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第八章动态规划

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OR8

OR8

部位
解： 把对每一个部位派出 巡逻队数量的决策，看成 是一个阶段，可归结成4 个阶段的决策问题。
2 3 4
A 18 14 10
B 38 35Biblioteka 31C 24 22 21D 34 31 25
2007/08
--20--
--第8章 动态规划--
一、建立模型
（1）阶段变量：k=1, 2, 3, 4 （2）状态变量：xk——第k阶段可用于分配的巡逻队数量； （3）决策变量：uk——第k阶段派出的巡逻队数量； 允许决策集合D(xk)={2, 3, 4} （4）状态转移律：xk+1=xk－uk ； （5）阶段指标函数：vk(uk)——预期损失函数，如表示； （6）基本方程：fk ( xk )= min{vk(uk)+ fk+1(xk+1)} （7）边界条件：f5 ( x5 )=0
3+ 3 3+ 4
=6，u3 * (C3) = C3D1
3）k=2， f2(x2)=min{v2(x2，u2) + f3(x3)}， B1C1+ f3(C1) f2(x2=B1)= min B1C2+ f3(C2) B1C3+ f3(C3) B2C1+ f3(C1) f2(x2=B2)= min B2C2+ f3(C2) B2C3+ f3(C3) = min = min 7+4 5+7 6+6 3+4 2+7 4+6 =7， u2 * (B2) = B2C1 =11，u2 * (B1) = B1C1
2007/08 --8--
--第8章 动态规划--
（3）决策（decision）：指在某阶段从给定的状态出发，决策者从面 临的若干种不同的方案中所做出的选择。 决策变量uk(xk) ∈Dk(xk)——允许决策集合， uk(xk)取值范围。 要点： ① 决策变量是对活动过程控制的手段； ② 决策变量取值可以是连续型的，也可以是离散型的； ③ 允许决策集合相当于可行域。 （4）策略（policy）与子策略（subpolicy）：各阶段决策组成的序列 总体称为策略；从某一阶段开始到过程最终的决策序列称为子策 略。 n 阶段策略可记为 {u1(x1), u2(x2) , … , un(xn)}， 子策略可记为 {uk(xk), uk+1(xk+1) , … , un(xn)}。 （5）状态转移律：状态参数变化的规律。从第k阶段的某一状态值xk 出发，当决策变量uk的取值确定之后，下一阶段的状态值xk+1按 某种规律T(xk , uk)确定。 第k+1阶段状态是第k阶段状态xk和变量uk的函数 xk+1 = T(xk , uk)， 又称状态转移方程。
动态规划

动态规划

f1(A)=MIN r(A,B1)+ f2(B1) r(A,B2)+ f2(B2)
=MIN（3+12，4+10）=14
最短路线： A—— B2 ——C2——D2——E2——F 最优解： d1*(A)= B2，最短用时14
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
最优解： d2*(B1)= C1
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S2=B2，则下一步能取C2或C3，故
f2(B2)=MIN r(B2,C2)+ f3(C2)
r(B2,C3)+ f3(C3) =MIN（2+8，1+11）=10
最短路线： B2 ——C2——D2——E2——F
1
B2
C3
4 2
D3
5
E2
4
A
2
C2
3 3 3
D2
2
F
3
B1
5 4
C1
4
2
E1
4
3
D1
A
B
C
D
E
F
如果S4=D3，则下一步只能取E2，故
动态规划

动态规划


多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划的基本思想

动态规划的基本思想

动态规划的基本思想动态规划是一种常见的解决问题的算法思想，它通过将复杂的问题分解成一个个子问题，逐步求解并记录下每个子问题的解，最终得到原问题的解。

这种思想在很多领域都有广泛的应用，例如计算机科学、经济学、物理学等。

一、动态规划的定义与特点动态规划是一种分治法的改进方法，它主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

