反比例函数常见题型.doc

专题6.2 反比例函数（基础篇）（专项练习）一、单选题1. 下列函数：①y ＝2x ，②y ＝15x ，③y ＝x ﹣1，④y ＝11x +．其中，是反比例函数的有（ ）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知反比例函数的图象过(,)x y -，则它的图象一定不经过点（ ）．A. (,)y x B. (,)y x - C. (,)y x - D. (,1)xy -3. 如果函数()21m y m x -=-反比例函数，那么m 的值是（ ）A. 2B. 1- C. 1D. 04. 若反比例函数2y x=-的图象经过点(,)a a -，则a 的值为（ ）．A.B. C. D. 2±5. 已知点A （3，4）在反比例函数(k y k x=为常数，0)k ≠的图象上，则该反比例函数的解析式是( )A. 3y x=B. y =4xC. y =12xD. y =7x6. 若点1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(1,)C y 都在反比例函数12y x=-的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A. 213y y y <<B. 312y y y << C. 123y y y << D. 321y y y <<7. 反比例函数y =kx的图象经过点（3，﹣2），下列各点在图象上的是（ ）A. （﹣3，﹣2）B. （3，2）C. （﹣2，﹣3）D. （﹣2，3）8. 用电器的输出功率P 与通过的电流I 、用电器的电阻R 之间的关系是2P I R =，下面说法正确的是（ ）A. P 为定值，I 与R 成反比例 B. P 为定值，2I 与R 成反比例C. P 为定值，I 与R 成正比例D. P 为定值，2I 与R 成正比例9. 某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若水温为30℃时接通电源，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，则水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）A. 27minB. 20minC. 13minD. 12min10. 地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）A. 海拔越高，大气压越大B. 图中曲线是反比例函数的图象C. 海拔为4千米时，大气压约为70千帕D. 图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系二、填空题11. 在函数2y x=中，自变量x 的取值范围是______．12. 若点()2,6A -与()3,B n 在同一条双曲线上，则n =______．13. 若点A （a ，b ）在反比例函数y ＝5x-的图象上，则代数式ab ﹣4的值为_____．14. 已知反比例函数3k y x-=的图象经过点()1,2，则k 的值为__________．15. 在平面直角坐标系中，反比例函数ky x=-的图象经过点(,4)A m ，(B .则m 的值是____．16. 若函数21(1)mm y m x --=-是反比例函数，则m 的值是_______．17. 小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t （分）与录入文字的平均速度v （字/分）之间的函数表达式应为t =______（0v >）．18. 如图，OABC 的顶点C 在反比例函数ky x=的图像上，且点A 坐标为(1,3)-，点B 坐标为(5,1)-，则k 的值为_________．三、解答题19. 下列关系式中的y 是x 的反比例函数吗？如果是，比例系数k 是多少？（1）4y x=（2）32y x=-（3）1y x =-（4）xy =1（5）24y x-=20. 写出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．（1）某农场的粮食总产量为1500t ，该农场人数y （人）与平均每人占有粮食量x （t ）的函数关系式；（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为6.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价y （元）与加油量x （L ）的函数关系式.21. 已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =时，2y =；当1x =-时，1y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当3x =时，求y 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点()2,3A 和点()2,B m -，求m 的值．23. 已知y 是x 的反比例函数，下表列出了x 与y 的一些对应值．x …－4－3－2－123…y…1856－18…(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据表达式完成上表．24. 若分式方程112x xx x +=-+的解为x α=，试判断点(),2P a a 和点(),8Q a a -是否在反比例函数2y x=-的图像上．专题6.2 反比例函数（基础篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据反比例函数的定义，逐项分析判断即可．解析式符合(0)ky k x=≠的形式为反比例函数．【详解】解：①y 是x 正比例函数；②y 是x 反比例函数；③y 是x 反比例函数；④y 是x +1的反比例函数．综上所述，是反比例函数的有②③，共计2个故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，将一般(0ky k x=≠）转化为y =kx ﹣1，是解题的关键．【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据反比例函数的定义可直接进行求解．【详解】解：设该反比例函数为ky x=，则有：∵反比例函数的图象过(,)x y -，∴k xy =-，∴选项A 的点(,)y x 一定不经过该反比例函数；故选A ．【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．【3题答案】【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即y ＝kx（k ≠0），只需令21m --＝、m -1≠0即可．【详解】解：∵()21m y m x-=-是反比例函数，∴2110m m ⎧-=-⎨-≠⎩，解得：1m =-，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y ＝kx（k ≠0）转化为y ＝kx −1（k ≠0）的形式．【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】把点的坐标代入函数解析式，解方程即可．【详解】解：把(,)a a -代入2y x =-，得2a a-=-，解得，a =故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是明确反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式．【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】直接把点A （3，4）代入反比例函数y =kx ，求出k 的值即可．【详解】解：∵将点A （3，4）代入反比例函数y =k x ，得4=3k，解得k =12．∴反比例函数表达式为：y =12x，【点睛】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】将A 、B 、C 三点坐标分别代入反比例函数的解析式，求出123、、y y y 的值比较其大小即可【详解】∵点1(3,)A y -，2(2,)B y -，3(1,)C y 都在反比例函数12y x=-的图象上，∴分别把x=-3、x=-2、x=1代入12y x=-得14y =，26y =，312y =-∴312y y y <<故选B【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．【7题答案】【答案】D 【解析】【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案．【详解】解：∵反比例函数y =kx的图象经过点（3，-2），∴xy =k =-6，A 、（-3，-2），此时xy =-3×（-2）=6，不合题意；B 、（3，2），此时xy =3×2=6，不合题意；C 、（-2，-3），此时xy =-3×（-2）=6，不合题意；D 、（-2，3），此时xy =-2×3=-6，符合题意；故选D ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出k 的值是解题关键．【答案】B 【解析】【详解】解：当P 为定值时，I 2与R 的乘积是定值，所以I 2与R成反比例．故选：B ．【9题答案】【答案】C 【解析】【分析】先求出水温开始下降时，水温y （℃）与开机后用时x （min ）的反比例函数解析式，再求出水温为35℃时的时间，计算即可．【详解】解：设水温开始下降时，水温y （℃）与开机后用时x （min ）的反比例解析式为k y x=，代入（7，100）得：7100700k =⨯=，即700y x=，当y ＝35时，即70035x=，解得：20x =，∵20－7＝13，∴水温从100℃降到35℃所用的时间是13 min ，故选：C ．【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【10题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据图象中的数据回答即可．【详解】解：A ．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；B ．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；C．∵图象经过点(4，60)，∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．二、填空题【11题答案】【答案】0x≠【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．【详解】解：由题意得：在函数2yx=中，0x≠，故答案是：0x≠．【点睛】本题主要考查反比函数自变量取值范围，掌握反比例函数自变量不等于0，是解题的关键．【12题答案】【答案】4-【解析】【分析】设反比例函数解析式为kyx=（k≠0），由A点求得k，再由B点横坐标求得纵坐标即可．【详解】解：设反比例函数解析式为kyx=（k≠0），由点A（2，-6）可得k=xy=-12，∴12yx-=，当x=3时，1243n-==-，即B（3，-4），故答案为：-4．【点睛】本题考查了反比例函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【13题答案】【答案】-9【解析】【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出ab=-5，将其代入代数式ab-4中即可得出结论．【详解】解：∵点A（a，b）在反比例函数y＝5x-的图象上∴ab=-5∴ab-4=-5-4=-9．故答案为：-9．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出ab=2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．【14题答案】【答案】5【解析】【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵反比例函数3kyx-=的图象经过点(1，2)，∴将(1，2)代入得：k−3=2，解得：k=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于k的方程是解此题的关键．【15题答案】【答案】3 2 -【解析】【分析】将点B的坐标代入反比例函数解析式，得出k的值，再将点A的纵坐标代入即可得出m的值．【详解】解：将点B的坐标代入反比例函数解析式，得出：=，将点A 的纵坐标代入可得，64m =-，解得，32m =-．故答案为：32-．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标，属于基础题目，易于掌握．【16题答案】【答案】0【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即可求解．【详解】解：∵函数21(1)mm y m x --=-是反比例函数，∴211m m --=-且10m -≠，解得：m =0．故答案为：0【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握形如1y kx -=或k y x =的形式的函数关系，称为反比例函数是解题的关键．【17题答案】【答案】27000v【解析】【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度，可得t 27000v=（v ＞0）．故答案为：27000v ．【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度．【18题答案】【答案】8【分析】由于四边形OABC 为平行四边形，根据平移的性质，结合点O 、A 、B 的坐标可确定点C 的坐标为（4，2），将其代入带反比例函数解析式求k 值即可．【详解】解：∵四边形OABC 为平行四边形，∴//AO BC ，AO BC =，∵A 坐标为(1,3)-，点B 坐标为(5,1)-，点O 坐标为(0,0)，由平移的性质可知，点C 的坐标为（4，2），∴将点C （4，2）代入到函数k y x =中，可得24k =，解得8k ．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、平行四边形的性质及平移的性质，解题关键是确定C 点的坐标．三、解答题【19题答案】【答案】（1）是，4k =；（2）是，32k =-； （3）否； （4）是，1k =（可化为1y x=）； （5）是，24k =-【解析】【分析】利用反比例函数的定义判定即可．【小问1详解】解：4y x=是反比例函数，比例系数4k =；【小问2详解】解：32y x =-是反比例函数，比例系数32k =-；【小问3详解】解：1y x =-不是反比例函数；【小问4详解】解：∵xy =1，∴1y x =，∴y 是x 的反比例函数，比例系数1k =；【小问5详解】解：24y x-=是反比例函数；比例系数24k =-；【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般式y =k x （k ≠0）．【20题答案】【答案】（1）1500y x =，是反比例函数；（2） 6.75y x =，是正比例函数，不是反比例函数.【解析】【分析】（1）根据题意列出函数关系式，然后根据反比例函数的定义判断即可；（2）根据题意列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义判断即可；【详解】（1）由题意，得1500y x=是反比例函数；（2）由单价乘以加油量等于总价，得 6.75y x =，是正比例函数，不是反比例函数.【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题关键.【21题答案】【答案】（1）271699y x x =+；（2）20581【解析】【分析】（1）设122,a y kx y x ==，则有2a y kx x=+，然后把当2x =时，2y =；当1x =-时，1y =代入求解即可；（2）由（1）可直接把x=3代入求解．【详解】解：（1）设122,a y kx y x ==，由12y y y =+可得：2a y kx x =+，∴把2x =，2y =和1x =-，1y =代入得：2241a k k a ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：79169k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y 与x 的函数解析式为：271699y x x=+；（2）由（1）可把x=3代入得：2716205399381y =⨯+=⨯．【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．【22题答案】【答案】-3【解析】【分析】由反比例函数的图象及其性质将A 、B 点代入反比例函数()0k y k x =≠即可求得m 的值为-3．【详解】∵反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()2,3A ，∴236k =⨯=．∵点()2,B m -在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，∴62k m ==-，解得：3m =-．故m 的轴为-3．【点睛】本题考察了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．【23题答案】【答案】（1）18y x =-；（2）见解析【解析】【分析】（1）设反比例函数的表达式为y =k x，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可；（2）将x 或y 的值代入函数解析式求得对应的y 或x 的值即可．【详解】解：（1）设反比例函数的表达式为y =k x，把3,6x y =-=代入得18k =-，18,y x∴=-（2）将y =185代入得：5x =-；将4x =-代入得：y =92；将2x =-代入得：y =9；将1x =-代入得：y =18，将18y =-代入得：x =1；将x =2代入得：9y =-，将x =3代入得：6y =-．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，求得函数的解析式是解题的关键．【24题答案】【答案】点P 不在反比例函数2y x =-的图像上，点Q 在反比例函数2y x =-的图像上【解析】【分析】解分式方程得出a 的值，将其带入点(),2P a a 和点(),8Q a a -，得出两点的坐标，再验证两点坐标是否在反比例函数2y x =-上即可得出答案．【详解】解：由题，解方程112x x x x +=-+去分母，得()()()121x x x x ++=-，即2222x x x x x +++=-，解得12x =-，经检验12x =-是原分式方程的解，∴12a =-∵反比例函数2yx=-，∴2xy=-∵12a=-，∴2211222222a a a⎛⎫⨯==⨯-=≠-⎪⎝⎭，218822a a⎛⎫-⨯=-⨯-=-⎪⎝⎭∴点P不在反比例函数2yx=-的图像上，点Q在反比例函数2yx=-的图像上．【点睛】本题考查解分式方程，以及判断坐标系中点是否在反比例函数上，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其注意检验是本题解题关键．。

专题01反比例函数重难点题型专训（5大题型）【题型目录】题型一用反比例函数描述数量关系题型二根据定义判断是否是反比例函数题型三根据反比例函数的定义求参数题型四求反比例函数值题型五由反比例函数值求自变量【知识梳理】【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如 0ky k k x为常数，的函数，叫做反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数。

