一维非稳态导热问题的数值解

一维非稳态导热圆柱体 matlab导热是物体中传热作用的一种。

热传导是指物质内部热量的传递及传递机制，描述的是能量（热量）在空间和时间上的传输。

而非稳态导热是指物体内部温度场和热流密度随时间和空间的发展过程。

一维非稳态导热问题是指导热物理学中，只考虑热量沿一个方向传导的问题。

圆柱体是一种常见的几何体，因其在工程领域的广泛应用，研究圆柱体的导热问题具有重要意义。

在研究一维非稳态导热圆柱体问题时，matlab是一种常用的数学软件，其强大的数学运算和可视化功能使得它成为了工程热传导问题求解的重要工具。

通过使用matlab，可以方便地求解一维非稳态导热圆柱体问题，并进行可视化展示。

下面我们将通过matlab来求解一维非稳态导热圆柱体问题，并对结果进行分析。

1. 问题建模假设圆柱体材料均匀，热传导系数为k，密度为ρ，比热容为c。

设圆柱体半径为R，长度为L。

假设圆柱体表面维持恒定的温度T0，初始时刻整个圆柱体的温度场分布为T(x,0) = f(x)，其中f(x)为已知函数。

根据热传导方程，我们可以得到一维非稳态导热圆柱体的数学模型。

2. 热传导方程根据一维热传导方程，我们可以得到圆柱体内部温度场满足的偏微分方程：ρc∂T/∂t = k∇²T3. 离散化为了利用计算机进行求解，我们需要将偏微分方程进行离散化处理。

这里我们可以使用有限差分法（finite difference method）对空间和时间进行离散化。

将圆柱体划分为若干个网格点，并采用显式差分法进行时间推进，就可以得到圆柱体温度场随时间的演化过程。

4. matlab求解在matlab中，我们可以编写程序来实现离散化求解。

首先可以定义圆柱体以及热传导材料的参数，然后通过循环计算每个时间步长内圆柱体温度场的演化，最终得到温度在空间和时间上的分布情况。

借助matlab强大的可视化功能，我们可以直观地展示圆柱体温度场的变化过程。

5. 结果分析得到圆柱体温度场的数值解之后，我们可以对结果进行分析。

传热学C 程序源 二维稳态导热的数值计算2.1物理问题一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。

2.2 数学描述对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T0x y∂∂+=∂∂x=0，T=T 1=0x=1，T=T 1=0 y=0，T=T 1=0 y=1，T=T 2=1该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=⎛⎫⋅ ⎪---⎛⎫⎝⎭=⋅ ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭∑2.3数值离散2.3.1区域离散区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。