它的基本思想可以概括为“记住中间结果，以便在需要的时候直接使用”。

动态规划算法的特点包括：1. 问题可以分解为若干个重叠的子问题；2. 子问题的解可以通过已知的子问题解来求解，且子问题的解可以重复使用；3. 需要使用一个数据结构（通常是一个矩阵）来存储子问题的解，以便在需要时直接取出。

二、动态规划的基本步骤动态规划算法通常可以分为以下几个基本步骤：1. 确定问题的状态：将原问题转化为一个或多个子问题，并定义清楚每个子问题的状态是什么。

2. 定义问题的状态转移方程：找出子问题之间的关系，即如何通过已知的子问题解来解决当前问题。

3. 设置边界条件：确定最简单的子问题的解，即边界条件。

4. 计算子问题的解并记录：按顺序计算子问题的解，并将每个子问题的解记录下来，以便在需要时直接使用。

5. 由子问题的解得到原问题的解：根据子问题的解和状态转移方程，计算得到原问题的解。

三、动态规划的实例分析为了更好地理解动态规划的基本思想，我们以求解斐波那契数列为例进行分析。

问题描述：斐波那契数列是一个经典的数学问题，它由以下递推关系定义：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。

解决思路：根据递推关系，可以将问题分解为求解F(n-1)和F(n-2)两个子问题，并将子问题的解累加得到原问题的解。

根据以上思路，可以得到以下的动态规划算法实现：1. 确定问题的状态：将第n个斐波那契数定义为一个状态，记为F(n)。

2. 定义问题的状态转移方程：由递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)可得，F(n)的值等于前两个斐波那契数之和。

动态规划的基本原理和基本应用

动态规划的基本原理和基本应用

动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。

动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。

它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。

1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。

2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。

3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。

4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。

5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。

1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。

可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。

2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。

给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。

可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。

3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。

给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。

可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。

4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。

可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。

动态规划(生产和存储问题)

动态规划(生产和存储问题)

动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。

二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。

通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。

阶段变量一般用k=1.2….n.表示。

1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。

它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。

通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。

描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。

变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。

用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。

n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。

动态规划算法教学PPT

动态规划算法教学PPT


03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
全国青少年信息学奥林匹克联赛培训习题与解答目录(中学高级本)

全国青少年信息学奥林匹克联赛培训习题与解答目录(中学高级本)

