倍角公式练习题

三角恒等变换化简练习题两角和公式 sin= sin= cos= cos= tan=tan= 倍角公式 tan2α= cos2α= sin2α=半角公式 sin= cos=tan=和差化积sinAcosB= cosAsinB= cosAcosB= -2sinAsinB=积化和差公式 sinαsinβ= cosαcosβ=sinαcosβ=万能公式sin= )/) cos= )/) tαn= )/)角函数公式两角和公式sin=sinΑcosB+cosΑsinB sin=sinΑcosB-sinBcosΑ cos=cosΑcosB-sinΑsinB cos=cosΑcosB+sinΑsinB tαn=/ tαn=/倍角公式cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；。

sin2??2sin?cos?；2tan?tan2??1?tan2?半角公式sin=/ cos=/ tαn=/和差化积2sinΑcosB=sin+sin cosΑsinB=sin-sin ) cosΑcosB=cos+cos -2sinΑsinB=cos-cos积化和差公式sinsin=—1/2*[cos-cos] coscos=1/2*[cos+cos] sincos=1/2*[sin+sin]1.三角函数式的化简降幂公式sin?cos??11?cos2?1?cos2?2sin2?；sin2??；cos??。

22 辅助角公式asinx?bcosx?sin?x?，其中sin??cos??。

2．在三角函数化简时注意：①能求出的值应求出值；②尽量使三角函数种类最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数；⑥必要时将1与sin2??cos2?进行替换化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等《三角恒等变换练习题》一、选择题1. 已知x?，cosx?45，则tan2x?Α.4B. ?7242424C.D. ?72. 函数y?3sinx?4cosx?5的最小正周期是Α.5B.2C. ?D. ?3. 在△ΑBC中，cosAcosB?sinAsinB，则△ABC为Α. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判定4. 设a?sin140?cos140，b?sin160?cos160，c?,则a,b,c大小关系Α. 周期为4的奇函数B. 周期为?4的偶函数C. 周期为?2的奇函数D. 周期为?2的偶函数6.已知cos2??sin4??cos4的值为Α.1318B. 11718C. D. ?1二、填空题1.求值：tan200tan400200tan400_____________.）2. 若1?tan?12008,则?tan2??.1?tan?cos2?3.已知sin4. ?ABC的三个内角为A、B、C，当A为时，cosA?2cos 值，且这个最大值为.三、解答题1. ① 已知sin??sin??sin??0,cos??cos??cos??0,求cos的值.②若sin??sin??2cos2那么sin?的值为,cos2?的值为.3B?C取得最大22,求cos??cos?的取值范围.21?cos2000?100sin10. 求值：02sin20三角恒等变换测试题第Ⅰ卷一．选择题 1.已知cos??1213,??，则cos?A.521 B.1771 C. D.2.若均?,?为锐角，sin??25,sin?35,则cos?? A. 5B. C.2255或D. ?5.?A. ?11 B. ? C. D.4.tan700tan500tan700tan500A.B.C. ?33D. ?5.2sin2?cos21?cos2cos2?A. tanB. tan2C. 1D.126.已知x为第三象限角，化简?cos2x?A.2sinx B. ?2sinx C.cosx D. ?2cosx 7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于45,则这个三角形底角的正弦值为A. ?6B.6C. ? D. ?5?6）9. 已知sin??cos??1，则sin2??1188A．? B．?C． D．229910.已知cos2??44cos??sin?的值为 A．11. 求cos4BC． D．192?3?4?5?coscoscos?111111111111A. B. C. 1 D. 022xx12.函数y?sin?的图像的一条对称轴方程是 22115?5??A．x?? B．x?C．x?? D．x??3333二．填空题cos13．已知?,?为锐角，cos??1,cos??15,则的值为14．在?ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x2?7x?2?0的两个实根，则tanC? 15.若sin3?4,cos，则角?的终边在象限．52516.代数式sin15ocos75o?cos15osin105o?三角恒等变换测试题2009-5-11一、选择题：；；三．解答题3517．△ABC中，已知cosA?,cosB?,求sinC的值．5133123,cos?,sin??,求sin2?．18．已知24135)19．已知α为第二象限角，且 sinα=的值． ,求4sin2??cos2??1sin,??,且tan?,tan，427求tan的值及角2．21．已知函数f?cos2xxcosx?1，x?R. 求证f的小正周期和最值；求这个函数的单调递增区间．《数学必修4》三角恒等变换测试题答案一、选择题二、填空题3?313、14、 ? 15、第四 16、42三、解答题3417.解:在?ABC中,cosA?,?sinA?555123又由sinB?,可得cosBsin2B??,?sinA??A?600若cosB??,?B?1200,这时A?B?1800不合题意舍去,故cosB?,13134123563sinCsinsinAcosBcosAsinB5135136519.解:?23?43?2454sin,cos135sin2sin[]sincoscossin3124556513513651?cos2x21?cos2x2sin2xcos2xsin4x?cos4x20.证明:左边222212cosxsinxsinxcosxsin2x41?cos4x222?2cos2x2右边1?cos4x1?cos4x1?cos4x23. 简单的三角恒等变换一、填空题1．若2．已知sinθ=－4．已知α为钝角、β为锐角且sinα=5．设5π＜θ＜6π，cos二、解答题6．化简7．求证：2sin²sin=cos2x．4Aa?cosB?b?a?b．．在△ABC中，已知cosA=，求证：a?ba?b?cosBtan22tan210．求sin15°，cos15°，tan15°的值．11．设－3π＜α＜－12．求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．cos5π，化简．213．求证：4sinθ²cos?=2sinθ+sin2θ．14．设25sin2x+sinx－24=0，x是第二象限角，求cos15．已知sinα=124?，sin=，α与β均为锐角，求cos． 135?x的值．参考答案一、填空题1． ?11?a7．．－34．．－522二、解答题6．解：原式=1?sin2??cos2? 1?sin2??cos2?1?2sin??cos1?2sin2??= 1?2sin??cos2cos? 2sin??cossin2?=2sin??cos??2cos?2sincos??sin??=cos??=tanθ．7．证明：左边=2sin²sin4ππ－x）²cos4π－2x） =cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边=1?2sin??cos? cos2??sin2?cos2??sin2??2sin??cos?= ?2===cos??sin? cos??sin?1?tan? 1?tan?=右边，原题得证．9．证明：∵cosA=∴1－cosA=1+cosA=∴a?cosB?b，a?b?cosB?，a?b?cosB?． a?b?cosB1?cosA?． ?1?cosA?2sin2A1?cosA?tan2A， ?而1?cosA2cos2B221?cosBB?tan2， 1?cosB2Atan2AB?a?b．∴tan22?²tan22，即Ba?btan2210．解：因为15°是第一象限的角，所以cos30213223842，2444sin15°=cos15°=1?cos30??21?32?2?3?8?4??6?2，2444tan15°=?cos30?=2－3． 1?cos30?11．解：∵－3π＜α＜－5π3π?5π?，∴－＜＜－，cos＜0．24??又由诱导公式得cos=－cosα，∴1?cos1?cos??=－cos． ?2??1?cos2?12．证明：左边=1+2cos2θ－cos2θ－cos2θ=2=右边．??2213．证明：左边=4sinθ²cos?=2sinθ²2cos?=2sinθ²=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．14．解：因为25sin2x+sinx－24=0，所以sinx=24或sinx=－1．5247，cosx=－．525又因为x是第二象限角，所以sinx=又x是第一或第三象限角，?cosxx??221?7=±3．5从而cos15．解：∵0＜α＜又∵0＜α＜π5，∴cosα=?sin2??． 132ππ，0＜β＜，2π，∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜∵sin＜sinα，∴α+β＜α不可能．故π3＜α+β＜π．∴cos=－．23541233??，1351365∴cosβ=cos［－α］=coscosα+sinsinα=－∵0＜β＜∴0＜π，?π＜．41?cos?765． ?265故cos。