自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

【经典例题一用反比例函数描述数量关系】1．（2022上·云南文山·九年级统考期末）已知点 3,1是反比例函数ky x上一点，则下列各点中在该图像上的点是（）A ． 1,3B ．11,3C ．1,93D ．16,2【答案】D【分析】先把点（3，1）代入双曲线ky x(k ≠0)，求出k 的值，再对各选项进行判断即可．【详解】解：∵点（3，1）是双曲线ky x(k ≠0）上一点，∴k =3×1=3，A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、1×13=13≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、13×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；D 、6×12=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2．（2022·湖北恩施·统考一模）如图的电路图中，用电器的电阻R 是可调节的，其范围为110~220 ，已知电压220V U ，下列描述中错误的是（）A ．P 与R 成反比例：220P RB ．P 与R 成反比例：2220P RC ．电阻R 越大，功率P 越小D ．用电器的功率P 的范围为220~440W【答案】A【分析】根据功率2U P R 判断即可．【详解】∵220V U ，2U P R∴2220P R，∴A 选项错误故选：A ．【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式2U P R是解题的关键．3．（2022上·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若以方程 223410x k x k k -2---=的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y 11x的图象上，则满足条件的k 值为．【答案】-2【分析】设方程的两个根分别为11x x，，根据题意得到11x x ＝241k k ，结合判别式，即可求解．【详解】解：∵以方程 223410x k x k k -2---=的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y 11x的图象上，∴设方程的两个根分别为11x x，，∴11x x＝241k k ，即21141k k ＝，∴24120k k 解得：1262k k ，∵ 2234410k k k-2---，∴5k ，∴2k ．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程200ax bx c a （）的根的判别式24b ac ＝：当0 ＞，方程有两个不相等的实数根；当0 ＝，方程有两个相等的实数根；当0 ＜，方程没有实数根，也考查了反比例函数．4．（2020上·广东江门·九年级统考期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表：近视眼镜的度数y （度）2002504005001000镜片焦距x （米）0.500.400.250.200.10根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为．【答案】100y x【分析】由表中数据可得，100xy ，从而可得y 关于x 的函数表达式．【详解】由表中数据可得，100xy ，∴y 关于x 的函数表达式为100y x．故答案为：100y x【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．5．（2021上·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水360m ，设放净全池污水所需时间为 h y ，每小时放水量为 3m x ．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当15x 时，y 的值．【答案】(1)60y x(2)4y 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y 与x 之间的函数关系式；（2）把15x 代入（1）中函数关系式计算即可．【详解】（1）解：由题意得：60y x；（2）当15x 时，6060415y x．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键．【经典例题二根据定义判断是否是反比例函数】1．（2023上·全国·九年级专题练习）下列函数中：①12xy ，②3y x ，③55y x ，④2ky x （k 为常数，且0k ）；属于反比例函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．【详解】①∵12xy ，∴1122y x x，是反比例函数，符合题意；②3y x ，不是反比例函数，不合题意；③∵55y x，∴1y x，是反比例函数，符合题意；④2ky x（k 为常数，且0k ），是反比例函数，符合题意；是反比例函数的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．2．（2021上·江西赣州·九年级统考期末）下列函数：①2y x ，②3y x，③2y x =，④234y x x ，y 是x 的反比例函数的个数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x 是一次函数，故选项①不符合题意；3y x是反比例函数，故选项②符合题意；2y x =是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x 是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．3．（2022上·八年级课时练习）下列函数，①(2)1x y ②.11y x ③21y x④.12y x⑤2xy ⑥13y x；其中是y 关于x 的反比例函数的有：．【答案】④⑥．【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.【详解】①x （y+2）=1，可化为y=12xx，不是反比例函数；②11y x ，y 与（x+1）成反比例关系；③21y x是y 关于x 2的反比例函数；④12y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；⑤2xy 是正比例函数；⑥13y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；故答案为④⑥．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.4．（2022上·全国·九年级统考期末）下列关系式：①13y x ；②67y x ；③1xy ；④51y x ；⑤112y x ，其中y 是x 的反比例函数的为（只填序号）【答案】②③⑤【分析】根据反比例函数解析式的一般形式y ＝kx（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，即可作出判断．【详解】y 是x 的反比例函数的为②③⑤.故答案是：②③⑤.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.5．（2023下·浙江·八年级专题练习）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．(1)电压为16V 时，电阻R 与电流I 的函数关系；(2)食堂每天用煤1.5t ，用煤总量W （t ）与用煤天数t （天）的函数关系；(3)积为常数m 的两个因数y 与x 的函数关系；(4)杠杆平衡时，阻力为800N ，阻力臂长为5cm ，动力y （N ）与动力臂x （cm ）的函数关系（杠杆本身所受重力不计）．【答案】(1)16I R，故是反比例函数关系(2) 1.5W t ，故是正比例函数关系(3)my x，故是反比例函数关系(4)4000y x，故是反比例函数关系【分析】（1）利用UI R，进而得出答案；（2）利用煤总量W （t ）＝用煤天数t （天） 1.5 ，进而得出答案；（3）利用 xy m ，进而得出答案；（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．【详解】（1）16I R，故是反比例函数关系；（2） 1.5W t ，故是正比例函数关系（3）my x，故是反比例函数关系（4）4000y x，故是反比例函数关系【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．【经典例题三根据反比例函数的定义求参数】1．（2021·广东广州·统考三模）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，则反比例函数1m y x的图象可能经过点（）A ．（3，1）B ．（0，3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，1）【答案】D【分析】由方程根的情况可求得m 的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m ＜0，解得m ＜﹣1，∴m +1＜0，∴反比例函数1m y x的图象经过二、四象限，∴反比例函数1m y x的图象可能经过点（﹣3，1），故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键．2．（2022下·河南开封·八年级统考期中）若函数2m y x的图象在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是()A ．2mB ．2m ＜C ．2m D ．2m ＜【答案】D【分析】根据k ＜0，反比例函数的函数值y 在每一个分支中随x 值的增大而增大列出不等式计算即可得解．【详解】解：∵2m y x在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，20m ，2m ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y=kx，当k ＞0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．3．（2023下·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）若点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，则一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而（填“增大”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据点 1A a ，， 3B b ，在反比例函数图象上，可得03ka kb k ，，，从而可得2033k ka b k，即可得到答案．【详解】解：∵点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，31k ka b，，03ka kb k ，，，2033k k a b k， 一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的特征，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象的特征是解题的关键．4．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为 1,4，顶点C 的坐标为 3,1，若反比例函数ky x的图像与矩形ABCD 有公共点，则k 的值可以是．（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，D 两点坐标，然后利用双曲线ky x经过点B ，D 时对应的k 值，从而得到k 的取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD 的顶点 1,4A ， 3,1C ，∴ 1,1B , 3,4D ,当双曲线ky x经过点B 时，k 的值最小，此时111k ，当双曲线ky x经过点D 时，k 的值最大，此时3412k ，∴k 的取值范围为112k ．∴k 可以取2故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k 是解题的关键．5．（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）根据所学函数知识，解答下列问题：(1)已知函数 124m y m xn ，当m ，n 为何值时，此函数是一次函数？(2)当m 为何值时，函数 43m y m x 是反比例函数，并求当3y 时，x 的值为多少？【答案】(1)2m ，n 为任意实数(2)3m ，2x 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值即可；（2）根据反比例函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值，故可得出反比例函数的解析式，再把3y 代入解析式即可得出x 的值．【详解】（1）∵函数 124m y m xn 是一次函数，2011m m 且4n 为任意实数，解得2m ，2m ，n 为任意实数；（2）∵函数 43m y m x是反比例函数，3041m m，解得3m ，反比例函数的解析式为6y x，当3y 时，63x，2x ．【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键．【经典例题四求反比例函数值】1．（2022下·江苏泰州·八年级统考期末）函数132y x 的图像可以由1y x 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数121y x 的图像没有公共点的是（）A ．经过点 0,2且平行于x 轴的直线B ．经过点 0,3 且平行于x 轴的直线C ．经过点 1,0 且平行于y 轴的直线D ．经过点 1,0且平行于y 轴的直线【答案】D【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．【详解】解：A 、当y =2时，1221x ，解得x =54，故直线y =2与函数121y x 的图像有公共点；B 、当y =-3时，121x =-3，解得x =0，故直线y =-3与函数121y x 的图像有公共点；C 、当x =-1时，15212y x，故直线x =-1与函数121y x 的图像有公共点；D 、分式有意义的条件是x ≠1，∴函数121y x 的图像与直线x =1没有公共点；故选：D ．【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．2．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知点 2,4A 在反比例函数ky x（k 为常数，0k ）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（）A ．4,2B ．2,4 C ．2,4 D ．4,2【答案】A【分析】先把点 2,4A 代入反比例函数y kx，求出k 的值，再根据k xy 为定值对各选项进行逐一检验即可．【详解】解：∵点 2,4A 在反比例函数y kx的图象上，∴248k ．A 、∵428 ，∴此点在函数图象上；B 、∵ 2488 ，∴此点不在函数图象上；C 、∵ 2488 ，此点不在函数图象上；D 、∵ 4288 ，此点不在函数图象上．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．3．（2022下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知反比例函数8y x，若2x ，则y 的取值范围是．【答案】4y 或0y 【分析】先求出x =-2时y 的值，根据反比例函数性质得出即可．【详解】解：把x =-2代入8y x得：y =-4，∵8＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，图象在第一、三象限，∴当x ≥-2时，函数y 的取值范围是y ≤-4或y ＞0，故答案为：y ≤-4或y ＞0．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4．（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点 ,A a b 在双曲线1y x上．若a<0，则点A 在第象限．【答案】二【分析】由点A （a ，b ）在双曲线1y x上，可得ab =-1，由a<0可得到点0b 的坐标，进而得出答案．【详解】解：∵点 ,A a b 在双曲线1y x上，∴ab =-1，∵a<0∴0b ∴点A 在第二象限．故答案为：二．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出0b 是解答此题的关键．5．（2022上·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ．(1)求m 的值；(2)当1x 且0x 时，直接写出y 的取值范围．【答案】(1)3(2)当1x 且0x 时，0y 或6y 【分析】（1）将点(2,)A m 代入反比例函数6y x即可求解；（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由1x 且0x 即可求出图像位置，由此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ，∴632y，∴3m ．（2）解：反比例函数6y x的图像如图所示，当1x 且0x 时，在第二象限：0y 或在第四象限：6y ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．【经典例题五由反比例函数值求自变量】1．（2021·山西·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（）A ．2y xB ．2y xC ．1y xD ．22y x x【答案】B【分析】根据“好点”的概念：当x =y 时，对应的方程有解进行判断即可．【详解】解：A 、当x =y =0时，满足y =2x ，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意；B 、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意；C 、当x =y =1或x =y =﹣1时，满足1y x，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意；D 、当x =y =0或x =y =2时，满足22y x x ，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质．2．（2020·四川·统考中考真题）已知函数1(2)2(2)x x y x x，当函数值为3时，自变量x 的值为（）A ．﹣2B ．﹣23C ．﹣2或﹣23D ．﹣2或﹣32【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【详解】解：若x ＜2，当y =3时，﹣x +1=3，解得：x =﹣2；若x ≥2，当y =3时，﹣2x=3，解得：x =﹣23，不合题意舍去；∴x =﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键3．（2021上·山西·九年级山西实验中学校考阶段练习）观查反比例函数2y x的图象，当2y 时，x 的取值范围是．【答案】x ＜﹣1或x ＞0/x ＞0或x ＜-1【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可．【详解】解：∵k ＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴y =-2时，22x，解得x =-1，∴当y ＞-2时x ＜﹣1或x ＞0，故答案为x ＜﹣1或x ＞0．【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．4．（2021上·九年级课时练习）考察函数2y x的图象，当2x 时，y ；当<2x 时，y 的取值范围是；当1y 时，x 的取值范围是．【答案】110y <2x 或0x 【分析】把2x 代入反比例函数解析式求解即可；根据2y x得到2x y ，再根据<2x 求解即可；（3）根据2y x得到2x y ，再根据1y 求解即可．【详解】解：∵2y x，∴把2x 代入反比例函数解析式得：212y ∵2y x，<2x ∴2x y，0y ∵<2x ，∴22y，解得y ＞-1∴10y ，∵2y x，1y ∴2x y ，x ＞-2，即21x，解得x ≤-2∵当x ＞0时，y ＞0∴当y ＞-1时，<2x 或0x ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用相关知识成为解答本题的关键．5．（2020下·广东广州·九年级校考阶段练习）已知22211211a a Q a a a(1)化简Q ．(2)若点 ,Aa a 在反比例函数4y x的图象上，求Q 的值．【答案】(1)2a 1(2)当2a 时，2Q ，当2a 时，23Q ．【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可；（2）根据反比例函数的性质先求解a 的值，再代入2a 1进行计算即可．【详解】（1）解：22211211a a Q a a a2222211111aa a a a a212111a a aa a a2211aa aa21a；（2）∵点 ,A a a 在反比例函数4y x的图象上，∴24a ，解得：2a ，当2a 时，原式2221，当2a 时，原式22213．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键．【重难点训练】1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①2y x ，②3y x，③1y x ，④21y x =+，⑤11xy ，⑥k y x ，⑦25y x ，⑧1yx．其中y 是x 的反比例函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据反比例的三种形式判断即可．【详解】解：反比例的三种形式分别为：(0)ky k x，()0xy k k ，1(0)y kx k ．①中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；②，③是反比例函数；④中分母是1x ，故不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中没有0k ，故不是反比例函数；⑦分母是2x ，故不是反比例函数；⑧中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2．（2022上·湖南娄底·九年级期中）现有A 、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点 ,P x y ，那么他们各掷一次所确定的点P 落在双曲线6y x上的概率为（）A ．19B ．23C ．118D ．16【答案】A【分析】点P 若落在6y x上，则6xy ，可采用列表法确定所有可能情况及满足要求的情况，求得概率．【详解】解：表格列示所有投掷情况如下，小明小莉12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6点P 若落在6y x上，则6xy ．如上表，两人掷的组合情况共有6636 种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为41369；故选：A【点睛】本题考查列举法求概率、反比例函数解析式；运用表格列示所有可能的情况是解题的关键．3．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 1,6A 在双曲线 0ky k x上，动点P 在y 轴正半轴上，将点A 绕点P 逆时针旋转90°，点A 的对应点为B ，若点B 恰好落在双曲线上，则点P 的坐标为()A ． 0,3B ． 3,0或 4,0C ． 0,2或 0,6D ． 0,3或0,4【答案】D【分析】先把 1,6A 代入反比例函数 0ky k x求出k 的值，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线AC ，BD ，由旋转的性质证明APC PBD ≌，再设 0,P m ，即可得出B 的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m 的值，确定P 点坐标．【详解】解：分别过A 、B 两点作AC y 轴，BD y 轴，垂足为C 、D ，∵ 1,6A 是双曲线 0ky k x上一点，6k ，反比例函数的解析式为6y x，90APB ∵，90APC BPD ，又90APC PAC ，PAC BPD ，在APC 和PBD 中，90PAC BPD ACP PDB AP PB， AAS APC PBD ≌，CP BD ，1AC PD ，设 0,P m ，OP m ,6PC m , 6,1B m m ，∵点B 在双曲线上，616m m，解得3m 或4m ， 0,3P 或 0,4．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．4．（2022上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，点P 在y 轴正半轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于C ，且⊙P 的半径为5，AB =4．若函数 0ky x x的图像过C 点，则k 的值是（）A ．4B ．4C ．25D ．4【答案】B【分析】连接AC ，由圆周角定理可知90CAB ，AC AB ，在Rt ACB 中由勾股定理可计算AC 的长；由垂径定理可知12OA AB，进而确定点C 的坐标，最后将点C 坐标代入 0ky x x 即可计算出k 的值．【详解】如图，连接AC∵CB 是直径，225CB BP 由圆周角定理可知90CAB 在Rt CAB △中，由勾股定理可得：22222542AC CB AB，y ∵轴是P 直径所在的直线，且AB y 轴， 由垂径定理可得：122OA ABAB AC∵ 点C 的横坐标2C x OA ，纵坐标2C y AC 2,2C 将 2,2C 代入 0ky x x，解得：4k 故选：B ．【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键．5．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数3y x的图象经过 33a m b m ，，，两点，则代数式2227aba b ab的值是（）A ．23B ．23C ．2D ．2【答案】C【分析】根据题意得到333m a，3m b ，从而得到113 a b ，进一步得到3a b ab ，代入变形后的代数式即可求得．【详解】解：∵反比例函数3y x的图象经过33a m b m ，，，两点，333m a，3m b ，∴3333a b ，113a b，3b aab，3a b ab ，22222767ab aba b ab ab ab，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．6．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x 、y 满足338x y ，当1x 时，y 的取值范围是．【答案】20y 【分析】由338x y 可得出2xy ，结合x 的取值范围，即可求出y 的取值范围．【详解】解：333()8x y xy ∵，2xy ，2y x．又1x Q ，20y ．故答案为：20y ．【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记()n n n ab a b 是解题的关键．7．（2023下·江苏·八年级期末）当m 时，函数 2212mm y m m x 是反比例函数．【答案】1【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．【详解】解：∵ 2212mm y m m x 是反比例函数，∴221120m m m m，解得1m ，故答案为：1．【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A 在反比例函数(0)ky k x的图象上，过点A 作y 轴的平行线l ．已知点A 坐标为 2,1，结合函数图象可知，当2x 时，y 的取值范围是．【答案】0y 或1y 【分析】根据题意，求对应直线l 左侧图象函数值的取值范围．【详解】2x 时，对应函数图象在直线l 左侧，两部分，0y 或1y 故答案为：0y 或1y 【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．9．（2023·山东临沂·统考中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数22y x x的性质，得到如下结论：①当1x 时，x 越小，函数值越小；②当10x 时，x 越大，函数值越小；③当01x 时，x 越小，函数值越大；④当1x 时，x 越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．【答案】②③④【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．【详解】解：列表，x L 2.5 2 1 0.5 0.512L yL5.45313.754.2535L描点、连线，图象如下，根据图象知：①当1x 时，x 越小，函数值越大，错误；②当10x 时，x 越大，函数值越小，正确；③当01x 时，x 越小，函数值越大，正确；④当1x 时，x 越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．10．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x ，y 满足224,4x y t y x t 且x y （t 为常数），则称点(,)M x y 为“和谐点”．（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则m ．（2）若双曲线(31)ky x x存在“和谐点”，则k 的取值范围为．【答案】734k 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到224,433m t m t ，整理得到24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到 40a b a b ，由a b ¹得到40a b ，则4b a ，由(31)k b a a进一步得到 224k a ，且31a ，根据二次函数的图象和性质即可得到k 的取值范围．【详解】解：（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则224,433m t m t ，则22,3412m t m t ，∴223124m m ，即24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），∴7m ，故答案为：7（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，∴224,4b t b a t a ，(31)kb a a，即2244a a b b ，∴ 40a b a b a b ，则 40a b a b ，∵a b ¹，∴40a b ，即4b a ，∵(31)kb a a，∴ 224424k ab a a a a a ，且31a ，对抛物线 224k a 来说，∵10 ，∴开口向下，当1a 时， 21243k ，当3a 时， 23243k ，∵对称轴为2a ，31a ，∴当2a 时，k 取最大值为4，∴k 的取值范围为34k ，故答案为：34k 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．11．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：122y y y ，并且1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，且当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，求y 与x 之间的函数解析式．【答案】432y x x【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设11y k x ，222k y x则1222x x k k y ，然后利用待定系数法即可求得；【详解】∵1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，∴设11y k x ，222k y x，∴1212222k k y y x y x，∵当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，∴212122722231332k k k k，解得1232k k ，∴y 与x 之间的函数解析式为432y x x．12．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如 1,1 ， 2023,2023 都是“黎点”．(1)求双曲线9y x上的“黎点”；(2)若抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当1a 时，求c 的取值范围．【答案】(1) 3,3 或 3,3 ；(2)09c 【分析】（1）设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，构建方程求解即可；（2）抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程 270ax x c x a 有且只有一个解，3640ac ，可得结论．【详解】（1）解：设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，则有9m m，解得3m ，∴9y x上的“黎点”为 3,3 ， 3,3 ．（2）解：∵抛物线27y ax x c 上有且只有一个“黎点”，∴方程 270ax x c x a 有且只有一个解，即260ax x c ，3640ac ，9ac ，∴9a c．∵1a ，∴09c ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．13．（2023上·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知ABC 的三个顶点为 1,1A 、 1,3B 、 3,3C ，将ABC 向右平移m （0m ）个单位后成111A B C △，此时111A B C △某一边的中点恰好落在反比例函数3y x的图像上，求m 的值．【答案】m 的值为4或0.5【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入3y x，求出平移后的横坐标，进而可求出m 的值．【详解】解①∵点A 的坐标为 1,1 ，点B 的坐标为 1,3 ，∴AB 中点坐标为 1,1 ．在3y x中，当1y 时，3x ，故 314m ；②∵点A 的坐标为 1,1 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴AC 中点坐标为 2,2 ，在3y x 中，当=2y 时， 1.5x ，故 1.520.5m ；③∵点B 的坐标为 1,3 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴BC 中点坐标为 2,0 ，。