目录习题篇第一章回溯1.1马拦过河卒1.2出栈序列统计1.3算24点1.4冗余依赖1.5走迷宫1.6 单向双轨道1.7.组合的输出1.8售货员的难题1.9驾车旅游1.10关路灯第二章递规与递推2．1遍历问题2．2产生数2．3出栈序列统计2．4计数器2．5诸侯安置2．6括号序列2．7新汉诺塔2．8排序集合2．9青蛙过河2．10电话号码2．11编码第三章贪心3．1排队接水3．2智力大冲浪3．3取火柴游戏3．4等待时间3．5加工生产调度3．6最大乘积3．7种树3．8餐巾3．9马拉松接力赛3．10线性存储问题3．11扇区填数第四章分治4.1取余运算4．2地毯填补问题4．3平面上的最接近点对4．4求方程的根4．5小车问题4．6黑白棋子的移动4．7麦森数（NOIP2003）4．8旅行家的预算(NOIP1999) 4．9飞行计划第五章图5．1医院设置5．2工程规划5．3服务器储存信息问题5．4间谍网络(AGE)5．5宫廷守卫5．6K-联赛5．7机器调度5．8公路修建5．9速度限制第六章树6．1排序二叉树6．2售票系统6．3树的重量6．4信号放大器6．5“访问”术馆6．6聚会的快乐6．7重建道路6．8有线电视网6．9TWO第七章搜索7．1最多因子数7．2黑白棋游戏7．3纵横填字游戏7．4魔术数字游戏7．5魔板7．6三维扫描7．7拼字游戏7．8小木棍7．9WORD第八章动态规划8．1 BLAST8．2 血缘关系8．3 LIGNJA8．4 书的复制8．5 多米诺骨8．6 平板涂色8．7 三角形牧场8．8 分组8．9 工程规划第九章数学问题9．1多项式展开系数9．2 RAIR9．3盒子与球9．4取数游戏9．5磁盘碎片整理9．6欧几里德的游戏9．7百事世界杯之旅9．8倒酒9．9班级聚会第十章杂题10．1排序10．2木棍加工10．3三角形10．4多边形面积10．5网线切割10．6最接近的分数10．7切孔机10．8 DOG10．9 ERP10．10魔鬼之城10．11可见矩形解析篇第一章回溯1.1马拦过河卒简析1.2出栈序列统计简析1.3算24点简析1.4冗余依赖简析1.5走迷宫详解1.6 单向双轨道简析1.7.组合的输出详解1.8售货员的难题简析1.9驾车旅游简析1.10关路灯详解第二章递规与递推2．1遍历问题详解2．2产生数详解2．3出栈序列统计详解2．4计数器详解2．5诸侯安置详解2．6括号序列简析2．7新汉诺塔简析2．8排序集合简析2．9青蛙过河简析2．10电话号码简析2．11编码简析第三章贪心3．1排队接水详解3．2智力大冲浪详解3．3取火柴游戏详解3．4等待时间详解3．5加工生产调度详解3．6最大乘积详解3．7种树简析3．8餐巾简析3．9马拉松接力赛简析3．10线性存储问题简析3．11扇区填数简析第四章分治4.1取余运算详解4．2地毯填补问题详解4．3平面上的最接近点对详解4．4求方程的根简析4．5小车问题简析4．6黑白棋子的移动简析4．7麦森数（NOIP2003）简析4．8旅行家的预算(NOIP1999) 简析4．9飞行计划简析第五章图5．1医院设置详解5．2工程规划详解5．3服务器储存信息问题详解5．4间谍网络(AGE) 简析5．5宫廷守卫简析5．6 K-联赛简析5．7机器调度简析5．8公路修建简析5．9速度限制简析第六章树6．1排序二叉树详解6．2售票系统详解6．3树的重量详解6．4信号放大器简析6．5“访问”术馆简析6．6聚会的快乐简析6．7重建道路简析6．8有线电视网简析6．9 TWO 简析第七章搜索7．1最多因子数详解7．2黑白棋游戏详解7．3纵横填字游戏详解7．4魔术数字游戏简析7．5魔板简析7．6三维扫描简析7．7拼字游戏简析7．8小木棍简析7．9 WORD 简析第八章动态规划8．1 BLAST 详解8．2 血缘关系详解8．3 LIGNJA 详解8．4 书的复制简析8．5 多米诺骨牌简析8．6 平板涂色简析8．7 三角形牧场简析8．8 分组简析8．9 工程规划简析第九章数学问题9．1多项式展开系数详解9．2 RAIR 详解9．3盒子与球详解9．4取数游戏简析9．5磁盘碎片整理简析9．6欧几里德的游戏简析9．7百事世界杯之旅简析9．8倒酒简析9．9班级聚会简析第十章杂题10．1排序详解10．2木棍加工详解10．3三角形详解10．4多边形面积简析10．5网线切割简析10．6最接近的分数简析10．7切孔机简析10．8 DOG 简析10．9 ERP 简析10．10魔鬼之城简析10．11可见矩形简析。

第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件

第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件

Vk,n (sk , uk , , sn1) fk [sk , uk ,Vk 1,n (sk 1, uk 1, , 1)] ③函数 fk (sk , uk ,Vk 1,n ) 对于变量 Vk1,n 要严格单调。
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
动态规划的基本思想

动态规划的基本思想

动态规划的基本思想动态规划是一种常用于解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的算法思想。

它将问题分解成一系列子问题，并通过解决子问题构建出整个问题的最优解。

动态规划的基本思想是将原始问题转化成一个或多个相似的子问题，然后通过解决这些子问题获得原始问题的解。

这种思想在很多实际问题中都能够得到应用。

动态规划的基本流程一般包括以下几个步骤：1. 将原始问题分解为子问题：首先需要将原问题划分为多个子问题，并且确保这些子问题之间有重叠的部分。

2. 定义状态：确定每个子问题需要求解的状态，也即问题需要达成的目标。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定子问题之间的状态转移方程，即如何将子问题的解转移到原问题的解。