2.3.2方程的离散对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i jt t x y ⎛⎫⎛⎫∂∂+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭用I,j节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得：+1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i ji j i j i j T T T T T T x y --+=上式整理成迭代形式：()()22,1,-1,,1,-12222+2()2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N-1)，(j=2,3……,M-1)补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M) ,1N j T T = (j=1,2,3……,M) ,1i j T T = (i=1,2,3……,N),2i M T T (i=1,2,3……,N)#include<stdio.h> #include<math.h> #define N 10 #define K 11 main() {int i,j,l; float cha;float a,x,y,Fo,Bi; float t[N][K],b[N][K]; /*打印出题目*/printf("\t\t\t 一维非稳态导热问题\t\t"); printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n"); printf("\n 题目：补充材料练习题三\n");y=1;/*y 代表Δτ*/ x=0.05/(N-1);a=34.89/(7800*712); Fo=(a*y)/(x*x); Bi=233*x/34.89;printf("\n 显示格式条件:");printf("\n1、Fo=%3.1f<0.5\t",Fo);printf("\t2、1-2Fo*Bi-2Fo=%4.2f>0\n\n",1-2*Fo*Bi-2*Fo); /*时刻为零时，赋予初场温度*/ for(i=0;i<N;i++) t[i][0]=1000;/*循环开始，每次计算一个时刻*/ for(j=0;j<K-1;j++) {for(i=0;i<N;i++) b[i][j]=t[i][j];/*下面对每一个时刻进行迭代求解对应的温度分布，公式按传热学课本P178页公式*/cha=1;while(cha>0.001) {for(i=0;i<N-1;i++){if(i==0)t[i][j+1]=Fo*(t[i+1][j]+t[i+1][j])+(1-2*Fo)*t[i][j];/*当计算t[0]时，要用到t[-1],其中t[-1]=t[2]的(对称分布)*/elset[i][j+1]=Fo*(t[i+1][j]+t[i-1][j])+(1-2*Fo)*t[i][j];t[N-1][j+1]=t[N-2][j]*(1-2*Fo*Bi-2*Fo)+2*Fo*t[N-1][j]+2*Fo*Bi*20;/*边界点温度用热平衡法推导出公式*/}cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+abs(t[i][j]-b[i][j]);cha=cha/N;}}/*输出温度分布，其中l控制输出值的排列;这个结果是横轴为x，纵轴为τ的直角坐标下从左上角开始依次的*/printf("\n经数值离散计算的温度分布为：\n");l=0;for(j=K-1;j>=0;j--)for(i=0;i<N;i++){if(t[i][j]>999.99)printf("%6.1f ",t[i][j]);elseprintf("%6.2f ",t[i][j]);l=l+1;if(l==N){printf("\n");l=0;}}getchar();/*为了是生成的exe文件结果算的后不会立即退出，方便观看*/}。

数值传热学一维非稳态导热
数值传热学一维非稳态导热是一个拟表达热量输运多方面考虑下的相关分析技术，例如光斑热传递，带有间断层热传导，恒定物质热传导等等。

本文将重点简要介绍一维非稳态导热模型中的理论方法，为解决该问题提供重要基础。

首先，我们讨论的一维非稳态导热模型是一维的，在这种模型中，温度的变化是由上下相邻的单元格热传导加权平均值决定的，从一个单元格到另一个单元格的变化必须满足偏微分方程的通用表达式。

其次，根据以上的假设，一维非稳态导热的数值解将以定义的步长迭代，用于求解温度在不同单元中的变化。

在数值模拟中，需要对边界条件、热导率和温度输入进行有效描述，以确定最终的解答模式。

同时，本次分析中，利用有限差分和蒙特卡罗方法来求解温度场。

这种有趣且可行的做法，不但实现了所需求解的模式，而且能够精确地给出结果。

此外，在电脑指令中，采取该方法对数值运算很有效，从而提高了计算机解的精度和实现的质量。

最后，一维非稳态导热模型是在一定物理场中进行计算的，通用性很强，其能够很好地模拟简单模型中物理场的变化。

因此，它经常被用于诸如热管道传热、滑动轴热传导、负载温度场仿真等多种领域的研究。

总而言之，一维非稳态导热的数值模拟具有良好的数学基础、使用简单的算法以及电脑指令，从而实现快速求解热传导问题的目的，是今后研究的重要课题。

5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。

首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT ke w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。

如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。

式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。

进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。

为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。

常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。

1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeEe e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6） 2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。

控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。

一维非稳态导热CRANK-NICOLSON解法题目：数值计算一维非稳态导热，长度1米的不锈钢棒原来温度都是0度，一端温度突然变为300度，并保存不变，采用CRANK-NICOLSON 方法数值计算不锈钢内温度分布随时间的变化。

