y 的二元一次方程， 所以方程x ＋y ＋1＋λ(x －2y ＋4)＝0表示过直线l 1与l 2交点(－2，1)的直线系(不含直线x －2y ＋4＝0)．10．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my －1＝0，l 2：3x －2y －5＝0，l 3：6x ＋y －5＝0不能围成三角形．解：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．由⎩⎨⎧3x －2y －5＝0，6x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.将x ＝1，y ＝－1代入l 1的方程中，得m ＝2. 即m ＝2时，三条直线共点．由－6－3m ＝0，即m ＝－2时，l 1∥l 2； 由3－6m ＝0，即m ＝12时，l 1∥l 3.所以当m ＝±2或m ＝12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．B 级 能力提升11．求过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且过点(4，0)的直线方程为________________．解析：设所求直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0(λ∈R)， 则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－43.所以所求直线方程为2x －y ＋4－43(x －y ＋5)＝0，即2x ＋y －8＝0. 答案：2x ＋y －8＝012．经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为____________．解析：首先将直线l 1与l 2的方程联立方程组，解得x ＝1，y ＝3. 则两直线交点为(1，3)，而直线2x －y －1＝0的斜率为2， 所以所求直线斜率为－12，则所求直线方程为y －3＝－12(x －1)，即x ＋2y －7＝0.答案：x ＋2y －7＝013．求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解：由方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.因为直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， 所以直线l 的斜率k ＝－3.所以直线l 的方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫－35，即15x ＋5y ＋16＝0.14．已知两直线l 1：2x －y ＋7＝0，l 2：x ＋y －1＝0，A (m ，n )是l 1和l 2的交点．(1)求m ，n 的值；(2)求过点A 且垂直于直线l 1的直线l 3的方程；(3)求过点A 且平行于直线l ：2x －3y －1＝0的直线l 4的方程． 解：(1)因为A (m ，n )是l 1和l 2的交点，所以⎩⎨⎧2m －n ＋7＝0，m ＋n －1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝3.(2)由(1)得A (－2，3)．因为kl 1＝2，l 3⊥l 1，所以kl 3＝－12，由点斜式得l 3：y －3＝－12(x ＋2)，即l 3：x ＋2y －4＝0.(3)因为l 4∥l ，所以kl 4＝k l ＝23，由点斜式得l 4：y －3＝23(x ＋2)，即2x －3y ＋13＝0.。

1．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则l 的倾斜角为________角，l 不过第________象限．答案：钝 一 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是________． 解析：据直线方程的截距式表示形式，原方程应化为x a 2＋y (－b 2)＝1，直线在y 轴上的截距为－b 2.答案：－b 23．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________．解析：若截距为零，设直线方程为y ＝kx ，则3＝－2k ， ∴k ＝－32，∴y ＝－32x 即3x ＋2y ＝0； 若截距不为零，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a ∵直线过点(－2,3)，∴－2－3＝a ，即a ＝－5∴x －y ＋5＝0综上，所求直线方程是3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝04．经过点A (－1，－5)和点B (2,13)的直线在x 轴上的截距为________．解析：由题意，直线的方程为y ＋513＋5＝x ＋12＋1，即6x －y ＋1＝0. 令y ＝0，得x ＝－16. 答案：－165．(2012·宿迁模拟)直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l 的方程是________．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知⎩⎨⎧ 1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，b ＝6，∴直线l 的方程为x 2＋y 6＝1，即3x ＋y －6＝0. 答案：3x ＋y －6＝06．直线l 经过点A (2,1)和点B (a,2)，求直线l 的方程．解：①当a ＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2，所以直线方程为x ＝2；②当a ≠2时，由y －21－2＝x －a 2－a得x ＋(2－a )y ＋a －4＝0. ∴当a ＝2时，所求直线方程为x ＝2；当a ≠2时，所求直线方程为x ＋(2－a ) y ＋a －4＝0.7．已知直线l 1为x 2－2y 3＝1，求过点(1,2)并且纵截距与直线l 1的纵截距相等的直线l 的方程．解：∵l 1的方程可化为x 2＋y －32＝1， ∴直线l 1的纵截距为－32. 设直线l 的方程为x a ＋y －32＝1， 即x a －2y 3＝1. 并且直线l 过点(1,2)，所以1a －2×23＝1，解得a ＝37. 因此直线l 的方程为7x 3－2y 3＝1，即7x －2y －3＝0. 8．求过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b 且满足a ＝3b 的直线方程．解：当a ＝3b ≠0时，设所求方程为x 3b＋y b ＝1， ∵过点P (2，－1)，∴23b ＋－1b ＝1，解得b ＝－13，故所求直线方程为x －1＋y －13＝1，即x ＋3y ＋1＝0； 当a ＝3b ＝0，则直线过原点，设方程为y ＝kx . ∵直线过P (2，－1)点，∴－1＝2k ，k ＝－12，所求方程为x ＋2y ＝0. 综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.。

第课时两点式．了解直线方程的两点式的推导过程．(难点)．会利用两点式求直线的方程．(重点)．掌握直线方程的截距式，并会应用．(易错点)[基础·初探]教材整理直线的两点式方程阅读教材思考以上部分内容，完成下列问题．已知直线过两点(，)，(，)，则其方程＝(≠且≠)，称为直线的两点式方程．．过点()，()的直线方程为．【解析】由直线方程的两点式得＝，即－－＝.【答案】－－＝．经过()与()两点的直线方程为．【解析】由，两点的坐标可知，直线与轴平行，所以直线方程为＝.【答案】＝教材整理直线的截距式方程阅读教材例以上部分内容，完成下列问题．若直线过点()，(，)，其中叫做直线在轴上的截距，叫做直线在轴上的截距，则直线方程＋＝(≠，≠)，称为直线的截距式方程．．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两点式＝，适用于不垂直于轴和轴的任何直线．(√) ()经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)·(－)表示．(√)()不经过原点的直线都可以用方程＋＝表示．(×)()方程－＝(－)和＝表示同一图形．(×)．过点()，()的直线方程为．【解析】∵()，()都在坐标轴上，因此过这两点的直线方程为＋＝.【答案】＋＝．直线－＝在两坐标轴上的截距之和为.【导学号：】【解析】令＝，得＝－；令＝，得＝.故直线在两坐标轴上的截距之和为－＋＝－.【答案】－[小组合作型]直线的两点式方程及其应用已知△三个顶点坐标(，－)，()，()，求三角形三条边所在的直线方程．【精彩点拨】已知直线上的两点，可利用两点式求方程，也可利用两点先求斜率，再利用点斜式写直线方程．【自主解答】∵(，－)，()，，两点横坐标相同，直线与轴垂直，故其方程为＝.∵(，－)，()，由直线方程的两点式可得的方程为＝，即－－＝.同理可由直线方程的两点式得直线的方程为＝，即＋－＝.∴三边，，所在的直线方程分别为＝，－－＝，＋－＝.。