浅谈主成分分析在SPSS中的操作应用
题目：浅谈主成分分析在SPSS中的操作应用
姓名：王震宇
指导老师：
学号：
浅谈主成分分析在SPSS中的操作应用
摘要：在各个领域的科学研究中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别分析每个指标，分析又可能是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。因此需要找到一个合理的方法，减少分析指标的同时，尽量减少原指标包含信息的损失，对所收集的资料作全面的分析。由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析就是这样一种降维的方法。
关键词：spss 主成分分析统计学
（一）主分成分析原理
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现再F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
（二）主成分分析数学模型
F1=a12ZX1+a22ZX2……+a p2ZX p
……
F p=a1m ZX1+a2m ZX2+……+a pm ZX p
其中a1i, a2i, ……,a pi(i=1,……,m)为X的协方差阵Σ的特征值多对应的特征向量，ZX1, ZX2, ……, ZXp是原始变量经过标准化处理的值，因为在实际应用中，往往存在指标的量纲不同，所以在计算之前须先消除量纲的影响，而将原始数据标准化，本文所采用的数据就存在量纲影响[注：本文指的数据标准化是指Z 标准化]。
A=(a ij)p×m=(a1,a2,…a m,)，Ra i=λi a i，R为相关系数矩阵，λi、a i是相应的特征值和单位特征向量,λ1≥λ2≥…≥λp≥0 。
（三）在城市经济效益的评价中，设计的指标往往很多。为了简化系统结构，抓住经济效益评价中的主要问题，我们可由原始数据矩阵出发求出主成分。表1是从《中国统计年鉴2007》摘录的省会城市和计划单列市主要经济指标(2006年)，其中样品数n=35,变量数p=5。
省会城市和计划单列市主要经济指标(2006年)
x4、x5、分别表示总人口，地区生产总值，工业增加值，客运量，货运量，并对原始数据进行标准化。标准化后的部分数据见图2
依次点选Analyze—Dimension Reduction—Factor，如图3
选择变量zx1,zx2,zx3,zx4……进入variables窗口中，如图4
点击descriptives按钮，在弹出的对话框中选择coefficient，回到原对话框中点ok
即可得到输出结果表2，表3，表4
由表2可以看出，前2个主成分解释了全部方差的89.586%，这说明前2个主成分代表原来的5个指标评价企业的经济效益已有足够的把握，起到了降维的作用。由表2得到前2个主成分y1，y2的线性组合为：
y1=0.725x1+0.903x2+0.875x3+0.604x4+0.936x5
y2=0.554x1-0.369x2-0.436x3+0.697x4-0.115x5
综合因子y1中，x2，x3，x5的系数远大于其他变量的系数，所以y1主要是地区生产总值、工业增加值、货运量这三个指标的综合反映，它代表经济效益的盈利能力方面第一主成分所占信息为66.947%，所以这三项指标是反映我国主要城市经济效益的主要指标。y2主要是客运量的综合反映，它标志着我国交通运输业的发展水品。
进行主成分得分操作：在factor analysis主对话框，点击下面scores，进入factor scores对话框，选中save as variables复选框，点击continue。分别用^y1，^y2作为
将这35个得分在平面直角坐标系上描出来，进而得到样品分类如图6
如图6可以看出，分布在第一象限的是南京、杭州、宁波、青岛、武汉、广州、重庆、成都8个城市，这8个城市的经济在全国来说比较好。分布在第二象限的是北京、天津、大连、上海、深圳5个城市。因为第四象限的主要特征是第一主成分，第一主成分占信息总量的比重最大，所以这5个城市的经济效益也比较好。分布在第二象限和第三象限的城市可属同一类，经济效益较差。