4. 解决首个子问题：解决最基本的子问题，获得初始状态下的解。

5. 填充状态表格：根据状态转移方程，依次求解其他子问题，并且填充状态表格。

6. 求解原问题：通过填充状态表格，在保证状态转移方程的基础上求解原问题的最优解。

动态规划的关键在于将原问题转化为子问题，通过递归或者迭代的方式求解子问题，最终获得原问题的最优解。

在这个过程中，重叠子问题的求解是动态规划的特点之一。

由于问题的子问题存在重叠，所以在求解的过程中我们可以保存已经求解过的子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。

动态规划还要求问题具有最优子结构特征，即问题的最优解可以通过子问题的最优解构建出来。

通过利用已解决的子问题的最优解，可以有效地解决原问题。

动态规划算法在实际应用中有着广泛的应用。

它可以用于解决很多经典的问题，如最长公共子序列、0-1背包问题、最大子数组和等。

动态规划算法可以有效地解决这些问题，使得它们的时间复杂度得到了有效的降低。

总结来说，动态规划的基本思想是将原始问题转化为子问题，并通过解决子问题构建整个问题的最优解。

动态规划算法通过保存已经解决的子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划算法在实际应用中具有广泛的应用，是解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题的常用算法思想。

动态规划-动态规划

动态规划-动态规划


过程指标函数是指过程所包含的各阶段的状 态和决策所产生的总效益值，记为
Vkn (sk , Pkn ) Vkn (sk , dk (sk ), sk1, dk1(sk1), , sn , dn (sn ), sn1) k 1, 2, , n
动态规划所要求的过程指标函数应具有可分 离性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的 函数形式。
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一 类特殊的多阶段决策过程，即状态具有无后效性 的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性)：是指如果某阶段状 态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受 这个阶段以前各段状态的影响；构造动态规划 模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变 量不能满足无后效性的要求，应适当改变状态 的定义或规定方法。
3、决策（decision）
决策：在某一阶段，当状态给定后，往往可以 作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
决策变量：描述决策的变量。dk(sk) ：第k阶段 的决策变量（状态变量sk的函数）。
允许决策集合：决策变量的取值范围。常用 Dk(sk)表示。显然dk(sk)∈Dk(sk)。
3 3*
3
4
6 决策点为D1
第二阶段，由Bj到Ci分别均有三种选择
f2
B1
min
B1C1 B1C2
B1C3
f3 f3 f3
C1 C2
C3
min
7 6 4 7* 6 6
11决策点为C2
f2
B2
min
BB22CC21
f3 f3
C1 C2
min
3 6* 2 7*
min
4

运筹学动态规划

许多问题用动态规划的方法去处理，常比 线性规划或非线性规划方法更有效。特别对于 离散性的问题。
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。

动态规划


5 . 最短路问题：给定一个交通网络图如下，其 中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A点 到G点的最短距离（总费用最小）。
1 C1 3 6 8 3 D1 1 2 2 2 5 E2 2 D2 E1 3
5
A 3
B1
6
8 B2 7 6
C2
5
3
5
F1
3
4
G
C3 8 C4
3
4 D3
3
3 4 E3
6
6
F2
3.航天飞机飞行控制问题：由于航天飞机的运 动的环境是不断变化的，因此就要根据航天飞机飞 行在不同环境中的情况，不断地决定航天飞机的飞 行方向和速度（状态），使之能最省燃料和实现目 的（如软着落问题）。
不包含时间因素的静态决策问题（本质上是一 次决策问题）也可以适当地引入阶段的概念，作为 多阶段的决策问题用动态规划方法来解决。 4.线性规划、非线性规划等静态的规划问题也可 以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方法 加以解决。
f k sk min d k sk , uk sk f k 1 uk sk u k Dk s k f 6 s6 0或 写 成 5 s5 d 5 s5 , F f
k 5,4,3,2,1
动态规划的基本方程（二）
D4(D1)={E1,E2},D4(D2)= {E1,E2}
D5(E1)={F}, D5(E2)={F}
4 A 5
2 B1 3 5 B2 8 7 7
⑷状态转移方程 上例中的状态转移方程sk+1=uk(sk)
C1 5 8 C2 45 3 C3 4 84 C4
D1 3 5 E1 4 6 D2 2 3 E2 1 3 D3

