小学六年级培优教程工程问题

科技改变学习 2020小升初专题练习乙轮流做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为V 1和V 2，那么=+V V V 21121，所以=V V 212，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要÷=1728.5天．2、一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？ ⎝⎭⎪÷+=÷=⎛⎫12183651171151（小时）． ②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ ⎝⎭⎪−⨯+=−=⎛⎫1218363617111351． ③余下的361由甲独做需要多少小时？ ÷=36123111（小时）． ④共用了多少小时？ ⨯+=33721411（小时）．3、蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有61的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：−+−=34566011117，循环5次后水池还空：−−⨯=660415171，41的工作量由甲管注水需要：÷=434113(小时)，所以经过⨯+=44452033小时后水开始溢出水池．六年级上册培优工程问题专项练习及解析1、一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？【解析】甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、。

18.工程问题知识要点梳理一、基本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。

（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。

（3）工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1”。

二、基本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。

（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。

三、基本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（）天完成。

【精析】根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】 把这件工作总量看作单位“1”， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6（天）【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

第10讲 工程问题了解工作量、工作时间及工作效率的意思；能够从题目中找出工作量、工作时间及工作效率；理解三者之间的关系，并用三者关系解题。

工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。

然而其内容已不仅是工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面。

工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式： 工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。

例如，工程的一半表示成12，工程的三分之一表示成13。

工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。

工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。

但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。

工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。

在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。

知识梳理教学目标考点一：用“组合法”解工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径例1、一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的7 30，乙队单独完成全部工程需要几天？【解析】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队或乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730－115×3＝130，从而求出甲队的工作效率。

第十课 工程问题 二一、真题练习1、 一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工作效率是甲的2倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？2、 一项工程，甲队独做要20天完成，乙队独做要5天能完成全工程的61。

现由两队合做，多少天可以完成？3、 修一条水渠，甲队3天可以修全长的101，乙队单独修20天可以修完，如果两队合修，多少天可以修完？4、 一条公路长1500米，单独修好甲要15天，乙要10天，两队合修需几天才能完成？5、 师徒共同完成一件工作，徒弟独做20天完成，比师傅多用4天完成，如果师徒合作需几天完成？二、能力提升解题思路：1、有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

2、周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。

解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。

其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

（一）例题讲解例1、甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。

中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。

如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？解析：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。

由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4。

得出甲需要3÷[（10-8）÷8]=12（天）例2、一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。

若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 解析：此为周期工程问题。

1个周期中甲、乙分别工作1小时，周期效率为)181121(+，13617)181121( =+÷，即7个完整的工作周期后，还剩361，而后轮到甲继续做，用了31121361=÷小时。

第五讲工程问题(1)一、训练目标知识传递：明确单位“1”，及工作时间、工作效率、工作总量的关系。

能力强化：分析能力、综合能力。

思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。

二、知识与方法归纳解答工程问题，首先要明确把什么看作单位“1”，再找出完成这个单位“1”的量所需要的时间，从而直接得到“工作效率”。

把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等等这些没有告诉具体数量的工作量看作单位“1”，几天完成，也就是把这个单位“1”平均分成几份，每天完成几分之几，也就是工作效率。

在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量”这个关系。

运用常用的数学思想及解题方法，如：假设法、转换法、代换法、列举法等来解答工程问题，只要恰当地选择解题方法，很多问题就迎刃而解了。

三、经典例题例1：一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。

①甲队每天完成这项工程的( )( )，乙队每天完成这项工程的( )( )。

②甲、乙两队合做，每天完成这项工程( ) ( )。

③甲、乙合做，（）天可以完成这项工程。

④甲、乙合做4天后，还剩下全工程的( ) ( )。

例2：打扫多功能教室，甲组同学13小时可以打扫完，乙组同学14小时可以打扫完，如果甲、乙合做，多少小时能打扫完整个教室？解：答：甲、乙合做，小时能打扫完整个教室。

例3：一批布料，做上衣可以做20件，如果做裤子可以做30条，这批布料可以做多少套衣服？解：答：这批布料可以做套衣服。

例4：打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的13，乙接着又打了2小时，又打了这份稿件的14，剩余的甲乙共同打，还需几小时？解：答：剩余的甲乙共同打，还需小时。

例5：一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。

这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲乙两人各做了多少天？解：答：甲做了天，乙做了天。

例6：修一段公路，甲队单独做要用40天，乙队单独做要用24天。

第5讲 工程问题【学习目标】1、复习工程问题；2、熟悉小升初的常见题型。

【知识梳理】1、基础公式：（1）工作量=工作效率×工作时间；（2）工作时间=工作量÷工作效率；（3）工作效率=工作量÷工作时间。

2、常用方法：（1）分工法；（2）比例法。

【典例精析】1、修一条公路，计划每天修60米，实际每天多修15米，结果提前4天修完，一共修了多少米？2、有一批零件由甲、乙两人合作完成，原计划甲比乙多做50个，结果乙实际做的比计划少70个，比甲实际做的总数的53多10个，这批零件共有多少个？3、一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成。