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

9（上）第五章 反比例函数复习（一）一、 反比例函数的定义例1 下列函数中是反比例函数的是（ ）A y=x+1,B y=x8, C y= —2x, D y=2x 2 【说明】本题的四个选项呈现了一次函数、反比例函数、正比例函数（也是一次函数）、二次函数的表达形式，应让学生会识别、区分它们。

本题答案：B例2 已知函数12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，1y =-；当3x = 时，5y =．求y 关于x 的函数关系式．【说明】由于正比例函数定义式是y=kx,反比例函数定义式是y=xk,两式都使用了字母k,受此影响，学生解答此题时易犯的错误是：设y 1=kx 、设y 2=xk，而本题中的正比例和成反比例的比例系数未必相同，因此应设y 1=k 1x 、设y 2=xk 2，以示两个比例系数的不同。

尽管本题最后结论y 关于x 的函数关系式是复合函数的形式，但这类型的题目还是比较常见的，有时也会考到这种题型，还是建议在复习中作补充训练。

本题答案：y=2x-x3二、 反比例函数的图像和性质例3（1）图象经过点（2，-3）的反比例函数是（ ）A y= -x 6B y=x 6C y= x 23D y=-x23 (2) 已知反比例函数y=xk的图象经过点（2，3），那么下列在函数的图象上的点是（ ）A (4,1)B (21,-1)C (-23，-11) D (-3 ,-21)【说明】本例是已知图像上一点的坐标，用待定系数法确定反比例函数解析式。

例4（1）已知反比例函数21m y x-=的图象在一，三象限，那么m 的 取值范围是______________．（2）已知反比例函数xm21－＝y 的图像上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2是，有y 1＜y 2．则m 的取值范围是（ ）．Ａ．m ＜0， B ．m ＞0，Ｃ．ｍ＜21，Ｄ．ｍ＞21【说明】本例是考察对反比例函数图像和性质的理解，并与解不等式知识结合。