三角函数的两角和差及倍角公式练习题一、选择题：1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝ ⎫⎭⎪232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ；7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=︒︒-︒+︒70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x +=。

三、解答题：11、求的值。

·︒︒+︒100csc 240tan 100sec12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+13、已知求的值。

cos ,sin cos 23544θθθ=+14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x·cos()αβ+的值。

答案：一、1、B2、D 提示: tan x = 3, 所求122sin x , 用万能公式。

3、B 提示: ()απαββπ+=+--⎛⎝ ⎫⎭⎪444、A 提示: 把x =π3代入5、B 提示: ∵cos(A + B ) > 0 ∴角C 为钝角。

倍角公式练习题倍角公式是学习三角函数中的重要内容，它可以用来求解一些特殊的三角函数值。

通过练习题的形式来巩固和应用倍角公式的知识，可以帮助我们更好地理解和掌握这一内容。

本文将给出一些关于倍角公式的练习题，并逐一解答，帮助读者更好地掌握倍角公式的应用。

1. 求解sin(2θ) = √3/2 的解θ。

解析：根据倍角公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)，将已知条件带入公式，得到2sin(θ)cos(θ) = √3/2。

可以将√3/2 写成sin(π/3) 的形式，即2sin(θ)cos(θ) = sin(π/3)。

由此可得sin(2θ) = sin(π/3)。

根据三角函数的周期性，sin(2θ) = sin(π/3) 的解为2θ = π/3 + 2kπ 或2θ = π - π/3 + 2kπ，其中 k 是整数。

化简得θ = π/6 + kπ 或θ = π/2 - π/6 + kπ，其中 k 是整数。

所以，求解sin(2θ) = √3/2 的解θ为θ = π/6 + kπ 或θ = π/2 - π/6 + kπ，其中 k 是整数。

2. 已知 cos(2α) = -1/4，求解cosα的值。

解析：根据倍角公式cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)，将已知条件带入公式，得到cos^2(α) - sin^2(α) = -1/4。