解法：一维导热微分方程边界条件为u（0，t）=0；u（a0，t）=300初值u（x，0）=0；主程序clcclearuX=1; %不锈钢长1米uT=2000; %时长2000秒M=10; %空间轴等分区间数N=1000; %时间轴等分区间数rou=8030; %不锈钢密度cp=502.48; %不锈钢热容kk=16.27; %不锈钢导热率D=kk/rou/cp; %扩散系数phi=inline('0'); %初值psi1=inline('0'); %左边界psi2=inline('300'); %右边界%计算步长dx=uX/M;%x的步长dt=uT/N;%t的步长x=(0:M)*dx;r=D*dt/dx/dx;%步长比Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素for i=1:M-2Diag(i)=1+r;Low(i)=-r/2;Up(i)=-r/2;endDiag(M-1)=1+r;%计算初值和边值U=zeros(M+1,N+1);for i=1:M+1U(i,1)=phi(x(i));endfor j=1:N+1U(1,j)=psi1(t(j));U(M+1,j)=psi2(t(j));endB=zeros(M-1,M-1);for i=1:M-2B(i,i)=1-r;B(i,i+1)=r/2;B(i+1,i)=r/2;endB(M-1,M-1)=1-r;%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）for j=1:Nb1=zeros(M-1,1);b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;b=B*U(2:M,j)+b1;U(2:M,j+1)=zhuiganfa(Low,Diag,Up,b);endU=U';%作出图形xlabel('空间变量x')ylabel('时间变量t')shading interp程序用到了追赶法子程序，代码如下function x=zhuiganfa(L,D,U,b)%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b%检查参数的输入是否正确n=length(D);m=length(b);n1=length(L);n2=length(U);if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= mdisp('输入参数有误！')x=' ';return;end%追的过程for i=2:nL(i-1)=L(i-1)/D(i-1);D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);endx=zeros(n,1);x(1)=b(1);for i=2:nx(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);end%赶的过程x(n)=x(n)/D(n);for i=n-1:-1:1x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);endreturn;运行主程序，最终得到如图所示结果。

2.11解：对于该一维有热源的非定常热传导问题,设导热系数k 为常数有211t t r c k r u r r r R ρτ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''=+-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦初始条件(),t r o T ∞=边界条件为()00r r R r Rtr t h t T r λ=∞==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎪-=-⎪∂⎩即20111r a r u r r rc R θθτρ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''=+-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(),0r o θ=000r r R r k h r θθθ==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩其中ka cρ=为热扩散率或热扩散系数（thermal diffusivity ），过余温度t T θ∞=-，则 令()u f r θ=+，并使其中()f r 满足原方程及边界条件不妨设()420122416u r f r r C r C k R '''⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，显然其满足原方程，现用边界条件待定其中系数301112034200112222002084001684416163416r x r R r Ru f r r C C C rk R u u f r r k hf k r C h r C r C r k R k R u R u R k h C k k u ====⎛⎫'''⎛⎫∂=--+==⇒= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫''''''⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫+=--++--++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦''''''⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'''=-202310441344R hR C h k u R R C h k ⎛⎫++= ⎪⎝⎭'''⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭故()420021341644u u R r R f r r k R h k ''''''⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭420021341644u u R r R u r k R h k θ''''''⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 代入原方程及边界条件中有1u u a r r r r τ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭000r r R ur u k hu r==⎧∂=⎪∂⎪⎨∂⎛⎫⎪+= ⎪⎪∂⎝⎭⎩ 代入初始条件中有420020013401644u u R r R u r k R h k ττθ==''''''⎛⎫⎛⎫=--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()0u r τϕ==其中()420021341644u u R r R r r k R h k ϕ''''''⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 现用分离变量法进行求解令()()(),u r R r T ττ=带入(1.4)中泛定方程中有()()()()()()1R r T a R r T rR r T r τττ''''=+⎡⎤⎣⎦ ()()()'()()R r rR r T rR r aT τλτ'''+==-即()()()'()()0,0.T aT rR r R r rR r τλτλ⎧+=⎪⎨'''++=⎪⎩由边界条件知'(0)0,'()()0.hR R R R R k=+=由初始条件有()()()0R r T r ϕ=现对k 的值进行讨论① 当0λ=时，将其带入式(1.6)中有()()'()0,0.T rR r R r τ⎧=⎪⎨'''+=⎪⎩ ()()()0ln T C R r A r BK x τ=⎧⎪⇒⎨=+⎪⎩(1.9)代入边界条件中有0A B ==显然不符合题意舍去② 当0λ<时，对于式(1.6)令x =有'2222()()0,0.T aT R R x x x R x x τλτ⎧+=⎪⎨∂∂+-=⎪∂∂⎩()()()()1200a T Ce R x AI x BK x λττ-⎧⎪=⇒⎨⎪=+⎩()()))1200a T Ce R r AI BK λττ-⎧=⎪⇒⎨⎪=+⎩注意到当τ→∞时()τ→∞T 即最终的温度→∞t ，这在实际情况下是不可能的，故该种情况应当舍去。