现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过27天才完成。

甲休息了多少天？4、单独完成某路段维修工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。

开始三个队一起开工，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。

问：甲队实际工作了几天？5、加工一批零件，甲、乙两人合作需要12天完成，现在由甲先做3天，然后由乙做2天，还6、加工一批服装，原计划甲、乙两车间在25天合作完成，甲、乙合作10天后，甲单独做8天，接着乙又单独做14天，这样共完成全部任务的81%,已知甲比乙每天多做10套，求计划加工多少套服装？7、甲、乙、丙合作一项工程，4天干了整个工程的31,这4天内，除丙外，甲休息了2天，乙休息了3天，之后三人合作完成，甲的效率是丙的3倍，乙的效率是丙的2倍，问工程前后一共用了多少天？8、甲、乙、丙三人去完成植树任务，已知甲植1棵树的时间，乙可以植2棵树，丙可以植3棵树，他们先一起工作了5天，完成全部任务的31,然后丙休息了8天，乙休息了3天，甲没休息，最后一起完成任务。

从开始植树算起，共用了多少天才完成任务？9、甲、乙、丙三人合着做一项工程，甲、乙合作6天完成31,乙、丙合作2天完成余下工程的41,剩下的再由甲、乙、丙三人合作5天完成，共领工程款18000元，按工作量分配，甲应得多少元？10、一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由甲、丙合作需要12天完成。

工程问题（一）（A 版）第二大课时自主学习一例3:移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的1611没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。

共要移栽西红柿苗多少棵？思路导航：把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥哥、弟弟合栽了1 小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。

随堂练习1、加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。

先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的53，已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。

这批零件共有多少个？2、修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。

先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的103没有修。

已知甲队每天比乙队多修20米。

这条公路全长多少米？3、修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。

两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。

这段公路全长多少米？自主学习二例4:一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。

如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的32;如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的2小时。

如果由甲、丙合做，需几小时完成？思路导航：将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的32”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的32,则求出甲的工作效率。

同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。

变式练习1、一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。

如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的1813;如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的1811。

这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？1、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。

现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。

乙独做这项工程要几天就可以完成？达标检测1、加工一批零件，甲单独做要6小时完成，乙单独做要8小时完成，丙单独做要10小完成。

六年级下册数学教学设计-同步培优：6.1简单的工程问题北师大版一、教学目标本课时的主要教学目标是让学生掌握简单的工程问题的解法方法，理解工程问题涉及的基本概念，掌握常见的单位换算方法，提高学生对数学应用的认知和理解能力，同时培养学生合作学习的意识。

二、教学内容1. 工程问题的定义工程问题是指在工程实践中出现的、需要用数学方法解决的问题。

如：土方开挖、混凝土浇筑、建筑面积计算等。

2. 工程问题的求解方法(1) 加减法在工程问题中，往往需要进行加减法运算。

如：某个工地的土方总量为1200立方米，目前已挖出800立方米，求还需挖多少。

(2) 乘除法在工程问题中，往往需要进行乘除法运算。

如：某地的污水回用率为80%，如果清理过程损耗12%，则实际回用率为多少？(3) 常见单位换算在工程问题中，常见的单位有：长度(unit: 米m、分米dm、厘米cm、毫米mm)、面积(unit: 平方米m²、平方分米dm²、平方厘米cm²)、体积(unit: 立方米m³、立方分米dm³、立方厘米cm³)、重量(unit: 千克kg、克g、毫克mg)等。

3. 实例分析通过实例分析工程问题的解法，帮助学生更好地理解和掌握工程问题的求解方法。

如：某个工地需要用10立方米的水泥浆，每袋水泥浆可以制作0.05立方米，需要购买多少袋水泥浆？三、教学过程1. 导入新知识通过引导学生讨论工程问题的定义，了解工程问题在实际生活中的应用价值，引起学生学习工程问题的兴趣。

2. 知识讲解通过演示教学、白板授课等方式，讲解工程问题的求解方法、常见单位换算，并通过具体实例进行讲解。

3. 练习与评价组织学生进行小组合作，完成练习题并相互核对。

布置课后作业，把学生对所学新知识的掌握情况进行检验。

四、教学反思本课时的教与学结合，利用实例讲解使得学生能够大量接触典型问题，通过练习题和课后作业，学生的知识点掌握情况逐步得到了提高。