反比例函数常考题型与解析一．选择题〔共14小题〕1．假设双曲线y=过两点〔﹣1，y1〕，〔﹣3，y2〕，则y1与y2的大小关系为〔〕A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1与y2大小无法确定2．二次函数y=﹣〔*﹣a〕2﹣b的图象如下图，则反比例函数y=与一次函数y=a*+b的图象可能是〔〕A．B．C．D．3．当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=k*+2的图象大致是〔〕A．B．C．D．4．假设点A〔*1，1〕、B〔*2，2〕、C〔*3，﹣3〕在双曲线y=﹣上，则〔〕A．*1＞*2＞*3B．*1＞*3＞*2C．*3＞*2＞*1D．*3＞*1＞*25．如下图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥*轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为〔〕A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．k1•k2﹣k26．如图，点A是反比例函数y=〔＞0〕的图象上任意一点，AB∥*轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在*轴上，则平行四边形ABCD的面积为〔〕A．2 B．3 C．4 D．57．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于*轴，直线AC交*轴于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数〔*＞0〕的图象经过点D．S△BCE=2，则k的值是〔〕A．2 B．﹣2 C．3 D．48．如图，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，且OC=2OA，M、N分别为OA、OC的中点，BM与AN交于点E，假设四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为〔〕A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣9．点A〔﹣2，1〕，B〔1，4〕，假设反比例函数y=与线段AB有公共点时，k的取值围是〔〕A．﹣2≤k≤4 B．k≤﹣2或k≥4C．﹣2≤k＜0或k≥4 D．﹣2≤k＜0或0＜k≤410．如图，平面直角坐标系中，点A是*轴负半轴上一个定点，点P是函数y=〔*＜0〕上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会〔〕A．先增后减B．先减后增C．逐渐减小D．逐渐增大11．反比例函数y=，当1＜*＜3时，y的最小整数值是〔〕A．3 B．4 C．5 D．612．以下函数中，满足y的值随*的值增大而增大的是〔〕A．y=﹣2* B．y=3*﹣1 C．y=D．y=*213．如图，在反比例函数y=﹣的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C 始终在函数y=的图象上运动．假设tan∠CAB=2，则k的值为〔〕A．2 B．4 C．6 D．814．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△﹣S△BAD为〔〕OACA．36 B．12 C．6 D．3二．填空题〔共11小题〕15．如图，等腰直角三角形OAB的一条直角边在y轴上，点P是边AB上的一个动点，过点P的反比例函数y=的图象交斜边OB于点Q，〔1〕当Q为OB中点时，AP：PB=〔2〕假设P为AB的三等分点，当△AOQ的面积为时，k的值为．16．在函数〔k＞0的常数〕的图象上有三个点〔﹣2，y1〕，〔﹣1，y2〕，〔，y3〕，函数值y1，y2，y3的大小为．17．如图，四边形ABCD与EFGH均为正方形，点B、F在函数y=〔*＞0〕的图象上，点G、C在函数y=﹣〔*＜0〕的图象上，点A、D在*轴上，点H、E在线段BC上，则点G的纵坐标．18．P1〔*1，y1〕，P2〔*2，y2〕两点都在反比例函数的图象上，且*1＜*2＜0，则y l y2〔填"＞〞或"＜〞〕．19．如图，△AOB与反比例函数交于C、D，△AOB的面积为6，假设AC：CB=1：3，则反比例函数的表达式为．20．函数y=中，假设*＞1，则y的取值围为，假设*＜3，则y的取值围为．21．如图，点A为反比例函数y=﹣图象上一点，过A作AB⊥*轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为．22．如图，点A为函数y=〔*＞0〕图象上一点，连结OA，交函数y=〔*＞0〕的图象于点B，点C是*轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为．23．反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，则当1＜y＜3时，自变量*的取值围是．24．双曲线y=在每个象限，函数值y随*的增大而增大，则m的取值围是．25．如图，点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥*轴，AB，CD在*轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是．三．解答题〔共15小题〕26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k*+b与反比例函数y=〔m≠0〕的图象交于点A〔3，1〕，且过点B〔0，﹣2〕．〔1〕求反比例函数和一次函数的表达式；〔2〕如果点P是*轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．27．如图，一次函数y1=﹣*+a与*轴、y轴分别交于点D、C两点和反比例函数交于A、B两点，且点A的坐标是〔1，3〕点B的坐标是〔3，m〕〔1〕求a，k，m的值；〔2〕求C、D两点的坐标，并求△AOB的面积．28．如图，一次函数y=﹣*+4的图象与反比例y=〔k为常数，且k≠0〕的图象交于A〔1，a〕，B两点．〔1〕求反比例函数的表达式及点B的坐标；〔2〕在*轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．29．如图，直线y1=k*+b与双曲线y2=交于A、B两点，它们的横坐标分别为1和5．〔1〕当m=5时，求直线AB的解析式及△AOB的面积；〔2〕当y1＞y2时，直接写出*的取值围．30．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=k*+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为〔2，6〕，点B的坐标为〔n，1〕．〔1〕求反比例函数与一次函数的表达式；〔2〕点E为y轴上一个动点，假设S△AEB=10，求点E的坐标．31．如图，一次函数y1=﹣*+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B 两点，与*轴相交于点C．tan∠BOC=．〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕当y1＜y2时，求*的取值围．32．如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直*轴，垂足为Q，∠ACB=60°，点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，分别作PF⊥*轴于F，AD⊥y轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求四边形AOPE的面积．33．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点〔F不与A，B重合〕，过点F的反比例函数y=〔k＞0〕的图象与BC边交于点E．〔1〕当F为AB的中点时，求该函数的解析式；〔2〕当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？34．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥*轴于点C，点A〔，1〕在反比例函数y=的图象上．〔1〕求反比例函数y=的表达式；〔2〕在*轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标；〔3〕假设将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E 的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．35．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在*轴上，反比例函数y=〔*＞0〕的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为〔4，2〕．〔1〕求反比例函数的表达式；〔2〕求点F的坐标．36．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与*轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，CE⊥*轴，垂足为点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．37．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为〔0，3〕，点A在*轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=k*+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．〔1〕求反比例函数和一次函数的表达式；〔2〕假设点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．38．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与*轴，垂足为点B，反比例函数y=〔*＞0〕的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，〔1〕求反比例函数y=的解析式；〔2〕求cos∠OAB的值；〔3〕求经过C、D两点的一次函数解析式．39．如图，直线y=a*+b与反比例函数y=〔*＞0〕的图象交于A〔1，4〕，B 〔4，n〕两点，与*轴、y轴分别交于C、D两点．〔1〕m=，n=；假设M〔*1，y1〕，N〔*2，y2〕是反比例函数图象上两点，且0＜*1＜*2，则y1y2〔填"＜〞或"=〞或"＞〞〕；〔2〕假设线段CD上的点P到*轴、y轴的距离相等，求点P的坐标．40．如图，P1、P2是反比例函数y=〔k＞0〕在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为〔4，0〕．假设△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．〔1〕求反比例函数的解析式．〔2〕①求P2的坐标．②根据图象直接写出在第一象限当*满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．2017年03月20日初中数学3的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共14小题〕1．〔2017秋•市校级月考〕假设双曲线y=过两点〔﹣1，y1〕，〔﹣3，y2〕，则y1与y2的大小关系为〔〕A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．y1与y2大小无法确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标图特征得到﹣1•y1=2，﹣3•y2=2，然后计算出y1和y2比拟大小．【解答】解：∵双曲线y=过两点〔﹣1，y1〕，〔﹣3，y2〕，∴﹣1•y1=2，﹣3•y2=2，∴y1=﹣2，y2=﹣，∴y1＜y2．应选B．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔*，y〕的横纵坐标的积是定值k，即*y=k．2．〔2016•威海〕二次函数y=﹣〔*﹣a〕2﹣b的图象如下图，则反比例函数y=与一次函数y=a*+b的图象可能是〔〕A．B．C．D．【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例〔一次〕函数图象与系数的关系，即可得出结论．【解答】解：观察二次函数图象，发现：抛物线的顶点坐标在第四象限，即a＞0，﹣b＜0，∴a＞0，b＞0．∵反比例函数y=中ab＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限；∵一次函数y=a*+b，a＞0，b＞0，∴一次函数y=a*+b的图象过第一、二、三象限．应选B．【点评】此题考察了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a＞0，b＞0．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键．3．〔2016•〕当k＞0时，反比例函数y=和一次函数y=k*+2的图象大致是〔〕A．B．C．D．【分析】根据k＞0，判断出反比例函数y=经过一三象限，一次函数y=k*+2经过一二三象限，结合选项所给图象判断即可．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y=经过一三象限，一次函数y=k*+2经过一二三象限．应选C．【点评】此题考察了反比例函数与一次函数图象的知识，解答此题的关键在于通过k＞0判断出函数所经过的象限．4．〔2017•南岗区一模〕假设点A〔*1，1〕、B〔*2，2〕、C〔*3，﹣3〕在双曲线y=﹣上，则〔〕A．*1＞*2＞*3B．*1＞*3＞*2C．*3＞*2＞*1D．*3＞*1＞*2【分析】把点的坐标分别代入函数解析式，可求得*1、*2、*3的值，可求得答案．【解答】解：∵点A〔*1，1〕、B〔*2，2〕、C〔*3，﹣3〕在双曲线y=﹣上，∴1=﹣，2=﹣，﹣3=﹣，解得点*1=﹣1，*2=﹣，*3=，∴*3＞*2＞*1，应选C．【点评】此题主要考察函数图象上的点与函数的关系，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．5．〔2017•市校级模拟〕如下图，两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥*轴于点C，交C2于点A，PD ⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为〔〕A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．k1•k2﹣k2【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD=k1，S△AOC=S△=k2，然后利用四边形PAOB的面积=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进展计算．BOD【解答】解：∵PC⊥*轴，PD⊥y轴，∴S矩形PCOD=k1，S△AOC=S△BOD=×k2，∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD=k1﹣k2﹣k2=k1﹣k2．应选B．【点评】此题考察了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向*轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．6．〔2017•肥城市三模〕如图，点A是反比例函数y=〔＞0〕的图象上任意一点，AB∥*轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在*轴上，则平行四边形ABCD的面积为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把y=b代入y=得，b=，则*=，即A的横坐标是，同理可得：B的横坐标是：﹣．则AB=﹣〔﹣〕=．则S□ABCD=×b=5．应选D．【点评】此题考察了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．7．〔2017•模拟〕如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于*轴，直线AC交*轴于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数〔*＞0〕的图象经过点D．S△BCE=2，则k的值是〔〕A．2 B．﹣2 C．3 D．4【分析】连接ED、OD，由平行四边形的性质可得出BC=AD、AD⊥AC，根据同底等高的三角形面积相等即可得出S△BCE=S△DCE，同理可得出S△OCD=S△DCE，再利用反比例函数系数k的几何意义即可求出结论．【解答】解：连接ED、OD，如下图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD，BC∥AD．∵BC⊥AC，∴AD⊥AC．∵△BCE和△DCE有一样的底CE，相等的高BC=AD，∴S△BCE=S△DCE．∵CD平行于*轴，∴△OCD与△ECD有相等的高，∴S△OCD=S△DCE=S△BCE=2=|k|，∴k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．应选D．【点评】此题考察了反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质以及平行线的性质，利用同底等高的三角形面积相等找出S△OCD=S△DCE=S△BCE是解题的关键．8．〔2017•兴化市校级一模〕如图，矩形OABC的两边OA、OC在坐标轴上，且OC=2OA，M、N分别为OA、OC的中点，BM与AN交于点E，假设四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式为〔〕A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【分析】过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a，再根据三角形相似以及三角形面积之间的关系求出B点坐标，即双曲线解析式求出．【解答】解：过M作MG∥ON，交AN于G，过E作EF⊥AB于F，设EF=h，OM=a，由题意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a△AON中，MG∥ON，AM=OM，∴MG=ON=a，∵MG∥AB∴==，∴BE=4EM，∵EF⊥AB，∴EF∥AM，∴==．∴FE=AM，即h=a，∵S△ABM=4a×a÷2=2a2，S△AON=2a×2a÷2=2a2，∴S△ABM=S△AON，∴S△AEB=S四边形EMON=2，S△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2，ah=1，又有h=a，a=〔长度为正数〕∴OA=，OC=2，因此B的坐标为〔﹣2，〕，经过B的双曲线的解析式就是y=﹣．【点评】此题主要考察反比例函数的综合题的知识，解答此题的关键是辅助线的作法和相似三角形的性质的应用，此题难度中等．9．〔2017•微山县模拟〕点A〔﹣2，1〕，B〔1，4〕，假设反比例函数y=与线段AB有公共点时，k的取值围是〔〕A．﹣2≤k≤4 B．k≤﹣2或k≥4C．﹣2≤k＜0或k≥4 D．﹣2≤k＜0或0＜k≤4【分析】当k＞0时，将*=1代入反比例函数的解析式的y=k，当k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点；当k＜0时，将*=﹣2代入反比例函数的解析式得：y=，当时，反比例函数图象与线段AB有公共点．【解答】解：①当k＞0时，如以下图：将*=1代入反比例函数的解析式得y=k，∵y随*的增大而减小，∴当k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．∴当0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．②当k＜0时，如以下图所示：将*=﹣2代入反比例函数得解析式得：y=﹣，∵反比例函数得图象随着*得增大而增大，∴当﹣≤1时，反比例函数y=与线段AB有公共点．解得：k≥﹣2，∴﹣2≤k＜0．综上所述，当﹣2≤k＜0或0＜k≤4时，反比例函数y=与线段AB有公共点．应选；D．【点评】此题主要考察的是反比例函数的图象的性质，利用数形结合是解答此题的关键．10．〔2017春•萧山区校级月考〕如图，平面直角坐标系中，点A是*轴负半轴上一个定点，点P是函数y=〔*＜0〕上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P 的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会〔〕A．先增后减B．先减后增C．逐渐减小D．逐渐增大【分析】过点P作PC⊥*轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．【解答】解：过点P作PC⊥*轴于点C，∵点P在y=﹣〔*＜0〕∴矩形PBOC的面积为6设A的坐标为〔a，0〕，P坐标〔*，〕〔*＜0〕，△APC的面积为S，当a＜*＜0时，∴AC=*﹣a，∴PC=﹣∴△APC的面积为S=〔*﹣a〕•=﹣3〔1﹣〕∵a＜0，∴﹣a＞0，∴﹣在a＜*＜0上随着*的增大而减小，∴1﹣在a＜*＜0上随着*的增大而减小，∴﹣3〔1﹣〕在a＜*＜0上随着*的增大而增大，∴S=S△APC+6∴S在a＜*＜0上随着*的增大而增大，当*≤a时，∴AC=a﹣*，∴PC=﹣∴△APC的面积为S=〔a﹣*〕•=﹣3〔﹣1〕∵a＜0，∴在*＜a随着*的增大而增大，∴﹣1在*＜a上随着*的增大而增大，∴﹣3〔﹣1〕在*＜a上随着*的增大而减小，∴S=6﹣S△APC∴S在*＜a上随着*的增大而增大，∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，应选〔D〕【点评】此题考察反比例函数的图象性质，解题的关键是将点P的位置分为两种情况进展讨论，然后根据反比例函数的变化趋势求出△APC的面积变化趋势．此题综合程度较高．11．〔2016•龙东地区〕反比例函数y=，当1＜*＜3时，y的最小整数值是〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在*＞0中单调递减，再结合*的取值围，可得出y的取值围，取其的最小整数，此题得解．【解答】解：在反比例函数y=中k=6＞0，∴该反比例函数在*＞0，y随*的增大而减小，当*=3时，y==2；当*=1时，y==6．∴当1＜*＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．应选A．【点评】此题考察了反比例函数的性质，解题的关键是找出反比例函数y=在1＜*＜3中y的取值围．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质得出该反比例函数的单调性是关键．12．〔2016•〕以下函数中，满足y的值随*的值增大而增大的是〔〕A．y=﹣2* B．y=3*﹣1 C．y=D．y=*2【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑4个选项的单调性，由此即可得出结论．【解答】解：A、在y=﹣2*中，k=﹣2＜0，∴y的值随*的值增大而减小；B、在y=3*﹣1中，k=3＞0，∴y的值随*的值增大而增大；C、在y=中，k=1＞0，∴y的值随*的值增大而减小；D、二次函数y=*2，当*＜0时，y的值随*的值增大而减小；当*＞0时，y的值随*的值增大而增大．应选B．【点评】此题考察了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质，解题的关键是根据函数的性质考虑其单调性．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各类函数的性质及其图象是解题的关键．13．〔2016•〕如图，在反比例函数y=﹣的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动．假设tan∠CAB=2，则k的值为〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥*轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合"∠AEO=90°，∠CFO=90°〞可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出，再由tan∠CAB==2，可得出CF•OF=8，由此即可得出结论．【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥*轴于点F，如下图．由直线AB与反比例函数y=的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴．∵tan∠CAB==2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE•OE=|﹣2|=2，CF•OF=|k|，∴k=±8．∵点C在第一象限，∴k=8．应选D．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF=8．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．14．〔2016•〕如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD 的面积之差S△OAC﹣S△BAD为〔〕A．36 B．12 C．6 D．3【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k 的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为〔a+b，a﹣b〕．∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，∴〔a+b〕×〔a﹣b〕=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=〔a2﹣b2〕=×6=3．应选D．【点评】此题考察了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．二．填空题〔共11小题〕15．〔2017•微山县模拟〕如图，等腰直角三角形OAB的一条直角边在y轴上，点P是边AB上的一个动点，过点P的反比例函数y=的图象交斜边OB于点Q，〔1〕当Q为OB中点时，AP：PB=〔2〕假设P为AB的三等分点，当△AOQ的面积为时，k的值为2或2．【分析】〔1〕设Q〔m，〕，根据线段中点的性质找出点B、A的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征可找出点P的坐标，由此即可得出结论；〔2〕设P〔n，〕〔n＞0〕，根据三等分点的定义找出点B的坐标〔两种情况〕，由此即可得出直线OB的解析式，联立直线OB和反比例函数解析式得出点Q 的坐标，再根据三角形的面积公式找出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：〔1〕设Q〔m，〕，∵Q为OB中点，∴B〔2m，〕，A〔0，〕，∴P〔，〕，∴AP：PB=：〔2m﹣〕=．故答案为：．〔2〕设P〔n，〕〔n＞0〕．P为AB的三等分点分两种情况：①AP：PB=，∴B〔3n，〕，A〔0，〕，∴直线OB的解析式为y=*=*，联立直线OB与反比例函数解析式，得：，解得：，或〔舍去〕．∵S△AOQ=AO•*Q=××n=，解得：k=2；②AP：PB=2，∴B〔n，〕，A〔0，〕，∴直线OB的解析式为y=*=*，联立直线OB与反比例函数解析式，得：，解得：，或〔舍去〕．∵S△AOQ=AO•*Q=××n=，解得：k=2．综上可知：k的值为2或2．故答案为：2或2．【点评】此题考察了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是：〔1〕求出点P的坐标；〔2〕分两种情况考虑．此题属于中档题，难度不小，在解决第二问时，需要联立直线与反比例函数的解析式找出交点坐标，再结合三角形的面积公式找出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．16．〔2017•茂县一模〕在函数〔k＞0的常数〕的图象上有三个点〔﹣2，y1〕，〔﹣1，y2〕，〔，y3〕，函数值y1，y2，y3的大小为y3＞y1＞y2．【分析】先根据函数y=〔k＞0的常数〕判断出函数图象所在的象限，再根据三点坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象的特点进展解答即可．【解答】解：∵函数y=〔k＞0的常数〕，∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限y随*的增大而减小，∵﹣2＜0，﹣1＜0，＞0，∴〔﹣2，y1〕，〔﹣1，y2〕在第三象限，〔，y3〕在第一象限，∵﹣2＜﹣1，∴0＞y1＞y2，y3＞0，故答案为：y3＞y1＞y2．【点评】此题考察的是反比例函数的图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象在每一象限的增减性是解答此题的关键．17．〔2017•微山县模拟〕如图，四边形ABCD与EFGH均为正方形，点B、F在函数y=〔*＞0〕的图象上，点G、C在函数y=﹣〔*＜0〕的图象上，点A、D在*轴上，点H、E在线段BC上，则点G的纵坐标+1 ．【分析】设线段AB的长度为a，线段EF的长度为b〔a＞0，b＞0〕，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出点B、C、F、G的坐标，再根据正方形的性质找出线段相等，从而分别找出关于a和关于b的一元二次方程，解方程即可得出a、b的值，从而得出结论．【解答】解：设线段AB的长度为a，线段EF的长度为b〔a＞0，b＞0〕，令y=〔*＞0〕中y=a，则*=，即点B的坐标为〔，a〕；令y=﹣〔*＜0〕中y=a，则*=﹣，即点C的坐标为〔﹣，a〕．∵四边形ABCD为正方形，∴﹣〔﹣〕=a，解得：a=2，或a=﹣2〔舍去〕．令y=〔*＞0〕中y=2+b，则*=，即点F的坐标为〔，2+b〕；令y=﹣〔*＜0〕中y=2+b，则*=﹣，即点G的坐标为〔﹣，2+b〕．∵四边形EFGH为正方形，∴+〔﹣〕=b，即b2+2b﹣4=0，解得：b=﹣1，或b=﹣﹣1〔舍去〕．∴a+b=2+﹣1=+1．故答案为：+1．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，解题的关键是求出a、b值．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点的坐标，再结合正方形的性质分别找出关于正方形边长的一元二次方程是关键．18．〔2017•一模〕P1〔*1，y1〕，P2〔*2，y2〕两点都在反比例函数的图象上，且*1＜*2＜0，则y l＜y2〔填"＞〞或"＜〞〕．【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【解答】解：由题意，得比例函数的图象上，且*1＜*2＜0，则y l＜y2，故答案为：＜．【点评】此题考察了反比例函数图象上点的坐标特征，利用方比例函数的性质是解题关键．19．〔2017•新城区校级模拟〕如图，△AOB与反比例函数交于C、D，△AOB的面积为6，假设AC：CB=1：3，则反比例函数的表达式为y=．【分析】根据题意S△AOC=，进而根据反比例函数系数k的几何意义可得k的值，可得反比例函数的关系式．【解答】解：连接OC，∵△AOB的面积为6，假设AC：CB=1：3，∴△AOC的面积=6×=，∵S△AOC=AC•OA=*y=，即|k|=，∴k=±3，又∵反比例函数的图象在第一象限，∴y=，故答案为y=．【点评】此题考察了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，根据题意求得△AOC的面积是解题的关键．20．〔2017秋•市校级月考〕函数y=中，假设*＞1，则y的取值围为0＜y ＜6 ，假设*＜3，则y的取值围为y＜0或y＞2 ．【分析】根据反比例函数的增减性确定y的取值围即可．【解答】解：∵y=中k=6＞0，∴在每一象限y随着*的增大而减小，当*=1时y=6，当*=3时y=2，∴当*＞1，则y的取值围为0＜y＜6，当*＜3时y的取值围为y＜0或y＞2 故答案为：0＜y＜6；y＜0或y＞2．【点评】此题考察了反比例函数的性质，解题的关键是弄清反比例函数的增减性，难度不大．21．〔2017春•启东市月考〕如图，点A为反比例函数y=﹣图象上一点，过A作AB⊥*轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为 2 ．【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．即可求解．【解答】解：△ABO的面积是：×|﹣4|=2．故答案是：2．【点评】此题主要考察了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引*轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考察的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．22．〔2016•〕如图，点A为函数y=〔*＞0〕图象上一点，连结OA，交函数y=〔*＞0〕的图象于点B，点C是*轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为 6 ．【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A 的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．【解答】解：设点A的坐标为〔a，〕，点B的坐标为〔b，〕，∵点C是*轴上一点，且AO=AC，∴点C的坐标是〔2a，0〕，设过点O〔0，0〕，A〔a，〕的直线的解析式为：y=k*，∴，解得，k=，又∵点B〔b，〕在y=上，∴，解得，或〔舍去〕，∴S△ABC=S△AOC﹣S△OBC==，故答案为：6．【点评】此题考察反比例函数的图象、三角形的面积、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．〔2016•潍坊〕反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，则当1＜y＜3时，自变量*的取值围是﹣3＜*＜﹣1 ．【分析】根据反比例函数过点〔3，﹣1〕结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出*值，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，∴k=3×〔﹣1〕=﹣3，∴反比例函数的解析式为y=．∵反比例函数y=中k=﹣3，∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限均单增．当y=1时，*==﹣3；当y=3时，*==﹣1．∴1＜y＜3时，自变量*的取值围是﹣3＜*＜﹣1．故答案为：﹣3＜*＜﹣1．【点评】此题考察了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，再根据反比例函数的性质找出去增减性是关键．24．〔2016•〕双曲线y=在每个象限，函数值y随*的增大而增大，则m的取值围是m＜1 ．【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵双曲线y=在每个象限，函数值y随*的增大而增大，∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】此题考察了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于m的一元一次不等式．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出反比例系数k的取值围是关键．25．〔2016•滨州〕如图，点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥*轴，AB，CD在*轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是 3 ．【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，再由点A、B的横坐标结合AB=即可求出a﹣b的值．【解答】解：设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，则点A〔，y1〕，点B〔，y1〕，点C〔，y2〕，点D〔，y2〕．∵AB=，CD=，。