由此可得cos^2(α) = sin^2(α) - 1/4。

根据三角函数的平方和差公式，sin^2(α) - 1/4 = sin(2α)，将之前已知条件带入公式，得到sin^2(α) - 1/4 = -1/4。

化简得sin^2(α) = 0。

因此，sin(α) = 0。

根据三角函数的定义，sin(α) = 0 的解为α = kπ，其中 k 是整数。

利用cosα = ±√(1 - sin^2α)，可求解出cosα的两个解为cosα = ±1。

人教B版必修第三册《8.2.3 倍角公式》练习题(2) 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=6，c=4，sin B2=√33，则b=()A. 9B. 36C. 6√2D. 62.若z∈C且z=cosα+isinα，α∈R，则|z−3−4i|的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 63.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的始边为x轴正半轴，顶点为坐标原点，终边关于x轴对称，已知sinα=35，则cosβ=()A. 35B. −45C. ±35D. ±454.给出下列四个命题：①映射不一定是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射；②函数f(x)的反函数是y=log5x，则f(log515)=−1；③函数f(x)=sin(ωx+π4) (ω>0)在(π2,π)上递减，则ω的范围为[12,54]；④若α是第一象限的角，则α2也是第一象限的角．其中所有正确命题的序号是()A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④5.在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)=4cosB⋅sin2(π4+B2)+√3cos2B−2cosB，若f(B)=2，则角B为()A. π12B. π6C. π4D. π36.已知π4<α<3π4,0<β<π4,cos(π4−α)=35,sin(3π4+β)=513，则sin(α+β)=()A. −5665B. 5665C. −1665D. 16657.函数的最小正周期为()A. 4B. 2C.D.8.下列函数中，在区间(0,)上为增函数且以为周期的函数是()A. B. C. D.9.已知：，则A. 4B.C. 5D. 310.若点在函数的图像上，则=()A. 2B. 4C. 6D. 811.若α为第三象限角，则√1−sinα2的结果为()A. sinαB. −sinαC. cosαD. −cosα12.已知α，β∈(0,π)，tanα，tanβ是方程x2+4x+2=0的两根，则cos(α+β)的值是()A. √1717B. −√1717C. 45D. −45二、解答题（本大题共3小题，共36.0分）13.求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°；(2)sin220°+cos250°+sin20°cos50°．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2(A+B2)+3cos2C=3．(1)求cos C；(2)若B=π2，2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求tan∠ABM．15.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a≥b，sinA+√3cosA=2sinB．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若c=√3，求a+b的最大值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵a =6，c =4，sin B2=√33，∴cosB =1−2sin 2B2=1−2×(√33)2=13，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√36+16−2×6×4×13=6．故选：D ．由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos B 的值，根据余弦定理即可计算得解b 的值．本题主要考查了二倍角公式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵z =cosα+isinα，α∈R ， ∴|z −3−4i|=|(cosα−3)+(sinα−4)i| =√(cosα−3)2+(sinα−4)2 =√26−10sin(α+θ)，∴|z −3−4i|的最大值是√26+10=6， 故选D ．把z =cosα+isinα代入|z −3−4i|，利用三角恒等变换可求． 该题考查复数的模、三角恒等变换，属基础题．3.答案：D解析：解：由sinα=35，可得α的终边在第一或第二象限，β的终边在第三或第四象限，且cosβ=cosα． 若α的终边在第一象限，则β的终边在第四象限， ∵cosα=√1−sin 2α=45，∴cosβ=cosα=45．若α的终边在第二象限，则β的终边在第三象限， ∵cosα=−√1−sin 2α=−45，∴cosβ=cosα=−45． 综上可得，cosβ=cosα=±45， 故选：D ．根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，分类讨论求得cosβ的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.答案：A解析：解：对于选项：①映射不一定是函数，但函数一定是其定义域到值域的映射；正确． 对于选项②：函数f(x)的反函数是y =log 5x ，则：f(x)=5x ，则f(log 515)=15；故错误． 对于选项③：函数f(x)=sin(ωx +π4) (ω>0)在(π2,π)上递减， 故π2+2kπ≤ωx +π4≤3π2+2kπ，(k ∈Z) 整理得π4ω+2kπω≤x ≤5π4ω+2kπω，(k ∈Z)由于函数在(π2,π)上递减，故π4ω+2kπω≤π2<x <π≤5π4ω+2kπω，即：{π≤5π4ω+2kπωπ4ω+2kπω≤π2，解得ω的范围为[12,54]；故正确．对于选项④若α是第一象限的角，故则α2也是第一或第三象限的角，故错误． 故选：A ．直接利用函数的定义的应用，反函数的应用，正弦型函数的性质的应用，象限角的应用求出结果． 本题考查的知识要点：函数的定义的应用，反函数的应用，正弦型函数的性质的应用，象限角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：A解析：解：∵f(B)=4cosB1−cos(π2+B)2+√3cos2B −2cosB =2cosB(1+sinB)+√3cos2B −2cosB =sin2B +√3cos2B =2sin(2B +π3)=2， ∴sin(2B +π3)=1， ∵B ∈(0,π)，2B +π3∈(π3,7π3)，∴2B +π3=π2，∴B =π12． 故选：A ．先利用三角函数的和角公式、二倍角公式将原函数化成一个三角函数的形式，由f(B)=2得到sin(2B+π3)=1，结合B的范围，利用正弦函数的性质即可求解B的值．本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵π4<α<3π4,0<β<π4,cos(π4−α)=35,sin(3π4+β)=513，∴π4−α∈(−π2,0)，3π4+β∈(π2,π)，∴sin(π4−α)=√1−cos2(π4−α)=−45，cos(3π4+β)=−√1−sin2(3π4+β)=−1213，则sin(α+β)=sin[(3π4+β)−(π4−α)−π2]=−cos[(3π4+β)−(π4−α)]=−cos(3π4+β)cos(π4−α)−sin(3π4+β)sin(π4−α)=−1213⋅35−513⋅(−45)=−1665，故选：B．利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的余弦公式，求得sin(α+β)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．7.答案：C解析：试题分析：；；则，函数的周期.所以本题答案选．考点：1.诱导公式；2.正弦二倍角公式；3.三角函数的周期．8.答案：D解析：试题分析：A项的周期为；B项周期；C项在上是减函数；D项满足在区间(0,)上为增函数且以为周期考点：三角函数周期性单调性点评：函数，的周期为，的周期为9.答案：A解析：解析：本题考查同角三角函数的基本关系。