一维非稳态导热的数值计算一维非稳态导热问题是指材料的温度在时间上发生变化，且只沿一个方向进行传热的问题。

这种问题在实际工程、材料科学和热传导研究中都十分常见。

数值计算是求解这类问题的重要方法之一，接下来我们将介绍一维非稳态导热的数值计算方法。

首先，我们来定义一维非稳态导热的数学模型。

假设我们考虑的材料是一维的杆状物体，其长度为L，温度分布随时间t和空间x而变化，记作T(x,t)。

根据热传导方程，我们可以得到如下的一维非稳态导热方程：∂T/∂t=α*∂^2T/∂x^2其中，α是热扩散系数，反应了材料导热性能的指标。

我们的目标是求解在给定边界条件下的温度分布T(x,t)。

为了使用数值方法求解该方程，我们需要将其离散化。

首先，我们将时间t离散化为一系列的时间步长Δt，将空间x离散化为一系列的空间步长Δx。

然后，我们使用中心差分法来近似替代方程的二阶空间导数项和一阶时间导数项：∂T/∂t≈(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt∂^2T/∂x^2≈(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中，i和j分别表示空间和时间的离散节点索引。

将上述近似代入导热方程中，得到离散的差分方程：(T(i,j+1)-T(i,j))/Δt=α*(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2根据上述差分方程，我们可以通过迭代计算来逐步更新温度分布。

首先，我们需要给定初始条件T(x,0)和边界条件T(0,t)和T(L,t)。

然后，我们通过迭代计算来更新温度值，直到达到所需的时间步长和空间步长。

具体来说，我们可以根据以下的更新公式进行迭代计算：T(i,j+1)=T(i,j)+α*Δt*(T(i+1,j)-2T(i,j)+T(i-1,j))/Δx^2其中，T(i,j+1)表示在第j+1个时间步长和第i个空间步长的温度值，T(i,j)表示在第j个时间步长和第i个空间步长的温度值。

总之，一维非稳态导热的数值计算方法可以使用离散化和迭代计算来求解热传导方程。

5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。

首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。

如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。

式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。

进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。

为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。

常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。

1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。

控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。

一维非稳态导热问题的数值计算一、本文概述导热是热量在物质内部由高温部分传向低温部分的过程，它在自然界和工程应用中无处不在，如建筑物的保温隔热、热机的热传递等。

一维非稳态导热问题作为导热理论中的一个重要分支，研究的是热量在一维空间内随时间变化的传递过程。

由于其实用性和理论深度，一维非稳态导热问题一直是热传导研究领域的热点之一。

然而，一维非稳态导热问题的解析解往往难以求得，因此数值计算成为了解决这类问题的主要手段。

数值计算不仅能提供问题的近似解，还能通过改变计算条件和参数，模拟各种实际场景，为工程实践提供有力支持。

本文旨在探讨一维非稳态导热问题的数值计算方法。

我们将首先介绍一维非稳态导热问题的基本理论和数学模型，然后详细阐述几种常用的数值计算方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。