运筹学动态规划

运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。

动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。

下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。

动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。

动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。

动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。

例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。

动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。

此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。

然而，动态规划方法也存在一些局限性。

首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。

其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。

综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。

动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。

动态规划的基本原理和基本应用

7
例2 生产和存储控制问题
某工厂生产某种季节性商品，需要作下一 年度的生产计划，假定这种商品的生产周期需 要两个月，全年共有6个生产周期，需要作出 各个周期中的生产计划。
设已知各周期对该商品的需要量如下表所示： 周期 1 2 3 4 5 6
需求量 5 5 10 30 50 8
8
例2
假设这个工厂根据需要可以日夜两班生产或只是日 班生产，当开足日班时，每一个生产周期能生产商品15 个单位，每生产一个单位商品的成本为100元。当开足 夜班时，每一生产周期能生产的商品也是15个，但是由 于增加了辅助性生产设备和生产辅助费用，每生产一单 位商品的成本为120元。由于生产能力的限制，可以在 需求淡季多生产一些商品储存起来以备需求旺季使用， 但存储商品是需要存储费用的，假设每单位商品存储一 周期需要16元，已知开始时存储为零，年终也不存储商 品备下年使用，问应该如何作生产和存储计划，才能使 总的生产和存储费用最小？
5
例1
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一 阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1 投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，……
若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
6
例1
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1，以使 g(y)+h(x-y)+g(y1)+h(x1-y1)+…+g(yn-1)+h(xn-1-yn-1) 达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y) x2=ay1+b(x1-y1)

动态规划部分知识点总结

动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。

在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。

以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。

假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。

动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。

1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。

通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。

2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。

最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。

换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。

3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。

状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。

通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。

动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。

它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。

1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。

动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。

动态规划的基本概念和基本原理


史的一个完整总结。只有具有无后效性的多阶段决策过程
才适合于用动态规划方法求解。
2 A1
3
5 B1 4
7
6
B2
5
3
2
C1 2 5 6
C2 3
2
C3 1
D3
1
E 5 D
2
B3 2
3.决策（decision）
C4 7
当各阶段的状态选定以后可以做出不同的决定（或选择）从
而确定下一个阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策。
5.状态转移方程（state transfer equation） 设第k阶段状态为sk，做出的决策为uk（sk），则第k+1阶段 的状态sk+1随之确定，他们之间的关系可以表示为：
sk+1=Tk（sk，uk） 表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的方程称为状态 转移方程，它反映了系统状态转移的递推规律。
f3
(C3
)
min
d d
3 3
(C3 (C3
, ,
D1) D2 )
f4 (D1) f4 (D2 )
2 3
min1
5
5
u3（C3）=D1
f3（C4）= d3（C4，D2）+ f4（D2）=7+5=12
u3（C4）=D2
5
C1 2
2
A
1
3
B1 4
7
6
B2
5
3
2
5 6 C2 3 2
C3 1
D1 3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决策序 列，称此决策序列为一个策略。
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2 2 1 2 3
max z 3x13 4 x1 2 x22 5x2 2 x3 4 x1 2 x2 3x3 18 s.t : x1 , x2 , x3 0
x1 x2 x3 6 s.t : x1 , x2 , x3 0
max z 8 x 4 x x
问题必须能够分成几个相互联系的阶段，而且在每 一个阶段都具有需要进行决策的问题；每一阶段都必 须有若干与该阶段相关的状态。
建模时总是从与决策有关的条件中，或是从问题的
约束条件中去选择状态变量。
2017/6/29
状态的选取必须： 在问题的各阶段，能直接或间接确定状态变量值； 通过现阶段的决策，当前状态转移成下阶段状态；
y1 yn b yi 0, 整数
2017/6/29
粗格子点法：采用离散式方式。
2017/6/29
生产计划与存储问题
某商店在四个月用一个仓库经销商品，最大容量为1000单 位。每月只能卖出仓库现货,在某月购货时，下月初才到 货。未来四个月的买卖价格如下，假定在1月初仓库贮有 500单位，如何制定四个月的订购与销售计划，获利最大 （不计库存费）。
去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态
而言，余下的决策必须构成最优的策略。即一个最
优策略的子策略也是最优的。
2017/6/29
动态规划模型的求解
解法