反比例函数十大经典题型（原创实用版）目录1.反比例函数的定义与性质2.反比例函数的图像与画法3.待定系数法在反比例函数中的应用4.反比例函数的比较大小问题5.反比例函数与直线的交点问题6.反比例函数的中点问题7.反比例函数的平行线问题8.反比例函数的内插法问题9.反比例函数的外插法问题10.反比例函数的实际应用问题正文一、反比例函数的定义与性质反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量的值增大时，另一个变量的值会减小，而且它们的乘积保持不变。

反比例函数的一般形式为y=k/x，其中 k 是常数。

二、反比例函数的图像与画法反比例函数的图像是一条双曲线，它有两条渐近线，当 x 趋近于 0 时，y 趋近于无穷大；当 x 趋近于无穷大时，y 趋近于 0。

画反比例函数的图像时，可以先确定渐近线，然后在渐近线之间取一个点，以此点为起点，画出双曲线。

三、待定系数法在反比例函数中的应用待定系数法是求解反比例函数的常用方法，它的一般步骤是：先设反比例函数的关系式，然后根据题目的条件，列出方程组，解方程组得到 k 值，最后代入关系式求得函数的解析式。

四、反比例函数的比较大小问题比较反比例函数的大小问题通常是通过比较函数值的大小来解决的。

例如，若点 A(1, y1) 和点 B(2, y2) 在反比例函数 y=k/x 的图像上，则可以通过比较 y1 和 y2 的大小来判断 k 的取值范围。

五、反比例函数与直线的交点问题反比例函数与直线的交点问题可以通过解方程组来解决。

设反比例函数为 y=k/x，直线的解析式为 y=ax+b，将两个方程联立，解得 x 和 y 的值，即可得到交点。

六、反比例函数的中点问题反比例函数的中点问题通常是通过求解中点坐标来解决的。

设反比例函数为 y=k/x，已知两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则中点 M 的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。

七、反比例函数的平行线问题反比例函数的平行线问题可以通过比较函数的斜率来解决。

反比例函数一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•龙东）已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A、3B、4C、5D、62、如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的面积为定植S时，则x与y的函数关系式为（）A、y=B、y=C、y=D、y=3、（2016•大庆）已知A（x1， y1）、B（x2， y2）、C（x3， y3）是反比例函数y= 上的三点，若x1＜x2＜x3， y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（）A、x1•x2＜0B、x1•x3＜0C、x2•x3＜0D、x1+x2＜04、将一次函数y=x图象向下平移b个单位，与双曲线y=交于点A，与x轴交于点B，则OA2-OB2=( )A、-2B、2C、-D 、5、如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A、y=B、y=C、y=D、y=6、如图，△AOB为等边三角形，点A在第四象限，点B的坐标为（4，0），过点C（4，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且点E在某反比例函数y=（k≠0）图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，k的值为（）A、-B、-C、-3D、-67、教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A、7：20B、7：30C、7：45D、7：508、（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx 图象的顶点（﹣，m）（m ＞0），则有（）A、a=b+2kB、a=b﹣2kC、k＜b＜0D、a＜k＜09、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y= （x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A 、B 、C 、D 、10、（2016•济宁）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A、60B、80C、30D、4011、（2016•湖北）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）A 、B 、C 、D 、12、（2016•天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是（）A、y1＜y3＜y2B、y1＜y2＜y3C、y3＜y2＜y1D、y2＜y1＜y3二、填空题（共5题；共6分）13、如果函数y=x2m-1为反比例函数，则m的值是________.14、（2015•黄石）反比例函数y=的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是________ ．15、（2016•宁波）如图，点A为函数y= （x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y= （x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为________．16、（2016•丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．(1)b=________（用含m的代数式表示）；(2)若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是________．17、（2016•绍兴）如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= ，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为________．三、解答题（共3题；共15分）18、当m 取何值时，函数是反比例函数？19、（2016•苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．20、已知与是反比例函数图象上的两个点.(1)求m和k的值(2)若点C(-1,0)，连结AC,BC，求△ABC的面积(3)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.四、综合题（共4题；共45分）21、（2016•曲靖）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．(1)直接写出函数y= 图象上的所有“整点”A1， A2， A3，…的坐标；(2)在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．22、（2015•广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；(2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．23、（2016•枣庄）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？24、（2016•雅安）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y= 交于点C（1，a）．(1)试确定双曲线的函数表达式；(2)将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；(3)在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：在反比例函数y= 中k=6＞0，∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，当x=3时，y= =2；当x=1时，y= =6．∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．故选A．【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出反比例函数y= 在1＜x＜3中y的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质得出该反比例函数的单调性是关键．【答案】C【考点】根据实际问题列反比例函数关系式，三角形的面积【解析】【解答】∵S=xy，∴y=．故选C．【分析】考查列反比例函数关系式，得到三角形高的等量关系是解决本题的关键．三角形的面积= 1 2 底×高，那么高=，把相关数值代入即可求解．【答案】A【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3， y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，故选A．【分析】根据反比例函数y= 和x1＜x2＜x3， y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．【答案】B【考点】一次函数图象与几何变换，反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】∵平移后解析式是y=x+b，代入y=得：x+b=，即x2+bx=，y=x+b与x轴交点B的坐标是（-b，0），设A的坐标是（x，y），∴OA2-OB2=x2+y2+（-b）2=x2+（x+b）2-b2=2x2+2xb=2（x2+xb）=2×=2，故选B．【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力的能力．【答案】D【考点】反比例函数图象的对称性【解析】【解答】由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a)在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP=于是π=40π，a=±2，（负值舍去)，故a=2．P点坐标为（6，2)．将P（6，2)代入y=，得：k=6×2=12．反比例函数解析式为：y=．故选D．【分析】根据P（3a，a)和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．【点评】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积【解析】【解答】如图，连接AC，∵点B的坐标为（4，0），△AO B为等边三角形，∴AO=OB=4.∴点A的坐标为（2，-2）.∵C（4，0），∴AO=OC=4，∴∠OCA=∠OAC.∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°.又∵∠B="60°." ∴∠BAC=90°.∵S△ADE=S△DCO， S△AEC=S△ADE+S△ADC， S△AOC=S△DCO+S△ADC，∴∴S△AEC=S△AOC =×AE•AC=•CO•2，即•AE•2=×2×2，∴E点为AB的中点（3，-）.把E点（3，-）代入y=中得：k=-3故选C．【分析】连接AC，由B的坐标得到等边三角形AOB的边长，得到AO与CO，得到AO=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠AOB=60°，得到∠ACO=30°，可得出∠BAC为直角，可得出A的坐标，由三角形ADE与三角形DCO面积相等，且三角形AEC面积等于三角形AED与三角形ADC面积之和，三角形AOC面积等于三角形DCO面积与三角形ADC面积之和，得到三角形AEC与三角形AOC面积相等，进而确定出AE的长，可得出E为AB中点，得出E的坐标，将E坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式。