两角和、差及倍角公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·成都模拟)计算:sin 20°cos10°-cos 160°·sin 10°=( )A. B.- C.- D.【解析】选D.原式=sin 20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin 2θ= ( )A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sin θ+cos θ)=,两边平方得(1+sin 2θ)=,解得sin 2θ=-.3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sin αcos β=cos α(1+sin β),则( )A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.因为sin αcos β=cos α(1+sin β),所以sin(α-β)=cos α=sin,所以α-β=-α,即2α-β=.4.已知sin α=,sin=-,α,β均为锐角,则cos 2β=( )A.-B.-1C.0D.1【解析】选C.由题意知:cos α==,cos(α-β)==.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=.所以cos 2β=2cos2β-1=2×-1=0.【变式备选】已知cos α=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cos β的值为( )A.-B.C. D.-【解析】选 C.因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,故cos β= cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=.5.若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= ( )A. B. C. D.【解析】选 A.tanβ=tan[(α+β)-α]===.6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为( )A. B.- C.-1 D.1【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sin θ及cos θ的值,再用诱导公式及倍角公式求解.【解析】选B.由题意知sin θ=,cos θ=,故sin=cos2θ= cos2θ -sin2θ=-=-.7.(2018·郑州模拟)已知sin α+cos α=,则sin2=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为sin α+cos α=,所以1+2sin αcos α=,即2sin αcos α=-,因此sin2==(1-2sin αcos α)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·江苏高考)若tan=, 则tan α=__________ ____.【解析】tan α=tan===.答案:9.(2018·长沙模拟)已知P,Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P 点的纵坐标为,Q 点的横坐标为,则cos ∠POQ= __________.【解题指南】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin ∠xOP 和cos ∠xOQ 的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos ∠xOP 和sin ∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ )的值.【解析】由题意可得,sin ∠xOP=,cos ∠xOQ=,所以cos ∠xOP=,sin ∠xOQ=.所以cos ∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos ∠xOP ·cos ∠xOQ-sin ∠xOP ·sin ∠xOQ=×-×=-.答案:-10.(2018·青岛模拟)在锐角△ABC中,B>,sin =,cos =,则sin(A+B)=__________.【解析】因为sin=,所以cos=±,因为cos=-<-=cosπ,所以A+>⇒A>(舍),所以cos=,由cos=⇒sin=,所以sin(A+B)=sin=sin cos+cos sin=×+×=.答案:1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于( )A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=.①因为sin(α-β)=,所以sin αcos β-cos αsin β=.②①+②得sin αcos β=.②-①得cos αsin β=.==5.2.(5分)化简:·=________.【解析】原式=tan(90°-2α)·=··=··=. 答案:3.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α= cos 2α=,又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin 2α==,所以原式=cos 2αcos -sin 2αsin =×-×=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cos β的值.【解题指南】(1)根据α,β的范围,利用同角三角函数的基本关系求得sin(α-β)的值.(2)由(1)可得cos(α-β)的值,根据已知求出cos α的值,再由cos β= cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sin α=,所以cos α=.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=.5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM= ,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)由题意,OA=OM=1,因为S△OAM=和α为锐角,所以sin α=,cos α=.又点B的纵坐标是.所以sin β=,cos β=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=-.(2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2××=,所以2α∈.因为β∈,所以2α-β∈.因为sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,所以2α-β=-.。

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是A ．2B ．－2C ．211D ．-2112、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是A ．16B ．15C ．29D ．3103、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+A ．1318B ．322C ．1322D ．-13184、若f x x f (sin )cos ,=⎛⎝⎫⎭⎪232则等于A ．-12B ．-32C ．12D ．325、在∆ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形二、填空题：6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=；8、已知=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；12、的值。

，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 两角和与差练习题一、选择题：2．已知)2,0(πα∈,sin(6πα+)=53,则cos α的值为( )A ．－10334+ B ．10343- C ．10334- D ．10334+7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45 D.458.f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]解析：令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[―2,―1]∪(―1, 2)． 则f(x)＝t 2－121＋t ＝t －12∈[－2－12,―1]∪(―1, 2－12)．B9 .sin()cos()cos()θθθ+︒++︒-+︒7545315的值等于（ ） A. ±1B. 1C. -1D. 010．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是( ) A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]11、已知αβγ，，均为锐角，且1tan 2α=，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6Ｂ．π4Ｃ．π3Ｄ．5π412．已知α,β是锐角，sin α=x,cos β=y,cos(α+β)=－53，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=－5321x -+54x (53<x<1) B ．y=－5321x -+54x (0<x<1)C ．y=－5321x -－54x (0<x<53)D ．y=－5321x -－54x (0<x<1)13、若函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，则()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．2 C1 D2 15. 设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=016.若()1cos 3A B -=, 则()()22cos cos sin sin B A B A +++的值是（ ）A. 83-B . 83 C. 73D. 5317. 若()()17tan 411tan 4=-+βα,则()βα-tan 的值为（ ） A. 14 B. 12C . 4 D. 1218. 已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是 （ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a19．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21B ．22C ．22-D ．22±21．已知tan α,tan β是方程x 2+4=0的两根,且2π-<α<2π,2π-<β<2π,则α+β等于 （ ）A ．23π- B ．3π C ．3π或23π- D ．－3π或23π22．如果sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ）Ａ．m n m n -+ Ｂ．m nm n+- Ｃ．n mn m-+ Ｄ．n mn m+-23．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形24．在ABC ∆中,若3tan =C , 且()B B B A sin 120cos cos sin 0-=,则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B.等腰但非直角三角形C. 等腰直角三角形 D . 等边三角形25．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于126．在ABC △中，90C >，sin E C =，sin sin F A B =+，cos cos G A B =+，则E F G ，，之间的大小关系为（ ） Ａ．G F E >> Ｂ．E F G >>Ｃ．F E G >> Ｄ．F G E >>27.ABC ∆中，若135cos ,53in ==B A s ，则C cos 的值是（ ） Ａ。