离散型：分段穷举法 连续型：利用解析方法或线性规划方法 没有固定的方法,具体模型具体分析 要求：经验、技巧、灵活
2017/6/29
max z x x x
在三个不同的地区设臵4个销售点，在不同地区设臵不 同数量的销售点，每月得到的利润如下，问在各个地 区如何设臵销售点，使得每月获得的利润最大？
2017/6/29
某有色金属公司拟拨出50万元对所属三家冶炼厂进 行技术改造，若以十万元为最少分割单位，各厂收 益与投资的关系如下表：如何投资使收益最大？
P：允许策略集合 最优策略：使整个问题达到最优效果的策略。
2017/6/29
状态转移方程确定一个过程状态到另一个状态的
演变过程。
sk 1 Tk (sk , uk )
指标函数衡量所选定的策略优劣的数量指标。
V s1 , p1,n 初始状态为s1时采用原过程策略p1,n所对应的指标函数 V sk , pk ,n 第k阶段sk时采用后部子过程策略pk ,n所对应的指标函数
授课内容
概述 基本要求 基本概念 基本解法 一维资源分配 生产计划与存储 主要应用 不确定性采购 设备更新
2017/6/29
基本思想
二维资源分配 背包问题 可靠性 排序
货郎担问题
概述
20世纪50年代，美国数学家贝尔曼,解决多阶段决 策过程的最优化的一种方法； 多阶段决策过程：可以按时间顺序分解成若干个 相互联系的阶段，每阶段有若干个方案供选择。 一种动态的决策过程，最终目标是达到整体最优。 )
2017/6/29
连续资源的分配问题
设有数量为y的某种资源，将它分别投入两种生产
方式A和B，已知收益函数分别是g(x)和h(x)，x为
资源投入量。设这种资源用于生产后还可以回收一 部分用于生产，A、B的回收率分别为a和b，对总数 量为y的资源进行n个阶段的生产，应如何分配每个 阶段投入A、B的资源数量，才能使总收益最大？
最关键的是写出递推关系式和恰当的边界条件。
2017/6/29
动态规划的优点：减少了计算工作量；丰富了计
算结果。
建立动态规划模型：
将问题的过程划分成恰当的阶段； 正确选择状态变量和决策变量； 写出状态转移方程； 正确写出指标函数：数量函数，具有可分离性；
严格单调。
2017/6/29
基本要求
u1 ( A)U1 ( A)
d A, u ( A) f u ( A)
1 2 1
2017/6/29
基本思想
在多阶段决策中，将前一段与未来分开，又将当前 效益和未来效益结合起来综合考虑。 在求整个问题的最优策略时，由于初始状态已知， 各段决策都是其状态的函数，因此可以得到每段状 态，形成最优解。