专题20反比例函数（3个知识点4种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）知识点3.根据实际问题列反比例函数的表达式（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值题型2.反比例关系的应用题型3.反比例函数关系的判断及应用题型4.应用几何图形中的数量关系建立反比例函数关系【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。

2.能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数的概念及表达式（重点）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.注意：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.【例1】（2023春•邗江区期末）下列式子中，表示y 是x 的反比例函数的是（）A ．xy ＝1B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝【答案】A【解答】解：A 、由原式得到y ＝，符合反比例函数的定义．故本选项正确；B 、该函数式表示y 与x 2成反比例关系，故本选项错误；C 、该函数式表示y 与x 成正比例关系，故本选项错误；D 、该函数不属于反比例函数，故本选项错误；故选：A ．【变式】（2022秋•怀化期末）下列函数不是反比例函数的是（）A ．y ＝3x﹣1B ．y ＝﹣C ．xy ＝5D ．y ＝【答案】B【解答】解：A 、y ＝3x ﹣1＝是反比例函数，故本选项错误；B 、y ＝﹣是正比例函数，故本选项正确；C 、xy ＝5是反比例函数，故本选项错误；D 、y ＝是反比例函数，故本选项错误．故选：B ．知识点2.反比例函数表达式的确定（重点）待定系数法求反比例函数解析式一般步骤：【例2】（2022秋·九年级单元测试）已知y ＝y 1－y 2，y 1与x 成反比例，y ＝5；当x ＝1时，y ＝－1；求当x ＝－1时，y 的值．【答案】3-【分析】设出解析式，利用待定系数法求得解析式，代入x 【详解】设1ay x=，()22y b x =-，（a 、b 不等于0）∵12y y y =-，a【方法二】实例探索法题型1.根据反比例函数的概念求未知字母的值一、单选题解得62 km=⎧⎨=⎩，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2.（2022秋•岳阳县期末）若函数y＝（m+4）x|m|﹣5是反比例函数，则m的值为（）A．4B．﹣4C．4或﹣4D．0【答案】A【解答】解：由题意得，|m|﹣5＝﹣1，且m+4≠0，解得：m＝4．故选：A．3.（2022秋•惠来县期末）函数y＝x k﹣1是反比例函数，则k＝（）A．3B．2C．1D．0【答案】D【解答】解：由题意得：k﹣1＝﹣1，解得：k＝0，故选：D．k6,104【答案】()【点睛】本题主要考查了坐标系的新定义问题，理解“雁点”的定义，是解题的关键．题型3.反比例函数关系的判断及应用48【方法三】仿真实战法考法.反比例函数的概念1．（2023•临沂）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（）A．反比例函数关系B．正比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．【解答】解：根据题意得：Vt＝105，∴V＝，V与t满足反比例函数关系；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．2．（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为y＝，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a≠﹣2C．a≠±2D．a＝±2【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0解答即可．【解答】解：根据反比例函数解析式中k是常数，不能等于0，由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．【方法四】成果评定法一、单选题A．①②B．【答案】B【分析】分别求出三个问题中变量【详解】解：①∵正方形的周长为二、填空题【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD ∴()1,1B ,()3,4D ,三、解答题。

反比例函数常见题型（一）会解决反比例函数概念有关的问题，会由双曲线上一个点的坐标确定反比例函数的解析式 1．下列各式中，两个变量,y x 具有反比例函数关系的有（ ）()x y 21-= ()12-=xy ()123-=x y ()224x y = ()xy 325-= A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．如图，若反比例函数经过点（-2，3），则解析式为3．已知y 与)2(-x 成反比例关系，且当1=x 时，4=y ， 则y 关于x 的函数解析式为 ．4．已知y 1与x 成正比例（比例系数为k 1），y 2与x 成反比例（比例系数为k 2），若函数12y y y =+ 的图象经过点（1，2），（2，21），则1285k k += ． （二）k 的符号与图象的位置、性质的关系5．反比例函数xk y 12+=的图象经过第 象限.6．反比例函数经过点),2(a -，),1(b -，且b a >，则反比例函数的图象所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限7．反比例函数(0),ky k x=< 并且经过点),2(a -，),1(b -，),3(c ，则a b c 、、 的大小关系为（ ）.A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >> （三）k 的几何意义及应用8．点P 为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是12个 （平方单位），则解析式为9．如图，反比例函数xy 5=的图象与直线)0(>=k kx y 相交于A 、B 两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC 的面积等于 个面积单位10．如图，已知双曲线xky =(x ＞0)经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝______________。

反比例函数实际应用的六种题型题型一：在面积中的应用 一：面积不变性（k 的几何意义）如图，设点P （a ，b ）是反比例函数y=xk上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是k （三角形PAO和三角形PBO 的面积都是k 21；面积是正数，所以k 要加绝对值） S 矩形PBOA =k ； S 三角形PAO =S 三角形PBO =k 21注意： （1）面积与P 的位置无关，即(0)ky k x=≠的面积不变性（2）当k 符号不确定的情况下须分类讨论S △ABC =︱K ︱； S ABCD =2︱K ︱二、曲直结合（一次函数与反比例函数）典型例题例1 如图,点P 是反比例函数xy 2=图象上的一点,PD ⊥x 轴于D.则△POD 的面积为 .例2 如图，已知，A,B 是双曲线)0(>=k xk y 上的两点，（1）若A(2,3)，求K 的值；（2）在(1)的条件下，若点B 的横坐标为3，连接OA,OB,AB ，求△OAB 的面积。

（3）若A,B 两点的横坐标分别为a,2a ，线段AB 的延长线交X 轴于点C ，若6=∆AOC S ，求K 的值变式1 在双曲线)0(>=x xk y 上任一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴y 轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。

变式2 如图，在反比例函数2y x=(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．S 3S 2S 11 2 3 4y=2xP 4P 3P 2xyO P 1变式3 如图，点P，Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）变式4 已知A B C D E，，，，是反比例函数16yx=()0x>图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形，则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）变式5 如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数kyx=(0,0)k x<<的图象上，点P(m，n)是函数kyx=(0,0)k x<<的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．(1)设矩形OEPF的面积为S l，判断S l与点P的位置是否有关(不必说理由)．(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．（8分）总结：一个性质：反比例函数的面积不变性AB COyxy=16xEDCBAyx O两种思想：分类讨论和数形结合题型二：在工程与速度中的应用一、工程问题工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。

1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB的长度为？A.5（答案）B.6C.7D.82.一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，那么这个三角形的斜边长为？A.10（答案）B.12C.14D.163.已知直角三角形的一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边的平方是？A.144（答案）B.156C.169D.1964.在直角三角形中，如果斜边的平方等于两直角边的平方和，那么这个三角形一定是？A.锐角三角形B.直角三角形（答案）C.钝角三角形D.等边三角形5.一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，那么另一条直角边的长度为？A.8（答案）B.9C.11D.126.勾股定理只适用于？A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形（答案）D.所有三角形7.在直角三角形中，如果一条直角边长为a，斜边长为c，那么另一条直角边的平方等于？A.c2 - a2（答案）B.c2 + a2C.2c2D.2a28.已知直角三角形的两条边长分别为5和12，其中一条是斜边，那么另一条直角边的长度是？A.13（斜边为12时）B.根号119（答案，斜边为12时的另一条直角边）C.根号144（斜边为5时，但此情况不成立）D.无法确定9.勾股定理的表达式是？A.a2 + b2 = c2（答案）B.a2 - b2 = c2C. a + b = cD.a2 * b2 = c210.在直角三角形中，如果斜边长为c，两直角边分别为a和b，且a=6，c=10，那么b的长度是？A.4B.8（答案）C.16D.36。

反比例函数十大经典题型摘要：一、反比例函数的定义和性质二、反比例函数的图像和解析式三、反比例函数的性质和应用四、反比例函数与一次函数、二次函数的关系五、反比例函数的恒等变换六、反比例函数的求导和积分七、反比例函数的不定积分和原函数八、反比例函数的微分方程九、反比例函数的偏导数和梯度十、反比例函数的数值计算和计算机模拟正文：一、反比例函数的定义和性质反比例函数是指两个变量之间的关系可以表示为y = k/x 的函数，其中k 为常数。

反比例函数的性质包括：当x > 0 时，y > 0；当x < 0 时，y < 0；当x = 0 时，y 没有定义。

反比例函数的图像通常在第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负。

二、反比例函数的图像和解析式反比例函数的图像可以通过解析式y = k/x 进行绘制。

在坐标系中，当x 变化时，y 会按照反比例关系变化。

反比例函数的图像通常为一个双曲线。

三、反比例函数的性质和应用反比例函数的性质包括：当x > 0 时，y > 0；当x < 0 时，y < 0；当x = 0 时，y 没有定义。

反比例函数的应用包括：描述两种量之间的关系、计算面积和体积等。

四、反比例函数与一次函数、二次函数的关系反比例函数与一次函数、二次函数可以通过代数方法进行联系和转换。

例如，将反比例函数y = k/x 转换为一次函数y = kx + b 和二次函数y =kx^2 + bx + c 等形式。

五、反比例函数的恒等变换反比例函数的恒等变换包括：y = k/x 和y = kx^2 + bx + c 等形式的转换。

通过恒等变换，可以将反比例函数转换为更容易处理的形式。

六、反比例函数的求导和积分反比例函数的求导和积分可以通过代数方法进行计算。

例如，反比例函数y = k/x 的导数为y" = -k/x^2，积分为∫y = k/x dx = ln|x| + C。

教学主题 一轮复习反比例函数教学目标掌握反比例函数题型重 要 知识点 1.反比例函数 2. 3. 易错点教学过程反比例函数考点1：反比例函数的图象和性质 1、一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数，其图象是叫双曲线。

2、当k >0时，图象的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

当k <0时，图象的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3、对于双曲线上的点A 、B ，有两种三角形的面积(S △AOB)要会求(会表示)，如图所示．考点1、反比例函数图像与性质1、函数2y x =与函数1y x-=在同一坐标系中的大致图像是 （ ）【答案】B2、如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ ）【答案】 BA ．2y x =B ．4y x=C ．3y x=-D ．12y x =3、若点12(1,),(2,)A y B y 是双曲线3y x=上的点，则1y 2y （填“>”,“<”“=”）. 【答案】> 4、如图，反比例函数ky x=的图象经过点A (－1,－2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A.y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜ y ＜2【答案】D6.如图，已知直线12y x =-经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数2ky x=（0≠k ）的图象上． （1）求点P ′的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y 2<2时自变量x 的取值范围．【答案】（1）∴P ′（2，4）．(2) k =8，自变量x 的取值范围x <0或x >4． 考点3：反比例函数解析式中k 的几何意义 相关知识：设()P x y ，是反比例函数ky x=图象上任一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A ，则（1）△OPA 的面积111222OA PA xy k ===g ．（2）矩形OAPB 的面积OA PA xy k ===g 。

反比例函数章末重难点题型一、反比例函数的概念一般地，可化为形如：(),0ky k kx=≠为常数且叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。

（x为自变量，y为因变量，其中x、y不能为零）反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数：①一般式()0ky kx=≠，②指数式（主要用于填空选择题）()10y kx k-=≠，③乘积式（变量积为定值是分析反比例函数应用的理论基础）()0xy k k=≠←→变量y与x成反比例，比例系数为k，k不为零是重要条件.二、反比例函数性质①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。

拓展：反比例函数的图像（双曲线）既是轴对称图形也是中心对称图形，两条对称轴分别为直线xy±=，对称中心为坐标原点。

三、反比例函数图象的几何特征:(如下图所示)点P(x,y)在双曲线上都有11||||||||22AOBOAPBS xy k S xy k∆====矩形PBAOP BA O反比例函数()0≠=k xky 图像是双曲线，我们会经常遇到与之有关的面积问题，现对这部分内容进行拓展。

【考点1反比例函数的定义】【方法点拨】一般地，形如xky =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