三角函数公式汇总及练习题一、倍角公式1、Sin2A=2SinA*CosA2、Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-13、tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A））向左转|向右转二、降幂公式1、sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/22、2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/23、tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三、推导公式1、1tanα+cotα=2/sin2α2、tanα-cotα=-2cot2α3、1+cos2α=2cos^2α4、、4-cos2α=2sin^2α5、1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina四、两角和差1、1cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ2、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ3、sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ4、4tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)5、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、和差化积1、sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]2、sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]3、cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]4、cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]5、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)六、积化和差1、sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/22、sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/23、cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2七、诱导公式1、(-α)=-sinα、cos(-α)=cosα2、tan(—a)=-tanα、sin(π/2-α)=cosα、cos(π/2-α)=sinα、sin(π/2+α)=cosα3、3cos(π/2+α)=-sinα4、(π-α)=sinα、cos(π-α)=-cosα5、5tanA=sinA/cosA、tan（π/2＋α）＝－cotα、tan（π/2－α）＝cotα6、tan（π－α）＝－tanα、tan（π＋α）＝tanα八、锐角三角函数公式1、sinα=∠α的对边/斜边2、α=∠α的邻边/斜边3、tanα=∠α的对边/∠α的邻边4、cotα=∠α的邻边/∠α的对边例1下列说法中，正确的是[]A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角C.小于90°的角是锐角D.0°到90°的角是第一象限的角【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”.在角的概念推广以后，这些概念容易混淆.因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键.【解】第一象限的角可表示为{θ|k·360°<θ<90°+k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为{θ|0°<θ<90°｝，小于90°的角为{θ|θ<90°｝，0°到90°的角为{θ|0°≤θ<90°｝.因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B).例2(90°-α)分别是第几象限角?【分析】由sinα·cosα<0，所以α在二、四象限;由sin α·tanα<0，所以α在二、三象限.因此α为第二象限的角，然后由角α的【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，的角.(2)因为180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.(3)解法一：因为90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z)，所以-180°-k·360°<-α<-90°-k·360°(k∈Z).故-90°-k·360°<90°-α<-k·360°(k∈Z).因此90°-α是第四象限的角.。

第4课两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”．【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15︒︒=_________；（2）22cos15sin15︒-︒=_________；（3）22sin151︒-=；（4）22sin15cos15︒+︒=____1_____．2．已知3(,),sin25παπα∈=)4πα+=_________．3．求值：（1）1tan151tan15-︒=+︒_______；（2）5cos cos1212ππ=_________．4．求值：tan10tan2010tan20)︒⋅︒+︒+︒=____1____．5．已知tan32α=，则cosα=________．6．若cos2π2sin4αα=-⎛⎫-⎪⎝⎭，则cos sinαα+=_________．【范例解析】例1.求值：（1）sin40(tan10︒︒-；（2．分析：切化弦，通分．解：（1）原式=sin10sin40(cos10︒︒-︒=sin10sin40cos10︒-︒︒⋅︒2sin(1060)sin40cos10︒-︒=︒⋅︒2cos40sin40cos10︒=-︒⋅︒sin801cos10-︒==-︒．（2）cos10102sin401101cos10cos10︒+︒︒+︒=+==︒︒，5=︒．原式2sin402sin50sin802(sin50sin40)︒︒+︒⋅︒+︒=2==．1223217143－5412点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换． 例2.设4cos()5αβ-=-，12cos()13αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求c o s 2α，cos 2β．分析：2()()ααβαβ=-++， 2()()βαβαβ=+--． 解：由4cos()5αβ-=-，(,)2παβπ-∈，得3sin()5αβ-=，同理，可得5sin()13αβ+=-33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-，同理，得63cos 265β=-．点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：2()()ααβαβ=-++，2()()βαβαβ=+--等． 例3.若3cos()45x π+=，177124x ππ<<，求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．分析一：()44x x ππ=+-． 解法一：177124x ππ<< ，5234x πππ∴<+<，又3cos()45x π+=，4sin()45x π∴+=-，4tan()43x π+=-．cos cos[()]4410x x ππ=+-=-，sin 10x ∴=-，tan 7x =．所以，原式=22((2(281010101775⨯-⨯-+⨯-=--．分析二：22()42x x ππ=+-．解法二：原式=sin 2sin 2tan 1tan x x xx+⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x xπ+==⋅+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=，所以，原式7428()25375=⋅-=-．点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路． 例4.已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π．(Ⅰ)求α2tan 的值；（Ⅱ）求β.分析：()βααβ=--.解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin 7α===∴sin 7tan cos 71ααα===(22tan tan 21tan 471ααα===--- （Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin 14αβ-===由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317147142=⨯+=所以3πβ=.点评：求角一般先求角的某一三角函数值以此来确定角，但根据三角函数值定角往往不唯一，要注意利用三角函数值来缩小角的范围. 【反馈演练】 1．设)2,0(πα∈，若3sin 5α=，则)4cos(2πα+=__________．2．已知tan 2α=2，则tanα的值为_______，tan ()4πα+的值为___________ ．3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =___________． 4．若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ= ．5．求值：11sin 20tan 40-=︒︒． 6．已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=__________． 7．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2α=______．8．若1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈，(,)2παβπ+∈，则β=________.5143- 17- 97-125665- 43- 3π9．已知tan 2θ=-2πθπ<<，则22cossin 12)4θθπθ--=+10．已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 解：().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 4cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα 从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=παπαπαα， 4cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα 11．已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：(Ⅰ)由110tan tan 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求．（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-==6-．12．已知在△ABC 中，sin A （sin B ＋cos B ）－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小．解法一： 由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得.0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A3+所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为),,0(π∈B 所以0sin ≠B ，从而.sin cos A A = 由),,0(π∈A 知.4π=A 从而π43=+C B .由.0)43(2cos sin 02cos sin =-+=+B B C B π得 即.0cos sin 2sin .02sin sin =-=-B B B B B 亦即由此得.125,3,21cos ππ===C B B 所以,4π=A .125,3ππ==C B解法二：由).223sin(2cos sin 02cos sin C C B C B -=-==+π得由B <0，C π<，所以.22223ππ-=-=C B C B 或即.22232ππ=-=+B C C B 或由0sin )cos (sin sin =-+C B B A 得 .0)sin(cos sin sin sin =+-+B A B A B A 所以.0sin cos cos sin cos sin sin sin =--+B A B A B A B A 即.0)cos (sin sin =-A A B 因为0sin ≠B ，所以.sin cos A A =由.4),,0(ππ=∈A A 知从而π43=+C B ，知B+2C=23π不合要求.再由π212=-B C ，得.125,3ππ==C B 所以,4π=A .125,3ππ==C B。