u2 ( B1 )U 2 ( B1 ) 2
min
1
2
1
3
2
1
2
2
1
3
1
2
2
3
2
2
3
3
3
u2 ( B2 )U 2 ( B2 ) 3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
3
u2 ( B3 )U 2 ( B3 )
3
2
3
3
2
3
k=1
f1 A min d A, B1 f 2 B1 , d A, B2 f 2 (B2 ), d A, B3 f 2 (B3 ) min
2017/6/29
主要的应用：
最优路径问题；资源分配问题；排序问题；投资
问题；装载问题；生产计划与库存问题；生产过
程的最优控制等。 动态规划种类划分： 离散确定型；离散随机型；连续确定型；连续随 机型。
2017/6/29
例：设从甘肃要铺一条煤气管道到北京，途中须 经过陕西、山西、河北，每省设一个中间站。各
8 ○
D1 E ○
5 9
6
4 D2
○
○ 8 C 6○
C1
2
10 B 1
9 7 7
○ 6 B ○
2
4 2 3
A ○
1C
○
3
8
3 B 3
○
2017/6/29
f3 C3 min d C3 , D1 f 4 D1 , d C3 , D2 f 4 ( D2 )
pk ,n Pk ,n


f1 s1 初始状态为s1时采用原过程最优策略p *1,n 所对应的指标函数值
2017/6/29
k=4开始
k=3
f4 D1 8；f4 D2 4
f3 C1 min d C1 , D1 f 4 D1 ； d C1, D2 f4 (D2 )
2017/6/29
策略按照顺序排列的各个阶段决策组成的序列。
p1,n s1 从第一阶段s1开始到第n阶段全过程的策略 即p1,n s1 u1 s1 , u2 s2 ,un sn pk ,n sk :从第k阶段初始状态sk 开始到第n个阶段的策略.
d C , u (C ) f u (C ) f C min d C , D f D , d C , D f ( D ) min d C , u (C ) f u (C )
min
3 2 u3 ( C1 )U 3 ( C1 ) 1 3 1 4 3 1 2 1 4 1 2 2 4 2 u3 ( C2 )U 3 ( C2 ) 2 3 2 4 3 2
2017/6/29
一维资源分配
某公司有某种原料总数量为a，用于n种产品，已知
对第i个产品分配数量xi，收益为gi(xi)，问应如何分 配使总收入最大？
阶段：k=1,2, …,n 状态变量sk：第k阶段用于第k到第n个产品的数量
决策变量uk ：第k个产品的数量
2017/6/29
状态转移方程： sk 1 sk uk ;Uk {uk | 0 uk sk } 指标函数Vk,n
u3 ( C3 )U3 ( C3 )
min
d C , u (C ) f u (C )
3 3 3 4 3 3
k=2
f 2 B1 min d B1 , C1 f3 C1 , d B1 , C2 f 3 (C2 )
d B , u ( B ) f u ( B ) f B min d B , C f C , d B , C f (C ), d B , C f (C ) min d B , u ( B ) f u ( B ) f B min d B , C f C , d B , C f (C ) min d B , u ( B ) f u ( B )
2 1 2 2 3 3
min z 3x12 5x1 3x22 3x2 2 x32 7 x3 2 x1 3x2 2 x3 16 s.t : x1 , x2 , x3 0
2 x1 x2 10 x3 b s.t : x1 , x2 , x3 0, b为实数
逆序解法：规定行进方向10-1，从最终点向初始
点进行计算的解法1-10。
顺序解法：规定行进方向1-10，从最终点向初始 点进行计算的解法10-1。 上述两种方法仅仅表示行进方向不同，或对始端 和终端看法的颠倒，但是规定行进方向后，均是按
照这个方向的逆方向进行求解。
2017/6/29
动态规划的最优性原理： 作为整个过程的最优策略具有以下性质：无论过
分配用于n种产品。如何两种原料分别以xi和
yi为单位，收益为gi(xi， yi)，问应如何分配这
两种原料，使总收入最大？
max[ g1 ( x1 , y1 ) g n ( xn , yn )] x1 xn a y1 yn b xi , yi 0, 整数
： g i ui
i k n
最优值函数 f k sk ：第k阶段可分配的数量为sk时，
第k至第n个产品的最大总收入 建立递推公式：