(自变量x 的取值:o x ≠)反比例函数的等价形式：①xk y =（o k ≠）②kxy =1-(o k ≠)③xy=k(o k ≠)【例1】下列函数中，是反比例函数的是()A ．3y x =+B ．21y x =C ．2y x=D ．34y x=【变式1-1】若函数()21-+=m x m y 是反比例函数，则=m ()A ．1±B ．3±C ．1-D ．1【变式1-2】下列函数：①2y x =-，②3x y =，③1y x -=，④21y x =+，y 是x 的反比例函数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式1-3】下列函数中，y 是x 的反比例函数有()（1）3y x =；（2）2y x =-；（3）3xy =；（4）3xy -=；（5）21y x =+；（6）21y x =；（7）22y x -=；（8）ky x=．A ．（2）（4）B ．（2）（3）（5）（8）C ．（2）（7）（8）D ．（1）（3）（4）（6）【考点2反比例函数的性质】【方法点拨】反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减性0>k 一、三象限在每个象限内，y 值随x 的增大而减小0<k 二、四象限在每个象限内，y 值随x 的增大而增大【例2】在反比例函数3my x-=的图象在某象限内，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是()A ．3m >-B ．3m <-C ．3m >D ．3m <【变式2-1】若反比例函数2ky x-=的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是()A ．2k <B ．2k >-C ．2k <-D ．2k >【变式2-2】从3、1、1-、2-、3-这五个数中，取一个数作为函数2k y x-=和关于x 的方程2(1)210k x kx +++=中k 的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k 的值共有()个．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-3】已知关于x 的方程2(1)10x m x --+=有两个相等的实数根，且反比例函数1m y x-=的图象在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么m 的值为()A ．3B ．3或1-C ．2-D ．1-【考点3反比例函数值大小比较】【方法点拨】灵活运用反比例函数的图象和性质进行推理是解此类题的关键，反比例函数的增减性只指在同一象限内．【例3】反比例函数ky x=的图象经过点(1,2)-，1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 是图象上另两点，其中120x x <<，那么1y 、2y 的大小关系是()A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．都有可能【变式3-1】已知反比例函数2y x=-的图象上有三个点1(x ，1)y 、2(x ，2)y 、3(x ，3)y ，若1230x x x >>>，则下列关系是正确的是()A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．231y y y <<【变式3-2】设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是双曲线3y x=-上的三点，则()A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3-3】若反比例函数1(1,0)a y a x x-=><图象上有两个点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，设1212()()m x x y y =--，则y mx m =-不经过第()象限．A ．一B ．二C ．三D ．四【考点4与反比例函数有关的图象问题】【例4】反比例函数ky x=与1(0)y kx k =-+≠在同一坐标系的图象可能为()A ．B ．C ．D ．【考点5反比例函数K 的几何意义】【方法点拨】反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xk y =（0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