三角函数的倍角和半角公式三角函数中的倍角和半角公式，那可是数学世界里相当有趣又实用的家伙们！咱们先来说说倍角公式。

sin2α = 2sinαcosα，cos2α = cos²α - sin²α =2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α，tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)。

这些公式看起来有点复杂，但只要咱们好好理解，就会发现它们其实就像咱们熟悉的好朋友。

记得我以前教过一个学生小明，他一开始对这些公式那叫一个头疼。

有一次上课，我出了一道题：已知sinα = 3/5，α是锐角，求sin2α 的值。

小明瞪着题目，一脸茫然。

我就引导他，先根据sinα 求出cosα，然后再用倍角公式。

我一步一步地带着他算，最后得出了答案。

从那以后，小明像是突然开了窍，对倍角公式不再害怕了。

再说说半角公式，sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2 ，cos²(α/2) = (1 + cosα) / 2 ，tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] 。

这些公式在解决一些复杂的三角问题时，往往能起到意想不到的效果。

就像有一次考试，有一道题是求一个角的半角的正弦值。

好多同学都被难住了，但平时认真掌握了半角公式的同学就轻松地做出来了。

其实啊，倍角和半角公式就像是数学大厦里的一块块基石，虽然它们本身可能不起眼，但组合起来就能构建出各种复杂而美妙的数学结构。

比如说在解决几何问题中，如果遇到角度之间的倍数或者半倍关系，这时候倍角和半角公式就能大显身手啦。

想象一下一个三角形，其中一个角是另一个角的两倍，我们就可以通过这些公式找到它们之间的关系，从而求出未知的角度或者边长。

在物理中，当研究波动、振动这些现象时，也常常会用到三角函数的倍角和半角公式。

比如声波的传播，电磁波的变化，都离不开这些公式的帮助。

高一数学033 高一 年级 8 班 教师 方雄飞 学生课题 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式学习目标 ①能够以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；②通过对公式的基本应用，熟悉公式的结构； ③特别注意余弦的两倍角公式及其变式。

重点难点： 二倍角公式以及应用 一 复习βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+二 新课学习 公式推导： ①sin2α=②cos2α=思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ tan2α=注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈倍角公式的逆向表示：三 例题分析 例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．练习、已知cos 8α=-45，8π＜α＜12π，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值。

例2 在△ABC 中，54cos =A ，。

B A B 的值求)22tan(,2tan +=练习(1)已知的值求)2tan(,31tan ,71tan βαβα+==(2)sin （α-π）=35， 求cos2α的值。

四 课堂小结五 课后作业 一、选择题1．已知x ∈(－π2,0)，cosx ＝45，则tan2x 等于 ( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247 2、已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-3、=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ）A. αtanB. αtan2C. 1D. 21二、填空题 1.化简：（1）（sin α+cos α）²= （2）4cos θ-4sin θ=（3）sinxcosxcos2x= （4）111tan 1tan θθ--+= （5=2、cos10cos80sin 20⋅=. 3、若tan 2α=，则tan α= ；sin 2cos2αα-= .4．已知0cos 2sin 3=+x x , 则x 2tan =_______. 5. 若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ， 则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = . 6. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x ) = .三、解答题 1.已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．（先化到最易计算形式再求值）2.（1）已知cos ψ=-3，180°＜ψ＜270°，求sin2ψ，cos2ψ，tan2ψ的值； （2）已知等腰三角形一个底角的正弦值为513，求这个三角形的顶角的正弦、余弦、正切值.3.（1）已知cos （α+β）cos β+sin （α+β）sin β=13，且α∈（32π，2π），求cos （2α+4π）； （2）已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π3)的值．4．（1）已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin β=2αβ+；（2）已知11tan()tan 27αββ-==-，，(0)αβπ∈且，，，求2αβ-的值.。