在此基础上，我们将通过具体的算例，分析这些数值方法的计算精度和效率，并讨论其在实际应用中的优缺点。

本文的目标读者主要是对导热理论和数值计算方法感兴趣的学者和工程师。

希望通过本文的介绍，读者能对一维非稳态导热问题的数值计算有更深入的理解，并能将其应用于实际问题的求解中。

二、一维非稳态导热问题的数学模型一维非稳态导热问题是在某一方向上热量随时间变化的热传导过程。

在实际应用中，这类问题常见于金属棒、电缆、管道等物体的热量传递过程。

为了对这一问题进行深入研究，需要建立相应的数学模型。

一维非稳态导热的基本方程是热传导方程，它描述了热量在物体内部随时间和空间的变化。

在一维情况下，该方程可以表示为：\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2T}{\partial x^2} ]其中，(T(x, t)) 表示物体在位置 (x) 和时间 (t) 的温度，(\alpha) 是热扩散系数，它决定了热量在物体内部传递的速度。

为了求解这一方程，需要定义初始条件和边界条件。

初始条件指的是物体在初始时刻的温度分布，通常表示为：T(0, t) = T_1(t), \quad T(L, t) = T_2(t) ]其中，(T_1(t)) 和 (T_2(t)) 是边界上的温度分布函数，(L) 是物体的长度。

一维圆柱非稳态导热方程求解 前言：本文将介绍一维圆柱非稳态导热方程的求解方法。

首先，我们将从导热方程的基本原理开始，逐步推导出一维圆柱非稳态导热方程。

然后，我们将介绍求解这个方程的数值方法，并通过实例进行说明和验证。

导热方程描述了物体内部的温度分布随时间的变化关系。

一维圆柱非稳态导热方程特指一个圆柱形物体内部温度分布随时间变化的情况。

为了求解这个方程，我们需要以下几个步骤：建立方程，确定边界条件，选择合适的数值方法，进行数值求解，分析结果。

一、建立方程 假设一维圆柱的半径为r，长度为L，占据的空间为Ω。

假设Ω内部的温度分布为u(r,t)，其中r代表半径，t代表时间。

根据热传导定律，我们可以建立一维圆柱非稳态导热方程： ρc∂u/∂t = ∂/∂r(rk∂u/∂r) (1) 其中，ρ为物体的密度，c为物体的比热容，k为物体的导热系数。

二、确定边界条件 为了求解方程(1)，我们需要确定边界条件。

边界条件可以分为两种情况：定温边界和定热流边界。

1. 定温边界：在圆柱的表面，我们可以设定特定的温度分布，例如u(0,t) = T0，表示圆柱内部半径为0的地方的温度为T0。

另外，我们还可以设定圆柱外部的温度为T1，即u(L,t) = T1。

2. 定热流边界：除了设定定温边界，我们还可以设定定热流边界。

在这种情况下，我们需要给出表面上的热流密度，例如q(0,t) = q0，表示圆柱内部半径为0的地方的热流密度为q0。

另外，我们也需要给出表面上的平均热流，例如Q(L,t) = Q1，表示圆柱外部的平均热流为Q1。

三、选择数值方法 为了求解方程(1)，我们将采用数值方法进行近似求解。

常见的数值方法有有限差分方法、有限元方法和谱方法。

在本文中，我们将采用有限差分方法，因为它是一种简单而又有效的数值方法。

有限差分方法将连续的导热方程离散化为差分方程，然后通过迭代求解差分方程得到近似解。

具体来说，我们将在r和t两个方向上进行离散化，然后使用差分格式逼近方程(1)，得到如下的差分方程： ρc(ui,j+1 - ui,j)/Δt = (1/r)(ri+1/2k(ui+1,j - ui,j)/Δr - ri-1/2k(ui,j - ui-1,j)/Δr) (2) 其中，ui,j表示u(r,t)在r=iΔr，t=jΔt处的近似值，Δr为r 方向上的步长，Δt为t方向上的步长。