反比例函数一、单选题1．（2021·山西）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A ．图象位于第一，第三象限 B ．图象必经过点34,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】解：A 、反比例函数6y x=，0k ＞，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；B 、将点34,2⎛⎫⎪⎝⎭代入6y x=中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；C 、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；D 、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键．2．（2021·四川达州市）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<【答案】C【分析】根据k >0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可．【详解】解：∵210k +>，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，∵B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）是双曲线ky x=上的两点，且320x x >>，∴点B 、C 在第一象限，0＜y 3＜y 2，∵A （x 1，y 1）在第三象限，∵y 1＜0，∴132y y y <<．故选：C ．【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键．3．（2021·浙江杭州市）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项． 【详解】解：当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=， 对于A 选项则有210m m +-=，由一元二次方程根的判别式可得：241450b ac -=+=>，所以存在实数m ，故符合题意；对于B 选项则有210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；对于C 选项则有110m m---=，化简得：210m m ++=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；对于D 选项则有110m m--+=，化简得：210m m -+=，由一元二次方程根的判别式可得：241430b ac -=-=-<，所以不存在实数m ，故不符合题意；故选A ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 4．（2021·天津）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<【答案】B【分析】将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式，即求出123、、y y y 的值，即可比较得出答案．【详解】分别将A 、B 、C 三点坐标代入反比例函数解析式得：1515y =-=-、2551y =-=-、3515y =-=-．则231y y y <<．故选B ． 【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．5．（2021·四川乐山市）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A．3B ．3或32C ．3或3D ．3【答案】A【分析】根据题意，得()1,3A ，()3,1B ，直线2l ：y x =；根据一次函数性质，得m n =；根据勾股定理，得PC =PA ，PB ，FB ，根据等腰三角形三线合一性质，得()2,2C ，OC AB ⊥；根据勾股定理逆定理，得90ABD ∠=︒；结合圆的性质，得点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F 为圆心；根据圆周角、圆心角、等腰三角形的性质，得2FC =；分PC PF FC =+或PC PF FC =-两种情况，根据圆周角、二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得3,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,3A ，()3,1B ∵直线2l 过原点O 和点C ∴直线2l ：y x = ∵(,)P m n 在直线2l 上∴m n = ∴PC =连接PA ，PB ，FB ∴PA PB =，线段AB 的中点为点C ∴()2,2C ，OC AB ⊥ 过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ∴()2,0D∴AD ==，AB ==BD ==∴222AD AB BD =+ ∴90ABD ∠=︒∴点A 、B 、D 、P 共圆，直线2l 和AB 交于点F ，点F为圆心∴cos BD ADB AD ∠== ∵AC BC =，12FB FA AD ==∴12BFC AFB ∠=∠∵APB ADB ∠=∠，且12APB AFB ∠=∠ ∴APB ADB BFC ∠=∠=∠∴cos cos FC APB BFC FB ∠=∠===FC = ∴PC PF FC =+或PC PF FC =- 当PC PF FC =-时，APB ∠和ADB ∠位于直线AB 两侧，即180APB ADB ∠+∠=︒ ∴PC PF FC =-不符合题意∴22PC PF FC =+=+，且2m < ∴)2PC m ==-)2m -=∴32m =∴23m n m +==A ．【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、反比例函数、一次函数、三角函数、勾股定理、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握圆心角、圆周角、等腰三角形三线合一、三角函数、勾股定理的性质，从而完成求解．6．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0ky x x =>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOFS=，则k 的值为（ ）A ．73B ．214C ．7D ．212【答案】A【分析】延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H ，则可得△DEA ≌△AGO ，从而可得DE =AG ，AE =OG ，若设CE =a ，则DE =AG =4a ，AD =DC =DE +CE =5a ，由勾股定理得AE =OG =3a ，故可得点E 、A 的坐标，由AB 与x 轴平行，从而也可得点F 的坐标，根据EOFEOGFOHEGHF S SS S=+-梯形 ，即可求得a 的值，从而可求得k 的值．【详解】如图，延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作x 轴的垂线，垂足分别为H ∵四边形ABCD 是菱形∴CD =AD =AB ，CD ∥AB ∵AB ∥x 轴，AE ⊥CD ∴EG ⊥x 轴，∠D +∠DAE =90゜∵OA ⊥AD ∴∠DAE +∠GAO =90゜∴∠GAO =∠D ∵OA =OD ∴△DEA ≌△AGO (AAS )∴DE =AG ，AE =OG设CE =a ，则DE =AG =4CE =4a ，AD =AB =DC =DE +CE =5a在Rt △AED 中，由勾股定理得：AE =3a ∴OG =AE =3a ，GE =AG +AE =7a ∴A （3a ,4a ），E (3a ,7a )∵AB ∥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴∴四边形AGHF 是矩形 ∴FH =AG =3a ，AF =GH∵E 点在双曲线()0ky x x =>上∴221ka =即221a y x=∵F点在双曲线221a y x=上，且F 点的纵坐标为4a ∴214a x =即214aOH =∴94a GH OH OG =-=∵EOFEOGFOHEGHF SSS S =+-梯形∴1191211137(74)4224248a a a a a a a ⨯⨯++⨯-⨯⨯= 解得：219a = ∴217212193k a ==⨯= 故选：A ．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA ≌△AGO ，从而求得E 、A 、F 三点的坐标．7．（2021·江苏扬州市）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCDk kS-=；③()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①【答案】B【分析】设P （m ，1k m），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB和PCPA 的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算△OCD 的面积，可判断②．【详解】解：∵PB ⊥y 轴，P A ⊥x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2ky x=上，设P （m ，1k m）， 则C （m ，2k m ），A （m ，0），B （0，1k m ），令12k k m x =，则21k m x k =，即D （21k m k ，1k m）， ∴PC =12k k m m -=12k k m -，PD =21k m m k -=()121m k k k -， ∵()121121m k k k k k PD PB m k --==，121211k k k k PC m k PA k m--==，即PD PCPB PA =，又∠DPC =∠BP A ，∴△PDC ∽△PBA ，∴∠PDC =∠PBC ，∴CD ∥AB ，故①正确； △PDC的面积=12PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k k m--⨯⨯=()21212k k k -，故③正确；OCDOAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△=()112221222112k k k k k k ----=()2121122k k k k k ---=()()21121112222k k k k k k k ---=()22112211222k k k k k k ---=221212k k k -，故②错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度． 8．（2021·浙江宁波市）如图，正比例函数()1110y k x k =<的图象与反比例函数()2220k y k x=<的图象相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或2x > B ．20x -<<或2x > C ．2x <-或02x << D ．20x -<<或02x << 【答案】C【分析】根据轴对称的性质得到点A 的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称，∵点B 的横坐标为2，∴点A 的横坐标为-2，由图象可知，当2x <-或02x <<时，正比例函数()1110y k x k =<的图象在反比例函数()2220k y k x=<的图象的上方，∴当2x <-或02x <<时，12y y >，故选：C ． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．9．（2021·浙江金华市）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数12y x=-的图象上．若120x x <<，则（ ）A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解题． 【详解】解：反比例函数12y x=-图象分布在第二、四象限， 当0x <时，0y > 当0x >时，0y <120x x <<120y y ∴>>故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2021·江苏连云港市）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限；丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =- B ．1y x =C ．2y xD ．1y x=-【答案】D【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A .对于y x =-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项A 不符合题意； B .对于1y x =，当x =-1时，y =-1，故函数图像不经过点(1,1)-；函数图象分布在一、三象限；当0x >时，y 随x 的增大而减小．故选项B 不符合题意；C .对于2y x ，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象分布在一、二象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项C 不符合题意；D .对于1y x=-，当x =-1时，y =1，故函数图像经过点(1,1)-；函数图象经过二、四象限；当0x >时，y 随x 的增大而增大．故选项D 符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．11．（2021·浙江温州市）如图，点A ，B 在反比例函数k y x=（0k >，0x >）的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23OC OD =，AC AE =，则k 的值为（ ）A ．2B ．2C ．94D ．【答案】B【分析】设OD =m ，则OC =23m ，设AC =n ，根据213m n m =⨯求得32n =，在Rt △AEF中，运用勾股定理可求出m =2，故可得到结论． 【详解】解：如图，设OD =m ，∵23OC OD =∴OC =23m∵BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，∴四边形BEOD 是矩形∴BD =OE =1∴B (m ，1)设反比例函数解析式为ky x=，∴k =m ×1=m 设AC =n ∵AC x ⊥轴∴A （23m ，n ）∴23m n k m ==，解得，n =32，即AC =32 ∵AC =AE ∴AE =32在Rt △AEF 中，23EF OC m ==，31122AF AC FC =-=-=由勾股定理得，222321()()()232m =+ 解得，2m =2k = 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．12．（2021·浙江嘉兴市）已知三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数2y x=的图象上，其中1230x x x <<<，下列结论中正确的是（ ） A ．2130y y y <<< B ．1230y y y <<< C ．3210y y y <<< D ．3120y y y <<< 【答案】A【分析】根据反比例函数图像的增减性分析解答．【详解】解：反比例函数2y x=经过第一，三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，∴当1230x x x <<<时，2130y y y <<<故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．13．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1，则k 的值为（ ）A ．125B ．32C ．2D ．3【答案】D【分析】设D 点坐标为()k a a，，表示出E 、F 、B 点坐标，求出ABF 的面积，列方程即可求解．【详解】解：设D 点坐标为()ka a ，，∵四边形ABCD 是矩形，则A 点坐标为(0)a ，，C 点纵坐标为k a，∵点E 为AC 的中点，则E 点纵坐标为022kk a a+=，∵点E 在反比例函数图象上，代入解析式得2k ka x=，解得，2x a =，∴E 点坐标为(2)2k a a ，，同理可得C 点坐标为(3)ka a，，∵点F 在反比例函数图象上，同理可得F 点坐标为(3)3ka a，，∵点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1， ∴2ACFS=，即122CF AB ⋅=，可得，1()(3)223k ka a a a--=，解得3k =，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．14．（2021·四川自贡市）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD ．当6R =Ω时，4A I =【答案】C【分析】将将()4,9代入UI R=求出U 的值，即可判断A ，B ，D ，利用反比例函数的增减性可判断C ． 【详解】解：设U I R=，将()4,9代入可得36I R =，故A 错误； ∴蓄电池的电压是36V ，故B 错误；当10A I ≤时， 3.6R ≥Ω，该项正确； 当当6R =Ω时，6A I =，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．15．（2021·浙江丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学【答案】B【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，根据题意，∵ F F F F <<<甲丁丙乙，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键． 二、填空题1．（2021·浙江绍兴市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数k y x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______．【答案】5或22.5【分析】先设一个未知数用来表示出B 、C 两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B 、C 、D 的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k 的值即可．【详解】解：如图所示，分别过B 、D 两点向x 轴作垂线，垂足分别为F 、E 点，并过C 点向BF 作垂线，垂足为点G ；∵正方形ABCD ，∴∠DAB =90°，AB =BC =CD =DA ，∴∠DAE +∠BAF =90°， 又∵∠DAE +∠ADE =90°，∠BAF +∠ABF =90°， ∴∠DAE =∠ABF ，∠ADE =∠BAF ，∴ADE ≌BAF ，同理可证△ADE ≌△BAF ≌△CBG ；∴DE =AF =BG ，AE =BF =CG ；设AE =m ， ∵点D 的坐标 (52,2) ，∴OE=52，DE =AF =BG =2，∴B （92m +，m ），C （92，2m +）, ∵5252⨯=，当()9252m +=时，809m =-<，不符题意，舍去；当952m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，由0m ≥解得m =,符合题意；故该情况成立，此时 5k =； 当()99222m m m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭时，由 0m ≥解得3m =,符合题意，故该情况成立，此时()93222.52k =⨯+=; 故答案为：5或22.5．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．2．（2021·湖南）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．【答案】m ＜3【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m 的不等式，进而即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴m -3＜0，即：m ＜3．故答案是：m ＜3．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数ky x=，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ＜0，是解题的关键．3．（2021·湖北武汉市）已知点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，则a 的取值范围是__________． 【答案】10a -<<【分析】根据反比例函数的增减性解答．【详解】解：∵210m +>，∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，∵点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，1a a <+ ，∴010a a <⎧⎨+>⎩，∴10a -<<，故答案为：10a -<<．【点睛】此题考查反比例函数的性质：当0k >时，在每个象限内y 随着x 的增大而增大；当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而减小．4．（2021·湖南株洲市）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数ky x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________． 【答案】k <0【分析】先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k 的取值范围即可． 【详解】解：因为当10x >时，110x +>，说明A 、B 两点同时位于第一或第四象限， ∵当10x >时，均有12y y <，∴在该图像上，y 随x 的增大而增大， ∴A 、B 两点同时位于第四象限，所以k <0，故答案为：k <0．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法．5．（2021·陕西）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”） 【答案】<【分析】先根据不等式的性质判断2-10m <，再根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵12m <∴1222m <⨯即2-10m <∴反比例函数图像每一个象限内，y 随x 的增大而增大∵1<3∴1y <2y 故答案为：<． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．6．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．【答案】14或32【分析】根据题意，点B 不可能在坐标轴上，可对点B 进行讨论分析：①当点B 在边DE 上时；②当点B 在边CD 上时；分别求出点B 的坐标，然后求出OBC 的面积即可．【详解】解：根据题意，∵点11,B x y⎛⎫⎪⎝⎭称为点(),A x y 的“倒数点”，∴0x ≠，0y ≠，∴点B 不可能在坐标轴上；∵点A 在函数()20=>y x x的图像上，设点A 为2(,)x x，则点B 为1(,)2x x ，∵点C 为()3,0，∴3OC =，①当点B 在边DE 上时；点A 与点B 都在边DE 上， ∴点A 与点B 的纵坐标相同，即22x x =，解得：2x =，经检验，2x =是原分式方程的解；∴点B 为1(,1)2，∴OBC 的面积为：133122S =⨯⨯=； ②当点B 在边CD 上时；点B 与点C 的横坐标相同，∴13x =，解得：13x =，经检验，13x =是原分式方程的解；∴点B 为1(3,)6， ∴OBC 的面积为：1113264S =⨯⨯=；故答案为：14或32． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．7．（2021·云南）若反比例函数的图象经过点()1,2-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．【答案】2y x=- 【分析】先设ky x=，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．【详解】解：设反比例函数的解析式为ky x=（k ≠0）， ∵函数经过点（1，-2），∴21k -=，得k =-2，∴反比例函数解析式为2y x=-，故答案为：2y x=-．【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 三、解答题1．（2021·湖北随州市）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2my x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ．（1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积． 【答案】（1）22y x=，13y x =-+；（2）3 【分析】（1）将点C 、D 的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m 、n 的值，从而点D 纵坐标已知，将点C 、D 的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k 、b 的值，从而两个函数解析式可求；（2）求出点B 的坐标，可知OB 的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积．【详解】解：（1）∵双曲线2my x=（m >0）过点C （1，2）和D （2，n ）， ∴212mm n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，21m n =⎧⎨=⎩．∴反比例函数的解析式为22y x =． ∵直线1y kx b =+过点C （1，2）和D （2，1），∴221k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，13k b =-⎧⎨=⎩．∴一次函数的解析式为13y x =-+．（2）当x =0时，y 1=3，即B （0，3）．∴3OB =．如图所示，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ．∵D （2，1），∴DE =2．∴1132322BOD S OB DE ==⨯⨯=△．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键． 2．（2021·湖北恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，30ABC ∠=︒，4BC =，双曲线ky x=经过点A ．（1）求k ；（2）直线AC 与双曲线y =D ．求ABD △的面积．【答案】（1）k =（2）ABD △的面积【分析】（1）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，由题意易得2,60AC ACB =∠=︒，进而可得1,==CE AE (A ，最后问题可求解；（2）由（1）可先求出直线AC 的解析式为y =+，然后联立直线AC 的解析式与反比例函数y =D 的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可．【详解】解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，如图所示：∵30ABC ∠=︒，4BC =，90BAC ∠=︒， ∴122AC BC ==，60ACB ∠=︒，∴30EAC ∠=︒，∴112EC AC ==，∴在Rt △AEC 中，AE ==∵点O 是BC 的中点，∴OC =2，∴OE =1，∴(A，∴1k ==； （2）由（1）可得：(A ，()2,0C ，∴设直线AC 的解析式为y kx b =+，则把点A 、C代入得：20k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线AC的解析式为y =+，联立y =+y =+=，解得：123,1x x ==-（不符合题意，舍去），∴点(3,D ，∴142ABDABCBCDSSS=+=⨯⨯=【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．3．（2021·四川广安市）如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠的图象交于()1,A n -，()3,2B -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足ABP △的面积等于4，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）124y x =-+，26y x=-；（2）（1，0）或（3，0）【分析】（1）根据点B 坐标求出m ，得到反比例函数解析式，据此求出点A 坐标，再将A ，B 代入一次函数解析式；（2）设点P 的坐标为（a ，0），求出直线AB 与x 轴交点，再结合△ABP 的面积为4得到关于a 的方程，解之即可．【详解】解：（1）由题意可得：点B （3，-2）在反比例函数2my x=图像上， ∴23m-=，则m =-6，∴反比例函数的解析式为26y x=-，将A （-1，n ）代入26y x=-，得：661n =-=-，即A （-1，6），将A ，B 代入一次函数解析式中，得236k b k b -=+⎧⎨=-+⎩，解得：24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为124y x =-+；（2）∵点P 在x 轴上，设点P 的坐标为（a ，0），∵一次函数解析式为124y x =-+，令y =0，则x =2，∴直线AB 与x 轴交于点（2，0），由△ABP 的面积为4，可得：()1242A B y y a ⨯-⨯-=，即18242a ⨯⨯-=，解得：a =1或a =3，∴点P 的坐标为（1，0）或（3，0）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x 轴或y 轴分割为2个三角形的面积和． 4．（2021·浙江杭州市）在直角坐标系中，设函数11ky x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-，①求1k ，2k 的值．②当12y y <时，直接写出x 的取值范围．（2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值． 【答案】（1）①12k =，22k =；②1x >；（2）0【分析】（1）①根据点A 关于y 轴的对称点为点B ，可求得点A 的坐标是()1,2，再将点A 的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得12k =，22k =；②观察图象可解题；（2）将点B 代入33k y x=，解得3k 的值即可解题． 【详解】解（1）①由题意得，点A 的坐标是()1,2， 因为函数11k y x=的图象过点A ，所以12k =，同理22k =． ②由图象可知，当12y y <时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，即当12y y <时，1x >．（2）设点A 的坐标是()00,x y ，则点B 的坐标是()00,x y -，所以100k x y =，300k x y =-，所以310k k +=．【点睛】本题考查关于y 轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·山东临沂市）已知函数()()()31 31131x x y x x x x⎧≤-⎪⎪=-⎨⎪⎪≥⎩＜＜ （1）画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，若120x x +=，证明：120y y +=． 【答案】（1）见解析；（2）有，当1x =时，最大值为3；当1x =-时，函数有最小值3-；（3）见解析【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y 值，列表，在图像中描点，画出图像即可；（2）观察图像可得函数的最大值；（3）根据120x x +=，得到1x 和2x 互为相反数，再分111x -<<，11x ≤-，11x ≥，分别验证120y y +=． 【详解】解：（1）列表如下：函数图像如图所示：（2）根据图像可知：当x =1时，函数有最大值3；当1x =-时，函数有最小值3-； （3）∵1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，120x x +=，∴1x 和2x 互为相反数， 当111x -<<时，211x -<<，∴113y x =，223y x =，∴()1212123330y y x x x x +=+=+=； 当11x ≤-时，21x ≥，则()121212123330x x y y xx x x ++=+==；同理：当11x ≥时，21x ≤-，()121212123330x x y y xx x x ++=+==，综上：120y y +=．【点睛】本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解120x x +=是解题的关键．6．（2021·安徽）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m ，2）．（1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【答案】（1）,k m 的值分别是23和3；（2）30x -<<或3x >【分析】（1）把点A （m ，2）代入6y x=求得m 的值，从而得点A 的坐标，再代入(0)y kx k =≠求得k 值即可；（2）在坐标系中画出y kx =的图象，根据正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数6y x=图象的两个交点坐标关于原点对称，求得另一个交点的坐标，观察图象即可解答．【详解】（1）将(,2)A m 代入6y x=得62m =， 3m ∴=， (3,2)A ∴， 将(3,2)A 代入y kx =得23k =， 23k ∴=， ,k m ∴的值分别是23和3．（2）正比例函数23y x =的图象如图所示，∵正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x =的图象都经过点A （3，2），∴正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象的另一个交点坐标为（-3，-2），由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为30x -<<或3x >． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题，利用数形结合思想是解决问题的关键．7．（2021·浙江）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，连结,AO AO 的延长线交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点B ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ．（1）如图1，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连结EF ．①若1k =，求证：四边形AEFO 是平行四边形；②连结BE ，若4k =，求BOE △的面积．（2）如图2，过点E 作//EP AB ，交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点P ，连结OP ．试探究：对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析【分析】（1）①计算得出AE OF a ==，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；②证明AEO BDO ∽，利用反比例函数k 的几何意义求得212()2AO BO=，即可求解；（2）点A 的坐标为1()a a ，，点P 的坐标为()k b b，，可知四边形AEGO是平行四边形，由AEO GHP ∽，利用相似三角形的性质得到关于b a的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）①证明：设点A 的坐标为1()a a，， 则当1k =时，点B 的坐标为1()a a--，，AE OF a ∴==， AE y ⊥轴，//AE OF ∴，∴四边形AEFO 是平行四边形；②解：过点B 作BD y ⊥轴于点D ，AE y ⊥轴，//AE BD ∴，AEO BDO ∴∽， 2()AEO BDOSAO SBO∴=， ∴当4k =时，则212()2AO BO=，即12AO BO =．21BOEAOES S∴==；（2）解 不改变． 理由如下：过点P 作PH x ⊥轴于点H PE ，与x 轴交于点G ，设点A 的坐标为1()a a，，点P 的坐标为()k b b，， 则1kAE a OE PH a b===-，，，OH =b ，由题意，可知四边形AEGO 是平行四边形，∴OG =AE =a ，∠HPG =∠OEG =∠EOA ，且∠PHG =∠OEA =90°，∴AEO GHP ∽， AE EOGH a b GH PH=--=，，即1a a k ab b=---， ∴1b a k ab+=，2()0b b k aa∴+-=，解得ba=。

反比例函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。

掌握反比例函数的基本概念和解题方法对于提高数学成绩至关重要。

本文将通过七个模型和十三类题型，帮助读者全面了解并掌握反比例函数的相关知识。

一、反比例函数的基本概念1. 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的二元一次函数，其函数关系可以表示为y=k/x，其中k为比例系数。

当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

反比例函数的图像呈现出一条经过原点的曲线，并且不过原点，是一对对称的点。

2. 反比例函数的特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的“反比例”关系，即x与y成反比。

在实际问题中，反比例函数常常用来描述一种随着某个变量的增大而导致另一个变量的减小，或者随着某个变量的减小而导致另一个变量的增大的情况。

二、反比例函数的模型分析1. 比例系数为正数的反比例函数模型当比例系数k大于0时，反比例函数的图像为一条经过第一象限和第三象限的曲线，随着x的增大，y的值减小；随着x的减小，y的值增大。

2. 比例系数为负数的反比例函数模型当比例系数k小于0时，反比例函数的图像为一条经过第二象限和第四象限的曲线，随着x的增大，y的值增大；随着x的减小，y的值减小。

3. 比例系数为零的反比例函数模型当比例系数k等于0时，函数变为y=0，即y始终为0，这时反比例函数的图像为一条水平直线。

4. 比例系数为整数的反比例函数模型当比例系数k为整数时，反比例函数的图像呈现出一种更为规律的变化规律，可以通过整数的变化来探究x和y之间的反比关系。

5. 比例系数为分数的反比例函数模型当比例系数k为分数时，反比例函数的图像表现出更为复杂的变化规律，需要通过分数的变化来揭示x和y之间的反比关系。

6. 反比例函数的图像变换反比例函数的图像可以通过平移、缩放、翻转等变换来形成新的图像，这些变换对于理解反比例函数的性质和特点非常重要。

7. 反比例函数的应用举例反比例函数在日常生活中有很多应用，比如收费问题、速度与时间问题、密度与体积问题等等。