半角与倍角公式在我们的数学世界里，半角与倍角公式就像是神秘的魔法咒语，虽然它们看起来有些复杂，但一旦掌握，就能为我们解决很多难题，打开神奇的数学大门。

还记得我上高中那会，有一次数学考试，最后一道大题就是关于半角与倍角公式的应用。

当时我瞅着那道题，心里就有点打鼓。

题目说：已知角α的正弦值为 3/5，且α在第一象限，求α/2 的余弦值。

我深吸一口气，开始在草稿纸上写写画画。

先根据已知条件，利用三角函数的平方关系算出α的余弦值是 4/5 。

然后呢，就该轮到半角公式登场啦。

半角的余弦公式是：cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2] 。

因为α/2也在第一象限，所以取正号。

把cosα = 4/5 代入公式，经过一番计算，终于算出了答案。

当我算出结果的那一刻，心里那叫一个美，就好像攻克了一座坚固的城堡。

咱们先来说说半角公式。

半角公式包括正弦、余弦和正切的半角公式。

就拿正弦的半角公式来说吧，sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2] 。

这里为啥有个正负号呢？这就得看角所在的象限啦，如果在第一、二象限就是正的，如果在第三、四象限就是负的。

可别小瞧这个正负号，一不小心就容易出错哟！再看看余弦的半角公式，cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2] 。

同样要注意正负号的判断。

还有正切的半角公式，tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)] 或者tan(α/2) = (1 - cosα) / sinα 或者tan(α/2) = sinα / (1 + cosα) 。

是不是感觉有点眼花缭乱？别慌，多做几道题，熟练了就好。

说完半角公式，咱们再来聊聊倍角公式。

倍角公式那也是相当重要的。

比如正弦的倍角公式sin2α = 2sinαcosα 。

想象一下，一个角变成了它的两倍，正弦值也跟着有了新的变化。

余弦的倍角公式就有三种形式：cos2α = cos²α - sin²α ，cos2α =2cos²α - 1 ，cos2α = 1 - 2sin²α 。

九倍角公式九倍角公式，这可真是个有点让人“头疼”但又超级有趣的数学话题。

咱先来说说啥是九倍角公式。

简单来讲，就是用一个角的度数乘以九之后，得出的新角的三角函数值的表达式。

这玩意儿在数学的世界里，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开很多复杂的难题。

记得我当年上学的时候，有一次数学考试，就有一道关于九倍角公式的难题。

那道题啊，乍一看，简直让人摸不着头脑。

题目是这样的：已知一个角的正弦值为 0.5，求它的九倍角的余弦值。

当时我那小心肝儿，“扑通扑通”直跳，心里想着：“这可咋办呀？” 不过，我深吸一口气，告诉自己别慌。

我先把九倍角公式在草稿纸上写了一遍又一遍，然后开始慢慢推导。

我从最基本的三角函数关系入手，一点点地去凑，去变形。

周围的同学有的抓耳挠腮，有的眉头紧锁。

而我呢，全神贯注，仿佛整个世界就只剩下我和这道题。

时间一分一秒过去，我的手心都出汗了。

就在考试快结束的时候，我突然灵光一闪，找到了思路！我赶紧把答案写下来，交卷的时候，心里还是七上八下的。

后来成绩出来，这道题我居然做对了！那种成就感，简直无法形容。

从那以后，我对九倍角公式就有了更深的感情，也不再觉得它那么可怕了。

再来说说九倍角公式在实际生活中的应用。

也许有人会觉得，这东西太抽象，跟生活没啥关系。

其实不然！比如说，在建筑设计中，如果要计算一个复杂结构的角度和受力情况，九倍角公式就可能派上用场。

还有在物理学中，研究波动现象的时候，也可能会用到它。

要掌握九倍角公式，可不是一件容易的事儿。

得下苦功夫，多做练习题，多推导。

不能光死记硬背公式，得理解它背后的原理。

比如说，为什么会有这样的公式，是怎么推导出来的。

总之，九倍角公式虽然有点难，但只要咱们用心去学，多琢磨，多练习，就一定能把它拿下！就像我当年攻克那道考试难题一样，只要不放弃，总会找到解决的办法。

希望大家在学习九倍角公式的道路上，都能顺顺利利，收获满满！。

tan两倍角公式在我们的数学世界里，tan 两倍角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开许多难题的大门。

还记得我读高中那会，有一次数学考试，最后一道大题就用到了tan 两倍角公式。

当时我看到那道题，心里“咯噔”一下，感觉有点紧张。

题目是这样的：已知角α的正切值为 1/2，求tan2α的值。

我深吸一口气，告诉自己别慌，先在草稿纸上把 tan 两倍角公式写出来：tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。