第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。

2、掌握内容：数值解法的实质。

3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。

但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。

随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。

如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。

分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。

2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。

§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。

该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。

由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。

计算传热学程序报告题目：一维非稳态导热问题的数值解姓名：学号：学院：能源与动力工程学院专业：工程热物理日期：2014年5月25日一维非稳态导热问题数值解求解下列热传导问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====≤≤=∂∂-∂∂1,10),(,1),0(0)0,()0(01T 22ααL t L T t T x T L x t Tx1.方程离散化对方程进行控制体积分得到：dxdt t Tdxdt x T tt tew tt tew ⎰⎰⎰⎰∆+∆+∂∂=∂∂α122⎰⎰-=∂∂-∂∂∆+∆+ewt t t w e tt tdx T T dt x T x T )(1])()([α非稳态项：选取T 随x 阶梯式变化，有x T T dx T T t p t t p ewt t t ∆-=-∆+∆+⎰)()(扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有t xTx T dt x T x T t w t e w e tt t∆∂∂-∂∂=∂∂-∂∂⎰∆+])()[(])()[(进一步取T 随x 呈分段线性变化，有 e P Ee x T T x T )()(δ-=∂∂ ， wW P w x T T x T)()(δ-=∂∂ 整理可以得到总的离散方程为：221x T T T t T T tWt P t E t P t t E ∆+-=∆-∆+α2.计算空间和时间步长 取空间步长为：h=L/N 网格Fourier 数为：220x tx tF ∆∆=∆∆=α（小于0.5时稳定） 时间步长为：α20h F n =3.建立温度矩阵与边界条件 T=ones(N+1,M+1)T(:,1)=Ti (初始条件温度都为0） T(1,:)=To (边界条件x=0处温度为1） T(N+1,:)=Te (边界条件x=L 处温度为0） 4.差分法求解温度 由离散方程可得到：tPt W t P t E t t E T T T T F T -+-=∆+)2(0 转化为相应的温度矩阵形式：),()],(2),1(),1([)1,(0k m T k m T k m T k m T F k m T +*--++*=+ 5.输入界面考虑到方程的变量，采用inputdlg 函数设置5个输入变量，对这5个变量设置了默认值，如图1所示。

TECHNOLOGY AND INFORMATION科技论坛188 科学与信息化2020年2月中有限差分法求解一维非稳态导热问题研究韩家玄华侨大学土木工程学院 福建 厦门 361021摘 要 本文针对导热问题中的一维非稳态导热，引入一维热传导方程。

利用有限差分法中的差商公式对一维热传导方程进行差分化并将差分格式矩阵化。

对有限差分法做了应用举例，利用MATLAB编程求出已知定解条件的一维非稳态导热问题的数值解。

最后对有限差分法的适用范围做了推广。

关键词 有限差分法；一维热传导方程；数值解1 一维非稳态导热问题1.1 一维热传导方程导热、对流和辐射是热量传递的三种基本形式。

其中，导热是指物体的各部分之间不发生相对位移，仅依靠分子、原子和自由电子之类的微观粒子的热运动引起的热量传递过程[1]。

类似于电磁场和重力场，传热的物体中存在着温度场。

物体的温度场是指物体在不同时刻各空间点处的温度分布总称。

根据物体温度场的不同来划分，一维非稳态导热是指温度场空间分布为一维，同时还具有时间分布的导热方式。

工程领域中诸多导热问题可以抽象成一维非稳态导热，其中涉及一个重要的模型，即长宽远大于厚度的平壁导热模型。

考虑上述平壁导热模型，其温度仅在厚度方向上有差异。

设温度函数为关于平壁厚度和时间的二元函数。

根据文献[1]（1-1）被称为热扩散率，和分别为材1.2 一维非稳态导热的定解条件通过求解热传导方程，能够得到非稳态导热物体的温度场在时间和空间上的分布情况。

当然，为求解热传导方程，还需要加入特定导热问题的定解条件。

对于一维非稳态导热问题，定解条件分为初始条件和边界条件，初始条件为零时刻时温度在不同空间位置的分布，边界条件为物体两端边缘处温度在不同时刻的分布。

一维非稳态导热问题涉及偏微分方程的求解，往往不能得到解析解或解析解形式过于复杂，一般考虑采用有限差分法来求其数值解。

有限差分法是解决偏微分问题的常用方法之一，其本质是基于差分的思想，将微分和导数用差分和差商来近似代替。