然后把已知条件里角α的正切值 1/2代入公式，得到：tan2α = 2×(1/2) / (1 - (1/2)²) 。

接下来就是计算啦，算着算着，我手心都出汗了，就怕算错。

一步一步仔细算下来，最终得出答案是4 / 3 。

当考试结束铃声响起的时候，我终于算出了答案，心里那块大石头才算落了地。

从那以后，我对 tan 两倍角公式的印象那叫一个深刻。

咱们来说说 tan 两倍角公式本身哈。

它的表达式是tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) 。

这个公式看起来好像有点复杂，但是只要多做几道题，多练练，就能熟练掌握啦。

比如说，给你一个角的度数，让你求它两倍角的正切值。

这时候，tan 两倍角公式就能大显身手。

你先求出这个角的正切值，然后直接代入公式，就能轻松算出两倍角的正切值。

再比如，在解决一些三角函数的证明题时，也经常会用到这个公式。

通过巧妙地变形和代换，就能把复杂的式子化简，最终得出证明。

在实际应用中，tan 两倍角公式还能和其他的三角函数公式结合起来使用。

比如说，和正弦、余弦的两倍角公式一起，解决那些更复杂的综合问题。

总之，tan 两倍角公式虽然只是三角函数众多公式中的一个，但它的作用可不容小觑。

只要我们用心去学，多做练习，就能掌握好它，让它成为我们解决数学问题的得力助手。

所以啊，同学们，可别小看这个公式，好好学，好好用，相信它会给你们的数学学习带来不少帮助的！。

1．若[]0,q p Î，3cos 4q =，则tan 2q =（）A ．7 B B．．17C C．．7D 7 D．．772．已知a 为第二象限角，54sin =a ，则=-)2sin(a p A ．2425- B B．．2425 C C．．1225 D D．．1225-3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上则cos 2θ等于（）A ．－54B B．－．－53C C．．53D D．．544．已知1sin cos 3a a +=，则sin 2a =（）A ．89-B B．．21-C C．．21D D．．895．已知),0(p a Î，且1sin cos 2a a +=，则a 2cos 的值为（）A ．47±B B．．47C C．．47-D D．．43-6．【原创】在△【原创】在△ABC ABC 中，若sin sin（（A+B-C A+B-C））=sin =sin（（A-B+C A-B+C）），则△，则△ABC ABC 必是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰或直角三角形（D ）等腰直角三角形7．【原创】x y 2sin 2=的值域是（）A ．[－2，2]B 2] B．．[0[0，，2]C 2] C．．[－2，0]D 0] D．．R8．x f(x)=cos ,2则下列等式成立的是（）（A ）)()2(x f x f =-p （B ）)()2(x f x f =+p （C ）)()(x f x f -=-（D ）)()(x f x f =-9．已知3tan 5a =-，则sin2=a （）A.1517B.1517-C.817- D.8171010．已知．已知35,,cos ,tan 225p a p a a æöÎ=-ç÷èø = =（（）A ．43B B．．-43 C C．．2- D D．．21111．若．若sin cos 2sin cos q qq q +=-则sin 2q =（）A ．1B 1 B．．3C 3 C．．12D D．．351212．已知．已知,41)4cos()43sin(-=--p p x x 则x 4cos 的值等于（的值等于（ ）） A. 14 B. 42 C. 21 D. 221313．若．若(0,)a p Î，且1cos sin 3a a +=-，则cos2a =（ ）） （A ）917 （（B ）179± （（C ）179- （（D ）317 1414．已知．已知a 是第二象限角，且3sin()5p a +=-，则tan 2a 的值为（的值为（ ）） A ．54 B B．．723- C C．．724- D D．．3- 1515．已知．已知41)4sin(=-x p ，则x 2sin 的值为（的值为（）） A ．87 B B．．169 C C．．1615 D D．．1615±1616．已知．已知33)6cos(-=-p x ，则=-+)3cos(cos p x x ．． 1717．已知．已知1sin cos 2a a =+，且0,2p a æöÎç÷èø，则cos 2sin 4a p a æö-ç÷èø的值为的值为 ．． 1818．函数．函数2324cos2x y x =-+在区间[0,]2p 上的最大值是上的最大值是 ．． 1919．若．若3sin()25p a +=，则cos2a = ．． 2020．若．若2sin cos q q =，则cos2sin 2q q +的值等于的值等于_________________________________2121．已知．已知1tan 2a =，则sin 2a = ．． 2222．若．若3tan =a ，则=a 2sin ．．2323．若．若tan α＝2，则sin α·cos α的值为的值为 ．．2424．函数．函数π()sin 22cos()4f x x x =++的最大值是的最大值是 ．．2525．函数．函数sin()sin 24y x x p =+-()x ÎR 的最大值是的最大值是 ．． 2626．已知函数．已知函数log (1)3a y x =-+，(0a >且1)a ¹的图象恒过点P ，若角a 的终边经过点P ，则2sin sin 2a a -的值等于的值等于_____________________．．2727．①存在．①存在)2,0(p a Î使31cos sin =+a a ；②存在区间(,)a b 使x y cos =为减函数而sin 0x <；③x y tan =在其定义域内为增函数；④)2sin(2cos x x y -+=p 既有最大、最小值，又是偶函数；又是偶函数；⑤|62|sin p +=x y 最小正周期为p， 以上命题错误的为以上命题错误的为以上命题错误的为____________________________________。

教材习题点拨练习A1．(1)错误!；(2)错误!;（3）错误!；（4）－错误!；(5)1;(6）错误!。

2．由cos α＝－1213,α∈错误!，解得sin α＝错误!，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×错误!2－1＝错误!。

(由cos 2α＝1－2sin2α也可以求得）sin 2α＝2sin αcos α＝2×错误!×错误!＝－错误!。

3．因为tan α＝错误!,所以tan 2α＝错误!＝错误!＝错误!，cot 2α＝错误!＝错误!。

4．y＝cos2x－sin2x＝cos 2x,则该函数的周期是π，最大值是1，最小值是－1。

练习B1．（1)(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α；(2)sin错误!cos错误!＝错误!sin θ；(3)cos4φ－sin4φ＝（cos2φ－sin2φ）(cos2φ＋sin2φ）＝cos 2φ；(4）错误!－错误!＝错误!＝tan 2θ.2．因为cos(α－β）＝－错误!，而且α－β＝错误!,所以sin(α－β）＝错误!.因为cos(α＋β)＝错误!,而且α＋β∈错误!，所以sin(α＋β)＝－错误!. 所以cos 2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos （α＋β）cos(α－β）－sin （α＋β）·sin(α－β）＝－错误!。

3．原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝错误!＝错误!＝错误!。

4．设∠AOC ＝θ,θ∈(0°，60°)．OC ＝1，OF ＝cos θ，CF ＝sin θ，OE ＝错误!＝错误!＝错误!，EF ＝OF －OE ＝cos θ－错误!。